автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Стратегическая рандомизация при принятии конкурентных экономических решений: теоретико-игровой подход

004607170

На правах рукописи

Крепе Виктория Леонидовна

СТРАТЕГИЧЕСКАЯ РАНДОМИЗАЦИЯ ПРИ ПРИНЯТИИ КОНКУРЕНТНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ: ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ ПОДХОД

Специальность 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 2 КЮЛ 2010

Москва -2010 г.

004607170

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Мазалов

доктор физико-математических наук Э. Л. Пресман

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Хамстов

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 2010 г. в .... час. на заседании диссертационного совета Д.212.133.01 в Московском государственном институте электроники и математики (Технический университет), по адресу: Москва, Б. Трехсвятительский пер., д.З, ауд.....

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан

........2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. тех. наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория игр является основным современным математическим инструментом исследования интерактивного поведения и, в частности, конкурентного взаимодействия в экономике. Фундамент общей теории игр был заложен в вышедшей в 1914 году монографии Дж. фон Неймана п О. Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение" . Основная теорема для игр двух лиц с нулевой суммой, доказанная фон Нейманом в 1928 году, устанавливает наличие равновесия при рандомизация игроками своих действии. В 1950 году Дж.Нэш вводит понятие равновесия и некоонс-ративной игре с несколькими участниками н доказывает' важнейший результат теории нскооператнвных игр существование равновесия в конечной некооператпвной игре при предоставлении игрокам возможности рандомпзировать свои действия. Результат фон Неймана для двух лиц и его обобщение Нэшем для игр нескольких лиц открыли возможность анализа большого массива экономических задач с помощью методов н подходов теории нскооператнвных игр.

В последние три десятилетня в теории игр наблюдается значительный подъем, благодаря ее превращению из чисто нормативной дисциплины в науку о поведении, изучающую интерактивные решения в условиях длительного взаимодействия и включающую такие разделы, как эволюционная теория игр, теория повторяющихся игр, теория обучения (learning) п т.д. Эта трансформация привела к существенному расширению сферы приложении теории игр к общественным наукам, таким, как экономика, социальный выбор и социальное поведение.

Актом признания достижений теории игр в области экономических исследований является присуждение выдающимся специалистам в области теории игр нобелевских премий по экономике за последние годы. Дж. Нэш, Д. Харсаньп и Р. Зельтен (1994) получили премию за вклад в анализ равновесия в теории некооператнвных игр. Премия была присуждена Р. Ауману и Т. Шеллингу (2005) за углубленный анализ конфликта и сотрудничества путем анализа методами теории повторяющихся игр. Л. Гурвиц, Э. Маскин п Р. Майерсон (2007) были награждены за создание на основе теории игр теории экономических распределительных механизмов.

Изучение различных аспектов принятия последовательных решений в условиях долговременного взаимодействия и неопределенности на основе современных достижений теории многошаговых динамических игр с неполной информацией получило интенсивное развитие в последние десятилетия. Исследование решений в условиях взаимодействия лежит в основе анализа социальных процессов, и, в частности, теории экономического поведения. Обзор современного состояния теории динамических игр содержится в книге Ж.-Ф. Мертенса, С. Сорена и Ш. Замира (2000). Конечные повторяющиеся игры с неполной информацией были впервые введены в рассмотрение Р. Ауманом и М. Машлером (19G6-19G8) в серии статей (докладов для Агентства по Контролю над Вооружениями и Разоружением при правительстве США), заложивших основу теории таких игр.

Введение теоретико-игровых моделей в финансы (см. Р. Гиббоне (1992), А. Такор (1991)) революционизировало современную теорию финансов. Существенную роль в современных финансовых моделях играют интенсивно развивающаяся теория аукционов и торгов. Заметный вклад в эти теории внесли недавние работы Т. Каилана, Ш. Замира (2000, 2002, 2007), С.Б. Измалкова (2009).

Наминая с работы Л. Бапюлье (1900), финансовая теория использует для описания эволюции цен на финансовых рынках случайные блуждания и их непрерывный аналог впнеровский случайный процесс пли броуновское движение. Историю вопроса н библиографию см. в А. Н. Ширяев (1994) и (1998). В последние годы уделяется большое внимание исследованиям природы случайных флуктуации цен на финансовых рынках. Рассмотрению этого вопроса с использованием теоретико-игровых подходов посвящены работы А. Кайла (1985) и его последователей, а также работы Р. Калкашл, С. Лово (1998) и Б. Де Мейера, М. Салей (2002).

Рассматриваемая в диссертации проблематика включает в себя исследование стратегических аспектов использования приватной асимметричной информации на финансовых рынках, а также проблему определения рейтингов различных финансовых институтов, инструментов и т.н., сводящуюся к агрегированию многомерных показателей.

Для разработанных в диссертации моделей многошаговых торгов рисковыми активами (акциями) использование теории повторяющихся игр с неполной информацией дало возможность исследования стратегических и информационных аспектов формирования цен на фондовых рынках. Впервые подобная модель с произвольными допустимыми ставками, однотипным акциями с двумя возможными ценами была введена в работе Б. Де Мейера и М. Салей (2002), чтобы продемонстрировать стратегическое происхождение броуновского движения в финансах.

Поскольку реальные торги проводятся в тех или иных денежных единицах, представляется более реалистичным считать, что игроки могут назначать только дискретные ставки пропорциональные этой минимальной денежной единице. Об актуальности и важности дискретных моделей финансовых рынков см. также в книге Дж. Кемпбел-ла, А. Ло п А. МакКпнли (1997).

Отсутствие в рассматриваемых в диссертации моделях ограничения на число возможных случайных цен акции п наличие рисковых активов двух типов также приближает модель к реальности.

В полученных в диссертации решениях повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих модели многошаговых торгов и аукционов, оптимальная стратегическая рандомизация инсайдера порождает случайное блуждание цен совершенных сделок. Тем самым для приближенных к реальности моделей демонстрируется справедливость гипотезы Де Мейера и Саней (2002) о возможном эндогенном происхождении случайных флуктуации цен на финансовых рынках.

Актуальной для всех общественных наук является проблема определения рейтингов объектов, характеризуемых многомерными векторами показателей, см. С. А. Айвазян (2003). Применение в диссертации теоретико-игрового подхода в сочетании с оригинал ь-

ноП организацией экспертного оценивания дает эффективную методику решения этой задачи.

Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является решение комплекса экономических задач, преимущественно связанных с моделированием и анализом финансовых рынков, на основе теории некооператпвпых игр.

Существование равновесия при предоставлении возможности участникам рандом п-зировать свой выбор и свойства такого равновесия позволяют получать и исследовать решения различных экономических задач.

Целыо первой главы является обоснование стохастической независимости рандомизированных выборов игроков в некооперативной игре как теоретической предпосылки существования равновесия.

Целыо второй п третьей глав является анализ стратегических аспектов использования приватной асимметричной информации на биржевых торгах на основе теории повторяющихся игр с неполной информацией.

В четвертой главе разрабатывается теоретико-игровой подход к определению рейтингов с помощью введения вспомогательной игры. Этот же прием приводит к получению новых достаточных условий единственности решений уравнений конкурентного равновесия.

Наиболее существенные результаты и их научная новизна.

1. Введено понятие "типа зависимости" , как результата рандомизированного выбора действий несколькими игроками без обмена информацией между собой. Частное определение этого понятия было введено II. Н. Воробьевым (1901).

Доказано, что стохастическая независимость рандомизированных выборов игроков, (которая, вообще говоря, не следует непосредственно из физической независимости), является необходимым и достаточным условием существования ситуации равновесия по Нэшу для любой конечной некооператнвной игры.

Этот результат базируется на установленном в диссертации критерии существования некооператнвной игры с заданной единственной ситуацией равновесия по Нэшу.

2. Разработана п исследована модель многошаговых биржевых торгов однотипными рисковыми активами (акциями). Торги ведутся между двумя различно информированными игроками. Один из них (инсайдер) знает значение случайной ликвидной цены акции, а второй только распределение этой цены. Допустимые ставки и цена акции принимают дискретные (без ограничения общности, целочисленные) значения. Такие торги описываются повторяющимися играми с неполной информацией у второго ш рока. Если дисперсия случайной цены акции конечна, то можно корректно определить игры торгов без заранее заданного ограничения на их продолжительность.

Получены в явном виде решения повторяющихся игр с неполной информацией, моделирующих такие биржевые торги. Оптимальная стратегии инсайдера порождает симметричное случайное блуждание апостериорных математических ожиданий цены акции но целочисленной решетке с поглощением. Этот результат получен совместно с В. К. До-манским. Лично диссертантом установлено, что ожидаемая продолжительность этог о

случайного блуждания равна дпсиерсин случайной цены акции. Значение игры (гарантированный выигрыш инсайдера) равно ожидаемой продолжительности случайного блуждания, умноженной на постоянный средний одношаговый выигрыш инсайдера. Последовательность цен совершенных сделок воспроизводит случайное блуждание апостериорных математических ожиданий цены акции, что подтверждает гипотезу о стратегическом происхождении регулярной случайной компоненты в эволюции цен на финансовых рынках в условиях модели, более реалистичной, чем модель, рассмотренная в (Де Мейер, Салей (2002)).

3. Разработана и исследована модель многошаговых биржевых торгов рисковыми активами (акциями) двух типов. Доказано, что одновременные конечно-шаговые торги двумя рисковыми активами менее выгодны для инсайдера, чем раздельные торги однотипными акциями.

В общей постановке получены в явном виде решения повторяющихся игр с неполной информацией, моделирующих такие торги неограниченной продолжительности. Игра имеет счетное число состояний вектор случайных ликвидных цен акций может быть произвол!,ной точкой двумерной целочисленной решетки. Инсайдер знает значения случайных ликвидных цен обеих акций. Игроки делают векторные ставки.

Значение игры неограниченной продолжительности равно сумме значений двух игр с одним рисковым активом. Таким образом, преимущество, которое получает неинформированный игрок от проведения совместных конечно-шаговых торгов в сравнении с раздельными торгами по каждому типу акции, исчезает' на торгах с заранее не ограниченной продолжительностью.

Для распределений с математическими ожиданиями цен обеих акций, лежащими на целочисленной решетке, значение игры равно полусумме дисперсий случайных цен акций. Для остальных распределений функция значений является наименьшей непрерывной вогнутой мажорантой ее значении в точках двумерной целочисленной решетки.

Мартингал апостериорных математических ожиданий, порождаемый оптимальной стратегией Игрока 1, представляет собой асимметричное случайное блуждание по точкам двумерной целочисленной решетки с поглощением. Этот результат получен совместно с В. К. Домапскнм. Лично диссертантом установлена структура решений для игр с двумя состояниями и для игр с тремя состояниями, то есть двумерный вектор ликвидных цен акций принимает два (три) значения. Именно к таким играм сводится задача в общей постановке.

В случае двух состояний, без ограничения общности, это состояния (0, 0) и (т\, тг), вероятностное распределение на множестве состоянии задается скалярным параметром вероятностью состояния (»11, тз). Порождаемый оптимальной стратегией информированного Игрока 1 мартингал апостериорных вероятностей состояния (пц,т2) представляет собой асимметричное случайное блуждание по смежным точкам решетки, элементы которой кратны либо 1/ть либо 1/т2 с поглощением в крайних точках.

В случае трех состояний мартингал апостериорных математических ожиданий, порождаемый оптимальной стратегией информированного Игрока 1, представляет собой

симметричное случайное блуждание по точкам двумерной целочисленной решетки, находящимся внутри треугольника, вершинами которого являются вектора возможных ликвидных цен акции. Симметрия этого блуждания нарушается при попадании на границу треугольника. Начиная с момента попадания на границу, игра переходит в одну из игр с распределениями с двухточечными носителями.

4. Задача определения с помощью экспертного оценивания рейтингов объектов, характеризуемых многомерными векторами показателей, сведена к решению вспомогательной матричной игры. Оптимальная стратегия первого (максимизирующего) игрока в этой матричной игре определяет вектор искомых параметров функционала. Исследование проводилось совместно с В.К.Доманским. Диссертанту принадлежат постановка задачи, критерии непротиворечивости априорных экспертных оценок, а также обработка данных и проведение расчетов.

