автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.07, диссертация на тему:Структурное моделирование по экспериментальным данным: метод селективной идентификации полиномиальной структуры

P16 Oft ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

. ß & ^_______

На правах рукописи

ТОЛ СТО ВА Татьяна Александровна

СТРУКТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ: МЕТОД СЕЛЕКТИВНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ (метод СИПС)

Специальность: 05. ¡13- 07 — «Автоматизация технологических процессов и производств (в металлургии)»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Липецк - 1996

Работа выполнена в Липецком государственном техническом университете. " ' - '

!1аучный руководитель - доктор технических наук, профессор

Кузнецов Л.А,

Офщиалыша ошюайнмг - доктор технических паук, прсфесоор ' Кудинов В.И.;

крушат технических ннук, доцент Холопкша Л.В. . . , ••

Воду «за предприятие - акционерное общество "Новолкпацкий . штеллургический комбинат".

Вшдйта состоится . декабря 1996 года в 10 чаоов „иа заседании спецашщзярйаанного сов&та Д 064.22.02 Липецкого го-Судар^№шюг^егн^тоского университета по адреоу: Э9ва5&.липв№>-. ул.Иосковокая, 30. .

О диссартацвай моиао озяадоюгтьоя а библиотеке Липецкого государ- :, отвакного техвичэокого университета,

Автореферат разослан 19 ноября 199$ Г.

Ученав секретарь

спбциажааарствнного оов©*а . - ; Зайцев^В.О,.

' общая xapaktehfcti¿u работы

' АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОЗЛЗЙЫ., трудно переценить роль матемптичасашх кюдв.гв-« н шчисйа-г&лыш; свстамах любого прожженна. Твхйологача-

" с- ■ г- •

сккв проиеаеы и )грояэЕадствд. явл^ми сцкжшкн объектами автоматизации, исходно ирэдотанлекв прзим^.эотвегш)' зкакрнческкми массива-.

* • • , '....... » .....

ira д?шншс, ^гаста оадостуы» «еяжетг^ аксшркдаптгрсврхпги. Отсюда' особая чувствительность ейстем о теинми об^окт-зка к качеству «математического- оОесиечэкияг рвсурсое!-коста л еф^ктианости алгоритмов и долежи. ."':тгл.гург1й<ескх№тюк81юдо в ¡болнийот»-

вв случаев процессами рэальпого врзкзнл, агл bto?¿ важягл фактором является оперативность модолшровзкия 'иря ^цооком иа'гастш аипрок--. гаашрукцих форзул. • •'.'»••„"•Г'.' ■:".■'. ''.

Модели слозшнх снстега цела сообразно сгрозть пс-одвдоаатольным " раскрытием топологической, структурной а пврамэтротеокой адопредз-леннооти. Доминировав!»}; огдоседдодо' 1мшаая -над гзр&ктричбёюад на качосгао модэяа, а такие кадоотаточкая проработка опрэдэлвимя вешучоой структуры отраден» в труда* по шдеднрсйижп и сгштчш-тахникэ Л.А, Вавилова, 8Д1. Глутасво. .Па.йлара, Я.Я.СонетоБа, В.Б. йксвлэва и других учсаых.

НАУЧНАЯ ПРОБЛЕМА состоит а создан-а. звяки к прнмэиашю методов структурной кдзктафштцзи (мзтсдос ощмдвйаяяя гаршклра-^ аованно'й форею • «шйф^гаескшс' фэрыуя). Решение осувдотаявно:

- разработкой метода структурной ид&тв&кящог в кяюсв миагомар-икх полиномов на основа о!5зодзучкоа нетадойогая системного анзжг.а,"

- развитием идей кластеризации и интеграцией чясдзтшх, • ожаяи-' ческах и инфораацношгых подгадав в единый аппарат оценка- оптадада-

uofi иштакскй'фугьрй сод>.туры. .. . НА. аОДЕГУ ШНЕСЬН оодошюг результат-дас<»ртзц)йШ£ач> иселеяр-панки - раьрпбетвнннй штод сйлбктвваоЗ рдС'Вк&Зикагаи rojbchcki¿u<V'.

ной структуры (метод СШО). Он включает в себя следующие аопекты:

1. Реализация принципа декомпозиции в моделировании посредством построения автономной процедуры структурной идентификации, предшествующей етапу параметрического доопределения модели.

2. Использование кластеризации (звездообразный шаблон) для иденти-(росации составляющих полиномиальной структуры.

3. Принципы формирования подвдборок (кластеров).

4. Критерии идентификации структур. Условия, границы применения. 6. Оценки алгоритмического качества метода. СИПС: сходимость, помехоустойчивость, эффективность.

