автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Скоростной анализ продолженных волновых полей в двумерных задачах сейсмики

-На правах рукописи

Мерецкий Александр Александрович

СКОРОСТНОЙ АНАЛИЗ ПРОДОЛЖЕННЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ СЕЙСМИКИ

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003064879

Красноярск - 2007

003064879

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет»

Научный руководитель:

доктор физ - мат наук, профессор Киселев Валерий Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физ - мат наук, профессор Садовский Владимир Михайлович

доктор технических наук, доцент Слюсарчук Валентин Федорович

Ведущая организация:

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им А А Трофимука СО РАН (г Новосибирск)

Защита состоится 28 сентября 2007 года в 14 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 099 06 при ФГОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» по адресу 660074, г Красноярск, ул Киренского, 26, Д 501

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Политехнического института ФГОУ ВПО СФУ

Автореферат разослан 27 августа 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор тех наук, доцент БроновСА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке и исследованию математических моделей продолженных в нижнее полупространство сейсмических волновых полей, регистрируемых на дневной поверхности Продолжение волнового поля осуществлено посредством интегрального оператора, предложенного С В Гольдиным Выполнен асимптотический анализ интегрального оператора с целью определения параметров среды продолжения В работе построены вычислительные алгоритмы решения прямой и обратной задач продолжения для однородно-слоистых упругих сред с криволинейными границами раздела Выполнены численные эксперименты по определению интервальных скоростей в сложно построенных сейсмических средах Проведено сравнение с результатами вычисления интервальных скоростей по стандартной для сейсморазведки методике

Актуальность темы. Для изучения геологического строения осадочного чехла и выявления оптимальных участков для глубокого поисково-разведочного бурения на нефть и газ широко используются различные геофизические методы разведки Сейсмический метод отраженных волн (MOB) в ряду других занимает ведущее место благодаря своей более высокой информативности при поисках и разведке месторождений углеводородов

При производственной обработке полевых сейсмических данных успешно используется метод общей глубинной точки (метод ОГТ) Для относительно простых сейсмогеологических условий соответствующий анализ годографов ОГТ позволяет строить как временные, так и глубинные сейсмические разрезы, характеризующиеся достаточной геологической информативностью Однако, адекватный пересчет временных разрезов ОГТ в глубинные разрезы возможен только при знании скоростей распространения сейсмической волны в нижнем полупространстве

Наиболее достоверные определения скоростей получают из результатов сейсмического каротажа (акустического или ультразвукового), проведенного в имеющихся скважинах С другой стороны, скважинные исследования могут дать только некоторое ограниченное число реперных скоростных разрезов, которых всегда недостаточно для решения обратной задачи сейсморазведки Поэтому разрезы интервальных скоростей строят в процессе обработки и анализа сейсмических данных По данным ОГТ это построение осуществляют по известной формуле Дикса, которая, вообще говоря, справедлива только для горизонтально-слоистых сред Если же нижнее полупространство имеет сложное строение отражающие границы заметно наклонны, залегают на больших глубинах, в покрывающей толще имеются высокоскоростные слои (такая ситуация характерна для большинства нефтегазоносных площадей Сибирской платформы), то для вычисления интервальных скоростей необходима дополнительная информация

Такую дополнительную информацию можно извлечь из результатов миграционных преобразований сейсмических волновых полей По своей сути - это продолжение (или пересчет) волнового поля, зарегистрированного на дневной поверхности, в нижнее полупространство

В принципе, существуют пакеты программ, в которых реализованы способы нахождения интервальных скоростей на основе миграционных преобразований сейсмических записей В качестве нулевого приближения задается априорный скоростной закон, с которым осуществляется миграционное преобразование Двух-трех итераций с последовательной корректировкой первоначально заданной модели скоростей бывает достаточно для решения задачи Однако реализация подобных алгоритмов на практике невозможна без использования мощных вычислительных комплексов В связи с этим создание, усовершенствование и оптимизация алгоритмов вычисления интервальных скоростей по сейсмическим записям в настоящее время является одной из актуальных задач сейсморазведки.

Теоретические основы одного из способов осуществления миграции разработал академик С В Гольдин Продолженное в нижнее полупространство волновое поле предложено им вычислять посредством некоторого интегрального преобразования сейсмических данных, зарегистрированных на дневной поверхности Им же получены формулы, связывающие эффективные скорости продолжения с пластовыми (интервальными) скоростями для системы наблюдений с одним источником сейсмических колебаний В свою очередь А А Тузовский разработал алгоритм вычисления эффективных скоростей продолжения волнового поля с использованием подобного интегрального оператора для многократной системы наблюдений Однако, задача вычисления интервальных скоростей для такой системы оставалась нерешенной

Научная проблема определяется необходимостью создания математической модели продолженных в нижнее полупространство сейсмических волновых полей, на основе которой возможно определение интервальных скоростей в двумерных средах

Объектом исследования настоящей работы являются сейсмические волновые поля в двумерных геологических средах

Предмет исследования - эффективная и интервальная скорости распространения продольных сейсмических волн

Цель настоящей работы состояла в разработке математического аппарата для скоростного анализа продолженных волновых полей, построенных с помощью интегрального оператора, применительно к задачам двумерной сейсмики и в создании вычислительных алгоритмов и комплекса программ для оценки интервальных скоростей Для достижения указанной цели в работе поставлены следующие задачи

1 Используя аппарат теории функций Грина, получить аналитические выражения для продолженного поля На основе исследования точек фокусировки продолжения разработать методику для вычисления эффективных скоростей (решить прямую задачу продолжения)

2 Разработать численные алгоритмы и комплекс программ по решению прямой и обратной задач продолжения для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела

3 Выполнить численные эксперименты по решению прямой и обратной задач с использованием синтетических сейсмограмм для некоторых сложно построенных сред

Основная идея диссертационной работы - это нахождение интервальных скоростей распространения продольных волн для слоисто-однородных сред на основе эффективных скоростей миграции

Методы исследования

Теоретические исследования выполнены с использованием математического аппарата функций Грина Фундаментальное решение задачи, поставленной на функции Грина, получено на основе нулевого приближения лучевого ряда Точки фокусировки продолженного поля найдены методом стационарной фазы Расчет производных эйконала произведен по алгоритму, предложенному Л Г Тюриковым и А В Маликом При проведении численных расчетов использовалась кусочно-линейная интерполяция границ раздела сред и аппроксимация сглаживающими сплайнами При решении нелинейного уравнения - нахождения нулей функционала невязки - использовался метод бисекций При выполнении численного моделирования использовались программные продукты обрабатывающей системы РгоМАХ

Научные результаты, выносимые на защиту.

- получены формулы для определения эффективных скоростей продолжения (решение прямой задачи) на основе исследования точек фокусировки продолженного сейсмического поля, представленного в виде четырехмерного интегрального оператора,

- показана единственность решения прямой задачи продолжения для сред с горизонтально-плоскими и криволинейными границами,

- разработаны алгоритмы решения прямой и обратной задач продолжения волнового поля,

Научная новизна представленных в диссертации результатов

1 Интегральный оператор продолжения при помощи аппарата теории функций Грина приведен к виду, удобному для анализа точек фокусировки продолженного поля

2 Получены решения прямой и обратной задач продолжения, те выведены уравнения для вычисления эффективных скоростей сред продолжения и интервальных скоростей

3 Показана единственность решения прямой задачи продолжения поля как для случая с плоскими, так и для случая с криволинейными границами раздела слоев

Значение для теории заключается в дальнейшем развитии метода продолжения волновых полей с использованием интегрального оператора С В Гольдина для систем сейсмических наблюдений, включающих множество источников возбуждений Значение для практики.

• Разработанные алгоритмы программно реализованы на языке С++ и встроены в качестве исполняемых модулей в среду обработки сейсмических данных РгоМАХ, что позволяет изучать пластовые скоростные аномалии в сейсмическом разрезе

• Интервальные скорости, вычисленные на основе разработанных алгоритмов, используются для повышения качества динамической обработки сейсмических данных в ЗАО «Красноярскгеофизика»

Достоверность полученных результатов подтверждена решением прямой и обратной задач продолжения для различных моделей слоистых сред Для горизонтально-слоистых сред решение прямой, а затем обратной задач привели к точному совпадению с исходными скоростными моделями Для сред с криволинейными границами раздела слоев разработанные алгоритмы эффективно выявляют скоростные аномалии Для системы наблюдения с одним источником результаты расчетов на однослойной модели совпали с представленными ранее академиком С В Гольдиным

Личный вклад Все результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично

Материалы диссертационных исследований внедрены и используются в ЗАО «Красноярскгеофизика», г Красноярск, ул Партизана Железняка, дом 24-в На технической базе ЗАО «Красноярскгеофизика» выполнен технико-методический контроль алгоритмов нахождения эффективных скоростей продолжения и интервальных скоростей Разработанный автором программный комплекс применяется при обработке профильных сейсморазведочных данных для выявления скоростных аномалий и при исследовании динамических свойств геологической среды Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на следующих научных конференциях

- III Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Молодежь и наука XXI века» (Красноярск, 2002),

- Студенческая научно-практическая конференция КГУ (Красноярск, 2002, Красноярск, 2003),

- V Всероссийская научно-практическая конференция студентов аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука XXI века» (Красноярск, 2004),

- Международная конференция «Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования» (Ханты-Мансийск, 2005)

- Научный семинар ИВМ СО РАН (Красноярск, 2005, 2006)

Публикации.