Установлены критерии положительности значения матричной игры. Применение этих критериев при исследовании вспомогательной матричной игры, в которой матрица выигрышей якобиан производственного отображения, приводит к новому достаточному условию единственности конкурентного равновесия, более широкому, чем условие Гейла-Никайдо (1905).

Все полученные результаты являются новыми. Новыми являются также многие постановки задач и методы их решения. В диссертации используются методы, которые представляют собой комбинацию методов классической теории вероятностей, теории некооперативных игр, теории динамических игр и теории управляемых случайных процессов с дискретным временем.

Новой является предложенная организация экспертного оценивания в задаче определения рейтингов. Эксперту предлагается проранжпровать небольшое число хорошо известных ему объектов. Веса искомого ранжирующего функционала определяются на основе принципа максимизации минимальной разности значений функционала для смежных выбранных экспертом объектов. Теоретико-игровой подход впервые применен к проблеме определения рейтингов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации представляют интерес для теории некооперативных игр, в частности, для теории повторяющихся игр с неполной информацией.

Проведенный во второй и третьей главах анализ оптимального поведения инсайдеров на биржевых торгах может быть использован при выработке мер по борьбе с коррупцией в форме незаконного использования инсайдерской информации.

Разработанный в четвертой главе теоретико-игровой подход использовался при составлении методики оценки региональной нрофнльностн предприятии г. Ленинграда в Институте социально-экономических проблем АН СССР (1984).

Эффективность предложенного метода проверялась при применении его для определения рейтингов надежности российских банков на основании данных финансовом отчетности крупнейших банков России за 1994 год.

Этот подход использовался министерством финансов Красноярского края при раз-

работке модели управления эффективностью бюджетного процесса (2009).

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на семинарах Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стекло-ва РАН, Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН, факультета Прикладной математики п процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, Высшей школы экономики (Москва), Центрального экономико-математического Института РАН, Вычислительного центра РАН им. А. А. Дородницына.

Результаты диссертации докладывались на Российских и международных конференциях в городах Санкт-Петербург, Москва, Петрозаводск, Кисловодск, Сочи и Волжский, а также на международных конференциях в следующих городах: Кан (Франция) в 1992 г., Стоуни-Брук (США) в 1993 г., С'офпя-Антиполис (Франция) в 2000 г., Вроцлав (Польша) и Минск (Беларусь) в 2008 г., Амстердам (Нидерланды) в 2009 г.

Структура диссертации. Диссертация содержит введение и четыре главы. Общий объем работы составляет 250 страниц. Список литературы включает 105 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий литературный обзор, сформулирована цель работы, обозначен круг рассматриваемых вопросов, описана структура и содержание диссертации но главам.

В первой главе дается обоснование стохастической независимости рандомизированных выборов игроков в пекооперативной игре, которая, вообще говоря, не следует из физической независимости их выборов.

Конечная некооперативная игра (см. Воробьев (1984) и Печорский, Беляева (2002)) задается тройкой

Г= (/, Аи ¿6/},

где I = {1,..., Лг} множество игроков,

Бг = {1,..., т,} множество чистых стратегии игрока г,

многомерная вещественная матрица

задает выигрыши игрока г в ситуации О'ь . . . ,. . .,(при выборе игроком I страте-гни /= 1,..., ЛГ).

Множество смешанных (рандомизированных) стратегий А^ игрока г представляет собой симплекс размерности т, — 1,

т,

X, = {х; = (хп,... ,а-!Ш,), хц > 0, ^Ху = 1}.

При использовании игроками смешанных стратегий Xi, I = 1.....N выигрышу игрока г, г = 1,..., N в ситуации х = (xi,... , X/,... ,Xjv) предписывают значение

Е ГЬ-

........... 1-1

что соответствует стохастической независимости выборов игроков.

Ситуация х* = (xj, • ■ •, х^,) называется ситуацией равновесия но Нэшу (1950) в игре Г, если для всех игроков i = 1,... ,N справедливы равенства

ffi(x') = 1пахЯ,(х*||х0,

где x*||xj = (xj,... , х*_!, х,, х*+1,... ,x*N) ситуация, в которой все игроки за исключением игрока г выбрали свои стратегии-компоненты ситуации х*.

Глава 1 организована следующим образом. В разделе 1.1 решается вопрос может ли заданная ситуация (набор рандомизированных стратегий игроков) быть единственной ситуацией равновесия по Нэшу некоторой некоонеративной игры. Ответ на этот вопрос дает теорема 1.1. Построение некоонеративной игры с заданной единственной ситуацией равновесия используется при установлении основного результата главы 1 теоремы 1.3 раздела 1.2.

В разделе 1.1 приводятся свойства пекоонеративных игр, которые используются при при построен пи игры с заданной ситуацией равновесия и доказательстве единственности ситуации равновесия в этой игре.

Условие, при котором такая конструкция возможна, состоит в выполнении неравенства, связывающего мощности спектров стратегий, образующих заданную ситуацию. Теорема 1.1. Пусть х* = (xj,..., xjr) и ху >0, i = 1,..., N, j = 1,..., m<. Необходимым и достаточным условием существования конечной некоопертиивнной игры, Г, для которой х* единственная ситуация равновесия, является выполнение. не.равен-ства

max di = dj„ < > di,

> Ao

где. d, = irij — 1.

В некооперативпых играх при традиционном определении выигрышей игроков, ран-домизирующих свой выбор, смешанные стратегии игроков, трактуемые как случайные испытания с исходами из множества чистых стратегий, предполагаются стохастически независимыми. Такое предположение базируется прежде всего на физической независимости выборов (отсутствие обмена информацией) п на традиционной концепции (которая имеет эмпирическое происхождение) математического вероятностного моделирования физически независимых случайных величин как стохастически независимых. В известной книге М. Каца (19G3) "Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе п теории чпссл"в главе, которая называется Независимость п "независимость",

отмечается, что вообще говоря, стохастическая независимость испытаний (в нашем случае стратегий) не вытекает из физической независимости выборов. Аналогичное соображение лежит в основе работы II. II. Воробьева (1901).

Отказавшись от априорной стохастической независимости выборов игроков,

H. Н. Воробьев (1901) допустил, что при выборе игроками смешанных стратегий вероятность ситуации в чистых стратегиях есть функция (вообще говоря, не обязательно равная произведению) от вероятностей выборов игроками действий, образующих эту ситуацию. II. Н. Воробьев назвал эту функцию типом зависимости и показал, что если все ш роки имеют более двух действий, то эта функция равна произведению, то есть единственный тип зависимости независимость. В работе Воробьева (1901) предполагается, что функция, задающая тип зависимости, одна и та же для всех ситуаций в чистых стратегиях. В работе автора (1994) доказывается, что это ограничение не существенно для результата Воробьева (1901).

Допуская возможную зависимость рандомизацнонных механизмов игроков (например, игроки могут использовать один п тот же генератор случайных чисел), в разделе

I.2 мы отказываемся от априорного предположения о стохастической независимости выборов игроков п вводим следующее более общее определение типа зависимости.

Отображение Т, которое каждой ситуации в смешанных стратегиях х <Е Л -А', сопоставляет вероятностное распределение Т(х) на множестве ситуаций в чистых стратегиях 5 = П^ ^ (^(х) ^ ¿М^)) называем »11 х пц х ... х шн типом зависимости Т.

Отображение Т: X —> Д(5) определяется набором функций

N

11 Л', • • 0. Г. £ „(х,.....хЛ-) 1-

• = 1 л-зн

Мы предполагаем, что для любого фиксированного игрока к = 1,..., N и любой его чистой стратегии j^! = 1,... выполняется равенство

т,

У^ У^ Ъ'|.-л->Л/(х1> ■ • •.хм) =

г^к ],=1

то есть одномерные маргинальные распределения совпадают со смешанными стратегиями игроков.

Следовательно, если только один игрок рандомизпрует свои действия, то но возникает отклонения от стохастической независимости. В случае, если это не вызывает разночтений, мы будем писать тин зависимости Т, опуская пометку Ш] х т-2 х ... х тм, содержащую информацию о числе игроков и количестве их чистых стратегий.

Отметим, что конструкция "типа зависимости" принципиально отличается от коррелированного равновесия Р. Аумана (1974). В конструкции Р. Аумана расширяются стратегические возможности игроков. При допущении типа зависимости между игроками, возможно, отличного от стохастической независимости, стратегические возможности игроков не меняются.

В сметанном расширении игры Г при типе зависимости Т положим выигрыш игрока i в ситуации х = ... .х,\) равным математическому ожиданию его выигрышей по мере Т(хь ... ,хлг),

Я,г(х) = £ ,, (Х|.....х.у!.

]{.....

Обозначим множество ситуаций равновесия по Нэшу в такой игре А'Е{Г,Т) и, соответственно, в случае стохастической независимости выборов игроков ЛГ£,(Г,Г°), где

N

= I [ г, : к=1

Теорема 1.3. Множество ситуаций равновесия по Н.гшу МЕ(Т, Т) ис пусто для любой конечной бескоалиционной игры Г 'тогда и только тогда, когда тин зависимости Т представляет- собой спикгастгтссщро независимость, то есть Т=Т°.

Таким образом, стохастическая независимость представляет собой единственный тин зависимости, при котором любая конечная нскоонеративная игра имеет ситуацию равновесия по Нэш.у в смешанных стратегиях. II в следствие этого, отклонение от стохастической независимости при стратегической рандомизации действий игроков неизбежно приводит к потере факта существования равновесия. Эта потеря закрывает возможности использования теории для решения экономических вопросов, и в последующих главах постулат о стохастической независимости выборов предполагается выполненным.

Во второй главе разрабатывается и исследуется динамическая модель биржевых торгов однотипными акциями, в которой агенты обладают различной информацией относительно ликвидной цены торгуемых акций. Рассматривается дискретный вариант модели, введенной в работе Де Мейера и С'алей (2002), и ее обобщения. Допустимы целочисленные ставки, пропорциональные минимальной денежной единице (единица измерения равна денежной единице). Такая модель описывается повторяющимися иг-рамп с неполной информацией, см. Р. Ауман, М. Мапглер (1995).

Глава 2 организована следующим образом. Мы начинаем в разделах 2.1 2.3 с многошаговых торгов двух агентов с двумя возможными ликвидными ценами акции. А именно, низкая цена акции равна нулю, высокая цепа равна целому положительному т, допустимы и эффективны целочисленные ставки от низкой до высокой цены акции.

Перед началом торгов случайный ход выбирает "состояние нрироды"и, таким образом, ликвидную цену акции на весь период торгов. Эта цена равна т с вероятностью р и равна 0 с вероятностью 1 — р. Выбранная цена сообщается Игроку 1 п не сообщается Игроку 2. Оба игрока знают вероятность р. Игрок 2 знает, что Игрок 1 является инсайдером.

На каждом последовательном шаге торгов ¿ = 1.2,..., д, игроки одновременно делают ставки называют свои цены одной акции, г и з соответственно. Шивавший более

высокую цену покупает за эту цену одну акцию у противника. Если г = j, то ничего не происходит.

Оба игрока стремятся максимизировать цену своего итогового портфели (деньги плюс ликвидная цена полученных акций).

Повторяющиеся игры G"tl(p), моделирующие такие торги, задаются двумя матрицами одношаговых выигрышей Игрока 1: при выбранной случаем низкой цене акции AL = [afj] и при выбранной случаем высокой цене акции Аи = [a'J]. В конце игры Игрок 2 платит Игроку 1 сумму одношаговых выигрышей Yl"=i <*'(h,jt), ''Дс s 6 {L, H}

элемент, выбранный случаем на нулевом шаге. Теорема 2.1. Имеется следующая 'u.c. зависящая от п верхняя граница для значения

где. Н"'(р) представляет собой кусочно-линейную непрерывную вогнутую функцию с m областями лшиЛноапи \k/m, (к + 1)/т], к = 0,..., m— 1. Такая функция определяется своими значениями в точках изломов р = к/т, к = 0,..., т:

Те же игры С™(р), моделирующие торги с дискретными допустимыми ставками, изучались в работе Б. Де Менера и А. Марино (2005). Основной результат их работы состоит в том, что при п, стремящемся к бесконечности, последовательность значений У,"'(р), деленных на у/п, равномерно сходится к нулю. Результат Де Мейера п Марино немедленно следует из теоремы 2.1.