6. Две трактовки результатов работы метода СИПС: как полиномиальной структура и как цолиномиального базиса аппроксимации.

7. Качественность СЩЮ-моделей (ва счет свойотва непротиворечивости) и их применимость в екстраполяции.

. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ определяется аовкмк возможностями: полиномиальной структурной идентификации, г- структурно-параметрического синтеаа вширических формул, ' - регуляризации математических моделей.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ результатов обеспечивается, с одной стороны, усовершенствованием процесса мЬделирования: модуяьнооть и иерархия этапов ! синтеза модели ( идентификация топологическая -структурная - параметрическая) доставляют надежность, прозрачность и объективность собственно процессу построения моделей. С другой стороны, повышается качество итоговых моделей за. счет того, что, во-первых, при автономной (от параметров) идентификации структуры снижается смещенность структурных оценок (вприорное назначение структурных базисов аппроксимации уступает место объективно выве-

I

данному набору базисных огруктур) и, во-вторых,,за.счет возросшей еушкяатнйоти моделей и наличия у них свойства структурной непроти-варичиноагя. В итоге повшаана эффективность как собственно матемч-

тичаских моделей, так и процедуры моделирования.

АЛМВА'ЯЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Исследования, - зшсхинаннно в тот^сзрт?.!^.-. оформлена в виде алгоритмов г. пакетов пркюшдашх г>ро-гр.-им г, тематике нчучш-исслэдовательской работы (1991- 1335) Тп-апе;;,свайке и разработка новвх информациояюпс технолохий для ПДй' мрогоаятлюнх производств продукции с. наследстевнтгч мезанягяак формирования во свойств" (номер госре-гистрации 01.92.0006421, индивидуальный нои&р 02.96.0002611);'."

"¿оротичеекда и-практические результаты рассматривались в ходе Всероссийского конкурса осииректов на стипендию Президента РФ (присуждена приказом ГК РФ по-высшему образованию от 21.09.1994г. N 950); участвовали во 2-ом Сибирском конгрессе по. прикладной и индустриальной математике (ишь 1996 г.); алгоритмы включаются а учебный процесс студентов специальностей'"Прикладная математика" и "Автоматизированные сиотемы'упраЕЛв1шя".

•ПУБЛИКАЦИИ. Основные таучные положения работы изложены в двух научных статьях, материалах, научного конгресса и отчете по НИР.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация представлена в пяти главах, содержит' введение и заключение в вида общет. выводов. Объем азлоиэння составляет! 101 страницу с 11 рисунками, 12 таблицами, 109 библио: графическими ссылками^ На 26 страницах , имеются пять прюодарнй с расчетами г трактовкой примеров работы метода СИЛО..

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ .

Во введении обосновывается актуальность тзмы диссертации , да -ется краткая характеристика ее результатов, ваносимн* на защиту,, аннотируется содержание работа-по главен. '

Я первой гладе.о целью постановки задачи исследования в об-лир та определения парамо тризованной формы эмпирических формул рассматриваются различные подходи и способы алгоритмизации моделирования по массиву данных £(х5,у >,¿=>1 хсН'^уей), чьи элемен-

тн есть истинные значения наблвдаемых величин (п факторов и функционально зависящэго от них отклика), аддитивно дополненные слу-чяР'ыт помехами в факторах ек , 1=1,... ,п, и случайной составляющей для о.тклика (результат неучтенных систематических влияний).

Отмечается факт многообразия методик при отсутствии практических разработок по идентификации собственно параметризованной

А

формы (структуры) у*у(х) без необходимости расчетов коэффициентов (парамагтюв) модели. Освещается специфика существующих подходов в штроксимрции по данным пассивного эксперимента и их зависимость от наличия, характера и объема априорной информации. Рассматривается традиционная методика синтеза модели с решением проблемы структурной идентификации перебором' (при найденных параметрах) произвольно заданных вариантов' структур и выделения оптимальной модели по наилучшим показателям качества всех вариантов. Указывается, что подобная категоричность априорного постулирования структуры порождает атмосферу замалчивания мотивов выбора, тем самым бездоказательно дискредитируются другие структурные формы и нарушается цельность восприятия моделируемого явления. Таким образом, обосновывается необходимость самостоятельной методики синтеза собственно структуры (структурного базиса) аппроксимации по исходному гмгщричесному массиву данных и при отсутствии какой-либо априорной информации об искомой модели. Отмечается популярность и теоретическая обоснованность гсышномов как важного типа моделей в автоматических к- автоматизированных системах.

Во второй главе в свете системного анализа описывается проб-■ лема структурной идентификации (заранее неизвее~як пярядск ^ п существенность отличия от нуля действительных параметров аг к) г< класса п-марных полиномов

У(х> « У(х) - Рв(х5 « £ • а (!)

