автореферат диссертации по электронике, 05.27.01, диссертация на тему:Статистическая теория нестационарных лавинно-пробойных процессов в кремниевых планарных фотодиодных структурах

Г) Л

ВЕРХОВЦЕВА АЛЕВТИНА ВИКТОРОВНА

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛАВИН НО-ПРОБОЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В КРЕМНИЕВЫХ ПЛАНАРНЫХ ФОТОДИОДНЫХ СТРУКТУРАХ

Специальность

05.27.01 -Твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектроника, приборы на квантовых эффектах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2011

4851530

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии Наук Институте Радиотехники и Электроники им. В.А. Котельникова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Гсргель Виктор Александрович

Официальные оппопенты: доктор физико-математических наук

Ведущая организация:

Московский государственный институт электронной техники, г. Москва

Защита диссертации состоится «2$» ЩОЦЛ 2011г. в часов на заседании диссертационного совета Д 002.204.01 при Физико-технологическом институте Российской Академии Наук по адресу: 117218, Россия, Москва, Нахимовский проспект, д. 36, корп.1. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технологического института РАН. Автореферат разослан «<&?» иШЖ. 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Фукс Борис Исаакович,

доктор физико-математических наук

Ильичев Эдуард Анатольевич

кандидат физико-математических наук

Вьюрков В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

В настоящее время довольно интенсивно развивается научно-техническое направление по созданию различных специализированных фотосепсорных устройств, многие из которых базируются на использовании лавинных фотодиодов (ЛФД). Приборы этого типа обладают высоким быстродействием, относительной конструктивно-технологической простотой, внутренним усилением, возможностью реализации так называемого однофотонного режима регистрации излучения и рядом других достоинств.

Следует отметить, что в основе функционирования лавинного фотодиода лежат довольно сложные явления физики полупроводников, такие как ударная ионизация, разогрев носителей в сильных электрических полях с учетом особенностей электрон-фононного взаимодействия и другие эффекты. Для осуществления удар но ионизации носитель заряда должен приобрести довольно высокую энергию, превышающую ширину запрещенной зоны полупроводника. Это обстоятельство позволяет использовать лавинный фотодиод и в качестве своеобразного инструмента для изучения физики горячих носителей и исследования зонной структуры полупроводника.

Несмотря на большое число экспериментальных и теоретических исследований [1-3], посвященных импульсному режиму работы лавинных фотодиодов, до конца не вполне ясной остается картина целого ряда важных физических процессов в лавинных фотодиодах, таких как условия реализации однофотонного режима; закономерности изменении амплитуды и длительности соответствующих сигнальных импульсов с учетом возможных вариаций параметров внешней электрической цени н конструктивных особенностей диодной структуры. Понимание этих процессов важно для практики конструирования и использования ЛФД в конкретных фотосепсорных устройствах.

Нслыо диссертационной работы является изучение динамики импульсного лавинного пробоя; построение и реализация статистической модели зарождения, развития и автовыключения лавинного процесса; выявление конструктивных особенностей лавинных фотодиодных структур, важных в плане реализации импульсного режима работы ЛФД.

В этой связи были поставлены и решены следующие задачи диссертационной работы:

1. Развита новая динамическая модель импульсного пробоя лавинного фотодиода, дающая качественное понимание условий, определяющих режимы работы прибора.

2. Разработаны эффективные алгоритмы вычислительного процесса расчета динамики импульсного пробоя однофотонного лавинного фотодиода, учитывающие локальность области лавинного умножения и запаздывание растекания лавинного тока по площади тылового электрода диода.

3. Построена новая эффективная методика численного моделирования процесса ударной ионизации по методу Монте-Карло, полностью реализующая статистический подход к процессу ударно-ионизационного формирования лавины.

4. По результатам статистических экспериментов сформулированы критерии эффективности инициации лавинного процесса единичным электроном; конструктивные требования, обеспечивающие стабильный импульсный режим работы; условия зарождения и автовыключения лавинного процесса.

Научная иовизиа работы состоит в следующем:

1. Впервые подробно изучена статистика формирования электронных сгустков в пролетной области и построена функция распределения парциальных коэффициентов усиления результирующей петли положительной обратной связи биполярного ударно-ионизационного процесса.

2. Построена оригинальная динамическая модель лавинообразной разрядки емкости диода, программная реализация которой обеспечивает расчет формы и амплитуды сигнальных импульсов.

3. С использованием метода статистических испытаний (Монте-Карло) определена эффективность преобразования «фотоэлектрон -сигнальный импульс» и ее зависимость от напряжения питания и спектральных характеристик излучения.

4. На основе метода Монте-Карло построена модель спонтанного выключения квазпетационарного режима лавинного диода и определена характерная длительность соответствующих микроплазм.

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что в ней решены актуальные задачи но исследованию нестационарных лавинно-пробойных процессов в кремниевых лавинных фотодиодах, а также сформулирован ряд количественных требований и ограничений на конструктивно-технологические параметры кремниевых пленарных фотодиодных структур, обеспечивающие однофотоннын режим регистрации излучения.

Ociioniii.ic положения, выносимые на защиту:

1. Показано, что, в силу выявленной математическим моделированием инерционности лавинного процесса, емкость фотодиода разряжается током сигнального импульса до напряжении существенно меньше пробивного.

2. Установлено, что для реализации импульсного режима работы кремниевого лавинного фотодиода необходимо существенное замедление быстродействия внешней цепи (в 100-10 раз) относительно быстродействия лавинной перезарядки (~ Ю10 с"').

3. Установлено, что квантовую эффективность преобразования «фотоэлектрон - сигнальный импульс» определяет результативность начального этапа формирования импульса (3-5 времен пролета), где в наибольшей степени проявляется случайный характер коэффициента регенерации лавинного процесса.

4. Показано, что достаточно большое сопротивление нагрузки (0,1-1 МОм) приводит к самопроизвольному выключению стационарного состояния лавинного пробоя за времена порядка микросекунд, т.е. формированию так называемых мпкроплазменпых токовых импульсов.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных и всероссийских научно-технических конференциях:

• International Conference «Micro- and nanoelectronics 2007», http://icmne.ftian.ru, Zvenigorod, Russia, October 1-5, 2007;

• 16-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика - 2009», Москва, МИЭТ, 2009;

• IV Научная конференция для молодых ученых «Наноэлектронпка, наиофотоника и нелинейная физика», 7-9 сентября 2009, Саратов, Россия.

• International Conference «Micro- and nanoelectronics 2009», http://icmne.ftian.ru, Zvenigorod, Russia, October 5-9, 2009.

• 5-ом, 6-ом, 7-ом конкурсах молодых ученых им. Ивана Анисимкнна в ИРЭ им. В.А. Котслышкова РАН.

Публикации

По материалам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ. Из них 5 публикаций в журналах из перечня журналов и изданий, утвержденного Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

Личный вклад

Все выносимые на защиту результаты и положения, составляющие содержание диссертационной работы, разработаны и получены лично автором, или при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 50 наименований. Общин объем работы составляет 98 страниц, 33 рисунка и 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

По кислен пи дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели работы, ее новизна и практическая значимость, приводятся положения, выносимые на защиту, кратко излагается содержание работы.

