автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретическая разработка элементов квантового компьютера и их математическое моделирование

тт_____________

! 0046072ВИ КУБАСОВ АЛЕКСАНДР ЕВГЕНЬЕВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЭЛЕМЕНТОВ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2010

2 2 ИЮЛ 2010

004607280

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Попов Игорь Юрьевич

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук,

профессор Балопган Юрий Александрович

Доктор физико-математических наук, профессор Ульянов Сергей Владимирович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится 30 июня 2010 года в 13°° часов на заседании диссертационного совета Д212.227.06 при Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, конференц. зал.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу:

197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, СПбГУИШО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 28 мая 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Лисицына Л.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы.

С момента опубликования работы Ричарда Фейнмана о возможности квантовых вычислений все большее и большее число ученых и инженеров работает над созданием реального квантового компьютера. Это связано, как с чисто теоретическим интересом в альтернативном вычислительном устройстве, так и с серьезным пракгаческим интересом - создание квантового компьютера позволит решить считающиеся практически неразрешимыми ИР-полные задачи. В частности, создание эффективного квантового компьютера осуществит переворот в криптографии, так как большинство, если не все современные криптографические алгоритмы основаны на практической неразрешимости ЫР-полных задач. С самого начала задача создания квантового компьютера была декомпозирована на независимые подзадачи - создание модулей инициации и считывания, реализация одно- и даукубитовых операций, создание большого числа когерентных кубигов. Одновременно были предложены несколько архитектур, ныне считающихся классическими. Однако для каждой из этих архитектур одна или более из подзадач оказались неразрешимыми. Это привело к поиску альтернативных архитектур, которые бы позволили решить все пять подзадач. Однако, несмотря на многочисленность предложенных вариантов решения конечной задачи, она до сих пор не решена.

Дель диссертационной работы. Теоретическое создание элементов квантового компьютера и их математическое моделирование. Создание прогностических моделей, которые позволят описать эффекты, на основе которых можно будет решить ряд подзадач по созданию квантового компьютера. Здесь имеются в виду, как подзадачи теоретического проектирования квантового компьютера, так и способствующие развитию технологии, необходимой для физического создания рабочего образца.

Основные задачи исследования:

1. Построение математической модели модуля инициации для квантового компьютера на элегаронах в связанных волноводах.

г

2. Нахождение эффекта, на основании которого можно реализовать двукубиговую операцию для квантового компьютера на электронах в квантовых волноводах

3. Построение математической модели, позволяющей эффективно искать резонансы трехчастичной задачи.

4. Построение математических моделей, позволяющих оптимизировать устройство щупа сканирующего туннельного микроскопа.

Методы исследования: аналитические методы поиска резонанса двухчастичной задачи, численное моделирование трехчастичной задачи, спектральный анализ, использование квантовых графов для моделирования физических явления, численные методы поиска резонанса для пространственных структур.

Научная новизна исследования. На защиту выносятся результаты обладающие научной новизной.

1. Полноценная модель модуля инициации построена впервые, ранее имелись лишь идеи использования для этой цели квантовых точек.

2. Предложено использование эффекта сдвига резонансов задачи рассеяния двух частиц на препятствии для реализации двукубиговой операции и была создана модель, описывающая данный эффект. Ранее для данной системы имелось лишь решение одночастичной задачи.

3. Математическая модель квантового графа дня оптимизации параметров сканирующего туннельного микроскопа ранее никем не предлагалась.

Основные результаты, выносимые па защиту.

1. Математическая модель модуля инициации для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах.

2. Математическая модель трехчастичного резонансного рассеяния. Способ реализации двукубитовых операций для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах на основе резонансных эффектов при двухчастичном рассеянии на препятствии.

3. Математические модели щупа сканирующего туннельного микроскопа. Методика расчета параметров щупа.

Обоснованность н достоверность результатов, полученных в

диссертационной работе, подтверждается корректностью использования математических методов и апробацией на конференциях и в печатных изданиях.

Практическая значимость. Разработанные модели и комплексы программ могут быть использованы для практического создания элементов квантового компьютера на электронах в связанных волноводах.

Апробация результатов работы.

Результаты работы прошли апробацию на конференциях:

Days on Diffraction 2006, St.Petersburg, May 30 - June 2, 2006, V межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 15-18 апреля 2008, XXXVIII научная конференция СПБГУ ИТМО Санкт-Петербург 3-6 февраля 2009, VI межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 14-17 апреля

2009, XXXIX научная конференция СПБГУ ИТМО Санкт-Петербург 2-5 февраля

2010.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликована 4 статьи и 1 тезис доклада на конференциях, в том числе 2 статьи в журналах из перечня ВАК («Известия ВУЗов. Приборостроение», «Научно-технический вестник СПбГУИТМО»).

