автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели поверхностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ рг0 0 Д

- пи г»

ЗВЕРЕВА Светлана Александровна/А , - У

/']%■-' 515.2

✓у

СОГЛАСОВАННЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Специальность 05.01.01-

Прикладная геометрия, инженерная графика

АВТОРЕФЕРАТ дисертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Донецк-2000

Диссертация на правах рукописи Робота выполнена в Донецьком государственном техническом университете Министерства образования и науки Украины

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Скидан Иван Андреевич, заведующий кафедры «Начертательная геометрия и инженерная графика»,

Донецкий государственный технический университет.

Официальные оппоненты: - доктор технических нау к, профессор Подгорный Алексей Леонтьевич, заведующий кафедрой «Архитектурные конструкции»,

Киевского национального университета строительства и архитектуры;

- кандидат технических наук, доцент Горягип Борис Федорович, доцент кафедры «Начертательная геометрия и инженерная графика»,

Донбасская государственная академия строительства и архитектуры;

Ведущая организация:- Киевский национальный технический университет «Киевский политехнический институт», кафедра начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Министерства образования и науки Украины Защита состоится «21» декабря 2000 года в 14 часов на заседании специализированного ученого совета К 11.052.04 в Донецком государственном техническом университете по адрессу:

83000, Донецк-00, ул. Артема 58, корпус 6, ауд. 6.202 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Донецкого государственного технического университета по адрессу:

83000, Донецк-00, ул. Артема 58, корпус 2 Автореферат разослан «20» ноября 2000 г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета, К 11.052.04

кандидат технческих наук, доцент Ивченко Т.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Современный уровень проведения научных исследований и проектирования нельзя представить без применения компьютера. Чтобы перейти к компьютерным технологиям в названных отраслях, необходимо разрешить двуединую задачу: перевести на программы базу знаний докомпьютерного периода и ориентировать на применение компьютера дальнейшие разработки.

Основное предназначение прикладной геометрии поверхностей-конструирование объектов сложной формы. К ключевым словам её сущности докомпьютерного периода ( форма, чертеж) на современном этапе необходимо добавить «математическую модель» и «компьютерную графику». Так как математическая модель поверхности играет роль посредника между конструктивной и компьютерной моделями, её предназначение - обеспечить согласованность последних на основе устранения различий, обусловленных способами первичного представления поверхности. Первично конструктивную модель поверхности представляют определителем в виде ограниченного количества геометрических фигур, которые по наперёд фиксированным алгоритмам позволяют графически построить определённый линейный каркас. Что касается компьютерной модели, её первично представляют уравнениями с явной внутренней параметризацией, которая определяет координатную сеть на поверхности , отображамую средствами компьютерной графики.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа выполнена в рамках концепции Национальной программы Украины по информатике, в которой говорится:« Научно- исследовательские учереждения должны создать и внедрить информационные технологии построения разделенных баз знаний и экспертных систем, направленных на автоматическое формирование решений задач в разных предметных областях». Работа выполнялась в соответствии с планом научных работ Донецкого государственного технического университета, которые ведутся на кафедре начертательной геометрии и инженерной графики.

Цель и задачи исследования. Цель- дальнейшее развитие компьютеризации процессов научных исследований и проектирования объектов сложной формы путем разработки новых аналитических моделей их поверхностей, согласованных с конструктивными моделями, а также со штатным программным обеспечением визуализации поверхностей средствами компьютерной графики. Для достижения главной цели исследований в диссертации поставлены такие основные задачи:

-выявить и сформулировать основные требования к аналитической модели поверхности при условии ее согласования с конструктивной и компьютерной моделями;

-предложить математический аппарат аналитического и компьютерного моделирования поверхностей сложной формы по известным конструктивным

моделям;

-разработать новые конструктивные и согласованные с ними аналитические и компьютерные модели линейчатых, циклических, циклоидальных, спиральных, винтовых и квазивинтовых поверхностей на основе выделения их линейных каркасов с конгруэнции соответствующих линий;

-разработать рекомендации к внедрению результатов исследований в практику и учебный процесс.

Научная новизна полученных результатов:

-впервые определены критерии согласованности конструктивной, аналитической и компьютерной моделей поверхностей сложной формы;

-по известным конструктивным моделям линейчатых поверхностей разработаны новые аналитические и согласованные с ними компьютерные модели;

-получило дальнейшее развитие аналитическое и компьютерное моделирование поверхностей, в определитель конструктивного представления которых входит другая поверхность;

-разработаны и исследованы новые коннструкгивная и аналитическая модели циклид Дюпена четвертого порядка;

-впервые получены и исследованы аналитические и компьютерные модели поверхностей с особыми линиями (ребрами возврата, линии самопересечения).

