автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Специализированные функциональные преобразователи для воспроизведения функций асимптотического типа

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ СССР

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕШША И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО 0РДЖ0НШВДЗЕ

УДК 681.586 На правах рукописи

ГЕОРГИНА Юрий Михайлович

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ДЛЯ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ТИПА

Специальность 05.13.05 " Элемента и устройства вычислительной техники и систем управления

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва Издательство МАИ 1990

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции авиационном институте имени Серго Орджоникидзе.

- доктор технических наук, профессор Маслов А.А.

- доктор технических наук, профессор Москалев А.И.

- кандидат технических наук Алыгерович Э.Э.

- Научно-исследовательский институт счетного машиностроения г. Москва

Защита диссертационной работы состоится " ^ г.

на заседании специализированного Совета К 053.18.10 в Московской авиационном институте имени Серго Орджоникидзе.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института.

Просим принять участие в обсуждении или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью.

Адрес института: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, 4.

Автореферат разослан " ШЯ/лг?;? 1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

к.т.н., доцент А.К.1ШУРИН

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущее предприятие

. ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

уальность; В последних документах ЦК КПСС и советского правительства, касающихся экономического и социального развития, особое внимание уделяется необходимости внедрения автоматизированных средств в различные сферы производства и, в первую очередь, в проектирование, управление оборудованием и технологическими процессами, а также расширения сфер применения современных высокопроизводительных электронно-вычислительных машин всех классов. Для решения этих задач необходимо дальнейшее развитие и совершенствование методов и средств автоматизации проектирования устройств и систем связи ЭШ с объектами управления. Устройства и системы связи ЭШ с внешним миром образуют класс аналого-цифровых устройств в систем. Они выполняют функции преобразования формы информации, ее первичной обработки, организации обмена данными между элементами управляющего вычислительного комплекса. Важнейшей тенденцией современного этапа развития аналоговых и аналого-цифровых устройств является изменение принципов их построения, обусловленной коренной сменой элементной базы.

Развитие аналого-цифровых устройств /АЦУ/ привело к созданию аналого-цифровых вычислительных систем /АЦВС/, сочетающих в себе высокое быстродействие аналоговых устройств с высокой точностью а широкими функциональными возмоянрстями цифровой вычислительной техники. При этом, предварительная обработка аналоговой информации в большинстве случаев оказывается более предпочтительной, чем увеличение быстродействия и точности аналого-цифровых преобразователей с последующей обработкой в цифровой форме. Эффективная предварительная обработка аналогового сигнала позволяет расширить динамический диапазон аналогового ввода в целом, разгрузить управляющую ЦШ от выполнения большого числа сложных вычислительных процедур.

Основным средством нелинейной обработки информации в современных АЦВС являются функциональные преобразователи информации /ФПИ/. Их применяют в качестве узлов АЦВС, устройств и приборов автоматики, элементов и узлов систем автоматического управления и регулирования, информационно-измерительных систем, а в раде случаев выступают в роли периферийных процессоров - функциональных расширителей высокоэффективных вычислительных систем. Поэтому,

вопросам теории, расчета и схемотехнической реализации ФПИ посвящено большое количество публикаций в зарубежной и отечественной научно-технической литературе.

Среди множества функций, которые чаще всего требуется воспроизводить, особое место занимают функции асимптотического типа с широким диапазоном изменения абсолютной величины первой производной. На участках с большой крутизной возникают трудности, связанные с аппроксимацией функции, и требуемая точность на этих участках достигается за счет резкого увеличения аппаратурных затрат, что в конечном итоге приводит к росту инструментальной погрешности. Поэтому, при разработке ФПИ для воспроизведения асимптотических функций в основном приходться сталкиваться с задачами снижения методическо! и инструментальной погрешностей и расширения динамического диапазона изменения входной величины.

Цель -работы. Целью данной работы является разработка способа аппроксимаций функций асимптотического типа, позволякщего существе! но снизить методическую погрешность и расширить динамический диапазон изменения входной величины, а такие построении на его основе ФПИ для АЦВС с минимальной инструментальной погрешностью.

Для достижения указанной цели необходимо решить следущие задачи:

- прведение анализа существупцих способов воспроизведения функций

и формулировка задачи проектирования ФПИ для воспроизведения функ шй асимптотического типа /ФАТ/;

- разработка способа аппроксимации ФАТ, позводявдего добиться минимизации методической погрешности;

- разработка структуры ФПИ для воспроизведения ФАТ на основе предложенного способа аппроксимации с учетом минимизации инструментал ной погрешности;

- разработка математической модели ФПИ;

- разработка пакета пркладных программ проектирования ФПИ для воспроизведения ФАТ.