Структура и объем диссертационной работы. Диссертационная работа объемом 115 машинописных страниц, содержит введение, четыре главы и заключение, список литературы, содержащий 60 наименований, 4 приложения, 15 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введешш формулируются основные цели и задачи диссертационной работы, обосновывается их научная актуальность, кратко перечисляются основные результаты, полученные в работе.

В первой главе приводится обзор исследований в области построения квантовых компьютеров, описаны некоторые основные методы построения квантовых моделей, в частности, использование квантовых графов. Рассматриваются области применимости различных подходов.

Описываются идеи, лежащие в основании разработай квантового компьютера на электронах в связанных волноводах, проводится краткий обзор основных достижений.

Проводится анализ различных подходов к реализации различных элементов квантовых компьютеров на разных элементных базах, исследуются возможности применения этих подходов к компьютеру на электронах в связанных волноводах. Приведены различные методы поиска резонансов двух- и трехчастичных задач. Описываются различные методы численного моделирования уравнений, описывающих квантовые системы. Рассматривается применение методов спектрального анализа в приложении к решению задачи о поиске резонансов.

Во второй главе рассмотрена модель модуля инициации для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах.

В первом разделе производится самый общий анализ задачи и ее формализация в следующем виде: разработать устройство, которое будет содержать число электронов равное числу волноводов в квантовом компьютере и будет по внешнему сигналу синхронно выпускать их в соответствующие волноводы. Синхронность должна быть достаточной для того, чтобы электроны, оказавшиеся в волноводах, были когерентны друг другу с точки зрения данного квантового компьютера.

Во втором разделе предлагается принципиальная модель, которая теоретически может реализовать требования, предъявленные к модулю инициации из первого раздела. В качестве внешнего сигнала предлагается использовать однородное электрическое поле, а электроны держать в одинаковых ловушках, по одному в каждой. В качестве модели ловушки предполагается использовать одномерную потенциальную яму, в которой находится один электрон. Таким образом задача переформулируется следующим образом: найти такие форму потенциальной ямы, напряженность электрического поля и энергию электрона, что будут выполнены два условия: время жизни электрона в яме без поля будет большим по сравнению со временем работы квантового компьютера и время жизни электрона в яме с полем будет малым по сравнению со временем когерентности для электронов в работающем квантовом компьютере.

В третьем разделе выведены уравнения для нахождения времени жизни электрона в яме в случае обрезанной параболической формы потенциала.

и = 0:х<-(1 и = Л2х2 \-с1<х<(1 и-<я-.х>с1

Заметим, что данная форма потенциала остается неизменной при добавлении потенциала, соответствующего однородному электрическому полю:

Л2х2 +£х = Л2(х + х0)2 +у

Как уже было сказано, время жизни электрона в яме связано с мнимой частью волнового числа к, соответствующего резонансу. Для нахождения резонансов можно рештъ стационарное уравнение Шредингера для следующего

условия на бесконечности ^/(х) = е~'ь : х —> +со. Уравнение для нахождения к соответствующего резонансу можно представить в следующем виде:

в\Уг+вгУ\=&{у1+Уг), (1)

дх »

гДе ~-ттГ'У/-—~Г,-V* - четное и нечетное частные решения

У,(4) +

уравнения Шредингера в области параболического потенциала.

Четвертый раздел посвящен численному анализу полученных уравнений и выводам о применимости предложенной модели к задаче создания модуля инициации. Аналитического решения уравнение (1) не имеет, даже в случае параболического потенциала, при котором уг, выражаются в явном виде. Однако можно использовать тот факт, что обычно к, соответствующие резонансам, находятся недалеко от к , соответствующих собственным решениям замкнутых систем, нахождение которых значительно проще. Искомое к было представлено в виде к-к0+ки где ка соответствует некоторому энергетическому уровню, а является малой добавкой - Так как мы

слабо варьируем к, то для у, и, соответственно в, и у,, их изменения также будут небольшими, и мы можем считать в первом порядке теории возмущений, что эти изменения будут пропорциональны кх.

у/,=у/,0+%/* (2)

В качестве использовалось волновое число, соответствующее первому энергетическому уровню бесконечной потенциальной ямы. Это позволило использовать явные формулы для ц/,. Чтобы найти у/*, выражение (2) подставлялось в исходное уравнение Шредингера. • После этого, подставляя выражения для цг, и у?, а также (2) в уравнение (1) и упрощая его, получаем уравнения для вещественной и мнимой частей Данным методом были

рассчитаны времена жизни элегарона в яме при отсутствии поля, со слабым полем,

Го

с сильным полем. На рис. 1 изображены графики зависимости ^ = -2-, где Г0-

т

время жизни электрона в яме при отсутствии поля и Т - время жизни алейрона в

Рис. 1. Отношение времен жизни электрона в яме при наличии и при отсутствии поля

По горизонтальной оси отложен безразмерный параметр, характеризующий систему, пропорциональный ширине ямы. Из Рис.1 видно, что отношение времен растет экспоненциально с ростом ширины ямы. Также видно, что параметр этого экспоненциального роста, увеличивается с возрастанием напряженности внешнего поля. Это означает, что выбором энергии электрона, параметров ловушки и воздействующего электрического поля мы сможем добиться ситуации, при которой время жизни элегарона в ловушке без поля будет много больше времени работы

квантового компьютера, а время жизни электрона в ловушке будет меньше времени когерентности электронов, что является достаточным условием для работы генератора начального состояния.

