автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Средства исследования диссипативных хаотических систем по временным рядам

На правах рукописи

Волович Михаил Евгеньевич

СРЕДСТВА ИССЛЕДОВАНИЯ ДИССИПАТИВНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2003

Работа выполнена в Московской государственной академии приборостроения и информатики на кафедре «Управление и моделирование систем» (ИТ-6)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор С.Н. Музыкин

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В.Н. Афанасьев

кандидат технических наук, доцент И.М. Мамонов

Ведущая организация: НИИ «Энергия»

Зашита состоится «16» декабря 2003 года в часов на заседании Диссертационного совета Д 212.119.02 Московской государственной академии приборостроения и информатики по адресу: 107076, г. Москва, ул. Стромынка, д. 20 (тел. 268-01-01).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МГАПИ. Автореферат разослан ноября 2003 г.

к.т.н., доцент Ульянов М.В.

г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы. Создание эффективных технических систем и повышение качества их функционирования, является одной из важных проблем современной техники. Для решения этой задачи необходимо исследование ее структурной и динамической сложности.

Диссертационная работа посвящена разработке средств моделирования и исследования технических объектов, представляющих собой открытые диссипа-тивные динамические системы и демонстрирующих хаотическое поведение. Изучение хаотических систем важно для решения задач гидродинамики, радиотехники, теплоэнергетики и других областей науки и техники в связи с исследованием различных предельных режимов. Такие системы характеризуются сжатием фазового объема, которое приводит к тому, что фазовые траектории с течением времени стягиваются в фиксированную ограниченную область — странный аттрактор.

Математическое моделирование реальных диссипативных систем, проявляющих хаотическое поведение, является сложной и трудно решаемой задачей, в связи с их сложной внутренней структурой и частой невозможностью получения данных о системе в полном объеме. Одним из подходов к решению этой задачи является метод задержки. Предложенный Н. Паккардом в начале 80-х годов прошлого века, и математически обоснованный Ф. Такенсом он позволяет реконструировать аттрактор динамической системы по ее одномерной реализации. В дальнейшем, на основе метода задержки Такенса-Паккарда, были разработаны методы вычисления различных инвариантных характеристик исходной динамической системы, позволившие расширить область применения данного подхода. Развитию этого направления были посвящены труды многих ученых — А. Вольфа, Г. Г. Малинецкого, В. С. Анищенко, Т. Шрейбера, Т. Сауэра, Р. Хеггера, Н. Канца, П. Гросбергера, И. Прокасиа, М. Розенштейна и многих других.

Вместе с тем общая методика моделирования хаотических процессов на основе разработанных методов, алгоритмическое и программное обеспечение методов проработано недостаточно. В связи с этим тема диссертационной работы является актуальной и имеет широкое прикладное значение.

Целью диссертационной работы является разработка методики и программно-математических средств моделирования и исследования хаотических процессов сложных систем на основе методов нелинейной динамики.

Основные задачи исследования:

1. Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории систем.

2. Формулировка задачи разработки методики и алгоритмического обеспечения моделирования сложных хаотических систем по временным рядам.

3. Разработка программно-математического обеспечения и исследование существующих алгоритмов построения моделей хаотических процессов и их характеристик. __

íi A'ítbh '; ,

БИБЛИОТЕКА С.Петчрйи(Г f S" • * 03 шЦы*?!? 1

2004-4 25334

4. Программная реализация и тестирование алгоритмического и математического обеспечения на известных моделях хаоса; исследование области применимости методик.

5. Тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения на экспериментальных данных.

6. Решение практических задач по моделированию реально существующих дис-сипативных хаотических систем.

Объект исследования. В качестве объекта исследования выбраны диссипа-тивные хаотические динамические системы на этапе асимптотического поведения, которые либо не допускают непосредственного исследования своей структуры, либо эта структура слишком сложна, и для анализа доступен только производимый системой сигнал.

Методы исследования. В работе используются методы информатики, теории сложных систем, теории динамических систем, теории хаоса и бифуркаций и современные компьютерные технологии. Научная новизна состоит в следующем:

- разработана методика исследования моделей и получения инвариантных характеристик хаотических систем по временным рядам;

- разработаны алгоритмы поиска ближайших точек в фазовом многомерном пространстве, позволяющие повысить скорость вычислений инвариантных характеристик;

- создано алгоритмическое обеспечение методики моделирования и исследования хаотических моделей структурно-сложных систем, на основе реконструкции аттракторов методом Такенса-Паккарда и модифицированных алгоритмов вычисления инвариантных характеристик по временным рядам.

Практическая ценность. Разработанные методологии, модели и программное обеспечение могут быть использованы для проектирования автоматических систем управления сложными техническими процессами и реализации подсистем прогнозирования поведения хаотических систем.

Реализация результатов работы. Разработанные методики использованы для моделирования теплоэнергетических систем промышленных предприятий Ступинского района Московской области.

Программное обеспечение используется в учебном процессе кафедры управления и моделирования систем МГАПИ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Моделирование систем».

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 6 научных конференциях: 111 Всероссийской научно-технической конференции «Новые информационные технологии» (г. Москва, МГАПИ, 2000); Международной научно-практической конференции «Информационные технологии в науке и образовании» (г. Шахты, Ростовской обл., ЮРГУЭС, 2001); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные модели экономики» (г. Москва, МГАПИ, 2003); V Молодежной научно-технической конференции «Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы» (г. Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003);научном семинаре «Теории, методы и средства моделирования

сложных систем» кафедры «Управления и моделирования систем» МГАПИ; IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск, ИВМ СО РАН, 2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 160 страницах машинописного текста и содержит 55 рисунков и 12 таблиц. Список литературы содержит 131 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность разработки методики математического моделирования хаотических процессов сложных систем, создание алгоритмического обеспечения и методик исследования инвариантных характеристик; формулируются цели и задачи исследования; приводится краткая характеристика основных разделов диссертации.

В первой главе проведен обзор основных научных результатов современной нелинейной теории систем; приведена классификация динамических систем; на основании проведенного обзора уточнена общая постановка задачи; рассмотрены основные понятия нелинейной теории систем.

Начиная с классических работ А. Пуанкаре в начале прошлого века до настоящего времени, исследованию нелинейных динамических систем было посвящено огромное количество трудов. Значительное влияние на развитие нелинейной теории систем оказали работы С. Смейла, А. Колмогорова, Д.Аносова, Н.Крылова, В. Оселедеца и других. Открытие в 1971 году Д.Рюэлем и Ф.Такенсом странного аттрактора положило начало исследованиям детерминированного хаоса. Значительное внимание было уделено исследованию диссипативных систем, демонстрирующих хаотическое поведение.

Предполагается, что исследуемая по временному ряду хаотическая динамическая система может быть представлена конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, а объект определяется заданием величин хи х2,..., xN в некоторый момент времени /=/о. Величины х, могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин х, и х' отвечают два разных состояния. Закон эволюции записывается:

*.=//(*|>*2»-.*лг)>

или в векторной форме

¿ = F(x), (1)

где F(x) — вектор-функция размерности N, хе R".

В силу сжатия фазового объема предельное множество фазовых траекторий в диссипативных системах всегда будет иметь нулевой объем. Однако структура предельного множества при этом может быть различной: точка, линия, поверхность или множество поверхностей, имеющее в сечении Пуанкаре структуру типа канторовой.