Методы исследования. В работе использованы: математический аппарат теории аппроксимации и оптимизации, теория погрешностей, элементы численных методов, теория точности инфррмационно-измеритаиь-ных систем и метрологии.

Научная новизна. Новыми научными результатами, полученными з работе* являются:

1. Способ сквозной аппроксимации функций асимптотического ;ипа уравнением третьего порядка.

2. Методика выбора параметров аппроксишрупцей функции на >снове равномерного распределения погрешности на всем интервала шпроксимации и минимизации функции погрешности на основе крите-жя минимаксного наилучшего приближения.

3. Методика расчета коэффициентов аппроксимирующей функции, юзволяодая воспроизводить дробно-рациональные функции методичес-ш точно.

4. Разработка способа аппроксимации с применением аффинных [реобразований для упрощения ввда аппроксимирующей функции.

5. Методика расчета параметров аффинного преобразования и юэффициентов упрощенного выражения аппроксимирующей функции.

6. Методика-экспериментального определим характеристик раз-)аботанной структуры ФШ для воспроизведения ФАТ.

Практическая ценность. На основе предложенного способа ¡квозной'аппроксимации функций асимптотического типа уравнением :ривой третьего порядка с применением аффинных преобразований »азработан ФШ, исследование характеристик которого показало пре-мущество перед другими способами воспроизведения функций. Разработанный ФГИ можно использовать и для воспроизведения функций ругих классов, таким образом, его можно отнести к разряду универсальных ФШ, несмотря на то, что основное его назначение - воспро-зведение ФАТ.

В соответствии с изложенными алгоритмами проектирования ФПИ азработан пакет прикладных программ, позволяющий рассчитывать араметры реального ФГМ. В зависимости от необходимости можно, за-авая погрешность, определить допустимый диапазон изммнения аргу-ента, или задавая динамический диапазон, определить максимально опустимую погрешность аппроксимации.

Пакет прикладных программ работает в диалоговом режиме, что озволяет пользователю вносить в процесса проектирования изменения целью получения требуемых характеристик. Существует возможность ыбоа различных критериев минимизации. В результате моделирования

пользователь получает помимо параметров реального ФЩ и информация о поведении функций методической и инструментальной погрешностей.

Программы составлены на языке ФОРТРАН-4, поэтому их можно использовать в любой машине, в которой предусмотрено использование данного языка.

Реализация результатов работы. Основные результаты диссертации получены в ходе выполнения хоздоговорной работы по теме 23110 /Институт проблем управления АН СССР/. Методика построения функциональная преобразователей на основе использования в качестве аппроксимирующей функции уравнения кривой третьего порядка с применением аффинных преобразований внедрена для использования в рамках НИР выполняемых Институтом проблем управления АН СССР и СКТБ "Вихрь" при Уфимском авиационном институте, что подтвервдается актами внедрения.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на следующих конференциях и заседаниях:

- заседании секции "Управляющие вычислительные комплексы" научного совета АН СССР по проблеме "Автоматизация проектирования управляющих вычислительных комплексов", Москва, .1987 г.; .

заседании Советского национального комитета международной ассоциации по математическому и машинному моделированию, Горький, 1987;

- Республиканской НТК "Применение микропроцессоров в народное хозяйство", Таллинн, ИК АН ЭССР, 1988 г.;

- Всесоюзной НТК "Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования, Тамбов, ТВВАИУ, 1989 г.;

- заседании подсекции "Вычислительная техника" Республиканской НТК, посвященной 25-летию образования КПИ им С.Лазо, Кишинев, 1989,

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 110 страницах, состоит из введения, четырех глав и заключения. Содержит 13 рис., приложение и список литературы из 72 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность проведенных исследований, определена цель работы, основные задачи исследования, научная новизна и практическая ценность.

В первой главе проведен анализ существующих способов и средств воспроизведения функций. Составлена классификационная таблица функциональных преобразователей информации, позволяющая определить место разрабатываемого способа и устройства воспроизведения функций асимптотического типа в теории и практике функционального преобразования. Проведен анализ существувдих способов и средств воспроизведения трансцендентных и дробно- рациональных функций. Выделены в особый класс такие функции, как логарифм, тангенс и другие, которые имеют большую крутизну.

