автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:SVD анализ метода обращения полного волнового поля применительно к задаче реконструкции макроскоростного строения среды

На правах рукописи

Гадыльшин Кирилл Геннадьевич

БУБ АНАЛИЗ МЕТОДА ОБРАЩЕНИЯ ПОЛНОГО ВОЛНОВОГО ПОЛЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧЕ РЕКОНСТРУКЦИИ МАКРОСКОРОСТНОГО СТРОЕНИЯ СРЕДЫ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

11 НОЯ 2015

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-2015

005564305

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» (Новосибирский государственный университет, НГУ).

Научный руководитель: Чеверда Владимир Альбертович

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Каштан Борис Маркович доктор физико-математических наук, профессор, Кафедра физики Земли Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет»

Перепечко Юрий Вадимович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Лаборатории моделирования динамики эндогенных и техногенных систем Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт геологии и минералогии им. B.C. Соболева СО РАН»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. C.JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (ИМ СО РАН)

Защита состоится 22 декабря 2015 г. в 16-30 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, конференц-зал. Тел. (383)330-71-59.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, http://www.sscc.ru.

Автореферат разослан 20 октября 2015 года. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003.061.02

д.ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования - нелинейный метод обращения полного волнового поля в задаче реконструкции макроскоростного строения среды на предмет SVD анализа соответствующих линеаризованных постановок для дальнейшего их использования при разработке и исследовании численных алгоритмов решения обратной динамической задачи сейсмики и создания на этой основе научно-исследовательской версии проблемно ориентированного программного обеспечения.

Актуальность

Решение обратной динамической задачи сейсмики нелинейным методом наименьших квадратов находится в центре внимания специалистов в области вычислительной геофизики начиная с середины 80-х годов прошлого столетия. Примерно в это же время возникает проблема реконструкции макроскоростной составляющей: при отсутствии в спектре зарегистрированного сигнала очень низких временных частот или чрезвычайно больших расстояний между источниками и приёмниками невозможно определение плавных вариаций скорости распространения сейсмических волн, поскольку именно эта составляющая гарантирует корректное отображение в пространстве структуры изучаемых геологических объектов.

Благодаря значительным успехам в области геофизического приборостроения, в последнее время стала возможной регистрация сейсмических сигналов на частотах до 5 Гц, однако и этого, оказывается, недостаточно для реконструкции макроскоростного строения среды.

Ответ на этот вопрос можно получить путём численного анализа сингулярного спектра производной Фреше оператора обратной задачи, переводящего текущее распределение скорости в наблюдаемые волновые поля. Для этого требуется модификация целевого функционала, обладающая заметно более высокой чувствительностью к изменчивости макроскоростной модели, известная как формулировка МВТТ (аббревиатура от английского Migration Based Travel Times).

Цель исследования - оценить разрешающую способность операторов, возникающих при линеаризации нелинейных постановок в методе обращения полного волнового поля для реконструкции макроскоростного строения среды в рамках SVD анализа, и таким образом повысить качество сейсмических изображений структуры сложных сред.

Научные задачи

1. Разработать численный алгоритм построения SVD линеаризованного оператора прямой задачи для классической постановки обратной динамической задачи сейсмики и для постановки МВТТ.

2. В рамках БУБ анализа оценить разрешающую способность операторов, возникающих при линеаризации классической постановки задачи и постановки МВТТ.

Фактический материал и методы исследования

Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются:

- математический аппарат функционального анализа и численных методов для вывода формул формальных производных Фреше оператора прямого моделирования и конечно-разностной аппроксимации соответствующих линейных операторов (функция Грина, интегральное уравнение первого рода, краевые задачи для уравнения Гельмгольца в неограниченной области и в полупространстве);

- теория обратных условно-корректных задач (а именно регуляризуемость, квазирешение, построение аппроксимирующих отображений с помощью спектрального разложения);

- современные алгоритмы вычислительной линейной алгебры (итерационный метод построения старших сингулярных чисел и соответствующих им сингулярных векторов, не требующий явного задания матрицы);

- численные методы решения экстремальных задач (такие как метод наискорейшего спуска, метод сопряженных направлений и метод проекции градиента).

Основной метод исследования - 8УО анализ разрешающей способности оператора применительно к решению обратной динамической задачи сейсмики. При разработке численного алгоритма использовалась математическая библиотека БЬрС для расчета БУБ оператора, не требующего задания линейного оператора в явном виде, а требующего его описания в виде функции действия этого оператора на произвольный вектор. Для разработки научно-исследовательской версии программного обеспечения использовался язык программирования С++.