По теме диссертации опубликовано семь печатных работ, из них две статьи в изданиях по списку ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех разделов, Заключения Содержит 45 рисунков, два Приложения и библиографический список использованных источников из 65-и наименований Общий объем диссертации - 137 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении отмечено, что, во-первых, для повышения информативности сейсморазведочных работ, проводимых в сложных сейсмогеологических условиях, наряду

с традиционными методами обработки данных используются миграционные преобразования волновых полей Во-вторых, и при обработке данных сейсморазведки методом ОГТ, и при выполнении миграционных преобразований оптимально иметь данные об интервальных скоростях исследуемого разреза С учетом этих обстоятельств определены цели и задачи диссертационной работы

В первом разделе сформулированы прямая и обратная задачи продолжения волнового поля, а также рассмотрены операции построения продолженных полей, которые в дальнейшем использованы для определения интервальных скоростей в слоисто-однородной модели геологической среды В основу теоретических построений положен лучевой метод сейсмики В настоящей работе использовано его нулевое приближение Для простоты рассматривалось поле центральных лучей

Целью решения прямой задачи является построение однородной эффективной модели среды (среды продолжения) для заданного слоисто-однородного разреза с использованием некоторого метода продолжения волновых полей Среда продолжения характеризуется заданной скоростью распространения в ней упругой волны и мощностью слоя до отражающей границы При заданных истинных скоростях К, распространения продольных волн в каждом слое, а также при известном положении истинных границ раздела слоев 51, / = 1, Л'" решение прямой задачи сводится к нахождению эффективных скоростей продолжения V, и положения эффективных границ Целью решения обратной задачи является нахождения параметров слоисто-однородной среды (интервальных скоростей и мощностей слоев) на основе эффективных однородных моделей продолженных полей

Продолженное волновое поле в некоторую точку нижнего полупространства следуя работе С В Гольдина определим в виде интегрального оператора

и<М0,г) = \ \КГ{Иа(1,Р,1 + т(1,Мп)+т(Мп,Р))\сЬ,с1хр , (1)

ММ

где т(/,М0) - эйконал волны в продолженном поле, возбужденной источником, расположенным в точке I, т(М0,Р) - эйконал волны в продолженном поле, возбужденной в точке М0, 1,Р - точки источников и приемников соответственно, непрерывно расположенные по оси Охх, К — некоторая гладкая функция (ядро оператора продолжения), ^ - некоторый непрерывный оператор, действующий по времени г, х1, хР - координаты по оси Од, источников и приемников соответственно, 17в - потенциал продольной волны, регистрируемой в точках приема Р

В произвольной точке М нижнего полупространства потенциал продольной волны и = и(/, М,1) удовлетворяет следующей задаче с нулевыми начальными данными, условиями жесткого контакта на всех границах раздела сред, а также условию затухания на бесконечности

1 Гольдин, С В Интегральные продолжения волновых полей / С В Гольдин // Геология и геофизика - 1985 -№3 -С 103-113

д и-

U(l,M,t) U

1 д2и

V2(M) dt2 ' dU

f{t)ô(M - /),

= 0,

'ди' = 0, dU

дп, s, дп

= 0, £/(/,М,0|г=0=£/0(/,ЛО

Здесь 8(М - /) - дельта-функция Дирака, /(г) - функция источника, [ - скачок при

с ди с

переходе через границу <э,, — - производная по нормали к поверхности Л, в точке

дп,

падения на нее луча, У(м) - скорость распространения продольной волны в произвольной точке М

Потенциал продольной волны, регистрируемой в точках приема - иа{1,Р,1), из задачи (2) с использованием теории функций Грина и нулевого приближения лучевого метода преобразован к двумерному интегралу Подстановка этого интеграла в (1) приводит к следующему выражению для оператора продолжения

1 с(м0,<)= f f KFH<iïl,M,P)x st

(3)

X /' (i + г (/, M0 )+r (M0, P) - r(l, M) - т(м, P^dS^rdXjdXp Здесь в дополнение к уже введенным обозначениям - функция, зависящая от

коэффициентов преломления продольных волн на границах 5", и от относительных геометрических расхождений пучков лучей с вершинами в точках Р и / Штрих у функции / означает дифференцирование по времени, т(],М) и т(М,Р) - эйконалы волны, распространяющейся в реальной среде, а не в среде продолжения

Итак, продолженное поле (1) можно представить в виде четырехмерного интегрального оператора (3) Такое представление удобно для исследования асимптотики продолженного поля

Вообще говоря, поле, зарегистрированное в точках приема, можно преобразовать и без использования функций Грина Для этого согласно нулевому приближению лучевого метода потенциал продольной волны из задачи (2) следует представить в виде

Ua{I,P,t) = UQ{I,P)f(t-T(I,P)) (4)

Подставляя (4) в (1), получаем следующее выражение для интегрального оператора продолжения

w(M0,t)= { \KF{u0(l,p) f(t + т(/,М0)+ t{M0.P)-t(I,P))\dx,cbcp (5) U)IP)

В отличие от (3) в продолженном поле, описываемым формулой (5), нет явной зависимости от точки М, лежащей на отражающей границе Это выражение будет использовано, наряду с (3), для анализа среды продолжения Для определенности, оператор продолжение поля (3) обозначим как PMI, а оператор продолжения (5) обозначим как PI

Основные результаты первого раздела.

1 Рассмотрен интегральный оператор продолжения поля, предложенный С В Гольдиным Продолжение поля осуществлено в однородную среду -эффективную среду продолжения Параметрами этой среды служат эффективная скорость продолжения и мощность слоя

2 Продолжение поля построено двумя способами, в одном из которых оператор продолжения явно зависит от точки M отражающей границы SN (оператор продолжения РМ1 ) В другом способе продолженное поле строится без фиксирования точки на отражающей границе SN (продолжение PI )

3 Используя теорию функций Грина, интегральный оператор продолжения PMI преобразован к виду, удобному для анализа точек фокусировки продолженного поля

Во втором разделе исследованы точки фокусировки продолженного поля для двух способов продолжения Получены аналитические выражения для эффективной скорости продолжения для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела, те решена прямая задача продолжения Рассмотрены частные случаи слоисто-однородная среда с одной отражающей границей и горизонтально-слоистая среда с границами, параллельными дневной поверхности Для частных случаев получены аналитические выражения для решения прямой и обратной задач

Значение продолженного поля (1) в каждой конкретной точке М0 есть интеграл по всем источникам и приемникам, расположенным на дневной поверхности Точками фокусировки продолженного поля будем называть точки, в которых амплитуды продолженного поля (1) достигают своего максимума Точка М0 фиксирована, поэтому максимум (1) может быть достигнут за счет изменения эйконалов г(/,М0) и т(М0,Р),

которые, в свою очередь, зависят от скорости продолжения V Точки фокусировки в продолженном поле можно определить, исследовав высокочастотную асимптотику этого поля методом стационарной фазы Для этого применим к интегральному представлению продолженного поля (3) преобразование Фурье

■Ко

ЩМ0,а>)= J J J KxF{^(l,M,P)x

fXt + f(lMo)+T(M0,P)-T{l,M)-T(M,P))as^}^p(riœt)dxldxPa, где К = К{1, М(ГР) - ядро оператора продолжения, a F - некоторый линейный оператор, действующий по времени

В плоском случае, для того, чтобы продолженное поле имело такую же форму сигнала как исходное поле, зарегистрированное в точках приема, необходимо в качестве оператора F взять оператор дифференцирования Тогда преобразование Фурье (6) можно переписать в виде

-Кю

W(M0,a>)= f J J Кх{\\ф{],М,Р)х (T)

f(t + f(/,M0)+f(M0, P)-t(I, M)-t{M, P))dSN}ехр(-г©t)dx,dxpdt, 9

где /" обозначает вторую производную по времени от функции / В силу того, что все подынтегральные функции считаются непрерывными, а от времени / зависит только функция /, в (7) можно изменить порядок интегрирования После очевидной замены схр(-юЯ) = ехр(- ио(1 + г(/, М0)+ т(М0,Р)~ т(1,М)~ т(м,Р)))х х ехр(- 1т(т(1,М)+т(М,Р)-т(1,М1))- т(М0,Р))) для спектра продолженного поля (7) получаем выражение

Ш{М^(о) = -т2Р{(о)\ \ ЯЧ(1,М,Р,М0)х

{'>!/■}% (8) ехр(-г© (г(/, М)+т(м, Р) - г (/, М0) - т(М0, Р^ОЗ^скр

Здесь Р(т) - спектр функции /, М, Р, М0) = К{1, М0, Р) х ф(/, М, Р)

Для исследования высокочастотной асимптотики (8) воспользуемся методом стационарной фазы На поверхности введем систему координат г,г2 с центром в точке М Система координат г1Мг1 такова, что орт оси является касательным вектором в точке М к поверхности 5Л,, а орт оси гг совпадает с ортом х2 Фазовая функция интеграла (8) в этом случае является функцией координат источника, приемника, и г2

<р = <р(х1,хР,21,21,М0) = т(1,М0) + т{М0,Р)-г(1,М)-г{М,Р) Согласно методу стационарной фазы главный член асимптотики интеграла (8) будет иметь вид

W(M0,a) = F(m)(2x)2 exp

ia)^>(x1,xp,z¡ ,z2,M0) + —sgntp"

xldet^l

m

где (x°,Xp,z¡,Z2,M0) - невырожденная стационарная точка Функция sgn(р1 обозначает разность между числом положительных и отрицательных собственных значений гессиана фазовой функции (р = (p{x¡, хр ,z¡,z2, Мп) Условие стационарности точки (x'¡, х"Р, z,0, z\, М0) означает, что выполнено уравнение V(p = 0 Максимальные значения амплитуд в продолженном поле будут достигаться в точках, в которых det<р"а =0, положение таких точек определяется равенством <р = 0 Последние равенство определяет положение скачка (скачок производной некоторого порядка) в продолженном поле Если среда продолжения совпадает с исходной, то положение скачка совпадает с положением отражающей границы в исходном поле В совокупности эти условия дают систему уравнений

<р = 0 1

v^ = 0 , (9)

det^=oj

из которой можно найти эффективные скорости продолжения Однако, как показали вычисления, решение системы (9) неоднозначно Поэтому было использовано также продолжение PI (формула (5)), для которого была получена система уравнений, аналогичная (9), но с фазовой функцией вида (р = т(1,Р)~ т(1,М0)~ т(М0,Р)

Исходя из предположения, что решение задачи не должно зависеть от способа продолжения, формула для определения эффективной скорости продолжения получена в виде

где Л - расстояние между источником и точкой Мд или между приемником и точкой М0 На центральном луче эти расстояния равны т, и т„ - первая и вторая производные от эйконалов по х,

Для случая с одной отражающей границей (в общем случае криволинейной) легко показать, что эффективная скорость продолжения совпадет с интервальной скоростью, а положение границы в продолженном поле будет точно соответствовать границе исходной среды Для случая горизонтально-слоистой среды выражения для производных от эйконалов существенно упрощаются, что позволяет записать довольно простое уравнение для эффективной скорости продолжения (решение прямой задачи)

Скорость волны в Л" - ом слое (интервальную скорость) можно выразить из формулы (11)

Очевидно, что физический смысл имеют только положительные значения скорости, а значит решение обратной задачи в случае плоских горизонтальных границ единственно Основные результаты второго раздела.

