автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Теоретические исследования и математическое моделирование некоторых спиновых систем

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

11-91-563

МУМИНОВ Хикмат Халимович

автореферат УДК 519.677; 531.314

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 1992

Работа выполнена в лаборатории вычислительной Техники и Автоматизации Объединенного Института Ядерных Исследований.

Научные руководители:

Доктор физико-математических наук профессор

МАХАНЬКОВ Владимир Григорьевич

Кандидат физико-математических наук, доцент

АБДУЛЛОЕВ Хабибулло Одинаевич

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук профессор

БАРАШЕНКОВ Владлен Сергеевич

Кандидат физико-математических наук, доцент

САНЮК Валерий Иванович

Ведущая организация: Московский инженерно-физический институт

Защита диссертации состоится в У/"7 >~с->часов на заседании Специализировашюго совета до47.01.04 при лаборатории Вычислительной техники и Автоматизации объединеного института ядерных исследований, г.Дубна, Московская область.

Автореферат разослан

1992 Г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Ученый секретарь совета кандидат физико-математических наук

З.М.ИВАНЧЕНКО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

}

_)р-2,¡^.АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Математическим аспектам исследования ¡елинёйных явлений в магнетиках в последние годы посвящено шачительное число работ. Обычные подходы здесь основаны на феноменологических теориях, рассматривающих магнетик как сплошную среду,и базируются на описании спиновых волн в магнетиках посредством нелинейных дифференциальных уравнений, та-сих как нелинейное уравнение Шредингера, си-

нус-уравнение Гордона, уравнение Ландау-Лифшица. Локализованные решения этих уравнений описывают магнитные солитоны. Име-ощиеся экспериментальные данные содержат указания о том, что эти классические модели не всегда оказываются достаточно точными и не учитывают ряд эффектов .(такие как, например, сокращение длины классического спина).

На микроскопическом (квантовом) уровне математическое описание магнетиков основано на спиновых моделях типа Гейзенберговских. Таким образом возникает вопрос о связи между нелинейными явлениями в классических и квантовых моделях, т.е. возникает проблема постулирования достаточно обоснованной математической процедуры перехода от квантовой к соответствующей ей макроскопической модели. Причем процедура эта должна быть достаточно аккуратной, т.е. должна сохранять основные свойства исследуемого объекта. Вместе с тем получающиеся в результате проведения этой процедуры полуклассические модели должны учитывать эффекты, отсутствующие в моделях классического подхода, т.е. описывть более широкий круг нелинейных явлений и таким образом давать больше информации об этих явлениях. Развитию математических методов решения этих проблем и получению макроскопических моделей посвящена первая часть диссертации.

Несмотря на наличие такого мощного инструмента аналитических исследований нелинейных дифференциальных уравнений, как метод обратной задачи рассеяния, достаточно полное исследование многих неинтегрируемых, многомерных и диссипативных систем возможно только благодаря использованию численных ме-

тодов. Вторая часть диссертации посвяшена численному модели рованию полученных новых полуклассических моделей, описывающих магнетики со спином Б=1.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ, целью диссертации является математическое моделирование динамики спиновых систем на основе построения, в качестве пробных функций, обобщенных когерентных состояний на группе зи(28+1), учитывающих размерность пространства спи новых состояний, получения соответствующих уравнений и их численного исследования.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ. В качестве метода математическо го описания квазиклассического поведения квантовых спиновых систем с произвольным спином построены обобщенные когерентны состояния на группе Би(2Б+1). Построены гамильтоновы уравнения движения для Би(3) когерентных состояний.

Исследованы квантовые и классические вакуумы модели Гейзенберга. Показано, что для моделей со спином Б»1 вакуум легкоплоскостного магнетика является боголюбовским конденсатом магнонов.

Найдены уравнения, описывающие малоамплитудные спиновые волны в магнетиках со спином Б=1 как с обменной так и с одно ионной типами анизотропий. Подтверждено наличие высокочастот ной моды в магнонном спектре Б=1 магнетиков.

Построены когерентные состояния в физической, наглядной параметризации в качестве пробных функций для исследования Б=1 магнетиков. Получена система уравнений, описывающая спин квадрупольные волны в ма.гнетике с обменной анизотропией.