В нерпой главе диссертации, которая, в определенном смысле, имеет вводный характер, обсуждаются основные положения современной теории ударной ионизации и лавинного умножения в полупроводниках п соответствующих полупроводниковых (главным образом, диодных) структурах.

Первый раздел главы посвящен обобщенному рассмотрению эффекта ударной ионизации как акта квантово-механичсского электрон-электронного рассеяния в системах с энергетической щелыо (запрещенной 3011011 Ец). Чуть более подробно здесь обсуждается и вопрос о пороговой энергии ударной ионизации Е„ которая в силу законов сохранения энергии и импульса может существенно отличатся от (Е& < Ej < 2Ее) и, разумеется, существенно превышает тепловую энергию носителей при комнатной температуре. Именно поэтому одними из основных элементов теории ударной ионизации являются закономерности разогрева носителей в электрическом поле.

Обсуждение современных представлений о специфике электроразогрева электронов (и дырок) сосредоточено во втором разделе I главы. Как известно, в полупроводниках, под действием электрического поля, носители заряда приобретают определенную направленную скорость /лЕ, а, следовательно, и дополнительную энергию ¡.¡Е~ г, где // -подвижность, а г - так называемое время релаксации энергии. Эта энергетическая добавка максвеллнзпруется процессами испускания и поглощения акустических (в слабых полях) фопонов и превращается в электронную температуру Те -Т0 + //£"" г, превышающую температуру кристаллической решетки, т.е. фоноппой подсистемы Т0.

При более подробном исследовании процессов электроразогрева носителей, различают область малых электрических полей Е< 103 В/см, когда излучаются только акустические фононы, которые «уносят» электронную энергию сравнительно маленькими порциями. При этом температура электронного газа остается меньше энергии оптического фонона, поэтому последние и не излучаются.

В области промежуточных полей 103 В/см < Е < \ О4 В/см процесс тсрморелаксацнп усиливается и усложняется за счет испускания оптических фонопов. При этом существенно уменьшается время

релаксации импульса, а дрейфовая скорость носителей перестает зависеть от электрического поля (выходит на насыщение).

В области так называемых больших полей Е> 105 В/см электронная температура увеличивается примерно пропорционально полю Е и достигает достаточно больших значений (порядка нескольких тысяч градусов), что и активизирует ударную ионизацию зона-зопа.

Здесь же обсуждаются и основные теоретические положения известных фундаментальных работ [4,5,6,7], рассматривается специфика электроразогревного процесса достижения электроном (дыркой) пороговой энергии Е,.

Как правило, при интерпретации экспериментальных данных, общепринята довольно простая аппроксимация полевой зависимости коэффициентов ударной ионизации

Конкретные значения параметров А, Ь и т для основных полупроводников в наше время можно считать надежно установленными

В третьем разделе главы внимание обращается на важную особенность ударной ионизации в полупроводниках, а именно на ее биполяриость, то есть на тот факт, что ионизационные акты могут инициироваться как достаточно разогретым электроном так и не менее горячей дыркой. Именно эта биполяриость ударной ионизации обуславливает эффективную внутреннюю положительную обратную связь ионизационного процесса в области сильного поля р-п перехода. Именно эти парциальные обратные связи суммируются уравнением непрерывности тока в известных моделях стационарного лавинного пробоя, в которых напряжение лавинного пробоя определяется, как особенность соответствующего коэффициента умножения:

Поскольку рассматриваемые в диссертационной работе лавинные фотодиодные структуры работают именно в области надпробойиых напряжений, а их реакция на облучение имеет ярко выраженный импульсный (нестационарный) характер, при построении адекватного теоретического описания функционирования лавинных фотодиодов, модель стационарного пробоя оказывается практически бесполезной. В настоящей работе в качестве исходного момента используется лишь

(1)

[8].

М =

, &(К) = }/?.ехр )(а-р)<к' ск . (2)

формула (1) с экспериментально установленными значениями коэффициентов из [8]:

а(Е) = 74-схр| -^-j [мкм"1]; /?(£) = ] 41-ехр| [мкм"'],

(3)

Вторая глава диссертационной работы посвящена построению базовой теория импульсного режима работы кремниевого лавинного фотодиода с заглубленным катодным //-слоем, полученным ионной имплантацией (рнс.1).

/ 1> + \ / / р + \

,...........1 ..............LLI

p-Si i

Рнс.1 Поперечный разрез структуры планараого кремниевого лавинного фотодиода, сформированного на подложке /j-тнпа с удельным сопротивлением р кЮОм см (рп ~ 1015 см'"3) с помощью двух базовых имплантаций: поверхностной п*^ с дозой 10-100 мкКл/см' и заглубленной р* с дозой порядка 1 мкКл/см".

Глубина //-слоя d определяющим образом влияет на напряжение лавинного пробоя Vu. Отметим, для конкретики, что при d = 0.7 мкм V„ ~ 20 В, а уже при d = 1 мкм V„ ~ 30 В. В этом диапазоне напряжений нарастание величины электрического поля, обусловленное концентрацией фоновой примеси (р0~ К)15 елг), оказывается сравнительно малым, что и позволяет считать электрическое поле между слоями постоянным Е- const1.

■ Во втором разделе, в пренебрежении актами дырочных ионизации, методами классической статистики исследован процесс формирования электронных сгустков в области сильного поля из единственного электрона, стартующего с катода. Получена функция распределения

' Поскольку псе дальнейшее рассмотрение производится с использованием численных методой анализа, это упрощение (Е - const) не является принципиальным, а служит лишь для облегчения понимания физических результатов исследования.

кратности электронного умножения при однократном пролете области сильного поля:

Р„ = ехр(-ас/)• (1 -ехр(-да/))'"'. (4)

Функция распределения (4), представленная на рис.2 при трех различных значениях параметра ас!, максимальна при и = 1 (безионизационый пролет), демонстрирует значительную протяженность в сторону больших п. Ее максимальное значение уменьшается с ростом ас1, но се протяженность в область больших п увеличивается более значительно, так, что среднее число электронов в сгустке у анода

{п) = ^пР; =ехр(а</) (5)

существенно растет.

Рис. 2. Распределение вероятности кратности электронного умножения при различных значениях параметра ог/: 1 - осе1= 2; 2 аг/= 3; 3- ас! =4.

Следует обратить внимание также на аномально широкую дисперсию этого распределения при больших средних (и)

({п-(п))2) = ^Р(ас1)-(схр(ас1)-\) = {п}2 - (и). (6)

Адекватность полученных классически особенностей функции распределения кратности электронного умножения подтверждена математическим моделированием по методу Монте-Карло.

В третьем разделе второй главы вводится понятие коэффициента усиления петли обратной связи лавинного процесса, для замыкания которой необходим учет дырочных ионизации. Предполагая выполненным условие р/а« 1 (в силу асимметрии коэффициентов

ударной ионизации), в рассматриваемой статистике можно ограничиться учетом лишь двух альтернативных событий: 1) пролет дыркой интервала а1 без ионизации с вероятностью (1-уЗя1), и 2) пролег с единичной ионизацией, т.е. генерацией нового электрона с вероятностью Д*'1 « 1.