Защищаемые научные результаты:

1. Постановка задачи МВТТ в области временных частот, вывод формальных производных Фреше модифицированного оператора прямого моделирования.

2. Численный алгоритм расчета 8УО формальных производных Фреше операторов прямого моделирования в классической постановке и в постановке МВТТ.

3. Научно-исследовательский вариант программного обеспечения.

Научная новизна. Личный вклад

Предложен оригинальный подход к решению обратной динамической задачи сейсмики для скалярного волнового уравнения и сделана оценка

разрешающей способности этого подхода со стандартной постановкой задачи обращения полных волновых полей:

- основываясь на формулировке МВТТ во временной области, выполнена постановка задачи обращения волновых фронтов в области временных частот путем модификации целевого функционала с разделением пространства моделей на два подпространства - гладких, плавно изменяющихся пропагаторов, и резких, быстро изменяющихся рефлекторов',

-линеаризованы классическая постановка задачи обращения волновых фронтов и постановка МВТТ;

- разработан и реализован численный алгоритм для построения БУБ первых формальных производных Фреше операторов прямого моделирования для стандартной постановки и для формулировки МВТТ;

- с использованием БУО анализа оценено влияние кратных волн, связанных со свободной поверхностью, на результаты восстановления скоростной модели верхней части разреза;

- используя научно-исследовательский вариант проблемно ориентированного программного обеспечения, предназначенного для численного построения БУБ, выполнен анализ разрешающей способности первых производных Фреше для классической постановки и для постановки МВТТ;

- опираясь на результаты анализа разрешающей способности, разработан и реализован в виде научно-исследовательского программного обеспечения нелинейный алгоритм обращения волновых фронтов в формулировке МВТТ.

Теоретическая и практическая значимость

Различные сценарии обращения полных волновых полей на предмет оценки разрешающей способности и устойчивости к помехам во входных данных показывают, что присутствие в данных кратных волн, связанных со свободной поверхностью, уменьшает разрешающую способность и увеличивает устойчивость результатов обращения волновых фронтов в присутствии некоррелированных помех. Аналогичным образом математический аппарат 8УЭ анализа может быть применен для исследования влияния минимальной частоты, максимального выноса, геометрии системы наблюдения и других важных параметров на результаты волнового обращения.

Сравнительный анализ разрешающей способности метода обращения полного волнового поля в стандартной постановке и в формулировке МВТТ показывает выгодное отличие последней применительно к задаче реконструкции макроскоростного строения среды. Численными исследованиями установлено, что модифицированная постановка метода обращения полных волновых полей обладает устойчивым подпространством,

позволяющим восстанавливать в линейном приближении макроскоростную составляющую при разумных требованиях на доминирующую частоту зондирующего сигнала (15 Гц), точность измерений («первые проценты) и использование выносов источник - приёмник порядка глубины целевых объектов.

Разработанный и реализованный алгоритм нелинейного обращения волновых фронтов по методу наименьших квадратов в постановке МВТТ подтверждает результаты сравнительного SVD анализа: проведенная серия численных экспериментов демонстрирует заметную чувствительность модифицированного целевого функционала к гладким вариациям скоростной модели в отличие от стандартного среднеквадратичного функционала невязки. Модифицированный алгоритм позволяет восстанавливать макроскоростное строение среды даже в отсутствие в спектре зарегистрированного сигнала частот ниже 7 Гц.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и были одобрены специалистами на пяти международных конференциях в России и за рубежом:

Международной конференции по обратным задачам и смежным проблемам (Китай, Нанкин, октябрь 2012 г.);

- 10-й Международной конференции «Математические и численные аспекты теории распространения волн» (Тунис, Тунис, июнь 2013 г.);

- Французско-немецкой школе-конференции по обратным задачам и уравнениям в частных производных (Германия, Бремен, октябрь 2013 г.);

- 6-й Международной геолого-геофизической конференции и выставке «Санкт-Петербург 2014. Геонауки — инвестиции в будущее» (Россия, Санкт-Петербург, апрель 2014 г.);

- 11-м Международном конгрессе по вычислительной механике (Испания, Барселона, июль 2014 г.).