Численными и аналитическими методами проведено исследование систем уравнений, описывающих малоамплитудные волны в Б=1 легкоосных магнетиках и показано,'что как в случае обмен ной анизотропии, так и в случае одноионной, стационарные нелинейные волны оказываются захваченными Би(2) сечением спинового фазового пространства. В этом смысле Би(2) сечение в спиновом фазовом пространстве являётся "классическим" аттрак тором.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Построенные в качестве магматического метода квазиклассического описания магнетиков Эобщенные когерентные состояния на группе SU(2S+l) могут виться инструментом для дальнейшего исследования широкого пасса магнетиков с произвольным спином. Когерентное состо-ние в.действительной параметризации, дающее удобное, физи-эское описание спин-квадрупольной динамики магнетиков, имеет ажное значение в получении квазиклассического описания маг-етиков со спином s=i. обнаруженные дополнительные высокочас-отные моды в магнонных спектрах S=1 магнетиков могут пред-тавить интерес для физиков-экспериментаторов, полученные в иссертации системы уравнений, описывающие малоамплитудные олны в легкоосных моделях s=l магнетиков с обменной и одно-онной типами анизотропий, а также система уравнений в дей-твительной параметризации, описывающая как легкоосный, так и егкоплоскостной магнетик с обменной анизотропией, могут быть азой для дальнейших теоретических исследований и численного оделирования. Развитие спинового хаоса вблизи обнаруженного

диссертации численными методами SU(2) аттрактора может виться одной из причин сокращения длины классического спина.

ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертации опубликовано 11 абот.

АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Результаты, полученные в диссер-ации, докладывались и обсуждались на семинарах в ЛВТА и ЛТФ ИЯИ, на IV Международном совещании "Солитоны и приложения" Дубна,1989), на Международных конференциях "Нелинейность и аос" (Ташкент,1990), "Солитоны и хаос" (Брюссель,1990), Нелинейные эволюционные уравнения и динамические системы" Дубна,1990; Галлиполи,1991).

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав заключения. Общий объем составляет 138 страниц .Диссерта-ия содержит 12 таблиц, 5 рисунков и список литературы (108 аименований).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность проблем, рассмотренных в диссертации, сформулирована цель диссертации. Кратк изложено содержание работы.

Глава I

В §1 исследуется модель ферромагнетика Гейзенберга с об менной анизотропией

Н

а а а 2 а 2

= + 5Б5 ) (1)

J

Показано,что в случае анизотропии типа "легкой оси" (5>0) ка для 3=1/2, так и для Б=1 магнетиков, вакууму модели (1) соот ветствует собственная функция I Ф > = П/0^

Поскольку квантовая задача для модели (1) с анизотропией тип "легкая плоскость" (6<0) не является точно решаемой, то в пределе Б»1 использовано преобразование Холштейна-Примакова

,__ / а ,а, л , / а а л

Б 1--, Б~=/~21а/ 1--1—1, Б =э-а а (3)

J 2Б ) i 2б з ) I

для бозонизации спинового гамильтониана (1). в импульсном представлении выделен конденсат в приближении Боголюбова, дл чего совершен поворот в пространстве алгебры Би(1,1) (теоретико-групповой аналог и-У преобразования Боголюбова). В результате получен ограниченный снизу дискретный спектр энерги и боголюбовская дисперсия

и =ка2/ -к2 - Д ( 4)

к 0 4

где Д=2б/а2. Таким образом показано, что вакуум легкоплоскостного магнетика Гейзенберга есть боголюбовский конденсат магнонов.

В §2 в качестве метода математического описания квазиклассического поведения магнетиков с произвольным спином Б, построена матрица обобщенных спиновых когерентных состояний (ОСКС) в фундаментальном представлении группы Би(2Б+1)

| * > = ехр {I [ ст; - ст; ]}ю> =

1

21 гз

= [1+ ][ 10,!2) ||0> + £ _ (5)

1 1

л + л -

~де т и Т1-генераторы фундаментального представления группы ;и(2Э+1), |о>=(о,...,о,1)т, и>=(0,...,0,1,0,...,о)т.

