автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Сопряженный анализ устойчивости нелинейных упругих стержневых и обменно-связанных магнитных систем

Введение.

ГЛАВА I. Нелинейный изгиб, колебания стержней и аналогии с перемагничиванием ферромагнетиков.

1. Решение задачи об изгибе стержня сосредоточенной нагрузкой, направленной под произвольным углом.

2. Система координат и уравнение равновесия для стержня с учетом распределенной нагрузки.

3. Численный анализ разветвленных форм изгиба стержней.

4. Изгиб консоли в поле центробежных сил.

5. Продольный изгиб стержней переменного сечения.

6. Численные методы решения задач колебаний нагруженных стержней и оптимизации приближенных формул для сильного изгиба.

7. Перемагничивание двухслойных обменно-связанных магнитных систем, пороговые поля, магнитные структуры.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА II. Общее решение задачи об изгибе стержня в случае произвольного перемещения внешних сил.

1. Краевые задачи изгиба стержня, приводящие к расширению области аналитических решений уравнения типа нелинейного маятника.

2. Общее решение задачи об изгибе стержня в случае произвольного перемещения внешних сил.

3. Изгиб консоли в поле центробежных сил.

3.1. Изгиб в плоскости перпендикулярной к плоскости вращения.

3.2. Изгиб в плоскости вращения.

Выводы к главе II.

ГЛАВА III. Нелинейный изгиб двухзвеньевой консоли переменной жесткости.

1. Уравнения равновесия и граничные условия при нагружении сосредоточенной на конце силой под произвольным углом.

2. Пороговые нагрузки при продольном и поперечном нагружениях.

3. Численное решение системы нелинейных уравнений для форм изгиба при продольном приложении нагрузки.

Выводы к главе III.

ГЛАВА IV. Приближенные формулы для стрелы прогиба в различных случаях приложения нагрузки и способов закрепления гибкого упругого стержня.

1. Точные и приближенные формулы для стрелы прогиба стержня при нагружении силой, направленной под произвольным углом.

2. Приближенные формулы для стрелы прогиба упруго закрепленной консоли при поперечной нагрузке и различных параметрах закрепления.

2.1. Малые и большие значения параметра упругого закрепления.

2.2. Аппроксимационная формула для зависимости стрелы прогиба от нагрузки

3. Точные и приближенные формулы для стрелы прогиба при продольном нагружении и различных граничных условиях.

4. Сводная таблица решений для форм изгиба и стрел прогиба.

Выводы к главе IV.

ГЛАВА V. Колебания консоли в нагруженном состоянии.

1. Динамическое уравнение стержня в касательной системе координат.

2. Приближенное решение уравнения динамического равновесия поперечно нагруженной консоли.

3 Численное решение уравнения Ламе и частоты колебаний консоли при поперечной нагрузке.

Выводы к главе V.

ГЛАВА VI. Перемагничивание ферромагнитного слоя магнитным полем при условии мягкого закрепления магнитного момента на поверхности.

1. Статические уравнения равновесия при перемагничивании.

2. Перемагничивание слоя в направлении, перпендикулярном закреплению магнитного момента на поверхности.

2.1. Магнитные структуры и средняя намагниченность при жестком закреплении .ИЗ

2.2. Магнитные структуры и средняя намагниченность при мягком закреплении

3. Перемагничивание слоя полем, антипараллельным направлению магнитного момента, при условии мягкого закрепления на поверхности.

3.1. Численный анализ магнитных структур.

3.2. Средняя намагниченность.

3.3. Зависимость поля смещения от параметра закрепления и толщины пленки. Обработка экспериментальных данных.

Выводы к главе VI.

Выводы.

Исследования, связанные с изучением изгиба упругих стержней, имеют непреходящее значение для изучения различных механических систем, широко использующихся в технике, и в наши дни эти вопросы актуальны при проектирования устройств микромеханики. В микроэлектронике и нанотехнологиях, материаловедении, биологии, медицине для анализа поверхностей материалов различной природы и структуры с разрешением от микро- до нанометрового диапазона используются атомно-силовые микроскопы. В технологиях и технологических процессах, позволяющих создавать объекты на микро- и наноуровне с управляемыми свойствами, актуальными являются вопросы, связанные с анализом качества и соответствия создаваемых объектов разработанным схемам. Рабочим элементом атомно-силового микроскопа является упругая консоль, изгибающаяся и колеблющаяся под действием сил различной природы и направления.

