автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез систем управления с модифицированными функционалами качества

РГ6 од

2 9 МАИ 1335

на правах рукописи

ЦОМАЕВА ЕЛЕНА АЛЕКСАНДРОВНА

СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С МОДИФИЦИРОВАННЫМИ ФУНКЦИОНАЛАМИ КАЧЕСТВА

05.13.01 - управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Московском Государственном Институте Электроники и Математики (Техническом Ушгасрснтстс) на кафедре "Кибернетика".

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Афанасьев В.И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, проф'-ссор

Горелов В.И.

кандидат технических наук, с.н.с Кубинцев Г.М.

Ведущая организация • АООТ НИИР

Защита состоится "¿^Ё" 1995 года в ^ часов на заседании

диссертационного совета Д063.68.05 в Московском Государственном Институте Электроники и Математики (Техническом Университете) по адресу: 109028, Москва, Б.Вузовский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в бнблнотехе МГИЭМ.. Автореферат разослан" ^ * ЛС-&Л- 1995 года

Уяенын секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

С.Е.Бузников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Лкту<пы«кть темы. Особые решения в задачах оптимизации возникают всякий раз, когда; нснользуя принцип максимума Поитрягина, нельзя обнаружить все(подозрительные на оптимальность управления задачи или, если на управление не наложено ограничений.-существуют участки экстремалей (Я, =0), на которых матрица Н„ оказывается вырожденной, т.е. не выполняется условие Лежаидра-Клебта.

Впервые определение особого управления появилось в работе Л.И.Розоноэра в 1959 году. Проблему оптимальности неограниченных особых управлений ксследоэали Г.Келли, Р.Копп, Г.Монер, . А.Брайсон, Б.С.Гох- Р.Габасов, Ф.М.Кириллова, В.А.Срочко. Необходимые условия оптимальности второго порядка для задгч с замкнутыми множествами управления рассматриваются в работах Р.Габасова, Ф.М.Кнр».лловой. Проблема достаточных условий оптимальности особых управлений исследовалась В.И.Гурманом, Д.Джекобсоном, Р.Габасовым. Вопросом сопряжения участков особых и неособых управлений за шмалнсь Г.Келли, Р.Копп, Г.Мойер. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова.

Важным направлением в теории особого управления являются методы вычисления особых управлений, т.к. определить особые управления непосредственно из необходимых п достаточных условий оптимальности очень трудно. <^редн методов вычисления особых управлений можно выделить следующие наиболее распространенные: предложенное , А.М.Летовым использование аппарата скобок Пуассона для вычисления особых управлений; метод преобразования в пространстве состоянии, предложенный В.И.Гурманом; предложенное Р.Габасовьг * развитие метода динамического программирования на особые управления.

Следует отметить, что круг задач, содержащих в своей, постановке особые управления, постоянно расширяет ~я и связан как с традиционными областями применимости, • например, ракетодинамикой, космической навигацией, электротехникой, металлургией, так и с такими областями жизнедеятельности человека как экономика, экология, медицина. Этим, в частности, объясняется все возрастающий интерес к особым управлениям н актуальность разработки нор- и методов синтеза особых управлений.

Настоящая работа посвящена- методам синтеза управления на основе модификации исходного функционала качества для достаточно широкого класса задач при наличии и отсутствии ограничений на управление.

В качестве задач особого управления при отсутствии ограничений на управляющие воздействия рассматривается задача оптимизации линейных динамических систт с функционалом качества, содержащим квадратичную форму

только от фазовых переменных, здесь же рассматривается задача, в которой объект описывается нелинейным дифференциальным уравнением, с квадратичным функционалом Манера. Большое внимание в работе уделяется вопросу выбора (назначения) весовых матриц в модифицированном функционале качества, содержащим квадратичные формы как вектора состояния, таг н вектора управления.