Практическое значение полученных результатов: -разработана методика формообразования широких классов поверхностей, конструктивное, аналитическое и компьютерно- графическое представление которых согласованы;

-полученные аналитические и компьтерные модели поверхностей рекомендуются к применению:

-в автоматизированных системах научных исследований; -в системах автоматизированного проектирования; -в автоматизированных системах подготовки управляющих

программ обработки на станках с ЧПУ; -в теории катастроф (речь идет о поверхностях с особенностями); -в учебном процессе.

Личный вклад соискателя. Постановка общей проблемы и конкретных задач, освещенных в публикациях, контроль полноты исследований, достоверность результатов, правильность выводов выполнено научным руководителем, соавтором публикаций. Результаты теоретических и компьютерных експериментов получены соискателем самостоятельно. Выводы к разделам и к работе в целом, рекомендации по внедрению результатов исследований разработаны соискателем самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации освещены в докладах на 5 и 6 Международных конференциях «Современные проблемы геометрического моделирования», Мелитополь, 1998, 1999 гг, на

конференции «Новые компьютерные технологии в промышленности, энергетике, банковской сфере, образовании», Алушта, 1998 г, на Международной конференции «Сучасш проблеми геометричного моделювання», Донецьк, 2000 р, на научных семинарах кафедры начертательной геометрии и инженерной графики Дон ГТУ

Публикации. Тема диссертации освящена в 6 статьях, которые помещены в научных специализированных сборниках Украины, и, дополнительно, в двух материалах и тезисах конференций.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из вступления, четырёх разделов, выводов, списка литературы, приложений.

Объём диссертации -142 страницы, в том числе 43 рисунка, 10 таблиц, список использованной литературы из 205 наименований на 14 страницах, 3 приложения на 10 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Вступление содержит постановку задачи и характеристику работы. В первом разделе рассмотрены научные предпосылки, поставлена задача и очерчена методика исследования. Зарождение прикладной геометрии поверхностей как области науки и её подъём на очередные ступени развития обусловлены постоянно и непрерывно возрастающими требованиями к объектам производства. Новые требования к объектам производства должны отображаться в проектировании и определять направления научных исследований. Со временем меняются технологии как производства, так и проектирования. В соответствии с этапами развития прикладной геометрии будем различать конструктивную, аналитическую и компьютерную модели поверхностей. Существующее стандартное программное обеспечение визуализации поверхностей ориентировано на их представление уравнениями с определенной внутренней параметризацией - параметрическими уравнениями. Внутренние параметры уравнений обеспечивают естественную визуализацию поверхности сложной формы в виде одной или нескольких проекций её координатной сетки. Кроме того, представление поверхности параметрическими уравнениями соответствует идеологии функционального программирования, положенного в основу базового языка искусственного интеллекта Common LISP и его диалекта Auto LISP.

Единственное действие функционального программирования - вызов функции, единственный способ деления программы на части есть введение имени функции и выражения, которое связывает между собой её аргументы, единое правило композиции- суперпозиция функции. Что касается конструктивных моделей поверхностей, существуют два подхода к их разработке, которые различают по первичному представлению точечным каркасом ( Coons S.A., Bezier Р., Алберг Дж., Нильсон Е., Завьялов Ю.С., Ковалев С.Н., Бадаев Ю.И., Найдыш В.М., Верещага В.М., Найдыш A.B., Надолинный В.А. и др.) или определителем (Рыжов H.H., Котов И.И.),

который включает конечное число геометрических фигур,тип линии каркаса и алгоритм её графического построения в любом положении (Котов И.И., Рыжов H.H., Тевлин A.M., Подгорный А.Л., ОбуховаВ.С. и др.). Исследования, приведенные в диссертации, следует отнести к группе со вторым подходом.

Наконец, аналитическая модель с одной стороны должна отталкиваться от модели конструктивной, чтобы не утратить значительную ценность докомпьютерных наработок, а с другой - она должна согласовываться с входными данными компьютерной модели, чтобы соответствовать требованиям времени к технологиям проектирования и ведения научных исследований. Круг разработок, в которых все три типа моделей согласованы (имеется в виду те из них , где формообразующим элементом выступает линия), ограничен (Бадаев Ю.И., Надолинный В.А., Подкорытов А.Н., Пилипака С.Ф., Скидан И. А., и их ученики).

Наша работа направлена на решение проблемы согласованности всех трех типов моделей. Чтобы обеспечить действенность выше названного функционального программирования в решении задач исследований, необходимо предвидеть применение суперпозиции функции не только «с низу», но и «сверху» относительно предмета исследования. Этому требованию соответствует конструктивная модель выделения искомой поверхности из множества (в частности из конгруэнции) линий (Котов И.И., Рыжов H.H., Тевлин А.М., Подгорный А.Л., Обухова B.C. и др. ).