1 Получена высокочастотная асимптотика интегрального оператора продолжения Выведены уравнения на фазовую функцию главного члена асимптотики продолженного поля, определяющие положение точек фокусировки

2 Исходя из системы, определяющей положение точек фокусировки продолженного поля, для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела определены параметры эффективной среды продолжения (эффективная скорость V и длина луча в эффективной среде), т е решена прямая задача продолжения

3 На основе двух способов продолжения ( РМ1 и PI ), выявлено единственно верное решение прямой задачи

4 Рассмотрены частные случаи слоисто-однородных сред с одной отражающей границей и горизонтально-слоистая среда с границами, параллельными дневной поверхности Для таких сред получены явные аналитические выражения для определения эффективной скорости продолжения и решена обратная задача продолжения, т е получены формулы для определения интервальных скоростей на основе эффективных

В третьем разделе диссертации рассмотрено продолжения поля для одной сейсмограммы При этом точки фокусировки продолженного поля связаны с

V =

- R т„ (I, М) + М) + 4тj (/, Р)

2 rf(I,P)

(10)

(П)

(12)

инвариантным лучом, те лучом, подходящим к поверхности наблюдения под прямым углом Такая постановка задачи продиктована работами С В Гольдина

Основные выкладки этого раздела аналогичны выкладкам, представленным во втором разделе

Основные результаты третьего раздела.

1 Выведены уравнения, определяющие положение точек фокусировки продолженного поля для системы наблюдения с одним источником возбуждения

2 Рассмотрены частные случаи слоисто-однородных сред с одной отражающей границей Для таких сред получены явные аналитические выражения для определения эффективной скорости продолжения Полученные при этом результаты совпадают с результатами, представленными С В Гольдиным Необходимо отметить, что даже в случае одной границы, эффективная скорость при продолжении поля по одной сейсмограмме в 42 раз больше истинной скорости в среде

3 Аналитически и результатом численного эксперимента показано, что если входным потоком для оператора продолжения поля является набор данных, полученных от множества источников, то эффективная скорость продолжения, определяющая точку фокусировки в продолженном поле, будет отлична от скорости, полученной по одной сейсмограмме

Это можно объяснить тем, что при продолжении по полному полю фазовая функция в главном члене асимптотики будет зависеть от положения точки возбуждения, что, в свою очередь, вносит дополнительные условия в систему, определяющую точки фокусировки Наложение дополнительных условий меняет положение точки фокусировки В частности, для среды с одной границей скорость продолжения должна совпасть с истинной скоростью

В четвертом разделе диссертации приведены алгоритмы решения прямой и обратной задач Рассмотрено влияние кривизны отражающих границ на результаты решения прямой и обратной задач Приведены результаты численных экспериментов для сред с различными скоростными законами В частности, основной акцент сделан на моделирование сред со скоростными аномалиями

На первом этапе численного моделирования по заданному наперед скоростному закону для слоисто-однородной модели среды с криволинейными границами раздела вычислялись эффективные скорости (решалась прямая задача) Затем, используя полученные в результате решения прямой задачи эффективные скорости, вычислялись интервальные скорости (решалась обратная задача) Результаты решения обратной задачи сравнивались с заданным в начале эксперимента скоростным законом Целью такого сравнения была проверка достоверности полученных теоретических результатов и устойчивости работы программно реализованных алгоритмов

На следующем этапе численного моделирования алгоритм решения обратной задачи был опробован на синтетических сейсмограммах Для этого по заданному закону распределения интервальных скоростей для заранее выбранной слоисто-однородной среды

в пакете РгоМАХ были получены синтетические сейсмограммы по прямолинейному профилю с заданным количеством сейсмоприемников и источников импульсных колебаний По полученным таким образом сейсмическим записям, используя встроенный в РгоМАХ алгоритм, разработанный А А Тузовским, были определены эффективные скорости продолжения волновых полей Далее из полученного разреза эффективных скоростей по алгоритму решения обратной задачи были вычислены интервальные скорости анализируемого разреза, которые сравнивались с исходными интервальными скоростями

Построение алгоритма численного решения прямой задачи основывается на предположении, что имеет место слоисто-однородная среда с N криволинейными, достаточно гладкими границами раздела слоев Для нее, вообще говоря, необходимо построить N однородных эффективных моделей сред продолжения Из формулы (10) следует, что для нахождения эффективной скорости продолжения волнового поля необходимо восстановить лучевую картину, т е проследить траектории нормального луча и найти значения первой и второй производной по х/ (положению приемника на оси Ох]) от эйконала волны

В качестве начальных данных для решения поставленной задачи имеем сеточную функцию - закон изменения интервальных скоростей в слоисто-однородной среде Данная функция представлена в виде таблицы, где каждой точке на профиле (точке ОГТ) соответствует значение скорости по глубине

Сначала рассматриваем первую границу Показано, что в этом случае однородная эффективная модель совпадет с реальной средой, т е можно считать, что первая эффективная модель найдена

Рассмотрим случай с двумя границами Алгоритм решения прямой задачи для этого случая следующий

1 находится нормаль в заданной точке второй границы,

2 строится направляющий вектор этой нормали,

3 строится луч, проходящий во втором слое,

4 находится точка пересечения луча второго слоя с первой границей,

5 находится в этой точке нормаль к границе,

6 строится направляющий вектор луча в первом слое,

7 находится точка выхода луча на дневную поверхность,

8 вычисляется значение производной г, (/, М) = г, (/, М0 ),

9 используя результат построения лучей и известное положение границ, вычисляется значение второй производной ти(1,М),

10 по уравнению (10) вычисляется значение эффективной скорости и соответствующая ей длина эффективного луча,

11 находится соответствующая точка на эффективной границе, каждой такой точке будет соответствовать ее координата ) и эффективная скорость V ,

12 осуществляется возврат к п 1 для расчетов в следующей точке границы Пункты 1-7 этого алгоритма - это построение для каждой точки второй границы восходящего к поверхности нормального луча Для нахождения эффективной скорости по (10) помимо траекторий лучей необходимы значения производных от эйконала волны т,(1,М) и ти(1,М) Значение первой производной z,(LM) (пункт 8 алгоритма)

вычислялось из уравнения эйконала Vt = I/V Так как скорость и единичный направляющий вектор нормального луча в первом слое известны, то очевидно, что

где 1Х - координата по х1 единичного направляющего вектора луча, подходящего к свободной поверхности, 1\ - скорость распространения волны в первом слое Вторую производную эйконала волны тп (/, М) (пункт 9 алгоритма) с учетом того, что лучевая картина построена, можно легко вычислить Пункты 10 -12 в дополнительных комментариях не нуждаются

После завершения расчетов для всех точек второй границы получается эффективная модель для двухслойной среды Продолжая такие же построения для слоисто-однородных моделей с тремя и большим числом границ, можно получить N однородных эффективных моделей, каждая из которых характеризуется эффективной границей и соответствующими этой границе эффективными скоростями В конечном результате получаем скоростной закон для эффективных моделей среды, который можно представить в виде таблицы, где каждой точке на профиле (точке ОГТ) соответствует значение эффективной скорости на определенной глубине

Построение алгоритма численного решения обратной задачи основывается на предположении, что известны N однородных, эффективных моделей среды, т е известно N эффективных границ с соответствующими им эффективными скоростями Необходимо найти соответствующую этим эффективным моделям единственную слоисто-однородную среду Другими словами, необходимо восстановить положение истинных границ и найти интервальные скорости слоев

Будем считать, что известны все параметры среды до границы SN_i, эффективная скорость продолжения VN до границы SN и мощность слоя до эффективной границы в среде продолжения HN Неизвестными являются скорость VN в слое N и мощность этого

слоя ASn

Обратим формулу (10) и выразим из нее гя(/,М)

г»=тг (13)

yNnN

Величина гя(/,М) может быть найдена либо по уравнению (13), либо вычислена по какому-либо известному алгоритму, с учетом того, что лучевая картина построена Рассмотрим функционал невязки

где значение тц(1,М) определено формулой (13), а г„(/,М) вычисляется по алгоритму Тюрикова - Малика2 Нулем этого функционала является искомое значение интервальной скорости

Во втором разделе показано, что интервальная скорость в первом слое совпадает с эффективной, а первая эффективная граница совпадает с первой реальной Поэтому считаем, что параметры первого слоя слоисто-однородной среды восстановлены

Вторая эффективная граница соответствует слоисто-однородной среде с двумя границами 5, и 5'2 Задача состоит в том, чтобы найти скорость У2 и восстановить границу 52 Для этого необходимо

1 взять точку на второй эффективной границе и построить из нее нормальный луч к поверхности наблюдения в точку источника I,

2 из уравнения эйконала вычислить т, (/, М) = г, (/, М0 ),

3 найти длину эффективного луча Н2,

4 по формуле (13) вычислить ти(],М),

5 построить направляющий вектор луча, исходящего из точки I в первом слое реальной среды,

6 найти точку пересечения первого луча и границы ,

7 найти длину луча в первом слое /г,,

8 по известному алгоритму выразить т„ (/, М),

9 найти нуль функционала невязки (14),

10 найти длину луча во втором слое,

11 найти координаты точки второй границы

Выполнив аналогичные построения для всех точек второй эффективной границы, находим координаты всех точек границы 52 Далее рассуждения можно продолжить с тремя и большим числом границ

Функционал (14) может иметь несколько нулей Для решения проблемы единственности численного решения необходимо правильно указать интервал его локализации путем задания соответствующего приближения к точному решению, исходя из априорной информации В нашем случае это было сделано за счет расширения эффективных границ отрезками прямых заданной длины В качестве эффективных скоростей принимались соответствующие крайние значения Таким образом, на полученном расширении имеем случай горизонтально-слоистой среды, для которой решение определяется однозначно, и это решение можно взять в качестве начального приближения для последующей точки