Основные результаты, полученные автором, изложены в 7 опубликованных работах, в том числе 2 статьи - в ведущих научных рецензируемых журналах из перечня ВАК и 5 материалах международных и российских конференций и симпозиумов. Один из материалов входит в международную реферативную базу данных и систему цитирования Scopus.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 110 наименований. Общий объём диссертации составляет 106 страниц, включая 51 рисунок.

Благодарности. Автор глубоко признателен научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Владимиру Альбертовичу Чеверде, который оказал неоценимую помощь в реализации результатов исследования, к.ф.-м.н. Д.А. Неклюдову, к.ф.-м.н. И.Ю. Сильвестрову, к.ф.-м.н. В.В. Лисице и к.ф,-

м.н. М.И. Протасову за всестороннюю поддержку и плодотворные обсуждения по теме диссертации.

Автор благодарен В.И. Самойловой за методические рекомендации и продуктивные консультации при подготовке диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определен объект исследования, обоснована его актуальность, поставлены цели и научные задачи, представлен фактический материал и методы исследования, сформулированы результаты, выносимые на защиту, определена научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

Первая глава посвящена анализу известных решений обратной динамической задачи сейсмики.

Вторая глава посвящена 8УО анализу обратной динамической задачи сейсмики в классической постановке.

В разделе 2.1 [2] вводится оператор прямой задачи Т, ассоциированный с решением уравнения Гельмгольца в неограниченной области, удовлетворяющего принципу предельного поглощения, для

точечного источника, расположенного в точке Хл:

Аи+ а . и = /(со)8(х-хк), с(х)

где с(х) - скорость распространения волн в двумерной среде, а> - угловая частота, /(ш) - форма импульса и и - полное волновое поле. Далее для удобства используется величина т = с~2(х), которую принято называть моделью и обозначать т £ М, подразумевая под М некоторое пространство моделей.

Здесь же для дальнейшего использования выводится формула первой формальной производной Фреше оператора прямой задачи Т:

8Т , Г

— (т; ы) < /I >= со у; ы, т)С(у,х5; ы, т)1г(у)с1у,

6 т ^к2

и второй формальной производной Фреше:

82Т

< Л2 > =

ш4/(ы) I С(х,у;(1),гп)к1(у')йу[\ С(у,г;ы,т)С(2,Х;;ш,а),тп)112(.г)с1г\ +

■'К2 Ч-'К2 /

co4f(co) C(x,y;ù),m)h2(y)dyl I G (y, z; ù),m)G(z,xs; ùj,m)hl(z)dz ].

В разделе 2.2 [1] формулируется стандартная постановка задачи обращения полных волновых полей. Для этого вводится оператор прямого моделирования F:M -* D, отображающий пространство моделей M в пространство данных D = £Nf,NS'NR для набора из Nf частот, NS точечных источников и NR сейсмоприёмников, участвующих в моделировании. Затем вводится функционал невязки Е(т):

E(m) = -\dohs -F(m)f 2" lb

и формулируется стандартная постановка задачи обращения полного волнового поля: найти модель m, € М, минимизирующую функционал невязки:

пи = argmin Е(т).

шеЛ/

При решении этой задачи в основном применяются методы отыскания точки минимума с использованием локальной минимизации целевого функционала путем вычисления его градиента и/или гессиана (Virieux and Operto, 2009).

Так как поиск идёт локально, велика вероятность остановки процесса в локальном минимуме, весьма далеко расположенном от глобального, соответствующего точному решению обратной задачи. Наиболее ярко наличие локальных минимумов проявляется при неизвестной макроскоростной составляющей, описывающей времена пробега между достаточно удалёнными друг от друга точками среды (несколько доминирующих длин волн). Этот эффект известен с середины 80-х годов прошлого столетия (Gauthier et al., 1986) как проблема определения трендовой составляющей. Однако эта проблема не связана с конкретным выбором метода минимизации градиентного/квазиньютонова типа (с выбором градиента, гессиана или их модификации). Как показывает анализ сингулярного разложения производной оператора прямой задачи (Алексеев и др., 1997; Silvestrov et al., 2013), проблема связана со структурой целевого функционала (Е(т)) и не может быть преодолена без привлечения низких временных частот или/и использованием значительных удалений источника от системы наблюдений.

В то же время, если макроскоростная составляющая известна, то обращение полного волнового поля и не требуется, так как миграционные преобразования в истинных амплитудах (Beylkin, 1985; Протасов и Чеверда, 2006; Protasov and Cheverda, 2011) дают практически полную информацию о строении быстро меняющейся составляющей скоростного строения среды

(здесь речь идет о модельной задаче - реконструкции скоростного строения акустической среды с постоянной плотностью).