Согласно Darboux G. конгруэнцию линий задают параметрическими уравнениями

x=x(u,t,v)> y=y(u,t,v), z=z(u,t,v). (1)

Поверхность конгруэнции представляем одним из внутренних уравнений t=t(u,v), (2)

или

u=u(t,v), (3)

где v-параметр положения точки на линии конгруэнции.

Трансверсальную поверхность конгруэнции задают внутренним уравнением

V = v(t,u). (4)

Линию на поверхности (2), (3) или (4) задают функцией зависимости двух внутренних параметров поверхности, например,

t = t(v). (5)

Переход к параметрическим уравнениям поверхности в прямоугольных декартовых координатах совершается суперпозицией функций (1) относительно функций (2), (3) или (4), то есть подстановкой внутреннего уравнения в уравнения конгруэнции, например,

x=x(u(t,v),t,v), y=y(u(t,v),t,v), z=z(u(t,v),t,v). (6)

Переход к параметрическим уравнениям линии в прямоугольных декартовых координатах от её внутреннего уравнения , например ,(5),

производится суперпозицией функций (6) относительно (5)

х=х(и(1(у)),1(у),у), у=у(и(1(у)),1(у),у), г=2(и(((у)),1(у),у). (7)

Кроме удобства в написании программ, концепция функционального программирования имеет ряд положительных свойств:

-она свободна от неприятной, и не всегда разрешимой процедуры исключения параметров при переходах на представление геометрических образов низшей размерности;

-она позволяет непосредственно определять выражения дифференциально-геометрических характеристик поверхностей и линий вычислением производных сложных функций на любом уровне вложения;

-она позволяет непосредственно определить интегральные характеристики вычислением кратных интегралов с переходом к специальным координатам.

В следующих разделах сформулированная проблема находит своё разрешение, а приведенные общие формулы наполняются смыслом для конкретных конгруэнций, поверхностей, линий.

Во втором разделе рассматриваются конгруэнции прямых и их линейчатые поверхности: от известных конструктивных определителей конгруэнций и поверхностей, предложенных иисследованных синтетическими методами, через новые аналитические модели в виде параметрических уравнений до компьютерного изображения с использованием штатного программного обеспечения на основе взаимного согласования.

Параметрические уравнения конгруэнции прямых, определителем которой выступают её директрисы, одна из которых совпадает с осью ОХ, а другая проходит через точки А и В

х =[ V" (хв"хд) "1 у' у =[ УА+ (Ув-Уд) »1 V, 2 = Г +[г + (гв-гА) V. (8)

На примере показан случай, в котором поверхность из конгруэнции (8) выделяется не благодаря заданию её внутреннего уравнения, а очень простым способом- погружением в конгруэнцию линии.В этом случае линию представляют параметрическими уравнениями в свободной параметризации. В рассмотреном примере погружен эллипс

хО=(хС-хе)8'пиг+(хП-хЕ)со^+хЕ'

Уо=(УС-Уе)5'™+(УП-УЕ)СО!^+УЕ' (9)

внутреннее уравнение которого в этом случае получают в параметрическом представлении

и=-0.2(0.б5т\у-со8\у), 1=2($!1Ш+1.4со5\¥), (10)

при А(0,10,0)таВ(-10,10,10), С(0.6,5,0.4), В(-1,5,2.4), Е(0,5,0).

Вместо исключения параметра \у из уравнений (10) проще подставить в уравнение конгруэнции (8) выражения и и I из (10). В полученных таким образом уравнениях поверхности (рис.1)

х=2(0.б5т\у-со$\у)(1-у), у=10(1-у), z=2v(sinw+1.4cosw)-2(0.6sinw-cosw)(l-v) (11)

Рис. 1

параметризован погруженный эллипс.

Параметрические уравнения конгруэнций прямых, конструктивным определителем которой является ось ОЪ и винтовая линия

х =у г соей, у =у г вши, г =Ч+(ки-1)у. (12)

Внутреннему уравнению

е=ки+ь (13)

соответствует известная поверхность косой геликоид (рис.2), который при Ь=0 преобразуется в прямой (минимальный )(рис.З).

Параметрические уравнения конгруэнции бисекант винтовой линии, которая играет роль двойной фокальной фигуры

х=г[со$1+(со8и-со80у], ^фЫ+фпи-вш^у], г=к[1+(1М)у] (14)

Внутреннему уравнению

и=Ч+с 0<с<2тг, (15)

соответствует линейчатая винтовая поверхность (рис.4), в конструктивный определитель которой входит в качестве направляющей поверхности одно-полостный гиперболоид. При с=7Г поверхность вырождается в косой геликоид, а её направляющая - в конус.

