автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Случайные кубатурные формулы в задачах планирования эксперимента

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МИСОВ Трифон Иванов

СЛУЧАЙНЫЕ КУВАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ В ЗАДАЧАХ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ164542

Санкт-Петербург

2008

Работа выполнена на кафедре статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор ЕРМАКОВ Сергей Михайлович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор СЕДУНОВ Евгений Витальевич

кандидат физико-математических наук, доцент БУРЕ Владимир Мансурович

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Защита состоится МШТа 200_&г вЩЭчасов на заседании

дисертационного совета Д 212 232 51 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр , 28, математико-механический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9

Автореферат разослан «Ь{ » &М$/И.рА 200 6 г

Ученый секретарь ^ Л К Й И М <? ^ 0 м

диссертационного совета ^^Ц^^г Мартыкенко Б К

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Задачи оценивания интегралов методом Монте-Карло, разделения ошибок в регрессионном анализе и построения точных -О-оптимальных планов имеют важное прикладное значение Умение считать эффективно многомерные интегралы помогает в ряде задач любого раздела математики, а выделение систематической погрешности от случайной позволяет оценить с большой точностью качество регрессии. Наибольший интерес представляет третья задача, решение которой известно лишь в ряде частных, причем одномерных, случаев Введенные Кифером и Вольфовицем непрерывные планы экспримента, для которых разработана солидная теория, служат лишь приближениями точных и не отражают ряд свойств расположения точек ^-оптимального плана Поэтому построение эффективных вычислительных процедур приближенного нахождения точных £>-оптимальных планов позволит решать более широкий клас задач Г>-оптимизации, причем в областях большой размерности

Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка эффективных алгоритмов моделирования распределения А2, а также разработка и практическая реализация алгоритмов нахождения точных D-оптимальных планов с его помощью.

Задачи диссертационного исследования.

- составление алгоритма эффективного моделирования распределения А2 во всех его разновидностях (непрерывной, дискретной, обобщенной) и оценка его трудоемкости

- исследование вопроса о нахождении точных £)-оптимальных планов как задача случайного поиска экстремума функции многих переменных, используя обобщенное распределение А2, сравнение с равномерным случайным поиском

- иллюстрация полученных результатов на содержательных примерах

Общая методология исследования. При моделировании

распределения А2 применялись методы обращения, отбора и композиции, а при Р-оптимизации использовалась новая модификация метода случайного поиска

Научная новизна. Удалось построить алгоритм эффективного моделирования распределения А2 в самых общих предположениях Проведен сравнительный анализ его трудоемкости по сравнению с методами, которые до этого применялись, а именно методом отбора в непрерывном случае и методом обращения в дискретном Моделирование обобщенного распределения Д2, а также нахождение точных D-оптимальных планов с его помощью рассматриваются впервые. В частности, впервые найден ¿^-оптимальный план для квадратичной регрессии в единичном двумерном гиперкубе

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы моделирования трех вариантов распределения Д2 реализованы в виде программ, что позволяет решать задачи оценивания интегралов, разделения погрешностей и построения точных D-оптимальных планов в ряде частных случаев

Основные результаты, выносимые на защиту

1 Постановки задач оценивания интегралов, разделения ошибок в регрессионном анализе и построения точных D-оптимальных планов и их решения с помощью распределения Д2

2 Моделирование распределения Д2 в абсолютно непрерывном случае, оценка его трудоемкости и сравнение с методом отбора Моделирование дискретного распределения Д2, оценка его трудоемкости и сопоставление с методами обращения и отбора Моделирование обобщенного распределения Д2 и оценка его сложности

3 Алгоритмическая схема нахождения точного D-оптималыюго плана с помощью распределения Д2 Оценка приближения построенного решения к истинному.