V. j.....кио

в качестве альтернативы выбору структуры через ргичет оптимальных лараметров ' принимамтоя возможности кластеризации, метода коньчшх разностей и принципа самоорганизации моделей.

Цель диссертации состоит в разработка метода структурной идеи-та^якмщя,' которой'би определял ог.гимальную степень ■ пппрокишхр;^ п;эго полинома, по возможности регуллризовывзл бы этот ашхрокоимант и при атом не был бы нагружен расчетом оптимальных параметров (что особо ваяю при неодномерности модели).

В качестве теоретических предпосылок выбора стрптегвч решения принят инструментарий конечных разностей, как аппарат активизации . основной теоремы- ■ исчисления 'конечных рвзноотэй - необходимые и достаточного условия восстанавления степени полшюма, пороагдчпцнго исходную выборку при отсутствии в ней существенных нучоЕ. Рассматриваются перспективы обеспечения помехоустойчивости ос:юи -ной теоремн. Показана целесообразность использования статист и->ьиг-' •кил оценок распространения случайных помех по таблицу к имч^х разностей в ходе определения структуры модели. .............

Теоретическим источником является текке приншш ст ции моделей, поддерживающий идею модолировпшч ио исходной рл.'срг ; . ч&раз ее подвыборки (кластеры) и зекладцвашпй свойство иепро-иь'. -речивости в итоговую модель (т.е. итоговкй адпрскскгант опги>'ч;ги: как на всей исходной внборке, твк и на ав частях). Рэссмогр^с. пч-рпзлты регуляризации моделей (выбора иадлучиих сроди доаусп».«.«!.,.

- а -

В итого в целях создания метода структурной идентификации признано необходимкгл соединить подхода теории регрессионного построения эмпирических формул, кластеризации, коночных разностей к ' принципа самоорганизации моделей.

Третья глава посвящена изложению собственно мг-одв селективной вдеятификации полиномиальной структуры.

Сущность метода СИЛС составляют принцип кластеризации исходного массива данных, а также вертикальный и горизонтальный критерии идентификации полиномиальной структуры. В незнаниях критериев отражен принцип "штэрфойса" меаду исходным многомерным массивом данных в алгоритмом структурного оценивания.

В одном случее исходный массив перегруппировывается (звездо-обрасныи шаблон) в необходимый набор подвыСорок (кластеров), каждая из которых есть вариационный ру- по факторам (т.е. упорядоченность но нарабтании или, другими словами, "снизу-вверх", многомерного аргумента), и шекно эта особенность определила стратегию идентификации полиномиальной структур! в вертикальном критерии.

В случае горизонтального критерия алгоритм структурной идентификации построен на .основе данных таблиц конечных разностей, рассчитанных для каждой из указанных подвыборок (название критерия определил характер формирования разностных таблиц - "расширение" Г'.траво). ,

^ Принцип кластеризации Полиномиальная структуре в сочетании о разработанными критериями -идентификации позволяет проводить анализ по шдвыборкам (кластерам), что модернизирует процесс моделирования (при соотвэт-отвутаом условии , формирования необходимых подвыборок). В методе о КС требуется, чтоби кластеризация осуществлялась по звездообразному ааЗлону (см. пример риои).

Математические модели по ¡шномиального класса нелинейны по факторам и линейны по параметрам (см. (1)). Основываясь на этом факте, веодится понятие структурных составлявших.

х (х =оопз^т

Рис.1. Прккор звездообразного шаблона при двумерном аргумента'

Для п-вдрного аргумента-хеВ.",' отображаемого в -зависимую поро-наннув уеп функцией (1 >. называем К-той под номером £ структурной составляющей такую ограниченную сложностью полиномиальную форму группы х"° (х11,1 сю) из к конкретных элементов п-мерного аргумента (кйп),1:рторая"0ирбделяетоа иак

V Vм Е I Х1.....(£)

£ V.....« = о

Число оговоренных х'1" групп элементов при п-мериом аргумент« равно Л' (звездосоразный шаблон при этом будет иметь N лучей, т.е. треков одновременного изменения к элементов п-мерного аргумента при оставшихся (п-к) аастабилизированных):

»-< '

N = Е • ' ■ ^'

г*о ..... . .. , ......