В работе рассматриваются автоколебательные режимы движения системы. Это означает, что в системе существуют установившиеся колебания, характеристики которых не зависят в определенных пределах от выбора начального состояния.

Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область 0\, принадлежащая фазовому пространству К", которая включает в себя подобласть С?о- Области С?! и Со удовлетворяют следующим условиям:

— для любых начальных условий х,(0) из области <7[ при все фазовые траектории рано или поздно достигают области <30;

— область Со представляет собой минимальное компактное подмножество в фазовом пространстве системы;

— если фазовая траектория принадлежит области О0 в момент времени то она будет принадлежать О0 всегда, то есть для любых / > фазовая траектория будет находиться в области О о.

Если эти условия выполняются, то область Оо называется аттрактором динамической системы. Аттрактор - это минимальное предельное множество траекторий системы, куда стремятся и там остаются любые траектории из области 61, охватывающей Со- Область <3] называется областью притяжения аттрактора (70. В области <?1 могут существовать исключительно переходные, нестационарные типы движений. Предельное множество Со отвечает установившимся типам движения.

Исследования и практические результаты в этой области главным образом связаны с разработкой эффективных численных методов и расчетом характеристик динамических систем по временным рядам. В работах А. Вольфа, Т. Шрейбера, Р. Хеггера, Н. Канца, П. Гросбергера, И. Прокасиа, М. Розенштейна, Т. Сауэра, Д. Кугиумциса и др. были предложены методы, позволяющие выяснить, произведен ли сигнал динамической системой, а также получить информацию о свойствах и характеристиках этой системы. Развитию этого направления в России посвящены работы Г. Малинецкого, В. Анищенко, А. Лоскутова, Т. Вадивасовой, А. Потапова, С. Кузнецова, диссертационные работы М. Прохорова (1997), Г. Лукьянова (1998), А. Павлова (1998), Н. Янсон (1998), А. Смирнова (2001).

На основе проведенного обзора уточнены цель и задачи диссертационной работы.

Во второй главе рассмотрены характеристики хаотических процессов, приведены их математические модели, и связь характеристик между собой; выбраны основные инвариантные характеристики, позволяющие по одномерной реализации получить оценки устойчивости, энтропии и размерности исходной системы; обоснован выбор характеристик.

Сложная структура хаотических сигналов позволила расширить совокупность параметров характеризующих отличительные особенности исходной системы. В работе рассмотрены и приведены математические модели следующих характеристик: инвариантная мера, спектр мощности, автокорреляционная функция, энтропия, геометрические размерности, обобщенные размерности, показатели Ляпунова. На основе анализа их свойств и взаимосвязей выбраны еле-

дующие характеристики, позволяющие получить информацию о структурной и динамической сложности исследуемой системы, по ее одномерной реализации:

1. Энтропия динамической системы. Хаотическая система с течением времени увеличивает неопределенность своего состояния.

Если дана динамическая система хк= Р(х4)и задана ее инвариантная

мера ц на компактном носителе А, АсгЖ", и произведено разбиение А на конечное число непересекающихся множеств А„ с мерой р1 = \х{А,), таких

что = ^ П Г~'(А12) П )••• П Г'*' (Д,), где Р~'(А,) - множество точек аттрактора динамической системы, отображаемых в А;, отображением Т^, то энтропией динамической системы называется величина

где #<"=- £ Ц(4„,г „(")1пцКЛ ,<'>), 8 = тахсНат(А,). '¡А-1/

Энтропия является мерой потери информации о состоянии динамической системы с течением времени.

2. Обобщенные размерности. Скорость расходимости энтропии при измельчении разбиения можно использовать для оценки размерности странных аттракторов.

Кроме обычной шенноновской энтропии для этой цели используются и обобщенные энтропии Реньи Нд. Соответствующие размерности называются

обобщенными размерностями

При <7=0, И представляет собой емкость, при >1 — информационная

размерность, а при <?=2 — корреляционная размерность.

3. Характеристические показатели Ляпунова. Сумма показателей Ляпунова траектории динамической системы характеризует скорость изменения фазового объема в ее окрестности. Режим странного аттрактора реализуется только в диссипативных системах и характеризуется наличием в спектре положительных показателей. Сумма показателей Ляпунова для диссипативных систем отрицательна. Если сумма показателей Ляпунова равна нулю, то фазовый объем системы во времени не изменяется — система консервативна и аттракторов не содержит. В случае положительной суммы показателей Ляпунова фазовый объем во времени нарастает. Физически такой режим как стационарный не возможен.

Для системы заданной отображением = Р(х4), матрица Якоби которого Цр'(*)> характеристические показатели Ляпунова определяются как:

\ = Нт|-1п|оД,:*:)|,

где иД, х) — модуль /-го собственного значения Ц^х).

При подходящих предположениях этот предел существует и одинаков для типичных точек х на аттракторе. Упорядоченная по убыванию последовательность чисел X, образует спектр показателей Ляпунова.

$

В третьей главе разработана методика моделирования сложных хаотических систем по временным рядам на основе реконструкции аттрактора методом Такенса-Паккарда. Разработаны алгоритмы поиска ближайших точек в фазовом многомерном пространстве, позволяющие повысить скорость расчетов по предложенной методике. На основе модифицированных алгоритмов вычисления инвариантных характеристик по временным рядам, построено алгоритмическое обеспечение методики моделирования сложных хаотических систем.

В рамках современной теории динамических систем, по временному ряду, порожденному системой, возможно восстановить ее свойства и получить оценки параметров исходной системы. Основой методов расчета инвариантных характеристик по временному ряду является метод Такенса-Паккарда.

Пусть в результате эксперимента получено значение наблюдаемого процесса в виде временного ряда х,=х((,), ?,=/' • т являющегося значением скалярной функции состояния динамической системы ср'(х0), где ф'(х0) - состояние системы в момент /, если в начальный момент она находилась в состоянии х0, т.е.

дг,=Ь(х/)=н(ф/' (х0)), х, е М"*, М"1- фазовое пространство системы.

Тогда, согласно теореме Ф.Такенса, найдется векторная функция Л, отображающая М^ в евклидово пространство К™

г,—Л(х/),

при т > 2с/+1 она будет давать вложение М^ в К"' и, следовательно, отображения Ф(х)=фг(х), ФгМ^М'' и Ч,(г)=А(Ф(Л'1 (г)), можно рассматривать как отображения, связанные невырожденной и обратимой заменой переменных г=Л(х) или как различные представления одного и того же отображения, т.е. х,+1=Ф(х,) и Следовательно, характеристики, инвариантные относительно невырожденной замены, у обеих систем должны совпадать и их можйо пытаться определять по экспериментальным данным, не зная при этом всех переменных динамической системы.

