автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Суммы функций конечного множества и среднемерное моделирование

ОД РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Вычислительный центр

На правах рукописи

ВОРОБЬЕВ Олег Юрьевич

УДК 519.95

СУММЫ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА И СРЕДНЕМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

05.13.16 - применение математических методов, математического моделирования и вычислительной техники в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1993

РабоI а выполнена

н Вычисшп'олыюм Центре СО РАН н г. Красноярске

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Григорьев Ю.Н.

Защита сос тои тся 23 ноября 1993 года в 15 часов на заседании специализиронанного совета Д 002.10.02 по присуждению ученой степени доктора наук при Вычислительном центре СЮ РАН (630090, Новосибирск, пр. акад. Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Вычислительного центра СО РАН (Новосибирск, пр. акад. Лаврентьева, 6).

доктор физико-математических наук Куцепогий К.П.

доктор физико-математических наук Нициашвили Г.Ш.

Подущая организация Вычислительный центр РАН,

г.Москва

Автореферат разослан

1993 года.

Ученый секретарь'' специализированного совета

Г.Й.Забиняко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

(несколько вводных замечаний)

Актуальность темы.

Диссертация состоит из двух частей, в первой из которых излагается теория сет-суммирования — исчисление сумм функций конечного множества, а во второй — теория среднемерного моделирования процессов распространения и ее приложения в построении вероятностных моделей распространения пожаров.

Теория сет-суммирования разработана автором в 1990 году в связи с необходимостью решения проблем, которые постоянно возникали и возникают в среднемерном моделировании и имеют отношение к исчислению вероятностей событий, связанных со случайными конечными множествами и множественными случайными процессами. Значимость сет-суммирования становится все очевиднее по мере расширения сферы его применения — от теории множеств, комбинаторики и теории вероятностей до среднемерного моделирования и статистической механики.

Разработанная автором в 70-х, 80-х годах и ориентированная прежде всего на прикладные исследования теория среднемерного моделирования представляет собой методы решения произвольных математических задач посредством генерации случайных конечных множеств и оценки их среднемерного ожидания — аналога математического ожидания случайных величин. Теория среднемерного моделирования возникла при решении практических задач, связанных с моделированием распространения пожаров и эпидемий.

Проблема борьбы с лесными пожарами имеет важное значение для экономики. Существующие математические модели этого стихийного явления можно разделить по используемому математическому аппарату и по их назначению. Первая группа объединяет модели физико-химических процессов горения лесных горючих материалов, дающие в итоге скорость движения фронта пожара. Во вторую группу входят модели динамики контуров низовых лесных пожаров, которые основываются на принципах механики сплошной среды и дают в результате контур пожара.

Ни в первую, ни во вторую группу не входят вероятностно-конечно-множественные модели распространения пожара, которые предложены автором в начале 70-х годов и которые основаны на предположении, что состояние пожара описывается случайным множеством. Вероятностно-конечно-множественные модели распространения позволяют расчитывать не только все характеристики, доступные упомянутым выше моделям, но

и дополнительные (необходимые как в теории, так и на практике) характеристики: средние скорости движения фронта, среднее множество захваченных пожаром участков, и в особенности такие недоступные для детерминированных моделей характеристики, как вероятности достижения и захвата пожаром отдельных участков и множественные отклонения пожара от средней формы.

В отличие от первых двух групп вероятностно-конечно-множественные модели случайного распространения, учитывают наиболее характерные особенности процессов распространения пожаров и позволяют применить их, например, еще и для описания математически родственных процессов распространения эпидемий. В то время как модели первых двух групп, основанные на специфичных предположениях, не расчита-ны на то, чтобы учесть те аналогии между двумя явлениями: пожар и эпидемия, которые, по мнению автора, всегда представляет наибольшую ценность для математика.

Как теория сет-суммирования, так и среднемерное моделирование, являют собой удачный, на взгляд автора, компромисс между требованиями повседневной практики научных исследований и компьютерными технологиями. Первая в качестве теоретической основы, а вторая — как практическая реализация идей конечно-множественного анализа в компьютерной математике. Алгоритмы и методы, разработанные на основе предлагаемых подходов, можно использовать на любом современном персональном компьютере.

Цели работы.

Существуют две основные цели диссертации — во-первых, создание аппарата суммирования функций конечного множества, ориентированного на использование в теории множеств, комбинаторном анализе, теории вероятностей, статистической механике и, главным образом, в сред-немерном моделировании; во-вторых, разработка теории среднемерного моделирования процессов распространения, применимой к целому классу явлений от лесных пожаров до эпидемий.

В цели диссертации входит также практическое использование и внедрение полученных результатов как в теоретические, так и в прикладные области.

Общие методы исследований.

Общие методы исследований основаны на использовании теории множеств, комбинаторики и теории вероятностей для разработки аппарата суммирования функций конечного множества и его применения в теории случайных конечных множеств, в средпемерном моделировании случайного распространения, лесной пирологии, эпидемиологии и других прикладных областях. Основная часть математического аппарата разработана непосредственно в диссертации.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертации составляют самостоятельное направление — теория суммирования фупций конечного множества, хак основа конечно-множественного анализа в дискретной математике, и среднемерная теория в математическом моделировании. В рамках этого направления возможно не только построение эффективных вероятностно-конечно-множественных моделей распространения, но и описание в этих моделях существенных аналогий между различными явлениями природы.

Результаты диссертации могут быть использованы в теории вероятностей — для построения распределений случайных множеств, в комбинаторном анализе — для решения перечислительных задач, в теории множеств — при исследовании вычислимых множественных отображений, в прикладных задачах логики — для визуализации произвольных логических функций на персональных компьютерах. Практические приложения касаются, главным образом, среднемерного моделировании в пирологии (в том числе, в лесной пирологии) и в эпидемиологии. Работа полезна как математикам, так и исследователям в других областях, работающим с множественными объектами статистической природы.

Работы по среднемерному моделированию распространения лесных пожаров проводились в рамках целевой комплексной программы 0.Ц.027, утвержденной постановлением ГКНТ л АН СССР N 474/250/132 от 12 декабря 1980 года, соответствующий пакет прикладных программ сдан Госкомиссии и передан для использования в Институт леса и древесины СО РАН. Комплекс программ прогноза развития пожаров в зданиях передан по хоздоговору N 5 от 08.12.83 ВНИИ противопожарной обороны МВД с фактическим экономическим эффектом 134 тыс.руб. (1983 г.). Компьютерная система "Пожарный тренажер" СПТ-2.0, предназначенная для руководителей предприятий и комиссий по чрезвычайным пожарным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий, рекомендован?

Штабом ГО Красноярского края для внедрения на предприятиях города и края и передана для использования ряду предприятий г.Красноярска

Апробация работы.

Результаты диссертации по сет-суммированию докладывались и обсуждались на семинарах Вычислительного центра СО РАН в г.Красноярске (1990-1992), Института прикладной математики ДВО РАН в г.Хабаровске (1989), кафедры алгебры и логики Красноярского государственного университета (1990), на семинаре по комбинаторной теории Красноярского политехнического института (1990), на семинаре по комбинаторному анализу Московского государственного университета (1990), на семинаре "Алгебра и логика" Новосибирского государственного университета (1992), на семинаре "Теория вероятностей" Института математики СО РАН (1992), на международном семинаре "Статистика случайных процессов" (Обервольфах, Германия, 1991).

Результаты диссертации по среднемерному моделированию докладывались и обсуждались на 6-м, 7-м и 8-м Всесоюзных совещаниях по проблемам управления (Вильнюс-1973, Минск-1977, Таллин-1980), 7-м Всемирном конгрессе ИФАК (Хельсинки,1978), 7-й Всесоюзной научно-практической конференции "Горение и проблемы тушения пожаров" (Москва, 1981), 2-м Междунородном симпозиуме по системному анализу и моделированию (Берлин,1985), на 1-м Всемирном конгрессе общества Бернулли (Ташкент, 1986).

Публикации.

Основные результаты работы изложены в двух статьях в Докладах РАН (1991, 1992), и в монографиях "Среднемерное моделирование" (Наука, Москва, 1984) и "Сет-суммирование" (Наука, Новосибирск, 1993). Всего по результатам диссертации опубликовано 26 работ.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из двух частей (состоящих из восьми глав), списка литературы (64 наименования), списка обозначений и предметного указателя. Объем диссертации — 213 страниц.

Обзор содержания диссертации.

СУММЫ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА.

В первой части работы рассмотрены результаты по теории сет-суммирования, впервые опубликованные автором в 1990 году [19] и развитые им в последующих работах [20 — 26].

Подмножества конечного множества образуют решетку, или булеву алгебру. Для них естественны понятия теоретико-множественных операций и отношений. На решетке конечных множеств можно определить меру, в том числе считающую меру (мощность), а также произвольную аддитивную или мультипликативную функцию. Основные объекты изучения в первой части диссертации — некоторые классы сумм вида 12ее-рФ(Е), где V — конечная совокупность конечных множеств, а Ф — ограниченная числовая функция на V, чаще всего аддитивная или мультипликативная. Эти суммы названы в работе сет-суммами.