Использование такой бинарной функции распределения вероятности для дырок совместно с функцией распределения (4) позволяет записать вероятности различных реализаций первой стадии развития лашншого процесса, заканчивающейся генерацией дырками некоторого количества новых электронов в прпкатодпом слое пролетной области протяженностью а1. Соответствующие аналитические выражения имеют вид:

а

От = £схр(-т/)(1 -схр(-ог*/)Г

0,

(И

= У (п ~ 1)-ехр(-т/)(1 - схр(-т/))" 71 а

(7)

(п-\)(п-2)(р

а

• схр(-ас!) (1 - схр(~ас!))"А 1

ЧЛ-.1

После сравнительно несложных преобразований формулы (7), при условии схр(аЛ)»1» Р/а, трансформируются в довольно простые выражения

(?,о,=(1+</Г'> Ом =ч2И+<])'*,

= <У0 + ?)~г>

(8)

где обозначено q ■

а

Обобщая соотношения (8), получим искомую формулу для вероятности того пли иного значения к - парциального коэффициента усиления единичной петли обратной связи:

V

1

.А- = 0,

(9)

Эта функция распределения парциальных значений коэффициента усиления петли обратной связи (9) нормирована па единицу. Как и функция (4), выражение (9) максимально при минимальном к (к = 0), последние означает, что наивероятненшим результатом регенерации единичного электрона является негативное событие, т.е. выключение лавины уже па первой стадии ее развития. Функция распределения (9) дает правильную величину среднего коэффициента регенерации:

^> = 7=^ехр(й?-аг(£)) . (10)

а{Е)

Итак, предположим, что вследствие неких причин в момент времени /, в окрестности катодного края (/-/; переход, д- = 0) диода появилось «¡(0) электронов. В свою очередь для каждого из этих электронов имеется вероятность совершить с/-а(Е) > 1 актов ударной ионизации на пути к анодной границе (/-я переход, х = сТ). При этом в среднем за время пролета (п/,= с1/\'я (\\ - скорость насыщения) в и+- область синфазно уйдут н,(0) электронных сгустков со средним числом схр(с/а(£')) электронов в каждом, то есть

пм (</) = п, (О)ехр(^ -а(Е)). (11)

В результате тех же актов электронной ударной ионизации в течение временного интервала А / = 2/„р окрестность катодной границы пересечет такое же количество дырок. Эти дырки, несмотря на сравнительно небольшую величину ионизационного интеграла, создадут в слое протяженностью «"' у катодной границы (х = 0) в момент времени /¡+1= /¡ + А/ новые электроны в количестве

",+|(0) - (0) • ехр(<г/ • а{Е)) ■ = ц ■(0) (12)

а(Е)

которые и «запустят» следующую стадию формирования лавинного процесса.

В четвертом разделе второй главы построен эффективный алгоритм расчетной процедуры определения формы токовых импульсов и приведены результаты численного моделирования.

Чтобы проследить развитие лавинного процесса разрядки емкости диода при превышении напряжения на диоде над пороговым, необходимо, наряду с формулой для среднего коэффициента усиления (10), также учитывать изменение напряжения на лавинном фотодиоде, определяющего численное значение коэффициента (10). При этом диод с одной стороны, разряжается внутренним током электронных сгустков и дырочных «хвостов», а с другой - дозаряжается током от источника питания Уи через нагрузочное сопротивление /?„. Упрощенная эквивалентная схема, иллюстрирующая этот процесс, показана на рис 3.

и»

17Ш1Т

Рис. 3. Упрощенная эквивалентная схема однофотонпого лавинного фотодиода.

Приведенной схеме включения отвечает парциальное изменение напряжения на диоде за интервал А / = 2/,ф дискретизации текущего времсип:

<у _ ! г \. д I

, = К ~(е-■ пм{с!) -К " ^ ) - С"' (13)

где С = ее0 - Я/с! - емкость диода, е - элементарный заряд.

Система уравнении (11, 12, 13) представляет собой простую итерационную модель развития лавинного процесса в фотодиоде. Для корректной реализации модели использовались только целочисленные значения «¡, что особенно важно для числа инициирующих электронов. При этом, как только /?,(()) становится равным нулю в предложенной итерационной схеме, лавинный пробой автоматически «выключается», что позволяет току во внешней цепи через 7?„ восстановить напряжение на диоде до исходного напряжения источника питания. При моделировании использовались следующие начальные значения параметров: Г0=К„ -напряжение источника питания, и,¡(с/) = 0 - число электронов у анодной границы в начальный момент времени /0, н(|(0) = 1 - первичный фотоэлектрон у катодной границы в начальный момент времени /у,. Остальные необходимые для расчета технологические параметры лавинного фотодиода и эквивалентной схемы: емкость диода С, длину пролеткой области с), сопротивление нагрузки Л„ - программа позволяет легко задавать и варьировать.

На рисунке 4 приведены зависимости напряжения на лавинном фотодиоде, включенном одиночным электроном, ог времени для напряжения источника Км = 26 В при нескольких характерных значениях сопротивления нагрузки Ян = 1, 2, 4 кОм. Оказалось, что значению 11и = 1 кОм отвечает своеобразное апериодическое «включение» стационарного пробоя с напряжением У„ — 23,8 В и током, определяемым

падением избыточного напряжения (перенапряжения) на

нагрузочном сопротивлении. А при /?,, > 2 кОм происходит восстановление напряжения питания на фотодиоде в результате полного выключения лавинного тока во временном промежутке, когда напряжение на диоде было ниже порогового.

Рис. 4. Характерные временные зависимости напряжения на диоде (результаты численного моделирования в = 0,7 мкм, С = 250 фФ)

Следует отметить практически одинаковое поведение всех этих кривых на первом этапе релаксационного процесса, который распространяется до напряжения существенно меньшего, чем V,,, что обусловлено специфической инерционностью лавинного процесса.

Анализируя результаты построенной простой теоретической модели работы кремниевого лавинного фотодиода, можно сформулировать несколько основных выводов:

— в режиме лавинного пробоя в области умножения кремниевого фотодиода подавляющее число ионизации инициируется электронами («>/');

— преобладание электронных ионизации компенсирует недостаток дырочных, так что результирующий коэффициент положительной обратной связи не превышает разумных значений ~ 2,5;

— форму однофотонного импульса отличает быстрая стадия лавинной разрядки емкости диода с характерной длительностью около 0,1 - 0,3 не, и относительно медленная стадия (восстановления) дозарядки, длительность которой определяют электрические параметры внешней цепи;

— при слишком быстрой дозарядке диод переходит в состояние стационарного лавинного пробоя с напряжением ¥= V,, и стационарным током (К„ - У„)/Яп.

Третья глава диссертационной работы посвящена построению усложненной физико-математической модели динамики токовых импульсов с учетом латеральной неоднородности лавинного тока. В ней сочетается адекватный учет локальности области лавинного пробоя, инициированного единичным электроном, и специфическая временная задержка, обусловленная растеканием заряда по площади встроенного коллектора.