)ти когерентные состояния соответствуют точкам проективного 1ространства СР2=Би(23+1)/ЗЦ(23)®и(1).

Квантовая система со спином 3=1 в фундаментальном пред-;тавлении описывается зи(з) когерентными состояниями

I С > = (1+1С,|2+1С2|г) 1/2{ Ю> + С,И> + С212>} (б)

I живет в четырехмерном пространстве спиновых состояний, а ;и(2) оскс

1 ( _ , ^

(7)

I ф > = - / |0> + ¿2ф\1> + фг\2>\

1+1Й12 V I

1+\ф\1

>писывают поведение системы в зи(2) сечении этого простран-:тва

2

С1= С2= С/2 . (8)

1оказано, что зи(Э) КС учитывают эффект "сокращения длины"

:лассического спина 'де

ц= 1, (9)

р а. а_ а _ а __ а _ а а _ а . а , а . а _ а _

q = <Э Б ><Б Б > + <Б Б ><Б Б > + <Б Б ><Б Б > +

АгАг 2

+ ( 1 - <Б Б >) .

Юст-роены гамильтоновы уравнения движения для Би(3) КС.

В §3 в качестве инструмента исследования квазиклассичес-;ого поведения Б=1 магнетиков построено когерентное состояние Г удобной, физической параметризации действительных функций

И> = и >,

( 10)

' „x v 1

■де о

о о-Ц

ООО -10 0

-квадрупольный момент, Б - операторы спина.

1ара'метры 0 и ф определяют ориентацию вектора спина, г -ютац-ионную динамику квадрупольного момента относительно век-

тора спина .параметр д характеризует изменение длины вектора классического спина и квадрупольного момента. В параметризации (10) также имеет место тождество (9), где з2=соБ2д, ц2= Бо.п2д .На основе когерентого состояния (10) получены га-мильтоновы уравнения движения.

Глава II

В §1-2 проводится исследование магнетика гейзенберга

а А Аглг

+ 588 1 (11)

J

со спином Б=1. Получено квазиклассическое описание модели

(11) с помощью средних от спиновых операторов 2

н =

0 ( 1 )2 А, :

— ^ <3>х| - <Б ><Б > - (1+6) (<Б >)

ах.

Показано, что основные состояния легкоосного магнетика 0,

равно и легкоплоскостного

С = 1»

(12)

(13)

(14)

совпадают с классическими, т.е. лежат в Би(2) сечении четырехмерного спинового фазового пространства. Более того, совпадают также и соответствующие им когерентные состояния 10> = |0> .Аналогичные результаты получены и при иссле-

V б и ( 2 )

довании классических вакуумов магнетика со спином Б=з/2.

При исследовании магнонных спекров выявлено существование дополнительных мод

и = 4(1 + 6) (15)

в случае легкоосной модели, и

и2= 32 (16)

в случае легкоплоскостной.

Получена система уравнений,описывающая динамику спиновых волн легкоосного Б=1 магнетика с обменной анизотропией, которая в малоамплитудном приближении сводится к системе

25<Г 4^2+ 2(1-«) 1С,гсг

4(1+6)С2-

2С,

0.

:дены первые три интеграла движения системы (17). Показано, ) модель (11) сохраняет длину классического спина, т.е.

:3>)2/dt=0.

в §3 показано, что в действительной параметризации мо-1ь (11) описывается системой уравнений

sine ф = 2 5 cos2g sine cose - а^ ^ cos2g

. 2

- 4sin2g g 0 - cos2g sine cos0 ф

XX X

в = a2 ( cos2g sine ф + 2 cos2g cos0 в ф -

О xx XX

0

xx

- 4 sin2g sine ф g ),

(18)

g = 0,

S = 2cos2g-a^ 2sin2g(gxx+ 2ctg0 g-

cos2g (ctge 0 - фг - в2

4 g2 )

орая при д=0 совпадает с уравнением Ландау-Лифшица. Найде-классические вакуумы в действительной параметризации. До-нительные высокочастотные моды колебаний в магнонном спек-совпадают с (15) и (16) в комплексной параметризации.