Увеличение разрешающей способности силовых микроскопов может привести к качественно новым возможностям в исследованиях. Одной из дальнейших возможностей повышения разрешающей способности и качества анализа поверхностей является увеличение изгиба консоли до больших и использование в качестве дополнительной возможности учет нелинейности колебаний уже изогнутой консоли. Такие задачи о поведении конструкций крайне важны как в теоретическом, так и практическом отношении, однако точные решения их получить весьма сложно. Подобные задачи очень часто решаются приближенными или численными методами, и только небольшое число задач удалось решить аналитически.

В последние годы в работах Ю.В. Захарова [1-4] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя. Найденная аналогия помогла получить ряд аналитических результатов для описания устойчивости магнитных и упругих систем. Так, для упругих систем были найдены точные решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня-консоли. Получены реализуемые под действием поперечной сосредоточенной нагрузки на свободном конце [4] формы изгиба при последовательном приложении нагрузки.

Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу сложных упругих и магнитных систем, и, в частности, к анализу задач об изгибе и колебаний тонких стержней и к задаче перемагничивания магнитных систем.

Задача об изгибе стержня является одним из вопросов расчета конструкций. Как правило, такие задачи решаются на базе приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, приводящих к решениям в виде полиномов. Чаще всего используются именно эти решения. Вместе с тем имеются для некоторых случаев точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [5-8], или в эллиптических интегралах [10-11]. В этих работах решения определялись тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся последовательно из вспомогательных таблиц и номограмм. Все эти решения имеют громоздкий вид и труднодоступны для инженеров-практиков, поэтому всегда и в наши дни решаются задачи получения приближенных выражений даже для таких стандартных характеристик, как максимальный прогиб стержня [12-14]. Вместе с тем, в последнее время есть определенный прогресс в получении точных решений, выраженных через эллиптические функции с единственным параметром - модулем к, определяемым действующей силой. В связи с эти представляет интерес изучение сильного изгиба и колебаний консоли и составных стержней под действием сосредоточенных нагрузок для общего случая их перемещения и общего случая условий закрепления концов.

Задача о перемагничивании магнитомягкого слоя на магнитожесткой подложке с закрепленным и свободным магнитным моментом на поверхностях активно изучается длительное время. Закрепление на поверхности раздела слоев обусловлено обменными силами, и такие системы получили название обменно-связанных структур. Модельные задачи о перемагничивании и об условиях магнитного резонанса в ферромагнитном слое с несимметричными граничными условиями под действием внешнего магнитного поля, при условии бесконечно большого поверхностного обмена на границе раздела, решались на основе аналогии с потерей устойчивости эйлерова гибкого стержня под действием продольной силы [2, 15-19]. Часть теоретических результатов хорошо совпадала с экспериментальными данными, а ряд теоретических результатов не совпадал с экспериментом. Анализ показал, что несовпадение обусловлено наличием в реальных системах конечного обменного взаимодействия на границе раздела. Естественным является уточнение имеющихся решений для случая нежесткого закрепления магнитного момента на границе раздела, а также произвольного направления перемагничивающего внешнего поля.

Целью работы являлся анализ поведения после потери устойчивости сопряженных систем - упругих стержневых при произвольном перемещении внешних сил и обменно-связанных магнитных.

Основные задачи работы:

1. провести поиск новых аналитических решений геометрически нелинейного изгиба стержней при произвольном приложении двух сил и использовать их для верификации результатов, полученных численными методами;

2. исследовать изгиб двухзвеньевой консоли переменной жесткости в случае произвольного приложения внешних сил постоянного направления;

3. исследовать зависимость частот колебаний нагруженной консоли в изогнутом состоянии при поперечном приложении нагрузки;

4. исследовать поведение магнитомягкого слоя при перемагничивании в общем случае мягкого закрепления магнитного момента на границе раздела слоев. Установить зависимости порогов потери устойчивости от параметра закрепления и провести обработку имеющихся экспериментальных данных.