В первом разделе рассматривается сложная пространственная структура задачи, а именно, высокая локализация исследуемого нестационарного процесса лавинной перезарядки но площади диодной структуры. Поскольку главная фаза нестационарного процесса лавинной разрядки емкости диода, инициированная единичным электроном в какой-то случайной точке его площади, столь быстротечна (несколько десятых наносекунд), естественно предположить, что в это малое время перезарядиться до глубоко подпороговых значений сможет относительно малая часть площади диода. Поэтому в конкурирующем процессе дозарядки емкости диода от источника напряжения появится дополнительная временная задержка на растекание локального инжектированного заряда по площади катодного коллекторного р - слоя структуры (см. Рис. 1), что может кардинально проявиться в кинетике дозарядки, а, следовательно, повлиять (количественно) на соответствующий критерий самовыключения лавинного процесса.

Подробно рассматривается электрическая реакция лавинного фотодиода (Рис. 5) на «прибытие» в центральную (для простоты) точку р+ - катода диода очередной порции положительного дырочного заряда, в характерный промежуток времени А? = 2/пр ~ 2* 10"'1 с.

Рис, 5. Условная картина растекания электрического тока при локальном пробое лавинного фотодиода. V,, - напряжение источника питания, /?„ - сопротивление нагрузки, Ус - сигнальное напряжение.

Вводится определение локального потенциала в катодном //-слое диодном структуры /), зависящего от времени и внутренней латеральной координаты г, тогда ток во внешней цепи задается интегральным соотношением:

Р.Л, РА$ /?„.•$

где = 10 Ом-см удельное сопротивление подложки, /;< ~ 10 мкм -толщина се слоя между р - обкладкой и заземляющей шиной, 5 -площадь диода (р+ -слоя). Соответственно полный емкостной заряд определяется выражением:

(я

д^у. с- Со/</ЗДг,г) = &-«У0(О, (15)

где удельная емкость диода С0 = 10 х Ф/см**.

Комбинируя выражения (14), (15), получим

= = (16)

(Л„+/?„)С Л

Отсюда следует интересная особенность «сконструированной» для упрощения задачи внешней цепи (протяженный электрод заземления), заключающаяся в том, что любой нестационарный заряд £) релаксирует с одной и той же постоянной времени С(Л„+ЛН) вне зависимости от формы его распределения по площади р - обкладки конденсатора (диода). Тем не менее, это обстоятельство необходимо учитывать для расчета текущих значений коэффициентов умножения а и /], поскольку для этого необходимы текущие значения потенциала ^(0,0 = Ф„ при г = 0, т.е. в «точке» пробоя.

Для этого рассматривается известное решение двумерного телеграфного уравнения [9], описывающего центрально-симметричное расплыванис заряда из окрестности точки г = 0

гЯС л

{ 1 41

(17)

/

где /? ~ 10 кОм - сопротивление р -слоя, - постоянная

интегрирования. В качестве естественно, выбирается характерное время задачи тк2/,ф ~2*10"" с. Интегрирование по площади потенциала (17), умноженного на Со, дает соответствующий заряд

Ч = ]<18С0(р(г,г) = ^% (18)

Здесь коэффициент 4лт/Л=ДС, тем больший, чем меньше сопротивление растекания й, отражает характерное расплыванне

отдельной порции локального дырочного заряда за время его «введения» в систему. Он играет роль дискреты эффективной емкости растекания, которая, увеличиваясь со временем, достигает номинальной емкости диода С за время г~пт, где л = С/ЛС- число временных интервалов г, за которое введенный заряд успевает распространиться по всей площади диода. При этом, в соответствии с формулой (18), интересующий потенциал центральной точки Ф, уменьшается обратно пропорционально дискретному времени /г, достигая стационарного значения при ; = п.

Сама же формула (18) позволяет по величине парциального заряда (¡\, локально инжектированного на соответствующей стадии лавинного процесса в р* - обкладку исследуемой диодной структуры, рассчитать амплитуду <р(0,/) - компоненту потенциала, отвечающего компоненте заряда г/|.

Во втором разделе третьей главы на основе физических принципов и формул предыдущего раздела предлагается модифицированная итерационная схема моделирования с учетом динамики растекания в катодном слое. Обозначив число электронов, инициирующих /-¡о стадию процесса, генерированных в прикатодиом слое протяженностью а', на предыдущей (/-/) стадии как Лг;./, можно записать сначала парциальный заряд электронного сгустка, пришедшего на анод в / интервал дискретного времени:

</,. = еЫ^л ехр{дг(К-Фм)-*/}. (19)

Точно такой же величине равен и парциальный заряд дырок, пришедших на катод за временной интервал 2?,,,,, сгенерировав при этом

N. = N. , ехр{ег(К-Ф .) ■ ~Ф, | ) (20)

1 ' а(Г- Фм)

новых электронов для инициации следующей (¡+1) стадии процесса. Полный дополнительный заряд на обкладках диода увеличивается за счет поступление очередной порции лавинного тока и уменьшается, «вытекая» во внешнюю цепь:

а = схр |~(/-У)|, (21)

где г„ = (Л„+ЛП)С.

Соответственно, ток во внешней цепи равен

(22)

а напряжение на диоде V,, - Ш„.

Чуть более сложный вид имеет формула для локального потенциала Ф в точке пробоя

ф,=У.

ij

exp

r„

/)

ft AC

mm(i-j41);

С AC

(23)

Следует обратить внимание, что числитель в формуле (23) отвечает «утеканию» инжектированных зарядов во внешнюю день, а знаменатель -их «растеканию» из «точки» пробоя по площади диода.

В третьем разделе третьей главы рассматриваются и обсуждаются результаты физико-математического моделирования динамики токовых импульсов с учетом латеральной неоднородности лавинного тока. Исследуется влияние сопротивления растекания на лавинный релаксационный процесс при типичных значениях параметров структуры. На рис. 6 приведены кривые релаксации для значений /?н = 30 и 12 кОм. И в том, и в другом случае зависимости демонстрируют быструю лавинную стадию разрядки емкости диода до значений существенно ниже напряжения пробоя (горизонтальный участок линии 2).

V, в м

31 30 73 2624

гг

___I

I /

j / i /

Рис.6. Результаты моделирования возможных режимов ЛФД с емкостью 90 фФ и сопротивлением 10 кОм для 7?„ - 30 кОм (кривая 1) и =12 кОм (кривая 2). Для сравнения приведена кривая релаксации (5) ЛФД с малым (0.1 кОм) сопротивлением растекания.

Тем не менее, на стадии восстановления явно различаются два этапа. В быстром этапе превалирует восстановление локального потенциала за по площади //-катода дырочного заряда,

с^ет растекания

инжектированного в точку пробоя. Этот этап достаточно близко подводит локальный потенциал (снизу) к потенциалу V,, стационарного режима лавинного процесса («¡г = 1), облегчая при этом задачу второго, более медленного этапа обычной ЯНС дозарядки (уход оставшегося

неравновесного дырочного заряда во внешнюю цепь через подложку). Задачей второго этапа является смещение общего уровня потенциала так, чтобы его локальное (в точке пробоя) значение превзошло критический потенциал Г„. В этом случае лавина сможет развиться снова, если к тому времени в ней останется сколько-нибудь значимое количество инициирующих электронов. Последнее обстоятельство объясняет тот важный аспект, что для выключения лавинного процесса необходимо соответствующее замедление Л „С дозарядкн и увеличение критического сопротивления нагрузки с 1 до порядка 20 кОм.