Отдельное место в диссертационной работе отводится решению задач оптимального управления объектами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, с функционалами качества произвольной формы (например, Манера, Больна, быстродействия) при наличии ограничений на управление. Следует отметить, что, исходя из постановки задачи, здесь могут рассматриваться задачи, как содержащие, так и не содержащие особые участки управления. Для последних актуальной задачей в теории оптимального управления остается задача лоо роения оптимальных (субоптнмальных) управлений для объектов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Сложность, а в некоторых случаях невозможность решения двухточечных краевых з; (нч зачастую не приводит к реализуемым решениям задач оптимального управления. Предложенный в настоящей диссертации метод решения задач с ограничениями на управление позволяет синтезировать субогтшальное управление без решения двухточечной краевой задачи. Особое внимание уделяется ответу на вопрос: имеется ли в заданном множестве ограничении управление, способное перевести систему нз заданного начального положения в подмножество целей за конечное время? Этот вопрос особенно актуален для неустойчивых объектов.

Также в работе рассматривается задача управления линейным динамическим объектом с квадратичным функционалом качества с ф-ксированными значениями некоторых компонент вектора состояния в заданный конечный момент времени. Наиболее важным здесь является возможность синт 1а управления в прямом времени.

Цель работы. Разработка методов синтеза субоптнмальных управлении, не требующих решения двухточечных краевых задач, на основе модификации исходного функционала качества для достаточно широкого класса задач при наличии и остутствии ограничений на управление.

Методы исследования. Результаты, :одержащиеся в диссертации, получены на основе комплексного использования тории ои^чмальногр управления математического анализа, матричной алгебры. При моделировании задач.

рассматриваемых в качестве примерен., применялись методы вычислений, методы математического программирования.

И(!\унаи повита работы заключается в следующем:

1. Разработан метод синтеза управления на основе модификации исходного функционала качества для задач управления линейным, нелинейным объектом с функционалом качества, содержащим квадратичную форму только от фазовых переменных (Больна, Манера), без ограничении на управление при заданном времени окончания переходного процесса.

2. ' Получены необходимые условия выбора весовых матриц в модифицированном квадратичном функционале.

3. Разрабтан метод синтеза субоптималыюго управления для достаточно широкого класса объектов и функционалов качества с заданными ограничениями на управление. Метод основан на модификации исходного функционала качества, исследовании достаточных условии оптимальности и заданных ограничений на управление.

4. Получена оценка, позволяющая судить, имеется лн в заданном множестве ограничений управление, способное перевести систему из заданного начального положения в подмножество целей за конечное время.

5. Разработан метод синтеза управления для линейно-квадратичной задачи с фиксированными значениями некоторых компонент вектора состояния в заданный конечный момент времени, основанный на модификации исходного функционала качества и позволяющий синтезировать управление в прямом времен«.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Практическое знача. :е. Предложенный в работе метод гинтеза рсобых управлений без ограничений позволяет синтезировать управление, ие содержа лее импульсов в стратегии управления, не требующее вычисления громоздких производных, возникающих при I счислении особых управлений, например, с помощью скобок Пуассона. Метод синтеза субоптимальных управлений для задач с ограничениями на управление позволяет избежать решения двухточечной краевой задачи и, следовательно, возникающих при ее решении трудностей. Метод применим также при решении задач особого управления. Метод синте з управления для линейно-квадратичной задачи с фиксированными значениями некоторых компонент вектора состояния в заданный конечный момент времени позволяет решить задачу в прямом времени, не требует решения двухточечной краевой задачи.

ВнеОренш? результатов. Для булочио-кондитерского комбината "Серебряный бор" разработан алгоритм, позволяющий синтезировать ynpaвЛvHИC производственным процессом комбината, обеспечивающее максимальный выход готовой .продукции при минимуме производсгвснно-технологических затрат. Реализованный алгоритм внедрен в производство булочно-кондитерского комбината "Серебряный бор". Экономиче чий эффект от внедрения доставил 16853 тыс. руб.;

Результаты, полученные в диссертации, используются в учебном процессе кафедры "Кибернетика" факультета "Прикладная математика" МГИЭМ в курсе лекций "Теория управления";

Получено заключение АООТ НИИР о практической значимости результатов диссертации.