Ввиду ограниченности последовательности функций ^¡"(р) имеет смысл рассматривать игры &™(р) с бесконечным числом шагов. Мы получаем в явном виде решение для этих игр.

Теорема 2.4. Игра (?™(р) имеет знамение У™(р), равное. Н'"(р). Оба игрока имеют оптимальные, стратегии а*(р) и т'(р).

Описание, оптимальной чистой спуратегии г* Игрока 2: для начальной вероятности р е [к/т, (к + 1)/т] чистая стратегия т*:

на первой шаге Игрок 2 выбирает зависят,ее от. вероятности р действие к ; па последующих шагах (при £ > 1) его действия зависят только от последней наблюдаемой пары действий (/(—1,)•

Описание первого тага оптимальной стратегии а* Игрока 1: для начальной вероятности р = к/т на первом шаге он. использует два действия к — 1 и к. Действие.

V„m(p) игры GZ'(p):

v;;i(p) < ir(p),

Н'п(к/т) = к{т - к)/2.

к Игрок I выбирает с вероятностями

а действие к — 1 он вмбщпс.т. с дополнитсльнылеи. вероятностями.

Полные вероятности действий к — 1 и к q(k — 1) = q(k) = 1/2; условные апостериорные вероятности состояния Н р(Н\к — 1) = (к — 1 )/т для действия к — 1, р(Н\к) = (к + 1 )/т для действия к.

Do внутренних точках р € (к/т, (к + 1)/и») оптимальный первый ход Игрока 1 представляет собой выпуклую комбинацию оптимальных первых ходов, соответствующих крайним, точкам этого интервала.. Этот, титшальпый первый ход использует три действия к — 1, к и. к + 1 с. полнылш вероятностями

q{k - 1) = 1/2(А- + 1 - mp),q{k) = l/2,<j(fc + 1) = l/2(wp - к). Соответствующие. апостериорные, вероятности равны.

p(Ii\k - 1) = (к - 1 )/т, р(Н\к) = (2к 4- 1 - тр)/т, р(Н\к + 1) = (к + 2)/т.

Второй шаг стратегии с* Игрока 1 первый иш.г его оптимальной стратеги в игре бесконечной продолжительности, параметрам которой вместо априорной вероятности р является апостериорная вероятность, соответствующая реализовавшемуся действию на. первом итге. И так далее.

Таким образом, при начальных вероятностях р = 1/т, / = (),..., т, случайная последовательность апостериорных вероятностен, порожденная оптимальной стратегией Игрока 1 <т*(р), представляет собой элементарное симметричное случайное блуждание по точкам k/m, & = (),..., m, с поглощением в крайних точках 0 и 1, т. с. марковскую цепь с вероятностями перехода

p{k/m, (к - 1)//?).) = р(к/пг, (к + 1 )/т) = 1/2, к = 1,..., пг - 1, р(0,0)=р(1,1) = 1.

При начальных вероятностях р /- l/m, I = 0,...,;?», случайная последовательность апостериорных вероятностей после каждого шага с вероятностью 1/2 попадает в множество р = к/т, к = 0,..., т., и далее продолжает элементарное симметричное случайное блуждание с поглощением в точках 0 п 1.

Мы рассматриваем случайную последовательность {с*}^, образованную ценами состоявшихся сделок с( — nmx{?'t,jf} па последовательных шагах игры G'^(]>) с бесконечным числом шагов (сделка происходит на шаге t, если it / jt). Обозначим pt вероятность высокой цены акции после шага t.

Теорема 2.5. На каждом итге t = 1,2,..., вероятность того, что сделка, происходит равна 1/2.

При pt-i € [к/т,(к + l)/mj, при условии, что на шаге t сделка происходит, появляются следующие случайные цепы сделок:

I к/т с вероятностью к + 1 — тр;

Ci(Pi-l) = < ,

I (к + 1 )/т с вероятностью тр — к.

В частности, при р(_г = к/т, при условии, что на шаге t сделка происходит, имеет место равенство ct = pt-1 = k, т.е. последовательность цен совершенных сделок воспроизводит с. точностью до множителя, равного т, случайное, блуждание апостериорных вероятностей по точкам I, I = (),...,m с поглощением в крайних ■точках 0 и т.

Случайный момент поглощении апостериорных вероятностей представляет собой момент обнаружения Игроком 2 цены акции и, в сущности, момент окончания торгов.

Таким образом, в отличие от торгов с произвольными ставками, торги с дискретными ставками завершаются почти наверное за конечное число шагов. Математическое ожидание числа шагов до завершения торгов также конечно, п при р = к/т равно к(т — к).

Наилучший ответ Игрока 2 на оптимальную стратегию Игрока 1 обеспечивает Игроку 2 проигрыш, равный 1/2 за один шаг. Это делает результат \™(к/т) = к(т — к)/2 интуитивно понятным.

В разделе 2.2 мы рассматриваем статический случай модели торгов, введенной в разделе 2.1. Модель сводится к одношаговой игре с неполной информацией.

В теореме 2.7 для любого m мы получаем решение одношаговой игры G"'(p) при вероятностях р, принадлежащих некоторому конечному зависящему от m множеству рт у Qm ß этих точках значение игры G"l(p) с дискретными ставками оказывается равным значению игры с произвольными допустимыми ставками.

Так как при m —» оо множество Р'" U Qm становится всюду плотным на отрезке [0,1], имеет место равенство

Hm Vr(p) = Vl(p) = m-p(l-p).

îll —tOÛ

Вопрос решения п-шаговой игры G]\'(p) с дискретными допустимыми ставками остается открытым. Случай двух допустимых ставок (т = 2) тривиален обнаружение истинной цены акции Игроком 2 происходит на первом шаге н V£(p) = V^p) = min {р, 1 — ;>}.

В случае трех допустимых ставок (т = 3) ситуация качественно усложняется. В этом случае оказывается нетривиальным решение даже одношаговой игры Gj(p).

В разделе 2.3 для n-шаговых игр G^(p) с тремя допустимыми ставками мы получаем в явном виде решения, которые выражаются с помощью возвратной последовательности второго порядка 5„, п = 0,1,2,..., определяемой рекуррентными соотношениями

бп+1 =2(J„+i1,_i), <5о = 0, 5, =2.

Положим

рп = (<5„_, + й„)/(6„_1 + 25„), »1=1,2,....

Приведем часть формулировки теоремы 2.9, опустив описание оптимальных стратегий игроков для каждого интервала линейности функции значений У^(р) с помощью последовательностей 5„ и р„.

Теорема 2.9. Кусоч.но-лине.йиая непрерывная функция значении У„(р) игры на отрезке [0,1] имеет три точки излома: 1/3, р„, 2/3. Функция У%(р) определена своими значепиялш на концах отрезка Уп3(0) = = 0 и значениями в точках

излома:

{1-2/35,, при р= 1/3,

1-1/(25,,+¿„-О пр ир = рп, 1-1/35,,.! при р = 2/3.

При п —> оо ф.ункцпп У£(р) сходятся к значению У£,(р) игры неограниченной продолжительности полученному в теореме 2.4.

Из приведенной части утверждения теоремы 2.9 следует, что максимальный выпг-рыш от приватной информации инсайдер в одиошаговой игре получает при априорной вероятности высокой цены акции р = 1/2, I! двухшаговой игре при априорной вероятности р = р2 и так далее, и наконец, в п-шаговой игре при априорной вероятности Р = Рп-

Инсайде]') управляет последовательностью апостериорных вероятностей высокой цены акции, которые вычисляются по его стратегиям на предшествующих шагах.

Из полного результата теоремы 2.9 следует; что оптимальная стратегическая рандомизация инсайдера в п-шаговой игре приводит к тому, чтобы генерировать после первого шага апостериорную вероятность, равную ь после второго шага, равную рп-2, н так далее, и, наконец, перед последним шагом, равную 1/2.

В разделе 2.4, в отличие от раздела 2.1, где цена акции могла иметь два значения, мы рассматриваем многошаговые торги, на которых случайная ликвидная цена акции Ср может принимать произвольные неотрицательные целочисленные значения согласно вероятностному распределению р = (ро,Р1,Р2, ■ • •)• Допустимы любые целочисленные ставки.

Такая /¡-шаговая модель описывается антагонистической повторяющейся игрой С„(р) с неполной информацией у второго игрока со счетным числом состояний. Рассмотренные в разделе 2 игры (?„'(?)) с двумя возможными значениями 0 п т цены акции сводятся к играм С„(р) с распределением р, имеющим две ненулевые компоненты ро — I — р, рт = р, при отбрасывании в них доминируемых стратегий. Теорема 2.11. Если случайная величина Ср имеет. конечное. ма.телштичс.с.кос. ожидание Е[СР], то существует. знлч.ение У„(р) п-шаговой игры (?п(р). Значения 1п(р) положительны и. не. убывают с возрас.тание.и числа шагов.

Рассмотрим множество Л/2 вероятностных распределении р с конечным вторым моментом

m2[p] = • s2 < оо.

s=0

Для р 6 М2, случайная величина Ср, определяющая ликвидную цену акции, принадлежит L2 и имеет конечную дисперсию

D[p] = m2[p] - (mMp])2.

Теорема 2.12. Для р £ М2, значения V^(p) ограничены сверху непрерывной кусочно-линейной вогнутой функцией Н(р) на Л/2. Ее. области линейности

L(r) = {р:Е[р] е [г,»4-1]}, г = 0,1,....

Ее области •ие.Оиффе.ре.пци'рус.моста

В (г) = {р : Е[р] = г).

Для р е L(r) с Е[р] = г + а

tf(p) = (D[p]-«(l-«))/2.

Ограниченность значений Уп(р) позволяет корректно определить игры Соо(р) с бесконечным числом шагов, описывающие торги неограниченной продолжительности. Теорема 2.14. При р € Л/2, игра Сос(р) имеет значение ^»(р) = Я(р). Оба игрока имеют оптимальные стратегии.

Для р е в(г), г = 1,2,..., оптимальная стратегия ар Игрока 1 задается следующим образом: если реализуется состояние э = г, то стратегия ар останавливает игру.

В противном случае (в ф г), первый ход стратегии ар использует только две ставки V — 1 иге вероятностями

°í(r - l|s)

a'i(r\s) =

>lj - .i - l)Pj 2 Ej^r-j)Pj ' Ejlr+iO" -r + Vpj

2>:; ,:.f j'Pj '

j + i)Pj 2E' E"r+1(j -r-1)pj 2>:; ('('• -• ,¡)p¡

при s > r; при s < r;

при s > r; , при s < r.

1G

Таким образом, ставки г — 1 и г выбираются с. одинаковъши полными вероятностями <уг_1 = qr = (1 — рг)/2. Вероятность остановки игры равна рг.

в) Далее, продолжение, стратегии <тр выбирается в соответствии с апостериорными вероятностными распределениями р(-|г — 1) и р(-|г) для действий г — 1 и, соответственно, г:

Р(-|г - 1) = р" е (-)(г - 1), Р(-|г) = Р+ е в(г + 1),

где р и р+ задаются 'покомпонентно

при в >

Ри = 0, при в = г;

при 5 < ?•,

при в > г; при в = г; при в < г.

£,=о(г - 3)Р}

Г +

~3)Рз

~з)Р}

£,-=о('- - з)Рз

1О — г - 1 )р3

Т,Г]Л(г ~ з)Рз

Для внутренних точек р € Ь(г) с Е[р] = г+а, первые ходы стратегий ар выпуклые, комбинации первых ходов для граничных точек, рг € 0(г) и рг+1 6 в(г + 1), так что р = арг+1 + (1 — а)рг-

При р € £(г) оптимальная стратегия тг Игрока 2 задастся рекурсивно: на первол1 шаге Игрок 2 выбирает действие г ;

его действия на последующих тагах аналогичны описанным в теореме 2-4 раздала 2.1.