К основным целям диссертации в области сет-суммирования относятся следующие три цели. Во-первых, построение аппарата суммирования функций конечного множества (исчисления сет-сумм). Во-вторых, конструирование вычислимых распределений случайных конечных множеств, основанных на сет-суммировании (сет-распределений). Понятие вычислимости сет-распределений понимается как существование точных конечных и удобных формул и алгоритмов их вычисления в духе конструктивной математики (D.H.Тростников, Э.Энгелер). В-третьих, применение аппарата сет-суммирования и сет-распределений в среднемерном моделировании.

Техника исчисления сумм по множественному индексу (сет-сумм) — это некий изоморфизм техники суммирования по числовому индексу. Обычно такие суммы отличаются от сет-сумм появлением под знаком суммы комбинаторных фунуций. Исчисление сумм по числовому индексу достаточно полно развито в комбинаторном анализе ( М.А. Айгнер, Г.П. Его-рычев, Г.Дж. Райзер, Дж. Риордан, Дж.-К. Рота, К.А. Рыбников, В.Н. Сачков, Р.Стенли, В.Е.Тараканов, М.Холл, Г.Е.Эндрюс, С.В.Яблонский ), где давно известна функция Мебиуса ') и такой фундаментальный результат, как принцип включения-исключения, или формула обращения Мебиуса. Исчисление сет-сумм, называемых статистическими суммами, часто используется в работах (Р.А.Минлос, К.Престон, Я.Г.Синай), где изучаются конфигурации частиц, распределения этих конфигураций и другие проблемы статистической механики, имеющие отношение к конечным или счетным множествам. Обзоры работ по экстремальным

•) Möbius A.F. — J.Reine angew. Math., 1832, Bd. 9, S. 105-123.

задачам о подмножествах конечного множества приведены в ряде работ (В.К.Леонтьев, П.Эрдеш и Дж.Спенсер), где рассматриваются задачи о максимальном или минимальном размере совокупностей подмножеств, ограниченных условиями, связанными с пересечением, объединением, непересекаемостью, дополнением, включением, мощностью, или мерой (число элементов). Имеются в виду, например, задачи об оптимальных кодах, исправляющих ошибку, задачи о блок-схемах, задачи о делимости в теории чисел и т.п. Проблемы, связанные с сет-суммами, естетственно и постоянно возникают в комбинаторных вероятностных задачах ( А.Д.Коршунов, М.И.Нечепуренко, Л.Я.Савельев ). Существует связь между сет-распределениями, конструируемыми сет-суммами, и распределениями случайных множеств, которые конструируются емкостями Шоке ( К.Деллашери, Ж.Матерон, Д.Г.Кендалл, П.- А.Мейер, Ж.Серра, Г.Шоке, Д.Штойян ). Эта связь будет рассмотрена автором в следующих работах. Сет-суммирование может также оказаться полезным в теории рго<2мс<-интегрирования ( Р.Д.Гилл ).

Первая глава содержит стандартные для всей работы обозначения и соглашения. Во второй главе вводится понятие интенсиональной т-м операции, изучаются ее свойства и устанавливается изоморфоизм, сохраняющий интенсиональную операцию. В главе 3 излагается та часть теории меры, которая справедлива на пространствах конечных множеств, и в том объеме, который необходим для целей настоящей работы. Здесь же вводится понятие аддитивного и мультипликативного продолжений области определения функции с синглетонов до всего пространства конечных множеств.

Глава 4 содержит общую технику сет-суммирования функций конечного множества, начиная с ряда тривиальных результатов и кончая формулами исчисления сет-сумм по квази-сет-отрезкам. В этой главе рассмотрение ограничено аддитивными функциями, мульт-функциями, мерами и мульт-мерами, имеющими в качестве своих аргументов сет-индексы суммирования.

В главе 5 строится последовательность конструкций, позволяющая в конечном итоге получить формулу исчисления основной сет-суммы аддитивных функций, мульт-функций, мер и мульт-мер от сет-интенсиональной операции над сет-индексами суммирования по нескольким видам квази-сет-отрезка: сет-отрезку, (^-сет-отрезку и сет-разбиению.

Конструкция основной сет-суммы, ее свойства и формулы исчисления опираются на работы автора [19 — 26]. Первоначально эти конструкции возникли в теории случайных конечных множеств и ее приложениях [8 — 13], в особенности в исследованиях свойств линейных, плоских "и объем-

ных емкостей и параемкостей Шоке в конечном варианте [7, 8, 10]. Вместе с тем основную сет-сумму, по-видимому, можно использовать для построения теории распределений случайных конечных множеств с самого начала [13, 21, 23, 25]. Некоторые вопросы, связанные с сет-распределсниями случайных конечных множеств, рассмотрены во второй части работы. Однако полностью эта программа не входит в цели данной работы, хотя будет наверное реализована в дальнейшем.

Кроме того, можно проследить довольно прозрачную аналогию между формулами сет-исчисления и формулами обращения Мебиуса, однако, если последние связывают между собой только мощности террасок сет-вектора, то формулы исчисления сет-сумм связывают мощности террасок и мощности сет-операций со взвешенной мощностью семейства конечных множеств, определяющего область суммирования. Наконец, в настоящее время можно обозначить дальнейшее развитие сет-исчисления и построение более общей теории для сет-аддптвалиг. функций.

СРЕДНЕМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

Во второй части работы рассмотрены результаты по среднемерному моделированию, полученные автором в 70-х, 80-х годах и опубликованные в работах [1 — 18].

Среднемерное моделирование — это почти всегда численные методы решения математических задач путем генерации СКМ и статистических оценок их средних геометрических характеристик. Ниболее развиты к настоящему времени методы среднемерного моделирования случайной геометрии процессов распространения. Существующие задачи математического моделирования случайной геометрии разнообразных явлений распространения можно различать по виду исходной информации о наблюдаемом феномене, по характеру случайных флуктуаций и по целям, преследуемым при решении задачи. Методы среднемерного моделирования применимы к вполне определенному классу таких задач, отличительные черты которых рассматриваются ниже.

Логика теории среднемерного моделирования отличается от логики традиционного математического моделирования и существующих методов статистического описания. Сформулируем общие принципы, положенные в основу среднемерного моделирования.

Вероятностно-конечно-множественные системы. В зависимости от мощности системы случайных частиц можно разделить на три характерных типа: чисто случайные, вероятностно-конечно-множественные и системы статистической механики. Системы, названные в работе вероятностно-конечно-множественными, по своей мощности занимают проме-

жуточное положение между чисто случайными системами малой мощности и системами статистической механики, мощность которых позволяет применять законы больших чисел. Мощность вероятностно-конечно-множественных систем лежит в пределах ориентировочно от 102 до 107. Оказывается, что при математическом описании именно таких промежуточных систем нередко возникает необходимость (и появляется возможность) оценки средней геометрической формы случайного множества частиц. Этого нельзя сказать о других системах: чисто случайные системы обычно легко поддаются классическому вероятностному исчислению, но для них не имеет смысла понятие средней формы множества частиц; системы статистической механики хорошо описываются предельной теорией и занимаются описанием эволюции форм, которые в предельном варианте имеют почти детерминированный характер и для описания которых не имеет особого значения понятие средней формы. Только промежуточные вероятностно-конечно-множественные системы порождают своеобразный тип распределений СКМ, для которых возникает и остается существенной характеристикой средняя форма случайного множества частиц. В связи с этим одной из главных особенностей математического исследования вероятностно-конечно-множественных систем является отказ от непрерывных математических моделей и разностных схем в пользу дискретных конечно-множественных моделей и среднемерного моделирования.

По своим физическим свойствам вероятностно-конечно-множественные системы относятся к неравновесным системам, в которых протекают переходные и необратимые процессы в условиях сильного отклонения от равновесия.

Абстрактная теория множеств. Математический аппарат средне-мерной теории не предполагает какой-либо структуры в пространстве множеств, кроме разве лишь измеримой структуры. Любое множество, помещено ли оно в пространство, размеченное какой-либо структурой, или расположено в неструктурированном пространстве, описывается в среднемерной теории классическим способом, характерным для абстрактной теории множеств: перебором и указанием тех точек, которые принадлежат данному множеству.

Независимость понятий среднемерной теории от тех или иных структур пространства множеств приводит, с одной стороны, к приятной возможности рассматривать множества самой произвольной природы, а с другой стороны, затрачивать одинаковые усилия как для описания простых, так и сложных множеств. Кроме того, все результаты полученные в рамках абстрактной теории могут быть при необходимости без труда

интерпретированы и для дескриптивной теории множеств с той или иной структурой л пространстве множеств.

Словарь срсднсмериого моделирования. Существенное отличие логи-кч ср "лне.мерного моделирования от традиционных подходов заключается в систематическом использовании такого нововведения в теории вероятностей как понятие среднемерного ожидания СКМ, которое положено в основу всей среднемерной теории, играет для СКМ роль математического ожидания и предназначено для описания средней формы СКМ. Кроме того, в среднемерной моделировании используются и ряд других средних множественных характеристик СКМ, таких, как ядро, база и медиана СКМ. Эти понятия становятся в диссертации основными элементами того, что можно назвать новым математическим словарем — словарем среднемерного моделирования.