Для проверки достоверности полученных теоретических выкладок и разработанных алгоритмов были поставлены численные эксперименты на различных моделях сред с

2 Тюриков, J1Г Вычисление эффективной скорости в методе ОПТ для изотропных сред с криволинейными границами раздела / JIГ Тюриков, А В Малик // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн Вып 22 -Л Наука, 1982 -С 188-197

15

заданными интервальными скоростями При этом решались как прямая, так и обратная задачи

Для численного моделирования был сформирован один прямолинейный профиль, для которого в дальнейшем задавались различные модели интервальных скоростей Источники импульсных колебаний располагались на расстоянии 50 м друг от друга Каждый ансамбль включал в себя один источник колебаний и 121 сейсмоприемник (канал) Каналы располагались симметрично по обе стороны от источника через 50 м, при этом 61-ый канал каждого ансамбля находился в точке источника Таким образом, длина каждой расстановки составляла 6000 м Длина профиля была выбрана так, чтобы умещала 5 не пересекающихся расстановок по 121 каналу, те составляла около 30 км Общее количество точек ОГТ равнялось 1090, начиная с 61 номера и заканчивая 1150 номером в шкале стоянок

После задания геометрии профиля при помощи стандартных процедур РгоМАХ создавались синтетические сейсмограммы, соответствующие геометрии данного профиля При этом входными данными являлись закон изменения интервальных скоростей, число ансамблей необходимых для расчета, форма сигнала и преобладающая частота сигнала Алгоритм расчета сейсмограмм основан на конечно-разностном решении волнового уравнения

Численное моделирование проведено с четырьмя типами трехслойных моделей сред (скоростных моделей)

а Модель I содержит высокоскоростной второй слой относительно большой мощности,

которая возрастает вдоль профиля b Модель П включает наклонный высокоскоростной второй слой, мощность которого

относительно мала (порядка длины волны) и постоянна вдоль профиля с Модель III представляет собой три слоя с горизонтально залегающими границами раздела и возрастанием интервальной скорости от первого слоя к третьему На границе раздела первого и второго слоев залегают три высокоскоростных цилиндрических тела разных радиусов

d Модель IV представляет собой три слоя с плоскими границами раздела сред, причем каждый слой является горизонтально-градиентной средой Величина градиента увеличивается от слоя к слою и, кроме того, градиент от слоя к слою меняет свой знак

Наибольший практический интерес представляют результаты исследования горизонтально-слоистой модели 1П с цилиндрическими высокоскоростными включениями Ниже представлены некоторые результаты, полученные именно для этой модели

Границы горизонтальных слоев в модели III залегают на глубинах 1000 м и 2000 м Интервальная скорость в первом слое скорость равна 2000 м/с, во втором слое - 3000 м/с, в третьем - 4000 м/с Модель осложнена присутствием трех высокоскоростных цилиндрических тел, лежащих поперек линии профиля с осями на первой границе и имеющих в основании радиусы 300 м, 500 м и 800 м Оси этих тел расположены на расстояниях 9000 м, 15000 м и 21700 м от начала профиля Скорости в этих телах равны

4000 м\с. Эта модель представлена на рисунке I Ось абсцисс - положение точки ОГТ в iiiKiLie стоянок, ось ординат - глубина н метрах.

"Г. IT Т, "T .1 ' MIT'. ГГ, "Г "Г üir Г . т1 . тг lacas rr v'l vr "r,m

Л

""" U tj

Рис. I - Интервальные скорости для модели Ш. Для данной скоростной модели среды были получены синтетические сейсмограммы метода отраженных волн, предполагающие наличие 4К7 источников импульсных колебаний и центральную 121 канальную систему сейсмических приемнйков. По полуденным сейсмограммам, используя алгоритм, разработанный A.A. Тузовским, и средства РгоМЛХ, проведен спектральный анатт на предмет определения 1ффективных Скоростей продолжении

Полученные эффективные скорости продолжения при помощи разработанного алгоритма решения обратной 1ядачи были пересчитаны в интервальные скорости (рис. 2}. На рисунке 1 ось абсцисс ото положения точек 01 Г н шкале стоянок, по оси ординат -глубина в метрах. Можно отметить, что полученные интервальные скорости первого и второго Фюев соответствуют заданной модели. Видно также, что высокоскоростные цилиндрические объекты отчетливо проявили себя в скорост ном ноле, хота и в несколько искаженном виде.

I "Г .1" Т , *7J "Т* »** , q.. «р., iIt*. ^

Рие. 2 - Интервальные скорости, полученные со спектров эффективных скоростей продолжения, модель III

Далее при помощи средств РшМАХ были подобраны скорости ОГТ, обеспечивающие наилучшую синфазностъ свд-цайа при суммировании по общей точке отражении. Полученные скорости суммирования были использованы для вычисления кинематических поправок, с использованием которых был построен временной разрез. Высокоскоростные цилиндрический включения на временном разрезе проявили себя скорее как линзы выпуклые вверх. Дополнительно к этому картина на временном разрезе сильно осложнена наличием фиктивных отражающих границ.

Скорости суммирования ОГТ при помощи средств РгоМЛХ были пересчитаны в интервальные скорости по формуле Дикса. Результат и координатах «точка 01 Г Глубина» представлен на рисунке 3, из которого видно, что. во-первых, первая граница раздела размыта а скорое] ь во втором слое нарастает с глубиной. Во-вторых, если верхняя граница цилиндрических высокоскоростных включений прослеживается достаточно четко, ТО этого нельзя сказать о нижней границе этих тел.

Сравнение результата решения обратной задачи с разрезом интервальных скоростей, построенным с использованием преобразования Дикса. показывает эффективность разработанных математических и программных средств на предме] выявления локальных высокоскоростных включений в геологическом разрезе.

Рис. 3 - Интервальные скорости, полученные из скоростей ОГТ путем преобразования Дикса. модель Ш.

Основные результаты четвертого разделе.

I. Разработаны алгоритмы численного решения прямой и обратной задач продолжения волновых полей. 'Эти алгоритмы программно реализованы па языке С++ и встроены в качестве исполняемых модулей в среду обработки сейсмических данных РгоМЛХ.

7. Исследованы зависимости решений прямой и обратной задач от кривизны отражающей границы да я случая двуслойной среды. 11 оказано, что в них решениях присутствует сингулярность^ приуроченная к некоторому малому значению кривизны границы, Отмечено, что такого рода сингулярности могут, в принципе, возникать при аппроксимации границ кубическими сплайнами, При

18

появлении в результате счета аномально высоких или отрицательных значений эффективных и интервальных скоростей кубическую аппроксимацию границы следует заменить кусочно-линейной интерполяцией

3 Выполнены численные эксперименты с четырьмя типами трехслойных моделей сред с заданными скоростными законами Эксперименты включали в себя

• построение глубинного разреза эффективных скоростей продолжения по заданным интервальным скоростям (решение прямой задачи продолжения),

• построение глубинного разреза интервальных скоростей по вычисленным эффективным скоростям (решение обратной задачи продолжения),

• расчет синтетических сейсмограмм для заданных сред с использованием программных средств РгоМАХ,

• вычисление эффективных скоростей продолжения по сейсмограммам по алгоритму, разработанному А А Тузовским и встроенному в РгоМАХ,

• построение глубинного разреза интервальных скоростей по эффективным скоростям, полученным с использованием алгоритма Тузовского,

• вычисление эффективных скоростей ОГТ, построение временных разрезов ОГТ и разрезов интервальных скоростей с использованием преобразования Дикса,

• построение глубинной миграции Кирхгофа

4 Результаты численных экспериментов продемонстрировали, с одной стороны, достоверность теоретических построений, положенных в основу разработанных алгоритмов С другой стороны, эти результаты свидетельствуют также о том, что путем решения обратной задачи продолжения удается достаточно эффективно выявлять высокоскоростные аномалии в нижнем полупространстве

В Заключении отмечены ключевые моменты диссертационной работы и сформулированы основные результаты диссертации, которые приведены ниже

1 Интегральный оператор продолжения сейсмического поля с использованием аппарата теории функций Грина представлен в виде четырехмерного интегрального оператора, что позволило получить его высокочастотную асимптотику Выведены уравнения на фазовую функцию главного члена асимптотики продолженного поля, определяющие положения точек фокусировки

2 Из системы уравнений, определяющей положения точек фокусировки продолженного поля, получено решение прямой задачи продолжения для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела, т е определены эффективная скорость и положение эффективной границы

3 Из сравнения результатов решений прямой задачи для двух способов продолжения поля (первый - продолжение PMJ, второй —PI) выявлено единственно верное решение

4 Для частных случаев слоисто-однородных сред с одной отражающей границей и с несколькими границами, параллельными дневной поверхности, получены аналитические решения прямой и обратной задач продолжения

5 Построены алгоритмы вычисления эффективных скоростей продолжения по заданному скоростному закону (решение прямой задачи) и определения интервальных скоростей и положения границ раздела слоев (решение обратной задачи) Разработанные алгоритмы программно реализованы на языке С++ и встроены в качестве исполняемых модулей в среду обработки сейсмических данных РгоМАХ

6 Исследована зависимость решений прямой и обратной задач от кривизны отражающей границы

7 Выполнены численные эксперименты с трехслойными моделями сред, одна из которых содержала локальные высокоскоростные включения Результаты этих экспериментов свидетельствуют, во-первых, о достоверности теоретических построений, положенных в основу созданных алгоритмов Во-вторых, сравнение глубинных скоростных разрезов, построенных по разработанному алгоритму и по формуле Дикса, показало, что заданные высокоскоростные объекты с большей надежностью можно выделить именно на разрезе интервальных скоростей, полученному в результате решения обратной задачи продолжения

Дальнейшее развитие исследований, начатых в диссертационной работе, состоит в создании программного комплекса по интерактивному анализу скоростей продолжения в совокупности с расчетом интервальных скоростей на основе алгоритма, разработанного А А Тузовским и алгоритма решения обратной задачи, представленного в диссертации Последующие теоретические разработки, очевидно, необходимо связать с исследованием данных трехмерной сейсмики