В диссертационной работе используется подход, предложенный Паккардом, который заключается в использовании векторов, получаемых из элементов временного ряда по тому же принципу, что и в задачах авторегрессии:

Ъг^Х,, ХгЦ,......*<+т-1)

Полученная в результате реконструкции траектория в пространстве К", называемая реконструкцией размерности т, не должна содержать самопересечений, однако, самопересечений в массиве дискретных точек г, скорее всего никогда не будет, поэтому ищут так называемых «ложных близких соседей» — пары векторов, которые оказались близкими в реконструкции, но их прообразы находились далеко. Пусть г[т) и г/"* — два близких соседа в реконструкции размерности т, а г,1"1"1' и г/"*1' соответствуют им в реконструкции размерности т+1. Если мы имеем дело с истинно близкими соседями, то они чаще всего будут близки в обеих реконструкциях. В то же время «ложные близкие соседи» в реконструкции т, как правило, превращаются в отдаленных с ростом т. Пары, для которых 11 - г/"0! I мало, а 11 г,(т+|) - г/"*"! I - нет, получили название «ложных ближайших соседей». Если теперь увеличивать т и оценивать количество «ложных близких соседей», то при достижении нужной размерности, при которой достигается правильная реконструкция, это количество резко уменьшается.

Определение значения т осуществляется с помощью метода, основанного на теории информации и использующего первый минимум взаимной информации для хк и хк+]. Для этого по временному ряду строятся гистограммы, аппроксимирующие распределения хк и хк+и совместное распределение хк и хм. По построенным гистограммам рассчитываются энтропии и взаимная информация

« АР/

где р, - вероятность нахождения точки х* в /-том интервале, а />,/т) - совместная вероятность, попадания хк в г -й интервал и попадания хк+\ ву-й.

На основе выбора инвариантных характеристик и метода Такенса-Паккарда разработана методика моделирования сложных хаотических систем по временным рядам, состоящая из пяти этапов:

1. Определение размерности реконструкции аттрактора по временному раду.

2. Вычисление задержки реконструкции аттрактора по временному ряду.

3. Реконструкция аттрактора по временному ряду.

4. Фильтрация шумов в полученной реконструкции.

5. Расчет инвариантных характеристик:

- старший показатель Ляпунова;

- спектр показателей Ляпунова;

- энтропию системы;

- размерность системы.

В работе показано, что в методах фильтрации шумов и расчета инвариантных характеристик многократно используется алгоритм поиска ближайших точек в многомерном фазовом пространстве. В существовавшем алгоритмическом обеспечении для этой цели используется метод полного перебора с быстродействием порядка /V2. Для увеличения скорости вычислений разработаны три алгоритма быстрого поиска «ближайшего соседа». Все алгоритмы поиска разбиты на 2 этапа:

1. Этап подготовки.

2. Этап поиска.

Разделение произведено с целью разделить однократно и многократно используемые части алгоритмов, что позволило дополнительно повысить общее быстродействие алгоритмов, использующих поиск ближайших точек в многомерном пространстве.

В отличие от ранее предложенных (С. Бингхем и М. Кот, Т. Шрейбер, П. Грассбергер, Я. Тейлер, И. Костелич и Я. Йорк) алгоритмов быстрого поиска, разработанные алгоритмы не используют структур данных типа дерево, что позволяет уменьшить количество занимаемой памяти и упростить реализацию, при сохранении быстродействия порядка ЛПодМ.

В алгоритме 1 на этапе подготовки создается массив размерности Ыхт, где N - количество точек, т - размерность реконструкции. В столбцах массива записаны индексы точек реконструированного пространства, сортированные по координате соответствующей номеру столбца. На втором этапе в каждом столбце массива, созданного на этапе подготовки, перебираются к индексов точек

ближайших к опорной. На рис. 1 показана иллюстрация работы алгоритма - серым отмечена опорная точка, черным - найденный «ближайший сосед». Основным достоинством алгоритма является простота реализации, малое количество занимаемой памяти при значительном увеличении скорости поиска по сравнению со стандартным алгоритмом при сохранении точности поиска.

1 1 о I О

р ф

• « ! 1 О

1

О t О ! j

Рис. 1. Иллюстрация работы алгоритма 1.

Алгоритм 2 построен на использовании структуры данных hash multy-шар. На этапе подготовки, область, в которой находятся все точки реконструированного аттрактора, разбивается на к подобластей по каждой координате. Все точки аттрактора классифицируются на принадлежность к одной из подобластей и заносятся в структуру hash multymap, индексируемую побитной комбинацией координат подобласти. На этапе поиска ближайшие соседи находятся перебором точек находящихся в той же подобласти, что и опорная. Если ближайший сосед не найден - рассматриваются все прилегающие подобласти. На рис. 2 показана иллюстрация работы алгоритма - серым отмечена опорная точка, черным - найденный «ближайший сосед». Достоинством алгоритма является то, за счет использования структуры данных типа hash достигается компромисс между быстродействием алгоритма и количеством занимаемой данными памяти.

-V/ г" \ > иГ-уч *",* i-V AvVt * % *. * ■п " * * * ч ! * » ч г i * 1 ! ОС > I. ч * - ц, ъ ч О

-»' * т- » А Л ' У, s 1 \ 5 Г- ф М t , Л Г* 1 1 "■» *V i k id " X i i^r *М Ч^* с7 S ■Л, 4 i 1 ri * *' 9- ¥ * е t ^ ? 1 • г а ..к 4 % > 1 т' о

i * А , л, *' In*"-• "it. . ъ * о." 1 + ^ Ф-" * г » ^„aj ¡„J„„ ! 1 V. * Л Ь ^

а О о

Рис. 2. Иллюстрация работы алгоритма 2.

Алгоритм 3, в отличие от ранее предложенных алгоритмов, использует для хранения разбиения фазового пространства (рис. 3), не структуру типа дере-

во, а одномерный массив и таблицы соответствия. На этапе подготовки все точки аттрактора нормируются. Для каждой точки реконструированного аттрактора г]={х\, ... , х,„), j=\tN компоненты х, представляются в двоичном виде х, = Ъ,а\а'2...а\,1=\,т, а каждая подобласть, полученная разбиением пространства, записывается следующим образом: Му-О^а^—а^а^-м".....а\а]---а" и п0~

мещается в одномерный массив. Затем, массив сортируется, и создаются таблицы соответствия точек аттрактора и подобластей разбиения в упорядоченном массиве. На этапе поиска перебираются точки, находящиеся в соседних к подобласти разбиения, содержащей опорную точку подобластях пространства. Достоинством алгоритма является экономия занимаемой памяти по сравнения с алгоритмами, использующими деревья для хранения разбиения и простота реализации, при значительном увеличении скорости поиска по сравнению со стандартным алгоритмом при сохранении точности поиска.

о о

о о о о

о

о э э

о

о о

Рис. 3. Иллюстрация разбиения пространства в алгоритме 3

В работе построен модифицированный алгоритм фильтрации точек аттрактора. Для каждого вектора г, полученной реконструкции с помощь одного из разработанных алгоритмов быстрого поиска вычисляются «ближайшие соседи» такие, что 11 г,- - г, I! <£. Величина е задается исходя из априорных оценок величины шума или путем последовательного приближения. Для каждого вектора г,=-(х„ х,+ь ... х1(и.,)т скорректированное значение г,.[т/2] вычисляется усреднением по всем х' «ближайшим соседям»:

1 "

гЧ>«/2] '

После полного прохода по всем точкам реконструированной траектории все точки кроме первых и последних [т/2] точек будут скорректированы.

В работе проведено исследование и показано, что существующие методы оценки показателей Ляпунова можно разделить на 2 больших класса: матричные методы и методы аналога.