Проведено численное моделирование системы (17). В §4 из-ается методика численных экспериментов, обсуждаются схемы, которым проводилось численное моделирование системы (17).В исследуется поведение стационарных решений системы (17) а

be

itJt

V,

V.=-

17,

(19)

'j _ t

cosh(v/ 2S-u) x) " 2 - u + 26

из и SU(2) сечения. Это поведение определяется следующими

актеристическими показателями

A =lim - In

SUP Т->оо т

||c2(t)-c; (t)/2

Сз(о)-С;2(О)/2

Л . . =1л.т ^ 1п - « ( 21 )

зи(2) т Т

где ||. II - С-норма, <; -возмущенное решение системы. Числен

ными и.аналитическими методами показано, что линейные волны модели заполняют все четырехмерное спиновое фазовое простра! ство квантовой системы. Исследование решений (19) систе! (17) показывает, что характеристические показатели отрицательны. Таким образом, нелинейные стационарные волны оказываются захваченными $и(2) сечением спинового фазового простра! ства. В этом смысле эи(2) сечение является двухмерным "классическим аттрактором" в 4-мерном спиновом фазовом пространстве системы.

В §6.проводится исследование "модифицированной" систем! уравнений

2(1"«) К/С,- ' (22)

1С2+ 4(1+а6)С2- 2С,= о,

которая описывает стационарные солитоны, находящиеся точно ] Би(2) сечении, и в этом смысле эффективно учитывающие отброшенные при получении системы (17) члены более высокого поря, ка точности.проведенные аналитические и численные исследования стационарных решений системы (22) показывают-, что >1 в этом случае БУ(2) сечение является аттрактором, в'указанном смысл.е.

Глава III

Проведено ' исследование легкоосной модели. 5=1.-ферромагш тика Гейзенберга с учетом одноионной анизотропии.'

а а а га 2

И = -I у . ^ +6 88]. (23)

I- 1 J 1 })

}

Получен ее квазиклассический аналог, выражающийся через сре, ние и парные корреляторы от спиновых операторов по эи(3) ОС!

а

0/ \2 Л/N Л 2 л/ч

--[ >х] ~ <s*><s"> - (<sz>) - 6<SZSZ>

dx (24)

¡оказано, что в отличие от модели с обменной анизотропией,

1ля квадрата классического спина имеет место уравнение

— 2 2 —

45 - . (25)

at (1+IC1l2+ICjI2)2

>сновные состояния модели (24) совпадают с классическими, •.е. находятся в SU(2) сечении, совпадают также и соответ-тпуютие им когерентные состояния. Выявлено существование юполнительной высокочастотной моды ш=4 в магнонном спектре 'одели (24). Для малоамплитудных волн получена система урав-ений

iC - С + 2ас - 4£ с + 21с 12С = о,

М 1 хх S1 12 S1 S1 '

2 (26)

iC + 4Г ~ 2Г = 0.

ъ2 s2 S1

айдены три первых интеграла движения системы (26).

В §2 проведено численное исследование стационарных реше-

ий

• » 2 , IUt Т)

be 1

И = -=7— ' V --(27>

cosh^ 5-(j х) 2 - и

истемы (26) и обнаружено, что нелинейные волны оказываются

ахваченными SU(2) сечением функционального спинового фазо-

ого пространства, в отличие от линейных волн, заполняющих

се четырехмерное спиновое фазовое пространство. Таким обра-

ом, как и в случае обменной анизотропии, для стационарных

зстояний SU(2) сечение является особого рода классическим

гтрактором.

I

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В РАБОТЕ

Построены обобщенные когерентные состояния на группе 5(25+1), позволяющие провести адекватное полу классическое жсание различных моделей ферромагнетиков с произвольным шном.

Проведено исследование квантовых и классических вакуумов

модели магнетика Гейзенберга. показано, что вакуум легкоплоскостного магнетика Гейзенберга при больших S является боголю-бовским конденсатом магнонов.