В последнее время в связи с бурным развитием цифровой техники и появлением микропроцессоров большое распространение получили цифровые и аналого-цифровые функциональные преобразователи. Однако, такие устройства имеют ряд недостатков. Во-первых, процедура преобразования сигнала требует определенного количества времени, равно как и цифровая обработка, которая зависит от алгоритма воспроизведения функции. Во-вторых, точность воспроизведения определяется, в основном, разрядностью аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей, а таете разрядностью ЦШ. Поэтому требуемая точность достигается за счет увеличения разрядности соответствующих устройств, что приводит к снижению быстродействия функционального преобразователя в целом. В большинстве случаев более целесообразным является построение ФПИ на аналоговых элементах. Преимущество аналоговых ФПИ перед цифровыми в смысле быстродействия очевидно. Это имеет большое значение в системах, работающих в реальном масштабе времени.

В результате проведенного в первой главе исследования показана необходимость и целесообразность разработки новых способов ап-проксимациии и средств воспроизведения функций асимптотического типа в аналоговой форме, позволяющих существенно снизить методическую погрешность и расширить динамический диапазон изменения входной величины при минимальной инструментальной погрешности. В заключении главы определены основные направления исследования.

Вторая глава посвящена разработке способа сквозной аппроксимации функций асимптотического типа уравнением кривой третьего порядка с применением аффинных преобразований.

/

Кривая третьего порядка, в общем случае описывается в неявном виде следуицим уравнением:

У = АХг +Jiх <-Лчх&у + ^

Сущность сквозной аппроксимации заключается в замене-заданной функции ф(Х) функцией FC^-j У г Ml) вида (1) множества F , причем параметры Ai не меняются на всем отрезке &Cminj Хтах. J . Функция не принадлежит множеству F . Таким образом, не-

обходимо определить вектор параметров Jh , удовлетворяющий ус-ловис*

' £ = Ц - FCx,у, Jk)\\ min (2)

В данном здучае, учитывая то, что аппроксимирупцая функция задана в неявном виде, наиболее приемлемым способом определили параметров Ai является метод наименьших квадратов (-МНК). Очевидно, что при этом невозможно применить способы, разработанные для функций заданных в неявном виде, типа FC^rMc), а применение различных методов оптимизации затруднено наличием большого количества параметров оптимизации Яг.,Яз)» Рассматриваемый ниже метод наименьших квадратов можно применить как для табличных функций, так и для функций заданных аналитически.

В случае табличного задания функций для определения fii по МНК выражение (2) примет вид:

е= f 1 = 1,9 . (з)

Сущность МНК заключается в том, что мы минимизируем по параметрам Mi функцию погрешности (3). Для минимизации функции необходимо найти частные производные по всем параметрам fit от функции (3) и приравнять их нулю.

I [ Ф<Х) - Fсх, У,Лс)] dFC*;*y/!i)= О (4) Подставив в (4) выражения для. частных производных, а вместо F ( X, У, Ai) уравнение (1), получаем систему из девяти уравнений с девятью неизвестными. При этом, по условиям МНК Ф(Х)= У . В результате этих подстановок система уравнений в матричной форме будет иметь следующий вид:

[a<tl*[Jh]=LSij ,

где коэффициенты Яд и вычисляются по следующим выражениям:

ац = £ ; Ж = £ х?У? (5)

Врезультате решения системы линейных уравнений мы получаем коэффициенты. /¡I , которые необходимо подставить в уравнение (1) для получения окончательного вида аппроксимирунцей функции.

Аналогичные рассуждения справедливы и для функций, заданных аналитическим выражением. В таком случае, выражение для нормы (2) принимает следующий ввд:

в = Ф(х)- Р<ое, У, /}£)]гс1эс

_ Хт!л

где 1Хтм>Хтаж'] интервал аппроксимации,В дальнейшем все выражения, которые необходимы для получения системы уравнений, остаются неизменными, за исключением знака суммы, который необходимо заменить на знак интеграла. Следовательно коэффициенты Яу и § £ можно вычислить по следующим выражениям:

ау = / ХтцУпцЛх ; #г=/ . (6)

ЭСтй!

Решив систему уравнений, мы получаем коэффициенты аппроксимирующей функции Л1 для случая, когда аппроксимирующая функшя задана аналитическим выражением. Метод наименьших квадратов позволяет минимизировать.функцию погрешности, но при этом экстремумы этой функции имеют различные абсолютные значения.