В третьей главе исследовалась другая задача, решение которой необходимо для построения действующего квантового компьютера на электронах в связанных волноводах - реализация двукубитовой операции.

В первом разделе сделан небольшой обзор техник, при помощи которых предлагалось реализовывать двукубитовые операции для квантовых компьютеров, построенных с использованием других элементных баз, с целью прояснить наш выбор направления поиска эффекта, на основе которого планируется реализовать данную операцию в квантовом компьютере на электронах в связанных волноводах.

После этого проводится формализация требований к эффекту, который мы шцем: необходимо построить систему, воздействие которой на одиночный электрон будет сильно различаться в зависимости от наличия или отсутствия электрона во втором волноводе. Очевиднейшим кандидатом на роль такого эффекта является резонансное рассеяние. Как известно, резонансные пики могут быть достаточно узкими, и небольшое изменение энергии падающего электрона может очень сильно повлшпъ на коэффициенты прохождения и отражения. Поэтому было разумным предположить, что появление второго электрона может сдвинуть резонансы системы достаточным образом для того, чтобы эффект стал легко наблюдаемым.

Во втором разделе произведена формализация задачи и вывод основных уравнений. В качестве модели используется система из двух одномерных квантовых волноводов, содержащих квантовые точки (по одной в каждом волноводе). В каждом из волноводов имеется по одному электрону, которые взаимодействуют друг с другом только в области квантовых точек (см. Рис. 2).

область потенциальной / ямы

ВОЛНОВОДЫ'

Ё = О

Ё*0

Рис. 2. Конфигурация волноводов.

Квантовая точка моделируется одномерной ограниченной параболической потенциальной ямой.

и = 0:х<-</

где й - полуширина ямы. Предполагается, что частицы взаимодействуют только в области потенциальной ямы.

Эта система описывается следующим уравнением для одномерной многочастичной задачи:

У>(^,х2)+(^-[/(^)-С/(хг)-К(х1,д:г)У(х1,х2)=0 (3)

С другой стороны, это же уравнение описывает двухмерную задачу рассеяния электрона на бесконечном потенциале. В дальнейшем мы будем использовать эту эквивалентность.

Третий раздел посвящен численному моделированию уравнения (3), описаны сложности, с которыми пришлось столкнуться, методы, использовавшиеся для борьбы с ними и получившиеся результаты.

В первую очередь интерес представляли ситуации, в которых присутствие второй частицы заметно влияло на поведение первой частицы. В то же время было крайне желательно построите систему, влияние которой на вторую частицу было бы минимальным. В качестве исследуемых параметров были использованы коэффициенты прохождения и отражения. Было сделано предположение, что подобный эффект можно искать вблизи резонансов, так как зачастую рядом с ними находятся области в которых коэффициенты прохождения и отражения сильно меняются при достаточно небольшом изменении энергии. При этом присутствие второй частицы могло сдвинуть эти «шиш» достаточно сильно, чтобы на их месте оказалось «плато».

Для поиска коэффициентов рассеяния в одномерном случае широко используется следующий подход - промоделировать нестационарное уравнение Шредингера, разложить волну по плоским волнам до и после взаимодействия и

найти коэффициенты. В общем двухмерном случае это не работает, т.к. плоская

волна после взаимодействия с потенциалом содержит не только волны

_±И!х1 Ик2хг

" , но и множество других плоских волн с той же энергией. И поиск

минимума коэффициента прохождения способом, описанным выше, не даст точных результатов, т.к. в формирование каждой прошедшей волны внесут свой вклад другае падающие волны с той же энергией. Однако мы используем это приближение, неявно проверяя его применимость устойчивостью результатов к изменениям начальных условий.

Для численного моделирования данной трехчастичной задачи стандартные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений показали себя не очень хорошо, поэтому был использован метод, разработанный Ричардсоном, который позволил существенно ускорить решение данной задачи.

Отдельно стоял вопрос выбора потенциала межчастичного взаимодействия. Так как целью данной работы было показать применимость данного подхода для построения двукубитовой операции, то был выбран простейший дельтообразный потенциал. Стоит отметить, что все остальные компоненты решения не зависят от выбора потенциала.

Нашей целью было получить, зависимость сдвига резонанса первой частицы от энергии второй частицы. Использовался следующий алгоритм:

• численное интегрирование нестационарного уравнения Шредингера в одномерном случае, нахождение резонансов.

• Численное интегрирование нестационарного уравнения Шредингера в двумерном случае

• Получение спектров волны до и после взаимодействия с потенциалом.