Автор выражает глубокую признательность А А Тузовскому за постановку задачи и научные консультации, академику |С В Гольдину| за внимание к работе, директору Института естественных и гуманитарных наук профессору В А Сапожникову, профессору кафедры вычислительных и информационных технологий В Е Распопову, генеральному директору ЗАО «Красноярскгеофизика» В А Позднякову и сотрудникам ЗАО, в частности Г В Иванову, |Б И Музыченко|, Д В Сафонову, В В Шиликову за полезные обсуждения и советы Благодарю своего научного руководителя профессора В М Киселева за постоянное внимание к работе

Список работ автора по теме диссертации

По списку ВАК

1 Мерецкий, А А Скоростной анализ продолженных полей по сейсмическим данным / А А Мерецкий, А А Тузовский // Вестник Красноярского государственного университета (физико-математические науки) -2004 - №5 - С 49-61

2 Тузовский, А А Численное решение обратной задачи продолжения сейсмического поля / А А Тузовский, А А Мерецкий, В М Киселев // Вестник Красноярского государственного университета (физико-математические науки) -2005 - №7 - С 114 - 122

В других изданиях:

3 Мерецкий, А А Анализ интегральных операторов продолжения волновых полей в задачах сейсмики / А А Мерецкий, А А Тузовский // Вестник университетского

комплекса, сборник научных трудов ВСФ РГУ ИТП НИИ СУВПТ - Красноярск НИИ СУВПТ -2004 -С 200-226

4 Мерецкий, А А Скоростной анализ в задачах продолжения полей / А А Мерецкий // Материалы Ш Международной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Молодежь и наука XXI века» - Красноярск КГПУ - 2002 - С 8

5 Мерецкий, А А Скоростной анализ продолженных полей / А А Мерецкий, А А Тузовский // Вестник НИИ СУВПТ «Интеллектуальные технологии и адаптация» / Сб научных трудов под общей редакцией проф Н В Василенко - Красноярск НИИ СУВПТ -2002 - С 127-153

6 Мерецкий, А А Анализ интегральных операторов продолжения волновых полей / А А Мерецкий // Сборник тезисов докладов УП Всероссийской научной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М Ф Решетнева - Красноярск СибГАУ - 2003 - С 248 - 249

7 Мерецкий, А А Анализ интегральных операторов продолжения сейсмических волновых полей / А А Мерецкий // Материалы V Всероссийской научно-практической конференции студентов аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука XXI века» -Красноярск КГПУ -2004 - С 14

Мерецкий Александр Александрович Скоростной анализ продолженных волновых полей в двумерных задачах сейсмики Автореф дисс на соискание ученой степени кандидата физ -мат наук Подписано в печать 20 08 2007 Заказ № 20 Формат 60x90/16 Уел печ л 1 Тираж 100 экз Политехнический институт Сибирского федерального университета

ВВЕДЕНИЕ.

1 Продолжение волновых полей посредством интегральных операторов.

1.1 Постановка прямой и обратной задачи продолжения.

1.2 Интегральное представление продолженного поля с использованием функций Грина.

Выводы.

2 Асимптотический анализ операторов продолжения для определения параметров эффективной среды.

2.1 Исследование точек фокусировки.

2.2 Определение эффективной скорости продолжения для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела.

2.3 Нахождение интервальной скорости в случае однородной среды с одной отражающей границей.

2.4 Нахождение интервальных скоростей в случае горизонтально-слоистой среды с плоскими границами.

Выводы.

3 Продолжение поля для системы наблюдений с одним источником.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Интегральное представление продолженного поля с использованием функций Грина.

3.3 Исследование точек фокусировки.

3.4 Определение эффективной скорости продолжения для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела.

3.5 Эффективная скорость продолжения для частных случаев однослойных сред.

3.6 Моделирование зависимости эффективной скорости от числа источников возбуждения.

Выводы.

4 Численное решение обратной задачи.

4.1 Предварительные замечания.

4.2 Алгоритм решения прямой задачи.

4.3 Алгоритм решения обратной задачи.

4.4 Оценки влияния кривизны границ на скорости распространения волны.

4.5 Результаты численного моделирования для полной системы наблюдений 90 Выводы.

Объектом исследования настоящей работы являются сейсмические волновые поля в двумерных задачах сейсмики. Определяется взаимосвязь между эффективной скоростью продолжения волновых полей и интервальной скоростью слоисто-однородных сред.

Актуальность задачи. Для изучения геологического строения осадочного чехла и выявления оптимальных участков для глубокого поисково-разведочного бурения на нефть и газ широко используются различные геофизические методы разведки. Сейсмический метод отраженных волн (MOB) в ряду других занимает ведущее место благодаря своей более высокой информативности при поисках и разведке месторождений углеводородов. Непрерывное усовершенствование и усложнение методики и техники сейсморазведочных работ и обработки полученных материалов производятся для повышения надежности и достоверности выделения и прослеживания сейсмических волн, отраженных от границ раздела слоев в осадочной толще, для повышения глубинности исследований и точности структурных построений. Анализ динамических особенностей регистрируемых волн при достаточной точности определения скоростей их распространения в отдельных пластах осадочной толщи позволяет в ряде случаев судить об изменении литологии разреза и о характере насыщенности порового пространства пород-коллекторов.

За более чем полувековую историю развития сейсморазведки MOB создана теоретическая база этого метода и разработаны достаточно эффективные технологии проведения полевых работ и обработки получаемых сейсмических записей. Повсеместно используются многоканальные сейсмические станции. В процессе обработки для подавления волн-помех и выявления полезных волн применяется метод многократного перекрытия, когда производится суммирование большого числа записей сейсмических волн, отраженных от заданной точки (малой площадки) границы. Метод общей глубинной точки (метод ОГТ) успешно используется при производственной обработке полевых сейсмических данных. Для относительно простых сейсмогеологических условий (горизонтально-слоистые среды, не очень большие глубины залегания отражающих границ, отсутствие инверсий скоростей и т.д.) соответствующий анализ годографов ОГТ позволяет строить как временные, так и глубинные сейсмические разрезы, характеризующиеся достаточной геологической информативностью.

Ситуация кардинально меняется, если нижнее полупространство имеет сложное физико-геологическое строение: отражающие границы заметно наклонны, залегают на глубинах до нескольких тысяч метров, в покрывающей толще имеются высокоскоростные слои. В частности, однократные волны, отраженные от глубоких границ раздела, по своей интенсивности бывают соизмеримы, а иногда и слабее многократно отраженных волн от менее глубоких границ. Годограф волны, отраженной от глубоких горизонтов, зачастую отличен от классической гиперболической формы, его аппроксимация приводит к неизбежным дополнительным ошибкам. Такая ситуация характерна для большинства нефтегазоносных площадей Сибирской платформы. Месторождения углеводородов зачастую приурочены к глубоко залегающим вендским и рифейским отложениям, а в покрывающих эти отложения толщах повсеместно встречаются дизъюнктивные нарушения и высокоскоростные пласты интрузий (траппы). В этих условиях использование любой дополнительной информации, которую можно извлечь из полевых сейсмических записей и присовокупить к результатам обработки методом ОГТ, представляется не лишним.

Такую дополнительную информацию можно получить путем так называемых миграционных преобразований сейсмических волновых полей. Сущность этих преобразований заключается в сжатии во времени и пространстве динамического годографа во всплеск в заданной точке временного разреза с амплитудой, пропорциональной рассеивающей способности точки. В этой связи миграционные преобразования называют также дифракционными или фокусирующими преобразованиями. По своей сути - это продолжение (или пересчет) волнового поля, зарегистрированного на дневной поверхности, в точку его возбуждения. В результате выполнения миграционных преобразований можно отследить особенности волнового поля исследуемой геологической среды, что само по себе представляет практический интерес. В частности, при помощи процедур миграции можно оценить реальные значения амплитуд волнового поля [34], что в свою очередь используется при прямом поиске месторождений углеводородов - поисках пластов коллекторов, классификации газовых песков, оценке насыщенности флюидами и т.д. [33]. Однако построение мигрированных разрезов (так же как и построение разрезов ОГТ) требует знания скоростей распространения волн. Для построения временных разрезов миграции можно использовать так называемые эффективные скорости, являющиеся интегральной характеристикой покрывающей толщи. Для построения же глубинного разреза необходимо знание интервальных или, по крайней мере, средних скоростей.

Наиболее достоверные определения интервальной скорости получают из результатов сейсмического каротажа (акустического или ультразвукового). Однако скважинные исследования, в лучшем случае, могут дать только некоторое ограниченное число реперных скоростных разрезов, которых всегда недостаточно для решения обратной задачи сейсморазведки. Поэтому скоростные разрезы строят в процессе обработки и анализа сейсмических данных.

В алгоритмах миграции, которые широко применяются на практике, эффективные или интервальные скорости, представляют собой априорно заданную информацию. В принципе, существуют пакеты программ, в которых реализованы способы нахождения интервальных скоростей на основе миграционных преобразований не суммированных сейсмических записей. В качестве нулевого приближения задается априорный скоростной закон, с которым осуществляется миграционное преобразование. Двух-трех итераций с последовательной корректировкой первоначально заданной модели скоростей, которая обеспечивает максимальную когерентность мигрированного разреза, оказывается достаточно для решения задачи. Однако подобные алгоритмы требуют больших объемов памяти и процессорного времени. Поэтому использование подобных процедур на практике предполагает мощные вычислительные комплексы. Кроме того, сами пакеты таких программ довольно дорогостоящие. В связи с этим создание, усовершенствование и оптимизация алгоритмов вычисления скоростей, в частности интервальных скоростей, в настоящее время является одной из актуальных задач сейсморазведки.