Апробаиия работы. Результаты диссертации докладывались на Второй Балтийской Олимпиаде по автоматическому управлению, Научно-технической конференции-конкурсе студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, научном семинаре "Упра ление н устойчивость" кафедры "Кибернетика" МГИЭМ.

| Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения трех глав, списка литературы, состоящего из 58 наименований, и приложения содержащего акты внедрения и возможности использования роультато! диссертации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во вткшш приводится краткий исторический обзор имеющихся результатов . по данной теме, обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткое описание полученных в работе результатов.

Первая глава "Решение задач особого управления с модифицированными функционалами качества при отсутствии ограничений ' на управляющие поменегт'-я" содерж! три параграфа.

51.!. "Задача оптимизации линейных динамических систем с функционалом кгчгту;;з, содержащим квадратичную фопму только от фазовых переменных" состоит из трех пунктов.

§1.1.1. содеругг постановку задачи,-Рассматривается задача терминального управления объектом, описываемы*, линейным дифференциальным уравнением

¿(О = Л (/)*(/) + 1!(1)и(1),х(1п ) = дг0> (1.1)

здесь х £ Я" ,и е /?"* ,дг0 ,/0 - заданы.

Функционал качества имеет пид

1 = 7*'(ПЛг(Г)+ (1.2)

1 . ■ 1 '« матрицы 1'\(}(1) положительно полуопределсиы, Т • время окончания переходного

процесса - зйдано, на управление ограничений не наложено.

. Требуется синтезировать управление, доставляющее минимум' функционалу (1.2) на объекте (1.1).

Из постановки задачи следует, что гамильтониан Н линеен по управлению

«СО: '

Н(х,и,Х,1) = ^х'Ох +Л'(Ах + Ви) (1.3)

и необходимые условия оптимальное гн

X 'В - 0 , (1.4)

ди <

где сопряженная система имеет вод ' •

Х»-0х-А'А, Л(П = Тх(Т), не позволяют определить управление вдоль особого участка как функцию фазовых н сопряженных переменных. '

Если и(1) не ограничено, то с помощью управления, содержащего импульсы, систему (1,1) можно мпювенно перевести о любые другие состояния. Такие импульсы не изменяют величину критерия качества. Таким образом, если с помощью импульса можно перенести систему в состояние х = 0, то это и будет минимизацией 3, поскольку при этом J = 0,

Однако, такое управление следует отнести скорее к гипотетическому, чем реально существующему, т.к. управление в виде функции Дирака требует не только соответствующей мощности регулятора, но и соответствующих характеристик объекта.

В §1.1.2. показываеся как традиционно решается поставлен! ая в §1.1.1. задача с использованием импульсов. Так ка: па всем особом участке коэффициент при управлении и гамильтониане (1.3) равен нулю, '1 на этом участке должно выполняться н условие

I

4444 = в*«* + (1.5)

<// I ги ]

Условие (1.5) является условием нахождения на особом участке. Повторяя вышеприведенные рассуждения, найдем

1 = В'(ОВх + О,,и - А'Ох - А'А'Ъ) = О, <Л" I Л ]

откуда

и = -{в'дв)'%ол - А'д)х-л'А'х] (1.6)

и матрица В '(?В должна быть невырожденной.

' Стратегия управления объектом (1.1) заключается в следующем: если не выполняется условие (1.5), то на объект (1.1) воздействуют импульсом до выполнения условия (1.5), затем включается управление (1.6) и в тот момент, к^гда вновь не будет выполняться условие (1.5), на объект следует подать, импульсное воздействие и перевести систему в состояние, при котором х'(Т)Ех(Т)-0.

В §1.1.3. предлагается метод синтеза управления в задаче (!.!)-(!.2) на основе модификации исходного функционала качеств;.. Перепишем исходный функционал (1.2) в виде

Г = 1*'(ПЛ(П + 7Д*'(0(?,(0*(0+ и'10Д,(0«(0}Л (1.7)

о выборе (назначении) матриц (¿1 и Л, будет сказано ниже.