Для р 6 в(?'), г = 1,2,..., оптимальна любая выпуклая комбинация стратегий тг~1 и тг.

Для случая р £ В(к) оптимальная стратегия инсайдера порождает симметричное случайное блуждание апостериорных распределений по областям В(1) с поглощением. Ожидаемая продолжительность этого случайного блуждания равна дисперсии ликвидной цены акции. Значение бесконечно повторяющейся игры С00(р) равно ожидаемой продолжительности случайного блуждания, умноженной на постоянный одношаговый выигрыш инсайдера, равный 1/2.

В разделе 2.5 в отличие от моделей, исследованных в разделах 2.1-2.4, где игроков всего двое и торги ведутся непосредственно между ними, мы переходим к модели многошаговых аукционов, в которых торги ведутся с участием аукциониста.

Как и в модели раздела 2.4, случайная ликвидная цена акции Ср может принимать произвольные неотрицательные целочисленные значения согласно вероятностному распределению р = (ро,РьР-2, • • •)• Допустимы любые целочисленные ставки.

В аукционе принимают участие несколько игроков, один из которых является инсайдером. Аукцион организован следующим образом:

1) Перед началом аукциона случайный ход выбирает цену акции на весь период торгов. Результат этого хода сообщается Игроку 1. Все участники аукциона знают, что Игрок 1 является инсайдером.

2) На каждом шаге аукциона t = 1,2,...,7?,, агенты одновременно делают ставки называют свою цену акции. Допустимы любые неотрицательные целочисленные ставки.

3) Каждый агент, назвавший максимальную цену, покупает у аукциониста одну акцию за эту цену. Если множество агентов, назвавших максимальную ставку совпадает со всем множеством агентов, то сделка не происходит.

4) По окончании аукциона полученная чистая прибыль или убыток, то есть вырученные деньги минус ожидаемая цена проданных акций, поровну делится между всеми агентами (скажем, выплачивается в качестве дивидендов, возможно отрицательных). Это правило выполняется в аукционах, которые проводит закрытое акционерное общество с целью распространить среди своих акционеров партию своих однотипных акций.

Все игроки стремятся максимизировать приращение цены своего итогового портфеля (деньги плюс истинная цена полученных акций).

Такие n-шаговоые аукционы описываются повторяющимися играми N лиц Gn(N, р) с неполной информацией у всех игроков, кроме Игрока 1. Игра задается счетным набором (в соответствии с количеством возможных состояний случайной цены акции) TV-мерных матриц одношаговых выигрышей игроков. Каждая матрица имеет бесконечное множество входов (в соответствии с количеством возможных действий игроков (ставок)). Игры Gn(N, р) являются играми с нулевой суммой.

Заметим, что для случая одного неинформированного игрока, N = 2, эта игра при удвоении функций выигрышей обоих троков совпадает с игрой прямых торгов между ними, происходящих без посредника (см. раздел 2.4). Таким образом, при N — 2 модель сводится к антагонистической игре G„(2,p) со значением V„(2,p), равным половине значения К,(р) игры прямых торгов G„(p).

В качестве решения для динамической игры N лиц мы используем концепцию совершенной (устойчивой относительно подыгр) ситуации равновесия. Ввиду бесконечности множества состояний (возможных цен акции) и бесконечности множеств чистых стратегий игроков, при произвольном распределении р в игре Gn(N, р) может не существовать п ситуации равновесия по Нэш.у.

Для получения совершенных ситуаций равновесия в играх Gn(N, р) мы используем решения антагонистических игр прямых торгов G„.(p) (раздел 2.4) в случае существования значений последних игр.

Теорема 2.15. Если случайная величина Ср имеет конечное мат.елштич.еско<: ож.ида-пие, Е[СР] < оо, то в п-ишговой игре Gn(N, р) существует совершенная ситуация равновесия. Выигрыш инсайдера Vn(l,N,p) в совершенной ситуации, равновесия положителен и не. убывает с возрастанием числа шагов.

Теорема 2.1G. Для р £ А/2 выигрыши инсайдера Vn(l, N, р) в coeepute.n.uoü ситуации

равновесия игры Gn(N, р) ограничены сверху непрерывной кусочно-линейной вогнутой функцией H(N,p) на Л/2. Ее области линейности

L(r) = {p:E[p]e[r,r+l]}, г = 0,1,....

Ее. области 1шдифф('.ре.щируелшспш

(-) (г) = {р : Е[р] = г}.

Для р е L(r) с Е[р] = г + а

Я(р) = (Б[р]-а(1-а))/2.

Имеют место следующие равенства:

Иш Vn{l, N, р) = H(N, р).

П—'ОС

Ограниченность значений 14(1, iV, р) позволяет при D[Ср\ < оо корректно определить игры Gx(N,p) с бесконечным числом шагов, описывающие аукционы заранее но ограниченной продолжительности.

Существование совершенной ситуации равновесия для игр G^n, р) требует доказательства. Мы устанавливаем этот факт, строя в явном виде равновесные стратегии игроков.

Теорема 2.18. В соверишнной ситуации равновесия выигрыш VJ„(1, N, р) Игрока 1 равен Vx(p)(N — 1 )/N, а выигрыши V^ik, N,p) остальных игроков, к = 2 ,...,N, равны —Vx(p)/N. Все игроки имеют равновесные стратегии.

В от.ой ситуации равновесия инсайдер воспроизводит оптимальную стратегию Игрока 1 в игре, прямых торгов Gоо(р), все неинформированные игроки воспроизводят оптимальную стратегию Игрока 2 в той -лее игре.

Случайная последовательность цен состоявшихся сделок (сделка происходит, если множество игроков, назвавших .максимальную ставку, не равно множеству всех игроков) совпадает с последовательностью цен состоявшихся сделок в игре, прямых ■торгов Goc(p) заранее неограниченной продолжительности и воспроизводит случайное блуждание, ожидаемой цены акции.

Ожидаемая цена покупки акции 'равна ожидаемой цене акции. Получаемых: чистая прибыль или убыток равны нулю и никаких дивидендов не выплачивается.

Во всех рассмотренных в главе 2 вариантах модели установлено, что оптимальная стратегическая рандомизации информированного игрока в торгах с заранее неограниченной продолжительностью порождает случайное блуждание цен совершенных сделок.

Таким образом, полученные результаты подтверждают о том, что случайные флуктуации цен на финансовых рынках могут являться следствием асимметричной информированности агентов.

В третьей главе исследуются модели многошаговых торгов между двумя биржевыми игроками, на которых торгуется два типа акций. Случайные ликвидные цены акций могут принимать произвольные целочисленные значения. Эти цены акции обоих типов и и V определяются "состоянием природы" в = (и, у), которое выбирается случайным ходом на весь период торгов перед их началом из множества 5 = 7? точек двумерной целочисленной решетки.

Оба игрока знают распределение р 6 А(5) вероятностей состояний. Кроме того, Игрок 1 является инсайдером. Он знает "состояние природы" в = (и, у) и, тем самым, ликвидные цены и) и и обоих типов акций. Игрок 2 не имеет этой информации. Игрок 2 знает, что Игрок 1 является инсайдером.

Затем, игроки ведут между собой многошаговые торги. На каждом шаге торгов игроки независимо и одновременно делают векторные ставки называют свои цены акций обоих типов. Назвавший более высокую цепу акции данного тина покупает за эту цену одну акцию этого типа у противника. Если игроки назвали одинаковые цены акции того или иного типа, то передачи акции этого типа не происходит.

После каждого шага пара названных векторных ставок объявляется обоим игрокам. Допустимы любые целочисленные векторные ставки.

Игроки стремятся максимизировать цепу своего итогового портфеля деньги плюс стоимость приобретенных рисковых активов, рассчитанная по их ликвидным ценам.

Такая п-шаговая модель описывается антагонистической повторяющейся игрой Сг^'"(р) с неполной информацией у второго игрока. Ввиду счетности числа нозможож-ных состояний 5 = 22, в общей постановке игры С"'"(р) значение ^"'"(р) такой игры может но существовать.

Глава 3 построена следующим образом. В разделе 3.1 в предложении 3.1 при условии конечности математических ожиданий случайных цен обоих типов акций ир и г>р доказывается существование значения У,"'"(р) игры С","(р). Далее устанавливаются свойства этого значения.

Теорема 3.1. Если Ер[и\ < оо и Ер[у\ < оо, то для любого числа шагов п зня-чение п-шаговой игры удовлетворяет соотношению

уПр) <№) + №).

где р1 ир2 одномерные проекции распределения р, а. 1^(р1) и У,"( р2) значения игр, моделирующих торги, на которых торгуются акции только одного типа.

Полученный результат означает, что одновременные конечно-шаговые торги двумя рисковыми активами менее выгодны для инсайдера, чем раздельные торги однотипными акциями. Этот факт объясняется тем. что одновременное проведение торгов приводит к раскрытию большего объема инсайдерской информации ставки но акциям одного типа дают информацию об акциях другого типа.

Основной результат раздела 3.1 ограниченность значений п-шаговых игр С,",1,(р) для произвольного числа шагов п при условии конечности вторых моментов распределения р.

Теорема 3.2. Если случайные величины и и V имеют конечные дисперсии £>р[и] < оо и £)р[у] < оо, то для значений п-ишговых игр (^'"(р) справедливо неравенство

С(р)<1/2(Др.М + Др2М).

Этот факт позволяет рассматривать торги не ограниченной заранее продолжительности, которые сводятся к бесконечным играм (3^"(р).

В разделах 3.2 и 3.3 приводятся решения для частных случаев таких игр <3£>"(р), а именно, для игр с двумя или с тремя состояниями (распределение р имеет двух или трехточечнын носитель). В разделе 3.5 с помощью приведенной в разделе 3.4 теоремы (Доманский), строится решение игры С^"(р) в общей постановке на основе решений для игр с не более, чем тремя состояниями.

В разделе 3.2 при рассмотрении случая, когда носитель распределения р на Ж2 содержит две точки, не ограничивая общности, можем считать, что одна из этих точек (0,0). Таким образом, в игре возможны два состояния (0,0) и (пц, т2), где т\ Ф т2 целые числа, причем т1 > 0. Распределение р описывается скалярным параметром р вероятностью состояния {т\,т2).

Рассмотрим решетку Ьа1{тх,т2) С [0,1],

Ьа1(т\,т2) = {к/пц, А: = 0,..., т^ (^]{//|т2|, I = 0,..., |т2|}.

Теорема 3.3. Значение У£,т2(р) игры С?™|т2(р) равно сумме

значений игр с одним рисковым активом СР£,'(Р) и См,'2'(р). Оба игроки имеют оптимальные стратегии.

Оптимальная стратегия Игрока 2 представляет собой сочетание его оптимальных стратегий для игр с. активами одного типа С^1(р) и

Мартингал апостериорных вероятностей состояния (т^тг), порождаемый оптимальной стратегией Игрока 1, представляет собой асимметричное случайное блуждание по смежным точкам решетки ЬаЬ(т\,т2) С [0,1] с поглощением в щхейних точках.

В разделе 3.3 рассматривается случай, когда носитель распределения р на содержит три точки:

21 = {хиУ\), г2 = (х2,г/2), ~з = (хз,Уз), ¿1 ,г2,г3еЖ'2.

Положим гз = (0,0). Пусть также, для определенности, х\ > у\> 0, у2 > х2 > 0.

Треугольник с вершинами г\, г2 и 0 обозначим А(г1:г2,гг). Для точки и> = (и,и) € К2, лежащей внутри Д(21, х:2, 0), обозначим р(-|ш) трехмерный вектор ее барицентрических координат с базой г1,г2,0.

Теорема 3.4. Значение V!^Z2(p)m.pbi,Gz0^z'(p) с тре.мя состояниями z\, иЛ) равно сумме значений двух игр с одним рисковым активом. Для точки w = (u,v) 6 7?, находящейся внутри треугольника A(zi, 22,23),

КГЧр(-М) = 1/2 ■ ((I? + ytMzilw) + (xl + yl)p{z2\w) - (и2 + V2)).