Пиота.45x20 К'1вв

Рис.4

Параметрические уравнения конгруэнции прямых, определителем которой являются фокальные фигуры - сфера и ось OZ, которая проходит через центр сферы

г sin V

Г COS V COS t г COS v sin t

X= -TTTT^-^ , y =-

cos(u-v)

cos(u-v)

(16)

cos(u-v)

Внутреннему уравнению

u= c+h cosnt (17)

соответствует волнистая линейчатая поверхность, где n-количество волн. На рис.5 она показана при п=3.

Если фокальную сферу заменить на фокальный тор, уравнения конгруэнции имеют вид _ (г +R cos u)cost cosv (r+Rcosu)sint cosv _(r+Rcosu)sinv

cos(u -v) cos(u -v) ' cos(u -V) * '

Внутреннему уравнению (17) конгруэнции (18) соответствует поверхность (рис.б) при п=4.

с • м'

Плоти К:IÍ0

Рис. 5

Рис.6

Третий раздел посвящен исследованиям множеств и в частности конгруэнций окружностей и их циклическим поверхностям. На примере очень простейшей конгруэнции окружностей, определителем которой являются две фокальные точки, и её циклических поверхностей показано преимущество параметрической формы представления по сравнению с координатной. Неопределенность внутренней параметризации координатной формы позволяет в качестве сетки на поверхности, подлежит визуализации, использовать только два из трёх семейств линий уровня, которые не всегда совпадают с характеристическим линейным каркасом. К неудобству представления координатной формой следует отнести также не всегда возможное разрешение уравнений и систем относительно одной из переменных, многозначность решений, отсутствие общих алгоритмов разрешения.

Основное внимание уделено исследованию циклид Дюпена четвертого порядка. Их известные свойства как единственной поверхности, которая несет на себе два семейства окружностей, совпадающих с линиями кривизны, как огибающей двух семеств сфер, касательных к трем заданным сферам, при этом центры сфер обоих семейств принадлежат конфокальным эллипсу и гиперболе, как поверхности Иоахимсталя, линии кривизны каждого семейства которой принадлежат плоскостям пучка 1-го порядка, как поверхности, обратной цилиндру, конусу или тору в инверсии, не дали основания для такого конструктивного определителя, который мог бы обеспечить простоту графических построений поверхности и был бы основанием для аналитической модели, согласованной с компьютерной.

Для обеспечения согласования необходимо вести поиск новых конструктивных моделей. Одна из таких моделей была найдена в образе конфигурации шести окружностей с коллинейными центрами, каждая из которых касается четырех других. Окружности конфигурации, которые не касаются друг друга, определяют пару. Из принадлежности центров сфер, которые касаются трех заданных, конфокальным эллипсу и гиперболе получаем: циклиды Дюпена четвертого порядка имеют две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии. Сечения циклид плоскостями симметрии имеют экстремальные значения радиусов. Отсюда предложение: две из трех пар конфигурации могут быть взяты за конструктивный определитель циклид Дюпена четвертого порядка, если их принять за сечения плоскостями симметрии. Для совмещения с поверхностью циклиды, окружности одной из пар конфигурации необходимо повернуть вокруг линии центров на прямой угол. Доказаны три леммы, которые определяют положения внешнего и внутреннего центров подобия и радикальной оси относительно центров пары окружностей. Доказана теорема о прохождении радикальной оси каждой из пар конфигурации через один из двух центров подобия каждой из двух других. Новая аналитическая модель циклид 4-го порядка базируется на полярном уравнении окружности с эксцентричным радиусом-вектором, которое имеет вид (полярная ось проходит через центр

окружности)

Л=-есо5а±У е2$1п2а+г2, (19)

где И -радиус-вектор точки на окружности,

е -координата центра окружности относительно полюса (эксцентриситет), а -угол наклона радиуса-вектора к полярной оси, г -радиус окружности.

С учетом предыдущих расчетов параметрические уравнения циклид Дюпена четвертого порядка Я,а]2 1

VR, 2

[(f(t) +Cp(t)) +(f(t)-(p(t))cost]cosu,

У = \ [(f(t) +<P(t)) +(f(t)-cp(t))cost]sinu, (20)

1

z = -[f(t)-(p(t)]sint,

где -Rj, Rj, а1г -радиусы и межцентровое расстояние окружностей, по

R,a12

которым плоскость эллипса пересекает циклиду, f(t) = - - cost+

I/ R у--R!+R2

+ Л I ' ц I sin2t+R2 " полярное уравнение окружности радиуса R с

' \ Ri+R2 / R,aI2 RA, iT^M5

эксцентриситетом —- , ф(0 = - R+R^cost+^l j^J sin2t+R22-

полярное уравнение окружности радиуса R, с эксцентриситетом ———

К1+К2

На рис. 7,8,9 показаны проекции циклиды Дюпена четвертого порядка без конических точек, с одной и с двумя коническими точками, построенными по уравнению (20).