как известно, управление, доставляющее минимум функционалу (1.7) на объекте (1.1), имеет вид

и(1) = -Н;,(1)В'«)$и)х(1), (1.8)

где матрица определяется решением дифференциального уравнения типа ^иккати с краевым условием, заданным на правом конце

£ + БА + А'Б - $ДЛ + (?, = Р,Л'(Г) = Р. (1.9)

Принимая во внимание то обстоятельство, что должно выполняться условие

и что и(1) определяется (1.8), будем иметь

х'дх = + л'й/г ~1/гх)л\ Так как последнее равенство должно выполняться при любых значениях х(1),то справедливо следующее выражение для матрицы (),:

С>,=(}-ЯНИ ^Н'Я. (1.10)'

Уравнение (1.9) с учетом (1.10) можно переписать в инде

.V + ХА + А ' X - 2 ЯНН 'X + О = 0, Л' ( Т ) = /•'. (1.1!)

Таким образом, управление, доставляющее минимум функционалу (1.2) на объекте (1.1), записывается в виде (1.8), где .Ч'(') является решением уравнения типа Риккатн (1.11), матрица /?,(/) выбирается так, чтобы выполнялось условие выпуклости //,„ >0.

В качестве примера рассматривается задача управления автономной линейной системой второго порядка с одной управляющей переменной и критерием качества, содержащим квадратичную форму только от фазовых переменных. Решение задачи предложенным в работе методом сравнивается с решением традиционно используемым н приведенным в §1.1.2. методом.

В §1.2. "Задача Манера оптимизации нелинейных динамических систем" метод, предложенный в §1.1.3. для линейных систем с квадратичным функционалом Больца, развивается на нелинейные системы с квадратичным функционалом Манера. Управляемый динамический объект описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

* (О = / (х.я,/),*(/„) - х0 , (1.12)

где х еЯ",и е Д",/(*,«,/) - непрерывная функция, допускающая дифференцирование по х и и.

Функционал качества вида

J(x^T))ш^Lx•^T.)Fx (Т). (1.13)

Добавляя к функционалу (1.13) интегральное слагаемое

^/{*'(0б,<0*(0 + и'(0Я|(0я(0}л .

где выражение

*'(О0|(О*(О + н'(0Л,(0?(0 - 0, . (1.14)

обеспечивается при назначении матрицы Я,(/) соответствующим выбором матрицы {?,(/), модифицируем исходный функционал (1.13) к виду (И?).

Гамильтониан системы

Н(х,и,л,1) ш ¿х'(0вЛ0Н0 + ¿и'СОЪОМО + Л'(0/(*,и.О Условия стационарности

где Л (/ ) является решением дифференциального уравнения

Л *-Qi*Л(Т)=Гх(Т), (1.16)

дают возможность определения управление и(1) непосредственно из , формулы (1.15).-

Если f(x,u,t) • линейная функция огносигелыю u(i) (именно этот случай соответствует особым управлениям), то управление, доставляющее минимум функционалу ( 1.7) на объекте (1.12), записывается в виде

««(/)« - ЙГ'<» >{ -*<'>.

" тесь Я ( / ) - решение дифференциального уравнения (1.16), Если Л(t ) искать в виде

Я(1) = k(t)x(t), то *

t

«О = -VOÎ^I *(')*(').

i l (lu J

неизвестную матрицу Q, можно выразить из тождества (1.14)

гдek{t) - решениедифференцнальное уравнение вида

кх + kf + fjkx - к | -^-j R.-1 | -^-j kx = 0 ,k ( T ) = /••

В §1.3. определяются условия назначения матрицы /i, и последующего выбора матрицы Q | в модифицированном функционале качества. Для ответа на вопрос о назначении матрицы ft,(i) рассматривается .вторая вариация функционала (1.7), вызванная вариациями начальных условий объекта (1.12) при оптимальной управлении и(1). Показано, что /{¡(г) должна удовлетворять условию • *

д для задач, в которых объект линейно зависит от управления, H „ = R,(t)> О.

В этом случае назначение матрицы, обладающей свойством положительно^ определенности, гарантирует вместе с условиями (1.15) - (1.16) усиленные условия оптимальности. Матрицу (?,(/) следует выбирать в общем случае гак, чтобь выполнялось тождество (l.I4>, а если f(x,u,t) - линейная функция отноентельн. и(0 - в виде (1.17). Матрица £>,(/) при этом может быть как положительно,'так к

' -10-

отрицательно определенной. Пример 1.2. иллюстрирует тот факт, что (?,(/) может быть отрицательно определенной.