Научная новизна работы:

• получены выражения для нелинейного изгиба стержней и немонотонные зависимости для порогов устойчивости при общем случае нагружения;

• получены практически значимые разложения эллиптических интегралов и приближенные формулы для стрелы прогиба консоли при больших изгибах;

• получены выражения для пороговых нагрузок двухзвеньевой консоли под действием поступательной нагрузки, направленной под произвольным углом;

• получено соотношение для частот колебаний изогнутого стержня под действием поперечной нагрузки;

• анализ обменно-связанной магнитной системы выделил в ней промежуточный слой и выявил влияние его эффективных обменных характеристик на поля смещения при перемагничивании магнитомягкого слоя.

Научная и практическая значимость. Проведенные исследования расширяют существующие представления о возможностях и способах аналитических и численных решений нелинейных задач для сопряженных упругих стержневых и обменно-связанных магнитных систем.

Полученные решения задач об изгибе консоли при произвольном перемещении внешних сил представляют ценность как при расчете упругих систем микромеханики (рабочие элементы силовых микроскопов), так и при отладке численных методов решения подобных задач. Предложенный способ определения постоянной эффективного обмена для границы раздела в двухслойных магнитных обменно-связанных системах позволит получить дополнительную возможность разработки новых магнитных материалов.

Личный вклад автора: участие в постановке задач исследования, аналитические и численные решения, участие в анализе полученных результатов. Настоящая работа является итогом исследований, выполненных автором в 2002-2006 гг.

Публикации. По материалам диссертации имеется 14 публикаций [82-95], из них 3 по списку ВАК.

Положения, выносимые на защиту:

1. анализ точных аналитических и численных решений задачи об изгибе тонкой упругой консоли для общего случая перемещения внешних сил;

2. выражение для пороговых нагрузок двухзвеньевой консоли, нагруженной под произвольным углом сосредоточенной силой, и его использование в сопряженном анализе обменно-связанных магнитных систем;

3. зависимость частоты колебаний изогнутой после потери устойчивости консоли от поперечно приложенной нагрузки;

4. точное аналитическое решение задачи о перемагничивании магнитомягкого слоя на подложке при условии нежесткого закрепления магнитного момента на границе раздела; результаты обработки эксперимента и способ определения эффективной постоянной обмена для двухслойных обменно-связанных магнитных систем.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных, российских и региональных конференциях и симпозиумах: «Сибирский авиационно-космический салон САКС-2002» (Красноярск 2002), Байкальская конференция «Магнитные материалы» (Иркутск 2003), XIX и XX школы-семинары «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва 2004, 2006), EASTMAG "Прогресс в магнетизме» (Красноярск 2004), XXI Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (BEM&FEM) (Санкт-Петербург 2005), III Всесибирский конгресс женщин-математиков (Красноярск 2004). Работа докладывалась на научных семинарах кафедры физики Сибирского государственного технологического университета, отдела физики магнитных явлений Института физики им. Л.В. Киренского СО РАН.

На разных этапах работа была поддержана грантами: РФФИ 02-01 -01017«Теория нелинейных колебаний в упругих, биомеханических и магнитных системах после потери ими устойчивости»; индивидуальный грант Минобразования России А03-210-27 «Устойчивость и нелинейные колебания в упругих стержневых системах»; грант Красноярского краевого фонда науки 9TS093. Президентская стипендия на 2005 - 2006 учебный год.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, выводов, списка цитируемой литературы и приложений. Объем работы составляет 160 страниц, включает 46 рисунков и 6 таблиц; библиография включает 95 наименования.

Выводы к главе VI

1. Решена задача о перемагничнванни магнитомягкого слоя при мягком закреплении магнитного момента на поверхности. Численно показано, что при перемагничивании полем, антипараллельным направлению закрепления магнитного момента, порог потери устойчивости понижается при увеличении мягкости закрепления, а при перемагничивании в перпендикулярном направлении не изменяется.