4 Примеры приложения трех вариантов распределения Д2 абсолютно непрерывного - в задаче оценивания интегралов, дискретного - в задаче разделения ошибок, обобщенного - в задаче нахождения точных D-оптимальных планов

Аппробация работы. Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры статистического моделирования Санкт-Петербургского государственного университета Основные результаты докладывались на конференции "5th St Petersburg Workshop on SimulationMB 2005r,

Санкт-Петербург

Публикация результатов. Результаты исследований отражены в работах 1 - 4 В статье 1 соискателю принадлежит лемма 2 о структуре условных плотностей дискретного Д2-распределения и теорема

1 о трудоемкости моделирования с помощью метода предложенного авторами, чистого метода обращения и чистого метода отбора В статье

2 соискателю принадлежат лемма 2 2 и следствие 2 1, выявляющие структуру условных плотностей непрерывного Д2-распределения, лемма 4 2, указывающая способ итеративного нахождения коэффициентов смеси, в виде которой представляются условные плотности, а также лемма 4 1 и теорема 4 1, в которых сосчитаны трудоемкости моделирования с помощью метода предложенного авторами и чистого метода отбора В статье 3 соискателю принадлежит теорема 1 о моделировании Д2-распределения, а также примеры 1, 2 и 3 об оценивании интегралов с помощью случайных кубатурных формул. Остальные результаты в статьях 1,2 и 3 принадлежат соавтору Статья 2 опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации

Структура и объем работы. Работа содержит 98 страниц, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 26 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 содержит постановки задач оценивания интегралов методом Монте-Карло, разделения ошибок в регрессионном анализе и построения точных ¿^-оптимальных планов, а также их известные решения В §1 рассматривается приближенное вычисление интегралов с помощью случайных интерполяционно-кубатурных формул (СИКФ) На 5-мерном множестве X с ст-конечной мерой ¡1 задается набор линейно независимых функций <рг, , (рп, для которых ставится условие точности СИКФ Не уменьшая общности, можно в дальнейшем считать срх, ,<рп ортонормированными в Ь2(Х,ц) Далее, выбирая п точек Х]_. . хп € X согласно непрерывному распределению Д2, имеющему плотность

построенная этим способом СИКФ является несмещенной оценкой исследуемого интеграла с известной дисперсией

В §2 обсуждается задача о разделении ошибок в регрессионном анализе Рассматривается л-мерное множество X = {.Г], , с заданной равномерной мерой ¡1 и стандартная линейная регрессионная модель порядка т

т

= + .7 = 1, ,71, (1)

»=1

где (рх, ,<рт ортонормированы в X и Еег = 0= сг2, соу(ег,е3) = О, г 2 Параметры модели сг оцениваются с помощью метода

наименьших квадратов, а разделение систематической ошибки от случайной производится с помощью рандомизации этих оценок (т е процедуры типа ресемплинг). в точках хч, . х1т вводится дискретное распределение А2 с плотностью

£ А2(гь ,г„

1<Н< <1т<™

где

А(гь ,гт) = ¿еЬ \\р3(хгк)\\™к=1 и строятся случайные величины

/ \ , Ъп

Хг=Хг{Ч, ,гт) = '

с математическим ожиданием, равным соответствующей оценке МНК с,_ Исследуя дисперсию х% в зависимости от количества промоделированных наборов хч, . х,.т и числа измерений, проведенных в каждом из них, удается разделить систематическую погрешность от случайной

В §3 рассматривается задача нахождения точного /^-оптимального плана в стандартной линейной регрессионной модели порядка т с п > т

измерениями (1) Множество планирования X, как и ранее, ¿-мерно, на нем задана мера Лебега ¡л, а набор функций <р\, , (рт, не уменьшая общности, считается ортонормированным В этой работе предлагается новый подход, основанный на проведении случайного поиска в области планирования с помощью обобщенного распределения Л2, имеющего плотность

где с - константа нормировки Обоснованием такого поиска служит тот факт, что плотность Д^ (<3) равна, с точностью до постоянной, определителю информационной матрицы плана эксперимента Поскольку последний при ^-оптимизации максимизируется, задача сводится к нахождению аргумента максимума Д^га(<2) для выборки из генералной совокупности с обобщенным Д2-распределением