3. На основе обобщенных спиновых когерентных состояний групш SU(3) проведено исследование ферромагнетика Гейзенберга со спином S=l как для случая обменной, так и для случая одноион-ной типов анизотропий. Подтверждено существование дополнительной высокочастотной моды колебаний в магнонном спектре ферромагнетиков со спином S=1. Получены уравнения, описывающие спиновые волны в магнетиках со спином S=1 как для случая обменной, так и для случая одноионной типов анизотропии.

4. Построены когерентные состояния, позволяющие провести исследование S=1 магнетиков в удобной, физической параметризации. На основе этих когерентных состояний получена система уравнений, описывающая динамику спин-квадрупольных волн в магнетике Гейзенберга с обменной анизотропией.

5. проведено численное исследование систем уравнений, описывающих малоамплитудные, слабонелинейные волны в S=l легкоос-ных магнетиках Гейзенберга как с обменной так и с одноионной типами анизотропии. С помощью численных и аналитических мето дов показано, что нелинейные волны оказываются захваченными "классическим" SU(2) сечением, т.е. последнее представляет собой особого рода классический аттрактор в спиновом фазовом пространстве.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Kh.O.Abdulloev, М.Agüero, A.V.Makhankov, V.G.Makhankov, Kh.Kh.Muminov. Generalized spin coherent states as a tool tc study quasiclassical behaviour of the Heisenberg ferromagnet In V.Makhankov,V.Fedyanin and O.Pashaev ed. Solitons and Applications. Proceedings of the IV International Workshop, Dubna, 1989, W.S.Singapore, 1990, p.p. 244-265

2. X.О.Абдуллоев,А.В.Маханьков,X.X.Муминов. вакуум ферромагнетика Гейзенберга как боголюбовский конденсат магнонов. Препринтоияи Р17-90-ЗЮ, Дубна, 1990

3. X. О. Абдуллоев, А. Т. Максудов, В. Г. Маханьков, X. X. Муминов. Не-

инейная динамика анизотропного легкоплоскостного магнетика о спином S=l. Препринт ОИЯИ Р17-90-298, Дубна, 1990 . X.О.Абдуллоев,А.Т.Максудов,X.X.Муминов. Численное решение адачи,Коши для интегро-дифференциального уравнения Шредин-ера в теории спиновых волн, в сб.:Тезисы докладов XXVI на-чной конференции факультета физико-математических и естес-венных наук.- м., Изд-во Университета Дружбы Народов, 1990, . 37

. X.о.Абдуллоев,X.X.Муминов. обобщенные спиновые когерент-ые состояния и цепочка Гейзенберга для спина s=l. ДАН Тадж. CP, T.33,N 10, 1990, С.656-659

. X.О.Абдуллоев,X.X.Муминов,Ф.X.Хакимов. Вакуум легкоплос-остной модели Гейзенберга как боголюбовский конденсат маг-онов. ДАН Тадж. ССР, т.33, N 6, 1990, С.377-380. . X.О.Абдуллоев,X.X.Муминов. описание магнетика гейзенберга ри пространственном повороте для спина s=l. ДАН Тадж.ССР, .33,N 9, 1990, с.593-595

. Kh.O.Abdulloev, V.G.Makhankov,A. T. Maksudov, Kh.Kh.Muminov. n semiclassical behaviour of the S=1 uniaxial Heisenberg agnet. JINR Communication E17-91-219, Dubna, 1991, p.6. . Kh.O.Abdulloev, A.T.Maksudov,V.G.Makhankov, Kh.Kh.Muminov. ynamical equations for spin chain in the SU(2s+l)/SU(2s)®U(1) pace and S=3/2 easy axis magnet. JINR Communication E17-91-21, Dubna, 1991, p.7.

0.V.G.Makhankov, A.V.Makhankov, Kh.Kh.Muminov, A.T.Maksudov. onlinear spin waves and two-dimensional • classical attractor. INR Communication E17-91-220, Dubna, 1991, p.10.

1.X. О. Абдуллоев , A. Т. Максудов , X. Х.'Муминов . об одной системе эавнений в теории спиновых волн. ДАН Тадж.ССР, 1991,

,34, N б (в печати).

Рукопись поступила в издательский отдел 24 декабря 1991 года.