2. Для случая перемагничивания полем, перпендикулярным к направлению закрепления магнитного момента, получены дополнительные к уже известным магнитные структуры. Показана возможность их реализации на основе аналогии с изгибом изначально изогнутой консоли.

3. Получены выражения для средних значений намагниченности по толщине слоя, описаны особые точки в распределении намагниченности.

4. Численными методами проанализировано трансцендентное нелинейное уравнение, определяющее возможные магнитные структуры при продольном приложении внешнего поля; показано, что при определенных значениях параметра закрепления возможны распределения намагниченности бифуркационного характера.

5. Проведена обработка экспериментов по определению зависимости пороговых полей от толщины мягнитомягкого слоя на пленке NiFe - DyCo и показано, что они объясняются результатами точного аналитического решения задачи о перемагничивании магнитомягкого слоя на подложке при условии нежесткого закрепления магнитного момента на границе раздела. Предложен способ определения эффективной постоянной обмена в промежуточном слое для двухслойных обменно-связанных магнитных систем.

1. Получены новые аналитические решения для изгиба поперечно нагруженной консоли, ряд которых совпадает с решениями, найденными ранее численными методами.

2. Получено общее решение геометрически нелинейной задачи об изгибе гибкого стержня для случая произвольного перемещения внешних сосредоточенных на конце сил. Решены задачи сильного изгиба консоли в поле центробежных сил.

3. Численными методами получено решение задачи изгиба двухзвеньевой консоли переменной жесткости под действием сосредоточенной на свободном конце силы, направленной под произвольным углом.

4. Получены разложения разностей эллиптических интегралов, входящих в точные выражения для стрелы прогиба консоли, в окрестности произвольного значения эллиптического модуля. На их основе записаны приближенные инженерные формулы для стрелы прогиба жестко и упруго закрепленной консоли.

5. Получено уравнение динамического равновесия стержня, изогнутого под действием сосредоточенной нагрузки, записанное в касательной к оси изогнутого стержня системе координат. Методом Бубнова-Галеркина определена зависимость собственной частоты колебаний поперечно нагруженной консоли от действующей нагрузки.

6. Анализ обменно-связанной магнитной системы выделил в ней промежуточный слой и выявил влияние его эффективных обменных характеристик на поля смещения при перемагничивании магнитомягкого слоя. Определены зависимости для порогов потери устойчивости, магнитных структур и средних по толщине слоя значений намагниченности от параметра нежесткого закрепления магнитного момента на поверхности раздела.

7. Обработаны полученные ранее экспериментальные данные для пленок NiFe-DyCo, NiFe-FeMn, и найдены объяснения зависимости пороговых полей от толщины магнитомягкого слоя при перемагничивании этих пленок.

На основе сопряженного анализа магнитных и упругих систем возможна разработка методов решения задач поведения сложных магнитных и упругих систем под действием внешних нагрузок. Сочетание имеющихся методик анализа поведения упругих систем позволяет дополнить или расширить имеющиеся методы изучения магнитных систем и помогает интерпретации экспериментальных данных.

Экспериментальные возможности магнетизма позволяют в ряде случаев с гораздо меньшими затратами, чем для упругих систем, проводить проверки теоретических разработок поведения упругих систем. Сочетание этих подходов представляет собой достаточно мощный инструмент исследования.

При совместном сопряженном анализе результаты, касающиеся поведения механических и магнитных систем, могут быть использованы при проектировании устройств микромеханики и нанотехнологии.

Автор искренне благодарен научному руководителю Ю.В. Захарову за научную школу и искреннее участие, A.M. Баранову, Р.С. Исхакову, С.Г. Овчинникову, Ю.И. Манькову, Л.И. Шкутину за интерес к работе и полезные обсуждения.

Автор благодарен Маргарите Анатольевне Власовой за понимание и поддержку.

1. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании / Ю.В. Захаров // ДАН. 1995. - Т. 344, №3.-С. 328-332.

2. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании. Пороговые поля и частоты магнитного резонанса / Ю.В. Захаров // Препринт №758Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН, Ин-т биофизики СО РАН, 1995. 40 с.

3. Захаров Ю.В. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли и оценка риска катастроф / Ю.В. Захаров, А.А. Захаренко / Препринт №780Ф. Красноярск: Ин-т физики СО РАН. - 1997. - 8 с.

4. Захаров Ю.В.Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли / Ю.В. Захаров, А.А. Захаренко // Вычисл. технол. 1999. Т. 4, № 1. - С. 48-54.

5. Эйлер JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума / J1. Эйлер. М.: ГТТИ, 1934. - 600 с.

6. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, 1975.-576 с.

7. Ляв А. Математическая теория упругости / А. Ляв. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 674с.

8. Ландау Л.Д. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1987. -248 с.

9. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни / В.З. Власов. М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.

10. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней / Е.П. Попов. М.: Наука, 1986.-296 с.

11. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней / Е.П. Попов. Л. -М.: ОГИЗ, 1948.-170 с.

12. Астапов Н.С. Приближенные формулы для прогибов сжатых гибких стержней / Н.С. Астапов // ПМТФ. 1996. - Т. 37, № 4. - С. 200-203.

13. Астапов Н.С. Приближенное представление формы сжатого гибкого стержня / Н.С. Астапов // ПМТФ. 1999. Т. 40, №3. С. 200-203.

14. Анфиловьев А.В. Стрела прогиба и сближение концов стержня в продольном изгибе / А.В. Анфиловьев // ПМТФ. 2001. Т. 42, №2. С. 188-193.

15. Захаров Ю.В. Частоты магнитного резонанса в пленках на антиферромагнитной подложке / Ю.В.Захаров, В.А.Игнатченко // ЖЭТФ. 1970. Т. 59, № 3. - С. 951-956.

16. Zakharov Yu.V. Magnetic resonanse in films on antiferromagnetic substrate / Yu. V. Zakharov, V.A. Ignatchenko // Czech. J. Phys. 1971. V. B21, № 4-5. -P. 482-485.

17. Хрусталев Б.П. Низкочастотная область спин-волнового резонанса в тонких металлических слоях с обменной анизотропией / Б.П. Хрусталев, А.С. Мельник // ФММ. 1973. Т 36, № 2. - С. 435-436.

18. Саланский Н.М. Физические свойства и применение магнитных пленок/ Н.М. Саланский, М.Ш. Ерухимов. Новосибирск: Наука, Сибирское отд., 1975. - 222 с.

19. SalanskyN.M. Peculiarities of the resonance absorption in the magnetic films magnetized to non-saturated state / N.M. Salansky, B.P. Khrustalev // Czech. J. Phys. 1971. V B21, № 4-5. - P. 419-428.

20. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней / Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин // ПМТФ. 2002. - Т. 43, №5. - С. 124-131.

21. Лаврентьев М.А. Динамические формы потери устойчивости упругих систем / М.А.Лаврентьев, А.Ю. Ишлинский // ДАН СССР. 1949. - Т. 64, № 6. -С. 779-782.

22. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций / Ю.С. Сикорский. -М.-Л.: ОНТИ, 1936.

23. Захаров Ю.В. Изгиб стержней под действием следящей нагрузки / Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин, А.Д. Скоробогатов // ПМТФ. 2004. - Т. 45, №5. - С. 167-175.

24. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1979.-744 с.

25. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. М.: Наука, 1967.-984 с.

26. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) / Л. Коллатц. М.: Физматгиз, 1968. - 504 с.

27. Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова. М.: Наука, 1979. - 384 с.

28. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов / С.П. Тимошенко. М.: Наука, 1965.-Т. 1.-364 с.

29. Захаров Ю.В. Колебания стержней в нагруженном состоянии / Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин // «Математические модели и методы их исследования». Труды международной конференции. Т. 1. ИВМ СО РАН. Красноярск, 2001. С. 252-256.

30. Шкутин Л.И. Инкрементальная модель деформации стержня / Л.И. Шкутин // ПМТФ. 1999. - Т. 40, № 4. - С. 229-235.