Если выражение для нормы записать как:

е= _ ^сэс, у,ло],

то мы будем иметь минимаксное наилучшее приближение. В этом случае можно на заданном интервале аппроксимации получить не только минимальную функцию погрешности, но и равномерное распределение экстремумов с чередованием максимумов и минимумов. Для определения Мк необходимо составить девять уравнений. Эти уравнения можно получить из (1), выбрав девять точек X*,.. Х9_, которые принадлежат интервалу аппроксимации [Хтсл Элтоне]. Если поставить условие, чтобы в кавдой точке имело место равенство ф(эс)- Р(Х'У> Аь) мы получим систему из девяти линейных уравнений с девятью неизвестными Лх}Лгу -уДэ* Решив эту систему, мы

получаем коэффициенты , которые зависят от способа выбора точек Хс . Процесс определения коэффициентов Лг носит итеративный характер. В случае первоначального выбора ОС1 (равномерное распределение точек) на различных участках между этими точками функция погрешности ведет себя по разному. Чем больше крутизна аппроксимируемой функции, тем больше и погрешность на данном участке. Следовательно, для того, чтобы добиться равномерного распределения, необходимо перераспределить точки ОСс с учетом крутизны функции. Где крутизна больше и количество точек должно быть больше, т.е. интервалы между точками на этих участках должны быть меньше, чем на участках с малой крутизной. Практически это можно реализовать, воспользовавшись следующим алгоритмом. После вычисления коэффициентов по первоначальным значениям мы получаем какую-то функцию погрешности с различными абсолютными значениями экстремумов. Если сравнить теперь максимальные значения функции погрешности на двух соседних интервалах, например и ¿г, то можно определить коэффициент пропорциональности, который будет указывать на сколько необходимо сместить точку, находящуюся между этими интервалами, влево или вправо, чтобы уравнять по абсолютной величине • Затем сравниваются <Зг и и так далее,

пока не дойдем до последней пари интервалов. Если равенство экстремумов не достигнуто, то необходимо повторить итерацию. Предложенный способ больше подходит для функций, заданных аналитическим выражением. Для табличных функций возможность смещения точек ЗС;. в нужном направления для выравнивания значений экстремумов, к сожалению ограничена. Прямая реализация (1) требует использования достаточно большого количества оборудования, особенно множительных устройств. Это, в свою очередь, приводит к увеличению инструментальной погрешности до величины, при которой теряет смысл сам способ аппроксимации таким уравнением.

Выражение для аппроксимирующей функции можно упростить при помощи аффинных преобразований. Задачу применения аффинных преобразований можно сформулировать следующим образом. Пусть X ОУ прямолинейная система координат с координатным углом 90°, 1104 прямолинейная система координат с координатным углом = • Тогда если точка Р , имеющая в этих двух системах координаты Р = (Ж) У) - (Ц}У ) , задана только относительно одной систе-

мн координат, то ее координаты в другой системе могут быть найдены по формулам:

ÍQC =■ tyCOjtf + V COi j5 + CE©

t

í/ = CJ-ít^dí + V-iLn fi + Уо

-limJVi. * bitfl&i где X» , Уо - координаты начала системы U0V в системе X0Y . Рассмотрим принцип применения предложенного преобразования для упрощения выражения (l). Для этого необходимо в правой части этого уравнения подставить вместо ОС я У выражения (7). Выполнив все операции умножения, возведения в квадрат, а также сгрупировав члены с одинаковыми степенями У , V получаем следующее уравнение: у г Mí ж Va + J}¿U + /ц u*v + М UV +

+ М W* + Л'с «■ Л' ^ Яя Я'<с ,

где коэффициенты J)¡ исходного уравнения и коэффициенты Д\ преобразованного уравнения связаны следующим соотношением:

Коэффициенты новой аппроксимирующей функции зависят от известию нам коэффициентов Л i и от параметров аффинных преобразований с/, jS>, ОС,, ¿/о , которые необходимо определить.

Для нахождения этих параметров необходимо составить систему уравнений, в которой параметры аффинных преобразований входили бы в качестве неизвестных. Такие уравнения можно получить в результате приравнивания нулю четурех коэффициентов множества Д . Таким образом, мы сможем одновременно с нахождением параметров tf>j6,CC,,Уо сократить уравнение 8 на четыре слагаемых. Это, в свою очередь, приведет к упрощению самой схемы функционального преобразователя и следовательно, к уменьшению инструментальной погрешности. При этом такое преобразование и упрщение аппроксимирующей функции не приводит к изменению точности аппроксимации, т.е. методическая погрешность остается неизменной.