Принятое нами понятие структурной составляющей переносим на выборку (гиперповерхность) эмпирических дашшх, проводя аналога» ■ между структурными составляющими и сечениями этой ииглриааол и по звездообразному шаблону в аргументном пространстве. Т.е., говоря о группе х'из к конкретшк элементов п-шрногс Бргуькшта (или

структурной саоуаклигавй' о погром #), считаем,- что в исходной выборка ■ -»"у ,3-1 нас интересуют гакиэ 4-1'йв Еййллдения, которые саим яря пэазмешшх (ваотабкяиоировап-ааз.) .1»йа«2в>гшсс (п~к) эламеяцш раздаша шосэств {^.....х^Лз:"" _и одт-!0Ерйг;энлз яамацкхгаася (евооодас:) ааач&лиях й в„те,уэ;гтов оп-рвдол-яалЗ груши х'»жаркого аргумента

( 1ИЦ1)» х ^Й/Ц1"} ! л..-соаз* V ) — у. ,

и коюрно образуй? тшвш образом к-норнов (о вомзроа #(см. (?.))) сэчо$п& пгиер-лэвегш-гасти пли подвыборку (кластер) исходной выбор-- • зш Н5 п- мерном ергуковтаок проог'ронотвэ.

При п-м-зрЕои аходэ иэобходжо к доотеточко для' каздох'о из н (см. (Ь)) хагзотар-ов пр:-г®шш> критерия штода СШС, чтобы выделить регуллсзззвдгршз-оптшальной'. слокнэсга полиномиальную структуру, йхгпроксчгарукед'ю аоходаую шбсрку данных. Суть такого выделршш сводогоя 'к иекадени» верхней гразацы (в ) оптимальной слсшюстн ;юлш:сма (по порна?,1у мастеру, в котором одновременно варьируются йсэ Блементк многомерного аргумыие) и иокл&чошис в еэ предела?, слагаемых избыточной слокнасти по астеогвоккему руководству ва<вь<в1, {а,Ь}с{2,3.....ю.

Такова латка кластеризации в ео ориентации на полинсмиаль-иую структурную хщэнтифжацим." 'Алгоритм формирозашхя кластера явоздообраэного шаблона кыевт сладувдий вид. В аргументном прост- -раяства исходной ькборки указываются начальное и конечное значения независимой величины, задающие направление сечения аргум&нтного пространства. В иницяашз1фовакную подвыборку (¿мастер) войдут вм~ хшрнчоские точки с аргументом, отстоящим от заявленной гипердиаго-иаяи ш болае, чем на заданную величину (например, величину погрешности здмзров). Далее определяемся' с количеством строк з таблице конечных разностей (или с кслачастзои шагов (КШ) при выделении

кластера); при ограниченной Шгтерэсвмл~~исследоват£;ля иаксщ.;алыю1 слотаости кодэли (МО), дол*® быть

í.ÍC+1 5« xciu ¡s i..

(in- объэм исходной шборки). Роосчитаааем вэлхлииу постолынпч> мз 'го (ВШ; изменения аргумента: • EU = *¿34)/K¡ü . Входная ин-

формация для таблица коначкак раскоохэй образуется у ер-ууикдам. эмпирических 'эчпчвккЯ зависимой -ваточирн в от'терввлаа:-' постоянства аргумента.

Вертикальный критерий

E3SKSH"0¿ri)-парного' Ггащлп #.:(2) .класгора' ,. ,КШ (см. (4))') и с учетом упорядоченности .(тппэ вариационный ряд) элементов этого кластера метод СИЮ генерирует двумэршй массив

- {(3J,7j),;H,___,1®} значений фиктивного вргучзата z u фактической

зависимой взлечикы у, которому ставится в соответствие унимодальная кривая выбора оптимальной (по принятому критерия качества) ма-

' дэля, и' подо£9ш1£" 8кстр£му^в ■ язл"9тся 0!ísíí¡ícií'íítpj'íí'pvphoií' о "c'íí—

ности полиномиального втгрокспманта.

Сводим таким образен многомерную зацйчу к дьум^раоа и, оцедаш (например, по методу нювйтьвих квадратов) оуцвотаенвс меньшое количество параметров в ряду услоишадижея от линейной до МО-гой'

Tí

(см. (4)) степени одаомернчх иолиномоз а—--».у, г»1,...,Н0, noj¡y-чим оптолальннв, формы одномерпкх фиктивных моделей й . сопровождали

МО соответствующих ошибок прибликения, численно не отрахшоошз оп-

F

•гимальяоети фактической еппроксимоции х—»у, но указывающих я своей совокупности предпочтительную слоянооть в# фиктивной аппроксимирующей структуры' и сложность соответствущей фйкгич^скоЯ структуры (рис.2):

, ..Сходимость и помехоустойчивость ¡ЫПЯХЯОЕ..оладстйязи ксиэдый -вашя принщша самоорганизации моделей, где, о одной е?ор:>»а», ги-

дэлеше моделей происходит практически при любых уровнях помех, а р другой - выделяеше при конкретном исходном уровне помех модели отличаются наибольшей возмоаяой (при исходно заданных границах помех) простотой (следствие теоремы Шаннона).