х -

Рис. 9

В четвёртом разделе исследованы конгруэнции трансцендентных кривых и их поверхности.

В общем виде конструктивным определителем конгруэнции циклоидальных кривых предлагается назначить любую циклическую поверхность. Если зафиксировать значение модуля и считать окружность циклического каркаса направляющей, то при произвольном угле и начального положения циклоидальной кривой относительно указанной окружности циклическая поверхность определяет конгруэнцию циклоидальных кривых. Общие параметрические уравнения циклоидальных кривых на плоскости имеют вид

х = Щ1 +ш) со5(и+пи) - Ь со8(1Ж +пи), ^21)

у = Щ1 +т) «¡п(и+пП) - Ь зт(и+1 +пН),

где И-радиус направляющей окружности, т=г/К-модуль (г-радиус производящей окружности), Ь-расстояние точки, которая описывает кривую, от центра касательной окружности.

Если т>0, имеем эпициклоиды, если т<0-гипоциклоиды, если Ь>г, имеем удлинённые, если Ь<г- укороченные циклоидальные кривые, которые носят название эпитрохоид (при ш>0) и гипотрохоид (при т<0). Если Ь=Ы+тК имеем трохоидальные розы.

Рассмотрим конгруэнцию циклоидальных кривых, определителем которой являются поверхность вращения второго порядка, уравнение которой

к ~ = п . (22)

Уравнение (22) выражает: а с

цилиндр (к=0, п=1); конус (к= -1, п=0); сферу (к=1, п=1, а=с); эллипсоид (к=1, п=1, а^с); однополостный гиперболоид (к=-1, п=1); двуполостный гиперболоид (к—1, п=-1). Обозначим 2=у, х2+у2=К2 Определим К из (22)

Л = а/сл'с2п - у2к. (23)

С учетом (21) параметрические уравнения конгруэнции циклоидальных кривых, фокальной поверхностью которой является одна из поверхностей (22), имеют вид (1)

х =а/с^с2п - у2к (т+1) с<«(и+пи) - Ьсо$(и+1+пи), у =а/слУс2п - угк (т+1) $1п(и+т1) - Ь51п(и+1+т1), (24)

/ = V.

Внутреннему уравнению и=0 соответствуют циклоидальные поверхности. Два из множества примеров циклоидальных поверхностей, приведенных в диссертации, представлены на рис.10, 11. Внутреннему уравнению у=и$ ($=соп81) соответствуют квазивинтовые (винтовые при к=0, п=1) поверхности, два из примеров которых представлены на рис. 12, 13.

Линией конгруэнции и ёё фокальной поверхностью являются: -эпитрохоида и однополостный гиперболоид (рис.10); -гипоциклоида и сфера (рис.11); -эпициклоида и двуполостный гиперболоид (рис.12); -кривая Штейнера и конус (рис. 13).

Рис.10

Рис.11

Рис.12 Рис.13

Конгруэнция конических винтовых линий х =c(v)eu,cos(b(v)+(Dt),

у =c(v)eu,sin(b(v)+rat), (25)

г =d(v)eut.

t -угол поворота, ш-угловая скорость вращения, и -постоянный, наперед неопределенный коэффициент пропорциональности углу поворота коэффициента подобия, c(v), b(v), d(v)- функции, с использованием которых задают линию, которая погружается в конгруэнцию для получения поверхности, которая носит имя спиральной. Погруженная линия совершает квазивинтовое перемещение и одновременно подлежит преобразованию подобия с коэффициентом, пропорциональным углу поворота.

Внутреннему уравнению

ю x„+r. sina U=— In 0 0 . , (26

2к x0-r0 sina

соответствует поверхность (рис. 14), полученная погружением в конгруэнцию (25) окружности

V— _т 4-г гпву v=П 7= .7 4-г 61111; (27)

Рис.14

из условий касания двух окружностей каркаса, имеющих значение углового параметра положения cot и a>t+2u. Из выражений (25) и (27) заключаем

b(v)=0, c(v)=-x0+r0 cosv, d(v)=-z0+r0 sinv. Между x0 и r0 существует зависимость

z0=x0 ctia • (28)

Из выражения коэффициента подобия и с учетом (28)

Ч2+2о+гО+г. г,

Ufa;

го

определим сначала rt х +r sjna

Г =Г ———;-

1 0 х-г„ sina

а затем коэффициент подобия ^ +r sjna

k= — = ° ° .— (29)

r0 Vrosina

С другой стороны коэффициент

к= Г = ^^Г (30>

И так, коэффициент пропорциональности и (26) определяем из равенства правых частей (29) и (30).