На границе треугольника A(zi,z2,0) функция V^|Z2(p) определяется теоремой 3.3. В остальных точках ги = (u,v) € A(zi,z2,0) эта функция является наименьшей непрерывной вогнутой мажорантой ее значений в точках: w = (u,v) € Z2 П A(2i,22,0) и в точках границы треугольника Л(21,22,0). Оба игрока имеют оптимальные, стратегии.

Оптимальная стратегия Игрока 2 представляет собой сочетание, его оптимальных стратегий для игр с активами одного типа.

Мартингал апостериорных математических ожиданий, порождаемый оптимальной стратегией Игрока 1, представляет собой симметричное случайное, блуждание, по точкам peuieniKU Z2, находящимся внутри треугольника, A(zlt z2, Z3). Симметрия этого блуждания нарушается при попадании на границу треугольника. Наминая с момента попадания на границу, игра, переходит, в одну из игр с. распределениями р с двухточечными носителями z\,z2, или 22,0, или 0, .

В разделе 3.4 приводится результат В.К.Доманского (2009), в котором дается каноническое представление множества вероятностных распределений на двумерной целочисленной решетке Z2 с конечными вторыми моментами и фиксированными целочисленными математическими ожиданиями. Элементы этого множества каноническим образом представлены в виде выпуклой комбинации его крайних точек распределений с не более, чем трехточечными носителями.

В разделе 3.5 рассматриваются игры G5J,v(p) с произвольными распределениями р на двумерной целочисленной решетке.

В разделе 3.5 описывается алгоритм построения оптимальных стратегий Игрока 1 в играх G^°(p) с начальным распределением р общего вида, основанный на описанном в разделе 3.4 разложении. Такой алгоритм определяет последовательность действий Игрока 1 в зависимости от выбранного случаем состояния.

Получен следующий результат: Теорема 3.5. Если дисперсии случайных цен акций и и v конечны, Dp\ [к] < оо, Dpi[v] < 00, то игры. G£,v(p) имеют значения VJ£,v(p), определяемые соотношениями

С(р) = Ор1) + ^(р2).

Если математические, ожидания Ер 1 [и], Ep![v] цен акций обоих типов целые числа, то

V^(p) = l/2-(Dp,[v]+DlAv}). Оба игрока имеют оптимальные стратегии.

На первом шаге, евоей оптимальной стратегии т" Игрок 2 делает ставку А'г), где к 1 целая часть математического ожидания £>р<[а] и к% целая "шсть математического ожидания £р<[6|. На 'последуплцих шагах 4 = 2,... 1-ая компонента ставки Игрока. 2, I = 1,2 зависши, только от последней наблюдаемой пары 1-ых компонент ставки Игрока 1 и его собственной ставки

Оптимальная стратегия Игрока 1 в игре (^"(р) строится с помощью 'приведенного в этом разделе, алгоритма на основе оптимальных стратегий Игрока 1 в таких играх с распределениями, имеющими не. более, 'чем трс.ппочечнме носители, в выпуклую комбинацию которых раскладывается исходное, распределение р, см. теорему (Домаи-ский) в разделе 3-4-

Следствие. Преимущество, которое получает Игрок 2 от проведения совместных п-шаговых торгов в сравнении с раздельными торгами по каждому тину акций, исчезает в игре с заранее не ограниченной продолжительностью.

Полученные в третьей главе решения повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих модели многошаговых торгов между двумя биржевыми игроками, па которых торгуется два типа акций, также демонстрируют справедливость гипотезы о возможном эндогенном происхождении случайных флуктуацпй цен на финансовых рынках.

В четвертой главе аппарат теории некооперативных игр используется как инструмент при решении экономических проблем посредством введения вспомогательных матричных игр, решение которых и (или) выявление свойств их решений, дают ответ для задач принятия экономических решений.

Глава 4 построена следующим образом. В разделе 4.1 мы предлагаем теоретико-игровой подход к определению рейтингов на множестве объектов, характеризуемых то-мерными векторами показателей. В разделе 4.2 исследуется задача, связанная с проблемой однозначной разрешимости уравнений конкурентного равновесия.

В разделе 4.1 ставится следующая задача.

Имеется конечная большая совокупность объектов {/ = {и},

где щ значение г'-ого показателя. Задача состоит в определении рейтингов объектов на основании таблицы показателей. Не ограничивая общности, считаем, что показатели неотрицательны, и возрастание показателя влечет возрастание рейтинга.

Предполагаем, что существует упорядочение >- совокупности объектов V = {и},

и = [щ,... ,ит) € II С Я'

)ГП

задаваемое ранжирующим функционалом

т

/®(и) = Ещ ' или №№ =

¿=1

в определение которого входят

а) вектор V,' = (и;1,..., шт), где вес г-ого показателя, отражающий его значимость;

б) набор функций £ (Э1, • • ■ ,5т), где монотонно возрастающая функция g¡ : Я\_ —> отражает форму зависимости от г-го показателя. Эти функции (линейные, кусочно-линейные, квадратичные и т.н.) могут быть приписаны показателю, исходя из его содержательного смысла. Полагая, что набор функций g фиксирован, мы опускаем индекс g и пишем /„■•

Для определения весовых коэффициентов г^ предлагаем использовать экспертное упорядочение подгруппы объектов, и результирующее упорядочение, рассчитанное с помощью функционала должно наилучшим образом отразить предпочтения эксперта.

Представляется неразумным просить эксперта непосредственно оценивать эти веса. В лучшем случае он может дать качественную оценку важности показателей. Мы полагаем, что эксперт может лучше сравни ть достоинство хорошо известных ему объектов. Поэтому мы предлагаем следующую процедуру:

на основании своего опыта, знаний и интуиции эксперт выбирает и ранжирует некоторую ограниченную, но репрезентативную подгруппу объектов;

веса искомого ранжирующего функционала определяются на основе принципа максимизации минимальной разности его значений для смежных выбранных экспертом объектов.

Эксперту сообщается требуемое число п уровней иерархии и предлагается выбрать заданное число п объектов и упорядочить их в соответствии со своими предпочтениями, то есть указать типичный представитель каждого уровня: выбрать типичный объект "первого" сорта, затем указать объект "второго" сорта и так далее. Выбранные объекты должны быть хорошо известны эксперту. В то же время, выбранная подгруппа объектов должна быть достаточно репрезентативна, что означает, что выбранные объекты должны быть, в некотором смысле, равномерно распределены на генеральной совокупности объектов.

Пусть исх = {и1,...,ип} - множество объектов, выбранных и проранжпрованных экспертом,

и1 >ех и2 >-ех ■ ■ ■ >~ех ич-Полагаем, что объекты занумерованы в соответствии с рангом, то есть

<к Ч), ^ехЧь-

Задача состоит в определении вектора весов на основании информации, которая содержится в экспертном упорядочении.

Определяем матрицу А размера тхп с элементами eiy = fii¿(u¿j), где uy значение i-oro показателя для j-oro объекта. Таким образом, столбцы матрицы А соответствуют выбранным объектам, а строки показателям.

Затем конструируем матрицу ДА размера т х (п — 1),

«и — а 12 au — ai3 ... ain_1 — ajn

дд _ «21 — «22 «22 — "23 • • • «2ti-l ~ Ö2n «ml «m2 «m2 ^'шЗ • • • «nm—1 «mn

Элементы матрицы ДА представляют собой разности преобразованных значений показателей для смежных объектов в экспертном ранжировании.

Предложение 4.1. Упорядочение У, задаваелюе ранжирующим функционалом на генеральной совокупности объектов, совместимо с экспертным ранжированием Уех тогда и только тогда, когда матричная игра ДА размера т х (п — 1) имеет положительное значение, val ДА > 0.

Если же оказывается, что val ДА < 0, то это означает, что либо исследуемые показатели не лежат в основе оценок эксперта, либо набор функций g нуждается в пересмотре.

Предложение 4.2. Пусть valAA > 0, и упорядочение у, задаваемое ранжирую-т;им функционалом /w, совместимо с экспертным ранжированием Уех при некотором весовом векторе w* = (w{,... ,w*t). Упорядочение y обеспечивает оптимальное различение выбранных экспертом объектов,, тогда и только тогда, когда w* = (u>J.....tt'*,) оптимальная стратегия максимизирутцего игрока 1 в матричной игре ДА.

Другой пример эффективности введения и исследования вспомогательной матричной игры дает исследуемая в разделе 4.2 задача, связанная с проблемой однозначной разрешимости уравнений конкурентного равновесия.

В различных моделях математической экономики возникает проблема единственности конкурентного равновесия. Например, проблема выравнивания цен на факторы производства в теории международной торговли приводит к изучению единственности решений уравнений конкурентного равновесия. В книге Никайдо (1972) указывается, что эта проблема связана с задачей об однозначной разрешимости производственного отображении в терминах его якобиевой матрицы А. Эта задача, в свою очередь, равносильна тому, что система линейных неравенств

Ау < 0, у > 0, (1)

где A = [a(i,j)\ квадратная матрица размера п х п и у = (уь ..., у„) - п-мерный вектор-столбец, имеет лишь тривиальное решение у = О. В работе Гейла и Никайдо (1965) дается достаточное условие отсутствия нетривиальных решений у системы (1), состоящее в положительности всех главных миноров матрицы А: для любого к =

1,2,. .. ,n detAi,...ik >0, где Ai...¿t матрица размера fcx fe, образованная пересечением строк и столбцов матрицы А с одинаковыми номерами гь ...

Отметим, что отсутствие нетривиальных решений у системы (1) достаточно проверять на симплексе

п

Д" = {у : Ю > о, £> = 1}.

к= 1

Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что у вероятностный вектор. Рассмотрим матричную игру с матрицей выигрышей А = [a(i,j)]. Нетрудно показать, что в теоретико-игровой формулировке отсутствие нетривиальных решений у системы (1) равносильно положительности значения этой матричной игры, val А > 0.

В теоремах 4.1 и 4.2 мы получаем индуктивный (по размеру матрицы) критерий положительности значения матричной игры необходимое и достаточное условие отсутствия нетривиальных решений у системы (1).

Обозначим М(т,п) множество всех действительных матриц В размера тхп, для которых матричная игра с матрицей выигрышей В имеет положительное значение val В > 0.

Теорема 4.1. Пусть А квадратная вещественная матрица размера п хп, такая что для всех í = 1, —, n А' $ А/(п — 1, п), где А' .матрица размер:, (п — 1) х п, получающаяся из матрицы А вы,ч,е.ркивп,пшм i-ou. строки. Матрица А € М(п,п) тогда и только тогда, когда существует обратная матрица Л"1 и. все ее элементы неотрицательны, A~i > 0.

Теорема 4.2. Матрица А размера пхп, принадлежит множеству М(п,п) тогда и только тогда, когда существуют целое k, 1 < к < п и множество индексов 1 < ¿i < ... <i¡¡<n таких, что любая квадратная k х к подматрица .матрицы, размер!, к х п, образованной строками матрицы. А, принадлежат множеству M(k,k).

Для проверки полученного критерия требуется при переходе к следующей размерности устанавливать существование обратной матрицы и неположительность всех ее элементов. Отметим, что в общем случае (без каких-либо специальных ограничении на матрицу А) проверка критерия вычислительно сложна. Проверка положительности главных миноров существенно проще.

Возникает вопрос насколько условие положительности главных миноров "далеко" от необходимого условия положительности значения матричной игры. Мы исследуем два специальных класса матриц, представляющих интерес для экономических задач.

Матрицы с неположительными элементами вне главной диагонали (затраты-ныпуск). Мы показываем, что положительность главных миноров является также и необходимым условием положительности значения соответствующей матричной игры;

Симметрические матрицы. Мы устанавливаем достаточное условие положительности значения матричной игры, существенно более широкое, чем положительность главных миноров.

Для произвольной матрицы А нетрудно увидеть, что неравенство

хтАх > 0 при всех х 6 А", (2)

где А" единичный симплекс, влечет val А > 0. Таким образом, выполнение неравенства (2) для произвольной квадратной матрицы А является достаточным условием положительности матричной игры, val А > 0.