о.к.о.

Критерий качеотаа

.Сложность фиктивней

Сложность фактической

модели 1ф • модели

Рис.2. Оценка сложности фактической модели по принципу самоорганизации моделей в вертикальном критерии метода СИПС:

o.k.о., - ореднеквадрвтичеокое отклонгние - оценка невязки значений

фиктивной модели ?(7 ) в фактической величины у(х)

Вопросы , числового назначения фиктивного аргумента z, построения последовательности пар "фиктивный аргумент-фактический отклик" решены еледущим образом. »

: Шаг etepa. изменения фиктивного аргумента постоянен: - ■ etep^ « const v J=1,,..,КШ-1,

т.к. моделируя в среде полиномов, ш опирались на основную теорему исчисления конечных . разностей и подали на вход вертикального критерия■ фак-^ическИй массив Сходным (как указывалось) образом упорядоченный по воараоташш факторов:

*

. ' Т т 1

СК....Х ],':-'-'1х. .i-.x 1. iconat,...const 1 v ¡М.....КШ-1,

1 поскольку вас интереоует отруктура (степень) полинома, ап-npoKctMupyreero отзуше. у(х), то принцип постоянного щага изиэиетя фжтквкого nprywema е, реализует, по оуги, раотягнние кривой отк-ylx) вдоль оси g и,. следовательно, не связывает сложность по-'

лшсма о конкретикой коэффициента растяжения - с числового значениями а^и в1ерг,чом и допускается возмоыосгь п^-отарольаого назначения последних. В работе исключительно 'для удобства восприятия и дальнейшей обработки принято: «^ер^, --что, однако, при

наличии заинтересованности монет привести к трактовке последовательности Ла4,...,акш)»{1,...,КШ} как маосива порядковых отатио-тик и к возможности, дать перспективные результаты.

Горизонтальный критерий

Формируем таблицу конечных разностей по рассматриваемому кластеру с номером # (см. (2)). В функциональное соответствие столбцам таблицы ставится модуль ир (р=0,1 ,...,КПИ) среднего по столбцу.

Количественное сравнение модулей средних- по столбцам олукит оценкой предпочтительности полиномиальных (ооотвб-Лтвенно степеней от нулевой до (КШ-1 >~ой) моделей, претендувдих на оптимальпуа аппроксимацию. Последовательность {!1р,р*0,...,КШ-1} выступает и роли кривой выбора оптимальной по сложности полиномиальной структуры аппроксимонта; а именно - точки ир образуют многомодальную вогнутую кривую о единственным глобальным минимумом я^ (рис.З), оцетш-ваидим порождающую сложность ^ Локальные минимумы, пред-

шествуыцие а#, могут служить для подтверждения н уточнения с: тр; к -туры, в рамках верхнего 1-ровня слс!шооти-в#. - - . - -- -

Рас.3..Пример кривой самоорганизации моделей па горизонтально ..............критерии метод С!ШС

Проанализированы алгоритмические свойства горизонтального критерия. Сходимость заложена в логике вывода (на основе теоремы Взйерштраоса); точность и помехоустойчивость - в использовании пргащгата самоорганизации.

Алгоритм метода СИЛО .

Размерность аргумента (количество факторов) равна »: хеК". Ооъем исходной выборки равен т: Кз^.у^),;М ,...,т}. Шаг О. Назначение

1) диагоналей к# (направлении сечения аргументного пространства), # е {1,...,}■!}, где N определяется по формуле (3);

2) допустимых отклонений эмпирических значений аргумента от дааго-палей; ', .

3) количества шагов (КШ) в таблице конечных разностей для каадой диагонали;

4) величины шага, ч' . ,

Шаг 1. Формирование и расчет N таблиц конечных разностей для каждого направления кластеризации исходной выборки данных.

Шаг 2. Исследование по критериям (вертикальному и горизонтальному) метода СИПС каждого из кластеров, выделенных по направлениям в аргументном пространстве: получаем оценки в1 .. ,вм -' сложности полиномиальных соотавляицих из соответствующих подгрупп элементов (из п, п-1,..., одного) п-мервого аргумента. Для.#-ого клаотера

- вертикальный критерий:, .

оптимальная степень одномерного полинома, аппроксимирующего отклик, из #-ого кластера, принимается за оценк/ а^ структурной сложности модели в смысле СИПС-метода; .

- горизонтальный критерий:

цо таблица конечных разностей «-ого кластера рассчитываются «одула срэдних по столбцам, и порядок столбца о мшимальным вначе-

2П16М модуля принимается за оценку я сгрук-уркой олсггноотл »широк-симаята п смысла 0!ШС-"этодэ.