Проделав значительную серию численных экспериментов для широкой области значений внешних параметров С и /?, были получены зависимости критического сопротивления нагрузки /?* от сопротивления

имплантированного слоя К (рис. 7)

е.о

50 40

I,

а

:о ю

о

о 2 4 в 8 10 12 14 1в 18 20 « : 4 6 » 111 и 14 1« 15 2«

(I кОч Г>> (). кОи

Рнс. 7. Результаты серии численных экспериментов но определению значений критического сопротивления нагрузки: а) в линейном масштабе; б) в логарифмическом масштабе. Кривые на графиках соответствуют следующим значениям емкости С, фФ: 1 - 10, 2 - 30, 3 - 90, 4 - 270.

Результаты, представленные на рисунках 6 и 7, убедительно доказывают важность рассмотренного физического явления (растекания тока) в формировании импульсной реакции лавинного фотодиода на однофотонное возбуждение. Поскольку именно учет своеобразной динамики растекания заряда из точки пробоя переводит расчетные значения требуемых нагрузочных сопротивлений в область реальных величин, соответствующих практике эксперимента и проектирования сенсорных устройств на основе лавинных фотодиодов. Не менее важно, что данная модифицированная модель позволяет определить необходимую дозу имплантации р* - слоя, которую обычно, в целях минимизации дефектности активной области приборных структур, стремятся уменьшить.

Последняя, четвертая глава диссертации посвящена, главным образом, исследованию начальной стадии развития лавинного процесса со сравнительно малым количеством носителей в области сильного поля, где в наибольшей степени проявляется случайность процесса регенерации тока.

В нервом разделе, анализируя элементарный акт регенерации, получены функции распределения его результатов для одного, двух и трех электронов на «входе» единичной петли обратной связи. Показано, что с ростом числа носителей на входе петли обратной связи наблюдается тенденция к уменьшению относительных флуктуации числа частиц в лавине уже на первых этапах развития процесса. Вероятность нулевой результативности единичной регенерации существенно подавляется, что позволяет сформулировать критерий эффективности, как по меньшей мере удвоение инициирующего электрона уже на первой стадии процесса размножения:

/: = £<?,,,= (—^— Т = Г—^— Т. (24)

Во втором разделе, учитывая случайность координаты фотогенерации первичного электрона в области сильного поля, получена спектральная зависимость Кф(Х) усреднением аналога формулы (24) по функции поглощения световых квантов Р(.х) = !](Л) • е~',{Х)*, где 1](Я) -коэффициент поглощения в кремнии:

Соответствующие зависимости Кф(Х) приведены на рисунке 8.

УД

Рис. 8. Зависимость эффективности фотоэлектрического преобразования К,/,(Х) от напряжения при возбуждении монохроматическим излучением (/ -X = 0,5 мкм; 2 -Х = 0,6 мкм; 3 - X = 0,8 мкм; 4 - К по формуле (24).

Графики 1,2,3 демонстрируют рост эффективности для более красных фотонов, поскольку последние генерируют первичный фотоэлектрон в прнкатодпом а' слое с большей вероятностью.

В третьем разделе главы, чтобы преодолеть сомнения и адекватности оценки эффективности по результатам усиления первой петли обратной связи, была разработана специализированная Монте-Карло модель эволюции лавинного процесса иа более длительном промежутке времени, включающего несколько (вплоть до десяти) нетель обратной связи. Критерием неэффективности в модели служило отсутствие электронов на выходе из последней петли. Программная реализация Монте-Карло модели эффективности и полученные численные результаты (кривая 2 на рис. 9) демонстрируют ожидаемое существенное падение эффективности в окрестности напряжения пробоя и достаточную близость к аналитической зависимости (24) (кривая 1 на рис. 9) при сравнительно больших надпробойных напряжениях. Полученный результат, в частности К =0,08 при <7=1, позволил оценить характерную длительность импульсов квазистационарного лавинного тока (микроплазменный режим), сформулировав критерий самовыключения лавинного процесса при с}= 1. Соответствующие вычисления показывают, что при сопротивлениях нагрузки порядка нескольких сотен кОм, длительность микроплазменных импульсов находится в диапазоне 0,1-10 мке, что согласуется с известными экспериментальными данными.

К. отн.«д.

: i i

.... ......... ...

.......... //.«

/ /

_, //

25 30 31 32 33 34 35 3S 37 33 V. В 0.62 0.82 1.03 1.5 2 2.63 2.65 5 7 4

Рис. 9. Зависимости коэффициента эффективности одиоэлектропного возбуждения лавины от напряжения, рассчитанные: 1 - теоретически (по результативности одной петли обратной связи); 2 - упрощенная Монте-Карло модель (раздел 4.3); 3 - обобщенная Монте-Карло модель с высокой степенью дискретизацией.

В последнем четвертом разделе четвертой главы построена обобщенная Монте-Карло модель лавинного процесса с высокой степенью дискретизации пространственно-временных координат. В принципе, эта модель, свободная от использованных ранее упрощений (a«ß, At = 2tlip и т.п.), дает наглядную картину статистически разупорядоченных начальных стадий развития лавины.

Полученная в рамках этой высокоточной, но более трудоемкой (вычислительно) модели, эффективность преобразования фотоэлектрона в сигнальный импульс (кривая 3 на рис. 9), практически полностью совпадает с предыдущей зависимостью (кривая 2 на рис. 9), что подтверждает правомочность разработанной в разделе 4.3 укороченной Монте-Карло модели включения, равно как и адекватность использованных в работе упрощений при анализе импульсных переходных процессов в ЛФД (главы II, III).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана динамическая модель лавинообразной перезарядки емкости фотодиода с учетом локальности области лавинного умножения и запаздывания растекания тока по площади тылового электрода. Реализация модели обеспечила возможность расчета формы и амплитуды сигнальных импульсов и соответствующих альтернативных режимов работы устройства.

2. Выявлена существенная статистическая неопределенность начальной стадии развития лавинного процесса инициированного единичным электроном. Разработана статистическая (Монте-Карло) модель начальной стадии нарастания лавинного тока в сигнальном импульсе.

3. В силу выявленной математическим моделированием инерционности лавинного процесса, емкость фотодиода разряжается током сигнального импульса до напряжений существенно меньше пробивного.

4. Для реализации импульсного режима работы кремниевого лавинного фотодиода необходимо существенное увеличение задержки во внешней цепи (в 100-10 раз) относительно времени лавинной перезарядки (~ 10"'° с).

5. Квантовую эффективность преобразования «фотоэлектрон -сигнальный импульс» определяет результативность начального этапа формирования импульса (3-5 времен пролета), где в наибольшей степени проявляется случайный характер коэффициента регенерации лавинного процесса.

6. Достаточно большое сопротивление нагрузки (0,1-1 МОм) приводит к самопроизвольному выключению стационарного состояния лавинного пробоя за времена порядка микросекунд, т.е. формированию так называемых микроплазменных токовых импульсов.