Наиболее простой вид аппроксимирующей функции получается в результате приравнивания нулю коэффициентов , Д » Дг» ' •

у- vv(úv+j¿v*ji¿) + filv+4v+/iIo ■ <9>

Для реализации такого выражения требуется всего два множительных устройства, а для реализации уравнения (l) - пять. Таким образом, преимущество такого преобразования очевидно.

Теперь необходимо осуществить обратный переход в систему X0Y Для этого в уравнение (9) необходимо подставить вместо V и V выражения (7J. Выполнив после подстановки все необходимые алгебраические преобразования, получаем окончательный вид аппроксимирующей функция:

Если сравнить (1) и (10), то можно заметить, что оба уравнения имеют одинаковый порядок. Однако, техническая реализация (10) намного проще и соответственно инструментальная погрешность значив тельно ниже, чем в случае применения выражения (1).

В третьей главе приводятся результаты практической реализации и экспериментального исследования функционального преобразователя для воспроизведения трансцендентных функций на примере С/)ОС . В результате аппроксимации функции ОлОС. функцией (1) по предложенной методике на интервале 0,01; 10 методическая погрешность не превышает 0,С05/1. Погрешность аппроксимации полиномом третьей степени fli) , который имеет вид

У= Ло + Jhoc. + fao(11J

составляет 0,2% на интервале [l, 6]. Сравнивая эти два способа аппроксимации, можно заметить, насколько предложенный способ лучше способа аппроксимации полиномом (ll). При более высокой точности существенно расширен диапазон изменения входной величины. Это объясняется тем, что выражение ill) имеет всего четыре коэффициента, т.е. четыре точки пересечения с аппроксимируемой функцией, а уравнение (l) - девять. Еде один важный момент, который необходимо отметить, состоит в том, что инструментальная погрешность в обоих случаях одинакова. Это обусловлено тем, что оба уравнения содержат по две операции умножения, а основную инструментальную погрешность вносят именно множительные устройства.

На практике очень часто приходится сталкиваться с необходимостью воспроизведения дробно-рациональных функций. Любую дробно-рациональную функцию можно представить суммой дробей с порядком числителя и знаменателя не выше трех.

Рассматривая каждую дробь как отдельную функцию и применив к каждой из них аффинные преобразования согласно методике, предложенной во второй главе, получаем упрощеннне выражения для и У г. :

у=к?) К'х+

уг= С^ос*++ к?)* .

Коэффициенты и"' и К? вычисляются непосредственно через коэффициенты В'?, С'/' и В'? С/13 соответственно, поэтому методическая погрешность равна нулю, а инструментальная погрешность существенно снижается за счет исключения операции деления.

Предварительную оценку инструментальной погрешности можно получить на основе метода наихудшего случая. Полагая известными погрешности отдельных элементов схемы можно вычислить суммарную инструментальную погрешность.

В работе приводится методика экспериментального исследования и определения динамической погрешности, позволяющая более точно измерить требуемые параметры по сравнению с существующими методами.

В четвертой главе описывается пакет прикладных программ проектирования функциональных преобразователей для воспроизведения функций асимптотического типа. Приводятся данные о структуре пакета, об используемых методах и стандартных алгоритмах, а также сведения о правилах работы пользователя с пакетом.

Пакет прикладных программ позволяет: вычислить коэффициенты .аппроксимирующей функции 1 по одному из методов предложенных, рассчитать инструментальную погрешность методом нахудшего случая. Программа написана на языке ФОРГРАН-4 и работает в диалоговом режиме.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При решении поставленных задач были получены следующие результаты.

1. На основе проведенного анализа и классификации функциональных преобразователей информации обоснована необходимость разработки новых способов аппроксимации функций асимптотического типа

2. Предложена методика сквозной аппроксимации функций асимптотического типа уравнением кривой третьего порядка, позволяющая существенно снизить методическую погрешность и расширить динамический диапазон изменения входной величины ФПИ без усложнения

их практической реализации.

3. Разработана методика определения коэффициентов аппроксимирующей функции из условия минимизации функции погрешности и

ее равномерного распределения на всем интервале аппроксимащи.