Вторая глава "Решение задач оптимального управления с модифицированными функционалами качества при наличии ограничений на управление" состоит из четырех параграфов.

§2.1. содержит постановку задачи. Управляемый динамический объект описывается на интервале .) дифференциальным уравнением

*(')= /(.г(/М(0,/),•*(/„) = *„. (2.1)

х е 1С, и е Г,и 5 п. Предположим, что (1 - заданное подмножество из Ит, и что множество ограниченных кусочно-неир -рывныч функции «(;) на ('/,','/2) такое, что

u(l)eí2 для всех I е(Тх,Т3) (2.2)

Предположим также, что

|к,(ОГ* У, >' = I.....я- (2.3)

Таким образом, предполагается, что у , е £1 .

Относительно функции /(х,и,1) считаем, что она непрерывна и имеет непрерывные частные производные по / и дг(/).

Пусть .V - заданное подмножество из 1<" х ('/¡,у;) (множество целей) имеет вид А* = {*(*,(/).»)}:/ е(Г,72),/ = I....,?,</<;я;

К(х,0),1).* 0,х(х,(Г),Т) = 0; (2.4)

Ф(л(/),/)£0 - заданная действительная функция (функция конечной стоимости), определенная на Л" * (/',, 7'2) и, если л имеет вид (2.4), то

Ф(дт (1),1) = Ф(ху(0.').7 = Ч + I.....я (2.5)

имеет непрерывные частные производные по / и ху(/).

Задача управления формулируется следующим образом: пусть /0 е('/,',Т2) и

дг(/0)еЛ" - заданы, тогда управление (2.2), переводя систему (2.1) из (*('0)Л) п

подмножество целей .V за конечное время 7', должно обеспечивать функционалу

г

Дх.и.Т) = Ф(х(Т),Т) +■ | (2.0

'о

минимальное значение.

Время окончания переходного процесса Т е(7|,7^) не задано. Отметим, что подынтегральная функция ¿(д(/),м(/),/)^0, но в различных постановках задачи может назначаться равной О, I или задаваться в виде /.(дг(/),/)* О, /-(«О,О£0. • •

В §2.2. "Модификация исходного функционала качества и синтез управления" излагается метод синтеза управления для поставленной в §2.1. задачи. Суть его заключается в сле/тующем:

Добавим к подынтегральной части функционала (2.6) полную производную

по t

«*{ф(*/<0.')+ *(*,(').')}/Л. /= I.....<7.; = д + 1.....Я, (2.7)

компенсировав вне интеграла выражением

ф(-*у<'в).'о) + SC«!(Го)>'о)-«Ц^/СП.У")-«(*.(П.Г), / = 1,...,?,у = ?+ 1,...,л, и учитывая (2.4), получим

' = 1.....q,j = q + \,...,n.

Так как *'(/„) и 10 заданы, то ф(-*;('0).'о) + й(*Л'о)»'о) - известная константа, и задача перевода из (-*(/„),/0) в подмножество целей S вдоль траектории, удовлетворяющей , (2.1), решается таким образом, чтобы минимнзироадть функционал У, (х,и, Т)

Jt{x,u,T) = ¡{¿(дг(0,«(0,0 + ^-[ф (*,(/),*•) + «(*,(').<)] +

(2.8)

/ = l,...,q,j = q + !,...;«. Эта задача эквивалентна исходной в том смысле, что управление оптимально для одной из них только в том случае, когда оно оптимально для другой.

Согласно принципу максимума Понтряпша оптимальное управление должно удовлетворять

шах ИО.и(0.0= Mx°{t), v{t),u\t),t)

ueil

где Л | - функция Понтрягина, и"(() - оптимальное управление и '"(О -соответствующее ему решение уравнения (2.1), или, вводя в рассмотрение функцию Гамильтона

н,(хС0,Л(0М0,0= L,(*(OMOn) + Г(0/(Х(0М0,0,

здесь L,(x(t),u(/),t) - подынтегральная функция функционала (2.8), A(t) -вспомогательная переменная, которая будет определена 'ниже, принципу минимума

min н,(х'(0.Л(').«(0.')=н,(*-о(0.Ч0.*'(0.0. (2.9)

«eQ

Из (2.9) находим управление как функцию переменных x(t),t,A(t)

Определим /1(f) в виде

Л'(0 = й/|(х,Л,/) / Ä(i), тогда J,(x(/),u(t),/) = J,(x((),t),t e[t0,r].