В разделе 2.3 [3] исследуется линеаризованная классическая постановка задачи обращения полного волнового поля:

8Т

-— (т0; си) < 8т >= d - F(m0).

от

Для нахождения численного решения полученного линейного операторного уравнения первого рода оно должно быть сведено к системе линейных алгебраических уравнений. Формальная производная оператора прямого моделирования является компактным оператором и, следовательно, имеет матричное представление. Компактный оператор не имеет ограниченного обратного, поэтому получаемая при его конечномерной аппроксимации матрица неизбежно должна быть плохо обусловленной, причём число обусловленности тем больше, чем точнее аппроксимируется оператор. Поэтому построение численного решения полученного уравнения невозможно без применения регуляризующей процедуры, в качестве которой выбрано усечение сингулярного разложения (Cheverda, Kostin, 1995; Костин, Чеверда, 1997; Костин, Чеверда, 2010).

В разделе 2.4 [2] изучается влияние свободной поверхности на качество решения обратной динамической задачи сейсмики и приводится описание программной реализации расчета SVD, которая имеет несколько уровней параллелизма. На первом уровне производится распараллеливание по временным частотам, что логично, так как при заданной скоростной модели и различных временных частотах получаются разные системы линейных алгебраических уравнений. Следующий уровень параллелизма -независимое распараллеливание каждой частотной группы, которое достигается за счет параллельной реализации LU-разложения в библиотеке SuperLU. Для сокращения объема вычислений используется итерационный метод построения старших сингулярных чисел и соответствующих им сингулярным векторов, не требующий явного задания матрицы (Hernandez et. al, 2005). Этот процесс требует задания процедуры, вычисляющей действие производной Фреше — (т) на произвольный вектор h. Схема MPI-обменов расчета производной приведена на рис 1.

Третья глава посвящена модификации целевого функционала и постановке задачи обращения полного волнового поля в формулировке МВТТ, которая детально описана в разделе 3.1 [4]. Определение макроскоростного строения является ключевым элементом метода обращения полного волнового поля. Для успешного решения этой задачи необходима модификация целевого функционала (Я(т)), существенно повышающая его чувствительность именно к макроскоростной

составляющей. Впервые она была предложена французскими математиками (Clement, Chavent and Gomez, 2001).

Рисунок 1 - Блок-схема расчета действия производной —— (Ш) на вектор h

В её основе лежит декомпозиция пространства моделей на два подпространства - гладких, плавно изменяющихся пропагаторов, обозначаемых далее р, и резких, быстро изменяющихся рефлекторов (г):

т = р + г.

Далее наряду с пространственным рефлектором г вводится временной рефлектор s, полностью им определяемый, а именно такой, что применение миграционного преобразования к s даёт в точности г:

г = Ж(р) <s>=W ° Re ^^ (р)) < s

Тогда полная скоростная модель представляется в виде уравнения:

т = р + Ж (р) < s >, а соответствующий ей оператор прямой задачи есть F(p + М(р) < s >). Тем самым вводится в рассмотрение следующий модифицированный целевой функционал, который далее называется целевым функционалом в формулировке МВТТ (в силу того, что оператор М(р) называется «оператором миграции», отсюда название метода «формулировка МВТТ», Migration Based Travel Times):

Ё(р; s) = E(p + M(p) < s >) = j ||d - F(p + M(p) < s >\\2D.

Сингулярные спектры в логарифмическом масштабе

Обращение полного волнового поля в формулировке МВТТ состоит в построении пропагатора р* £ М и временного рефлектора s* £ D, минимизирующих функционал невязки МВТТ:

(р*, s*) = argminE (р; s).

В разделе 3.2 [4,5] производится линеаризация модифицированного оператора прямой задачи, которая приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

LmbttSp = Sd.