Шестая глава содержит результаты по тео-.-мЧ случайных конечных множеств (СКМ). Кратко излагается сталдагг.ч;^ для данной теории система обозначений ячеек (которыми "размечаете 1" пространство конечных множеств) — удобный инструментарий для операций над множествами. Вводятся понятия вероятностей некоторых событий, связанных со случайными множествами: вероятности фиксации, включения, пустого пересечения, размытости, покрытия и непокрытия. Даются определение и основные свойства СКМ независимого объединения, и СКМ независимых точек. Вводятся понятия простейших средних множественных характеристик: ядро и база СКМ. Особое внимание уделяется понятиям среднемерного ожидания и медианы СКМ. Доказаны утверждения об экстремальных свойствах среднемерного ожидания и медианы относительно среднего расстояния (математического ожидания меры симметрической разности) от СКМ.

В седьмой главе демонстрируются возможности теории сет-суммирования в конструировании распределений СКМ, названных в работе сетп-распределениями, и в исчислении вероятностей событий, связанных с этими распределениями. Доказана теорема об исчислении условной основной сет-суммы и теорема о сет-распределениях, которые позволяют исчислять вероятности практически всех событий о СКМ, имеющих сет-распределение. Приведены примеры исчисления сет-распределений в ряде частных случаев.

Восьмая глава посвящена краткому изложению результатов, полученных в области приложений: как в среднемерной теории моделирования, так и в практическом использовании моделей случайного распространения в пирологии и эпидемиологии. Дано определение процесса случайного распространения (ПСР) и рассмотрены его основные свойства. Иссле-

дованы свойства вероятностей достижения и захвата ПСР фиксированных множеств и вероятностей перехода ПСР из состояния в состояние. Получены результаты, касающиеся сет-распределений состояний ПСР .в рамках введенной в работе классификации ПСР. В заключение главы рассмотрено практическое использование моделей случайного распространения, вопросы идентификации моделей, прогноз реального распространения и компьютерные системы среднемерного моделирования, в том числе, компьютерная система "Пожарный тренажер".

Приведенный список литературы по среднемерному моделированию включает лишь часть работ, которые, на взгляд автора, наиболее существенны с математической точки зрения и соответствуют теме диссертации. Основные понятия теории СКМ опираются на работы автора [5 — 13, 15, 16]. Сет-распределения СКМ рассматриваются в работах [13, 21, 23, 25]. Исследованиям по моделям случайного распространения посвящены работы [1 — 6, 10, 11, 15, 17, 18].

Вместе с тем теорию сет-распределений СКМ, по-видимому, можно использовать для построения общей теории ПСР. Полностью эту программу автор намерен выполнить в дальнейшем.

Краткое изложение результатов диссертации.

СУММЫ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА.

Пусть X — конечное множество, М = 2х — множество всех его подмножеств, £п — множество вершин единичного гиперкуба размерности п > 0, Оп = 2е" — множество всех подмножеств £„, Е = (Е1,..., Е„) € Мп = М. х ... х М — сет-вектор произвольных подмножеств X,

Ее = (Е)е = ПД<«> 6 М, ее £п, 1

— Е-терраска, определяемая для произвольного сет-вектора Е 6 Мп, и вершины е е £„, где = Е{, Е{{0> = Е? = X - Уг = 1,..., п.

Интенсиональная теоретико-множественная операция — это отображение ае : М" > Л4 прямого произведения Мп в М. ( однозначно определяемое подмножеством вершин е С £„ ), которое УЕ 6 Мп вычисляется как

ее с

— непересекающееся объединение е-террасок сет-вектора Е £ Мп по всем е £ е. Положим а5(Е) = (аС1(Е),..., ает(Щ) : Мп «-> Мт. Это сет-интенсиональная операция.

Понятие интенсиональной теоретико-множественной операции является конечным частным случаем операции над множествами, впервые рассмотренной А.Н. Колмогоровым (1922) и названной Ф. Хаусдорфом (1927) Ss-операцией. Позже аналогичные теоретико-множественные операции были рассмотрены JT.B. Канторовичем и Е.М. Ливенсоном (1932), а также A.A. Ляпуновым (1953), который назвал их аналитическими. Наконец, Ю.С. Очан (1942) и И.М. Паровиченко (1981) ввели понятие кирпича семейства множеств, котороё аналогично понятию терраски сет-вектора.

Аддитивная функция — это ограниченная числовая функция т] на М, такая, что для любых А, В G М г)(А П В) + rj{A U В) = т?(Л) + rj(B). Мультипликативная функция (мульт-функция) — это ограниченная числовая функция в на М, такая, что в(АПВ)в(АИВ) = 0(А)в{В) для любых А,Ве М.. Мера — это аддитивная функция ¡л на М, такая, что ц(ф) = 0. Мульт-мера — это мульт-функция и на М, такая, что и(ф) = 1.

Аддитивное и мультипликативное продолжение ограниченной числовой функции Ф, определенной только на синглетонах {i} С М., до функции [Ф]п, или [Ф]п> определенной на всем 1 — это функции, вычисляемые VjB 6 Л4 по формулам

№(*)= Е «({*}) [Ф]п(в)= п *({*»•

{*}С В [х)С В

Цель сет-теории — вывод общих формул исчисления основной сет-суммы

' _ m _ £ ЕФ<(«/.(Б))ПФ,К(Е))

Е6Т>1=1 J=1

по совокупностям трех видов — сет-отрезку:

V=S = Sn(A) = {Е 6 Мп : ф С Е С А},

0-сет-отрезку:

Т=Т= SW(A) = <S„(A) Г) {Е е М" : Ei П Es = ф, i ф j}, и сет-разбиению:

V = 71 = 4*1(1) Ab А) = 5|fl(Ä) П {Е 6 М" : ¿Д = См<}, 1 1 1

для произвольного сет-вектора А 6 Мп, произвольных аддитивных функций (мер) Фь ..., Ф/, мультипликативных функций (мульт-мер) Ф],..., Фт на М, и произвольных сет-интенсиональных операций ат, ав, где Г = (/ь ...,/;) 6 0'п, ё = (еь ..., ет) еО„ш- "вершинные" сет-векторы.

Теорема (исчисление основной сет-суммы — суммирование мер и мульт-мер сет-интенсиональной операции по сет-отрезку, ^-сет-отрезку и сет-разбиению). Пусть А £ М.", — меры, VI,..., —

мульт-меры на А4, ау, ащ — сет-интенсиональные операции на Л4? со значениями из Л41 и Л4т соответственно. Тогда справедливы три формулы исчисления основной сет-суммы по сет-отрезку Б, по ф-сет-отрез-ку Т и по сет-разбиению 71:

I _ т _

_Е £№(«/,(Е)) П",-К(Е))= П ^(А) Е

Ее5,=1 те£„ £б£„

_Е £М«/,(Ё)) П чЫЩ) = п Е ¿Ш,

Е6Т'=1 7б£„ се£„

I т

_Е Е«(ол(Е))П^К(Е))= П Е

Кен '=1 з=1 7б£п ее£п

где v1,vlí, и" — мульт-меры Уу е а — меры Уе € £„, кото-

рые полностью и известным образом определяются исходными мульт-мерами 1/1,..., vm, мерами ..., и сет-операциями ау и а5.

Аналогичная теорема справедлива для аддитивных функций и мульт-функций. В диссертации доказаны в общих предположениях конкретные зависимости между мерами, мульт-мерами и сет-операциями из левых и правых частей формул исчисления основной сет-суммы. Вид этих зависимостей иллюстрируется в ряде простых случаев.

Следствие. Пусть сц, ае — монотонные сет-операции, А = (Л,...,у1) 6 Мп — диагональный сет-вектор, каждая компонента которого равна А £ М.. Тогда

Е ^(а/(Е))1/(ае(Е))

Ее5

]ес|+|еМп(Л)х

\ес Л /| + |е О /\и

1 |ес| + \е\и

(А),

Е Ма/(Е))^(а.(Е)) =[1 + |еС П + \е П

Еб Г

\есП/П£М\+\е П/П£р1М

1 4- |ес П £п+ |е П €п'\и

_Е иЫЩ>ЫЩ) =[|еС п + |е п гМ|,]п(Л)х

е ея

|есП/п4Ч| + |еП/П^]|И

{Л),

ес П £п+ |е П

(Л),

В частности, при v = 1 на М получаем: Е es

_Е м(«/(Е)) = í/n^,Jí(n + í)^-V(^),

Eer Еек

— формулы для исчисления сет-сумм меры монотонной интенсиональной операции по сет-отрезку 5, <^-сет-отрезку Т, и сет-рабиению 7Z.

СЛУЧАЙНЫЕ КОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА

И СРЕДНЕМЕРНОЕ ОЖИДАНИЕ.

