автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.01, диссертация на тему:Синтез высокооднородного поля постоянного магнита МР-томографа и задача реконструкции плотности объекта

На правах рукописи

СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ЮРЬЕВИЧ

ии305654Э

СИНТЕЗ ВЫСОКООДНОРОДНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА МР-ТОМОГРАФА И ЗАДАЧА РЕКОНСТРУКЦИИ ПЛОТНОСТИ ОБЪЕКТА

Специальность 05.11.01 -Приборы и методы измерений по видам измерений (измерения механических величин)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2007

003056549

Работа выполнена на кафедре измерительных технологий и компьютерной томографии Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Сизиков B.C.

Научный консультант: доктор технических наук, доцент

Марусина М.Я.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Жерновой А.И.

кандидат технических наук, доцент Губанов Н Л.

Ведущая организация: ФГУП ОКБ СПб "Электроавтоматика"

Защита состоится « 10 » апреля 2007 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.227.04 при Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, аудитория 289.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ ИТМО.

Автореферат разослан« 9 » марта 2007 года.

Отзывы (в 2 экз.) по автореферату направлять в адрес университета: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.227.04.

Ученый секретарь у

диссертационного совета Д 212.227.04 _

кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Магнитно-резонансная томография (МРТ) является одним из ведущих методов неинвазивной (невторгающейся, неразрушающей) диагностики объектов. MP-томографы используются в медицине (для диагностики организмов пациентов), а также в спектроскопии (для определения химического состава веществ), в физике (для исследования свойств веществ в различных состояниях), в биологии (для изучения структур молекул ДНК), в технике (для диагностики технических изделий) и т.д.

Обычно аппаратура MP-томографа содержит магнитную систему (МС), генерирующую магнитные поля и включающую электронную аппаратуру, управляющий вычислительный комплекс и т.д.

Основные требования, предъявляемое к МС, - высокая относительная однородность магнитного поля в рабочем объеме, достаточно большая величина рабочего объема, умеренный вес и умеренная потребляемая мощность МС.

Для получения разрешения на томограммах в доли мм требуется относительная неоднородность магнитного поля АН IН порядка Ю-5 -10~б или 1-10 ррт. Такая высокая однородность поля достигается за счет определения соответствующей конфигурации магнита. При этом отметим, что магниты MP-томографов бывают трех типов: постоянные, резистивные и сверхпроводящие. В диссертации рассматриваются магнитные системы на постоянных магнитах (МСПМ). К настоящему времени для расчета МСПМ разработаны следующие методы: метод скалярного магнитного потенциала, метод диполей, метод эквивалентного соленоида и др. Метод скалярного потенциала (работы Б.М. Яновского и японских физиков Т. Miyamoto и др.) является наиболее универсальным — способным учитывать неоднородность намагниченности J и плотности р материала магнита, но он является весьма трудоемким — требующим как расчетов, так и измерений поля. Метод эквивалентного соленоида, основанный на аналогии между полем постоянного магнита и полем поверхностных некомпенсированных амперовых токов, является весьма эффективным, но он развит в основном для случая постоянства намагниченности магнита, практически не развит для случая, когда наконечники магнита имеют уг-

дубления сложного профиля, и в основном использовался для решения прямой задачи - расчета магнитного поля по заданной конфигурации магнита.

Диссертация посвящена, главным образом, разработке метода, названного методом эквивалентных витков, являющегося естественным продолжением метода эквивалентного соленоида. Метод эквивалентных витков ориентирован, в первую очередь, на определение сложного профиля углублений в наконечниках магнита и рассматривает эту задачу, как обратную задачу - расчет конфигурации магнита, при которой формируется наиболее однородное поле (при наличии некоторых ограничений на параметры магнита).

В решение задачи формирования высокооднородных полей различных магнитов MP-томографов внесли большой вклад как зарубежные ученые М.В. Гаррет, Т. Miyamoto, Н. Sakurai, Д. Монтгомери, так и отечественные ученые Б.М. Яновский, JI.A. Дружкин, В.В. Коген-Далин, Ю.М. Пятин, В.Н. Хорев, П.А. Галайдин и др. Однако эта задача требует дальнейшего развития.

Цель диссертационной работы — разработка метода эквивалентных витков определения оптимальной конфигурации постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное поле в MP-томографе. Этот метод является дальнейшим развитием метода эквивалентного соленоида и предназначен для решения задачи синтеза высокооднородного поля постоянного магнита (обратной задачи расчета МСПМ). К цели работы относится также разработка численных алгоритмов и программ и выполнение модельных расчетов. Решение задачи синтеза высокооднородного магнитного поля имеет первостепенное значение для повышения разрешающей способности томограмм, что позволит повысить точность постановки диагнозов в медицине, уточнить анализ биологических структур, определить строение технических деталей и т.д.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи.

1. Критический обзор существующих методов расчета МСПМ

2. Разработка и обоснование метода эквивалентных витков определения параметров постоянного магнита для формирования высокооднородного поля.

3. Разработка алгоритмов и программ, реализующих метод эквивалентных витков, и выполнение модельных компьютерных расчетов с построением топографии магнитного поля (графиков, характеризующих степень однородности шля).

4. Обоснование преимуществ метода эквивалентных витков расчета параметров магнита и его поля по сравнению с другими методами.

5. Исследование изменения карт магнитных полей в зависимости от значений параметров магнита и их погрешностей.

6. Исследование вопроса о конструктивных особенностях магнита в зависимости от материала магнита.

7. Проверка адекватности метода эквивалентных витков.

Методы исследования. В работе использованы прямые и обратные методы расчета конфигураций магнитов и их полей: методы скалярного и векторного потенциалов, метод диполей, метод эквивалентного соленоида. Использованы также математические методы: метод линейной аппроксимации, метод минимизации функционала с ограничениями, метод решения уравнения Лапласа.

Научная новизна работы состоит в следующем.

• Разработан метод определения конфигураций постоянных магнитов МР-томографов, создающих высокооднородные поля, - метод эквивалентных витков. Метод основан на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с током и для расчета магнитных полей использует формулы для полей витков.

• Для повышения однородности поля в наконечники магнита включены углубления и выемки ("ямки") — рассматриваются магниты сложной конфигурации.

• Разработана методика расчета параметров постоянного магнита путем минимизации функционала невязки.

• Показано, что на основе решения некоторого (одного) примера можно простым путем получить ряд других примеров, умножив все параметры магнита на некоторый множитель а (это согласуется с теоремами подобия МС).

• Выведены рабочие формулы, разработаны программы и решены модельные примеры с построением полевых карт, показавшие, что данный метод позволяет в

принципе получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью АЯ/Я = 10~5 -г1(Г6, т.е. 1-10 ррш в рабочей области.

• Показано, что погрешности изготовления постоянного магнита порядка 0.1 мм влекут повышение относительной неоднородности поля на порядок в рабочей области. Это предъявляет высокие требования к производству магнита.

,. • Установлено, что разработанный метод дает правильное (адекватное) описание поля постоянного магнита.

Основные положения работы, выносимые на защиту

1. Физическая формулировка метода эквивалентных витков расчета конфигурации постоянного магнита, обеспечивающей создание высокооднородного поля в зазоре магнита в некоторой рабочей области.

2. Вывод удобных формул и соотношений для расчета полей (фиктивных) витков с током, уложенных по внешней и внутренней поверхностям осесимметричного магнита, магнитных наконечников и углублений с выемками в углублениях.

3. Линейная аппроксимация профилей углублений и выемок и математический критерий определения оптимальных значений параметров осесимметричного магнита, наконечников, углублений и выемок.

4. Пакет программ для определения оптимальной формы осесимметричного магнита и для расчета его полевых карт методом эквивалентных витков.

5. Сравнение полученных результатов с результатами японских физиков, полученных методом скалярного магнитного потенциала с использованием измерений поля с помощью магнитометра.

6. Доказательство адекватности метода эквивалентных витков.

7. Оценка погрешности расчета полевых карт методом эквивалентных витков.

8. Рекомендации по снижению токов Фуко и учету непостоянства намагниченности и неоднородностей материала магнита.