В силу того, что распределение Д2 многомерно и зависит от выбора ортонормированной системы функций, его моделирование представляло трудность, в результате которой задачи оценивания интегралов и разделения ошибок исследовались на практике только при очень сильных предположениях относительно множества X и набора <р\, ,1рп Задача нахождения точных ^-оптимальных планов в связи с Д2 не исследовалась Поэтому основной целью этой работы является построение, в самых общих предположениях, эффективного алгоритма моделирования распределения Д2 в трех его вариантах с целью практического решения указанных задач в ряде частных случаев

Глава 2 посвящена построению алгоритма моделирования распределения Д2 в абсолютно непрерывном случае, причем оценивается его трудоемкость и приводятся примеры его применения в задаче вычисления интегралов Не уменьшая общности, будем считать, что <рх, ,<рп образуют ортонормированную систему в Ь2(Х,[1), а /х - мера Лебега или эквивалентная ей В §1 обращается внимание моделированию чистым методом отбора, который предлагался до недавнего времени в литературе как единственный возможный в этой ситуации В §2 его трудоемкость оценена следующей теоремой

Теорема 1 Для трудоемкости Сг моделирования распределения Д2

методом отбора имеет место неравенство

( \2п 1 о ч пп \ тах \ср,(х)\

Сг < ^ - + сп ) ^ ,

где с - средняя сложность однократного вычисления функции <рг, г = 1, п в любой точке х € X Более того, если <рг{х) ^ 0 Ух £ X, г = 1, п, верхнее неравенство превращается в равенство с вероятностью 1

В §3 изложен алгоритм моделирования, основанный на представлении в виде произведения условных плотностей Таким образом, мы сводим задачу моделирования случайного вектора, возможно, большой размерности, к задаче моделирования случайной величины и, более того, именно структура условных плотностей дает возможность упростить процесс

Теорема 2 Условная плотность к-ого порядка рк(хк\х\х1 1) представима в виде

где

к

Теорема утверждает, что условная плотность к-ого порядка представима в виде смеси распределений, причем плотность каждого из них является квадратом определителя А>ого порядка Если разложить его по строке, содержащей моделируемую случайную величину, то оказывается, что коэффициенты этой линейной комбинации считаются итеративно - через те же самые коэффициенты, присутствующие в представлении условной плотности (к — 1)-ого порядка Это позволяет заметно уменьшить

трудоемкость, не требуя прямого вычисления определителя к-ого порядка, а лишь простого пересчета коэффициентов Тем самым любую плотность в смеси можно моделировать эффективно методом отбора Процедура моделирования полностью изложена в §4 и имеет вид

Алгоритм 1 Моделирование Д2-распределения Для к = 1, п

1. Пересчитываем коэффициенты с® i согласно (2)

2 Моделируем дискретное распределение, определяющее смесь

3 Выбрав однозначно набор , гк) моделируем методом отбора то распределение в смеси, которое соответствует этим индексам Таким образом, мы промоделировали хк

В том же §4 оценена трудоемкость Алгоритма 1

Теорема 3 Трудоемкость моделирования А2-распределения

предложенным в Алгоритме 1 методом равна

с = (с-+1п* _ _ 3 + (п + 4)2я"1 + log2Пей) С$0

V к=2 /

В §5 проведено сравнение трудоемкостей Алгоритма 1 и чистого отбора, которое проиллюстрировано в §6 на примере оценивания однократного, двукратного и пятикратного интегралов от нормальной плотности по разным областям При моделировании использованы сначала случайные, а затем и квазислучайные точки, чтобы улучшить скорость сходимости Также показано, что с ростом размерности п моделируемого вектора эффективность Алгоритма 1 по сравнению с отбором возрастает заметно, что отражено в следующей таблице