Методы, связанные с восстановлением в каком-либо виде уравнений движения, аппроксимацией матрицы и расчетом показателей называют матричными. Они основаны на построении локальных матриц Якоби для каждой точки реконструированного аттрактора, после чего для нахождения показателей

(можно попытаться оценить весь спектр) используют численные методы. В диссертационной работе реализован алгоритм вычисления спектра показателей Ляпунова основанный на методе Беннетина, в котором используются эволюционирующие вектора.

Методы, связанные с непосредственным измерением скорости расходимости близких траекторий называют методами аналога. Они основаны на следующем соотношении:

где Ь — расстояние между близкими фазовыми траекториями, X - старший показатель Ляпунова.

В программно-математическом обеспечении реализовано три модифицированных алгоритма вычисления старшего показателя Ляпунова на основе методов аналога — по методу Вольфа, Розенштейна и Канца. Метод Вольфа. Выберем произвольную стартовую точку го в момент времени г0 и проследим ее движение по фазовому пространству (базовая траектория). С помощью одного из разработанных алгоритмов быстрого поиска,найдем точку г\, ближайшую к стартовой и обозначим расстояние между ними как Ц/о)-Спустя время при движении пары точек ^ и г'0по аттрактору они перейдут в точки и г"0 соответственно. Расстояние между ними, станет Ь'(/[). Затем, с помощью того же метода быстрого поиска «ближайшего соседа» находим точку г\, удовлетворяющую следующим критериям: расстояние Цс,) от нее до г\ -минимально и минимален угол между векторами (г"0 - гх) и (г\ - Повторяя процедуру до тех пор, пока не закончится анализируемый временной ряд, вычислим максимальный характеристический показатель Ляпунова по формуле

где М это общее число шагов.

Метод Розенштейна. Метод показывает хорошую скорость расчета, однако, результатом его работы является не численное значение X,, а функция от времени:

где X) - рассматриваемая точка, а х] -один из ее «соседей», поиск которого на

каждом шаге алгоритма выполняется с помощью одного из разработанных алгоритмов поиска ближайших соседей. Скобки обозначают усреднение по всем с1г Алгоритм основан на связи 4 и показателей Ляпунова: ~ ем'Т). Для оценки используется ближайший сосед рассматриваемой точки. Старший показатель Ляпунова предлагается вычислить как угол наклона ее наиболее линейного участка. Нахождение такого участка, оказывается нетривиальной задачей, а иногда такой участок и вовсе указать не удается.

Метод Канца. Методика расчета показателей Ляпунова методом Канца также как и метод Розенштейна основана на соотношении ~ е*'"' и вычис-

лении старшего показателя по уголу наклона наиболее линейного участка некоторой функции вида:

\\

S(z0,j)= In

Усреднение берется по всем |¡7„| ближайшим соседям x¡ в окрестности

радиуса ео, которые вычисляются с помощью одного из разработанных алгоритмов быстрого поиска.

В работе показано, что использование комбинация трех алгоритмов расчета старшего показателя Ляпунова позволяет добиться повышения качества вычислений.

В диссертационной работе построен алгоритм вычисления энтропии по временному ряду основанный на выражении

К, = lim lim lim-Inf C"'(e) ),

Cm (z) = Hm —^ h{r - |z( - Zj Ij— корреляционный интеграл, s — радиус сфе-

»j

ры, для которого определяется число точек М(е), оказавшихся внутри сферы, Н— функция Хевисайда.

Разработан алгоритм расчета размерности динамической системы:

=-*> Ine

где С Je) = lim ■¿ #(е - ||z, - zj), е - радиус сферы.

° N '«У

Для увеличения скорости вычислений расчет корреляционного интеграла производится с использованием разработанных алгоритмов быстрого поиска ближайших точек в многомерном пространстве.

В четвертой главе произведено тестирование предложенной методики и разработанного алгоритмического обеспечения на известных системах. С помощью разработанных средств, проведено исследование реально существующих дисси-пативных динамических систем.

В качестве входных данных при тестировании на модельных примерах, в работе использовался временной ряд, полученный в результате численного решения системы Рёсслера. Полученные результаты приведены в таблице табл. 1 и показанные на рисунках: рис.4а — реконструированный аттрактор, рис. 46 — корреляционная размерность, рис. 4в — энтропия.

Табл. I.

Размерность реконструкции т Задержка г Старший показа- j Спектр показателей Ляпунова тель Ляпунова 1

3 8 0,08532 1 0,07314 [ 0,00114 | -0,2319

»5 -'»1)5

а б в

Рис. 4. Моделирование и исследование системы Рёсслера.

В результате применения разработанных алгоритмов к системе теплообмена в установившемся режиме, выходом которой является температурный процесс, измеряемый соответствующим датчиком, были получены результаты, приведенные в таблице табл. 2 и показанные на рисунках: рис. 5а — реконструированный аттрактор, рис. 56 — корреляционная размерность, рис. 5в — энтропия.

__Табл. 2.

Размерность реконструкции т Задержка г Старший показатель Ляпунова Спектр показателей Ляпунова

3 12 0,03230 0,02814 | 0,00217 | -0,05374

В работе с помощью разработанных алгоритмов и методики проведено исследование теплового процесса охлаждения алюминиевого сплава. На вход поступает температура сплава, которая контролируются по показаниям термоэлектрического термометра и визируются электроникой литейной машины. Полученные результаты, приведены в таблице табл. 3 и показанные на рисунках: рис. 5а — реконструированный аттрактор, рис. 56 — корреляционная размерность, рис. 5в — энтропия.

Табл. 3.

Размерность реконструкции т Задержка г Старший показатель Ляпунова Спектр показателей Ляпунова

6 45 0 345495 0.285 | 0.086 | -0 004 | -0.188 | -0 454 | -1.036

Рис. 6 Моделирование и исследование теплового процесса охлаждения алюминиевого сплава

При проведении тестирования модифицированных алгоритмов на рассмотренных примерах были получены результаты быстродействия, показанные на рис. 7а— среднее быстродействие при выполнении алгоритма вычисления старшего показателя Ляпунова по методу Вольфа, рис. 76 — общее среднее быстродействие при выполнении алгоритмов по предложенной в диссертационной работе технологии.

Рис. 7. Сравнение среднего быстродействия алгоритмов.

Результаты исследований показывают эффективность разработанного подхода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведен анализ и классификация современных методов исследования хаотических систем; обоснована необходимость построения алгоритмического обеспечения.

2. На основе современных методов нелинейной динамической теории построены алгоритмы математического моделирования основных количественных характеристик хаотических процессов — расчет оптимальной размерности реконструкции; получения старшего показателя Ляпунова по временным рядам по методам Вольфа, Канца, Розенштейна; расчет энтропии динамической системы и корреляционной размерности.

3. Построено алгоритмическое обеспечение моделирования и исследования сложных хаотических систем, включающее реконструкцию аттрактора по временным рядам.

4. Разработаны модифицированные алгоритмы поиска «ближнего соседа» в фа-

зовом многомерном пространстве, позволяющие существенно повысить скорость вычислений.

5. Создана методика исследования и реконструкции аттрактора сложных хаотических систем по временным рядам.