На рис.15 показана спиральная поверхность, полученная погружением в конгруэнцию (25) розы

р=а Э1пку

В этом случае Ь(у)=у, с(у)=а зшку, ё(у)=т=соп$1 и параметрические уравнения поверхности имеют вид

х=а ятку еи'со5(у+о1), у=а втку еи,5т(у+ш1), г=те1". (31)

Считается, что и и ю в уравнениях (31) должны быть численно определены.

Рис.15

ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

Современное состояние конструирования, проектирования и изготовления изделий и сооружений без применения компьютерных технологий труцно себе представить. Впрочем, не вся база знаний, касающаяся объектов и методов этой области, накопленная на предыдущих этапах развития, получила на сегодня компьютерную реализацию. Причина -несогласованность методологий формирования аналитической и конструктивной моделей с одной стороны, и аналитической и компьютерной моделей с другой.

Диссертация направлена на решение новой научной задачи распространения сферы применения компьютера на новые объекты и методы конструирования, проектирования и изготовления изделий и сооружений сложной формы, путем выявления и формулирования факторов, которые имеют существенное влияние на согласованность конструктивных, аналитических и компьютерных моделей, и следования этим факторам в разработке новых согласованных моделей.

Проблему согласования конструктивной, аналитической и компьютерной моделей поверхностей сложной формы надлежит решать следующим образом:

1) основой для составления аналитических и компьютерных моделей избран способ конструирования поверхностей выделением их линейчатых каркасов из множеств, в частности, из конгруэнции линий, что обеспечивает иерархичность структуры моделей, многовариантность условий и решений;

2) в согласованных моделях основная нагрузка выпадает на модель

аналитическую: ее входные данные регламентированы содержанием определителя конструктивной модели, а форма представления обусловлена составом входных данных стандартного программного обеспечения визуализации поверхностей;

3) избежание процедуры исключения параметров в переходах к уравнениям геометрических образов цепочки конгруэнция - поверхность -линия и упрощение вычислений дифференциальных и интегральных характеристик рекомендуется осуществлять применением суперпозиции функции, в частности, подстановками внутренних уравнений образов низшей размерности в параметрические уравнения образов высшей;

4) соответствие конечных значений функций, которые входят в параметрические уравнения, конечным значениям аргументов - одно из условий согласования математической модели с компьютерной;

5) семейство линий каркаса конструктивной модели поверхности должно быть одним из двух семейств координатных линий ее аналитической и компьютерной моделей;

6) для получения компьютерной модели поверхности ее аналитическая модель дополняется конечными границами изменения внутренних параметров, которые определяют координатную сетку, отсюда вывод: границами могут быть координатные линии, в том числе элементы конгруэнции, они же - линии каркаса конструктивной модели, конические точки поверхности и сингулярные точки ее внутренней параметризации (полюсы), фокальные линии, или линии, которые принадлежат фокальным поверхностям конгруэнции.

В соответствии с сформулированными рекомендациями согласования моделей поверхностей в работе впервые построены такие модели:

- по известным конструктивным моделям линейчатых поверхностей, которые выделяются из конгруэнций прямых, составлены согласованные с ними аналитические и компьютерные модели;

- поскольку известные аналитические модели циклид Дюпена четвертого порядка не согласовываются с компьютерной моделью ( модели в координатной форме - по причине невыполнения условия 5), в параметрической - из-за невыполнения условия 4)), в диссертации разработаны их новые конструктивные, аналитические и компьютерные модели, согласованные между собой;

- разработаны согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели поверхностей, в частности, циклоидальных и спиральных, которые выделяются из конгруэнций циклоидальных кривых, а также из конических винтовых линий соответственно.

Вместе с тем, новыми являются такие научные результаты:

- впервые составлено полярное уравнение окружности с эксцентричным полюсом;

- впервые определены внутренние параметры расположения центров подобия и радикальной оси окружностей относительно центров каждой и в зависимости от межцентрового расстояния;

-впервые введена и исследована конфигурация шести окружностей и показано ее применение в качестве определителя конструктивной модели циклид Дюпена 4-го порядка;

-впервые составлены и исследованны параметрические уравнения конгруэнций циклоидальных и конических линий.