• Дня нескольких к2 построение графиков зависимости коэффициентов прохождения для первой частицы от ее энергии. Нахождение максимумов. Сравнительный анализ графиков в одномерном и двумерном случаях с целью поиска интересных эффектов.

• Построение графика зависимости сдвига «пиков» от к2.

Четвертый раздел посвящен анализу получившихся результатов.

В первую очередь, было важно понять, насколько справедливо приближение об «упругости» взаимодействия электронов. Дня проверки этого предположения использовалось варьирование начального волнового пакета, которое, в случае, если приближение оказалось бы неприменимо, привело бы к изменению положения резонансов. Однако этого не произошло.

Следующим стоял вопрос о том, как повлияет на сдвиги резонансов присутствие потенциальной ямы во втором волноводе. Результаты показали, что сдвиги резонансов различаются слабо, при этом воздействие на вторую частицу в этом случае оказывается значительно сильнее. Т.е. с точки зрения построения деукубитовой операции, разумнее строить ее, используя потенциальную яму только в одном волноводе, явно разделяя частицы на управляющую и управляемую.

Получившиеся сдвиги «пиков» оказались сравнимыми с расстояниями между ними, и, как следствие, больше, нежели ширины соответствующих резонансных пиков. Следовательно, этот эффект является наблюдаемым и может быть использован при построении двукубитовых операций.

В четвертой главе были сделаны исследования, которые должны помочь в создании инструментов для физического воплощения элементной базы, в частности, исследовалась возможность оптимизации сканирующего туннельного микроскопа.

В первом разделе описывается поставленная задача и основные подходы к ее решению.

Одним из инструментов для создания наноустройств является сканирующий туннельный электронный микроскоп. Поверхность материала исследуется с помощью щупа. Между щупом и поверхностью при подаче напряжения начинает течь электрический ток. При движении щупа меняется расстояние до поверхности и, как следствие, сила электрического тока. Для того, чтобы эти измерения были более точными, важно сконструировать щуп, который обеспечит максимальных ток при одних и тех же условиях.

Были использованы два подхода для решения поставленной задачи: моделирования щупа с использованием квантовых графов и моделирование наконечника щупа, при помощи пространственных моделей.

Во втором разделе подробно исследуется модель квантового графа в приложении к данной задаче. В качестве формы щупа, которую мы исследовали, был взят равнобедренный треугольник.

При решении задачи использовалось предположение, что оптимальному щупу будет соответствовать максимально возможное значение коэффициента прохождения для данного графа для частиц с энергией, равной энергии Ферми для материала щупа. Матрица рассеяния была получена, используя граничные условия и уравнения, получающиеся при использовании подхода Крейна. В качестве инструмента использовалась программа Maple.

В третьем разделе исследуется зависимость получившихся решений от различных геометрических параметров, делаются выводы о том, какой должна быть оптимальная структура «острия».

Варьировались следующие параметры: сила электрического поля и угол при основании треугольника. Исследовались месторасположение максимума коэффициента прохождения, его значение и ширина пика, соответствующего максимуму. Последнее было сочтено важным, так как в случае узкого пика, тепловые флуктуации могут оказать большое воздействие на реальный коэффициент прохождения. Т.к. энергия Ферми на 2 порядка превышает кТ, то ширина пика должна быть не меньше 10% от его абсолютного месторасположения.

На основании полученных результатов был предложен алгоритм конструирования оптимального щупа для конкретных значений энергии свободных электронов.

Четвертый раздел посвящен модификации модели с использованием пространственных структур. Делается анализ возможности и целесообразности более «тонкого» построения модели для данной задачи.

Детализация модели была сделана путем уточнения 1раничных условий на острие щупа. Острие щупа было смоделировано сферой с несколькими присоединенными бесконечными лучами. Было сделано предположение, что оптимальной будет форма, при которой резонанс данной системы совпадет с энергией свободных электронов, т.к. это обеспечит максимальную плотность электронных состояний в данной конструкции. В качестве параметра, зависимость от которого была исследована, был взят угол между лучами.

Результаты численного моделирования показали, что хотя резонансы данной системы присутствуют в достаточном количестве, они расположены настолько близко друг к другу, что точность, с которой возможно производство таких наконечников в данный момент, недостаточна для использования этого эффекта для оптимизации параметров щупа.

В приложениях приведены программы для расчетов в соответствующих задачах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Предложен метод оценки влияния межчастичного взаимодействия на резонансное рассеяние двух частиц на препятствии

2. Предложена реализация двукубитовой операции для квантового компьютера на связанных электронах в волноводах на основе эффекта смещения резонансов задачи рассеяния в результате межчастичного взаимодействия.

3. Предложена идея построения модуля инициации для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах

4. Построена модель модуля инициации для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах, доказана эффективность данного модуля.

5. Построена модель щупа сканирующего туннельного микроскопа на основе квантовых графов. Предложен метод оптимизации параметров щупа.