Строение устойчивых подпространств операторов Lcls (линеаризованный оператор прямой задачи в классической постановке) и Lmbtt рассматривается в разделе 3.3 [4,5]. Предполагается, что временной рефлектор strue известен, а уклонение истинного пропагатора от начального приближения невелико. Пространство допустимых скоростных моделей М ограничивается вертикально-неоднородными средами, а в качестве начального приближения т0 берется однородная модель, в которой скорость

распространения сейсмической волны

составляет 3000 м/с, а возмущение скорости — 150 м/с относительно начального приближения, то есть примерно 2%. Для сравнительного анализа разрешающей способности и информативности метода обращения полных

волновых полей в стандартной формулировке и в формулировке МВТТ строится сингулярное

разложение соответствующих линеаризованных операторов - Lcis и Lmbtt в окрестности начального приближения т0. Как видно на графике (рис. 2), начиная с числа обусловленности ах/ап = 100, отмечается разбегание этих сингулярных спектров. Для понимания устройства устойчивого подпространства оператора Lmbtt, на линейную оболочку из его Nmbtt старших правых сингулярных векторов (о-!/&N b ~ 100) проецируется разность 8р = Ptrue ~~ то- Аналогичную проекцию можно вычислить и для классической постановки, проектируя 8р на Ncls старших правых сингулярных векторов оператора Lcls (a1/aNcls ~ 100) (рис. 3). Сравнение двух изображений показывает, что в стандартной постановке (левое

*о » во то во Номер сингулярного вектора

Рисунок 2 — Поведение сингулярных спектров операторов Lcls (сплошная линия) и ¿тЬИ (пунктирная линия), изображенное в логарифмическом масштабе

практически

значения.

нахождения

оболочке

сингулярных

стандартной

с!р (м/с)

с!р (м/с)

изображение) данная проекция уверенно идентифицирует только верхнюю и

нижнюю границу слоя, в то время как его внутреннему содержанию соответствуют нулевые При условии в линейной из правых векторов для постановки, соответствующих числу

обусловленности менее 100, нет никаких шансов восстановить пропагатор. В то же время, приведённая проекция пропагатора на такую же линейную оболочку (правое изображение), но из правых сингулярных векторов для формулировки МВТТ довольно уверенно повторяет его форму в границах целевого слоя. Таким образом, эта линейная

оболочка образует устойчивое подпространство, позволяющее восстановить строение пропагатора.

В разделе 3.4 [6,7] приводится реализация нелинейного метода наименьших квадратов в модифицированной постановке. Для минимизации функционала Я(р;5) по переменной р применяется метод сопряженных градиентов:

Рк+1 = рк +

здесь рк - пропагатор на итерации к, рк е Е - длина шага и -направление обновления модели следующего вида:

с _ _ Фк,Чк-Чк-1)мп

\Vfc-l. у/с-1/М

где Ук= УрЯ(рк;5). Градиент целевой функции по пропагатору вычисляется следующим образом:

Рисунок 3 - Искомое возмущение пропагатора 5р (сплошная линия) и его проекция на старшие сингулярные векторы оператора ¿сЬ (левое изображение). Искомое возмущение пропагатора 8р (сплошная линия) и его проекция на старшие сингулярные векторы оператора ЬтЬи (правое изображение)

< F(m)-d > +-^-y-(/?)(-, Ж * of — (от) 8m \ l Sm

< F(m)-d >) < 5 >к

Расстояние 1м(

где т = р + Ж(р) < s >. Аналогичным образом реализуется минимизация по переменной s, соответствующий градиент вычисляется по следующей формуле:

/SF \

Vs=M\p)((^(m)) < F(m) — d >),

здесь М*(р) оператор, сопряженный к оператору миграции.

В качестве примера рассматривается вертикально неоднородная модель, представленная на рисунке 4. Начальное приближение т0 таково,

что скорость

распространения сейсмических волн

постоянна вплоть до глубины 100 м и представляет собой линейную по глубине функцию, начиная с глубины 100 м, и до 1500 м. Система наблюдения состоит из 25 точечных источников и 99 гидрофонов, расположенных

равномерно в верхней части модели. Частотный диапазон входных данных состоит из 207 временных частот, расположенных равномерно на отрезке [7,40] Гц. Форма импульса - вэйвлет Рикера с доминирующей частотой 15 Гц.