Достоверность научных результатов работы подтверждается строгостью постановки задач, использованием устойчивых математических методов и сравнением результатов с известными методами и экспериментальными данными. Чтобы проверить адекватность изложенного в диссертации метода эквивалентных витков,

а именно, установить, насколько точно данный метод, основанный на аналогии постоянного магнита набору витков с током, описывает поля постоянных магнитов, были проведены сравнения нормированных напряженностей #z(z,0)/#z(0,0) и ЯД0,г)/Яг(0,0), рассчитанных данным методом для некоторой конфигурации постоянного магнита, с экспериментальными данными, полученными японскими физиками для такой же конфигурации магнита. Сравнение этих результатов позволило заключить, что погрешность построения линий на полевых картах методом эквивалентных витков (для идеализированного магнита) составляет менее 1%, что говорит о достаточной (в принципе) адекватности метода эквивалентных витков.

Практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы могут являться научной основой при проектировании MP-томографов на постоянных магнитах, формирующих высокооднородные поля. Методы расчета параметров постоянного магнита доведены до пр01раммных продуктов, позволяющих вести инженерные расчеты. Данную методику можно рекомендовать для практической реализации в виде дешевого отечественного MP-томографа, предназначенного, например, для определения распределения плотности в технических деталях или для обследования детей с целью выявления у них патологий на ранней стадии развития.

Реализация работы. Разработанная методика проходила и проходит апробацию и реализацию на мини-ЯМР-томографе с постоянным магнитом в лаборатории при кафедре Измерительных технологий и компьютерной томографии (ИТиКТ) СПбГУ ИТМО, в том числе, по НИР в рамках гранта РФФИ № 05-08-01304-а. Результаты работы используются в лекциях, практических и лабораторных работах по дисциплинам "Математические основы томографии" и "Алгоритмическое и программное обеспечение MP-томографов" при подготовке инженеров по специальности 200101 - "Приборостроение".

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на кафедре Измерительных технологий и компьютерной томографии СПбГУ ИТМО, на XXXI, XXXII, XXXV и XXXVI научно-технических конференциях СПбГУ ИТМО (2002 г., 2006 г. и 2007 г., СПб); на международной конференции "NMR in Condensed Matter" (2005 г., СПб); на 7-й сессии

международной научной школы "Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов" (2005 г., СПб); на IV межвузовской конференции молодых ученых (КМУ) (2007 г., СПб).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 5 журнальных статей.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографического списка из 58 наименований. Объем диссертации 114 страниц, 37 рисунков, 1 таблица.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности работы, перечислены основные существующие методы расчета МСПМ, изложены цели и задачи, научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе рассматриваются принципы определения распределений плотности cz {х, у) по z -сечениям объектов в MP-томографии (метод Кумара-Велти-Эрнста) на основе первоначального возбуждения частиц вещества и последующего получения от него и измерения ЯМР-сигналов. Показывается влияние не-однородностей магнитных полей на качество получаемых томограмм. Приводятся типы MP-томографов и их магнитов, формирующих магнитные поля. Излагаются основы магнетизма (закон Био-Савара-Лапласа, машетики, гипотеза Ампера, напряженность и индукция, гистерезис, коэрцитивная сила, типы магнитных материалов, постоянные магниты).

Во второй главе излагаются три метода расчета магнитных МСПМ.

Метод скалярного магнитного потенциала. В работах Яновского, Miyamoto, Abele и др. для расчета магнитного поля, создаваемого постоянным магнитом сложной конфигурации, используется скалярный магнитный потенциал и. Для потенциала и справедливо уравнение Лапласа. Напряженность магнитного поля . Н = Н(г,0,<|>) выражается через потенциал и соотношением: Н = -grad« = -Vu. Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах г, 8,ср имеет вид:

м(гДс|>)= ¿¿Г—1 (4"°созтц> + В^зттц)Р™(созб), г < г0, (1)

ш=0п=0^Г0

где Р™(х) = (1-х2У ^ Рп&У Го _ некоторая константа, Р„(х) - полиномы Ле-сЬст

жандра, Р„т (х) - присоединенные полиномы Лежандра, В^ - некоторые

коэффициенты, определяемые из граничных условий. Если, например, для заданной конфигурации магнита известны (измерены магнитометром) значения потенциала и на некоторой поверхности в нескольких ее точках, то подставляя в (1) его экспериментальные значения и,, г = 1,2,...,К, соответствующие координатам /¡,0,.,ф; на поверхности, получим систему К уравнений, решая которую найдем некоторое конечное число коэффициентов А^т\ п - 0,1, т = 0,1,..., А/.

Если же на некоторой поверхности известны производные потенциала и, т.е. компоненты напряженности поля Нх, Ну, Яг, то нужно путем дифференцирования

(1) найти

нх=--—, я„ =--——, Я2=-$. (2)

г дО ■ гвтЭЭф дг

Тогда, подставив в (2) экспериментальные значения {Нх)1, (Ну),, (Яг)г, измеренные на поверхности, получим систему уравнений относительно А^, В^. Если же постоянный магнит и, следовательно, его магнитное поле симметричны относительно оси г, то

00 ( \п

«(г,9) = V — 2„Р„(созе), г < г0,

где Хп - некоторые коэффициенты, определяемые из граничных условий.

Метод скалярного потенциала требует знания экспериментальных значений потенциала и (или напряженностей Нх, Ну, Яг) в нескольких точках на некоторой граничной поверхности. При этом для каждой новой конфигурации магнита нужно заново выполнить все перечисленные операции (в том числе, экспериментальные измерения). Видим, что метод скалярного потенциал является трудоемким.

Однако он позволяет решать задачу расчета МСПМ в самом общем виде, а именно, в случае наличия непостоянства намагниченности магнита (J Ф const), в случае наличия неоднородностей в материале магнита (когда его плотность р * const) и т.д. Поэтому в работах японских физиков широко использован этот метод.

Метод диполей. В этом методе используются элементарные магниты (диполи). В данном методе вычисление магнитного потенциала магнита сложной формы сводится к вычислению его гравитационного потенциала. А поскольку методы расчета гравитационного потенциала V тел различной конфигурации хорошо разработаны, то эти методы можно использовать для расчета магнитного потенциала различных тел с заданной (в частности, постоянной) намагниченностью. Данный метод является также трудоемким, хотя и не требует экспериментальных измерений, как метод скалярного потенциала. Тем не менее, он используется довольно редко.

Метод эквивалентного соленоида. Этот метод расчета магнитного поля постоянного магнита основывается на аналогии между полем постоянного магнита и полем поверхностных некомпенсированных амперовых токов. Это позволяет рассматривать постоянный магнит как соленоид с тонкой обмоткой с током. Несмотря на то, что метод эквивалентного соленоида получил значительное развитие и применение, требуется его дальнейшее совершенствование по следующим причинам.

- Метод эквивалентного соленоида развит в основном для случая постоянства намагниченности магнита, а это имеет место или для эллипсоидальных магнитов (идеализированные магниты), или для магнитов с очень высокой коэрцитивной силой Нс и остаточной намагниченностью Jr.

- Метод эквивалентного соленоида практически не развит для случая, когда наконечники магнита имеют углубления сложного профиля, а это наиболее важно для получения высокооднородного поля. В этом случае (фиктивные) витки, уложенные в углубления, строго говоря, не образуют соленоид и нужно говорить не об эквивалентном соленоиде, а об эквивалентных витках.

- Метод эквивалентного соленоида в основном использовался для решения прямой задачи (задачи анализа) - расчета магнитного поля по заданной конфигурации магнита, а более важна обратная задача (задача синтеза) - отыскание конфигурации магнита, при которой создается наиболее однородное поле.

В качестве дальнейшим развития метода эквивалентного соленоида предлагается в диссертации метод эквивалентных витков. Основные положением метода эквивалентных витков следующие.

- Метод эквивалентных витков опирается на гипотезу Ампера о существовании молекулярных токов в веществе. В магните в виде, например, однородного цилиндра (рис. 1) под влиянием внешнего поля Но возникают круговые токи, взаим-нокомпенсированные в теле цилиндра и некомпенсированные на его боковой поверхности. Эти токи аналогичны токам в круговых витках или соленоидах.

— При рассмотрении постоянного магнита сложной конфигурации (в виде двух половин с зазором и наконечниками, внутри которых - углубления сложного профиля, рис. 2) ставится задача — найти такую форму (геометрию) магнита, в первую очередь, профиль углубления, при которой формируется высокооднородное поле.

— В методе эквивалентных витков полагается, что на боковые (наружные) поверхности магнита и наконечников, а также на внутренние поверхности - поверхности углублений - уложены фиктивные витки с током. В отличие от метода эквивалентного соленоида, рассматриваются, вообще говоря, изолированные витки переменного радиуса R(z') (рис. 2) и закон R(z') подлежит определению.