31. Шкутин Л.И. Численный анализ разветвленных форм изгиба стержней / Л.И. Шкутин // ПМТФ. 2001. - Т. 42, № 2. - С. 141-147.

32. Шкутин Л.И. Численный анализ разветвленных форм изгиба арок / Л.И. Шкутин // ПМТФ. 2001. - Т. 42, № 4. - С. 155-160.

33. Шкутин Л.И. Численный анализ осесимметричных форм выпучивания конических оболочек / Л.И. Шкутин // ПМТФ. 2001. - Т. 42, № 6. - С. 159-165.

34. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. М.: Машиностроение, 1970. - 736 с.

35. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки / А.Р. Ржаницын. М.: Стройиздат, 1986. - 316 с.

36. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С.П. Тимошенко. М.: Наука, 1971 г. 808 с.

37. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков -М.: Наука. 1987 605 с.

38. Ince E.L. The periodic Lame functions / E.L. Ince // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1940. V. 60. - P. 47-63.

39. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Физматгиз, 1967.

40. Aharoni A. Theoretical approach to the asymmetrical magnetization curve /

41. A. Aharoni, E.H. Frei, S. Shtrikman // J. Appl. Phys. 1959. - V. 30, №12. -P. 1956-1961.

42. Jonson Mark Bipolar spin switch / Mark Jonson // Science. -1993. -V. 260. P.320-323.

43. Середкин B.A. Квазистатическое перемагничивание пленок с ферро-ферримагнитным обменным взаимодействием / В.А. Середкин, Г.И. Фролов,

44. B.Ю. Яковчук // ФММ. 1987. - 63. - Вып. 3. - С. 457^62.

45. Ерухимов М.Ш. Влияние магнитного поля на доменную структуру пленок с однонаправленной одноосной анизотропией / М.Ш. Ерухимов, В.А. Середкин

46. B.А. Яковчук // ФММ. 1981. - 52. - Вып. 1. - С. 57-62.

47. Jungblut R. Exchange biasing in MBE-grown Ni8oFe2o/Fe5oMn5o bilayers/ R. Jungblut, R. Coehoorn, M.T. Johnson, Ch. Sauer, P.J. van der Zaag, A.R. Ball, Th.G.S.M. Rijks, J. ann de Stegge, A. Reinders // J.Magn.Magn.Mat. 1995. - V. 148. - P. 300-306.

48. Фролов Г.И. Однонаправленная анизотропия в ферро-ферримагнитной пленочной структуре / Г.И. Фролов, В.Ю. Яковчук, В.А. Середкин, Р.С. Исхаков,

49. C.В. Столяр, В.В. Поляков // ЖТФ 2005. -Т. 75. №12. -С.69-75.

50. Захаров Ю.И. Параметрический резонанс в пленках на антиферромагнитной подложке / Ю.И. Захаров, Е.А. Хлебопрос // ЖЭТФ 1977. -Т. 73. №9. -С.1101-1107.

51. Goto Е. Magnetization and switching characteristics of composite thin magnetic films / E. Goto, N. Hayashi, T. Miyashita, K. Nakagawa // J. Appl. Phys. 1965. V. 36, № 9.-P. 2951-2958.

52. Zakharov Yu. Magnetic resonance in films on antiferromagnetic substrate / Yu. Zakharov, Ignatchenko V.A. // Czech.J.Phys. 1971. - V. B21. №4-5. - P.482-485.

53. Маньков Ю.И. Влияние электронов проводимости на энергию доменной границы / Ю.И. Маньков, Р.Г. Хлебопрос, Ю.В. Захаров // ФТТ. 1975. - Т. 17, № 1-С. 352-353.

54. Маньков Ю.И. Влияние поверхностного закрепления намагниченности на магнетосопротивление тонкого ферромагнитного слоя / Ю.И. Маньков // ФТТ. -1994. Т. 36, № 12 - С. 3634-3637.