Указанные результаты позволили сформулировать ряд количественных требований и ограничений на конструктивно-технологические параметры кремниевых иланарных фотоднодных структур, обеспечивающих устойчивость однофотонного режима регистрации оптического излучения.

Основное научные результаты оиуПликопппм п следующих работах:

Al. Верховцева А. В., Гергель В. А., Зеленый А. П., Зимогляд В. А., Тишин 10. И. «Исследование динами развития локального микропробоя в кремниевых лавинных фотоднодных структурах», «Радиотехника и электроника», 2009, т.54, №3, с.371-376. А2. Верховцева А. В., Гергель В. А. «Динамика локального микропробоя в гейгеровском режиме работы лавинных фотодиодов», «Физика и техника полупроводников», 2009, т.43, №7, с.966-970. АЗ. Верховцева А. В., Гергель В. А., Зимогляд В. А. «Статистика регистрации мультифотонных вспышек сцинтнлляторов многоэлементным массивом кремниевых лавинных фотодиодов», «Радиотехника и электроника», 2009, т.54, №4, с.504-506. А4. Верховцева А. В., Гергель В. А. «Эффективность генерации однофогонных токовых импульсов в гейгеровском режиме работы кремниевых лавинных фотодиодов», «Физика и техника полупроводников», 2009, г.43, №9, с. 1244-1248. А5. Верховцева А. В., Ванюшин И. В., Гергель В. А., Зеленый А. П., Зимогляд В. А., Тишин Ю. И. «Статистические особенности зарождения процесса лавинного умножения в полупроводниках с различающимися коэффициентами ударной ионизации», «Радиотехника и электроника», 2009, т.54, №11, с. 1403-1414. А6. Верховцева А. В. «Моделирование динамики развития локального микропробоя в кремниевых лавинных фотодиодных структурах», «Нелинейный мир», 2009, т.7, № 3, с.212. А7. Верховцева А. В., Гергель В. А. «Статистика одноэлектронного старта импульсов лавинного тока в кремниевых лавинных фотодиодах», «Нелинейный мир», 2010, т.8, № 2, с.100. А8. Верховцева А. В., Ванюшин И. В. Гергель В. А., Зимогляд В. А., Тишин Ю. И «Статистика однофотонных токовых импульсов в

гейгеровском режиме кремниевых лавинных фотодиодов малой площади» //Сборник трудов IV научно-технической конференции «Системы наблюдения, мониторинга и дистанционного зондирования земли», Москва, 2007.

А9. Верховцева А. В., Ванюшин И. В., Гергель В. А., Горшкова Н. М., Знмогляд В. А., Типшн Ю. И. «Single photon current impulses statistics of the small square silicon avalanche photodiodes in Gciger's mode» // Сборник трудов International Conference «Micro- and nanoclectronics 2007», Zvenigorod, Russia, October 1-5,2007.

A10. Верховцева A.B. «Исследование динамики микропробоя в кремниевых лавинных фотодиодных структурах» // Сборник тезисов докладов 16-й Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника н информатика - 2009», Москва, МИЭТ, 22-24 апреля 2009, с. 35.

А11. Верховцева А. В., Гергель В. А «Статистика зарождения процесса лавинного умножения в кремнии» // Сборник тезисов докладов IV Научной конференции для молодых ученых «Наноэлектроника, наиофотоника и нелинейная физика», 7-9 сентября 2009, Саратов, Россия, с. 18-19

Список цитируемо» литературы

1. Spinclli A. Physics and Numerical Simulation of Single Photon Avalanche Diodes / Spinclli A., Lacaita A.L. // IEEE Trans. Electron Devices. - 1997. -v. 44, n. 11.- p.1931-1943.

2. Mclntyre R.J. A New Look at Impact Ionization - Part I. // IEEE Trans. Electron Devices. - 1999. - v. 46, n. 8. - p. 1623-1631.

3. Yuan P. et al. New Look at Impact Ionization - Part II. // IEEE Trans. Electron Devices. - 1999. - v. 46, n. 8. - p. 1632-1639.

4. Shockley W., Solid-State Electronics, 2,35 (1961).

5. Wolff P.A. Theory of electron multiplication in Si and Ge // Phys. Rev. -1954.-v. 95.-p. 1415.

6. Baraff G.A. Distribution functions and ionization rates for hot electrons in semiconductors.// Phys. Rev., 128,2507, (1962).

7. Ridley B.K., J. Phys. C, 16, 3373 (1983a).

8. Грехов И.В. Лавинный пробой р-н -перехода в полупроводниках / Грехов И.В., Сережкин Ю.Н. - Л.: Энергия. Ленингр. отделение, 1980. - 152с., ил.

9. Корн Г.Справочник по математике для научных работников и инженеров / Корн Г., Корн Т. - М.: Наука, 1977. - 832 с.

Типография ООО "ПРИНТ" 124683, г. Москва, г. Зеленоград, ул.1 Мая, д. 3, оф. 106 Тел.: (499) 733-34-88, (499) 735-85-74 http://zelekprint.ru/

Подписано в печать 19.05.2011 г. Заказ№ 1905/11,тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УДАРНОЙ ИОНИЗАЦИИ И ЛАВИННОГО УМНОЖЕНИЯ.

§ 1.1 квантово-механические аспекты ударной ионизации зона-зона.

§ 1.2 Механизмы электроразогрева носителей в сильных электрических полях.

§ 1.3 Биполярность ударной ионизации зона-зона и внутренняя положительная обратная связь дрейфового процесса в сильных полях.

ГЛАВА 2 ОСНОВЫ ФИЗИКИ РАЗВИТИЯ И РЕЛАКСАЦИИ ЭЛЕКТРОННЫХ ЛИВНЕЙ В ЛАВИННЫХ ФОТОДИОДАХ.

§ 2.1 Базовая структура планарного кремниевого лавинного фотодиода и основные упрощающие предположения теории.

§ 2.2 Статистика формирования электронных сгустков.

§ 2.3 Коэффициент усиления петли обратной связи лавинного процесса.

§ 2.4 Алгоритм расчетной процедуры определения формы токовых импульсов и результаты численного моделирования.

ГЛАВА 3 ПРОДВИНУТАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ТОКОВЫХ ИМПУЛЬСОВ С УЧЕТОМ ЛАТЕРАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ЭЛЕКТРОННЫХ ЛИВНЕЙ.

§ 3.1 Дискретизация задачи с учетом двумерного диффузионного растекания зарядов, инжектированных в случайную «точку» катодного слоя.

§ 3.2 Модификация итерационной схемы моделирования с учетом динамики растекания в катодном слое.

§ 3.3 Результаты моделирования импульсного пробоя и обсуждение результатов.

ГЛАВА

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЗАРОЖДЕНИЯ ПРОЦЕССА ЛАВИННОГО УМНОЖЕНИЯ И САМОПРОИЗВОЛЬНОГО ВЫКЛЮЧЕНИЯ ЛАВИННОГО ТОКА В КРЕМНИЕВЫХ ЛАВИННЫХ ФОТОДИОДАХ.

§ 4.1 Оценка эффективности одноэлектронного «зажигания» лавинного процесса.

§ 4.2 Спектральная зависимость квантовой эффективности преобразования «фотоэлектрон - сигнальный импульс».