Шаг .'3. По выходу 'вертикального или горизонтального критерия метода СШО гадаем л ошшок в сяомюотп пслиномиягъкнх спотсп^я:)'

■ • * ' * я»

(размерностей п,п-1 ,...,1), виделовгах нй шчг.э о.

. По логике.метода СИМ ати есставлтрактуются лолй-ношал».нкз огр&глм, "пкладывотцяесл" в 8япрокоя;.;зруицуо структуру ■ (или структурный баяио): • ..... • -

х V а хт 'Г ' '

. ......4

Г

4 ь> гГ1*1-я ' 1,ч е <1......п> . .¡к

1.....з

сс/отвэтстбоняоОЛОЕЕиОч'Н" •-'ОСТааЛЯййКХ 8 '(#»>•! , . .". ,и)" Л В'ЛЗ.у оста-

л'взшого требования рэгудяриеяции

( > О* «

( з„ ,

К ' С,-

у к ' »..•»с .....п»»»с »...»с 'о 1

,...... -.....- г». ..... п . . , - - , п п .. - . .. г.....г» . - - -

используются для исклстония избыточных по олокнссти слагаемых. (Излокенноо применение последовательности {е^} на едшегйэнко: р. диссертации рассмотрен пример работы метода СКПО с . вг>^(, 1-<и, -при этом исключение переусложненных слагаемых, производится из п-меряого полинома степени вы, аддитивно дополаегсюго слзгаечшда степеней от (вг-ам) до вг-ой поликома поря ока . яг от элементов исходного п- мерного аргумента, составтстьупцих г-оьц кластеру )

Итог: аппроксимирующей полиномиальной структурой (баоисом) считается п-мерны£ потном степени вы с неполным (вследствие регуляризации) набором слагаемых.

На регуляризунцих иаправлэниях могут быть не совпадающие. по критериям оцешси сложности . структурных составляющих. Объяснение различий ааключвотся в доминировании отатистических подходов в вертикальном критерии. В нам построение кривой самоорганизации моделей ведется не из непосредственно данных таблица конечных разностей (как в горизонтальном критерии), а через этап регрессионного моделирования структурной сложности посредством фиктивных одно-мериих аплрокскмантов'. Примечательно, что сложность итоговых ап-проксимирущих структур (мощность базиса) в традиционном смысле -в смысле' количества слагаемых (числа членов базиса), требующих оценки своих параметров,- по обоим критериям практически одинакова.

В перспективе окончательного доопределения математической модели рекомендуются два подхода. • 'I) Итог работы метода СИЛО трактуется как сформированная структура ыодели, требуюдая дооценки параметров (параметрической идентификации), каковая может быть реализована, например, средствами метода наименьших квадратов. '

II) »¡тог работы метода СИПС трактуется как оптимальный аппроксимирующий базис полиномиальных структур (слагаемые найденного по методу СШО полинома образуют этот базис.б качестве его элементов), причем, бто факторо-ориентированный базис (его структурные элемента фиксированы на конкретных факторах, т.е., например, квадратичная базисная СИПО-структура х* целесообразна только для седьмого. из п факторов .....хп), тогда как в прочих методах построения

емшфичееких формул структурные элемента базиса равноотносимы к

/

хгядому на факторов (например, квадратичная структура такох'о базиса апра^а подразумевает равную возможность конкретизации бозисно-

ír< -

го apryvjHse на любом из п факторов, т.е. нз. ярясутотвиэ З'итоговой модел'л. в равно?, степени претендуют псе п "клтгрчто'в: .с"„х®,..

3 четвертой, главе излагается метод СШО в примерз фунящюпи-ротекия. Зетруднота демонстрация эффбктивноота СЙПС метода, т.к. по результатам литературного обзора не. обнаружим сравнимые мето-дпеи привлеяамгле оценки параметров яри определении структур).

Поступили следующим образом. Отроется . еттроке.щлад?. .¿UeR1; конкретной (порождающая зависимость . . < ■ '

УИС1: - 1OG00- <*• )Я-Х4 ' '-■ 200- (X, ' )*'+■*. , '(S) лот кот ' йог кот

ограниченность помех ¡Э j^0.3y_ . &ах|е_ ¡<0.С7х(,

У ' ИСТ 4 ,

ИСХОДНОЙ ВДбОрКИ Д2ННЫХ { (z j .Jr .) ,. J-1-, ...,m»2¿0) -методом-корреляционно-регрессионного анализа, применяя пошаговув регрессию с неполна* включением факторов:

а) ггрч априорном ваоорэ из десяти базисных структур >*.,

ха»х4}, виде

X. Xa. X3. 1/х. 1/ÍX*>» Х""%

ib)

,.. х1"4. , . .vtx4"). iaw: ..................