55. Маньков Ю.И. Влияние электронов проводимости на закон приближения к насыщению металлического ферромагнетика с поверхностным закреплением магнитного момента / Ю.И. Маньков // ФТТ. 1999. - Т. 41, № 4 - С. 647-653.

56. Маньков Ю.И. Электронные поверхностные уровни в металлических ферромагнетиках / Ю.И. Маньков // ФТТ. 1981. - Т. 23, № 8 - С. 2508-2510.

57. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций / Н.И. Ахиезер М.: ОГИЗ, 1948.

58. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов / В.И. Феодосьев М.: Наука, 1973 г. 400 с.

59. Абрамовиц М.Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган / М. Абрамовиц И. Стиган, М.: Наука, 1979.

60. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. М.: Наука, 1968.

61. Градштейн И.С. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик И.М. М.: Физматгиз, 1962.

62. ЦимрингШ.Е. Специальные функции и определённые интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник / Ш.Е. Цимринг. М.: Радио и связь, 1988.

63. Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.

64. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко, Д.Х. Янг, У. Уивер. М.: Машиностроение, 1985 - 472 с.

65. СейранянА.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны /

66. A.П. Сейранян// Успехи механики. 2003. №2. С. 45-96.

67. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. -М.: Наука, 1989.

68. Саноян Ю.Г. Теоретический расчет петель гистерезиса плеток с магнитожестким подслоем / Ю.Г. Саноян, К.А. Егиян // ФММ. 1974. - 38. - Вып 2. - С. 231-239.

69. Игнатченко В.А. Граничные условия для магнитоупругих систем / В .А. Игнатченко, Е.В. Кузьмин. // ФТТ. 1965. - Т. 7, №7. - С. 1962-1969.

70. Игнатченко В.А. Граничные условия для магнитных и магнитоупругих систем /

71. B.А. Игнатченко // ФММ. 1973. - 36. - Вып 6. - С. 1219-1228.

72. Захаров Ю.И. Кривые намагничивания и частоты магнитного резонанса в пленках с доменной структурой на антиферромагнитной подложке / Ю.В. Захаров, Е.А. Хлебопрос // ФТТ 1980. - Т. 22. №.12. -С.З651-3657.

73. Глазер А.А. Обменная анизотропия в тонких магнитных пленках / А.А. Глазер, А.П. Потапов, Р.И. Тагиров, Я.С. Шур ФТТ, 1966, 8, №10. с. 3022-3031.

74. Zakharov Yu.V. Dynamic domain structures / Yu.V. Zakharov, I.V. Uvaev // Proc. of Moscow International Symposium on Magnetism. P. II. M.: Физический факультет МГУ. 1999. P. 44-47.

75. Heinzerling H. Mathematische Behandlung einiger grundlegender Fragen des Knicksproblems des geraden Stabes Diss. - 1938. - Karlsruhe: Borna - Leipzig, 1939. - P. 64. (Korreferent Dr. phil. h. L. Collatz).

76. Левяков C.B. Формы равновесия и вторичная потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного продольной силой / С.В. Левяков // ПМТФ. 2001. -Т. 42,№2.-С. 153-159.

77. Кузнецов В.В. Эластика Эйлерова стержня с защемленными концами / В.В. Кузнецов, С.В. Левяков // ПМТФ. 2000. - Т. 41, № 3. - С. 184-186.

78. Кузнецов В.В. О вторичной потере устойчивости Эйлерова стержня /

79. B.В. Кузнецов, С.В. Левяков // ПМТФ. 1999. - Т. 40, № 6. - С. 184-185.

80. Кузнецов В.В. Многозначные решения пространственных задач нелинейного деформирования тонких криволинейных стержней / В.В. Кузнецов, С.В. Левяков // ПМТФ. 1998. - Т. 39, № 2. - С. 141-149.

81. Halphen G.-H. Sur une courbe elastique / G.-H. Halphen // Journal de l'ecole polytechnique. Paris, 1884. V. 54. - p 183.