Пусть X — конечное множество, М. = 2х - множество всех его подмножеств, Т> = {D : D С Д1} — некое разбиение этого конечного множества на непустые подмножества, рассматриваемое в качестве его аппроксимации. Классы конечных множеств вида:

D° = {А е М : АГ) D = ф), D1 = {А 6 М : Ас П D = ф},

D2 = {А 6 М : AriD ф ф,Ас Л£> ф ф},

названы ячейками пространства конечных множеств М- относительно разбиения V. А именно, Da — ячейка пустого пересечения, D1 — ячейка включения, D2 — ячейка размытости. Кроме того, при помощи этих ячеек конструируется ячейка непустого пересечения: Dn = Dl + D2, ячейка невключения:

В02

= D° + D2, и ячейка фиксации: D01 = D° + D1, а также ячейка А0В1 = А0 П В1 = {Е е М : В С Е, Е П А = ф} = [В, А°\ — {Е 6 М : В С Е С Ас} называемая сет-отрезоком конечных множеств. Из определения следует, что пространство М. представимо в виде объединения непересекающихся ячеек: М- — D° + D1 + D2, где D — элемент некоторого разбиения V. Рассматриваемые в работе аппроксимации пространства М, позволяют работать со всем этим пространством, с каждым его элементом, возможно включенным в одно из подмножеств V, различая в Л" не более, чем элементы разбиения Т>.

Случайным конечным множеством (СКМ) К = (М., 2/И, Р) именуется измеримое отображение некоего вероятностного пространства в измеримое пространство {М., 2м).

Обычно предполагается, что\М £ М. известна вероятность Р(К — Л), а вероятность Р (В) может быть подсчитана VB 6 2м ввиду конечности пространства конечных множеств М. Никаких других уточняющих

определений о вероятности Р на 2м не дается. Хотя конечность ситуации может и вызвать недоумение в необходимости таких определений, в данной работе они рассматриваются в рамках теории сет-распределений. Причина заключается в следующем. С одной стороны, конечность пространства значений упрощает ситуацию и устраняет, казалось бы, все теоретические препятствия на пути вычислений той или иной вероятности. Но если иметь в виду практические задачи, то даже в простейшем варианте (например при 1^1 = 100) мощность пространства значений имеет астрономический порядок, ставящий в тупик и современные компьютеры, а трудности вычисления VВ С М. вероятности Р(й) превращаются в проблему, неразрешимую в традиционной теории. Эта проблема рассмотрена в седьмой главе, посвященной сет-распределениям случайных конечных множеств, в исчислении которых не существует указанных трудностей.

Будем считать, что кроме маргинального распределения случайного конечного множества К задано и совместное распределение случайного сет-вектора К = (К\,..., К„), составленного из СКМ. Введем специальные обозначения для вероятности

.....(ОТ,• • •,V?) = е о?,...,кп е ОД,

где £ {0,1,2}. Если и,- 6 {0,1}, то эти вероятности именуются вероятностями фиксации случайного сет-вектора К = (Лт,..., Кп) на сет-векторе О = (£>1,... ,£>„). Если п = 1, то речь идет о вероятности включения", тт/^!)1), вероятности пустого пересечения: тг/с(£)0), и вероятности размытости: пк(&2). Если И = {х} — синглетон, то эти вероятности естественно именуются: 7Гц{х) — вероятность покрытия точки х; и 1 — хк(х) — вероятность непокрытия точки х.

Рассмотрен простейший тип СКМ, вероятностные распределения которых не только особенно просто, симметрично и наглядно зависят от вероятностей ячеек включения, пустого пересечения и размытости, но и часто оказываются необходимыми моделями в приложениях. Важный частный случай СКМ н.о. — так называемое случайное конечное множество независимых точек — возникает при точечном разбиении V = {{х} : х € X}, т.е. когда элементами V являются синглетоны. В этой ситуации система А совпадает с М = 2х, вероятность любого А 6 М. зависит только от вероятностей покрытия и может быть вычислена по давно известной формуле

Р(К = А) = Р(К 6 П П {*}') = П (!-**(*)) П **(*),

хеАс х£А 16 Ас хеА

связывающей вероятность отдельного значения СКМ независимых точек К с вероятностями покрытия этим СКМ точек из X.

Заметим, что впервые СКМ независимых точек было использовано в указанном смысле в работе автора [1] в 1973 году для описания модели локального распространения пожара из точечного очага.

Рассмотрено понятие среднего множества, играющего роль математического ожидания, и потому именуемого в данной работе среднемерным ожиданием случайного множества. Понятие среднемерного множества, введенное автором в середине 70-х годов [2], сразу же нашло отклик в ряде работ по теории вероятностей и ее приложениям, в которых анализировались метрическая (А.И.Орлов), измеримая (С.А.Ковязин) и компактная (Д.Штойян) ситуация, и получило развитие в последующих работах автора [5, 6, 10, 11, 12, 16] для конечной ситуации. Конечный вариант, на наш взгляд, содержит полноценные и содержательные ростки всех теоретически и практически значимых проблем, возникающих в предельных ситуациях. Более того, детальное исследование конечных моделей в среднемерной теории постоянно служит мощным первоисточником новых оригинальных понятий и идей. Основным результатом является теорема об экстремальных свойствах среднемерного ожидания, минимизирующего симметрическое отклонение ровно в такой же степени, в какой математическое ожидание минимимзирует эвклидово отклонение.

Пусть (Х,Л4, /1) — измеримое конечное пространство с ограниченной мерой, такой, что ц{х) > 0 для всех х £ X. Для случайных конечных множеств отображение К «—> ц(К) измеримо и р,(К) — случайная величина с математическим ожиданием, которое может быть вычислено по давно известной теореме Роббинса Е(1{К) = Е кк{х) /л(х), где

х£Х

л/<(х) = Р (К 6 {ж}1) = Р(К Эх) — вероятность покрытия точки х 6 X случайным конечным множеством К. Как математическое ожидание меры СКМ

Е,л(К) = £ Р(К = А) ц(А) ,

' АШ

так и моменты меры Ецп{К) рм~п(Кс) вычисляются (тривиальное обобщение теоремы Роббинса при N = п = 1) через вероятности фиксации

кк{х?,...,хшм") = Р(К 6 П {*,}«<): 1=1

Е^{К) Ц»-"{КС) = Е ... £ ПК**),

^¡ех хкех ¡=1

где из — произвольная вершина гиперкуба £ .у, такая, что = п.

Использованы некоторые стандартные сокращения для обозначения множеств уровня функции вероятности покрытия на X: {т>к > h} = {х £ X : ттк(х) > h} и т.п. Кроме того, множество bas К = {тгц > 0} названо базой СКМ К, а множество ker К = {тгк = 1} — ядром СКМ К. Показано, что множества уровня функции вероятности покрытия на X обладают экстремальными свойствами относительно СКМ К и метрики на М., определяемой мерой симметрической разности. Пусть V/t £ [0,1]

SK{h) = {тгк > h}1 П {тгя < h}°.

Множество А £ М. названо минимальным относительно СКМ К всякий раз, когда выполнены два условия:

1) В Sk[Ii), h £ [0,1], есть множество с мерой, равной ц(А).

2) Для всех В £ М, таких, что р(В) = /((Л), выполнено:

Ец(К&А) < Ец{КЬВ).

Теорема (об экстремальных свойствах множеств уровня функции вероятности покрытия). Множество А £ M минимально относительно СКМ К всякий раз, когда А принадлежит одной из ячеек Sx(h), h £ [0,1].

Показано, что абсолютно экстремальными свойствами среди всех минимальных множеств обладают множества из ячейки Sk( 1/2):

Лемма. Неравенство Eji(KAA) < Ец(К&В) справедливо для любого СКМ К иВеМ всякий раз, когда А £ 1/2).

На основании леммы дано корректное определение простейшей средней множественной характеристики СКМ, которая аналогична медиане случайной величины. Медианой СКМ К названо семейство конечных множеств

med. К = {тгк > 1/2}1 П {тгк < 1/2}° = SK(l/2).

Медиана случайного конечного множества К — это семейство множеств, абсолютно минимальных относительно СКМ К, т.е. минимальных на всем пространстве конечных множеств М. Если {тгд- = 1/2} = ф, то медиана med К состоит из единственного множества {жк > 1/2}. Медиана всегда непуста и содержит, по крайней мере, множество {тгд- > 1/2}, возможно пустое. Перед определением центрального нововведения среднемерной теории, доказана лемма, указывающая на корректность этого вновь вводимого понятия.

Лемма. Для любого А £ [0, ц{Х)] найдется такое h\ £ [0,1], что

/¿W > ^а} < А < жк > hx}.

И:. леммы следует, что для любого СКМ К, найдется такое кЕ 6 ¡0,1|, что ц{пк > ЬЕ} < Е/1(К) < ц{тк > Если в качестве

взять любую точку отрезка

Лед*) = тш'"{/г: ^ > М*)}. КЦк) = : > М >

то существует такая ячейка Б^Ь-е) = {я^ > Ьв}1 П {тт^ < Лв}0, что

Ец(К) е

min и(А), тах и(А), AesK(hE)' v ' AesK(hE)'

= > ЬЕ},ц{жк > Л£}].