о) при дополнении априорного базисного ПЕбора (6) структvр&мн,

/

найденными,анализом исходного, эмпирического массива'СШО-мвтодьм г это 16 структурныхсоставляющих по ворт\колшжу критери.з

V X* • - — »

x¡v К- Xя- Л'

и 18 структурных составляющих по гошзон^льному критерию

в. Я 2

Х» ' х2» Хя • Х*' Х»' Ха» Х*' Х1Х1> Х»Т* • ХаХ»' XX. XX. XX*. Х*х . XXе. I I )( , xxx. х*х2.

а 4 ' 3 4 * < *• ж л' ял' » э «' 1 2« • г 4

Примечательпо, что СИПО-базис конкретен по элементам четырехмерного аргумента, т.е. структурные ооотовлящие уточнены не только по чвду нелинейности (как в априорном Оазисе), но и по топологии. Следовательно, априорный базис (б) из 10 "нетопологизйровшшых? структур в нашем примере четырехмерного исходного аргумента фактически имеет размерность в 40 членов:

{ х4, Х2, х9, хл, ... ; х^", х;*.....1п.(хв), 1п(х,) }, -

тогда как размерность ОИПО-Оазисов вдвое меньше. Кроме того, нелинейность влементов СИПО-базиса допускает мультипликативные взаимодействия факторов, что исключено в априорном базисе (6). Подучены регрессионные мед«ли, характеризуемые

среднеквадратичным отклонением (о.к.о.)- 5173., 12Э 112

коэффициентом множественной корреляции.(й)- 0.94 . 1 1

а и^

критерием Фишера (?) - 699 , 420369 , 351234 .

По градационным оценкам качеотва линеаризуемых моделей предпочтительнее те, которые используют СИПС-структуры. Кроме того, аналогичное заключение дал сравнительный анализ влияния фиксированного априори базиса и ОИПО-базиса (например, по горизонтальному критерия) на проявление свойства непротиворечивости итоговой модели:

I) в моделировании на части исходной выборки из первых 100 оо блемантов;

II) л чюда;лроьании на чаоти исходной выборки из первых 50 ее алоыднтоз.

/

Использование СИ1С-базиса позволило восстановить (рекшотруирушап возможность СИПС-базиса) в математической модели домикирумцую

г — ,

структурную составляющую порождающей зависимости (5). Вследствие реконструктивных свойств метода CMIC его испольиовашш дои-таьляет свойство непротиворечивости итоговой математической моде ли, делая ее предпочтительной для экстраполирования.

Проиллюстрировано свойство помехоустойчивости результатов работы метода СИЮ - оптимальные по методу СИПО структуры меняются jipii мзд&дерэвшвш по выборкам одинаковой порождающей зависимости, но разных уровней шумов в'отклике Qy (от 056 до В0% и выше): в этом случав метод СИПС дает результаты, отражающие известное положение о закономерном упрощении моделей с ростом искажений в исходном эмпирическом материале, сохраняя преимущества СИПС-моделей в качестве.

В пятой главе описывается использование СКПС-ыетода для. син-. таза структурного базиса при построении регрессионных моделей технологической зависимости ь.'шяния химического состава и параметров обработки горячекатаной углеродистой стали марки С1010 (Г00Г ¿S'i'lf А-569) на ее механические свойства. Расчет проводился на дяншх исштаний стали .экспортированной в США с АО "ШМК" в марте 1994 г. Корреляционный анализ исходной выборки данных (14- факторов и 3 м-клина) представил для регрессионного моделирования массивы о четырьмя (критическое значение для парных коэффициентов корр ляцми раыю 0.46) и десятьюДкритическое значение равно 0.668; факторами. Характеристики качества (остаточное сроднэквадраткческоа отк-

» /

лоненио (о.с.к.о.), множественный коэффициент корреляции (R>, расчетное зньчэпие и табличноь с надежностью (?а) критерия Фишера) моделей предела прочности (оа); предела текуче ста '(о ) ч относительного удлинения (0) с использованием СИПС-базиса, и голь ко

априорного базиса (6) приведены в тэбл. 1 (четырехмерные модбла) и-таол.2 (дэсятимэрвие модели). Продемонстрировано преимущество и ¡д&лэсообразность применения СШС-базисов.

' С ростом количества неаавиеишх факторов, определяющих отклик, реско возрастает эффективность использования синтезированных, а не априорща. базисов: в случае 10-мерной модели предола прочности СИПС-базио состоит и& .44 .структур£шх членов (причем фпкспроввн-ых в сзоей келинейвости на конкретных, факторах) про г иг. 100 струк-туршх члеяоз в указанном априорном Сзаисе (10 структурных членов равноБозмомш для 10 фдаоров).