— Метод эквивалентных витков изложен в основном для случая идеализированного магнита, когда J = const, что справедливо для магнитов с очень большими Нс и Jr. Однако в диссертации рассмотрен (в гл. 6) также случай, когда J * const.

'о

Рис. 1. Постоянный магнит с молекулярными токами

Рис. 2. Постоянный магнит с зазором и полюсными наконечниками с углублениями и "ямками" (общая схема)

Диссертация посвящена конструктивной, детальной разработке метода эквивалентных витков определения оптимальных конфигураций (форм) постоянных осесимметрйчных магнитов и расчета их магнитных полей. При этом под оптимальной формой магнита подразумевается такая форма, при которой создается наиболее однородное поле в некоторой рабочей области магнита МР-томографа.

В третьей главе приводятся известные формулы для продольной Н2 и поперечной Нг составляющих магнитной напряженности Н, создаваемой тонким круговым витком с током и соленоидом. Рассмотрены случаи: напряженность на оси и вне оси витка или соленоида, случай соленоида с зазором и т.д.

Формулы, справедливые для отдельных круговых витков с током, могут быть использованы для расчета магнитного поля осесимметричного постоянного магнита, если представить магнит в виде набора (фиктивных) круговых витков с током, уложенных на его наружную и внутреннюю поверхности.

В четвертой главе рассматривается сложный магнит (рис. 2), имитируемый набором витков с током, уложенных по его поверхностям.

Рассмотрим магнит (рис. 2) в виде двух цилиндров с полюсными наконечниками и зазором. Внутри каждого наконечника сформируем углубление (hollow), а внутри каждого углубления - "горку" (hill) или же "ямку" (small pit), или выемку (recess). В работах Miyamoto, Sakurai, Aoki и др. внутри углубления формируется "горка" (hill), или выпуклый выступ, однако "ямка", как показало моделирование, дает более однородное поле. Такой магнит (с зазором, углублениями и "ямками") будем называть постоянным магнитом сложной конфигурации.

Введем следующие обозначения. Параметры магнита: L - длина магнита, 5 - длина наконечника, Ä] - радиус наконечника, R2 - радиус магнита, А - полудлина зазора. Формы углублений и "ямок" аппроксимируем прямыми линиями. Прямолинейная аппроксимация наиболее проста при математической и технической реализации, а также порождает наиболее устойчивый алгоритм.

Прямолинейной аппроксимации соответствует следующая формула для радиуса витка, уложенного в углубление, в функции z':

Ä(z') = -(A-|z'|)+P + ®, (3)

g

и формула для радиуса витка, уложенного в "ямку" (выемку):

Ä(z') = i(A + ir-|z'|) + Ti + Ü. (4)

Р

Параметры углубления: глубина g, минимальный радиус р и максимальный радиус p + cj; параметры "ямки": глубинар, минимальный радиус т] и максимальный радиус т[ + ^.

Параметры магнита/-, 5, Rl? R2, А будем считать заданными, а параметры углубленияg, р, а,р, r|, t, подлежащими определению.

Критерий выбора параметров углублений. В качестве критерия выбора оптимальных значений g, р, ст,р, r|, \ используем условие минимума отклонения рассчитанного поля от однородного:

Eopt= min е, .(5)

где

« = —I

tfz(z,-,0)-tfz(0,0)

(6)

#¿(0,0)

причем п - число дискретных шагов h вдоль z от z = 0 до z = Д/2. Задачу минимизации (5) можно решать, используя известные методы минимизации функционалов без ограничений и с ограничениями на искомые параметры (градиента, Ньютона, координатного спуска, проекции градиента и др.)

При этом ограничения на параметры целесообразно задавать в виде:

("/ )min £ И/ * (»/ )тах> »' = № ,6, (7)

где их = g, и2 = Р, Uj = СТ, и4 =р, и5 = Г1, «6 = а значения (M,)min, (и;)тах следует выбирать, исходя из физико-технических ограничений на параметры, из решения близких задач и т.д.

После определения оптимальных значений параметров g, р, о,р, tj , можно

рассчитывать поля Hz(z,r), Hr(z,r), Нт(z, г) = *JН1, (z,г) + Н?(z,г) путем суммирования по отдельным (фиктивным) виткам.

В пятой главе описан пакет программ MAGNET для определения оптимальных значений параметров постоянных цилиндрических магнитов с зазорами и наконечниками, имеющими углубления и "ямки" или "горки" (с целью повышения однородности полей), а также для расчета их магнитных полей. В программах реализован метод эквивалентных витков расчета магнитных полей постоянных магнитов, основанный на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с током. Программы разработаны на MS Fortran 5 и Fortran 90, а графика — на MathCAD, CorelDRAW и PaintBrush. Приведены: структура пакета, инструкции к программам и тексты исходных модулей (листинги программ).

Сначала задаются параметры магнита L, 8, flj, R2, А. Потом определяются оптимальные параметры углубления и "ямки" (или "горки") g, р, ст, р, т|, % с использованием формул (3)~(7), а также с выполнением суммирования по (фиктивным) виткам. При этом перед определением оптимальных параметров задаются их минимальные и максимальные возможные значения. Затем рассчитываются двух-

мерные поля #z(z,r), Hr(z,r), Hm(z,r). При этом формируются файлы данных, по которым в дальнейшем строятся в MathCAD'e графики.

В шестой главе приведены результаты расчета нескольких-численных примеров. В примерах заданы параметры магнита L, 8, R\, Кг, А и определяются оптимальные значения параметров углубления g, р, а, р, ri, а также вычисляется относительная неоднородность поля е. Приведены графики функций H2(z,0)/H2(0,0) и tfz(0,r)/#z(0,0), а также изолинии поля Hm(z,r)/Hm(0,0) (линейные и логарифмические) и линии магнитной напряженности H(z,r). Рассмотрены также вопросы об умножении всех параметров на некоторый множитель а > 0 и о материале магнита.

Рассмотрим один из примеров магнита (рис. 2), имеющего следующие параметры (в мм): £ = 8 = 100, Щ =R2 = R = 320, Д = 150. Это - заданные параметры.

Для расчета компонент поля Hz{z,r), Hr(z,r) и Нт(z,r) в зазоре задавалась сетка узлов: z е [0, zmax ], г е [0, rmax ] с шагом дискретизации h = Az = Ar = 1 мм, где zmax = rmax =140 мм. Суммирование по (фиктивным) виткам магнита, углублений и "ямок" производилось с шагом дискретизации A z' = 0.5 мм.

Сначала рассчитывалась функция Нz (z,0) путем суммирования по (фиктивным) виткам, причем поля витков углублений и "ямок" вычитались из полей витков магнита и его наконечников. Данный расчет не требует больших затрат компьютерного времени в виду простоты формулы для Hz{z,0).

Искомые параметры углубления g, р, а, р, т|, % определялись путем минимизации (5)—(7) при п = 75, т.е. до z = А / 2 = 75 мм. При этом к ограничениям добавлялись ещё условия: А должно быть кратно Az, a L, 8, g и р кратны Az'.

В результате были получены следующие оптимальные значения параметров: e = eopt = 2.719-Ю-6 »2.72ppm, j? = gopt-81.0мм, р = р^ = 209.7 мм, ' CT = aopt =90.6мм, р — Рор^ =3.5 мм, Л = Л0Р1 =85.5мм, £ = =1.4 мм.

Затем при найденных оптимальных параметрах была рассчитана функция Нг(0,г) при 2 = 0. На рис. 3 приведены две нормированные функции: Н2(г,0) и Яг(0,г) при оптимальных значениях параметров.

1 2

] (ХОД

I

099О8 09996 09994 09992 0 9990 0 9988 0 9986 09984 09«2

1 1 | ь £.0 т

1 1

1 / УV ■Я,(0,(0'

! 1 Л \

1 \

1 . \

1 >

1

! »

1 !

20 30 40 50 "0 50 90 100 110 120 ПО 140

г, г

Рис. 3. Функции (поля) Щг,0) и ЩО^) при оптимальных значениях параметров

Рис. 4. Изолинии нормированного поля Ят(г,г)/Я„(0,0)

Результаты, отображенные на рис. 3, качественно близки результатам японских физиков. Однако, как уже было отмечено выше, в работах японцев в основания углублений были введены "горки", а в данной работе введены "ямки", что позволило получить более однородное поле. Кроме того, компьютерное моделирование, характерное для метода эквивалентных витков, использованного в данной диссертации, позволяет более точно определить искомые параметры р, ст,р, т], и получить более однородное поле, чем это можно сделать трудоемким методом скалярного потенциала, использованным в работах японских физиков.