6. Реализовано и используется в учебном процессе программное обеспечение моделирования хаотических процессов на кафедре «Управления и моделирования систем» МГАПИ.

7. Разработаны и внедрены рабочие методики моделирования системы теплообмена на кондитерской фабрике компании «Марс» и теплового процесса охлаждения алюминиевого сплава в ОАО «Ступинской металлургической компании».

8. По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, направленных на моделирование хаотических процессов сделан вывод о состоятельности и эффективности разработанных методик.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Хныкин А. П., Никульчев Е. В., Волович М. Е. Синтез оптимального управления в задачах с несколькими критериями качества // Новые информационные технологии: Материалы III науч.-техн. конференции / Под общ. ред. А. П. Хныкина.— М.: МГАПИ, 2000,— С. 113-116.

2. Волович М. Е. Программные средства и алгоритмы идентификации и исследования динамических систем по временным рядам // Информационные технологии в науке и образовании: Материалы Международ, науч.-практ. конф.— Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2001,— С. 44 -46.

3. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Идентификация фазовых портретов динамических систем по временным рядам // Научные труды МАТИ им. К. Э. Циолковского. — М.: ЛАТМЭС, 2001,— Вып. 4 (76).— С. 463-467.

4. Волович М. Е. Определение максимального времени предсказуемости курса акций на фондовом рынке с помощью методов нелинейной динамики // Математическое моделирование и управление в сложных системах: Сб. науч. тр. под общ. ред. С. Н. Музыкина, А. П. Хныкина.— М.: МГАПИ, 2002.— Вып. 5.—С. 25-29.

5. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Модели хаоса для процессов изменения курса акций // Exponenta Pro. Математика в приложениях.— 2003.— №1—С. 49-52.

6. Волович M.E.K задаче моделирования нелинейных динамических процессов // Информационные модели экономики: Труды Всероссийской науч.-практ. конф,— М.: МГАПИ, 2003.— С. 44-47.

7. Никульчев Е. В., Волович М. Е. Реконструкция фазового портрета системы теплообмена//Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы: Труды V Молодежной науч.-техн. конф.— М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003.— С. 132-135.

8. Волович М. Е. Алгоритмическое обеспечение моделирования хаотических систем по временным рядам // Тезисы докл. IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2003.— С. 18.

Подписано к печати 11. 11. 2003 г. Формат 60x84. 1/16 Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 189

Московская государственная академия приборостроения и информатики

107076, Москва, ул. Стромынка, 20

I I

f ê>

I

I

I

f

I

I

р. 164»

РНБ Русский фонд

2004-4 25334

ВВЕДЕНИЕ.

1.ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

1.1 Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории.

1.2 Общая постановка задачи.

1.2 Основные понятия теории динамического хаоса.

1.3 Классификация динамических систем.

1.4 Аттракторы диссипативных систем.

1.5 Инвариантные множества динамических систем.

1.6 Устойчивость динамических систем.

1.7 Выводы.

2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ОЦЕНКИ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.

2.1 Инвариантная мера динамических систем.

2.2 Энтропия динамической системы.

2.2.1 Обобщенные энтропии Ренъи.

2.3 Размерности аттракторов динамических систем.

2.3.1 Геометрические размерности.

2.3.2 Вероятностные размерности.

2.4 Характеристические показатели Ляпунова.

2.4.1 Неподвижные точки обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.4.2 Периодические решения автономных систем ОДУ.

2.4.3 Построение сечения Пуанкаре.

2.4.4 Обобщенный подход к исследованию устойчивости.

2.4.5 Свойства показателей Ляпунова.

2.4.6 Связь показателей Ляпунова с другими характеристиками.

2.5 Выводы.

3 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПО ОДНОМЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ.

3.1 Статистическое моделирование динамических систем.

3.2 Реконструкция по временным рядам.

3.3 Задача выбора параметров реконструкции.

3.3.1 Выбор размерности реконструкции.

3.3.2 Выбор временного интервала.

3.4 Алгоритмы поиска ближайших соседей.

3.4.1 Стандартный алгоритм.

3.4.2 Алгоритмы быстрого поиска «ближайших соседей».

3.5 Фильтрация шумов.

3.6 Методы расчета показателей Ляпунова.

3.6.1 Мультипликативная эргодическая теорема.

3.6.2 Оценка показателей Ляпунова по временному ряду.

3.7 Оценка энтропии динамической системы по временному ряду.

3.8 Оценка корреляционной размерности по временному ряду.

3.9 Методика моделирования сложных хаотических систем по временным рядам.

ЗЛО Выводы.

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

4.1 Тестирование алгоритмов на модельных примерах.

4.2 Исследование реально существующих диссипативных динамических систем, с помощью разработанных средств.

4.4 Выводы.

Актуальность темы. Создание эффективных технических систем и повышение качества их функционирования, является одной из важных проблем современной техники. Для решения этой задачи необходимо исследование ее структурной и динамической сложности.

Диссертационная работа посвящена разработке средств моделирования и исследования технических объектов, представляющих собой открытые диссипативные динамические системы и демонстрирующих хаотическое поведение. Изучение хаотических систем важно для решения задач гидродинамики, радиотехники, теплоэнергетики и других областей науки и техники в связи с исследованием различных предельных режимов. Такие системы характеризуются сжатием фазового объема, которое приводит к тому, что фазовые траектории с течением времени стягиваются в фиксированную ограниченную область — странный аттрактор.

Математическое моделирование реальных диссипативных систем, проявляющих хаотическое поведение, является сложной и трудно решаемой задачей, в связи с их сложной внутренней структурой и частой невозможностью получения данных о системе в полном объеме. Одним из подходов к решению этой задачи является метод задержки. Предложенный Н. Паккардом в начале 80-х годов прошлого века, и математически обоснованный Ф. Такенсом он позволяет реконструировать аттрактор динамической системы по ее одномерной реализации. В дальнейшем, на основе метода задержки Такенса-Паккарда, были разработаны методы вычисления различных инвариантных характеристик исходной динамической системы, позволившие расширить область применения данного подхода. Развитию этого направления были посвящены труды многих ученых — А. Вольфа, Г. Г. Малинецкого, В. С. Анищенко, Т. Шрейбера, Т. Сауэра, Р. Хеггера, Н. Канца, П. Гросбергера, И. Прокасиа, М. Розенштейна и многих других.

Вместе с тем общая методика моделирования хаотических процессов на основе разработанных методов, алгоритмическое и программное обеспечение методов проработано недостаточно. В связи с этим тема диссертационной работы является актуальной и имеет широкое прикладное значение.

Целью диссертационной работы является разработка методики и программно-математических средств моделирования и исследования хаотических процессов сложных систем на основе методов нелинейной динамики.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории систем.

2. Формулировка задачи разработки методики и алгоритмического обеспечения моделирования сложных хаотических систем по временным рядам.

3. Разработка программно-математического обеспечения и исследование существующих алгоритмов построения моделей хаотических процессов и их характеристик. .

4. Программная реализация и тестирование алгоритмического и математического обеспечения на известных моделях хаоса; исследование области применимости методик.

5. Тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения на экспериментальных данных.

6. Решение практических задач по моделированию реально существующих диссипативных хаотических систем.