Если А симметрическая матрица, ац = ац, то это достаточное условие существенно шире, чем положительность главных миноров, так как последнее для симметрической матрицы равносильно положительной определенности соответствующей квадратичной формы А на всем пространстве Яп (условие Сильвестра),

хтАх > 0 при всех х Е R",

а не только на единичном симплексе, как в неравенстве (2).

Совокупность квадратичных форм от п переменных, положительно определенных на единичном симплексе А" или, что равносильно на Л" \ {0}, образует конус в пространстве симметрических матриц. В теореме 4.4 мы получаем критерий принадлежности квадратичной формы с матрицей А этому конусу в терминах миноров этой матрицы.

О связи рассматриваемого вопроса с оптимизационными задачами см. в работе А. М. Воришка (1983).

Квадратичную форму хтАх > 0 будем отождествлять с симметрической матрицей A, a,j = aj¡, размера п х п.

Теорема 4.5. Для тога чтобы квадратичная форма А, была положительно определена на симплексе А", необходимо и достаточно, чтобы элементы главной диагонали были положительны, a¡¡ > 0 и для любого главного минора к = 2,...,п

выполнялось одно из двух условий:

главный минор положителен, dctAil^ it > 0;

в матрице ¿4¡ существует строка i¡, 1 <1 <k, для которой сумма алгебраических дополнений к ее :>ле.мен:та.м неположительна,

к

Y^ Фиь (Д. .и ) < о, j=i

где <^ij([-]) - алгебраическое дополнение мимента, стоящего на переест.паи i-ой строки и j-го столбца матрицы [•].

Для симметрических матриц полученный критерий снабжает нас достаточным условиями положительности значения этой матричной игры, val А > 0 (отсутствия нетривиальных решений у системы (1)). Как указывалось выше, пз общих соображений (условие Сильвестра) следует, что это достаточное условие существенно шире, чем условие положительности главных миноров. Это факт также вытекает и из формы критерия.

Таким образом, для симметрических матриц получено новое условие единственности конкурентного равновесия в терминах якобиевой матрицы производственного отображения.

Работы автора по теме диссертации

|1| Крене B.JI. Конечные бескоалиционные игры с зависимыми стратегиями. В сб.: Теория игр, под ред. Н.Н.Воробьева. Ереван. - 1970. - С. 211-215.

|2| Krcps V. Bimatrix games with unique equilibrium points // International Journal of Game Theory. - 1974. - V.3. - i.2. - P. 115-118.

Журнал включен в систему цитирования Social Sciences Citation Index по разделу Economics.

|3| Krcps V. Finite N-person non-cooperative games with unique equilibrium points // International Journal of Game Theory. - 1981. - V.10. - P.125-129.

[4| Kpenc B.JI. О квадратичных формах, неотрицательных на ортантс // Журнал вычисл.математики и мат. физики. - 1984. - Т.24. - Вып.4. - С. 497-503. |5| Krcps V. On quadratic forms non-negative over an octant // U.S.S.R. Comput. Maths. Matli.Phys. - 1984. - V. 24. - i.2. - P.105-109.

|G| Krcps V. On Games with Stochastically Dependent Strategies // International Journal of Game Theory. - 1994. - V.23. - P.57-C4.

|7| Kpenc B.JI. Теоретико-игровой подход к проблеме однозначной разрешимости уравнений конкурентного равновесия // Вестник КрасГАУ. - 200G. - Т. 13. - С.85-90.

|8| Крене B.JI. О воздействии выбора денежной единицы на исход многошаговых торгов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 200G. - Т.13. - Вып.З. - С.SOS-SOS.

|9| Kpenc B.JI. Повторяющиеся игры, моделирующие биржевые торги, и возвратные последовательности // Изв. РАН, Теория и системы управления. - 2009. Вып. 4. -С. 109-120.

|1()| Krcps V. Repeated Games Simulating Exchange Auctions and Return Sequences // Journal of Computer and Systems Sciences International. - 2009. - Vol.48. - i.4. - P.G01-G15.

|11| Kpenc В.Л. Конечные бескоалиционные игры с единственными ситуациями равновесия // Вестник Санкт-Петербургского гос. университета. Сер.10. - 2009. - Вып.З. -C.55-G2.

(12| Крене В.Л. Модель одношагового биржевого торга // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - T.1G. - Вып.6. - С.1086-1087.

[13| Крепе В.Л. Теоретико-игровая характеризация стохастической независимости // Дискретная математика. - 2010 - Т.22 - Выи.1. - С.115-125.

|14| Кроне I3.JI. Решения игр торга двумя рисковыми активами. Случаи двух и трех состояний // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т.17. -Вып.2. - С.234-235.

|15| К reps V., Vorob'cv N. On probabilities of pure strategies n-tuplcs in non-cooperative games // International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. - 2000. - V.10.

- Is.3. - P.209-215.

|16| Доманскии В.К., Крепе В.Л. Об одном методе ранжирования // Мат. методы в социальных науках. Вильнюс, IIMK АН Лит. СССР. - 1985. - Вып.18. - С. 29-34.

|17| Доманскии В.К., Крене В.Л. О стратегическом обосновании случайных • I>л>ыуа-ций цеп на финансовых рынках // Препринт ПОМИ им. В.А.Стеклова РАН. - 200С. -01/200G. - C.1-1G.

|18] Доманскии В.К., Крене В.Л., Калягина Л.В. Построение целевой функции дня оценки экономических ситуаций на основе экспертного ранжирования // Вестник Крас-ГАУ. - 200G. - Т 11. - С. 38-48.

|19| Доманскпй В.К., Крепе В.Л. О стратегической мотивировке случайного блуждания цен на финансовых рынках. Государственный университет Высшая школа экономики. "Модернизация экономики и государство". Под ред. Е.Г.Ясина. - 2007. - Т 3. - С. 428-439. [20| Доманскии В.К., Крепе В.Л. Момент обнаружения "инсайдерской" информации на торгах с асимметричной информированностью агентов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т.14. - Вып.З. - С. 399-416.

|21| Доманскии В.К., Крене В.Л. Многошаговые торги акциями и повторяющиеся игры N лиц с неполной информацией. В сб.: Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения. Труды международной научной конференции. Минск, Издательский центр БГУ. - 2008. - С.82-88.

|22| Доманскии В.К., Крене В.Л. Многошаговые торги с несколькими рисковыми активами // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - T.1G. - Вып.2.

- С. 324-325.

|23| Domansky V., Kreps V. Repeated games with asymmetric information and random price fluctuations at finance markets: the case of countable state space. Centre d'Economie de la Sorbonne. Univ. Paris 1 Pantheon Sorbonne. - 2009. - Preprint 2009.40. - P.l-11.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 25.05.2010. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100. Заказ 6077b.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Введение

0 Некооперативные игры и экономическое поведение

1 Обоснование стохастической независимости рандомизированных выборов игроков

2 Моделирование биржевых торгов однотипными акциями с помощью повторяющихся игр с неполной информацией

3 Моделирование биржевых торгов акциями двух типов повторяющимися играми с неполной информацией

4 Косвенное использование некооперативных игр для решения экономических задач

Глава 1. Обоснование стохастической независимости рандомизированных выборов игроков

1.0 Введение к главе

1.1 Конечные некооперативные игры N лиц с заданными единственными ситуациями равновесия

1.1.1 Определения и свойства

1.1.2 Критерий существования игры с заданной единственной ситуацией равновесия

1.2 Теоретико-игровая характеризация стохастической независимости

1.2.1 Отклонение от стохастической независимости

1.2.2 Маргинальные (ЛГ — 1)-мерные распределения

1.2.3 Основной результат

Глава 2. Моделирование биржевых торгов акциями одного типа с помощью повторяющихся игр с неполной информацией

2.0 Введение к главе

2.1 Торги однотипными акциями неограниченной продолжительности с дискретными допустимыми ставками

2.1.1 Повторяющиеся игры с неполной информацией у второго игрока и их рекурсивные свойства

2.1.2 Многошаговые торги с дискретными допустимыми ставками

2.1.3 Верхняя граница значений У™(р)

2.1.4 Асимптотика значений У™(р)

2.1.5 Решения для игр и случайные блуждания

2.2 Модель биржевых торгов. Статический случай

2.2.1 Модель одиошагового торга с произвольными ставками

2.2.2 Решение одношаговых игр С™(р) с дискретными ставками. Предварительные эвристические соображения

2.2.3 Решение одношаговых игр С™(р)

2.3 Повторяющиеся игры, моделирующие биржевые торги с тремя допустимыми ставками, и возвратные последовательности

2.3.1 Решение одношаговых игр С\(р) с тремя допустимыми ставками

2.3.2 Решения тг-шаговых игр С^{р). Предварительные соображения

2.3.3 Решения п-шаговых игр 0^{р). Основной результат

2.3.4 Доказательство основного результата

2.4 Обобщение модели на случай произвольных целочисленных цен акции

2.4.1 Повторяющиеся игры с неполной информацией С?„(р): случай счетного числа состояний

2.4.2 Верхняя граница значений Уп(р)

2.4.3 Структура множеств 0(г) и линейных функций на них

2.4.4 Асимптотика значений Vn(p).

2.4.5 Решения для игр Goo(p) и случайные блуждания

2.5 Модели многошаговых аукционов и повторяющиеся игры N лиц с неполной информацией

2.5.1 Повторяющиеся игры N лиц Gn{N, р) с неполной информацией, моделирующие многошаговые аукционы.

2.5.2 Достаточные условия существования совершенной ситуации равновесия в игре Gn(N, р)

2.5.3 Верхняя граница выигрышей инсайдера в совершенной ситуации равновесия игры Gn (N, р)

2.5.4 Асимптотика выигрышей инсайдера в совершенной ситуации равновесия игр Gn(N, р)

2.5.5 Основные результаты для игр G^iN, р) с произвольным числом шагов

Глава 3. Моделирование биржевых торгов акциями двух типов повторяющимися играми с неполной информацией

3.0 Введение к главе

3.0.1 Описание игр торгов двумя рисковыми активами . 171 3.0.2 Результаты главы 3.

3.1 Верхняя граница значений повторяющихся игр, описывающих биржевые торги акциями двух типов

3.1.1 Распределения р с конечными первыми моментами

3.1.2 Распределения р с конечными вторыми моментами

3.2 Решение повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих биржевые торги акциями двух типов. Случай двух состояний

3.2.1 Оптимальные первые ходы Игрока 1 в игре GT£(p) с одним активом и с двумя состояниями . 182 3.2.2 Решение повторяющихся игр торгов двумя активами и с двумя состояниями игры

3.3 Решение повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих биржевые торги акциями двух типов. Случай трех состояний

3.3.1 Решение игры для случая трех состояний

3.3.2 Описание первого шага оптимальной стратегии

Игрока 1.

3.4 Разложение распределений на решетке 1?

3.4.1 Разложение на распределения с двухточечными носителями

3.4.2 Разложение на распределения с трехточечными носителями.

3.5 Построение оптимальных стратегий Игрока 1 в играх

Со^(р) общего вида

Глава 4. Косвенное использование пекооперативных игр для решения экономических задач

4.0 Введение к главе

4.1 Теоретико-игровая модель определения рейтингов объектов, характеризуемых многомерными показателями, на основе экспертного оценивания

4.1.0 Введение к разделу 4.

4.1.1 Экспертная информация и предварительный анализ данных.

4.1.2 Свойства линейной целевой функции.

4.1.3. Игровая модель для определения весов линейной целевой функции.

4.1.4 Пример: построение целевой функции для экономической политики

4.1.5 Построение сводного балла надежности банков

4.2 Критерии положительности значения матричной игры с

0. Некооперативные игры и экономическое поведение.

Предметом представляемой диссертационной работы являются задачи принятия экономических решений, для которых ответ (нахождение и исследование равновесия) может быть получен на основе современных достижений теории некооперативных игр, и в частности, теории повторяющихся игр с неполной информацией.

Фундамент общей теории игр был заложен в вышедшей в 1944 году монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение" [44], которая обосновала возможность анализа большого массива экономических вопросов с помощью теоретико-игровых моделей и методов. Среди многочисленных определений того, что есть теория игр и каковы ее задачи, авторы сравнительно недавно изданного учебника [48] выделяют четыре формулировки:

Теория игр — это теория рационального поведения людей с несовпадающими интересами" [56];

Теория игр — наука о стратегическом мышлении" [72]; "Теория игр — это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов" [13];

Суть теории игр в том, чтобы помочь экономистам понимать и предсказывать то, что будет происходить в экономическом контексте" [92].