Далее были рассчитаны компоненты поля Н2(г,г), Нг(г,г) и Нт(г,г) на всей сетке узлов г, г. На рис. 4 приведены изолинии нормированного поля Ня(2,г)/Ня{ 0,0).

На рис. 5 для большей наглядности приведены изолинии функции (логарифм относительной неоднородности поля) ^ \Н„(г,г}-Нт(0,0)\/Нт(0,0), причем непрерывными линиями отображены изолинии, а пунктирной линией - 50-процентная зона (рабочая зона радиуса А/2 ). Видим, что рис. 5 дает более точное представление о неоднородности поля, чем рис. 3 или 4.

Рис.5. Изолинии логарифма относительной неоднородности поля 1ё \Н„(г,г}-Нт(0М!Н„(0,0)

Сделаны важные замечания: если значения всех параметров Ь, 8, Л2, А, g, р, о, р, т|, Е, умножить на некоторый множитель а > 0, т.е изменить абсолютный геометрический масштаб всего магнита, то относительные полевые карты (рис. 3—5) не изменятся, а также не изменятся абсолютные значения поля, например, Н2{г, 0). В результате вид кривых на рис. 3-5 не изменится. Лишь гиг нужно умножить на а. Например, положив в примере а = 1.4, получим новые значения параметров (в мм): 1 = 5 = 140, Л1=Л2=448, А = 210, £=113.4, р = 293.58, а = 126.84, /> = 4.9, Т1 = 119.7, 5 = 1.96, Л = 1.4, *тах =гтах =196, А*'* 0.7,

•с

А/2 = 105. При этом е сохранит свое значение: е = 2.719-10_6, а также сохранят свой вид кривые на рис. 3-5 и центральное поле (без нормировки) Н2 (0,0) сохранит свое значение. При этом сложных пересчетов делать не нужно. Эти замечания коррелируют с известными теоремами подобия магнитных систем.

Основные выводы и результаты работы:

1. Развит метод эквивалентных витков определения оптимальной конфигурации осесимметричного постоянного магнита МР-томографа, позволяющей создать высокооднородное поле в рабочей области магнита. Для достижения высокой однородности поля в наконечниках магнитов использованы углубления и "ямки" (выемки), т.е. рассматриваются постоянные магниты сложной конфигурации. Для расчета полей использована аналогия между постоянным магнитом (а также его наконечниками, углублениями и "ямками") и набором круговых витков с током.

2. Проведено сравнение данного метода с методом скалярного потенциала, методом диполей и методом эквивалентного соленоида. Сделан вывод, что метод скалярного потенциала является значительно более трудоемким, чем другие методы.

3. В предложенном методе (эквивалентных витков) профиль углублений и "ямок" аппроксимируется прямыми линиями, что делает алгоритм их определения наиболее устойчивым, а техническое изготовление - наиболее простым и надежным. В результате получается 6 искомых параметров углублений и "ямок": g, р, а, р, г), ^ и 5 задаваемых параметров магнита и наконечников: Ь, 8, Щ, А. Параметры углублений и "ямок" предложено находить путем минимизации невязки е между рассчитанным полем Н2 (г, 0) и однородным полем на г-оси на некотором отрезке г е [0, гЬот ], где например, гЬот = 0.5А, причем А - полудлина зазора.

4. Выведены рабочие формулы, разработаны программы, решены модельные примеры, показавшие что данный метод позволяет в принципе (при однородности намагниченности магнита) получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью АН^^АН/Н ~ КГ'-КГ6, т.е. 1-10 ррт.

5. Разработанный метод эквивалентных витков позволяет достичь высокой однородности полей: е » 3-5ррш, а в работах японских физиков, использующих метод скалярного потенциала, достигается однородность поля е »30-70ррт, причем в примерах, близких нашим примерам, и примерно в одинаковых рабочих областях.

6. Решение численных примеров при искаженных значениях параметров магнита, магнитных наконечников, углублений и выемок позволило сделать следующий вывод. Бели погрешности производственного изготовления постоянного магнита

сложной конфигурации составляют в среднем »0.1мм, то это заметно искажает картину поля с относительной неоднородностью Aff^ сЮ"6 в рабочей области, что предъявляет повышенные требования к изготовлению магнита.

7. Сравнение результатов расчета магнитного поля реального магнита методом эквивалентных витков с результатами измерений поля этого же магнита с помощью магнитометра позволяет сделать вывод, что погрешность расчета линий на полевых картах методом эквивалентных витков составляет менее 1% (для идеализированного магнита). Это говорит о том, что метод эквивалентных витков дает (в принципе) правильное описание полей постоянных магнитов.

8. Рассмотрен способ умножения всех параметров некоторого рассчитанного примера на некоторое число а > 0. Это позволяет получать ряд новых примеров без их решения, что экономит компьютерное время.

9. Рассмотрен вопрос о материале магнита. Магнит может быть изготовлен из современного МТМ типа Nd-Fe-B, Sm-Co, РЗМ, Альнико и др. В этом случае метод эквивалентных витков даст достаточно точные результаты вследствие практически однородной намагниченности J. Если же магнит изготовить, например, из мягкого железа, то для устранения размагничивания железа можно воспользоваться подпитывающей катушкой с током простой конфигурации, но будет J Ф const.

10.В случае, когда имеет место неоднородность намагниченности (J * const), а также неоднородность плотности (р*const) материала магнита, предложено сделать более точный расчет магнита и поля с помощью иного метода (например, метода скалярного потенциала), использующего измерения поля магнитометром - в этом случае результаты расчета методом эквивалентных витков следует использовать в качестве хорошего начального приближения.

11.Для устранения токов Фуко, искажающих магнитное поле, предлагается изготавливать магнит из набора стержней, параллельных оси магнита.

12.Данную методику можно рекомендовать для быстрого компьютерного расчета параметров постоянного магнита сложной конфигурации МР-томографа.

б

До теме диссертапни опубликованы следующие работы;

1. Сизиков В.С., Марусина МЯ., Иванов С.В., Колобухова TJS., Николаев Д.Б., Соколов Д.Ю., Хомутникова Е.В. Прямая и обратная задачи синтеза магнитного поля в ЯМР-томографе // Научно-техн. Вестник СПбГИТМО (ТУ). 2001. Вып. 3. С. 209-214.

2. Иванов С.В., Рущенко Н.Г., Сизиков B.C., Соколов Д.Ю., Хомутникова Е.В. О решение задачи синтеза магнитного поля в MP-томографе методом регуляризации с ограничениями и методом аппроксимации 5-функцией // Научно-техн. Вестник СПбГИТМО(ТУ). 2003. Вып. 9. С. 105-112.

3. Sizikov V.S., Neronov Yu.1, Soholov D.Yu. Chi synthesis of high-homogeneous field of a permanent magnet in MR imaging // Int Symp. "NMR in Condensed Matter". Book of Abstracts 2nd Meeting "NMR in Life Sciences", 11-15 July 2005, SPb, Russia. -SPb.: Solo Publisher, 2005. P. 53.

4. Соколов Д.Ю., Сизиков B.C. Синтез поля постоянного магнита MP-томографа и задача механики о реконструкции плотности объекта // Тезисы докл. 7-й сессии межд. научн. шк. "Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов" (VPB-05), 24-28 окт. 2005, СПб. - СПб.: ИП-МАШ РАН, 2005. С. 102.

5. Сизиков B.C., Соколов ДЮ. О синтезе высокооднородного поля постоянного магнита в MP-томографии // Научное приборостроение. 2006. Т. 16, № 4. С. 65-72.

6. Сизиков B.C., Соколов ДЮ. О повышении однородности поля постоянного магнита MP-томографа // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 12. С. 32-38.

7. Неронов Ю.И., Сизиков В.С., Соколов ДМ. Формирование высокооднородного поля постоянного магнита MP-томографа // Научно-техн. Вестник СПбГУ ИТ-МО. 2006. Вып. 32. С. 129-137.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникацию) 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел.(812)233 4669 Объем 1 у.пл Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВЫ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ

ПО СЕЧЕНИЯМ ОБЪЕКТОВ В МР-ТОМОГРАФИИ.

1.1. Ларморова прецессия магнитных моментов протонов.