6. Построена модель наконечника щупа сканирующего туннельного микроскопа. Показано, что при существующем уровне технологий оптимизация сканирующего туннельного микроскопа путем изменения наконечника неэффективна.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Курасов, А.Е. Входное устройство для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах [Текст] / А.Е. Курасов, И.Ю. Попов // Известия ВУЗов. Приборостроение. - 2010. - № 53(5). - С. 53-56. (Журнал из списка ВАК)

2. Курасов, А.Е. Построение генератора начального состояния для квантового компьютера на связанных электронах в волноводах [Текст] / А.Е. Курасов // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. - 2008. - № 51. -С. 399 - 401. (Журнал из списка ВАК)

3. Many particles problems for quantum layers [Текст] / L.V.Gortinskaya [и др.] - Proceedings of Int. sem. "Days on Diffraction". - St.-Petersburg, 2006. - P. 218 -225.

4. Курасов, A.E. Влияние межчастичного взаимодействия на резонансное рассеяние. [Текст] / А.Е. Курасов // Труды 6 Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых. - 2009 - № 3. - С. 7-10.

5. Курасов, А.Е. Простейшая модель генератора начального состояния для квантового компьютера на связанных электронах в волноводах [Текст] / А.Е. Курасов // Сборник тезисов V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (15-18 апреля 2008 года). - 2008. - С. 234.

Тиражирование и брошюровка выполнены в Центре «Университетские Телекоммуникации». Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 46. Тел. (812) 233-46-69. Лицензия ЦДЛ №69-182 от 26.11.96 Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Область нанотехнологических исследований.

2. Квантовые компьютеры.

3. Решения частных проблем для различных квантовых компьютеров.

4. Спектральный анализ в применении к задаче рассеяния.

5. Метод Ричардсона интегрирования нестационарного уравнения Шредингера.

6. Феноменологические потенциалы.

7. Метод квантовых графов, задача рассеяния.

ГЛАВА II. МОДУЛЬ ИНИЦИАЦИИ ДЛЯ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА НА СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНАХ В ВОЛНОВОДАХ.

1. Постановка задачи.

2. Решение на основе параболической потенциальной ямы.

3. Численное моделирование.

4. Выводы.:.

ГЛАВА III. ВЛИЯНИЕ МЕЖЧАСТИЧНОГО' ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ В КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДАХ.

1. Постановка задачи.л.

2. Модель. Методы решения и анализа.

3. Численное моделирование.1.

4. Выводы.

ГЛАВА IV. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЩУПА СКАНИРУЮЩЕГО ТУННЕЛЬНОГО МИКРОСКОПА.од,.

1. Принцип работы микроскопа. Постановка ЗаДХчи.?.

2. Модель на основе квантовых графов.

3. Численное моделирование.

4. Геометрическое моделирование наконечника щупа с использованием пространственных параметров.■.

5. Выводы.

Актуальность темы работы.

С момента опубликования работы Ричарда Фейнмана о возможности квантовых вычислений, все большее и большее число ученых и инженеров работает над созданием реального квантового компьютера. Это связано, как с чисто теоретическим интересом в альтернативном вычислительном устройстве, так и с серьезным практическим интересом — создание квантового компьютера позволит решить считающиеся практически неразрешимыми NP-полные задачи. В частности, создание эффективного- квантового компьютера осуществит переворот в криптографии, так как большинство, если не все современные криптографические алгоритмы основаны на практической неразрешимости NP-полных задач. С самого начала задача создания квантового компьютера была декомпозирована на независимые подзадачи — создание модулей инициации и считывания, реализация одно- и двукубитовых операций, создание большого числа когерентных ' кубитов. Одновременно были предложены несколько архитектур, ныне считающихся классическими. Однако для каждой из этих архитектур одна или более из подзадач оказались неразрешимыми. Это привело к поиску альтернативных архитектур, которые бы позволили решить все пять подзадач. Однако, несмотря на v\> многочисленность предложенных вариантов фещения конечной задачи, она до сих пор не решена.

Цель диссертационной работы. Создание прогностических моделей, которые позволят описать эффекты, на основе которых можно будет решить ряд подзадач по созданию квантового компьютера. Здесь имеются в виду как подзадачи теоретического проектирования квантового компьютера, так и способствующие развитию технологии, необходимой для физического создания рабочего образца.

Основные задачи исследования:

1. Построение математической модели модуля инициации для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах.

2. Нахождение эффекта, на основании , которого можно реализовать двукубитовую операцию для квантового компьютера на электронах в квантовых волноводах

3. Построение математической модели, позволяющей эффективно искать резонансы трехчастичной задачи.

4. Построение математических моделей, позволяющих оптимизировать устройство щупа сканирующего туннельного микроскопа.

Методы исследования: аналитические методы поиска резонанса двухчастичной задачи, численное моделирование трехчастичной задачи, спектральный анализ, использование квантовых графов для построения моделей физических задач, численные методы поиска резонанса для пространственных структур. t t ,

Научная новизна исследования. На защиту выносятся результаты, обладающие научной новизной.