§ 4.3 Статистическое Монте-Карло моделирование развития лавинного процесса. Методика и результаты.

§ 4.4 Монте-Карло моделирование ударно-ионизационого процесса с высокой степенью дискретизации.

Во введении диссертации изложены цели и задачи работы, показана актуальность темы диссертации, ее новизна и практическая значимость.

Первая глава диссертации посвящена подробному обсуждению основных положений теории ударной ионизации и лавинного размножения. Вводятся понятия коэффициентов лавинного умножения носителей заряда. Особое внимание уделено рассмотрению биполярности процесса ударной ионизации и внутренней положительной обратной связи ионизационного процесса. Сформулированы основные аспекты диссертационной работы.

Во второй главе диссертации рассмотрена базовая структура планарного кремниевого лавинного фотодиода. Даны основные упрощающие предположения статистической теории, развиваемой в настоящей работе. Исследованы статистические особенности формирования электронных сгустков в лавине; вводится понятие среднего коэффициента усиления петли обратной связи лавинного процесса.

Здесь же развита элементарная теория импульсного режима работы лавинного фотодиода, дающая качественное представление о принципах возникновения гейгеровского режима. В ее рамках методами математического моделирования продемонстрированы две альтернативные возможности развития лавинного процесса.

В третьей главе диссертации предлагается развитая физико-математическая модель динамики токовых импульсов с учетом латеральной неоднородности лавинного тока. В которой сочетается адекватный учет локальности области лавинного пробоя и специфика растекания зарядов по площади диода. Выявлено влияние критического сопротивления и емкости на стабильность работы кремниевых лавинных фотодиодов в импульсном режиме. Приведены результаты соответствующих численных экспериментов. Даны конструктивно-технические рекомендации по разработке конкретных фотоприемных устройств.

Четвертая глава диссертации посвящена, главным образом, исследованию начальной стадии развития лавинного процесса со сравнительно малым количеством носителей в области сильного поля, где в наибольшей степени проявляется случайность процесса регенерации тока. В этой глава аналитически сформулирован критерий эффективности преобразования «фотоэлектрон — токовый импульс» по первой петле обратной связи. Также была разработана специализированная Монте-Карло модель эволюции лавинного процесса на более длительном промежутке времени. Определена характерная длительность токовых импульсов в так называемом микроплазменном режиме. Построена обобщенная Монте-Карло модель лавинного процесса с высокой степенью дискретизации пространственно-временных координат. Приведены результаты численного моделирования

В Заключении перечислены основные результаты работы.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

1. Изучена статистика формирования электронных сгустков в пролетной области и построена функция распределения парциальных коэффициентов усиления результирующей петли положительной обратной связи биполярного ударно-ионизационного процесса.

2. Построена динамическая итерационная модель лавинообразной разрядки емкости диода, программная реализация которой обеспечивает расчет формы и амплитуды сигнальных импульсов.

3. С использованием метода статистических испытаний (Монте-Карло) определена эффективность преобразования «фотоэлектрон - сигнальный импульс» и ее зависимость от напряжения питания.

4. Построена Монте-Карло модель спонтанного выключения квазистационарного режима лавинного фотодиода и определена характерная длительность соответствующих микроплазм.

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что в ней решены задачи по исследованию нестационарных лавинно-пробойных процессов в кремниевых лавинных фотодиодах, а также сформулирован ряд количественных требований и ограничений на конструктивно- технологические параметры кремниевых планарных фотодиодных структур.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Показано, что, в силу выявленной математическим моделированием инерционности лавинного процесса, емкость фотодиода разряжается током сигнального импульса до напряжений существенно меньше пробивного.

2. Установлено, что для реализации импульсного режима работы кремниевого лавинного фотодиода необходимо существенное замедление быстродействия внешней цепи (в 100-10 раз) относительно быстродействия лавинной перезарядки Ю10 с"1).

3. Установлено, что квантовую эффективность преобразования «фотоэлектрон - сигнальный импульс» определяет результативность начального этапа формирования импульса (3 -5 времен пролета), где в наибольшей степени проявляется случайный характер коэффициента регенерации лавинного процесса.

4. Показано, что достаточно большое сопротивление нагрузки (0,1-1 МОм) приводит к самопроизвольному выключению стационарного состояния лавинного пробоя за времена порядка микросекунд, т.е. формированию так называемых микроплазменных токовых импульсов.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных и всероссийских научно-технических конференциях:

• International Conference «Micro- and nanoelectronics 2007», http://icmne.ftian.ru, Zvenigorod, Russia, October 1-5, 2007;

• 16-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика - 2009», Москва, МИЭТ, 2009;

• IV Научная конференция для молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика», 7-9 сентября 2009, Саратов, Россия.

• International Conference «Micro- and nanoelectronics 2009», http://icmne.ftian.ru, Zvenigorod, Russia, October 5-9,2009.

• 5-ом, 6-ом, 7-ом конкурсах молодых ученых им. Ивана Анисимкина в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.

Публикации

По материалам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ. Из них 5 публикации в журналах из перечня журналов и изданий, утвержденного Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

1. Besse P.A. Single photon detector fabricated in a complimentary metal-oxide-semiconductor high-voltage technology / Besse P.A. et al. // Rev.Sci.1.strum. - 2003. - v.74, n. 7. - p. 3263-3270.

2. Niclass C. A Single Photon Avalanche Diode Array Fabricated in Deep-Submicron CMOS Technology / Niclass C., Sergio M., Charbon E. // IEEE Proc. of Design, Automation and Test in Europe 2006. - v. 1. - p. 81-86.

3. Клемин С. Кремниевый фотоэлектронный умножитель. Новые возможности / Клемин С. и др. // ЭЛЕКТРОНИКА: Наука, Технология, Бизнес 2007. - № 8. - С.80-86.

4. Spinelli A. Physics and Numerical Simulation of Single Photon Avalanche Diodes / Spinelli A., Lacaita A.L. // ШЕЕ Trans. Electron Devices. 1997. -v. 44, n. 11. -p.1931-1943.

5. Mclntyre R.J. On the avalanche initiation probability of avalanche diodes above the breakdown voltage. // IEEE Trans. Electron Devices. 1973. -ED-20. — p.637-641.

6. Mclntyre R.J. A New Look at Impact Ionization Part I. // IEEE Trans. Electron Devices. - 1999. - v. 46, n. 8. - p.1623-1631.

7. Yuan P. et al. New Look at Impact Ionization — Part II. // IEEE Trans. Electron Devices. 1999. - v. 46, n. 8. - p.1632-1639.

8. Kang S. Effect of Deep Level Impact Ionization on Avalanche Breakdown in Semiconductor p-n Junctions / Kang S., Myles Ch.W. // Phys. Stat. Sol. -2000.-v. 181.-p. 219-229.

9. Hauser J.R. Threshold energy for avalanche multiplication in semiconductors // J. Appl. Phys., 1966. - v. 37.

10. Robbins D. Phys,Status.Solidi B, 98,11 (1980c)

11. КиреевА. С. Физика полупроводников /A.C. Киреев. М.: Высшая школа, 1969. - 590 с.