В силу данного замечания корректно следующее определение. Семейство конечных множеств именуетя среднемерным ожиданием СКМ К и обозначается

jK={*h>hE}1 П Ьг* <hE}\

Umax

всякий раз, когда hE Е [/»ад/f), ^ед/с)J-

Для произвольного Л ячейка ^(/гд) — это семейство минимальных множеств, которые находятся в среднем на наименьшем расстоянии от СКМ К среди всех множеств из ЛЛ, мера которых совпадает с мерой множеств из iS/f(/i>). Среднемерное ожидание Jl< — это семейство минимальных множеств, находящихся в среднем на наименьшем расстоянии от СКМ К среди всех множеств из М, мера которых совпадает с мерой множеств из Sx(hE), т.е. содержится в интервале [/¿{я/с > hE}, /¿{тк > hE}j, содержащем среднюю меру СКМ К.

СЕТ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ.

Пусть Р(А' | А") = |е £ Т^А') : öf(E) = А" j - одна из трех условных областей сет-суммирования: S*(А | А') = <S„(A') П Л4£(А ) - условный сет-отрезок; ¿^(А* | А") = SM(A') П М£(А") - условный ф-сет-отрезок; lU'.-.ä' | Ä") = II А'и Ä') П M?(Ä") - условное

сет-разбиение, где А") = |е 6 Мп : «r(E) = А"| С М" - условная

сет-совокупность из Л4п. Указанные условные области сет-суммирования определяются основным сет-вектором А £ .Vi". ограничивающим сет-вектором А" 6 Мк, и сет-условием aF(E) = А где : .М" » Мт -

ограничивающая сет-операция. Основная сет-сумма, которая исчисляется в сет-теории, позволяет немедленно не только сконструировать целый класс совместных распределений случайных конечных множеств:

р/ту /1(а?(Ё)Мае(Е))

^ ^ _ Е^ р(аг{Е)Мав(Е))'

Еер(А)

которые названы сет-распределениями, но — исчислять УА, В £ М." вероятность наиболее употребительных событий: Р(А С К С В), в том числе, вероятность совместного (п > 1) покрытия синглетонного сет-

вектора: Р({х} С К), (где {х} = },..., 6 Мп сет-вектор,

составленный из синглетонов) и вероятность обычного (п = 1) покрытия точки.

—п п

Исчисление для любого сет-вектора А С и А\ вероятности

Р(аг(К) = А") = £ Р(К = Е) = ЕеР(Г 1 Г}

/1(аг(Е))Р(аё(Е))

*рсг,Г> ^ИЫЩРЫЩ) '

опирается на основную теорему сет-суммирования и на теорему об исчислении условной основной сет-суммы, которая будет сформулирована ниже. Класс условных сет-совокупностей, определяемых данным сет-условием, настолько богат, что включает практически все мыслимые сет-совокупности. Действительно, в это класс входят сет-совокупности, позволяющие исчислять вероятность диагонали:

Р(Кг = ...= К„ = А) (к = 2, г, = г2 = А" = А, = А)-,

вероятность разбиения:

= А) (к = 2, п = 44 г2 = Ф, А'! = А, А1 = ФУ,

1

вероятность пирамиды сет-покрытия

Р(^соуеГ](К),..., соуег„(К)) = А")

(к = п, г, =£<'),...,г„ = £("), А«Э...ЭА"Я); маргинальные сет-распределения:

Р{К, = А), i=l,...,n (* = 1, г, = С А'1 = А)-,

совместное сет-распределение:

Р(К = А") (к = п, п гп = £Х).

Теорема (об исчислении условной основной сет-суммы). Пусть А' 6 М" - основной сет-всктор, А" £ М." - ограничивающий сет-вектор, г £ С?* - ограничивающий "вершинный" сет-всктор из основного сет-условия, соответствующий монотонной ограничивающей сет-операции: ог(Е) = А , определяющей условную основную сет-область суммирования одного из трех видов: Б = 5;(А | А ) - условный сет-отрезок, Т = | А") - условный О-сет-отрезок, 72. =

у Л';, А' | А") - условное сет-разбиение. Пусть ур = (у,р) £ £п+к, ет =

(г, тг) £ £„+<, - вершины единичного гиперкуба размерности п + к составленные из вершин 7, е £ £„, р,7г £ £).

Тогда справедливы следующие формулы сет-суммирования по условному сет-отрезку:

£д(аг(Ё))1/(а5(Е)) = Ц £ /1„(Л'е П Л",),

по условному ф-сет-отрезку:

ЕР(«г(Ё))^(а5(Ё)) = П ПА%) Е ¿(^ПД),

Т 7р€£п+к ехеЕп+к

и по условному сет-разбиению:

Е/г(аг(1))Р(аг(Е))= П £ ^(А'сПА"х),

71 уреЕгч-к сяе£„+к

где иур, и^, и"р — мульт-меры Уур £ £„+к, а — меры Уетг £

£П+Ь которые полностью и известным образом определяются исходными мульт-мерами «/[,..., мерами ..., щ и сет-операциями ау и а5.

В диссертации доказаны в общих предположениях конкретные зависимости между мерами, мульт-мерами и сет-операциями из левых и правых частей формул исчисления условной основной сет-суммы. Вид этих зависимостей иллюстрируется в ряде простых случаев.

Следствие 1. (о сет-распределениях). Пусть сет-операции под знаком сет-сумм и ограничивающая сет-операция монотонны. Тогда УА С уА'{ справедливы следующие формулы исчисления вероятностей

для сет-распределения на сет-отрезке Б^А'):

п иур(А',ПА"р) Е 11„(А'еПА\)

Р(°'(К> - Г> - — л ^ТмА',)-'

7££„ ее£„

для сет-распределения на ф-сет-отрезке З^(А'):

П <0,1(А'7ПЛ%) Е /£,„., (А'еПЛ",)

РЫК) -А ) --п Е ЫЛ.)-'

тее» еее„

для сет-распределения на сет-разбиении уА',-, А*):

П <ДА'7ПА"Р) Е /4(А'£П А\)

РЫК) = А") =

п 1/»(Л'7) Е /х?(А'е)

ее£'„

Следствие 2. (о частных сет-распределениях). Пусть в условиях теоремы I = 1,т = 0, к = 1 (т.е. функция под знаком сет-суммы равна: ¿¡(а/(Е)); а ограничивающая сет-операция определяет основное сет-условие, которое имеет вид: аг(Е) = А на М), сет-операциип/,аг монотонны (т.е. О £ /, 0 ^ е), А — (А', ...,А!) 6 М.п - диагональный сет-вектор.

Тогда УА" С А' справедливы следующие формулы исчисления вероятностей для сет-распределения на сет-отрезке ¿¿[(А):

Р(аг(К) = А") = 2-"(И'1-1)|ГС||Л'-Л»||Г||Л»|Х /|/Пгс1 М(А'-А") |/Пг| 1*(А")\

VI/1-й /«(А) 4/1-И /*(А')У'

Ли сет-распределения на ф-сет-отрезке ^М(А'):

Р(аг(К) = А") = (п+ 1)-"^'Н)(|гсП£[1]| + 1)1л'-л"1|г п41!||А"'х

1/Пг^п4"1 р(А'-А") 1/Пгп4"|

П £п'| • (|гс П £п+ 1) /*(А) )/П • |гП^11!| №))' для сет-распределения на сет-разбиении у А';, А*):

Р(аг(К) = А") = П£[Ч|)|Л'-А»||Г П£[Ч(|Л»|Х

*(

|/Пгсп4'11 М(А'-А") [ |/Пгп4"1

1/П^11! •(|гс'П^1)|) /*(А) №))'

МОДЕЛИ СЛУЧАЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ.

В работе рассмотрены завершенные результаты, образующие частную теорию, которая основана на теории случайных конечных множеств и их сет-распределений и которая позволяет проводить построение и анализ необходимых на практике моделей распространения. Эти вероятностно-конечно-множественные модели учитывают наиболее характерные аналогии между явлениями распространения и потому пригодны для описания процессов распространения различной природы: от пожаров до эпидемий. Для математического описания средней эволюции системы случайных частиц, которую договорено в работе относить к вероятностно-конечно-множественным системам, необходимо прежде всего описать пространство состояний этой системы и правила перехода системы из состояния в состояние. Чтобы учесть случайность во взаимодействии частиц между собой состояние системы удобно описывать неким СКМ так, чтобы эволюция всей системы определялась последовательностью СКМ

{ка,...,ки...} = {ки г е Т},

каждое из которых имеет вид К = (М,2м,Р), Т — множество целых неотрицательных чисел. Последовательность СКМ, считается в работе полностью заданной всякий раз, когда задано пространство состояний М, множество временного параметра Т и все конечно-мерные распределения семейств СКМ {Ко,..., К^. Числовые характеристики последовательности СКМ — это обычные числовые характеристики случайных величин Т{Кг), где Т — некий функционал на Л4, например, мера. Наиболее существенными характеристиками случайной геометрии последовательностей СКМ являются средние теоретико-множественные характеристики СКМ: база, ядро, медиана и среднемерное ожидание. Использование этих характеристик требуется всегда, когда интерес представляет средняя форма некоторой развивающейся случайной системы частиц, относящейся к вероятностно-конечно-множественным системам.