Идея дифракционного или миграционного преобразования записей сейсмических полей впервые была четко сформулирована Ю.В. Тимошиным в 1960 году [54], задолго до появления аналогичных публикаций за рубежом. Им было введено представление о сейсмическом поле как о суперпозиции дифрагированных волн и о среде как о совокупности точек дифракции. Тогда же в начале 70-х годов, Ю.В. Тарасовым и Л.А. Рябинкиным были сформулированы и экспериментально подтверждены принципы фокусирующих преобразований [53]. Г.И. Петрашенем и С.А. Нахамкиным [50] введено представление об обращенном продолжении сейсмического поля как об инструменте восстановления поля в среде в момент его возникновения в точках дифракции, вскрыта роль фундаментальных законов распространения волн как теоретической основы продолжения волновых полей. В этот же период первые значительные теоретические и алгоритмические разработки в области миграции были сделаны за рубежом Дж. Клербаутом [16, 41], который обосновал способ обращенного продолжения поля путем конечно-разностного решения упрощенного волнового уравнения в подвижной системе координат.

Существуют разные способы построения мигрированного разреза, различаются они способом пересчета (продолжения) поля. Можно выделить основные способы миграции, получившие практическое распространение. К их числу относится миграция фазового сдвига, т.е. последовательный пошаговый пересчет волнового поля в пространстве частота - волновое число [2, 4, 6, 7, 26]. Затем, конечно-разностная миграция, где решается волновое уравнение конечно-разностными методами. Для упрощения скалярного волнового уравнения могут использоваться допущения с разными уровнями точности для наклонов границ раздела [8, 11-14, 18, 19, 25]. Широкое распространение получила миграция Кирхгофа, в которой используется интегральное решение скалярного волнового уравнения, описанное Шнейдером [24]. Миграция Кирхгофа может осуществляться и во временном, и в глубинном вариантах [3, 5, 23, 27, 28]. Временная миграция Кирхгофа аналитически рассчитывает времена пробега волн из поля скоростей Уогг(х,{), которое может изменяться как по времени, так и по латерали. Учет латеральных вариаций скоростей также приблизителен, как и в любой временной миграции. В глубинном варианте с помощью миграции рассчитывают времена пробега волн, исходя из скоростной модели, используя трассировку лучей или решая уравнение эйконала.

Одной из областей применения миграционных преобразований является построение изображения рассеивающих объектов, используя дифференцируемые по углам наклона волновые поля (селективные изображения). При этом, возможно изображать не только объекты, практически не различимые обычными приемами сейсморазведки, но и выявлять в них нарушения сплошности [51, 52]. На основе анализа селективных изображений возможно трассирование разломов и зон выклинивания осадочных отложений [22].

Теоретические основы одного из способов осуществления миграции представлены в работе C.B. Гольдина [36]. Продолженное в нижнее полупространство волновое поле предложено вычислять посредством некоторого интегрального преобразования сейсмических данных, зарегистрированных на дневной поверхности. В работе C.B. Гольдина [35], посвященной двумерным волновым полям, доказано, что при соответствующем выборе ядра интегрального оператора, продолженное поле обладает кинематической и амплитудной эквивалентностью. Первое означает, что продолженное поле удовлетворяет законам геометрической сейсмики, и его скоростные характеристики соответствуют скоростным характеристикам волнового поля, зарегистрированного в точках приема. Амплитудная эквивалентность означает, что изменение амплитуды волны продолженного поля соответствует изменению амплитуды нулевого члена лучевого ряда. Форма сигнала при продолжении поля сохраняется.

Наряду с кинематическими характеристиками продолженных полей большое значение при восстановлении свойств среды имеют динамические характеристики свойств таких полей [31]. В работах [32, 55, 56, 59, 60] показана возможность применения динамических характеристик продолженных полей для восстановления коэффициентов отражения.

А.А. Тузовский [58] разработал алгоритм продолжения волнового поля с использованием интегрального оператора для построения эффективных скоростей миграции. Суть данного алгоритма заключается в спектральном анализе продолженного поля. Для этого, по исходным сейсмограммам в каждой точке анализа строится продолжение поля с некоторым постоянным скоростным законом. Полученные в каждой точке наборы сейсмограмм суммируются специальным образом, итогом такого суммирования являются скоростные спектры, определяющие эффективные скорости миграции.

Однако очевидно, что возможности математического аппарата продолжения поля при помощи интегральных операторов далеко не исчерпаны. В первую очередь это касается анализа интервальных скоростей распространения волн. Необходимость и важность построения скоростного закона исследуемой среды на основе сейсмических данных, полученных на дневной поверхности, сомнений не вызывает.

Представляется, что логическим продолжением работ А.А. Тузовского должно быть построение алгоритмов нахождения интервальных скоростей на основе эффективных скоростей миграции.

Научная проблема определяется необходимостью создания математической модели продолженных в нижнее полупространство сейсмических волновых полей, на основе которой возможно определение интервальных скоростей в двумерных средах.

Объектом исследования настоящей работы являются сейсмические волновые поля в двумерных геологических средах.

Предмет исследования - эффективная и интервальная скорости распространения продольных сейсмических волн.

Цель настоящей работы состояла в разработке математического аппарата для скоростного анализа продолженных волновых полей, построенных с помощью интегрального оператора, применительно к задачам двумерной сейсмики и в создании вычислительных алгоритмов и комплекса программ для оценки интервальных скоростей. Для достижения указанных целей в работе поставлены следующие задачи:

• Используя аппарат теории функций Грина, получить аналитические выражения для продолженного поля. На основе исследования точек фокусировки продолжения разработать методику для вычисления эффективных скоростей (решить прямую задачу продолжения).

• Разработать численные алгоритмы и комплекс программ по решению прямой и обратной задач продолжения для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела.

• Выполнить численные эксперименты по решению прямой и обратной задач с использованием синтетических сейсмограмм для некоторых сложно построенных сред.

Основная идея диссертационной работы - это нахождение интервальных скоростей распространения продольных волн для слоисто-однородных сред на основе эффективных скоростей миграции. Методы исследования.

Теоретические исследования выполнены с использованием математического аппарата функций Грина. Фундаментальное решение задачи, поставленной на функции Грина, получено на основе нулевого приближения лучевого ряда.

Точки фокусировки продолженного поля найдены методом стационарной фазы.

Расчет производных эйконала произведен по алгоритму, изложенному в [62]. Смешанные производные эйконала вычислялись по формулам из работы [39].

При проведении численных расчетов использовалась кусочно-линейная интерполяция границ раздела сред и аппроксимация сглаживающими сплайнами. При решении нелинейного уравнения -нахождения нулей функционала невязки - использовался метод бисекций.

При выполнении численного моделирования использовались программные продукты обрабатывающей системы РгоМАХ.

Научные результаты, выносимые на защиту.

- получены формулы для определения эффективных скоростей продолжения (решение прямой задачи) на основе исследования точек фокусировки продолженного сейсмического поля, представленного в виде четырехмерного интегрального оператора;

- показана единственность решения прямой задачи продолжения для сред с горизонтально-плоскими и криволинейными границами;

- разработаны алгоритмы решения прямой и обратной задач продолжения волнового поля;

Научная новизна, представленных в диссертации результатов:

• Интегральный оператор продолжения при помощи аппарата теории функций Грина приведен к виду, удобному для анализа точек фокусировки продолженного поля.

• Получены решения прямой и обратной задач продолжения, т.е. выведены уравнения для вычисления эффективных скоростей сред продолжения и интервальных скоростей.

• Показана единственность решения прямой задачи продолжения поля как для случая с плоскими, так и для случая с криволинейными границами раздела слоев.

Значение для теории заключается в дальнейшем развитии метода продолжения волновых полей с использованием интегрального оператора C.B. Гольдина для систем сейсмических наблюдений, включающих множество источников возбуждений. Значение для практики.

• Разработанные алгоритмы программно реализованы на языке С++ и встроены в качестве исполняемых модулей в среду обработки сейсмических данных РгоМАХ, что позволяет изучать пластовые скоростные аномалии в сейсмическом разрезе.

• Интервальные скорости, вычисленные на основе разработанных алгоритмов, используются для повышения качества динамической обработки сейсмических данных в ЗАО «Красноярскгеофизика». Достоверность полученных результатов подтверждена решением прямой и обратной задач продолжения для различных моделей слоистых сред. Для горизонтально-слоистых сред решение прямой, а затем обратной задач привели к точному совпадению с исходными скоростными моделями. Для сред с криволинейными границами раздела слоев разработанные алгоритмы эффективно выявляют скоростные аномалии. Для системы наблюдения с одним источником результаты расчетов на однослойной модели совпали с представленными ранее академиком C.B. Гольдиным.

Личный вклад. Все результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично.

Материалы диссертационных исследований внедрены и используются в ЗАО «Красноярскгеофизика», г. Красноярск, ул. Партизана Железняка, дом 24-в. На технической базе ЗАО «Красноярскгеофизика» выполнен технико-методический контроль алгоритмов нахождения эффективных скоростей продолжения и интервальных скоростей. Разработанный автором программный комплекс применяется при обработке профильных сейсморазведочных данных для выявления скоростных аномалий и при исследовании динамических свойств геологической среды. Апробация работы.

Основные результаты исследований, были представлены и обсуждены на пяти научных конференциях: III Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Молодежь и наука XXI века» (Красноярск, 2002), Студенческая научно-практическая конференция КГУ (Красноярск, 2002, Красноярск, 2003), V Всероссийская научно-практическая конференция студентов аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука XXI века» (Красноярск, 2004), Международная конференция «Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования» (Ханты-Мансийск, 2005)

Публикации.

По теме диссертации опубликовано семь печатных работ, из них две статьи в изданиях по списку ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех разделов, Заключения. Содержит 45 рисунков, два Приложения и библиографический список использованных источников из 65-и наименований. Общий объем диссертации - 13/страниц.

Основные результаты, представленные в этом разделе, изложены в работах [46, 61].

Заключение

Исследования, выполненные в рамках настоящей диссертационной работы, посвящены решению одной из актуальных задач сейсморазведки -задачи определения скоростного разреза по сейсмическим записям, полученным на дневной поверхности. Важность решения этой задачи продиктована тем обстоятельством, что, как правило, данных акустического каротажа всегда недостаточно для обеспечения качественной и однозначной обработки и интерпретации сейсморазведочных данных. Ситуация в этом плане становится критической в условиях сложного геологического разреза, характеризующегося криволинейными границами раздела слоев, большими углами их падения, инверсиями пластовых скоростей и другими особенностями. Если временной сейсмический разрез методом ОГТ еще можно в этих условиях построить, формируя соответствующие графы обработки, то пересчитать его в глубинный разрез без надежно определенных интервальных скоростей весьма затруднительно.