1. Полноценная модель модуля инициации построена впервые, ранее имелись лишь идеи использования для этой цели квантовых точек.

2. Предложено использование , эффекта сдвига резонансов задачи рассеяния двух частиц на препятствии для реализации двукубитовой операции и была создана модель, описывающая данный эффект. Ранее для данной системы имелось лишь решение одночастичной задачи.

3. Математическая модель квантового графа для оптимизации параметров сканирующего туннельного микроскопа ранее никем не предлагалась. • > t .

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Математическая модель модуля инициации для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах.

2. Математическая модель трехчастичного резонансного рассеяния. Способ реализации двукубитовых операций для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах на основе резонансных эффектов при двухчастичном рассеянии на препятствии.

3. Математические модели щупа сканирующего туннельного микроскопа. Методика расчета параметров' щупа.

Обоснованность и достоверность результатов, приведенных в диссертационной работе, подтверждается корректностью использования математических методов и апробацией на '«конференциях и в печатных изданиях. '

Практическая значимость. Разработанные модели и комплексы программ могут быть использованы для практического создания элементов квантового компьютера на электронах в связанных волноводах.

Апробация результатов работы.

Результаты работы прошли апробацию на конференциях:

1. Days on Diffraction 2006, St.Petersburg, May 30 - June 2, 2006,

2. V межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 1518 апреля 2008,

3. XXXVIII научная конференция'СПБГУ ИТМО Санкт-Петербург 3-6 февраля 2009, *

4. VI межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 1417 апреля 2009,

5. XXXIX научная конференция СПБГУ ИТМО Санкт-Петербург 2-5 февраля 2010.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликована 4 статьи[15-17, 37] и 1 тезис доклада на конференции[18]. Основные материалы диссертации опубликованы в журналах из перечня ВАК на соискание ученой степени доктора и кандидата наук («Известия ВУЗов. Приборостроение», «Научно-технический вестник СПбГУИТМО»).

Структура и объем диссертационной работы. Диссертационная работа объемом 115 машинописных страниц, содержит введение, четыре главы и заключение, список литературы, содержащий 60 наименований, 4 приложения, 15 рисунков.

5. Выводы. i

Были построены две модели, направленные на описание щупа сканирующего туннельного микроскопа — модель щупа на основе квантовых графов и модель острия щупа на основе пространственных структур.

Первая модель содержит несколько феноменологичских параметров, поэтому непосредственное ее использование для оптимизации конкретной

• • • конструкции должно предваряться подбором этих параметров с целью соответствия результатов модели и реальной системы. После это возможно предсказание влияния изменения конструкции на «яркость» и «контрастность» результатов измерений. Однако на основании полученных результатов уже можно сделать несколько выводов:

• имеет смысл провести исследования зависимости «контрастности» измерения от приложенного напряжения. Сильное напряжение не гарантирует оптимальных результатов.

• При моделировании конкретной системы следует стремиться к минимизации волнового числа соответствющего свободным электронам в терминах модели, т.к. зависимость коэффициентов прохождения от волнового числа имеет вид очень острых пиков, s , I абсолютная ширина которых слабо меняется с увеличением волнового числа. Т.е. относительная ширина таких пиков максимальна при небольших волновых числах.

Вторая модель не содержит феноменологических параметров и показывает характер зависимости интересующих нас характеристик от геометрических свойств острия. Было показано, что резонансы данной системы существенно неустойчивы при изменении геометрических характеристик на порядки, соответствующие современной точности создания наноконструкций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате работы:

1. Показано, что потенциальная яма с внешним электрическим полем может использоваться в качестве генератора начального состояния для квантового компьютера на связанных электронах в волноводах. Были сформулированы требования к подобному устройству. Выведены формулы, описывающие время жизни электрона в параболической потенциальной яме со слабым и с сильным внешними электрическими полями. Произведено1 численное моделирование, показывающее реальные параметры данного устройства на основе параболической потенциальной ямы. Проанализированны границы применимости использованных подходов.

2. Рассмотрена проблема реализации двукубитовой операции для квантового компьютера , на электронах в связанных волноводах. Проанализированы требования к реализации двукубитовых операций и предложен конкретный метод ее построения на базе эффекта резонансного рассеяния. Построена модель резонансцого рассеяния двух частиц на препятствии, предложены эффективные методы численного моделирования данной задачи. При помощи полученных результатов показана возможность применения данного эффекта для реализации .двукубитовой операции. Описаны ограничения данного метода.

3. Построена модель квантового графа для щупа сканирующего туннельного микроскопа. Произведен анализ зависимости модели от феноменологических параметров. Произведен анализ зависимости параметров щупа от длинны вискеров и расстояния до измеряемой поверхности.

4. Предложена модель, наконечника,<щупа сканирующего туннельного микроскопа. Произведено численное моделирование данной системы с целью поиска резонансов. Показано, что с современным уровнем точности создания наноконструкций, оптимизация параметров щупа через изменение пространственной конфигурации не применима.