1.2. Метод Кумара-Велти-Эрнста реконструкции MP-изображений.

1.3. Влияние неоднородностей магнитных полей на разрешающую способность томограмм.

1.4. Типы MP-томографов и их основные характеристики.

1.5. Основы магнетизма.

Выводы по главе 1.

2. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ СИСТЕМ

С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ.

2.1. Метод скалярного магнитного потенциала.

2.2. Метод диполей.

2.3. Метод эквивалентного соленоида и метод эквивалентных витков.

Выводы по главе 2.

3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВИТКОВ С ТОКОМ И СОЛЕНОИДОВ.

3.1. Случай тонкого кругового витка с током.

3.2. Частные случаи кругового витка с током.

3.3. Случай соленоида.

3.4. Случай соленоида с зазором.

Выводы по главе 3.

4. МАГНИТ СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ.

4.1. Общая конструкция постоянного магнита.

4.2. Параметры магнита и углублений.

4.3. Критерий выбора параметров углублений.

Выводы по главе 4.

5. ПАКЕТ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ВЫСОКООДНОРОДНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ.

5.1. Общая характеристика пакета.

5.2. Инструкции к программам.

5.3. Листинги программ.

Выводы по главе 5.

6. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ФОРМЫ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА, ФОРМИРУЮЩЕГО ВЫСОКООДНОРОДНОЕ ПОЛЕ

6.1. Пример 1.

6.1. Пример 2.

6.3. Модификация примера 2.

6.4. Влияние производственных погрешностей изготовления магнита на однородность поля.

6.5. Проверка адекватности метода эквивалентных витков.

6.6. Замечания математического и технического характера.

Выводы по главе 6.

Актуальность темы. Для исследования внутренней структуры материальных объектов широко используются разные виды томографии: рентгеновская компьютерная томография (РКТ) [29, п. 1.1], [40, т. 1], [54, с. 9], магнитно-резонансная томография (МРТ) [4, 9, 13], [29, п. 1.2], [40, т. 2], [17, с. 41], позитронно-эмиссионая томография (ПЭТ) [40, т. 2], [17, с. 84] и т.д. В диссертационной работе рассматриваются некоторые вопросы МРТ - томографии, основанной на явлении ядерного магнитного резонанса (ЯМР) [3].

Магнитно-резонансная томография является одним из ведущих методов неинвазивной (невторгающейся, неразрушающей) диагностики объектов. Рентгеновская компьютерная томография обеспечивает наибольшую разрешающую способность по сравнению с МРТ и ПЭТ и при этом рентгеновские томографы заметно дешевле MP-томографов. Однако РКТ оказывает наибольшие вредные воздействия на организм пациента и особенно обслуживающего персонала. МРТ таким воздействием практически не обладает. Вот почему MP-томографы чаще используются в медицине (для диагностики организмов пациентов), чем РК-томографы. МРТ применяется также в спектроскопии (для определения химического состава вещества), в физике (для исследования механических, электрических и магнитных свойств ядер, определения с высокой точностью некоторых физических констант, получения данных о свойствах веществ в жидком и кристаллическом состояниях, о строении молекул металлов и т.д.), в биологии (для изучения структур молекул ДНК, РНК, рибосом, хромосом и т.д.), в технике (для изучения строения технических изделий) и т.д.

Магнитно-резонансная томография за последние годы стала одним из основных методов медицинской диагностики. С 70-х годов, когда принципы ядерного магнитного резонанса впервые стали использоваться для исследования человеческого тела, до сегодняшних дней метод медицинской диагностики на основе ЯМР сильно изменился и продолжает развиваться. Совершенствуются математическое и программное обеспечение, а также техническое оснащение, развиваются методы получения качественных (незашумленных) томографических изображений (томограмм) и т.д. Благодаря этому развитию находятся всё новые сферы применения МРТ. Если сначала её применение ограничивалось исследованием центральной нервной системы, то в настоящее время МРТ применяется практически во всех областях медицины.

Обычно [10] аппаратура MP-томографа содержит магнитную систему (МС), состоящую из магнита (постоянного, резистивного, сверхпроводящего и т.д.), формирующего основное и дополнительные (градиентные) магнитные поля, комплекса электронной аппаратуры и управляющего вычислительного комплекса. Магнитная система - наиболее сложная и дорогостоящая часть MP-аппаратуры, во многом определяющая качество всего MP-томографа. Поэтому к расчету и изготовлению МС предъявляются повышенные требования.

Основные требования, предъявляемое к МС, - высокая относительная однородность магнитного поля в рабочем объеме, а также достаточно большая величина рабочего объема, умеренный вес МС и умеренная потребляемая мощность МС. Что же касается ещё одного требования - достаточно большое магнитное поле в рабочем объеме, то ещё в 80-е годы фирмы производители MP-томографов ориентировались на производство высокопольных MP-томографов (с полем 1.5 Тл и выше), а сейчас основные производители MP-томографов ("Дженерал Электрик", "Сименс", "Тошиба", "Пикер", "Брукер" и др.) главное внимание стали уделять выпуску среднепольных и даже низкопольных томографов (0.11 Тл) [17, с. 55]. Это связано с тем, что улучшились технические и алгоритмические характеристики всех томографов (усовершенствовались алгоритмы расчета магнитных систем и построения томограмм, повысилось качество изготовления МС и т.д.) и в результате высокопольные томографы перестали иметь существенные преимущества перед средне-и даже низкопольными томографами (кроме ЯМР-спектроскопии [21], где по-прежнему требуются высокие поля).

Как показано в [8, 9], [29, с. 51], для получения разрешения на томограммах в доли мм требуется относительная неоднородность магнитного поля А Я/Я порядка или 1-10 ррт. Такая высокая однородность поля достигается за счет определения соответствующей конфигурации (формы) магнита. При этом отметим, что магниты МР-томографов бывают трех типов: постоянные (перманентные), резистив-ные и сверхпроводящие [17, с. 54].

Постоянные магниты - это магниты, которые могут быть изготовлены из дорогостоящих высокоэнергетичных ферромагнитных сплавов с большим остаточным намагничением (остаточной намагниченностью [26, с. 28]) и большой коэрцитивной силой [42, с. 322], например, сплава Nd-Fe-B [49, 52-57]. Такие сплавы приобретают магнитные свойства при одноразовом включении намагничивающего магнитного поля и сохраняют остаточное намагничение без использования электричества. Такие сплавы называются "твердыми" магнитными материалами, или "жесткими" сталями [42, с. 323], или магнитно-твердыми материалами (МТМ) [15, с. 27], [26, с. 34], [41, с. 372]. Можно использовать также недорогие "мягкие" магнитные материалы (магнитно-мягкие материалы -МММ [15, с. 26], [41, с. 371]), например, мягкое железо с малой коэрцитивной силой и малым остаточным намагничением [42, с. 323], которое самопроизвольно пропадает при отключении намагничивающего поля, но может сохраняться при наличии катушки с током простой конфигурации.

Резистивные магниты - это электромагниты, состоящие из обмотки с током. При этом обмотка охлаждается водой.

Сверхпроводящие магниты - это электромагниты, находящиеся во время работы в сверхпроводящем состоянии за счет их охлаждения жидким гелием или азотом [17, с. 54].

Чтобы создать высокооднородное поле, резистивные и сверхпроводящие магниты изготавливают обычно из нескольких "толстых" корректирующих (скомпенсированных) катушек [1, с. 50-55], [8, 10], [27]. Что же касается постоянных магнитов, то для создания высокооднородного поля их изготавливают в виде двух половин с зазором и углублениями сложной формы в магнитных наконечниках [52-57].

Условно можно считать, что перманентные и резистивные магниты формируют магнитные поля до 0.3-0.5 Тл, а сверхпроводящие магниты - свыше 0.5 Тл [17, с. 54]. При этом вес постоянных магнитов около 8 т, а стоимость около 700 тыс. долларов [52-57]. Вес резистивных магнитов т, а стоимость 100-200 тыс. долларов [9]. Сверхпроводящие магниты имеют вес 6-8 т и стоимость 1-10 млн. долларов.

Данная диссертация посвящена вопросам формирования высокооднородных полей постоянных (перманентных) магнитов МР-томогра-фов. Преимущество постоянных магнитов перед резистивными и сверхпроводящими магнитами состоит в том, что постоянные магниты не требуют охлаждения жидким гелием, азотом (это дорого и опасно) или водой и питания электричеством. Правда, они создают относительно низкие поля (0.1-0.5 Тл), но это, как отмечено выше, не следует считать недостатком, так как в последние годы всё больше стало выпускаться среднепольных и даже низкопольных МР-томографов.