В качестве объекта исследования выбраны диссипативные хаотические динамические системы на этапе асимптотического поведения, которые либо не допускают непосредственного исследования своей структуры, либо эта структура слишком сложна, но для анализа доступен производимый системой сигнал.

В работе используются методы информатики, теории сложных систем, теории динамических систем, теории хаоса и бифуркаций и современные компьютерные технологии.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработана методика исследования моделей и получения инвариантных характеристик хаотических систем по временным рядам;

- разработаны алгоритмы поиска ближайших точек в фазовом многомерном пространстве, позволяющие повысить скорость вычислений инвариантных характеристик.

- создано алгоритмическое обеспечение методики моделирования и исследования хаотических моделей структурно-сложных систем, на основе реконструкции аттракторов методом Такенса-Паккарда и модифицированных алгоритмов вычисления инвариантных характеристик по временным рядам;

Практическая ценность. Разработанные методологии, модели и программное обеспечение могут быть использованы для проектирования автоматических систем управления сложными техническими процессами и реализации подсистем прогнозирования поведения хаотических систем.

Реализация результатов работы. Разработанные методики использованы для моделирования теплоэнергетических систем промышленных предприятий Ступинского района Московской области. Программное обеспечение используется в учебном процессе кафедры управления и моделирования систем МГАПИ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Моделирование систем».

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 6 i научных конференциях: III Всероссийской научно-технической конференции

Новые информационные технологии» (г. Москва, МГАПИ, 2000); Международной научно-практической конференции «Информационные технологии в науке и образовании» (г. Шахты, Ростовской обл., ЮРГУЭС, 2001); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные модели экономики» (г. Москва, МГАПИ, 2003); V Молодежной научно-технической конференции «Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы» (г. Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003);научном семинаре «Теории, методы и средства моделирования сложных систем» кафедры «Управления и моделирования систем» МГАПИ; IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск, ИМИ СО РАН, 2003).

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 160 страницах машинописного текста и содержит 55 рисунков и 12 таблиц. Список литературы содержит 131 наименование.

Основные результаты и выводы

1. Проведен анализ и классификация современных методов исследования хаотических систем; обоснована необходимость построения алгоритмического обеспечения.

2. Построены алгоритмы математического моделирования основных количественных характеристик хаотических процессов на основе современных методов нелинейной динамической теории — расчет оптимальной размерности реконструкции; получения старшего показателя Ляпунова по временным рядам по методам Вольфа, Канца, Розенштейна; расчет энтропии динамической системы и корреляционной размерности. з

3. Разработаны алгоритмическое обеспечение и средства моделирования и исследования сложных хаотических систем, включающее реконструкцию аттрактора по временным рядам.

4. Модифицирован алгоритм поиска «ближнего соседа» в фазовом многомерном пространстве, позволяющие существенно повысить скорость вычислений.

5. Разработана технология исследования и реконструкции аттрактора сложных хаотических систем по временным рядам.

6. Реализовано и используется в учебном процессе программное обеспечение моделирования хаотических процессов на кафедре «Управления и моделирования систем» МГАПИ.

7. Разработаны и внедрены рабочие методики моделирования системы теплообмена на кондитерской фабрике компании «Марс» и теплового процесса охлаждения алюминиевого сплава в Ступинской металлургической компании.

8. По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, направленных на моделирование хаотических процессов сделан вывод о состоятельности и эффективности разработанных методик.

1. Abarbanel H.D.I., Analysis of Observed Chaotic Data, Springer Verlag, New-York/Berlin/Heidelberg, 1996.

2. Abarbanel H.D.I., Brown R., M.B. Kennel M.B., Lyapunov exponents in chaotic systems: their importance and their evaluation using observed data // Int. J. Mod. Phys. B, 1991, 5, pp.1347-1375.

3. Abarbanel H.D.I., Brown R., Sidorowich J.J., Tsimring L.S., The analysis of observed chaotic data in physical systems // Rev. Mod. Phys., 1993, 65(4), pp.1331-1392.

4. Adler R.C., Konheim A. C., McAndrew M.H. Topological Entropy // Trans. Am. Math. Soc, 1965, 114, 2. pp. 309-319.

5. Alecsic Z. , Estimating the embedding dimension // Physica D, 1991, 52, pp.362-368.

6. Andreev Yu.V., Dmitriev A.S., Chua L.O., Wu C.W., Associative and Random Access Memory Using One-Dimensional Maps // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992,3,2, pp. 483-504.

7. Badii R., Politi A., Statistical description of chaotic attractors // J. Stat. Phys., 1985,40, pp.725-750.

8. Benettin G., Galgani L}, Giorgilli A., Strelcyn J.-M., Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part II: Numerical application //Meccanica, 1980, 15, pp.21-30.

9. Bingham S. Kot M., Multidimensional trees, range searching, and a correlation dimension algorithm of reduced complexity // Phys. Lett. A, 1989, 140, p.327.

10. Bollt E.M., Meiss J.D., Targeting chaotic orbits to the Moon through recurrence // Phys. Lett, 1995, A204, pp. 373-378.

11. Briggs K., An improved Method for estimating Liapunov exponents of chaotic time series // Phys. Lett. A, 1990,151, pp.27-32.

12. Broggi G., Evaluation of dimensions and entropies of chaotic systems // J. Opt. Soc. Am. B, 1988, 5, pp. 1020-1028.

13. Broomhead D.S., Huke J.P., Muldoon M.R., Linear filters and nonlinear systems//J. Roy. Stat. Soc.>«B54, 1992, pp.373-382.

14. Broomhead D.S., King G.P., Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D, 1986,20, pp.217-236.

15. Brown R., Bryant P., Abarbanel H.D.I., Computing the Lyapunov spectrum of a dynamical system from an observed time series // Phys. Rev. A, 1991, 43, pp.2787-2806.

16. Bryant P., Brown R., Abarbanel H.D.I., Lyapunov exponents from observed time series // Phys. Rev. Lett., 1990 65, pp. 1523-1526.

17. Buzug Th., Pfister G., Optimal delay time and embedding dimension for delay-time coordinates by dialysis of the global static and local dynamical behavior of strange attractors // Phys. Rev. A, 1992, 45, pp.7073-7084.

18. Cao L., Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series // Physcai D, 1997, 110, pp. 43-50.

19. Cartwright M.L., Littlewood J.E., On nonlinear differential equations of the second order. I. The equation y + k(l- y2^y + y = b'kkcos(X,t + a), klarge // J. bond. Math. Soc, 1945, 20, pp. 180-189.

20. Casdagli M., Eubank S., Farmer J.D., Gibson J., State space reconstruction in the presence of noise // PJiysica D, 1991, 51, pp.52-98.

21. Cenys A., Pyragas K., Estimation of the number of degrees of freedom from chaotic time series // Phys. Lett. A, 1988,129, pp.227-230.

22. Dammig M., Mitschke F., Estimation of Lyapunov exponents from time series: the stochastic case// Phys. Lett. A, 1993,178, pp.385-394.

23. Davies M.E., Campbell K.M., Linear recursive filters and nonlinear dynamics //Nonlinearity, 1996, 9, pp.487-499.

24. Eckmann J.-P., Kamphorst S.O., Ruelle D., Ciliberto S., Lyapunov exponents from time series, Phys. Rev. A, 1986, 34, pp.4971-4979.