Процесс случайного распространения (ПСР') определен автором в начале 70-х годов [1], как частная последовательность случайных конечных

множеств {Кг, < £ Т}, связанных сет-зависимостью К1+[ = и <5*, где

хе К,

{¿>1, х £ X] — некое поле СКМ, независимых в совокупности. Распределение каждого СКМ из данного поля полностью определяется вероятностями покрытия

Рх(у) = Р(уеЗх) = тг6х(у),

которые отличны от нуля не более, чем для конечного множества точек из некоторой окрестности каждой точки х £ Х\ рх(у) = 0 для всех

точек у 6 X — Опоскольку изначально предполагается, что СКМ е>х для любого х £ X имеют независимо-точечное распределение, т.е. \Л4 £ М

Р(5, = л)= ПРХЫ П (1-Р.(У))-

уел

Фундаментальное значение для исчисления вероятностей, связанных с ПСР, имеют вероятности достижения и захвата процессом в момент £ некоторого заданного множества А £ М, т.е. вероятности:

Г'^ПАфф), Р(#£Э А),

для которых доказаны неравенства:

Р (К1 П Афф)> шахтах), Р{Кг Э А) < пцпяк,(х),

разумеется, справедливые для любых СКМ, а не только для СКМ Кг — состояния ПСР в момент I.

Пусть рь{А) = Р(К1 П А = ф) - вероятность непересечения £ М, тогда

р4+1(А) = Р(*1+1 ПА = ф\ К1ПА = ф) р,(А) = с1+м(А) • р«(А),

где

= Е Р и S. П а = ф Р(ЛГ, = В)

вслс Wfl /

— условная вероятность, причем в силу независимости Vx £ X СКМ Sx

Р( U s* ПА = <£)=[1-р]п(Я,А)-

I ев

Обозначено (В)i = U О, — множество точек, достижимых с нену-16 в

левой вероятностью из очага В за 1 шаг; (£)«+1 = U Ох — мно-

хе(в),

жество точек, достижимых с ненулевой вероятностью из очага В за <4-1 шаг; (А)1 = {х £ X : Ох П А ф ф} — множество очагов, из которых множество А достижимо за 1 шаг с ненулевой вероятнотстью; (A)'+1 = {х £ X : Ох П (А)' ф ф} — множество очагов, из которых множество А достижимо за t + 1 шаг с ненулевой вероятностью. Значение функции

[1 - Р]п (В, А) = [1 - р]п (В П (А)1, А П (B)i),

зависящее от двух множеств А, В £ М, можно рассматривать как значение некоторой мульт-меры и,\ на множестве В £ М :

•м(В) = п va{X)= п П (!-?.(»))■

*ея х еВуеА

Доказано, что условная вероятность ct+it(A) представима в виде сет-суммы

Й+1 ,((Л) = £ Р{Kt = В) иА(В), ВСАс

где va — мульт-мера на М.

Доказываются факты, которые касаются переопределения области задания некоторых мульт-функций и необходимы при конструировании! сет-распределений ПСР.

Лемма. Пусть 9 — мульт-функция на М, такая, что 9(ф) ф О, a кег в = {х £ X : 0({а;}) == 1} — ядро мульт-функции в на М. Тогда функция ф на М., такая, что Vß £ М

ф(В) = 9 (В U кег 9) [1 - 0]п ((В U кег 9)с),

— это мулът-функция на М, причем ф(ф) ф 0.

Отсюда вытекает, что можно ввести в рассмотрение новую функцию множества: ф$, определенную не на всем М, а только на сет-отрезке [ф,{кег в)с} = Мв = 2x~kcr \ положив VE £ Mo Фв(Е) = ф(Е + кег 9). Следовательно, имеются все основания для исчисления сет-суммы на Мв'.

£ МЕ) = МФ) Í1 + фэ/фе(ф)]и ((кег 9)с).

ЕС(кег в)с 1 ' JU

Мульт-функция фв случае, когда в — мера, определяет на Mg для любого Е £ Мв = 2х~кег 9 некоторое СКМ Kg = (Мв, 2М,,Р) с сет-распределением, таким, что Vi? £ Мв

Р(Кв = В) = [1 - б]п ((кег в)с) [0/(1 - 0)]п (Е), иными словами, для любого сет-отрезка [ф, А] £ 2м'

Р(Кв £ [ф, Л]) = [1 - б]п ((кег в)с - Л).

Допустим, что СКМ Kt, образующие ПСР с очагом X £ М (т.е. Р(К0 = X) = 1), имеют для каждого t £ Т соответствующее сет-распределение, определяемое некоторой мульт-функцией V'f, такой, что фь(ф) ф 0:

Р (Kt = В) = ф<(В)Мг\

где .А/« = Е Фч(В) — нормирующий множитель. вэх

Появляется возможность исчислить вероятность достижения процессом некоего множества А £ М- с помощью сет-суммы. Действительно,

Pt(A)=Nt-1 £ ф((В).

ХСВСАс

Пусть

Ф.=

1 +

МФ)

ФГ =

1 +

Ф&А

ш\

— мульт-меры на М., тогда, полагая А равным некоторому синглетону {у} 5 М. получим

Фш(Ш) = ф<({»>)ф?({»>) [|]п (*С)"{-/}Р0

— рекуррентное соотношение, позволяющее последовательно, начиная с

< = 0, вычислять мульт-меру Ф( на X, а, следовательно, и сет-распределения СКМ Кь, образующие исходный ПСР.

Функцию Л на М2 можно определить, как некую мульт-меру на М2 по каждому аргументу, такую, что Ух, у € Л"

А({х},{у}) = 1-Р(^Эу)

— это вероятность непокрытия точки у & X случайным конечным множеством <$х, или вероятность недостижения процессом точки у из очага х за 1 шаг.

Полагая \Д4, В 6 М

а(В,А) = Р(АГ,(В) Э Л),

получим на М} функцию

а(В,А)= П (1- ПО "<*({*}.{»}))]

уча \ гев )

— вероятность захвата процессом, начавшимся в очаге В 6 М. множества А £ М за 1 шаг (мульт-мера по второму аргументу).

На М.2 определяется функция у как вероятность перехода процесса из очага В в множество Л за 1 шаг, такая, что УА,В 6 М. у (В, А) = Р (Кг(В)=А).

В силу известных характеристических свойств ПСР справедливо вероятностное соотношение: у (В, А) = а(В,А) Х(В,АС).

Предлагается простейшая классификация процессов случайного распространения, в основу которой положены ядра СКМ х € X, определяемые как множества:

кег вх = {у € X : Э у) = 1} £М.

В соответствии с этой классификацией все ПСР можно разделить на три больших класса:

безъядерные — кет = ф, Ух е Х\ ядерные — кет 5* ф ф, Ух е Л"; смешанные — Эх, у £ X : Лег = ф, кет ф ф.

Ядерные ПСР делятся на три подкласса:

синглетонно-ядерные — | кег »У = 1, Ух 6 X; центрально-ядерные — кег Э {х}, Ух 6 Х\ централъно-синглетонно-ядерные — кег Бх = {х}, Ух £ Х\

В данной работе рассмотрение ограничивается только ядерными ПСР, в основном — центрально-синглетонно-ядерными, иногда — центрально-ядерными.

Для центрально-синглетонно-ядерных ПСР рг(у) = Р(£г Э у) < 1, Ух ф у, поэтому Ав({г/}) = П (1 - Рх{у)) Ф О,У у 6 Вс, и, следовательно,

хЕВ

Ав{Вс) ф 0.

Обозначая г((В, Е) = Р(К^В) = Е) — вероятность перехода ПСР из очага В в множество Е за í шагов, получаем

п{В,Е)= £ т^{В,А)-1а{Е),

ВСАСЕ

Ъ(В,Е)= £ т,-1(А,Е)-7в(А). ле[в, (В),1

Отсюда в частном случае 1 = 2 имеем:

га(В,Я) = £ 1в(А)-п(А,Е),

вслс(в),

где

Г1(В,Е) = ув(Е) = Р(К1(В) = Е). Таким образом, справедливы, например, следующие представления вероятности перехода ПСР из очага В в множество Е за 2 шага в виде сет-сумм:

г2{В,Е)= £ ув{А)1А{Е)= £ 7в(АУГл(Е),

ВСАСЕ ВСЛС(В)!

которые могут быть использованы в рекуррентных построениях для вычисления сет-распределений ПСР.

ПРАКТИКА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ.

В заключение рассмотрено описание общих методических подходов, которые используются в практике построения моделей случайного распространения. Методы и алгоритмы среднемерного моделирования реальных процессов распространения опубликованы автором в работах 70-х, 80-х годов [1 — 18].

Распространение пожаров и эпидемий. Пожары и лесные пожары подразделяются по своим размерам и мощности: низовые пожары, отдельные пожары, пятнистые пожары, групповые пожары, сезонные пожары, подземные (торфяные) пожары, крупные пожары, верховые пожары. Частые пожары характерны, главным образом, в весенне-осенние периоды для местностей и погодных условий с очень высокой вероятностью возгорания и большим количеством сухих горючих материалов. Крупные пожары характеризуются широким распространением горения, охватывающим значительный территории районов, соседних краев, а иногда и нескольких областей. Типичным примером таких пожаров являются сезонные пожары, ежегодно охватывающие обширные территории.