Глава 3 посвящена построению алгоритма моделирования распределения Д2 в дискретном случае, причем оценивается его трудоемкость и приводятся примеры его применения в задаче разделения погрешностей в регрессионном анализе В §1 и §2 приводятся схемы

п C/R Ratio

2 0,375

3 0,427

4 0,129

5 0,066

6 0,035

( 0,019

8 0,011

9 7Д.10-3

10 3,9.Ю-4

20 5,6.Ю-5

50 1, 26.Ю-9

Таблица 1: Сравнение трудоемкостей метода условных плотностей и метода отбора

моделирования с помощью чистых методов обращения и отбора, соответственно, причем оценены трудоемкости этих процедур.

Теорема 4 Трудоемкость моделирования А2-распределения

относительно дискретной меры цп методом обращения не превосходит

( 2т?3 -\-п I б\

Cinv = In- 1 + nNCv + CnN--у-—) + bg2 CnN,

где C^ - средняя трудоемкость моделирования любой из функций (fi в какой би ни было точке Xj, i,j = 1 ,п.

Теорема 5 Трудоемкость моделирования А2 -распределения

относительно дискретной меры /лп методом отбора не превосходит

Сге:, = п^МЛХГ (^±1 + + 2^^ +10& п

где МАХ = ^пах_а С^ - средняя трудоемкость

моделирования любой из функций (рг в какой би ни было точке х^ г,] — 1, п.

В §3 обсуждается модификация Алгоритма 1 в случае дискретного варианта А2. Оказывается, что условные плотности имеют аналогичную

структуру, позволяющую пересчитывать коэффициенты смесей и миноры определителей итеративно Сложность моделирования в этом случае не превосходит

Cw = М2 - а^п - 3 + (n + 4)2n_1 + log2 YiZl С* + log2 Cft) , где, M — _max_|<а0<^)1> a Cv - средняя трудоемкость моделирования

1=1,п,3=1,N _

любой из функций <рг в какой би ни было точке xJ: г, j = 1, п В §4 проведен сравнительный анализ целесообразности применения методов обращения, отбора и условных плотностей в зависимости от параметров модели п и N, а также от количества промоделированных векторов R

В заключительном §5 Главы 2 приведены примеры на разделения ошибок в одномерных и двумерных областях как при активном, так и при пассивном проведении эксперимента

Глава 4 посвящена построению алгоритма моделирования обобщенного распределения Д2, причем оценивается его трудоемкость и приводятся примеры его применения в задаче построения точных ^-оптимальных планов В §1 вводится плотность обобщенного распределения А2

л 9 /^ч / \ (п — т)]

КЛЯ) = Рп{х 1, , хп) = i-

det

У~]ipk(xi)(pi(xt)

»=1

(3)

к,1=1

и выводится явный вид соответствующих условных плотностей

Теорема 6 Пусть функции <рг,<р2, ,<рт образуют ортонормированную систему в пространстве Ь2(Х,ц), где X - измеримое множество, а ¡л -мера Лебега Обозначим

где "Pn(xi- ,хп) имеет вид (3) Тогда

pn.k(xu ,хп_к) = ^ Е Cbrl Е (det ||^K)||;i9=1)2, (4)

1<ц< <г1<п-к l<jl< <ji<m

и

где ад. = max{0, т — Щ, Ьк = mm{m, п — к}, а под ^det 11<p3p{xlq)| j в случае 1 = 0 понимается число т

Следствие 1 Условные плотности обобщенного распределения А2 Pn-k(xn-k\xi, ,x„-k-i), к = 0,71—1 имеют вид

Е^г Е НкмЫ2

l<«i< <ц<п-к

. , . 1<Í1< <3t<m

Pn—k\%n—k\%li jXn—k — l) = ¡,

Ectrl Е HKMIU)2

l-ük+1 1<«1< <í¡<n-S-l

1<Л< <л<т

В §2 построена модификация Алгоритма 1 для моделирования обобщенного распределения А2 Доказано, что его трудоемкость не может превосходить величину