I 1

Практическая значимость. Разработанные модели и комплексы программ могут быть использованы для практического создания элементов квантового компьютера на электронах в связанных волноводах.

По материалам диссертационной работы опубликовано 4 статьи и 1 тезис доклада на конференции, результаты работы представлены на 5 конференциях. I I -1

1. Абрамова И.В. (Блинова), Мельничук О.П., Попов И.Ю., Сандлер М.М. Резонансные эффекты в задаче рассеяния на сложном графе. // Научно-технический вестник ИТМО.-2003.-Т. 11.- С. 129-136.

2. Аксенов А.А., Астахов М.В. Наноматериалы и нанотехнологии для промышленного применения // Изв. Акад. пром. экол. 2006. - N 3. -С.9-11.

3. Березин Ф.А., Фадеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. // Докл. Акад. Наук СССР. 1961 - Т. 137. -С. 1011-1014.

4. Бирман М. Ш, Соломяк М. 3., Спектральная теорияIсамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. -Л.:ЛГУ, 1980.

5. Бирман М. Ш., Энтина С. Б., Стационарный подход в абстрактной теории рассеяния. // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1967 - Т.31, N. 2 - С. 401-430.

6. Богомольный Е. Б., Распределение уровней энергии квантовых систем. //Письма ЖЭТФ. 1985. - Т. 41. - С. 55 -58.

7. Борисов В.Т. Двухфазная зона при кристаллизации сплава вIнестационарном режиме. // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 142. - С.69-71.

8. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика -, 2004.

9. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в, гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

10. Дудник С.Ф., Сагалович А.В., Сагалович В.В. Нанотехнологии -промышленные технологии XXI века // Оборудование и инструмент для профессионалов. 2005. - N 6(65). - С.46-49.ж1* (t

11. Елецкий А.В. Углеродные нанотрубки и их эмиссионные свойства // УФН. 2002. - Т.172. N4. - С.401-438.

12. Заславский Г. М., Филоненко Н. Н. // ЖЭТФ. 1973. - Т. 65. - С. 643

13. Камке Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

14. Кузовлев Ю.Е., Соболева Т.К., Филиппов Ф.Е. // Письма в ЖЭТФ. -1995.-Т. 58., N5.-С. 353-357.

15. Курасов А.Е. Входное устройство для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах // Известия ВУЗов. Приборостроение. 2010. - № 53(5). - С. 53-56.

16. Курасов А.Е. Построение генератора начального состояния для квантового компьютера на связанных электронах в волноводах // Научно-технический вестник СПбГУИТМО. 2008. - № 51. - С. 399 -401.

17. Курасов А.Е. Влияние межчастичного взаимодействия на резонансное рассеяние. // Труды 6 Всероссийской межвузовской конференциимолодых ученых. 2009 № 3. - С. 7-ip.t' 4

18. Курасов А.Е. Простейшая модель генератора начального состояния для квантового компьютера на связанных электронах в волноводах // Сборник тезисов V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (15-18 апреля 2008 года). 2008. - С. 234.

19. Курасов П. Б., Павлов Б.С. Электрон в одномерном кристалле излточечных атомов с внутренней структурой. II. // Теоретическая и математическая физика. 1987. - Т. 74, N. 1. - С. 82 - 93.

20. Лучинин В.В. Введение в индустрию наносистем // Нано- и микросистемная техника. 2007. - N 8(85). - С.2-7.

21. Нильсен М. , Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая1информация. М.: Мир, 2006. j

22. Потапов А.А. Состояние и перспективы построения теоретических основ механосинтеза // Нанотехника. 2005. - N 4. - С.32-42.

23. Принц В.Я. Трехмерные самоформирующиеся наноструктуры на основе свободных напряженных гетеропленок // Изв. вузов. Физика. -2003. Т.46., N 6. - С.35-43.

24. Радкевич Е.В.// Докл. АН СССР. 1981. - Т.316. - С.1311-1315.

25. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нанорасчета. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика. 2005.

26. Самсонов В.М., Базулев А.Н., Муравьев С.Д., Дронников В.В. Эффективные потенциалы взаимодействия между нанообъектами // Журн. физ. химии. 2004. Т. 78, N 7. С. 1197-1202.

27. Телец В., Алфимов С., Иванов А. Прикладные аспекты нанотехнологий // Наноидустрия. 2007: - N 2. - С.16-23.

28. Трифанова Е.С. // Письма в ЖТФ. 2009. - Т.35, №4 - С. 60-65.

29. Чивилихин С.А.,'Шопов И.Ю., Блинова И.В., Кириллова С.А., Коновалов А.С. Облогин С.И., Тишкин В.О., Чернов И.А., Гусаров

30. B.В. Моделирование процессов формирования наноразмерных свитков. // Физика и химия стекла. 2007. - Т 33., N 4. - С. 442-448.