Эпидемические процессы подразделяются по своей интенсивности: спорадическая заболеваемость, очаговость, эпидемическая вспышка, сезонная эпидемия, местная эпидемия, широко распространенная эпидемия, пандемия. Пандемическое распространение свойственно инфекциям, к которым чрезвычайно высока восприимчивость населения, преимущественно с коротким сроком инкубации болезни и не оставляющим прочного постинфекционного иммунитета. Пандемии характеризуются широким распространением инфекционного заболевания, охватывающего территорию всей страны, сопредельных государств, а иногда и многих стран мира. Типичным примером такой пандемии является грипп, пандемии которого повторяются периодически.

При описании эпидемий обычно используется терминЬлогия удивительно, на первый взгляд, похожая на терминолгию, которая употребляется при описании пожаров. Для эпидемиологии характерны такие ключевые слова, как эпидемический очаг (очаг заразной болезни, очаг инфекции), носитель инфекции, процесс распространения (передачи) инфекции, инкубационный период (срок инкубации болезни), восприимчивость к инфекции, вероятность заражения, риск (опасность) заболевания и т.п. Для каждого из перечисленных ключевых слов в эпидемилогии имеется пирологический эквивалент. Действительно, в порядке перечисления: очаг пожара, горючие материалы, процесс распространения (передачи) горения, период подсушивания горючего материала при пожаре, воспламеняемость, вероятность возгорания, риск возникновения пожара.

Эпидемический процесс определяется в эпидемиологии как цепь следующих одно за другим инфекционных состояний — процесс передачи инфекции от больных (источников, носителей, очагов инфекции) здоровым.

Пожар в пирологии определяется аналогичным образом — это цепь следующих одна за другой стадий горения —. процесс передачи горения

от горящих материалов (очаги горения) к еще не горящим.

Полная аналогичность терминологии, простирающаяся и на мероприятия, которые предназначены для борьбы с эпидемиями и пожарами и именуются противоэпидемическими и противопожарными, имеет корни в глубоком математическом родстве процессов. Именно эти математические особенности приведенных примеров реального распространения учитывают модели случайного распространения, рассматриваемые в данной работе.

Кроме указанных, существует много других феноменов, характерные черты которых описывают модели случайного распространения. Мы имеем в виду явления, происходящие в пространственных структурах, динамика случайной геометрии которых тесно связана с их формой. Например, экологические процессы, связанные с распространением различного рода загрязнений окружающей среды (химические вещества, нефтепродукты и т.д.); промышленные процессы (распространение разрушений пород вокруг горной выработки); процессы в химии (распространение пространственных и поверхностных химических реакций); процессы в биологии: динамика формооборазования и т.п. Все эти процессы с точки зрения математика имеют общие характерные черты, которые позволяют использовать для объединяющего их описания модели случайного распространения.

Подчеркнем лишний раз одну из главных особенностей всех процессов, описываемых моделями случайного распространения — это случайный характер распространения, который очевиден для лесного пожара — явления стихийного, который проступает и в ключевых словах (вероятность, риск), укоренившихся в эпидемиологии. Именно, случайная форма распространяющихся структур — это фактор, выделяющий те явления, для которых общим математическим описанием могут служить предлагаемые в работе модели случайного распространения, в корне отличающиеся от существующих детерминированных моделей тем, что за счет строгого вероятностного описания позволяют корректно учитывать в простой математической структуре характерные особенности реальных процессов распространения самой разнообразной природы.

Идентификация ПСР и прогноз реального распространения. Для сред-немерного прогноза реального распространения на основе ПСР (модели случайного распространения) необходимо знать все сет-распределения СКМ, составляющих поле

(1) {5, : х 6 X},

поскольку предположение независмости в совокупности этих СКМ избавляет нас от необходимости знания их совместного сет-распределения.

Более того, напомним, что обычно в среднемерном моделировании делается еще одно предположение из разряда предположений независимости: предполагается, что каждое СКМ из данного поля имеет независимо-точечное сет-распределение, что позволяет полностью определять данные СКМ заданием функций вероятности покрытия на некоторой окрестности каждой точки исходного множества X.

Имеющиеся в настощее время технические средства дают возможность оперативно получать информацию о геометрии реального распространения и окружающей еги среды.

Допустим, что оперативные данные о геометрии реального распространения — это множества

(2) У1 С ... С Г„,

которые соответствуют последовательным экспериментальным состояниям процесса в моменты 1\,...,1Л, а данные о геометрии окружающей среды — это карта участков территории, однозначно определяющая разбиение всей территории (моделью которой является множество X) на такие элементы

(3) Х1,..., Хт,

что все точки из каждого элемента разбиения обладают однородными в пределах данного элемента свойствами относительно своей способности к распространению. С математической точки зрения это означает, что сет-распределения СКМ 6Х совпадают всякий раз, когда точка х 6 X лежит в пределах некоторого одного элемента разбиения Хх (г = 1,..., ш). Следовательно, весь ПСР полностью определяется т сет-распределениями СКМ из поля (1).

Задача конечно-множественной идентификации ПСР — по деющимся исходным данным (2) и (3) заключается в оценке сет-распределений СКМ из поля (1) (что эквивалентно оценке соответствующих этим СКМ вероятностей покрытия) для каждого элемента разбиения.

Задача среднемерного прогноза реального распространения из текущего очага А С X на глубину г по территории (3) сводится к статистической оценке среднемерного ожидания СКМ КТ(А) для ПСР, который определяется сет-распределениями СКМ (1), полученными в результате решения задачи идентификации.

В настоящее время разработано несколько методов идентификации и алгоритмов среднемерного прогноза реального распространения, ориентированные на использование персональных компьютеров. Эти результаты опубликованы автором в ряде работ [1 — 6, 10, 11].

Компьютерные системы срсднемерного моделирования. Разработкой компьютерных систем автор занимается с начала семидесятых годов. С течением времени и развитием вычислительной техники развивались и компьютерные системы среднемерного моделирования: от пакетов прикладных программ, предназначенных для больших компьютеров серии ЕС и персональных компьютеров первых моделей, до компьютерных систем, ориентированных на современные персональные компьютеры.

На основе рассмотренных выше методических подходов к настоящему времени автором разработано несколько пакетов прикладных программ и компьютерных систем идентификации и прогноза на основе среднемерного моделирования. Во-первых, пакеты прикладных программ, входящие в компьютерную систему "Прогноз", установленную в Институте леса и древесины СО РАН (г.Красноярск) и предназначенную для анализа информации о лесном пожаре и расчета прогноза его распространения по элементам ландшафта; во-вторых, аналогичные пакеты, используемые для частичной замены натурных экспериментов при проведении научных исследований и практических работ во ВНИИ противопожарной обороны МВД России (г.Москва); в-третьих, компьютерная система "Пожарный тренажер", устанавливаемая на компьютере, совместимом с IBM PC, предназначенная для руководителей предприятий и комиссий по чрезвычайным пожарным ситуациям и используемая в системе ГО на ряде предприятий и организаций г.Красноярска.

Эффективность алгоритмов программного обеспечения компьютерных систем в области лесных пожаров проверена при идентификации модели и расчете прогноза распространения для контролируемых лесных пожра-ров. Необходимая исходная информация (карта экспериментальных множеств пожара, содержащая семь (п = 7) множеств, и карта элементов ландшафта, содержащая четыре (т = 4) участка) предоставлена Институтом леса и древесины СО РАН. Наибольшая протяженность контролируемого пожара 1.9 км, площадь 33 га, длительность распространения 4.5 часа. Идентификация проводилась по трем экспериментальным множествам. Полученные в результате индентификации вероятности покрытия для СКМ, описывающих локальное распространение горения на элементах ландшафта, были использованы для расчета среднемерного ожидания состояний ПСР и затем сравнивались с четырьмя (оставшимися из семи исходных) экспериментальными множествами. Уровень средней ошибки прогноза, расчитанной по нескольким критериям для четырех различных прогнозов, составляет 15 процентов и попадает в допустимые в лесопо-жарной практике интервалы. Аналогичная практическая проверка эффективности алгоритмов индентификации и прогноза компьютерных систем

в области пожаров на промышленных территориях и в зданиях проведена на основе экспериментальной информации (карта множеств пожара и схемы зданий), предоставленной ВНИИ противопожарной обороны МВД России. Детальное описание практической проверки эффективности расчетов, проводимых с помощью указанных выше пакетов прикладных программ и компьютерных систем на основе моделей случайного распространения и среднемерного моделирования, приводится в книге автора [49].

В 1990 году автором разработана компьютерная система "Пожарный тренажер" (СИТ, верная 2.0), предназначенная для информационного обеспечения руководителей предприятий, осуществляющих координацию профилактических, оперативно-ликвидационных, спасательных, аварийно-восстановительных, эвакуационных и других видов работ на предприятии при борьбе с крупными промышленными пожарами и ликвидации их последствий. Данная система может быть использована руководителями комиссий по чрезвычайным пожарным ситуациям (ЧПС) различных уровней, а также в штабах гражданской обороны (ГО) при подготовке, формировании и обработке оперативной информации о ликвидации последствий чрезвычайных пожарных ситуаций.