25. Eckmann J.-P., Ruelle D., Ergodic theory of chaos and strange attractors, Rev. Mod. Phys., 1985, 57, pp.617-656.

26. Eckmann J.-P., Ruelle D., Fundamental limitations for estimating dimensions and Lyapunov exponents in dynamical systems // Physica D, 1992, 56, pp. 185-187.

27. Ellner S., Gallant A.R., McCaffrey D., Nychka D., Convergence rates and data requirements for Jacobian-based estimates of Lyapunov exponents from data //Phys. Lett. A, 1991,153,pp.3 57-363.

28. Feigenbaum M.J., The transition to aperiodic behavior in turbulent systems // Commun. Math. Phys., 1980, 77,1. pp. 65-86.

29. Fell J., Roschke J., Beckmann P., Deterministic chaos and the first positive Lyapunov exponent: a nonlinear analysis of the human electroencephalogram during sleep // Biol. Cybern., 1993, 69, pp. 139-146.

30. Frazer A.M., Swinney H.L., Independent coordinates in strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A, 1986,33, pp.1134-1140.

31. Fredkin D.R., Rice J.A., Method of false nearest neigbors: a cautionary note // Phys. Rev. E, 1995, 51(4), pp. 2950-2954.

32. Gao J., Zheng Z., Direct dynamical test for deterministic chaos and optimal embedding of a chaotic time series // Phys. Rev. E, 1994,49, pp.3807-3814.

33. Gao J., Zheng Z., Local exponential divergence plot and optimal embedding of a chaotic time series // Phys. Lett. A, 1993,181, pp.153-158.

34. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli M., Eubank S., An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D, 1992, 57, pp. 1-30.

35. Grassberger P., Generalizations of the Hausdorff dimension of fractal measures//Phys. Lett. A, 1985,107, pp.101-105.

36. Grassberger P. An optimized box-assisted algorithm for fractal dimensions // Phys. Lett. A, 1990, 148, p.63.

37. Grassberger P., Hegger R., Kantz H., Schaffrath C., Schreiber T., On noise reduction methods for chaotic data // Chaos, Vol. 3, Nr. 2, 1993, pp. 127-141.

38. Grassberger P., Hegger R., Kantz H., Schaffrath C., T. Schreiber T., On noise reduction methods for chaotic data // CHAOS, 1993, 3, pp. 127-141.

39. Grassberger P., Procaccia I., On the characterization of strange attractors // Phys. Rev. Lett., 1983, 50, pp.346-349.

40. Grassberger, P., Schreiber, T., Schaffrath C., Nonlinear time sequence analysis // Int. J. Bif. Chaos, 1991, 1(3), pp.521-547.

41. Hasler M. // Int. J. of Bifurcations and Chaos, 1998, 8,4, p. 647.

42. Holzfiiss J, Parlitz U., Lyapunov exponents from time series // Proceedings of the Conference Lyapunov Exponents, Oberwolfach 1990, eds. L. Arnold, H. Crauel, J.-P. Eckmann, in: Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag.

43. Holzfuss J., Lauterborn W., Liapunov exponents from a time series of acoustic chaos // Phys. Rev. A, 1989,39, pp.2146-2152.

44. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A, 1994, 185, pp.77-87.

45. Kantz H., Schreiber T., Hoffmann I., Buzug T., Pfister G., Flepp C.G., Simonet J., Badii R., Brun E., Nonlinear noise reduction: A case study on experimental data//Phys. Rev. E, 1993,48, pp. 1529-1538.

46. Kantz H., Schreiber T., Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

47. Kantz H.,Schreiber T., Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge UP, Cambridge, 1997.

48. Kember G., Fowler A.C., A correlation function for choosing time delays in phase portrait reconstructions // Phys. Lett. A, 1993, 179, pp.72-80.• 131

49. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I., Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys. Rev. A, 1992, 45, pp.3403-3411.

50. Kostelich E.J., Schreiber T., Noise reduction in chaotic time-series data: A survey of common methods // Phys. Rev. E, 1993,48, pp. 1752-1763.

51. Kruel Th.M., Eiswirth M., Schneider F.W., Computation of Lyapunov spectra: Effect of interactive noise and application to a chemical oscillator // Physica D, 1993, 63, pp.117-137.

52. Kugiumtzis D., State space reconstruction parameters in the analysis of chaotic time series the role of the time window length // Physica D, 1996, 95, pp.13-28.

53. Kugiumtzis D., Correction of the correlation dimension for noisy time series // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1997.

54. Kugiumtzis D., Lillekjendlie B., Christophersen N., Chaotic time series part I: Estimation of some invariant properties in state space // Modeling, Identification and Control, 1994, 15(4), pp. 205-224.

55. Kugiumtzis D., Lillekjendlie B., Christophersen N., Chaotic time series part1.: System identification and prediction // Modeling, Identification and Control, 1994, 15(4), pp. 225-243.

56. Kurths J., Herzel H., An attractor in solar time series // Physica D, 1987, 25, pp.165-172.

57. Landa P.S., Rosenblum M.G., Time series analysis for system identification and diagnostics // Physica D, 1991, 48, pp.232-254.

58. Lauterborn W., Parlitz U., Methods of chaos physics and their application to acoustics// J. Acoust. Soc. Am., 1988, 84,pp.1975-1993.

59. Liebert W., Pawelzik K., Schuster H.G., Optimal embeddings of chaotic attractors from topological considerations //Europhys. Lett., 1991,14, pp.521-526.

60. Liebert W., Schuster H.G., Proper choice of the time delay for the analysis of chaotic time series // Phys. Lett. A, 1989,142, pp. 107-111.

61. Lorenz E.N., Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci, 1963, 20, pp. 130-141. (Перевод: Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение.—В сб.: Странные аттракторы // Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова.—М.: Мир, 1981, с. 88-116.)

62. Martinerie J.M., Albano A.M., Mees A.I., Rapp P.E., Mutual information, strange attractors, and the optimal estimation of dimension // Phys. Rev. A, 1992, 45, pp.7058-7064.

63. Mayer-Kress, G., Dimensions and Entropies in Chaotic Systems -Quantification of Complex Behavior, Berlin, Springer, 1986.66.0tt E., Grebogi C., Yorke J.A., Theory of First Order Phase Transitions for

64. Chaotic Attractors of Nonlinear Dynamical Systems // Phys. Lett, 1989, A135, pp. 343-348.

65. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S., Geometry from a time series //Phys. Rev. Lett., 1980,45, pp.712-716.

66. Palus M., Albrecht V., Dvorak I., Information theoretic test for nonlinearity in time series // Phys. Lett. A, 1993, 175, pp.203-209.

67. Palus M., Dvorak I., Singular-value decomposition in attractor reconstruction: pitfalls and precautions // Physica D, 1992,55, pp.221-234.

68. Parlitz U., Identification of true and spurios Lyapunov exponents from time series // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1992, 2, pp.155-165.