82. Halphen G.-H. Traite des fonctions elliptiques / G.-H. Halphen. Paris, 1888.

83. Foppl A. Forlesungen uber technische Mechanik. Bd 5. Die wichtigsten Lehren der hoheren Elastizitatstheorie. Leipzig: B.G. Teubner, 1907. 391 s.

84. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd IV. Mechanik, Teilband 4, Hft 3, Art 27, Punkt 8. Ebene Platten. Leipzig: B.G. Teubner, 1910. S. 311 385.

85. Лаврентьев M.A. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Физматгиз, 1977. - 408 с.

86. Новиков С.П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии /

87. C.П. Новиков, А.Т. Фоменко. -М.: Наука, 1987.

88. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1973. - 736 с.

89. Захаров Ю.В. Статические формы изгиба упругой консоли в поле центробежных сил: точные и приближенные решения / Ю.В. Захаров, А.Ю. Власов, К.Г. Охоткин. // Вестник КрасГУ. «Физико- математические науки». — 2006. — № 1. —С. 10-15.

90. Охоткин К.Г. Нелинейный изгиб составного стержня переменной жесткости под действием продольной и поперечной нагрузки / К.Г. Охоткин, А.Ю. Власов // Вестник КрасГУ. «Физико- математические науки». — 2006. — № 1. — С. 26-28.

91. Захаров Ю.В. Приближенные формулы для стрелы прогиба упругого стержня при поперечном нагружении / Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин, А.Ю. Власов // ПМТФ. 2002. - Т.43, № 5. - С. 132-134.

92. Захаров Ю.В. Изгиб жестко и упруго закрепленной консоли при поперечном нагружении точные решения / Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин, А.Ю. Власов,

93. H.В. Филенкова. // Тезисы докладов XXI международной конференции. Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. СПб: ВВМ, 2005. - Ч. 2. - С. 94-96.

94. Захаров Ю.В. Точные и приближенные формулы для прогибов упруго закрепленного стержня под действием поперечной нагрузки / Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин, Н.В. Филенкова, А.Ю. Власов // ПМТФ. 2006. Т.47. № 5. Ч. 2.

95. Zakharov Yu.V. Frequencies of magnetic oscillations in ferromagnetic layer as an analogy of oscillations of elastic rod and Josephson junction / Yu.V. Zakharov,

96. V. Uvaev, K.G. Okhotkin, A.Yu. Vlasov // Тезисы докладов Евро-Азиатского симпозиума "Прогресс в магнетизме» (EASTMAG-2004). Красноярск: Институт физики СО РАН, 2004. - Р. 209.

97. Филенкова Н.В. Изгиб упруго закрепленной консоли под действием поперечной нагрузки / Н.В. Филенкова, А.Ю Власов. // Тр. III Всесибирского конгресса женщин-математиков / Красноярск: ИВМ СО РАН, 2004. Ч. 2. - С. 124-125.

98. Решение уравнения изгиба стержня типа уравнения нелинейного маятника для случая когда сосредоточенная нагрузка направлена под произвольным угломdy2 г ■ —„г + д sin у = 0. dt2

99. Умножим это уравнение на 2dyldtdy dy2 2 • dy 2——Ц- = -2q sin у—— = 0 dt dt2 dtи проинтегрируемdy dt2

100. Разделяя переменные, получим2#2cosy + c.dy —л.1. Jc + 2q2 cosy1. Интегрируя, найдемdy1. Л -Jо <р"оЛ/с + 2д2 cosy

101. Нижний предел интеграла ф0 определяет угол наклона касательной к упругой линии в точке закрепления.

102. Преобразуем интеграл к следующему видуc + 2q2-4q2sin2(y/2) Вводя замену константы интегрирования1 4q2к2 c + 2q2 'и разбивая интеграл на два при этом изменив пределы интегрирования, получимг=7 7 d(y/2)о q-yjk2 -sin2(y/2) о q^k2 -sin2(y/2)

103. Вынося из под корня квадратного д2 в силу того, что этот параметр определяет действующую силу и изгибную жесткость стержня оставим qnq>0.1. Г/2Jd(y/2)ф0/2Id{у/2)qk^Jl--^sin2(y/2) ° ^l--^sin2(y/2)