4. Разработана методика непосредственного вычисления коэффициентов аппроксимирующей функции через коэффициенты аппроксимируемой функции, позволяицая воспроизводить дробно-рациональные функции методически точно (методическая погрешность равна нулю).

5. В результате применения аффинных преобразований аппроксимирующая функция приведена к более простому виду, что позволило сократить количество элементов схемы функциональных преобразователей. Это, в свою очередь, привело к снижению инструментальной погрешности.

6. Предложена и апробирована методика расчета параметров аффинных преобразований аппроксимирующих функций.

7. Разработаны алгоритм и пакет прикладных программ проектирования функциональных преобразователей информации для воспроизведения функций асимптотического типа.

8. На основе разработанных методик составлены, расчитаны и экспериментально исследованы реальные схемы ФПИ для воспроизведения функций асимптотического типа. Результаты экспериментальных исследований подтвердили основные теоретические выводы по работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТШЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Георгица Ю.М. Воспроизведение нелинейных функций в динамических системах управления. В сб. Ученые МАИ - производству.- М., МАИ, 1988.

2. Георгица Ю.М. Аппроксимация функций асимптотического типа,-М., Рукопись представлена МАИ. Отчет о НИР, ГН 1860001023, ШТИЦ, 198?,. с. 30-35.

3. Георгица Ю.М. Особенности воспроизведения функций гиперболического типа. М., рукопись представлена МАИ. Отчет о НИР,

ГН 1860001023, ШТИЦ, 1986, с. 24-33.

4. Георгица Ю.М. Многофункциональное устройство для воспроизведения асимптотических функций. М., Рукопись представлена МАИ. Отчет о НИР, ГН 1860001023, ШТИЦ,1988, с. 25-34.

5. Георгица D.M., Сотсков Ю.В., Цуканова А.Е. Об одном методе кусочно-квадратичной аппроксимации функций. Тезисы доклада Всесоюзной НТК "Проблемы развития программных и аппаратных средств ВТ для машинного моделирования",- М., Радио и связь, 1988.

6. Маслов A.A., Георгица Ю.М. Воспроизведение экспоненциальных и логарифмических фунйций на основе промежуточного преобразования координат,- Тезисы докл. Республиканской НТК "Применение микропроцессоров в народное хозяйство".- Тал"лнн: ЖАН ЭССР, 1988.

7. Маслов A.A., Георгица Ю.М. Функциональный преобразователь'для воспроизведения асимптотических функций.- Тезисы докл. Всесоюзной НТК "Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования" Тамбов: ТВВАИУ, 1989.

8. Маслов А,А., Георгица Ю.М., Цуканова А.Е. Особенности аппроксимации функций асимптотического типа.- Тезисы докл. Всесоюзной НТК "Проблемы развития программных и аппаратных средств ВТ для машинного моделирования",- М., Радио и связь, 1988.

9. Маслов A.A., Георгица Ю.М., Георгица Ю.В., Симаков A.B. Воспроизведение функций на основе кусочно-сквозной аппроксимации с автоматической настройкой функционального преобразователя. Тезисы докл. Республиканской НТК, посвященной 25-летию рбразова-ния КПИ им. С.Лазо.- Кишинев, 1989.

10. Маслов A.A., Георгица Ю.М., Тюрин В.Д., Цуканова А.Е. Функциональный преобразователь для воспроизведения функций.

Положительное решений о выдаче а.с. по заявке № 4376513/24-24 022206 от 09.02.1988 г.

11. Маслов A.A., Георгица Ю.М., Цуканова А.Е., Васильев И.Е. Устройство для воспроизведения логарифмических и экспоненциаль ных функций.- Положительное решение о вьщаче а.с. по заявке

№ 41483140/24-24 089353 от 09.06.1988 г.

12. Маслов A.A., Георгица Ю.М., Сотсков Ю.Б., Васильев И.Е. Устройство для воспроизведения дробно-линейных функций. Положительное решение о выдаче а.с. поззаявке № 4439044/24-24

089361 от 09.06.1988 г.

Техн. редактор II.Б. Карякина Л - 440ВЗ. Подписано к печати 20.02-90

Бум. офсетная, Формат 60x84 1/16. Печать офсетная Усл.печ.л. 0,93. Уч.изд.л. 1,00. Тираж 100 Зак.^Пб / ЬЬ96 . Бесплатно

Типография издательства МАИ

125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4.