Cgen = (0(n2) + 0(n22")df' + nlog2CW) С^

В §3 исследован вопрос о погрешности полученного приближения и проведено сравнение с равномерным случайным поиском Вероятность попадания в £-окрестность точного ^-оптимального плана при равномерном поиске не превосходит и' тем самым,

обратно пропорциональна мере множества планирования В свою очередь, вероятность попадания моды выборки из генеральной совокупности с распределением Д2цга в ту же окрестность не превосходит max , что позволяет находить эффективно /^-оптимальные

планы при больших значениях max A2 m(Q)

В §4 сделано замечание о моделировании в области сложного вида Если множество планирования имеет сложную структуру, мы окружаем его другим, в котором можно построить ортонормированную систему функций <pi, , 1рт Затем ищем Г>-оптимальный план в большей области и проверяем его принадлежность начальному множеству

В заключительном §5 Главы 4 приведено множество примеров нахождения точных /^-оптимальных планов с помощью обобщенного распределения А2 Особый интерес представляет найденный впервые точный .О-оптимальный план в двумерной области при рассмотрении квадратичной полиномиальной регрессии

Основные результаты и выводы работы.

1 Построен эффективный алгоритм моделирования распределений А2, в непрерывном и дискретном вариантах, и обобщенного А2 в самых общих предположениях В каждом из трех случаев показано преимущество построенного алгоритма по сравнению с предложенными до этого в литературе Реализованы программы моделирования всех трех указанных распределений

2 Подробно рассмотрено моделирование по отношению к дискретной мере, что позволило разделение систематической от случайной ошибки в регрессионных моделях В работах других авторов вычислительная трудность моделирования не позволяла составить эффективную процедуру

3 Результаты моделирования обобщены на случай, когда число точек п больше числа функций т, что часто случается в регрессионном анализе. Установлена связь между £>-оптимальными планами и максимум выборки из генеральной совокупности, имеющей обобщенное распределение А2, причем оценено приближение полученного решения к истинному Построена модификация случайного поиска, которая позволяет в ряде случаев с большой точностью решать трудную задачу нахождения О-оптимальных планов

4 Приведены содержательные примеры, иллюстрирующие преимущества использования распределения А2 в ряде частных случаях Построен £>-оптимальный план для квадратичной регрессии в двумерном гиперкубе

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Ермаков С М , Мисов Т И , Моделирование А2-распределения,

Вестник С -Петербурского у-та, Серия 1, Вып 4, Изд-во СПбГУ, 2005, с 53-61

2 Ермаков С М , Мисов Т И О методах типа "ресемплинг" в регрессионном анализе, Математические модели Теория и приложения, Вып 6, СПб ВВМ, 2005, с 27-36.

3 Missov Т I, Ermakov S.M , Simulation of the A2-distribution, Proceedings of the 5th St Petersburg Workshop on Simulation, 2005, pp 499-503

4 Missov T I , Integral Evaluation Using the A2-distribution Simulation and Illustration, Monte Carlo Methods and Applications, Vol 13, No 2 (2007), pp. 219-225

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 30.01.08 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 805/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

Глава 1. Задачи, использующие распределение А

1.1 Приближенное вычисление интегралов (задача 1)

1.2 Разделение ошибок в регрессионном анализе (задача 2)

1.3 Нахождение точных D-оптимальных планов (задача 3)

Глава 2. Моделирование распределения А2 в непрерывном случае

2.1 Подходы и известные результаты. Метод отбора.

2.2 Оценка трудоемкости метода отбора.

2.3 Условные плотности как смеси распределений

2.4 Оценка трудоемкости моделирования условных плотностей.

2.5 Сравнение величины трудоемкости методов отбора и условных плотностей

2.6 Примеры вычисления интегралов

Глава 3. Моделирование распределения А2 в дискретном случае

3.1 Подходы и известные результаты. Метод обращения.