69. Parlitz U., Lyapunov exponents from Chua's circuit // J. Circuits, Systems and Computers, 1993„3,pp.507-523.

70. Parlitz U., Nonlinear Time-Series Analysis // Nonlinear Modeling -Advanced Black-Box Techniques Eds. J.A.K. Suykens and J. Vandewalle Kluwer Academic Publishers, 1998, pp. 209-239

71. Pestov V., On the geometry of similarity search: dimensionality curse and contraction of measure // Maths and сотр. science research report, 99-02, VUW, January 1999, pp. 7. *

72. Provenzale A., Smith L.A., Vio R., Murante G., Distiguishing between low-dimensional dynamics and randomness in measured time series // Physica D,1992, 58, pp.31-49.

73. Racicot D.M., Longtin A., Interspike interval attractors from chaotically driven neuron models // Physica D, 1997,104, pp. 184-204.

74. Rapp P.E., Albano A.M., Zimmerman I.D., Jimenez-Moltano M.A., Phase-randomized surrogates can produce spurious identifications of non-random structure//Phys. Lett. A, 1994, 192, pp.27-33.

75. Rosenstein M.T., Collins J.J., de Luca C.J., A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica D,1993, 65, pp.117.

76. Rosenstein M.T., Collins J.T., De Luca C.J., Reconstruction expansion as a geometry-based framework for choosing proper delay times // Physica D, 1994,73, pp.82-98.

77. Rossler O.E., An equation for continuous chaos // Phys. Lett, 1976, A57, 5, pp. 397,398.

78. Rossler O.E., An equation for hyperchaos // Phys. Lett, 1979, A71, 2,3, pp. 155-159.

79. Ruelle D., Oakens F., On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys, 1971, 20, pp. 167-192.

80. Salvino L.W., Cawley R., Smoothness implies determinism: a method to detect it in time series // Phys. Rev. Lett., 1994,73, pp. 1091-1094.

81. Sano M., Sawada Y., Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series // Phys. Rev. Lett., 1985, 55, pp.1082-1085.

82. Sato S., Sano M., Sawada Y., Practical methods of measuring the generalized dimension and largest Lyapunov exponent in high dimensional chaotic systems // Prog. Theor. Phys., 1987,77, pp. 1-5.

83. Sauer T., Reconstruction of dynamical systems from interspike intervals // Phys. Rev. Lett., 1994,72, pp.3811-3814.

84. Sauer T., Yorke J.A., How many delay coordinates do you need? // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993,3, pp.737-744.

85. Sauer T., Yorke Y., Casdagli M., Embedology // J. Stat. Phys., 1991, 65, pp.579-616.

86. Savit R., Green M., Timjp series and dependent variables // Physica D, 1991,50, pp.95-116.

87. Schreiber T., Constrained randomization of time series data // Phys. Rev. Lett., 1998, 80(10), pp.2105-2108.

88. Schreiber T., Schmitz A., Improved surrogate data for nonlinearity tests // Phys. Rev. Lett., 1996, 77(4), pp.635-638.

89. Sinha S., Ditto W.L., Dynamics Based Computation // Phys. Rev. Lett., 1998,81, 10, pp. 2156-2159.

90. Stark J., Broomhead D.S.,Davies M.E., Huke J., Takens embedding theorems for forced and stochastic systems, // Proceedings of the 2nd World Congress of Nonlinear Analysts, 1996, Athens, greece, July 1996.

91. Stoop R., J. Parisi, Calculation of Lyapunov exponents avoiding spurious elements // Physica D, 1991, 50, pp.89-94.

92. Stoop R., Meier P.F. , Evaluation of Lyapunov exponents and scaling functions from time series // J. Opt. Soc. Am. B, 1988, 5, pp. 1037-1045.

93. Takens F., Detecting nonlinearities in stationary time series // Int. J. of Bifurcation and Chaos,1993,3, pp.241-256.

94. Takens F., Detecting strange attractors in turbulence// Dynamical Systems and Turbulence, eds. Rand, D.A. & Young, L.-S. , 1981, Berlin, Springer, pp.366-381.

95. Theiler J., Spurious dimension from correlation algorithms applied to limited time-series data //Phys. Rev. A, 1986,34, pp.2427-2431.

96. Theiler J., Estimating fractal dimension // J. Opt. Soc. Am. A, 1990, 7, pp. 1055-1073.

97. Theiler J., Efficient algorithm for estimating the correlation dimension from a set of discrete points // Phys. Rev. A, 1987, 36, p. 4456.

98. Wayland R., Bromley D., Pickett D., Passamante A., Recognizing determinism in a time series'// Phys. Rev. Lett.,1993, 70, pp.580-582.

99. Wolf A., Swift J.B., Swinney L., Vastano J.A., Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D, 1985, 16, pp.285-317.

100. Zeng X., Eykholt R., Pielke R.A., Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision, Phys. Rev. Lett., 1991, 66, pp.3229-3232.

101. Zeng X., Pielke R.A., Eykholt R., Extracting Lyapunov exponents from short time series of low precision // Modern Phys. Lett. B, 1992, 6, pp.55-75.

102. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

103. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ, т.22, вып.7.

104. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к защите информации // ЖТФ, 1998, т.68, №12.

105. Безручко Б.П., Булгакова JI.B., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника, 1983, т. 28, № 6, с. 1136-1139.

106. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный поток обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ, Т. 29, Вып. 3, с. 180-184.

107. Гинзбург H.C., Кузнецов С.П., Периодические и стохастические автомодуляционные режимы в электронных генераторах с распределенным взаимодействием.-В сб.: Релятивистская высокочастотная электроника.-Горький: ИПФ АН СССР, 1981, с. 101144.

108. Дьюдни А.К., Аффинные преобразования и фрактальные структуры // В мире науки, 1990, 7. с. 82-86.

109. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени, как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР, 1959, т. 124, с. 754,755.

110. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики.—М.— Л.:Изд-во АН СССР, 1950.

111. Лазарев Ю.Ф. MatLab 5.x, К., Издательская группа BHV. 2000.

112. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика.-М.: Наука, 1986, с. 30.

113. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

114. Лоскутов А. Ю. Нелинейная динамика, теория динамического хаоса и синергетика (перспективы-и приложения). // Компьютера, 1998, № 47.

115. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

116. Малинецкий Г.Г. Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. Эдиториал УРСС. 2000.

117. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза. // Вестник российской академии наук, том 71, № 3, с. 210232, 2001.

118. Ораевский А.Н., Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1996, т. 4, № 1,2.с. 3-32.

119. Ораевский А.Н., Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника, 1981, т. 8, № 1, с. 130-142.

120. Оселедец В.И., Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. мат. общества, 1968, т. 19, с. 179-210.

121. Павлов А.Н., Анищенко B.C. Определение динамических характеристик хаотических колебаний при анализе "точечных процессов" // Письма в ЖТФ, 2000 г., т.26, вып. 15.

122. Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Применение методики реконструкции математической модели к электрокардиограмме. // Изв. Вузов "ПНД", 1997, т.5, № 1.

123. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды, т. 1,2.—М.: Наука, 1971.

124. Смейл С. Обзор некоторых недавних достижений в дифференциальной топологии. Отт.: УМН, 1964, т. 19, N 1, с. 125-138.

125. Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. Л., 1937.

126. Хованов А.И., Хованова H.A., Анищенко B.C., Мак-Клинток П.В.Е. Чувствительность к начальным условиям и ляпуновский показатель квазипериодической системы // ЖТФ, 2000г. т.70, вып.5.

127. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.