Запишем уравнение Гамильтона-Якоби для функционала Jl(x0,t)

+ л.и-о.д-о.л^ О

01 ¿>Х (I )

или '(*",О / л +//,(*"(/).Д"(/),/) = О .(2.10)

Кроме стационарного случая трудно найти задачи, в которых частная производная функционала J^(х",!) по I известна заранее.

Пусть функция (](•), которая в дальнейшем будет определена, такова, что

(?(•) + Н\(х,Л,<) = 0. (2.11)

Из выражения (2.11) можно наГпн Я(() = Я(..,(?(•))•

. Выбор функции О(-) должен осуществляться так, чтобы для найденного управления //(/) = и(х,(Д)) выполняюсь условие (2.3), т.е.

• -г,*и-'М1).(Н-))£г..1 = •.....и (2-12)

нлп для Q(■) выполнялось неравснст во

(2-13)

где функции Фу,<Рг получаются путём приведения подобных слагаемых и раскрытия неравенств (2.12) относительно О(-).

Максимально возможное значение ()1ЫХ для всех *(/), I е[/„,?']

X, - компоненты вектора =1,...,/! - могут принимать текущие значения дг,(/), обеспечивая в правой части неравенства (2.13) равенство, или такие значения *,(/), которые доставляют минимальное значение правой части неравенства (2.13) Фг(х,у). При определении значений х, в От* (Х>У) в каждой конкретной задаче существенную роль играет физический смысл решаемой задачи. Таким образом, синтезированное управление будет

и'<0 = «"<*(').£>.„.О ей. (2.14)

Для ряда задиЧ при нахождении А(г) можно использовать уравнение

(Ц °(х,П I Ж + /.,(*"(/),Л°(0,0 = 0 Так-как (Ц"(х,1)/с(1 не известна, введем в рассмотрение функцию (М*('),'). определение которой свяжем с ограничениями^ наложенными на управление,

а(*(').О+М*<О.Я(О.О = 0 или для задач, например, особого управления

• С?| (*(').') + (*('),"(')>') = 0- (2.15)

Откуда

«(') = «( ■•.{?!.') еП или, учитывая ограничения (2.3) и приведенную выше процедуру, получим

нЧО = "°и(0,С,™* (*.;•),')-

В этом же параграфе показывается, что синтезированное таким образом управление является //•минимальным. Для этого рассматривается скорость

- Ь-

изменения функционала (2.8) в процессе движения объекта (2.1) под воздействием управления (2.14).

( гУ,(х,г)) -^.^•(г) 1) *</>

а г _ Д/1 ( д , г)

Л

здесь второй сомножитель - градиент •/,(*, г) в точке (дг(г),г), направленный в сторону убывания, а первый сомножитель определяет скорость изменения градиента ./,(.*, г).

Показано, что вектор скорости максимален в точке (х°(т), г), когда

И, следовательно, справедливо

((¿'7т)У О

<и,°1х0, г) дх

^ '( г) 1)

сУ,°(х°,г)

А" (О

Л

или, учитывая выражение для определения гамильтониана Я

//

. г) .

¿н

(К (г)

длявсехиеГ2.

§2.3. "Вопросы реализации" посвящен ответу на вопрос: имеется ли в множестве ограничений П управление и{!), способное перевести систему (2.1) из точки (х(10),10) в заданное подмножество .целей Я за конечное время 11 Этот вопрос особенно актуален для неустойчивых объектов, т.к. для устойчивых объектов даже прн и(/) = 0 задача перевода системы из (*('0)Л) (при л(/0)^0) в состояние (0,Г) решается за счет собственных структурных свойств объекта Так как при успешном управлении объектом справедливо неравенство Ф(х(г0),(0)>Ф,х(Г),Г),

то '

¿Ф(*(|),0 = *Ф(*(0,0 + <?Ф(*(0,0.(2Л6)

Обозначим и(1), найденное из (2.16) (условие неравенства выполняется со знаком равенства), как

"(О » «шш (О

Таким образом, ограничения, которые накладываются на управляющие воздействия, должны отвечать следующему условию:

Г, > К™ (01.'« 1,••.,»». (2.17)

Следовательно, если неравенство (2 17) не выполняется, то множество П не содержит управлений, способных перевести систему (2.1) из (дг(/0),/0) в заданное

подмножество целен .V за конечное время н при этом минимизировать функционал (2.6).