3.2 Использование метода отбора.

3.3 Использование условных плотностей

3.4 Сравнение трудоемкостей предложенных методов.

3.5 Примеры разделения ошибок

Глава 4. Моделирование обобщенного распределения А2 и вычисление точных /^-оптимальных планов

4.1 Вид условных плотностей обобщенного Д2-распределения

4.2 Моделирование обобщенного распределения А2 и оценка его трудоемкости

4.3 Качество приближения

4.4 Замечание о моделировании в области сложного вида

4.5 Примеры нахождения D-оптимальных планов

Распределение А2 играет важную роль по крайней мере в трех задачах: уменьшения дисперсии при вычислении интегралов методом Монте-Карло (условимся называть ее в дальнейшем задачей 1), анализа систематической погрешности в регрессионном анализе (задача 2), а также построения точных jD-оптимальных планов в теории планирования эксперимента (задача 3). Первая задача рассматривается подробно в [4], а вторая в работах [4] и [16].

Использование распределения А2 требует его моделирования. Однако, до недавнего времени были предложены методы (в непрерывном случае -метод отбора, а в дискретном - метод обращения), чьи трудоемкости растут очень быстро с ростом п размерности моделируемого вектора. Это обстоятельство создавало значительные трудности при решении задач, в которых п велико.

Целями данной работы являются, во первых, построение эффективных алгортимов моделировния распределения А2 во всех его модификациях -непрерывной, дискретной и обобщенной. Во вторых, проиллюстрировать на важных примерах преимущество использования распределения А2 в задачах 1 и 2. В третьих, рассмотреть неисследованную в контексте А2 задачу 3, получить результаты о близости полученной аппроксимации точного D-оптимального плана и проиллюстрировать предложенную процедуру на примерах. В частности, в двумерной области в случае квадратичной регрессии.

В Главе 1 изложены постановки и известные решения задач 1 и 2, а также исследована задача 3 в контексте обобщенного распределения А2. Главы 2, 3 и 4 посвящены моделированию А2 в непрерывном, дискретном и обобщенном случае, соответственно, причем в каждой из них приводятся содержательные иллюстративные примеры.

Заключение

В этой работе рассмотрено три задачи - задача оценивания интералов (задача 1), задача разделения ошибок в регрессионном анализе (задача 2) и задача нахождения точных 2}-оптимальиых планов (задача 3). Все они допускают решение с помощью распределения А2 в его соотвествующей форме - непрерывной (задача 1), дискретной (задача 2) или обобщенной (задача 3). Обзор известных результатов изложен в пунктах 1.1 и 1.2 Главы 1, а в пункте 1.3 предложен новый подход решения задачи 3, основанный на приближении точного D-оптимального плана с помощью моды выборки из генеральной совокуности с обобщенным А2-распределением. В Главе 2 изложен эффективный алгоритм моделирования A2(Q) основанный на основных плотностях. Важным условием, хоть и не сильно ограничительным, его применения является ортонормированность базисных функций cpi,.,(pn либо в области X, либо в другой области более простой структуры,- содержащей X. По сравнению с чистым отбором, используемым до этого в литературе как единственным в данном случае, метод моделирования условных плотностей менее трудоемкий и позволяет в самой общей постановке задачи моделировать вектора большой размерности. В конце Главы X приведены примеры оценивания кратных интегралов из теории надежности с помощью интерполяционно-кубатурных формул.

В Главах 3 и 4 составлены и исследованы алгоритмы моделирования А2 -распределения в дискретном и обобщенном случае. Они являются лишь модификациями основного алгоритма, изложенного в Главе 2, но в каждой из задач 2 и 3 являются эффективными и также применимыми к широкому классу постановок. В Главе 3 приведены содержательные примеры разделения ошибок, как в одномерной, так и в двумерной области. Рассмотрены случаи и активного и пассивного проведения эксперимента. Один из основных результатов работы связан с нахождением точных D-оптимальных планов с помощью обобщенного распределения А2. Показано, что по сравнению с простейшим случайным поиском эта процедура требует меньшего числа моделируемых точек для попадания в окрестность искомого плана с данной точностью. Среди примеров приближенного вычисления D-оптимальных планов наиболее интересен результат, полученный для квадратичной регрессии в двумерной области.

1. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц, М.: "Наука", 1966, 576с.

2. Ермаков, С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М.: "Наука", 1975, 327с.

3. Ермаков, С.М., Жиглявский, А.А. Математическая теория оптимального эксперимента, М.: "Наука", 1987, 319с.

4. Ермаков, С.М., Золотухин, В.Г. Полиномиальные приближения и метод Монте-Карло , Теория вероятностей и ее применения (1960) 5, №4, с.473-475.

5. Ермаков С.М., Мисов Т.И. Моделирование А2-распределения, Вестник СПбГУ, Вып.4, 2005. с. 123-140.

6. Ермаков С.М., Мисов Т.И. О методах типа "ресемплинг" в регрессионном анализе, Математические модели. Теория и приложения, Вып. 6, СПб.:ВВМ, 2005, с. 27-36.

7. Жиглявский А.А. Математическая теория глобального случайного поиска, Д.: Изд-во ЛГУ, 1985.

8. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума, М.: Наука. 1991.

9. Крамер, Г. Математические методы статистики, М.: "Мир",1975,654с.

10. Мысовских, И.П. Интерполяционные кубатурные формулы, М.: "Наука", 1981, 333с.

11. Подкорытов, А.Н. О свойствах D-оптимальных планов в случае квадратичной регрессии, Вестник СПбГУ, Вып. 2„ No. 7, 1975. с. 163166.

12. Тихомиров А.С. О скорости сходимости однородного марковского монотонного поиска экстремума, Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, том 47 (5), с.817-828.

13. Тихомиров А.С. Об одном сеточном методе поиска экстремума, 2007 (в печати)

14. Федоров, В.В. Теория оптимального эксперимента, М.: "Наука", 1971.

15. Dette Н., Melas V.B., Biederman S. D-optimal designs for trigonometric regression models on a partial circle a functional-algebraic approach, Stat. Prob. Let., 57 (2003), 389-397.

16. Ermakov S.M., Schwabe R. On Randomizing Estimators in Linear Regression Models, Freie Universitaet Berlin Verlag, Serie A Mathematik, 1999, Юр.

17. Fedorov V.V., Hackl P. Model-oriented design of experiments, Springer-Verlag, New York, 1997.

18. Hammersley J.M., Morton K.W. A New Monte Carlo Technique Antithetic Variat.es, Proc. Cambr. Phil. Soc., 1956, 449-474.

19. Hickernell F.J., Wozniakowski H. Integration and approximation in arbitrary dimensions, Adv. in Сотр. Math., 12 (2000), 25-58.

20. Melas V.B. Functional approach to optimal experimental design, Springer-Verlag, New York, 2006.

21. MissovT.I., Ermakov S.M. Simulation of the A2-distribution. The discrete case. Proceedings of the 5th St. Petersburg Workshop on Simulation, 2005. pp. 499-502.

22. Missov T.I. Integral Evaluation Using the A2-distribution. Simulation and Illustration. Monte Carlo Methods and Applications, Vol. 13, No. 2 (2007), pp. 219-225.

23. Novak E., Ritter K. High dimensional integration of smooth functions over cubes, Numer. Math., 75 (1996), 79-97.

24. Pukelsheim F. Optimal designs of experiments, John Wiley & Sons, New York, 1993.

25. Pukelsheim F., Rieder S. Efficient rounding of approximate designs, Biometrika, 79 (1992), 763-770.

26. Wasilkowski G.W. Integration and approximation of multivariate functions: average case complexity with isotropic Wiener measure, Journal of Approximation Theory, 77 (1994), 212-227.