Однако расчет конфигурации (формы) постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное магнитное поле, требует специального алгоритмического подхода. Дело в следующем. Существует ряд хорошо разработанных методов (способов) расчета магнитных полей, создаваемых витками с током различной конфигурации (изолированные витки, соленоиды, катушки с зазором и/или пазом и т.д.) [1, 10, 11, 14, 18, 20, 30, 31, 38, 46, 50, 51] и все эти методы основаны на законе Био-Савара-Лапласа [19, с. 66], [23, с. 198], [37, с. 202], [39, с. 295], [41, с. 54], [42, с. 277]. Сложнее обстоят дела с расчетом магнитных полей, создаваемых постоянными магнитами, и это связанно с тем, что: а) не существует реальных магнитных зарядов - монополей [37, с. 248, 611], [42, с. 330], [44, с. 36], поэтому используются магнитные диполи, что приводит к несколько более сложному закону, чем закон Био-Савара-Лапласа; б) в постоянном магните нужно учитывать такие явления, как намагничивание и размагничивание материала магнита, гистерезис, возможную неодинаковость намагничивания во всех точках магнита, неоднородность материала магнита, наличие индукционных токов Фуко и т.д. [1,42, 15, 26]; в) имеет место более сложный математический аппарат расчета полей постоянных магнитов (методы скалярного и векторного потенциалов и др. [1, 15-26, 39, 44, 45, 52, 55-57]), чем аппарат расчета полей витков с током.

Тем не менее, можно отметить, что для расчета постоянных магнитов развиты следующие методы: метод отношений, метод размагничивающего фактора Аркадьева и метод эквивалентного соленоида [26, с. 185-211], а так же методы скалярного и векторного потенциалов и метод диполей [1, 15, 26, 44]. Дадим краткую характеристику некоторым методам (более подробно они изложены в гл. 2).

В работах [1, 44, 45, 52, 55-57] для расчета магнитного поля, создаваемого постоянным магнитом сложной конфигурации (магнит с наконечниками и углублениями), используется скалярный магнитный потенциал [1, 16, 15-39, 44, 45, 55, 57], для которого справедливо уравнение Лапласа. Решение уравнения Лапласа записывается в виде суммы по полиномам Лежандра с некоторыми коэффициентами, определяемыми из граничных условий. Чтобы найти эти коэффициенты, нужно в зазоре реального магнита с реально созданной конфигурацией сделать измерения магнитометром значений потенциала в ряде точек, после чего коэффициенты будут найдены путем решения системы линейных алгебраических уравнений. После этого потенциал (или напряженность) поля можно будет рассчитать во всех точках пространства и вычислить относительную неоднородность поля |Д#|/# в некоторой области. Затем следует создать техническим путем новую конфигурацию магнита и заново выполнить все перечисленные операции (в том числе, экспериментальные измерения). Назовем этот метод методом скалярного магнитного потенциала. Видим, что данный метод является весьма трудоемким. Отметим, что в работах японских физиков [52-57], а также [45] и др. математические подробности этого метода изложены крайне скупо, например, не указано, как находить коэффициенты, входящие в решение уравнения Лапласа. И только в книге Яновского Б.М. [44] изложены эти подробности, хотя 1-е издание этой книги вышло ещё в 1964 г., т.е. на четверть века раньше японских работ. Подробнее метод скалярного магнитного потенциала изложен в гл. 2.

В работе [44] для расчета поля магнита используются элементарные магниты - диполи. Для магнитной напряженности диполя имеет место формула, весьма похожая на формулу закона Био-Савара-Лапласа. Поле, создаваемое всем магнитом, можно найти, интегрируя по отдельным диполям. Этот метод является также трудоемким, хотя не требует экспериментальных измерений, как предыдущий метод. Подробнее метод, использующий диполи, изложен в гл. 2.

Во многих работах ([1, 15, 26] и др.) использован также метод, называемый методом эквивалентного соленоида. Этот метод основан на аналогии между полем постоянного магнита и полем поверхностных некомпенсированных амперовых токов и, как следствие, на возможности рассматривать постоянный магнит как соленоид. Однако этот метод развит в основном для случая, когда намагниченность магнита J = const (одинакова во всех точках магнита), а таким свойством обладают лишь магниты эллипсоидальной формы (идеализированные магниты) или магниты с очень высокой коэрцитивной силой и остаточной намагниченностью [1, 15, 26]. Кроме того, метод эквивалентного соленоида практически не развит для случая, когда наконечники магнита имеют углубления сложного профиля (в этом случае витки, уложенные в углубления, не образуют соленоид). Наконец, метод эквивалентного соленоида в основном используется для решения прямой задачи - расчета магнитного поля по заданной форме и размерам магнита, а для разработки магнитов, предназначенных для формирования высокооднородных полей, более важна обратная задача - расчет конфигурации магнита, при которой создается наиболее однородное поле (с использованием ряда ограничений на параметры магнита).

Данная диссертационная работа посвящена разработке метода, который будем называть методом эквивалентных витков и который является естественным продолжением метода эквивалентного соленоида.

Данный метод (метод эквивалентных витков) основывается на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с током. В свою очередь, эта аналогия опирается на гипотезу Ампера [1, с. 71], [15, с. 55], [25, с. 95], [37, с. 286], [42, с. 306] о существовании молекулярных токов в веществе. Эти токи внутри вещества практически компенсируют друг друга и лишь по поверхности тела (магнита) текут некомпенсированные токи, аналогичные токам в витках или соленоидах. Поэтому для расчета магнитных полей постоянных магнитов можно использовать формулы для магнитных полей отдельных витков и соленоидов с током.

Тема диссертации, посвященной разработке метода определения конфигурации постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное поле в MP-томографе, является актуальной, так как позволяет чисто математико-компьютерным моделированием рассчитать подходящие конфигурации постоянных магнитов, при которых создаются высокооднородные поля в MP-томографах, что ведет к повышению точности определения распределения плотности вещества в объекте, повышению качества MP-томограмм и улучшению диагностики.

Целью диссертационной работы является разработка метода определения оптимальной конфигурации (формы) постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное поле в МР-томографе, иначе говоря, разработка метода решения задачи интегрального синтеза высокооднородного поля постоянного магнита в некоторой рабочей области MP-томографа. К цели работы относится также разработка численных алгоритмов и программ и выполнение модельных расчетов. Решение задачи синтеза высокооднородного магнитного поля имеет первостепенное значение для повышения разрешающей способности томограмм, что позволит повысить точность постановки диагнозов в медицине, уточнить анализ биологических структур в биологии и химии, определить плотность технической детали в механике и т.д.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи.

• Обзор существующих методов (способов) расчета оптимальных конфигураций постоянных магнитов и их магнитных полей.

• Разработка метода эквивалентных витков определения параметров постоянного магнита, обеспечивающих формирование высокооднородного поля в рабочей области магнита МР-томографа.

• Обоснование данного метода, основанного на аналогии между полем постоянного магнита и полем набора витков с током.

• Разработка рабочих алгоритмов и программ для решения задачи формирования высокооднородного магнитного поля МР-томографов.

• Выполнение модельных компьютерных расчетов с построением топографии магнитного поля в рабочем объеме (графиков, характеризующих степень однородности магнитного поля).

• Обоснование преимуществ разработанного метода расчета параметров магнита и его поля по сравнению с другими методами (способами).

• Исследование изменения карт магнитных полей в зависимости от значений параметров магнита.

• Исследование вопроса о конструктивных особенностях магнита в зависимости от материала, из которого он изготовлен.

Научная новизна:

• Разработан метод определения конфигураций постоянных магнитов MP-томографов, создающих высокооднородные поля. Этот метод основан на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с током и поэтому для расчета магнитных полей использует формулы для полей витков.

• Для достижения высокой однородности поля в наконечниках магнита использованы углубления, а внутри углублений - выемки ("ямки"), т.е. рассматриваются постоянные магниты сложной конфигурации.

• Разработана методика расчета параметров постоянного магнита путем минимизации функционала невязки.

• Показано, что на основе решения некоторого (одного) примера, можно простым путем получить ряд других примеров, умножив все параметры магнита на некоторый множитель а (это вытекает из теорем подобия МС).