В §2.4. рассматриваем ряд примеров, иллюстрирующих применение метода, описанного в §2.2. В §2.4.1. решаемся задача управления системой "хищник-жертва" при учете внутривидовой конкуренции, в §2.4.2. - задача управления развитием материально-технической базы предприятия, в §2.4.3. • задача управления максимальной дальностью горизонтального полета ракеты. В §2.4.4. решается линейно-квадратичная задача для системы второго порядка со скалярным управлением, используя принцип максимума Понтрягина и предлагаемый мегод. Проводится сравнительный анализ результатов.

Третья глава "Решен: 1е лннкйно-квадратичной задачи с фиксированными значениями некоторых компонент вектора состояния в заданный конечный момент времени" состоит из двух параграфов.

§3.1. содержит постановку задачи: Рассматривается задача терминального управления линейным объектом

*(1)= Л(')*(')+«(/)«(/), *(/„) = дс0, (3.1)

где х е Л",« е Кт, А • матрица размера л * п, Н - матрица размера яхт.

' Краевые условия, заданные на правом конце имеют вид

|х,(У)€ Л* (3.2>

Г - время окончания переходного процесса - задано, е - допустимое отклонение х,(/) от заданной величины г, в момент /'.

Так как условие (3.2) означает, что значения на правом конце заданы для части переменных состояния х(1), то весь вектор-столбец можно представить в виде

х'(') = (*,(') *2(/)), где х 2 е К "'1 не имеет заданных значении на правом конце.

Функционал качества имеет квадратичную форму

I » I *

J^x.u) = -х2 (7 )/--2Л}(Г) + -/{х'(/)У(0Х(/) + «'(0«(0«(0Ц. (3.3)

где /•' з , {) - положительно полуопределенные матрицы соответствующих размерностей, Я - положительно определенная матрица размера тхт. Ограничений на ) и к(/)'не наложено.

Требуется построить управление «(/), доставляющее минимум функционалу (3.3) на объекте (3.1) с краевым условием (3.2).

В §3.2. излагается метод синтеза управления для задачи §3.1. Добавим к исходному функционалу качества (3.3) выражение

(*,(Г)- г./ММ7*)- г,)_а О,

где /•'[- положительно определенная диагональная матрица размера ч х ц - весовой коэффициент. Элементы матрицы /•', следует назначать в виде

Е,

где ц - весовой коэффициент.

Тогда функционал (3.3) примет вид

= '<ПР2*,(Г)+ !(*,<П- =,)'ММГ)- г,) +

, 7 (3.4)

^ <0

Образуем новый функционал качества, добавляя к подынтегральной части функционала (3.4) выражение

(О рг С) + у( О" (*. (О )]

и компенсировав его вне интеграла соответствующим образом 1 ' 1 '

Так как /0, дг0 - заданы, то первые два слагаемых в (3.5) являются постоянными не зависящими от стратегии управления, и задача минимизации функционала (3.5) на объекте (3.1) сводится к задаче минимизации следующего функционала

г

'о

где

= |{-*'СХ?СЖ0 + и'(')Я(/)г/(<) + х'(1)А'(1)1Х0 + и'(()В'(1)ЬХ0 + У(/)Л4(/)л(/) + +Л(/)Щ<)«(0-дЧ'КО)^-, - «'(ОЙ;(')/>-> - -"[/•;

Здесь Л, - матрица размера <7 хя; - матрица размера (п-д)хп; 5, -матрица размера <7 х т\Вг- матрица размера (п -д)хт.