Стартовая модель т0 выбрана такой, что она практически не дает описания макроскоростного строения среды. Поэтому интересно сравнить решение классическим методом обращения полного волнового поля с решением его модифицированной постановки МВТТ. Результаты такого сравнения представлены на рис. 5. В случае использования классического обращения отмечается достаточно неплохое восстановление целевых горизонтов верхней части среды, однако ошибка в положении нижней границы составляет 200 м, что, по мнению геофизиков, является неприемлемым результатом (см. рис 5 — слева). Однако, глядя на результат восстановления скоростной модели в постановке МВТТ, видно, что модифицированный метод обладает большей информативностью, так как

Глубина (м)

Рисунок 4 - Истинное распределение поля скоростей mtrue

положение границ разделов сред восстанавливается с высокой точностью

Скорость (м/с) Скорость (м/с)

Рисунок 5 - Сравнение результатов классического обращения (слева) и результатов обращения МВТТ (справа). Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной результат работы - оценка разрешающей способности операторов, возникающих при линеаризации классической постановки обратной динамической задачи сейсмики и её модифицированной постановки МВТТ. Для этих целей был разработан численный алгоритм построения БУЭ линеаризованного оператора прямой задачи для двух постановок задачи. Сравнительный анализ разрешающей способности метода обращения полного волнового поля показывает выгодное отличие формулировки МВТТ применительно к задаче реконструкции макроскоростного строения среды. Численными исследованиями установлено, что модифицированная постановка метода обращения полного волнового поля обладает устойчивым подпространством, позволяющим восстанавливать в линейном приближении макроскоростную составляющую при разумных требованиях на доминирующую частоту зондирующего сигнала (15 Гц), точность измерений

(«первые проценты) и использование выносов источник - приёмник порядка глубины целевых объектов.

Разработанный и реализованный алгоритм нелинейного обращения волновых фронтов по методу наименьщих квадратов в постановке МВТТ подтверждает результаты сравнительного SVD анализа. Проведенная серия численных экспериментов демонстрирует заметную чувствительность модифицированного целевого функционала к гладким вариациям скоростной модели в отличие от стандартного среднеквадратичного функционала невязки. Предложенный метод способен восстанавливать макроскоростное строение среды даже в отсутствие в спектре зарегистрированного сигнала частот ниже 7 Гц.

Дальнейшее развитие использования метода МВТТ представляется в переходе от скалярного волнового уравнения к уравнениям динамической теории упругости, а также в переходе от 2D моделей к 3D моделям.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК

1. Гадылыиин К.Г. Обращение полных волновых полей нелинейным методом наименьших квадратов: SVD анализ / К.Г. Гадыльшин, В.А. Чеверда // Вычислительные методы и программирование. - 2014. - Т. 15. - С. 499 -513.

2. Гадыльшин К.Г. Влияние свободной поверхности на качество решения обратной динамической задачи сейсмики / К.Г. Гадыльшин, В.А. Чеверда, Д.А. Неклюдов // Технологии сейсморазведки. - 2014. -№ 3. - С. 43 -50.

Материалы конференций

3. Gadylshin К. Full Waveform Inversion through migration-based traveltime formulation in frequency domain / K. Gadylshin, V. Tcheverda // International Conference on Inverse Problems and Related Topics 2012 (China, Nanjing, 21-26 October 2012). - Electronic Source.

4. Chavent G. Comparative SVD-analysis of standard L2 Full Waveform Inversion and its Migration Based Travel Time formulation / G. Chavent, K. Gadylshin, V. Tcheverda // WAVES 2013: Proceedings of the 11th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves (Tunisia, Gammarth, 3-7 June 2013). - 2013 - P. 119 - 120.

5. Gadylshin K. Comparative SVD-analysis of standard L2 Full Waveform Inversion and its MBTT reformulation / K. Gadylshin // Franco-German Summer School Inverse Problems and Partial Differential Equations (Germany, Bremen, 711 October 2013). - Free access: http://www.math.uni-bremen.de/zetem/alt/optimmedia/cms/ipschool2013/SCIPAPDE-2013.pdf

6. Chavent G. Full waveform inversion in migration based travel-time formulation / G. Chavent, K. Gadylshin, V. Tcheverda // 6th Saint Petersburg International Conference and Exhibition on Geosciences 2014: Investing in the Future.-2014.-P. 73-77.

7. Chavent G. Full waveform inversion in migration based travel time formulation / G. Chavent, K. Gadylshin, V. Tcheverda // WCCM XI : Proceedings of the 11th World Congress on Computational Mechanics (Spain, Barcelona, 20-25 July 2014). - 2014 - P. 182 - 188.

_Технический редактор Т.С. Курганова_

Подписано в печать 14.10.2015 Формат 60x84/16. Бумага офсет №1. Гарнитура Тайме _Печ.л. 0,9. Тираж 100. Зак. № 133_

ИНГГ СО РАН, ОИТ,630090, Новосибирск, пр-т. Ак. Коптюга, 3