• Выведены рабочие формулы, разработаны программы и решены модельные примеры с построением полевых карт, показавшие, что данная методика позволяет в принципе получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью

А Я/Я = 10~5 -МО-6, т.е. 1-10 ррш в рабочей зоне.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут являться научной основой при проектировании MP-томографов на постоянных магнитах, формирующих высокооднородные поля. Методы расчета параметров постоянного магнита доведены до программных продуктов, позволяющих вести инженерные расчеты. Данную методику можно рекомендовать для практической реализации в виде дешевого отечественного MP-томографа, предназначенного, например, для определения распределения плотности вдоль технической детали или для обследования детей с целью выявления у них патологий на ранней стадии развития.

Выводы по главе 6

1. Приведены результаты расчета двух численных примеров. В примерах задаются параметры магнита и наконечников L, 8, Щ, R2, А и определяются оптимальные значения параметров углубления g, р, а,р, г|, а также вычисляется относительная неоднородность поля е. Значения 8 получились меньшими («3-4ррт), чем в работах японских физиков [54, 55] («30 ррт). Это связано не только с тем, что в японских работах используются "горки", а мы использовали "ямки" в углублениях, но и с тем, что изложенная в диссертации методика (метод эквивалентных витков) позволяет путем компьютерного моделирования просчитать огромное количество вариантов и определить с большей точностью значения параметров.

2. Рассчитана топография магнитного поля в рабочем объеме, а именно, приведены графики полей #z(z,0)/#z(0,0) и Нz(0,r)/Hz(0,0), а также изолинии поля Hm(z,r)/Hm(0,0) как линейные, так и логарифмические. Сделан вывод, что логарифмические изолинии поля дают гораздо лучшее представление о распределении неоднородности поля.

3. Сравнение результатов расчета двух приведенных численных примеров, а также анализ примеров, данных в работах [52, 54-57], позволяет сделать вывод, что однородность поля уменьшается (е понижается) с уменьшением отношения A/R, где R = (R\ + R2)/2, а также с уменьшением L + 8. Можно рекомендовать брать отношение А/R примерно в диапазоне 0.43-0.47.

4. Сравнение результатов расчета магнитного поля реального магнита методом эквивалентных витков с результатами измерений поля этого магнита с помощью магнитометра позволило сделать вывод, что относительная погрешность расчета неоднородностей поля (другими словами, погрешность расчета полевых карт) методом эквивалентных витков составляет менее 1% (для идеализированного магнита), что говорит о том, что метод эквивалентных витков дает в принципе правильное (адекватное) описание полей постоянных магнитов.

5. Рассмотрен вопрос о том, что умножение всех параметров на некоторый множитель а > 0 позволяет получить ряд новых примеров без их решения, что экономит компьютерное время.

6. Рассмотрен вопрос о материале магнита. Магнит может быть изготовлен из современного магнитно-твердого материала (МТМ) типа Nd-Fe-B, Sm-Co, РЗМ, Альнико и др. В этом случае метод эквивалентных витков даст достаточно точные результаты вследствие практически однородной намагниченности J. Если же изготовить магнит, например, из мягкого железа, то магнит будет быстро размагничиваться и для его подмагничивания следует воспользоваться катушкой с током простой конфигурации. Но при этом будет иметь место неоднородность намагниченности, что затруднит применение метода эквивалентных витков.

7. Чтобы учесть возможные неоднородности намагниченности (J Фconst) и неоднородности плотности (р*const) материала магнита, можно использовать результаты расчета методом эквивалентных витков в качестве начального приближения для уточнения результатов иным методом (скалярного потенциала и т.д.), использующим измерения поля магнитометром. Данный пункт и п.6 говорят о том, что метод эквивалентных витков наиболее эффективен применительно к МТМ, а применение его к МММ связано с техническими и математическими трудностями.

8. Решение численных примеров при искаженных (отличных от оптимальных) значениях параметров магнита, магнитных наконечников, углублений и выемок ("ямок") позволило сделать следующий вывод. Еели погрешности производственного изготовления постоянного магнита сложной конфигурации (погрешности параметров L, 8, R2, A, g, р, а, р, г| и £) составляют в среднем « 0.1 мм, то это повышает относительную погрешность А#0П| в рабочей области на порядок.

9. Для подавления токов Фуко предлагается изготавливать полюсные наконечники из набора стержней, параллельных оси магнита и плотно прилегающих друг к другу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечень новых результатов. Перечислим новые результаты, полученные в диссертации.

1. Развит новый метод, названный методом эквивалентных витков, для определения оптимальной конфигурации постоянного магнита МР-томографа, при которой создается высокооднородное поле в рабочей области магнита (см. п. 4.1). Для достижения высокой однородности поля в наконечниках магнитов использованы углубления и "ямки", т.е. рассматриваются постоянные магниты сложной конфигурации. Для расчета полей использована аналогия между постоянным магнитом (а также его наконечниками, углублениями и "ямками") и набором витков с током. Данный метод является продолжением метода эквивалентного соленоида [1,15, 26].

2. Проведено сравнение данного метода с методом скалярного магнитного потенциала (см. п. 2.1) [44, 45, 54-57] и с методом диполей (см. п. 2.2) [44]. Сделан вывод, что эти методы (особенно метод скалярного потенциала) являются значительно более трудоемкими, чем метод эквивалентных витков. Например, метод скалярного потенциала требует для каждой конфигурации магнита экспериментальных измерений поля в некоторых точках, а метод эквивалентных витков определяет оптимальные значения параметров углублений путем чисто компьютерного моделирования (без экспериментальных измерений).

3. В предложенном методе (методе эквивалентных витков) форма углублений и "ямок" аппроксимируется прямыми линиями (см. п. 4.2), что делает алгоритм их определения наиболее устойчивым, а техническое изготовление - наиболее простым и надежным. В результате получается 6 искомых параметров углублений и "ямок": g, р, g, р, г|, £ и 5 задаваемых параметров магнита и наконечников: L, 8, R\, R2, А. Параметры углублений и "ямок" предложено находить путем минимизации невязки б между рассчитанным полем Н Z{z, 0) и однородным полем haz-оси на некотором отрезке z где, например, zhom =0.5А, причем А - полудлина зазора (см. п. 4.3).

4. Предложенный метод доведен до рабочих формул, программ и расчета модельных примеров (см. гл. 3-6). В модельных примерах определены оптимальные параметры g, р, G,p, r|, при заданных параметрах L, 8, R\, /?2 > А 5 рассчитаны и построены графики нормированных функций Hz(z,0), Hz(0,r), Hm(z,r), а также линии напряженности H(z,r). Показано, что логарифмические изолинии функции Hm(z,r)/Hm(0,0) дают наилучшее представление о распределении неоднородностей поля.

5. Разработанный метод (см. гл. 6) позволяет в принципе (при условии постоянства намагниченности и плотности материала магнита) достичь высокой однородности полей: е«3-5ррт, а в работах японских физиков [52, 54-57], использующих метод скалярного потенциала расчета полей (см. п. 2.1), достигается однородность поля лишь с»30-70ррш, причем в примерах, близких нашим примерам, и примерно в одинаковых рабочих областях. Это говорит о том, что метод скалярного потенциала (громоздкий, требующий экспериментальных измерений метод) заметно уступает методу эквивалентных витков (методу, требующему лишь компьютерного моделирования) в отношении оперативности просчета различных вариантов.

6. Решение численных примеров при искаженных (отличных от оптимальных) значениях параметров магнита, магнитных наконечников, углублений и выемок ("ямок") позволило сделать следующий вывод. Если погрешности производственного изготовления постоянного магнита сложной конфигурации (погрешности параметров L, 8, /?1? R2, A, g, р, а, р, г) и £) составляют в среднем да 0.1 мм, то это заметно искажает картину поля с относительной неоднородностью Л#отн <10~6 и даже

Д#отн ~10"5, что предъявляет повышение требования к производственному изготовлению магнитов сложной конфигурации.

7. Сравнение результатов расчета магнитного поля реального магнита методом эквивалентных витков с результатами измерений поля этого же магнита с помощью магнитометра позволило сделать вывод, что относительная погрешность расчета полевых линий методом эквивалентных витков составляет менее 1% (для случая идеализированного магнита), что говорит о том, что метод эквивалентных витков дает в принципе правильное (адекватное) описание полей постоянных магнитов.

8. Рассмотрен вариант умножения всех параметров некоторого рассчитанного примера на некоторое число а> 0, что позволяет получать ряд новых примеров без их решения, что экономит компьютерное время. Данный вариант связан с теоремами подобия магнитных систем [26].