В настоящей работе интервальные скорости предложено вычислять на основе анализа продолженных волновых полей, построенных с помощью интегрального оператора C.B. Гольдина.

Интегральный оператор продолжения PMI преобразован с использованием функций Грина и затем методом стационарной фазы получена его высокочастотная асимптотика. Выведены уравнения на фазовую функцию главного члена асимптотики продолженного поля, определяющие положения точек фокусировки. Полученные уравнения позволяют решить как прямую задачу продолжения поля (по заданному скоростному разрезу вычислить эффективные скорости продолжения), так и обратную задачу, т.е. по эффективным скоростям восстановить скоростной разрез. В этих уравнениях присутствуют, в частности, вторые производные от эйконала, для вычисления которых предложено воспользоваться алгоритмом, разработанным Л.Г. Тюриковым и A.B. Маликом (Приложение 1).

Для слоисто-однородных сред с криволинейными границами решение прямой задачи приводит к квадратному уравнению на эффективную скорость. Для выяснения вопроса о том, какой из корней этого уравнения следует выбрать в качестве истинного решения, с помощью того же интегрального оператора C.B. Гольдина было построено продолжение поля непосредственно без учета точки на отражающей границе (продолжение PI). Для построения такого продолжения использование аппарата теории функций Грина не требуется. В этом смысле решение задачи продолжения PI выглядит значительно проще по сравнению продолжением поля PMI. Однако анализировать такое поле гораздо сложнее из-за проблем, связанных с вычислением производных эйконала без учета промежуточной точки на отражающей границе.

Решение прямой задачи с использованием продолжения Р1 привело к трем выражениям для эффективной скорости, одно из которых совпало с одним из решений продолжения PMI. Таким образом, исходя из предположения о независимости эффективной скорости от способа продолжения, было определено ее истинное значение.

Полученные решения прямой задачи выведены для так называемой полной системы наблюдений, включающей в себя все множество источников возбуждения. Естественно представляло интерес решить задачу продолжения для системы с одним источником возбуждения, т.е. для одной сейсмограммы общего пункта взрыва. Результаты расчетов для случая с одной границей совпали с решением, полученным C.B. Гольдиным.

Для частных случаев слоисто-однородных сред с одной криволинейной отражающей границей и с несколькими отражающими границами, параллельными дневной поверхности, прямая и обратная задачи продолжения имеют аналитические решения в силу простых выражений для производных от эйконала. Тривиально также доказательство единственности решения обратной задачи для этих случаев.

Для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела построены алгоритмы численного решения прямой и обратной задач, которые реализованы в виде программных продуктов и встроены в обрабатывающую среду системы РгоМАХ в виде исполняемых модулей.

Эффективная скорость продолжения зависит от второй производной от границы в точке пересечения ее лучом, т.е. от кривизны границы в данной точке. Исследование этой зависимости было выполнено для двухслойной среды и показало, что в решении и прямой, и обратной задач продолжения присутствует сингулярность, приуроченная к области малых значений кривизны, что необходимо учитывать в процессе аппроксимации границ сплайнами.

Для четырех типов трехслойных моделей сред с заданными скоростными законами были выполнены численные эксперименты, включающие в себя:

1. Построение глубинного разреза эффективных скоростей продолжения по заданным интервальным скоростям (решение прямой задачи продолжения).

2. Построение глубинного разреза интервальных скоростей по эффективным скоростям п.1 по представленному в этой работе алгоритму (решение обратной задачи).

3. Расчет синтетических сейсмограмм для заданных сред с использованием программных средств РгоМАХ.

4. Вычисление эффективных скоростей продолжения по сейсмограммам по алгоритму, разработанному A.A. Тузовским и встроенному в РгоМАХ.

5. Построение глубинного разреза интервальных скоростей по эффективным скоростям п.4, используя разработанный автором алгоритм.

6. Вычисление эффективных скоростей ОГТ, построение временного разреза ОГТ и разреза интервальных скоростей с использованием преобразования Дикса.

7. Построение глубинной миграции Кирхгофа с использованием интервальных скоростей п.5.

Первые две рассмотренные модели относительно просты и их изучение преследовало цель показать достоверность выполненных теоретических расчетов и эффективность разработанных алгоритмов и программ. Наибольший интерес с практической точки зрения представляют расчеты для третьей модели, в которой на границе раздела первого и второго слоев имеют место цилиндрические высокоскоростные включения. Решение обратной задачи продолжения (п.5) для этой модели с использованием эффективных скоростей, вычисленных по алгоритму A.A. Тузовского, дает разрез интервальных скоростей, в котором находят отражение высокоскоростные включения. На временном разрезе ОГТ и на разрезе интервальных скоростей, вычисленных по формуле Дикса по эффективным скоростям ОГТ, высокоскоростные цилиндрические включения проявляют себя скорее как куполообразные поднятия верхней границы второго слоя. Более приемлемый результат получился в результате применения глубинной миграции Кирхгофа с использованием интервальных скоростей п.5. Хотя картина осложнена наличием дифрагированных волн, на глубинном разрезе можно идентифицировать высокоскоростные включения в том виде, в каком они заложены в исходной модели.

Исследование четвертой модели, как и относительно простых первых двух, носило также методический характер и преследовало цель проверить возможности разработанного метода вычисления интервальных скоростей при анализе горизонтально-градиентных сред. Полученные результаты свидетельствуют о том, что точность восстановления интервальных скоростей, естественно, заметно снижается, однако остается выше, чем точность аналогичных расчетов с использованием эффективных скоростей ОГТ.

К основным результатам диссертационной работы относятся следующие положения:

1. Интегральный оператор продолжения сейсмического поля с использованием аппарата теории функций Грина представлен в виде четырехмерного интегрального оператора, что позволило получить его высокочастотную асимптотику. Выведены уравнения на фазовую функцию главного члена асимптотики продолженного поля, определяющие положение точек фокусировки.

2. Из системы уравнений, определяющей положения точек фокусировки продолженного поля, получено решение прямой задачи продолжения для слоисто-однородных сред с криволинейными границами раздела, т.е. определены эффективная скорость и положение эффективной границы.

3. Из сравнения результатов решений прямой задачи для двух способов продолжения поля (первый - от приемника к отражающей границе, а затем к источнику; второй - от приемника непосредственно к источнику) выявлено единственно верное решение.

4. Для частных случаев слоисто-однородных сред с одной отражающей границей и с несколькими границами, параллельными дневной поверхности, получены аналитические решения прямой и обратной задач продолжения.

5. Построены алгоритмы вычисления эффективных скоростей продолжения по заданному скоростному закону (решение прямой задачи) и определения интервальных скоростей и положения границ раздела слоев (решение обратной задачи). Разработанные алгоритмы программно реализованы на языке С++ и встроены в качестве исполняемых модулей в среду обработки сейсмических данных РгоМАХ.

6. Исследована зависимость решений прямой и обратной задач от кривизны отражающей границы.

7. Выполнены численные эксперименты с трехслойными моделями сред, одна из которых содержала локальные высокоскоростные включения. Результаты этих экспериментов свидетельствуют, во-первых, о достоверности теоретических построений, положенных в основу созданных алгоритмов. Во-вторых, сравнение глубинных скоростных разрезов, построенных по разработанному алгоритму и по формуле Дикса, показало, что заданные высокоскоростные объекты с большей надежностью можно выделить именно на разрезе интервальных скоростей, полученному в результате решения обратной задачи продолжения.

Дальнейшее развитие исследований, начатых в диссертационной работе, видится в создании программного комплекса по интерактивному анализу скоростей продолжения в совокупности с расчетом интервальных скоростей на основе алгоритма, разработанного A.A. Тузовским [58] и алгоритма решения обратной задачи, представленного в диссертации. Последующие теоретические разработки, очевидно, необходимо связать с исследованием данных трехмерной сейсмики.

Автор выражает глубокую признательность A.A. Тузовскому за постановку задачи и научные консультации, академику |С.В. Гольдину| за внимание к работе, директору Института естественных и гуманитарных наук профессору В.А. Сапожникову, профессору кафедры вычислительных и информационных технологий В.Е. Распопову, генеральному директору ЗАО «Красноярскгеофизика» В.А. Позднякову и сотрудникам ЗАО, в частности Г.В. Иванову, Б.И. Музыченко

Д.В. Сафонову, В.В. Шиликову за полезные обсуждения и советы. Благодарю своего научного руководителя профессора В.М. Киселева за постоянное внимание к работе.

1. Baysal, Е. Reverse Time Migration / Е. Baysal, D. Kosloff, W. Sherwood // Geophysics. 1981. - № 48. - P. 1514-1524.

2. Chun, J.H. Fundamentals of Frequency Domain Migration / J.H. Chun, C.A. Jacewitz. // Geophysics. 1981. -№ 46. P. 717-733.

3. Deregowski, S.M. Prestack Depth Migration by the 2-D Boundary Integral Method / S.M. Deregowski // SEG Annual Meeting, Expanded Abstracts. -1985. -P 414-417.

4. Gardner, G Phase Shift-Based Prestack Depth Migration for Laterally Varying Velocities / G. Gardner // SEG Expanded Abstracts. 1987. - P. 737-740.

5. Gardner, G. Dip Moveout and Prestack Imaging / G. Gardner // Off shore Technology Conference, Houston. 1986. - P. 268-277.

6. Gazdag, J. Migration of Seismic Data by Phase Shift Plus Interpolation / J. Gazdag, P. Sguazzero // Geophysical Prospecting. 1984. - № 49. - P. 124-131.

7. Gazdag, J. Wave-equation Migration with the Phase Shift Method / J. Gazdag. // Geophysics. 1978. - № 43. - P. 1342-1351.