СПТ 2.0 позволяет:

— расчитывать сценарии распространения пожара,

— создавать библиотеку схем территории,

— выбирать фрагмент территории;

— создавать библиотеку карт пожаров;

— задавать и корректировать характеристики горючего,

— создавать библиотеку параметров горения;

— моделировать стратегии борьбы с пожаром;

— проводить подготовку и обучение персонала профилактическим п оперативным методам борьбы с пожаром.

Программные средства СПТ 2.0 разработаны для персональных компьютеров, совместимых с 1ВМ РС/АТ и устанавливаемых на рабочем месте пользователя. Размер стартового пакета СПТ 2.0 составляет 370 К. Максимальный объем памяти, необходимый для загрузки и развертывания стартового пакета СПТ 2.0 не презышает 1 М (выполняемые файлы — 300 К, стартовые библиотеки — 700 К). Объем оперативной памяти, требуемой для нормальной эксплуатации компьютерной системы СПТ 2.0, не превышает 640 К.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

(несколько заключительных замечаний)

Первая часть диссертации посвящена теории сет-суммирования (исчисление сет-сумм функций конечного множества), разработанной автором в 1990 году и опубликованной в книге [24] и в других работах [19 — 26]. В ней вводятся стандартные обозначения и дается краткое, но полное изложение интенсиональных теоретико-множественных операций, предназначенных для использования в теории сет-суммирования. Излагается та часть теории меры и мультипликативных функций, которая справедлива на пространствах, содержащих в качестве элементов конечные множества. Перед рассмотрением общей теории развивается интуиция в отношении частных приемов сет-суммирования функций конечного множества (аддитивных, мультипликативных, мер и мульт-мер). Эти приемы относятся к классу сет-сумм, в которых сет-индекс совпадает с аргументом суммируемой функции. Изложенные результаты имеют самостоятельный интерес и, кроме того, используются в последующем как вспомогательные технические приемы при выводе формул исчисления сет-сумм функций от сет-интенсиональной операции. Все предшествующее изложение — это введение в общую теорию сет-суммирования, в рамках которой, благодаря применению некоторых простых новых идей удается описать исчисление сет-сумм достаточно широкого класса. К наиболее общим из них относятся сет-суммы функций от интенсиональной операции. Имеется в виду сет-суммирование аддитивных функций и мульт-функций, мер и мульт-мер конечного множества, получающегося в результате произвольной интенсиональной многоместной теоретико-множественной операции над сет-индексами суммирования.

Вторая часть диссертации посвящена теории среднемерного моделирования, разработанной автором в 70-х, 80-х годах и опубликованной в 1984 году в книге [11] и в других работах [1 — 18]. Рассматриваются результаты по случайным конечным множествам (СКМ), среди которых основной интерес представляет различные понятия среднего множества. Первое такое понятие было введено автором в середине 70-х годов, названо среднемерным множествоми привлекло внимание специалистов по теории вероятностей и ее приложениям. Это новое для теории вероятностей понятие аналогично понятию математического ожидания и в данной работе оно иногда именуется среднемерным ожиданием случайного множества. Кроме того, рассматриваются другие введенные автором понятия средних множеств: ядро, база и медиана СКМ. Для связного изложения теории случайных конечных множеств с точки зрения среднемерных

ожиданий необходимы некие вспомогательные понятия и обозначения, которые касаются пространств конечных множеств и их разбиений на ячейки и которым посвящены первые параграфы шестой главы. Далее демонстрируются возможности теории сет-суммирования в конструировании класса распределений СКМ, которые названы сет-распределениями, и исчислении вероятностей событий, связанных с этими распределениями. Затем рассматриваются результаты среднемерного моделирования, которые касаются частных моделей случайного распространения и основаны на теории случайных конечных множеств и их сет-распределений. Общая теория процессов случайного распространения, введенных автором в начале 70-х годов, в настоящее время еще не построена. В диссертации рассматриваются завершенные результаты по процессам случайного распространения, касающиеся вероятностей перехода ПСР из состояния в состояние, а также вероятностей достижения и захвата случайным распространением фиксированных подмножеств. Эти результаты образуют частную теорию, позволяющую проводить построение и анализ необходимых на практике моделей распространения. Данные модели, отнесенные в диссертации к вероятностно-конечно-множественным, учитывающие многие аналогии в феномене распространения, посредством которого начинается процесс возникновения формы, пригодны для описания процессов распространения различной природы: от пожаров до эпидемий.

В конце второй части кратко рассмотрены вопросы идентификации моделей случайного распространения, практическое использование этих моделей в пирологии и эпидемиологии, а также подробное описание компьютерной системы "Пожарный тренажер", разработанной на основе сред-немерной теории.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Литература по среднемерному моделированию:

1. Воробьев О.Ю. Математическое описание процессов случайного распространения и управление ими // Изв. СО АН СССР.- 1973.- N 13, С.145-152.

2. Воробьев О.Ю. Определение вероятностей распространения горения и оценка средних контуров лесного пожара //В кн. Охрана лесных ресурсов Сибири. Красноярск: Ин-т леса и древесины СО АН СССР, 1975, С.43-67.

3. Воробьев О.Ю. Модели состояний некоторых распределенных вероятностных процессов,- Изв.СО АН СССР.- 1976.- N 8.- С.90-94.

4. Воробьев О.Ю. Методы моделирования процессов случайного распространения // Изв.СО АН СССР.- 1976.- N 3,- С.105-113.

5. Воробьев О.Ю. О множественных характеристиках состояний распределенных вероятностных процессов // Изв.СО АН СССР,- 1977.- N 3.- С.3-7.

6. Воробьев О.Ю. Вероятностное множественное моделирование распространения, перемещения и взаимодействия // Дисс. ... канд. физ. мат. наук,- 1979.- М.: МАИ.- 156с.

7. Воробьев О.Ю. Пространства конечных множеств и их покрытия.-Красноярск: Препринт ВЦ СО АН СССР, 1983.- 22с.

8. Воробьев О.Ю. Случайные конечные множества. Линейные и плоские емкости Шоке.- Красноярск: Препринт ВЦ СО АН СССР, 1983.- 33с.

9. Воробьев О.Ю. Аппроксимационные аспекты теории СКМ. Множественные статистики,- Красноярск: Препринт ВЦ СО АН СССР, 1984.-21с.

10. Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование. Процессы случайного распространения.- Красноярск: Препринт ВЦ СО АН СССР, 1984.-19с.

11. Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование.- М.: Наука, 1984.-133с.

12. Воробьев О.Ю. О понятиях средней формы случайных множеств // Деп.в ВИНИТИ N 5258-85.- 1985.- М.:ВИНИТИ. - 24с.

13. Воробьев О.Ю. Распределения случайных конечных множеств и их смеси // Сборник научных статей.- 1990.- Красноярск: КГУ.- С.57-68.

14. Воробьев О.Ю. Элементы ячеистого конечно-множественного анализа // Деп.в ВИНИТИ N 2997-В91,- 1991.- М.:ВИНИТИ - 65с.

15. Воробьев О.Ю. Валендик Э.Н. Вероятностное множественное моделирование.- Новосибирск:Наука.Сибирское отд-ние, 1978.-160 с.

16. Vorob'ev O.Yu. Average measure simulation and cell analysis // Proc. 2 Intern. Symp. "System analysis and simulation".- 1985.- Berlin.- P.369-372.

17. Vorob'ev O.Yu. Finite set description of epidemies. Random Spread Processes //Proc. 1 World Congr. of Bernoulli Society.- 1986.- Tashkent.-P.359.

18. Vorob'ev O.Yu., Ivanilolva T.N. Random displacement processes in morphogenesis models // Proc.7 World Congr. IFAC.- 1978.- Helsinki.- P.513-517.

Литература по сет-суммированию:

19. Воробьев О.Ю. Методы суммирования функций конечного множества // Деп.в ВИНИТИ N 2452-В90.- 1990.- М. ¡ВИНИТИ. - 164с.

20. Воробьев О.Ю. Введение в сет-суммирование // Деп.в ВИНИТИ N 1920-В91.- 1991.- М.:ВИНИТИ.- 24с.

21. Воробьев О.Ю. Меро-мульт-меровые случайные конечные множества // Деп.в ВИНИТИ N 1911-В91.- 1991.- М.:ВИНИТИ,- 25с.

22. Воробьев О.Ю. Сет-суммирование // Доклады АН СССР.- 1991.-Т.318, N 4,- С.785-788.

23. Воробьев О.Ю. Исчисление сет-распределений // Доклады РАН. -1992,- Т.326, N 4,- С.583-588.

24. Воробьев О.Ю. Сет-суммирование. - Новосибирск, Наука, Сибирское отд-ние, 1993', 137с.

25. Vorob'ev O.Yu. Sums of functions on finite sets. Random finite set distributions. // Advances in modelling h analysis.- 1992,- A, Vol.12, N 1.-P.l-46.

26. Vorob'ev O.Yu. Set-summation // Soviet Math. Dokl. - 1991, Vol.43, No. 3, P.747-751.

Подписано в печать ¿s os. 9 3 Формат бумаги 60 х 90 1/16 Закал ¡66

Объем 2 уч. изд. лист Тираж 100 экземпляров

Отпечатано в типографии Вычислительного Центра СО РАН (630090, Новосибирск, пр. акад.Лаврентьева, 6).