Таблица 1

Характеристики 4-мерных моделей

У Показатели качества модели ^сипс У

о.с.к.о. 20.73 ,23.0В

Н 0.6436 0.4126

? 4.225 2.933

Ра 2,17 ' 2.61-

О.О.К.О. 16.561 17.457

И 0.8317 . 0.7263

• У 7.26 12.71

У а 2.Р4 2.61

0 с.о.к.о. 2.Б63 2.С42

л 0.6345 0.4579

р 3.285 Э.579

I уа ' £.03 2.61

Таблица 2

Характерисгши 10-мерных моделей

Показатели А ...... А

качества СТв

' модели сипо

о.о.к.о. 10.43 22.57

К 0.91 0.43

Г 13.0 3.93

Р 4.05 2.13

ч»

вывот

1. Рукозадогций принцип работы -'»то, диктуемая современными системными оценками принципов и стиля моделирования, стратегия автономного синтеза структур (независимого оттого логической я паре- • метритаохой идентификации). ■

2. Работа развита в классе полишжиалькыхСтруктур.

3. Метод СИЛО построен на базе расширенного трахтовакия кластеризации в интересах структурного синтеза модели. Как следствие, признан шсбходашн зазздообрпзгшй наСлон-кластеризации, и разработан алгоритм формирования клвотэров,. обусловливающий рагуляразупцов свойство метода СИПС.

4. Метод СШ1С включает в себя два незаЕиешшс критерия оптимальности синтезируемых структур: горизонтальный и вертикальный. Оба построены по результатам изучения пршщша самооргйяиаация моделей и копечко-разаостпох'о вваздаа шгформадаа "к зздо клястэроа' аохо^ой виборкп данных.

5. О вертикальном критерии метода СИЛО единство рассмотрения многомерного пространства факторов * шлшошальша структур аппроксимации и основной теорема" исчисления ковочшх разностей породило идо а моделирования структурной сдоэдоста посредством'соотватствув-¡дего флейтного одномерного .аргумента.. .. ' .

6. Метод ОИПО удовлетворяет алгоритмическим овойотваа сходимости и помехоустойчивости. Благодаря теоретическая основоположениям он имеет результатами своей работы шсокуй »Зййктивнсоть и структурную непротиворечивость итоговнх математических моделей.

7. Метод СШО способзи анализировать эширотэскш шЗсрки с практически любым числом-факторов. Более тоге, вффвктаьность ьго применения о ростом количества факторов (размэрйоотя аргумента) роиио возрастает. При, атом выгода складывается, во-пзрым, из вэбэдиаг'о

объема . требуемых вычислений и, во-вторых, из йазиса структур-ап-проксимантов малой размерности (существенно меньшей по сравнению о корреляциокно-регреосЕотшш методами аппроксимации, в которых число .перебираемых в потоках наилучшего и» аппроксимантов есть фак-тачеокн число одномерных функций - членов.априорного Оазиса аппроксимации (иадефорентках к конкретике фактора)/- умноженное на число-факторов). V- - ' " -'У ••'... - " ;

8. It достоинствам цютода СИШ отнооитоп его открытость для дальнейшего совершенствования (еидится реальная возможность усилить регуляризупций аффект/за счет рассмотрения .члокальных минимумов критериальных кривых1 /Выбора оптимальных структур) к дальнейшего развития (предо-гавля'етоя вартятшм; на: втапе структурной идентификации в свете указанной методики V отличной от корреляционно-регрессионной - сиатез5?ровать оптимальные параметры итоговой матема-| тической модели). Кроме того, ьоиеджно привлачеюю методов иепара-. ш грической статистики для решения проблем идентификации структур.

- твтшщ no rms мсоЕрт/ит

,1, Kuznetsov L.A., Tolstova I.A. Definition of. en optinmn base of experimental; data approximation // -Advances in Modelling & AmlyaiB, B, AMSE Ргевв, Voi.30, Ы 1, 1994, p.p. 9-16.

2. Кузнецов- Л,А,, Толртрва Т.Д.; Определение оптимального базиса аппроксимации экспериментальных данных // Заводская лаборатория. -1995, N 10, 0. 45-50. ' " , , ...-■•

3. Блдаин С.Л., Погодаев А,К., Тарасов A.A., То'лстова Т.А. Включение/исключение данных/параметров (факторов) при математическом моделировании зависимостей// Tea. докл. 2-го Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной"математике. г. Новосибирск, 25-30 дщя 1996 г. - Л^эвосибирск, 1996,' 0.125-127, .

■-'■■•:■'••■•' ... /;•' • ■ цу/Ьыи-