8. Hale, D. 3-D Depth Migration via McClellan Transformations / D. Hale // Geophysics. 1991. - № 56. - P. 1778-1785.

9. Hale, D. Imaging Salt with Turning Seismic Waves / D. Hale, N.R. Hill, J. Stefani // SEG Annual Meeting Expanded Abstracts. 1991. P. 1171-1174

10. Hale, D. Migration in the Time-Wavenumber Domain / D. Hale // CWP Annual Report. 1991

11. Hale, D. Stable Explicit Depth Extrapolation of Seismic Wavefields / D. Hale//Geophysics. 1991.-№56.-P 1770-1777.

12. Hatton, L. Migration of Seismic Data From Inhomogenous Media / L. Hatton, K. Larner, B. Gibson // Geophysics. 1980. - № 46. - P. 751-767.

13. Holberg, 0. Towards Optimum One-Way Wave Propagation / 0. Holberg // Geophysical Prospecting. 1988. -№ 36. - P. 99-114.

14. Judson, D. Depth Migration After Stack / D. Judson // Geophysics. 1980. -№45.-P. 361-375.

15. Klaerbout, J. and Doherty, S.M. Downward Continuation of Moveout-Corrected Seismograms / J. Klaerbout, S.M. Doherty // Geophysics. -1972.-№37.-P. 741-768.

16. Klaerbout, J. Extrapolation of time-depend wave form along their path of propagation / J. Klaerbout, A. Jonson. // Geophys J.R. Aston. Soc. 1971, V.26. - № 1-4. - P.285-295.

17. Klaerbout, J. Imaging the Earth's Interior / J. Klaerbout. Blackwell Scientific Publications. - 1985.

18. Kosloff, D. Migration with the Full Acoustic Wave Equation / D. Kosloff, E. Baysal // Geophysics. 1983. - № 48. - P. 677-687.

19. Larner, K. Depth Migration of Imaged Time Sections / K. Larner // Geophysics. 1980. - № 46. - P. 734-750.

20. Levin, S Principle of Reverse-Time Migration / S. Levin // Geophysics. -1984.-№49.-P. 581-583.

21. Lhemann, O. A Superfast 3D Migration with Lateral Variations of Velocities for the Cray XMP/ 0. Lhemann. // Research Computation Laboratory, Annual Progress Review. 1986. - № 2. - P. 1-25.

22. Reshef, M. Migration of Common-shot Gathers / M. Reshef, D. Kosloff // Geophysics. 1986. - № 51. - P. 324-331.

23. Schneider, W. Integral Formulation for Migration in Two and Three Dimensions / W. Schneider // Geophysics. 1978. - № 43. - P. 49-76.

24. Soubaras, R. Explicit 3-D Migration Using Equiripple Polynomial Expansion and Laplacian Synthesis/ R. Soubaras // SEG Annual Meeting, New Orleans, Expanded Abstracts. 1992. - P. 905-908.

25. Stolt, R.H. Migration by Fourier Transform / R.H. Stolt. // Geophysics. -1978.-№43.-P. 23-48.

26. Van Tier, J. Upwind Finite-difference Calculation of Traveltimes / J. Van Tier, W. Symes // Geophysics. 1991. -№ 56. - P. 812-821.

27. Vidale, J. Finite-difference Calculation of Travel Times / J. Vidale // Bull. Seism. Soc. Am. 1988. - № 78. - P. 2062-2076.

28. Yilmaz, 0. Seismic Data Processing / O. Yilmaz. // SEG, Tulsa. 1987. -P. 240-353.

29. Алексеев, A.C. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела / А.С. Алексеев, Б.Я. Гельчинский // В сб. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, сб 3. Л: ЛГУ. - 1959

30. Алексеев, А.С. Основные тенденции и результаты развития теории и численных моделей сейсмических методов исследования / А.С. Алексеев // Геология и геофизика. 1983. -№ 1. - С.110-124.

31. Алексеев, А.С. Об определении трехмерных излучающих и отражающих объектов по волновому полю известному на плоской апертуре / А.С. Алексеев, С.Н. Виноградов, Г.М. Цибульчик, В.А. Чеверда // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 257, № 5. - С. 1086-1088.

32. Воскресенский, Ю.Н. Изучение изменений амплитуд сейсмических отражений для поисков и разведки залежей углеводородов / Ю.Н. Воскресенский // Учебное пособие для вузов. М.: РГУ нефти и газа. -2001.-68 с.

33. Гольдин, C.B. Амплитудный анализ продолжения сейсмического волнового поля по удалениям / C.B. Гольдин, Е.В. Герман // Геология и геофизика. 2004. - № 9. - С 1145-1153.

34. Гольдин, C.B. Двумерные интегральные продолжения волновых полей / C.B. Гольдин // Геология и геофизика. 1985. - № 5,- С 85-93.

35. Гольдин, C.B. Интегральные продолжения волновых полей / C.B. Гольдин // Геология и геофизика. 1985. - № 3. - С 103-113.

36. Гольдин, C.B. Интерпретация данных сейсмического метода отраженных волн / C.B. Гольдин. М: Недра. - 1979. - 344 с.

37. Гольдин, C.B. Кинематический аспект задачи продолжения сейсмических волновых полей / C.B. Гольдин // Геология и геофизика. 1982.- №2. -С 107-115.

38. Гольдин, C.B. Система КИНГ / C.B. Гольдин и др. Новосибирск: ИгиГ СО АН СССР.- 1980.- 136 с.

39. Гурвич, И.И. Сейсморазведка. Справочник геофизика / Под ред. И.И. Гурвича, В.П. Намоконова. М.: Недра. - 1981. - 464 с.

40. Клербоут, Дж. Теоретические основы обработки геофизической информации с приложением к разведке нефти / Дж. Клербоут. М: Недра. - 1981.

41. Козлов, Е.А. Миграционные преобразования в сейсморазведке / Е.А. Козлов. М: Недра. - 1986. - 247 с.

42. Мерецкий, A.A. Скоростной анализ в задачах продолжения полей / A.A. Мерецкий // Материалы III международной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Молодежь и наука XXI века».- Красноярск: КГПУ. 2002. - С. 8.

43. Мерецкий, А.А Скоростной анализ продолженных полей по сейсмическим данным / A.A. Мерецкий, A.A. Тузовский // Вестник Красноярского государственного университета (физико-математические науки). 2004. - № 5. - С. 49-61.

44. Мерецкий, A.A. Анализ интегральных операторов продолжения волновых полей в задачах сейсмики / A.A. Мерецкий, A.A. Тузовский // Вестник университет комплекса, сборник научных трудов ВСФ РГУ ИТП НИИ СУВПТ. Красноярск: НИИ СУВПТ. - 2004. - С 200-226.

45. Мерецкий, A.A. Скоростной анализ продолженных полей / A.A. Мерецкий, A.A. Тузовский // Вестник НИИ СУВПТ "интеллектуальные технологии и адаптация» Сб. Научных трудов под общ. редакцией проф. Н.В. Василенко. Красноярск: НИИ СУВПТ. -2002.-С 127-153.

46. Намоконов, В.П. Сейсморазведка. Справочник геофизика. // Под редакцией В.П. Намоконова. М: Недра. - 1990. - 336 с.

47. Петрашень, Г.И. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки / Г.И. Петрашень, С.А. Нахамкин. J1: Наука. - 1973.- 170 с.

48. Поздняков, В.А. Оптимизация параметров фокусирующих преобразований с использованием численного моделирования /A.B. Поздняков, Д.В. Сафонов, В.А. Чеверда // Геология и геофизика. -2000.-№6.-С. 930-938.

49. Поздняков, В.А. Преобразование сейсмограмм для изображения локальных неоднородностей среды /В.А. Поздняков, В.А. Чеверда // Геофизика (Технологии сейсморазведки -1). 2002. - С.66-69.

50. Тарасов, Ю.А. Новое в развитии фокусирования сейсмических волн / Ю.А. Тарасов, JI.A. Рябинкин // Разведочная геофизика на рубеже 70-х годов. М: Недра. 1974.

51. Тимошин, Ю.В. Основы дифракционного преобразования сейсмических записей / Ю.В. Тимошин. М: Недра. - 1972.

52. Тузовский, A.A. Восстановление истинных коэффициентов отражения по динамике продолженных полей / A.A. Тузовский // Геология и геофизика. 1989. - № 8. - С. 93-101.

53. Тузовский, A.A. Восстановление коэффициентов отражения на границах раздела неоднородных упругих сред в случае нерегулярной лучевой структуры поля / A.A. Тузовский // Геология и геофизика. -1988.-№8.-С. 97-103.

54. Тузовский, A.A. Каустики продолженных полей для криволинейного профиля / A.A. Тузовский // Геология и геофизика 1988. - № 6 - С. 132-139.

55. Тузовский, A.A. Определение скорости по каустикам продолженных полей / A.A. Тузовский // Геология и геофизика. 1988. - № 8 - С. 94102.

56. Тузовский, A.A. Применение динамических характеристик продолженных в неоднородные среды полей в задачах восстановления коэффициентов отражения / A.A. Тузовский // Геология и геофизика. -1987.-№ 12-С. 88-97.

57. Тузовский A.A. Применение продолженных с плоских кривых полей при восстановлении границ раздела упругих сред / A.A. Тузовский // Моделирование волновых полей. Новосибирск, 1983. - С. 96-106.

58. Тузовский A.A. Численное решение обратной задачи продолжения сейсмического поля / A.A. Тузовский, A.A. Мерецкий, В.М. Киселев // Вестник Красноярского государственного университета (физико-математические науки). 2006. - № 7. - С. 114-122.

59. Тюриков, Л.Г. Вычисление эффективной скорости в методе ОГТ для изотропных сред с криволинейными границами раздела / Л.Г Тюриков., A.B. Малик // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. 22. Л.: Наука. - 1982. - С. 188-197.

60. Урупов, А.К. Определение и интерпретация скоростей в методе отраженных волн / А.К. Урупов, А.Н.Левин. М: Недра. - 1985. - 288 с.

61. Федорюк, М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды / М.В. Федорюк. М: Наука. - 1987.-544 с.

62. Шерифф, Р. Сейсморазведка / Р. Шерифф, Л. Гелдарт. М: Мир. -1987.-400 с.