Гамильтониан системы записывается в виде

•"(5 Я

Оптимальное управление определяется как точка стационарности ~амильтониана //*

u(i)= -R-l{i)[H'{i){Fx{t)+ Я(<))- BHi)F,Sl] (3.6) Сопряженная система уравнении имеет вид Д(1) = -С>(t)x(l)~ А'{1)Гх(1)-¡ЖОХ«)-/W(0«(')+ ЛЦ1)1-]:> - A'(l)A(l), Д(7') = 0.

Будем искать Д(/) в виде

Л(/) ~- k(/)x(t)~ «(О. (3.8)

где k(l) • положительно определенная матрица размера п х п, g(i) - вектор из К". Тогда

¿«¿»¿(0x(0 + *(r)i(0-£(r). (39)

Подставляя в (3.9) выражения для А(/) и х(0> определяемые (3.7) и (3.1) соответственно, и(г), определяемое (3.6), и А(г), определяемое (3.8), получим следующие дифференциальные уравнения для к(1) ия(г)

к(П + *(')[<4(/) - BV)R-\t)Hy)i'} + [Л(0 - H(i)IC*(i)B'(i)f]kO) -

. г ' . 1 (3-,0)

-k(l)B(t)h \t)H\t)k(t) + <J(i) + [l-AO)+ A'(t)F - l-B{i)U■'(/)«'(/)/•] = О,

¿(/)'= [-/Г(0 + l-B«)ie\t)B,(t) + k(i)B(t)ir'U)B'U)]g(l) +

Краевые условия для уравнений (3.10) и (3.11) определяются из условия

Л(Т)* к(Т) "(Г)- g(T) = 0. Так как последнее уравнение должно выполняться для любых x(lb) и г,, то как следствие имеем

к(Т) = 0:х(Т) = 0. (3.12)

Таким образом, управление, доставляющее минимум функционалу (3.3) на объекте (3.1) с краевыми условиями (3.2), заданными на правом конце, определяется соотношением

и(0 = -/Г'«)[й'(0(/>(0 + Ht)x{t)- g(()) - B[(t)Fl:,], ■де k(t) и g(t) являются решением дифференциальных уравнений (3.10) и (3.11) »ответственно с краевыми условиями (3.12).

Пример 3.1. иллюстрирует эффективность применения описанного выше метода к решению поставленной в §3.1. задачи.

о

Основные результаты, полученные в диссертации, отражены в следующих публикациях:

1. Афанасьев В.Н., Цомаева Е.А. Управление динамическим объектом по принципу: скоростной спуск по лагранжиану. //Гироскопические системы и их элементы. Сборник научных трудов, Тула, 1990, crp. 134-141.

2. Афанасьев В.Н., Цомаева Е.А. Модифицированные функционалы качества в задачах особых управлений. Депонировано ВИНИТИ 23.06.92 №2034 В92.М., 1992.

3. Афанасьев В.Н., Цомаева Е.А. Субоптимальное управление: скоростной спуск по лагранжиану. //Автоматика и телеме- дника, М., 1992, №11, стр. 37-46.

4. Афанасьев В.Н., Цомаева Е.А. Решение задач оптимального управления с модифицированным'« функционалами качества. //Автоматика и телемеханика, М.,

1994, Ш, стр. 176-186.

5. Афадасьев В.Н., Цомаева Е.А. Терминальная задача управления с заданным правым концом. //Математическое и программное обеспечение информационных и управляющих систем: Межвузовский сборник, Рязань: РГРТА,

1995, стр. 2-7.

6. Цомаева Е.А. (Tsomaeva Е.) The solution of optimal control problems with modified performance functional. //Abstracts of Second Internatinal Student Olympiad on Automatic Control 23-25 sept. 1992, ed. SPICS, St.-Petersburg, 1992, p. 9.

7. Цомаева Е.А. Модификация исходных функционалов качества в задачах оптимального упрачления. //Тезисы докладов научно-технической конференции-конкурса студентов, аспирантов и молодых специалистов 27-29 апреля 1994, Изд-во МИЭМ, М., 1994, стр. 26.

№

Потцисано в печать 26.04.95 Зак.51 Ооьём I п.л. Тир.100 МГИа.., Москва, М. Пионерская ул., 12