9. Рассмотрен вопрос о материале магнита. Магнит может быть изготовлен из современного магнитно-твердого материала (МТМ) типа Nd-Fe-B, Sm-Co, РЗМ, Альнико и др. В этом случае метод эквивалентных витков даст достаточно точные результаты вследствие практически однородной намагниченности J. Если же изготовить магнит, например, из мягкого железа, то магнит будет быстро размагничиваться и для его подмагничивания следует воспользоваться катушкой с током простой конфигурации. Но при этом будет иметь место неоднородность намагниченности, что затруднит применение метода эквивалентных витков.

10. В случае, когда иеет место неоднородность намагниченности (J^const), а также неоднородности плотности (р*const) материала магнита, предложено сделать более точный расчет магнита сложной конфигурации с помощью иного метода (например, метода скалярного потенциала), использующего измерения поля магнитометром, причем результаты расчета методом эквивалентных витков использовать в качестве хорошего начального приближения.

10. Для подавления токов Фуко в материале магнита предложено изготавливать полюсные наконечники из набора стержней, параллельных оси магнита и плотно прилегающих друг к другу.

11. Метод эквивалентных витков можно рекомендовать для практического использования при реализации дешевого отечественного МР-томографа на базе постоянного магнита сложной конфигурации.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-08-01304-а).

1. Афанасьев Ю.В., Студенцов Н.В., Хорее В.Н. и др. Средства измерений параметров магнитного поля. - Л.: Энергия, 1979. 320 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х т. Т.1. Изд-е З-е.-М.: Наука, 1966. 632 с.

3. Бородин П.М. (ред.). Ядерный магнитный резонанс. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 344 с.

4. Боттомли П.А. Интроскопия: методы и применение (обзор) // Приборы для научных исследований. 1982. № 9. С. 3-26.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Изд-е 13-е. М.: Наука, 1986. 544 с.

6. Булах Е.Г., Шуман В.Н. Основы векторного анализа и теория поля. -Киев: Наук, думка, 1998. 360 с.

7. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971.

8. Галайдин П.А. Исследование и разработка элементов и устройств компьютерных магниторезонансных томографов. Дис. . докт. техн. наук.-СПб.: ИТМО, 1996.

9. Галайдин П.А., Замятин А.И., Иванов В.А. Основы магниторезонанс-ной томографии. СПб.: Изд-во ИТМО, 1998.

10. Ю.Галайдин П.А., Иванов В.А., Марусина М.Я. Расчет и проектирование электромагнитных систем магниторезонансных томографов. Уч. пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2004. 87 с.11 .ДружкинЛ. А. Задачи теории поля. М.: Изд-во МИРГЭ, 1964. 462 с.

11. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. Изд-е 3-е. М.: Наука, 1975.800 с.

12. Иванов В.А. Внутривидение (ЯМР-томография). Л.: Знание, 1989. 29 с.

13. П.Марусина М.Я., Казначеева А. О. Современные виды томографии. Уч. пособие. СПбГУ ИТМО, 2006. 152 с.

14. Марусина М.Я., Рущенко Н.Г., Сизиков B.C. Распределение магнитных полей в катушках магниторезонансных томографов // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т. 46, № 6. С. 32-36.

15. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. Уч. пособие. М.: Наука, 1983. 463 с.

16. Неронов Ю.И., Сизиков B.C., Соколов ДЮ. Формирование высокооднородного поля постоянного магнита MP-томографа // Научно-техн. Вестник СПбГУ ИТМО. 2006. Вып. 32. С. 129-137.

17. И.Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Учебник для вузов. Изд-е 4-е. СПб: Лань, 2005. 416 с.

18. Поливанов K.M. Теоритические основы электротехники. Ч. 3. Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1969. 352 с.

19. Постоянные магниты. Справочник. Изд-е 2-е. / Под ред. Ю.М. Пятина. М.: Энергия, 1980. 488 с.

20. Рущенко Н.Г. Исследование и разработка методов решения задачи синтеза высокооднородного магнитного поля в MP-томографе. Дис. . канд. техн. наук. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2004. 147 с.

21. Рыжиков Ю.И. Программирование на Фортране PowerStation для инженеров. Практическое руководство. СПб.: КОРОНА принт, 1999. 160 с.

22. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб.: Политехника, 2001. 240 с.

23. Сизиков B.C., Соколов Д.Ю. О синтезе высокооднородного поля постоянного магнита в MP-томографии // Научное приборостроение. 2006. Т. 16, №4. С. 65-72.

24. Сизиков B.C., Соколов Д.Ю. О повышении однородности поля постоянного магнита MP-томографа // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 12. С. 32-38.

25. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: Мир, 1954.

26. Соловьв П.В. Fortran для персонального компьютера. М.: Арист, 1991.223 с.

27. Тамм И.Е. Основы теории электричества. Уч. пособие для вузов. Изд-е 11-е. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 616 с.

28. ЪЪ.Тихонов А.Н., Рубашов КБ., Арсенин В.Я. и др. О математическом проектировании конструкции ЯМР-томографа. Препринт. М.: Изд-во ИПМ АН СССР, 1987.24 с.

29. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 5. Электричество и магнетизм. Изд-е 2-е. М.: Мир, 1977. 302 с.

30. Физика визуализации изображений в медицине. В 2-х томах под ред. С. Уэбба. М.: Мир, 1991.

31. Физический энциклопедический словарь (под ред. A.M. Прохорова). М.: Сов. Энциклопедия, 1984. 944 с.

32. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. Учебник. Т. 2. Электрические и электромагнитные явления. Изд-е 10-е. СПб.: Лань, 2006. 528 с.

33. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.536 с.

34. Яновский Б.М. Земной магнетизм. Уч. пособие. Изд-е 4-е. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 592 с.

35. Abele M.G., Chandra R., Rusinek H., Leupold H.A., Potenziani E. Compensation of non-uniform magnetic properties of components of a yokeless permanent magnet // IEEE Transactions on Magnetics. 1989. Vol. 25, No. 5. P. 3904-3906.

36. A6.Adamiak K. Method of the magnetic field synthesis on the axis of cylinder solenoid//Applied Phys. 1978. Vol. 16. P. 417-423.

37. Al.Cho Z.H., Jones J.P., Singh M. Foundations of medical imaging. NY: Wiley, 1993.

38. European Congress of Radiology (ECR'95). Vienna, Austria. 1995.

39. Haishi Т., Ucmatsu Т., Matsuda Y., Kose K., Development of a 1.0 T MR microscope using a Nd-Fe-B permanent magnet // Magnetic Resonance Imaging. 2001. Vol. 19. P. 875-880.

40. Miyamoto Т., Sakurai H. Application of Nd-Fe-B magnet to MRI systems III. Magnet. Soc. Japan. 1989. Vol. 13, No 4. P. 567-571.

41. Miyamoto Т., Sakurai H., Hayashi H., Ohnishi Y. Magnetic field generating device for NMR-CT // Patent US4672346, 1987.

42. Miyamoto Т., Sakurai H., Takabayashi H., Aoki M. A development of a permanent magnet assembly for MRI devices using Nd-Fe-B materials // IEEE Transactions on Magnetics. 1989. Vol. 25, No. 5. P. 3907-3909.

43. Miyamoto Т., Sakurai H., Takabayashi H., Aoki M. Development of a permanent magnet assembly for MRI // J. Magnet. Soc. Japan. 1989. Vol. 13, No 2. P. 465-468.

44. Sagawa M., Fujimura S., Togawa N., Yamamoto H., Matsuura Y. New material for permanent magnets on a base of Nd and Fe // J. Appl. Phys. 1984. Vol. 55, No. 6. P. 2083-2087.

45. С помощью разработанного в диссертации программного обеспечения были выполнены расчеты методом аналогии ряда форм постоянного магнита с вычислением неоднородностей поля dll/H и с построением полевых карт в зазоре магнита.

46. Использование результатов диссертации позволило испытать на практике метод аналогии для расчета оптимальной формы постоянного магнита с доведением однородности поля до 3-10 ррт в рабочей области диаметром около 50% от ширины зазора.

47. Данная работа выполнялась при поддержке РФФИ (грант № 05-08-01304-а).

48. Зав. лаб. ЯМР-томографи^-при каф. ИТиКТ д.т.н., проф.1. Ю.И. Неронов

49. Зав. каф. ИТиКТ д.т.н. — М.Я. Марусина