Результаты исследований рекомендуются к внедрению:

- в разработке систем автоматизированного проектирования тонкостенных оболочек и деталей машиностроения;

- в разработке автоматизированных систем научных исследований (аналитические и компьютерные модели, методика разработки согласованных моделей);

- в автоматизированной подготовке программ обработки на станках с

ЧПУ;

- в научных разработках теории катастроф (поверхности с ребрами возврата и с линиями самопересечения);

-в учебном процессе: наглядные пособия, иллюстрации к изданиям учебников, соответствующие модели из начертательной геометрии (конструктивные модели), аналитической (аналитические модели), дифференциальной геометрии (теория конгруэнций), компьютерной графики (аналитические и компьютерные модели). На время защиты внедрено на кафедрах начертательной геометрии и инженерной графики и высшей математики Дон ГТУ, и составлен договор с издательством "Высшая школа".

Основные положения диссертации опубликованы в таких работах:

1. Скидан И. А., Зверева С. А. Циклоидальные поверхности. //Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, КДТУБА.,1997. Вып. 61.-С. 46-49.

2. Скидан И.А., Зверева С.А. Компьютерная модель спиральной поверхности. // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, КДТУБА.,1996. Вып. 60.-С. 50-52.

3. Скидан И.А., Зверева С.А. Аналитические и компьютерные модели поверхностей, выделяемых из конгруэнции прямых. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. Т.З. Мелитополь, 1998.-С. 14-20.

4. Скидан И. А., Зверева С. А. Уравнения линейчатых неразвертываемых квадрик, заданных направляющими. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. Т.4. Мелитополь, 1998.-С. 3-7.

5. Зверева С.А. Положение центров подобия и радикальной оси двух окружностей. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. Т.8.

Мелитополь, 1999.-С. 90-93.

6. Скидан И.А., Зверева С.А. Конфигурация окружностей как основа для конструктивного определителя циклиды Дюпена четвертого порядка. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. Т.9. Мелитополь, 1999.-С. 1015.

7. Скидан И.А., Зверева С.А. Конструктивный и аналитический определитель циклид Дюпена четвертого порядка. // Новые компьютерные технологии в промышленности, энергетике, банковской сфере, образовании. (Тезисы докладов конференции 22-24 сентября 1998 г. г. Алушта) Киев, 1998,-С. 38-39.

8. Скидан И.А., Коломиец Е.А., Зверева С.А., Гайдарь О.Г. Пути согласования конструктивных, аналитических и компьютерных моделей поверхностей.// Современные проблемы геометрического моделирования. Тезисы докладов международной научно- практической конференции. 21-24 июня. 2000г. Донецк. 2000, С.244-245.

Личный вклад соискателя в публикации:

[1]>[2],[3],[4],[6],[7],[8]- постановка общей проблемы и конкретных задач, контроль полноты исследований, достоверность результатов, правильность выводов выполнено научным руководителем, соавтором публикаций. Результаты теоретических и компьютерных экспериментов получены соискателем самостоятельно.

АНОТАЦ1Я

Зверева С.О. Узгоджеш конструктивы, аналггичшта комп'кггерш модел1 поверхонь .-Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандидата техшчних наук за спещальшспо 05.01.01- Прикладна геометрия, ¡нженерна графика,- Донецький державний техшчний ушверситет, Донецьк, 2000.

Дисертацш присвячено подальшому розвитку комп'ютеризаци процеав наукових дослщжень та проектування вироб1в складно! форми шляхом розробки нових анал1тичних моделей !хшх поверхонь, узгоджених з одного боку з конструктивними моделями, а з шшого- 31 штатним програмним забезпеченням в1зуал!зацн поверхонь засобами комп'ютерно! графой. Встановлено, що найкраще розв'язанню указано!' проблеми вщповщае застосування щей функцюнального програмування, у вщповщносп з яким схема аналггичного моделювання мае вигляд: параметричш р1вняння конгруенци л1н1й- внутр1шне р1вняння поверхш- параметричн1 р1вняння поверхш- внутр1шне р1вняння Л1ш!- параметричш р1вняння Л1ни. Складено нов1 анал1тичн1 та комп'ютерн1 модел1 вщомих поверхонь, запропоновано та дослщжено узгоджен1 конструкгивш, анал1тичн! та комп'ютерш модел1 циклщ Дюпена, циклощальних та сшральних поверхонь. Розроблено рекомендацн

до впровадження результатов дослщження в практику та в учбовий процес.

Ключов1 слова: визначник, внутршне р1вняння, параметричш р1вняння, конгруенвдя, в5зуал1защя.

АННОТАЦИЯ

Зверева С.А. Согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели поверхностей.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01- Прикладная геометрия, инженерная графика. -Донецкий государственный технический университет. Донецк. 2000.

Диссертация посвящена дальнейшему развитию компьютеризации процессов научных исследований и проектирования изделий сложной формы путём разработки новых аналитических моделей их поверхностей, согласованных с одной стороны с конструктивными моделями, а с другой-со штатным программным обеспечением визуализации поверхностей средствами компьютерной графики.