Теория игр делится на две составные части: теория некооперативных (бескоалиционных) игр и теория кооперативных игр. В некооперативной игре анализируется "рациональное поведение" индивидуальных участников, которые стремятся извлечь для себя "максимальную выгоду" в соответствии с четко определенными правилами и возможностями. Некооперативная теория стратегически ориентирована. Она изучает то, что должны делать, и как мы ожидаем, будут делать игроки. Теория некооперативных игр — это способ моделирования и анализа ситуаций, в которых оптимальные решения каждого участника (игрока) зависят от его представлений (или ожиданий) об игре оппонентов.

В некооперативной игре предполагается, что в процессе игры кооперация между игроками невозможна: игроки выбирают свои действия (чистые стратегии) одновременно и без обмена информацией. Конечная некооперативная игра (см. [13], [48]) задается тройкой где I = {1,., ТУ} — множество игроков, Si = {1,., пц\ — множество чистых стратегий игрока г, и многомерная вещественная матрица задает выигрыши игрока г в ситуации (^'х,., ., Улг) (при выборе игроком I стратегии ¿1, I = 1,.,

Наряду с выбором чистых стратегий, игроки могут выбирать вероятностные распределения на множестве действий. Такое рандомизированное действие называется смешанной стратегией. Множество смешанных стратегий (вероятностных смесей чистых стратегий) Х{ игрока г представляет собой симплекс размерности т^ — 1:

При использовании игроками смешанных стратегий x¿ функция выигрыша игрока г, г = 1,., N, в ситуации х — (х1;. ., x¿,. ,xjv) имеет вид т.е. выигрыш игрока определяется как математическое ожидание его выигрышей в чистых стратегиях по мере, равной произведению независимых мер - смешанных стратегий игроков.

Основы теории некооперативных игр были намечены еще в статьях Э. Бореля в двадцатых годах прошлого столетия [62], [63], [64]. Хотя Борель дал ясную формулировку важного класса теоретико-игровых

Г =< I, Si, Ai, iel >

3í—3i—3n N

1) задач и ввел понятие чистых и смешанных стратегий, он, как указывает фон Нейман в примечании к переводам упомянутых работ Бореля на английский язык, "не получил основного вывода — теоремы о мини-максе, без которой не может быть никакой теории игр". Эта доказанная фон Нейманом [104] теорема утверждает, что если в матричной игре (игре двух лиц с конечным числом чистых стратегий игроков и с нулевой суммой) игроки могут рандомизировать свой выбор, то существует точка равновесия. Позднее, независимо от Бореля и фон Неймана, Фишер, который столь эффективно ввел рандомизацию в статистической выборке, показал [79], что, благодаря рандомизации, "шансы игры стабилизируются в седловой точке". Он, по сути дела, сформулировал и доказал теорему о существовании равновесия для матричных игр размера 2x2.

В 1950 году Дж.Нэш [46] вводит понятие равновесия в некооперативной игре с несколькими участниками и доказывает важнейший результат теории некооперативных игр — существование равновесия в смешанных стратегиях в конечной некооперативиой игре. Ситуация х* = называется ситуацией равновесия по Нэшу [12] в игре Г, если для всех игроков i = 1,., N справедливы равенства

Hi (х*) = max#j(x*||xi),

XjeXj где x*||xj = (xj,., х*1; Xj, х*+1,., х^) - ситуация, в которой все игроки, за исключением Игрока г, выбрали свои стратегии-компоненты ситуации равновесия х*.

Результат фон Неймана для матричных игр и обобщающий его результат Нэша для конечных некооперативных игр открыли возможность решения многих экономических задач с помощью методов и подходов теории некооперативных (бескоалиционных) игр. Фундаментальную роль в прояснении взаимосвязей между математической экономикой и теорией некооперативных игр сыграли такие монографические работы, как "Игры и решения" Льюса и Райфы [42], "Математические методы в теории игр, программировании и экономике" Кар-лина [30], обзор Фюденберга и Тироля "Non-cooperative Game Theory for Industrial Organization: An Introduction and Overview" [80], а также работа Дэвида Крепса "Game Theory and Economic Modelling" [92].

В последние три десятилетия в теории игр наблюдается значительный подъем, благодаря ее превращению из чисто нормативной дисциплины в науку о поведении, изучающую интерактивные решения в условиях длительного взаимодействия и включающую такие разделы, как эволюционная теория игр, теория повторяющихся игр, теория обучения (learning) и т.д. Эта трансформация привела к существенному расширению сферы приложений теории игр к общественным наукам, таким, как экономика, социальный выбор и социальное поведение.

Актом признания достижений теории игр в области экономических исследований является присуждение выдающимся специалистам в области теории игр нобелевских премий по экономике за последние годы. Дж. Нэш, Д. Харсаньи и Р. Зельтен (1994) получили премию за вклад в анализ равновесия в теории некооперативных игр. Премия была присуждена Р. Ауманну и Т. Шеллингу (2005) за углубленный анализ конфликта и сотрудничества путем анализа методами теории повторяющихся игр. JI. Гурвиц, Э. Маскин и Р. Майерсоп (2007) были награждены за создание на основе теории игр теории экономических распределительных механизмов.

Введение теоретико-игровых моделей в финансы (см. Р. Гиббоне [82], А. Такор [108] ) революционизировало современную теорию финансов. Существенную роль в современных финансовых моделях играют интенсивно развивающиеся теории аукционов и торгов. Заметный вклад в эти теории внесли недавние работы Т. Каплана, Ш. Замира [86], [87], [88], С.Б. Измалкова [28].

Использованию этой теории в экономике и социологии посвящена монография А. А. Васина "Некооперативные игры в природе и обществе" [8]. В ней исследуются модели несовершенной конкуренции на экономических рынках (локальные и сетевые аукционы, ценовая конкуренция, повторяющиеся парные сделки), а также задачи оптимального формирования налоговой системы в условиях уклонения от налогов.

Широкий спектр приложений теории игр содержит выходящий в 2010 году учебник В. В. Мазалова "Математическая теория игр и приложения" [43].

В последние годы уделяется большое внимание вопросу о природе случайных флуктуаций цен на финансовых рынках. См., например, работы Р. Калканьо, С. М. Лово [65], А. Кайла [99], и Б. Де Мейера, М. Салей [71].

Целью настоящей диссертационной работы является комплекса экономических задач, преимущественно связанных с моделированием и анализом финансовых рынков, на основе теории некооперативных игр.

Существование равновесия при предоставлении возможности участникам рандомизировать свой выбор и свойства такого равновесия позволяют получать и исследовать решения различных экономических задач.

Рассматриваемая в диссертации проблематика включает в себя исследование стратегических аспектов использования приватной асимметричной информации на финансовых рынках, а также проблему определения рейтингов различных финансовых институтов, инструментов и т.п., сводящуюся к агрегированию многомерных показателей.

Для разработанных в диссертации моделей многошаговых торгов рисковыми активами (акциями) использование теории повторяющихся игр с неполной информацией дало возможность исследования стратегических и информационных аспектов формирования цен на фондовых рынках. Впервые подобная модель с произвольными допустимыми ставками, однотипным акциями с двумя возможными ценами была введена в работе Б. Де Мейера и М. Салей [71]), чтобы продемонстрировать стратегическое происхождение броуновского движения в финансах.

Поскольку реальные торги проводятся в тех или иных денежных единицах, представляется более реалистичным считать, что игроки могут назначать только дискретные ставки пропорциональные этой минимальной денежной единице. Об актуальности и важности дискретных моделей финансовых рынков см. также в книге Дж. Кемпбелла, А. Ло и А. МакКинли [66].

Отсутствие в рассматриваемых в диссертации моделях ограничения на число возможных случайных цен акций и наличие рисковых активов двух типов также приближает модель к реальности.

В полученных в диссертации решениях повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих модели многошаговых торгов и аукционов, оптимальная стратегическая рандомизация инсайдера порождает случайное блуждание цен совершенных сделок. Тем самым, для моделей, приближенных к реальности, демонстрируется справедливость гипотезы о возможном эндогенном происхождении случайных флуктуаций цен на финансовых рынках.

Актуальной для всех общественных наук является проблема определения рейтингов объектов, характеризуемых многомерными векторами показателей, см. С. А. Айвазян [1], [2]. Применение в диссертации теоретико-игрового подхода дает эффективную методику решения этой задачи. Новой является предложенная организация экспертного оценивания в задаче определения рейтингов. Эксперту предлагается проранжировать небольшое число хорошо известных ему объектов. Веса искомого ранжирующего функционала определяются на основе принципа максимизации минимальной разности значений функционала для смежных выбранных экспертом объектов.

1. Айвазян С.А. К методологии измерения синтетических категорий качества жизни населения // Экономика и мат. методы. -2003. - Т.39. - Вып.2. - С. 38-53.

2. Айвазян С.А. Эмпирический анализ синтетических категорий качества жизни населения // Экономика и мат. методы. 2003. -Т.39. - Вып.З. - С. 19-53.

3. Айвазян С. А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика. 1974.

4. Айвазян С. А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и статистика. 1989.

5. Айвазян С.А., Мхиторян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Юнити. 1998.

6. Алехин Б.И. Рынок ценных бумаг. Введение в фондовые операции. -М.: Финансы и статистика, 1991. -160 с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1969.

8. Васин А. А. Некооперативные игры в природе и обществе. М.: Макспресс. 2005.

9. Вершик A.M. Задача о положительно определенных квадратичных формах на конусе и геометрия пространств форм. В кн.: Зап. научн. семинаров ЛОМИ. Пробл. теории вероятностных распределений. VI. Л.: Наука. 1983.

10. Вершик A.M., Черняков А.Г. Поля выпуклых многогранников и оптимум по Парето-Смейлу // Оптимизация. Новосибирск. -1982. Т. 28(45). - С. 112-145.

11. Воробьев H.H. Аналитическая характсризация независимости и марковости // Теор.вер.и ее примен. 1961. - Т. VI. - Вып.4. - С. 422-426.

12. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи. М.: Наука. 1969. - 112 с.

13. Воробьев Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука. 1984. - 496 с.

14. Гейл Д., Шерман С. Решения конечных игр двух лиц. В сб.: Матричные игры. / Под ред. Н. Н. Воробьева. М.: Физматгиз. -1961. С.45-61.

15. Доманский В.К. Разложение распределений на двумерной целочисленной решетке и модели биржевых торгов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т.16. - В.4. -С.644-646.

16. Доманский В.К., Крепе B.JI. Об одном методе ранжирования // Мат .методы в социальных науках. Вильнюс, ИМК АН Лит. СССР. 1985. - вып.18. - С. 29-34.

17. Доманский В.К., Крепе В.Л. Функция значений транспортной задачи и мультиномиальное распределение // Экономика и математические методы. 1998. - Т.34. - вып.4. - С. 119-133.

18. Доманский В.К., Крепе В.Л. Ранжирование многомерных альтернатив на основе экспертного оценивания. Теоретико-игровая модельОбозрение прикладной и промышленной математики. 2004. -Т.Н. - Вып.2. - С. 328-330.

19. Доманский В.К., Крепе В.Л. Повторяющиеся игры с асимметричной информацией и случайные блуждания цен на финансовых рынках // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2005. -Т. 12. - В.4. - С.950-952.

20. Доманский В.К., Крепе В.Л. О стратегическом обосновании случайных флуктуаций цен на финансовых рынках // Препринт ПОМИ им. В.А.Стеклова РАН. 2006. - 01/2006.

21. Доманский В.К., Крепе В.Л. О стратегической мотивировке случайного блуждания цен на финансовых рынках. Государственный университет Высшая школа экономики. "Модернизация экономики и государство". Под ред. Е.Г.Ясина. - 2007. - Т 3. - С. 428-439.

22. Доманский В.К., Крепе В.Л. Момент обнаружения "инсайдерской" информации на торгах с асимметричной информированностью агентов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. - Т. 14. - Вып.З. - С. 399-416.