31. Чивилихин С.А., Попов И.Ю., Гусаров В.В. Динамика скручивания нанотрубок в вязкой жидкости /А ДАН. 2007. - Т.412, N2. - С. 1-3.

32. Хохряков Н.В., Кодолов В.И. Кващрвохимическое моделирование процессов формирования наноструктур // Нанотехника. 2005. - N 2.1. C.108-112.

33. Яфаев Д. Р., Математическая теория рассеяния. Общая теория, СПб.: СПбГУ, 1994.

34. Albeverio S., Geszte^y F., H0egh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. Providence: AMS Chelsea Publishing, 2005.

35. Averin D. V. Adiabatic Quantum computation with Cooper Pairs // Solid State Comm. ,1988. - v. 105, №10 - P. 659-664.

36. Bosko M.F., Herr A.M., Feldman V.J. Prospects for quantum coherent computations using superconducting electrons //IEEE Trans. Appl.Supercond. 1-997. - ,v. 7 - P. 3638n3641771. Ij, ■

37. Feynman, Simulating Physics with Computers 11 Int J Theoretical Physics.- 1982. Vol. 21, Nos. 6/7. - P. 467-488.

38. Gortinskaya L.V. Many particles problems for quantum layers // Proceedings of Int. sem. "Days on Diffraction". 2006. - P. 218 - 225.

39. Gusarov V.V., Popov I.Yu. Flows in two-dimensional non-autonomous hyases in polycrystalline system. // IL, Nuovo Cimento. 1996. - V.18D. N7. - P.799-805.

40. Higuchi Y. Shirai T. The spectrum of magnetic Schrolinger operators on a graph with periodic structure // J Funct. Anal. 1999. - Y.169. N 2. - P. 456-480.

41. Ioffe L.B., Geshkenbein V.B., Feigelman M.V. et al //Nature. 1999. - v. 398.- P. 679. , «

42. Gilbert D. J., Pearson D. В., On subordinacy and analysis of the spectrum of onedimensional Schrodinger operators // J. Math. Anal. Appl. 1987. -V. 128N.1-P. 30-56. '

43. Solid state quantum computing. IBM research project.1.L.C-C.Ahttp://www.research.ibm.com/sscomputing ,

44. Kuchment P., Graph models for waves in thin structures. // Waves Random Media. 2002. - V. 12 N.4 - P. 1-24.

45. Khan S., Pearson D. В., Subordinacy and spectral theory for infinite matrices // Helv. Phys. Acta 1992 - V. 65 N.4 - P. 505-527.

46. Lobanov I., Popov I. // Journal of Physics: Conference Series. 2008. - V.t129.-P. 012048.

47. Loss D., DiVincenzo D.P. // Phys. Rev. A. 1998 - V. 57 N. 1 - P. 120126.

48. Mehta M. L. Random Matrices and the Statistical Theory of Energy Levels.- New York, London: Academic Press, 1967.

49. Naboko S. 'N., Uniqueness theorems, for operator-valued functions with positive imaginary part, and the singular spectrum in the selfadjoint Friedrichs model // Ark. Mat. 1987. - V. 25 - P. 115-140

50. Naboko S. N., Solomyak M., On the absolutely continuous spectrum of a family of operators appearing in the theory of irreversible quantum systems // submitted Proc. London Math. Soc.

51. Popov I. Yu., Gortinskaya L. V., Gavrilov M. I. et al. // Письма в ЭЧАЯ. -2007. т.4, №2(138) - С. 237-243.

52. Rao C.N.R., Nath M. Inorganic nanotubes // Dalton Trans. 2003. - P.12-43.

53. Richardson J. L.7/ Computer Physics Communications. 1991. - V. 63 . -P. 84-94.

54. Roco M. C. Societal Implications of Nanoscience and Nanotechnology: NSET Workshop Report. W. ( Sims. Bainbridge National Science Foundation, Arlington, Virginia, 2001.

55. Seligman Т.Н., Verbaarschot J.J! Energy-Level Statistics of Integrable Quantum Systems // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.56. - P. 2767.

56. Smilansky U., Irreversible quantum graphs // Waves Random Media. -2004. V. 14-P. 143-153.

57. Tanamoto T. Quantum gates by couplpd quantum dots and measurement procedure in Si MOSFET // LANL. 1999 - E-print quant-ph/9908021. -p. 5. ■ • rJt

58. Turing, A.M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem.// Proceedings of the London Mathematical Society. 1936.-V.2 N.42:230-P. 65. - ,

59. Yiu C., Wang J. //Journal of Applied Physics. 1996. - V. 80, № 7 -P.4208-4210.

60. Yoshikawa, Hasegawa K.,< Fukyda Т., Suzuki K. // 23 Annual Conf. on Composites, Advanced Ceramics, Materials, and Structures: B. 1999. -V. 20.1. 4.-P. 275.

61. Yung M.-H., S.C.Benjamin, S.Bose // PJiys. Rev. Lett. 2006. - V. 96. - P. 220501-> > i 79