Установлено, что наилучшим образом решению указанной проблемы соответствует использование идей функционального программирования, в соответствии с которым схема аналитического моделирования имеет вид: параметрические уравнения конгруэнций линий- внутреннее уравнение поверхности - параметрические уравнения поверхности- внутреннее уравнение линии - параметрические уравнения линии. Составлены параметрические уравнения конгруэнций прямых, фокальными фигурами которых являются: две скрещивающиеся прямые, прямая и винтовая линия, двойная фокальная винтовая линия (конгруэнция бисекант), сфера и прямая, проходящая через её центр, тор и прямая, совпадающая с его осью. Рассмотрены способы выделения поверхностей из конгруэнций линий: заданием внутреннего уравнения и погружением в конгруэнцию линии, задаваемой параметрическими уравнениями. Как конгруэнции прямых, так и выделяемые из них поверхности, хорошо исследованы синтетическими методами. Согласованные аналитические и компьютерные модели указанных поверхностей получены в работе впервые. На примере циклид Дюпена четвертого порядка показано, что в некоторых случаях приходится согласовывать не только аналитическую модель с компьютерной, но и отыскивать новый определитель поверхности, на основе которого создаются согласованные аналитические и компьютерные модели. Получено уравнение окружности в полярной системе координат, полюс которой отстоит от центра окружности на некотором расстоянии, а полярная ось проходит через центр. Условлено положение внутреннего, внешнего центров подобия и радикальной оси двух окружностей относительно центров каждой из них. Исследована конфигурация из шести окружностей с коллинейными центрами, каждая из которых касается четырёх других. В конфигурацию входят три

пары окружностей, которые не касаются друг друга. Доказана теорема, утверждающая, что радикальная ось любой из пар конфигурации проходит через один из двух центров подобия двух остальных пар. Вторая теорема устанавливает принадлежность прямых, соединяющих точки касания семейства окружностей с окружностями пары, пучку с центром, совпадающим с тем из центров подобия пары, которой принадлежит радикальной оси другой пары, входящей в семейство. На основаниии установленных свойств конфигурации предложены конструктивный определитель циклид четвертого порядка в виде двух пар окружностей, принадлежащих одной конфигурации, при условии поворота на 90° окружностей одной пары вокруг линии их центров. В результате получаем сечения циклид Дюпена четвертого порядка двумя взаимно-перпендикулярными плоскостями симметрии. Полученная таким образом конструктивная модель стала основой для составления новой аналитической модели, сопряженной с входными данными программы визуализации поверхностей.

Предложены новые, последовательно согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели циклических, квазивинтовых, циклоидальных и спиральных поверхностей, выделяемых из конгруэнций соответствующих кривых.

Результаты исследований рекомендуется использовать в автоматизированных системах проектирования и научных исследованиях. Поверхности с особенностями (с ребрами возврата, с линиями самопересечения) рекомендуется применять в теории катастроф. Компьютерные изображения известных поверхностей могут быть использованы как иллюстрации и наглядные пособия к курсам различных ветвей геометрии.

Ключевые слова: определитель, внутреннее уравнение, параметрические уравнения, конгруэнция, визуализация.

ANNOTATION

Zvereyeva Svetlana Alexandrovna. Matched /coordinated constructive, analytical and computer models of surfaces. - Manuscript.

Dissertation on competition learned candidate degree of technical sciences on specaility 05.01.01.- applied geometry, engineering graphic arts. - Donetsk State engineering university. Ukraine. Donetsk , 2000.

It's devoted to the further development of computer scietific processes and complex article designing by working out new analytical models of their surfaces matched, on the one hand, with the constructive models and, on the other hand, with the regular visual software for surfaces visualization with the help of computer graphic arts.

The best way of solving this problem by means of functional programming

has been stated; and accordingly the analytical modeling scheme is as follows: parametric equations of lines congruence - surface internal equation- parametric surface equation -internal line equation- parametric line equation.

New analytical for computer models of known surfaces have been set up; matched, constructive, analytical and computer models of Dupen's eyelid, cycloid and spiral surfaces have been proposed and investigated.

Recommendations for using these investigation results in practice and educational process have been worked out.

Key words: determinant, internal equation, parametric equation, congruence, visualization.

ГОдп.до друку 4.10.2000 р. Формат 60x84 1/16 Пагар - «Эауе»

Цифровый трафаретний друк Ум. друк.арк. 0,9 Обл. ввд.-арк.1,0

Умю друк. арк. 1,0 Тираж 120 екз. Замов № 211

Рекламно-видавниче агенство «Экспресс- типография»

83500, Донецька обл., м. Красноармшськ, Бул. Горького ,51