23. Доманский В.К., Крепе В.Л. Многошаговые торги с несколькими рисковыми активами // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т. 16. - Вып.2. - С. 324-325.

24. Доманский В.К., Крепе В.Л. Решения игр торга двумя рисковыми активами. Общий случай // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. - Т.17. - Вып.2. - С.229-230.

25. Доманский В.К., Крепе В.Л., Калягина Л.В. Построение целевой функции для оценки экономических ситуаций на основе экспертного ранжирования // Вестник КрасГАУ. 2006. - Т 11. - С. 38-48.

26. Дрозд Ю.А. Преобразование Кокстера и представление частично упорядоченных множеств // Функц. анализ и его прилож. 1974 - Т.8. - Вып.З. - С. 34-42.

27. Измалков C.B. Аукционы с активным продавцом.

28. Калягина JT.B., Котюков М.М. Модель управления эффективностью бюджетного процесса //Государственное управление. Электронный вестник. 2007. - Вып.13. -С.1-9.

29. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир. 1964.

30. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: Изд-во иностранной литературы. -1963.

31. Крепе B.J1. Конечные бескоалиционные игры с зависимыми стратегиями. В сб.: Теория игр, под ред. Н.Н.Воробьева. Ереван. -1970. С. 211-215.

32. Крепе В. JI. О квадратичных формах, неотрицательных на ортан-те // Журнал вычисл.математики и мат. физики. 1984. - Т.24. - Вып.4. - С. 497-503.

33. Крепе B.JI. О воздействии выбора денежной единицы на исход многошаговых торгов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т.13. - Вып.З. - С.503-505.

34. Крепе В.Л. Теоретико-игровой подход к проблеме однозначной разрешимости уравнений конкурентного равновесия // Вестник КрасГАУ. 2006. - Т. 13. - С.85-90.

35. Крепе В.Л. Повторяющиеся игры, моделирующие биржевые торги, и возвратные последовательности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. - Вып. 4. - С. 109-120.

36. Крепе В.Jl. Конечные бескоалиционные игры с единственными ситуациями равновесия // Вестник Санкт-Петербургского гос. университета. Сер. 10. 2009. - Вып.З. - С.55-62.

37. Крепе В.Л. Модель одношагового биржевого торга // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т. 16. - Вып.6.- С.1086-1087.

38. Крепе В.Л. Теоретико-игровая характеризация стохастической независимости // Дискретная математика. 2010 - Т.22 - Вып.1.- С.115-125.

39. Крепе В.Л. Решения игр торга двумя рисковыми активами. Случаи двух и трех состояний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. - Т. 17. - Вып.2. - С.234-235.

40. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: Изд-во Иностранной литературы. - 1960.

41. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения, СПб.: Изд-во Лань. - 2010. - 455 с.44. фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука. 1970

42. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика.- М.: Мир. 1972.

43. Нэш Дж. Бескоалиционные игры. В сб.: Матричные игры. / Под ред. Н. Н. Воробьева. М.: Физматгиз. 1961. - С.205-221.

44. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа. - 1998.

45. Печерский С. Л., Беляева А. А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. СПб.: Изд-во Европ. ун-та. 2001. - 342 с.

46. Постановление правительства ленинградской области от 22 августа 2002 г. N 147. Об организации мониторинга социально-экономического развития ленинградской области.

47. Фрадков M.JL, Якубович В.А. S-Процедура и состояние двойственности в невыпуклых задачах квадратичного программирования // Вестн. ЛГУ. Сер. матем.-механ. 1973. - Т.1. - С.81-87.

48. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теор. вер. и ее примеп. 1994. - Т.39, Вып.1, С.5-22.

49. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС. 1998.

50. Aumann R.J. Subjectivity and correlation in randomized strategies // Journal of Mathematical Economics. 1974. - V.l. - P.67-95.

51. Aumann R.J. Correlated Equilibrium as an Expression of Bayesian Rationality // Econometrica. 1987. - V.55. - P. 1-18.

52. Aumann R.J. Lectures on game theory. San Francisco; West view Press. 1989 (y)

53. Aumann R.J., Maschler M. Game Theoretic Aspects of Gradual Disarmament. В сб: Report of the US Arms Control and Disarmament Agency ST-80. 1966. - Washington, D.C., V1-V55.

54. Aumann R.J., Maschler M. Repeated Games with Incomplete Information. The MIT Press. - Cambridge, Massachusetts - London, England. - 1995.

55. Bachelier L. Theorie de speculation // Ann. Ecole Norm. Sup. -1900. V.17. - P.21-86.

56. Blackwell D. An analog of the minimax theorem for vector payoffs // Pacific Journal of Mathematics. 1959. - V.6. - P. 1-8.

57. Bohnenblast H.F., Karlin S., Shapley L.S. Solutions of Discrete Two-person Games. In: Contributions to the Theory of Games 1. 1950.- Princeton. P. 51-72.

58. Borel E. La theorie du jeu et les equations intégrales a noyau symetrique gauche. C.R.Acad. Sci. - V.173. - 1921.

59. Borel E. Sur les jeux ou le hasard se combine avec l'habilite des joueurs. C.R.Acad. Sci. V.178 - 1924.

60. Borel E. Applications aux jeux de hasard, traite du calcul des probabilité et de ses applications. Guathier-Villars, Paris. 1928.

61. Calcagno R., Lovo S.M. Bid-ask price competition with asymmetric information between market makers. CORE Discussion Paper 9816, Louvain-la-Neuve, Belgium; 1998.

62. Campbell J.Y., Lo A.W., MacKinlay A.C. The econometrics of financial markets. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.- 1997.

63. Chin H., Parthasarathy T., Raghavan T. Structure of equilibria in N-person non-cooperative games // Intern. Journ. of Game Theory.- 1974. V.3. - N.l. - P.l-19.

64. Chipman J.S. The Foundation of Utility // Econometrica. 1960. -V. 28. - P. 193-224.

65. Debreu G. Topological Methods in Cardinal Utility Theory, In: Math. Methods in Social Sciences, ed. by K.Arrow. Stanford: Stanford University Press. - 1960. - P. 16-26.

66. De Meyer B., Marino A. Continuous versus discrete market game. Cowles Foundation Discussion Paper. 2005. - No 1535.

67. De Meyer B.; Moussa Saley H. On the Strategic Origin of Brownian Motion in Finance // Int. Journal of Game Theory. 2003. - V.31. -P. 285-319.

68. Dixit A., Nalebuff B. Thinking strategically: The competitive edge in business, politics and everyday life. N.Y.: Norton -1991.

69. Domansky V., Kreps V. "Eventually revealing" repeated games with incomplete information // Int. J. of Game Theory. 1994. - V.23. -P. 89-99.

70. Domansky V., Kreps V. Repeated Games and Multinomial Distributions // ZOR Math. Methods of Operations Research. -1995. - V.42. - P.275-293.

71. Domansky V., Kreps V. Repeated Games with Incomplete Information and Transportation Problems // ZOR Math. Methods of Operations Research. - 1999. - V.49. - Is.3. - P.283-298.

72. Domansky V., Kreps V. Repeated games with asymmetric information and random price fluctuations at finance markets: the case of countable state space. Centre d'Economie de la Sorbonne. Univ. Paris 1 Pantheon - Sorbonne. - Preprint 2009.40 - MSE 2009.

73. Fishburn,P.C. Methods of Estimating Additive Utilities // Management Science. 1967. - V. 7. - P.435-453.

74. Fisher R.A. Randomisation and its old enigma of card play// Math. Gasette. 1934. V.18. - P.294-297.

75. Fudenberg D., Tirole J. Non-cooperative Game Theory for Industrial An Introduction and Overview. Handbook for industrial organization / R.Schmalensee and R.Willing (eds.) Elsevier Science Publishers. -1989.

76. Gale,D., Nikaido H. The Jacobian Matrix and Global Univalence of Mappings // Mathematische Annalen. 1965. - V.159. - P.81-93.

77. Gibbons, R. Game Theory for Applied Economists, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 1992.

78. Gruber,J., A.S.Tanguiane A.S. Constructing an Objective Function of Economic Policy. FernUniversitat Hagen. Preprint. 1994.

79. Harsanyi J.C. Games with incomplete information played Bayesian players, Parts I,II,III // Management Science. 1967-1968. - V. 14.- P.159-182. P.320-334. - P.486-502.

80. Heuer M. Optimal Strategies for Uninformed Player // Int. J. of Game Theory. 1991. - V.20. - P.33-51.

81. Kaplan T., Zamir S. 2000. Revenue effects of asymmetry in auctions // Int. Economic Review. - 2000. V.41. - Is.2. - P.399-409.

82. Kaplan T., Zamir S. A note on revenue effects of asymmetry for price auctions. Discussion Paper. 2002. - Series dp291. - Center for rationality and interactive decision theory. - Hebrew Univercity.- Jerusalem.

83. Kaplan T., Zamir S. Asymmetric first price auctions: analitic solutions to the general uniform case. Discussion Paper. 2007. -Series dp432. - Center for rationality and interactive decision theory.- Hebrew Univercity. Jerusalem.

84. Kaplansky, I. A Contribution to von Neumann' Theory of Games // Anaals of Mathematics. -1945. V.45. - 1.3. - P.474-479.

85. Kemp,M.O., Kimura Y. Introduction to Mathematical Economics. Springer-Verlag. New York. - 1979.

86. Kohlberg E. Optimal Strategies in Repeated Games with Incomplete Information // Int. J. of Game Theory. 1974. - Vol.4. - N 1. - P. 7-14.

87. KrepsD. Game Theory and Economic Modelling. Oxford: Clarendon Press. (M) 1990.

88. Kreps V. Bimatrix games with unique equilibrium points // International Journal of Game Theory. 1974. - V.3. - i.2. - P.115-118.

89. Kreps V. Finite N-person non-cooperative games with unique equilibrium points // International Journal of Game Theory. 1981.- V.10. P.125-129.

90. Kreps V. On quadratic forms non-negative over an octant // U.S.S.R. Comput. Maths. Math.Phys. 1984. - V. 24. - i.2. - P.105-109.

91. Kreps V. On Games with Stochastically Dependent Strategies // International Journal of Game Theory. 1994. - V.23. - P.57-64.

92. Kreps V. Repeated Games Simulating Exchange Auctions and Return Sequences // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2009. - Vol.48. - i.4. P. 604-615.

93. Kreps V., Vorob'ev N. On probabilities of pure strategies n-tuples in non-cooperative games // International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. 2000. - V.10. - Is.3. - P.209-215.

94. Kyle A.S. Continuous auctions and insider trading // Econometrica.- 1985. V.53. - P.1315-1335.

95. Luce,R.D., Suppes P. Preference, Utility, and Subjective Probability. In: R.D.Luce, R.R.Bush, E.Galanter eds.]: Handbook of Mathematical Psychology III, Wiley, New York. 1965. - P. 249410.

96. Mertens J.F., Zamir, S. The Normal Distribution and Repeated Games // Int. J. of Game Theory. 1976. V.5. - P. 187-197.

97. Mertens J.F., Sorin S., Zamir, S. Repeated Games. CORE Discussion Paper. - 2000. - 9420.104. von Neumann J. Zur Theorie der Gesellschaftspiele // Math. Annalen. 1928. - V. 100. - P. 295-320.

98. Olech O., Parthasarathy T., Ravindran G. Almost N-matrices and its Applications to Linear Complementarity Problem and Global Univalence // Indian Alg. Appl. 1991. - V.145. - P. 107-125.

99. Shapley L.S. Stochastic games // Proceedings of the National Academy of Sciences (USA). 1953. - V.39. - P.1095-1100.

100. Shapley L.S., Snow R.N. Basic Solutions of Discrete Games. In: Contributions to the Theory of Games 1. 1950. - Princeton. - P.27

101. Thakor A. Game Theory in Finance // Financial Management, -1991. Spring, - P. 71-94.

102. Wan Y.-H. On the second order criteria of the local Pareto optima // J. Math.Ecnom. 1975. - V.2. - I.2.- P.35-42.35.