12. Ghosh R. Effect of electron-electron interactions on the ionization rate of charge carriers in semiconductors / Ghosh R., Roy S. K. // Solid-State Electr/- 1975.-v.18.

13. Grant W.N. Electron and hole ionization rates in epitaxial silicon at high electrical fields. // Solid-State Electron. 1973. - v. 16. - p. 1189-1203.

14. Nutall K.I. Prediction of avalanche breakdown voltage in silicon step junction / Nutall K.I. Nield M.W // Int. J. Electro. 1974. - v.37.

15. Groves C. Temperature Dependence of Impact Ionization in GaAs / Groves C., Ghin R., David J. P. R., Rees G. J. // IEEE Trans. Electron Devices. -2003. v. 50, n.10. - p. 2027-2030.

16. Кюрегян A.C. Об ударной ионизации в полупроводниках в сильных электрических полях // ФТП 1976. — т. 10.

17. Van Overstraeten R. Measurement of the ionization rates in diffused silicon p-n junctions / Van Overstraeten R., De Man H. // Solid-State Electron. -1970.-v. 13.-p. 583-608.

18. Shockley W., Solid-State Electronics, 2,35 (1961).

19. Wolff P.A. Theory of electron multiplication in Si and Ge // Phys. Rev. -1954.-v. 95.-p. 1415.

20. Baraff G.A. Distribution functions and ionization rates for hot electrons in semiconductors.// Phys. Rev. 1962 - v. 128. - p. 2507.

21. Зи С Физика полупроводниковых приборов: в 2-х книгах. / Пер.с. англ. 2-е перераб. и доп. изд. - М.: Мир, 1984. - 2 кн., ил.

22. Crowell C.R., Sze S.M. Temperature dependence of avalanche multiplication in semiconductors // Appl. Phys. Lett., 9, 242 (1966).

23. Sutherland A.D., IEEE Trans. Electron Devices, ED-27, 1299 (1980).

24. Ridley B.K., J. Phys. C, 16, 3373 (1983a).

25. Stillman G.E. Semiconductors and Semimetals / Stillman G.E., Wolf C.M.; Ed. R.K.Willardson, A.C. Beer. N.Y. San-Franc. - L.: Acad. Pr., 1977. v. 12.-p. 291-393.

26. Mikawa Т. Crystal orientation dependence of ionization rates in germanium / Mikawa Т., Kagawa S., Kaneda S., ToyamaY., Mikami O. // Appl. Phys. Lett. 1980. - v.37. - p. 387-389.

27. Dai B.T., Chang C.Y. Temperature dependence of ionization rates in Ge // J. Appl. Phys., 1971. - v. 42, n.12.- p. 5198-5202.

28. Техника оптической связи: Фотоприемники : пер.с англ. / Под ред. У.Тсанга-М.: Мир, 1988 526 е., ил.

29. Грехов И.В. Лавинный пробой р-п -перехода в полупроводниках / Грехов И.В., Сережкин Ю.Н. Л.: Энергия. Ленингр. отделение, 1980. -152 е., ил.

30. Grundman М. The Physics of Semiconductors, / Grundman M. Springer, 2006. - 689 p.

31. Stapels C.J. Characterization of a CMOS Geiger Photodiode Pixel / Stapels C.J., Lawrence W.G., Augustine F.L., Christian J.F. // IEEE Trans. Electron Devices. 2006,-v. 53, n. 4. - p. 631-635.

32. Kindt W.J. Modeling and fabrication of Geiger mode avalanche photodiodes / Kindt W.J., Van Zeijl H.W. // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1998. -v. 5, n. 3 - p. 715-719.

33. Бужан П.Ж. Твердотельный электронный умножитель многоцелевого назначения на основе гейгеровских микроячеек / Бужан П.Ж., Георгиевкая Е.А., Долгошеин Б.А. // Прикладная физика. — 2003. — №2.-С. 123-127.

34. Верховцева А. В. Статистика регистрации мультифотонных вспышек сцинтилляторов многоэлементным массивом кремниевых лавинных фотодиодов / Верховцева А. В., Гергель В. А., Зимогляд В. А. // Радиотехника и электроника 2009. - т.54, №4. - С.504-506.

35. Cova S. Avalanche photodiodes and quenching circuits for single-photon detection / Cova S. et al. // Applied Optics 1996. - v.35 n.12 - p. 19561976.

36. Jackson J.C. Toward integration single-photon-counting microarrays / Jackson J.C. et al. II Opt. Eng. 2003. - v.42 n. 1. - p. 112-118.

37. Spinelli A. Mian gain of avanche photodiodes in a dead space model / Spinelli A., Lacaita A. // IEEE Trans. Electron Devices. 1996,-v. 43, - p. 23-30.

38. Верховцева А. В. Статистические особенности зарождения процесса лавинного умножения в полупроводниках с различающимися коэффициентами ударной ионизации / Верховцева А. В. и др. // Радиотехника и электроника. 2009. - т.54, №11. - С. 1403-1414.

39. Левич В.Г. Введение в статистическую физику / Левич В.Г М.: Гостехиздат, 1954. — 528 с.

40. Ванюшин И. В. Дискретная модель развития и релаксации локального микропробоя в кремниевых лавинных фотодиодах в режиме Гейгера / Ванюшин И. В., В. А. Гергель, В. М. Гонтарь и др. // ФТП 2007. - т. 41, №6. - С.741-745.

41. Niclass С. Design and Characterization of a CMOS 3-D Image Sensor Based on Single Photon Avalanche Diodes / Niclass C. et al. И IEEE Journal of Solid-State Circuits 2005. -v. 40, n. 9. - p.1847-1854/

42. Dautet H. Photon counting techniques with silicon avalanche photodiodes / Dautet H. et al. I I Appl.Opt/ 1993. - v.32. - p.3894 - 3900.

43. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи / Бессонов Л.А. 11-е изд. - М.: Гардарики, 2007. - 701 с.

44. Корн Г.Справочник по математике для научных работников и инженеров / Корн Г., Корн Т. М.: Наука, 1977. - 832 с.

45. Верховцева А. В.Исследование динами развития локального микропробоя в кремниевых лавинных фотодиодных структурах / Верховцева А. В. и др. // Радиотехника и электроника 2009. - т.54, №3. - С.371-376.

46. Верховцева А. В. Динамика локального микропробоя в гейгеровском режиме работы лавинных фотодиодов / Верховцева А. В., ГергельВ. А. // Физика и техника полупроводников — 2009. т.43, №7. - С.966-970.

47. Верховцева А. В., Гергель В. А. «Эффективность генерации однофотонных токовых импульсов в гейгеровском режиме работы кремниевых лавинных фотодиодов» / Верховцева А. В., Гергель В. А., «Физика и техника полупроводников», 2009, т.43, №9, с.1244-1248

48. Абрикосов A.A. Методы квантовой теории поля в статистической физике. / A.A. Абрикосов, Л.П. Горышв, И.Е. Дзялошинский -М.: Физматгиз, 1962.

49. Розеншер Э. Оптоэлектроника. / Розеншер Э., Винтер Б. М. Техносфера, 2006 - 592с.

50. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике: Вводный курс / Ермаков С.М. СПб: Невский диалект; М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009 - 192с.: ил.t