автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Сигналы с аддитивной фрактальной структурой

4844382

ХАНДУРИН Андрей Владимирович СИГНАЛЫ

С АДДИТИВНОЙ ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

Специальность 05.12.04.

Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2011

2 1 ДПР

4844382

Работа выполнена на кафедре Формирования колебаний и сигналов Московского энергетического института (технического университета).

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор

КАПРАНОВ Михаил Владимирович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

ШЕЛУХИН Олег Иванович

доктор физико-математических наук СУРОВЯТКИНА Елена Дмитриевна

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт

радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН (г. Москва)

Защита состоится 12 мая 2011 в 17:00 на заседании диссертационного совета Д 212.157.05 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д 17, аудитория А - 402.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Автореферат разослан -Ь апреля 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.157.03. кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1

Актуальность темы. В современных радиолокационных, радионавигационных и телекоммуникационных системах применяются сложные широкополосные (ИШС) сигналы. 15-20 лет назад возник интерес к использованию хаотических колебаний в качестве широкополосных несущих сигналов. На настоящий момент направление в области формирования сложных, шумоподобных колебаний и сигналов на базе динамического хаоса является одним из ведущих2.

Повышенное внимание к динамическому хаосу обусловлено тем, что его свойства близки к свойствам естественных шумов радиотехнических приборов, при этом хаотические сигналы формируются в очень простых, но существенно нелинейных, полностью детерминированных динамических системах3. Схемы генераторов хаотических колебаний просто реализуются на практике для различных диапазонов частот. Кроме того, эти генераторы обладают способностью к самосинхронизации, что, в отличие от шума, позволяет воспроизводить хаотические колебания на приемной и передающей сторонах (при условии совпадения с заданной точностью параметров и начальных условий их генераторов). Эти и ряд других достоинств хаотических сигналов делают их привлекательными для разнообразных систем скрытной связи, систем с распределенным спектром, криптографии и многих других практических применений. На настоящий момент использованию динамического хаоса в телекоммуникационных системах посвящен ряд отечественных и зарубежных работ, причем число публикаций очень быстро растет.

Большой вклад в теорию динамического хаоса и разработку систем связи на базе хаотических сигналов сделали отечественные ученые Анищенко B.C., Белых

1 Работа выполнена при поддержке гранта № НШ-3344.2008.8 Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ. ■ \

Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. — М.:, Изд-во физ.-мат. лит., 2002.

3 Кузнецов С.П. Динамический хаос. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2001. - 296 с.

В.Н., Вадивасова Т.Е., Владимиров С.Н., Дмитриев А.С., Капранов М.В., Кравцов Ю.А., Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Ланда П.С., Магницкий Н.А., Малинецкий Г.Г., Матросов В.В., Неймарк Ю.И., Некоркин В.И., Панас А.И., Пономаренко В.П., Рабинович М.И., Суровяткина Е.Д. Шалфеев В.Д., Шахтарин Б.И., Шильников Л.П., и их ученики. Крупные результаты в этой области получены в ряде зарубежных исследовательских центров (Carroll T.J., Chua L., Hasler М., Kennedy М.Р., Kocarev L., Kolumban G., Kurths J., Mira C., Murali K., Oppenheim A.V., Pecora L.M. и ряд других).

Однако после детального исследования систем связи с хаотической синхронизацией стало понятно, что в реальных условиях работа таких систем весьма нестабильна, а часто совершенно невозможна4. Проблема заключается в самой природе хаотических колебаний. Во-первых, сложные нелинейные механизмы формирования динамического хаоса весьма чувствительны к неизбежным, даже незначительным, рассогласованиям параметров на приемной и передающей сторонах, что приводит к разрушению хаотической синхронизации. Во-вторых, на качество синхронизации существенное влияние оказывает уровень шумов в канале связи. В-третьих, невозможна адаптация хаотической несущей к изменению параметров сообщения или помеховой обстановки в канале связи. Эти недостатки динамического хаоса препятствуют широкому внедрению сигналов на его основе в практические радиотехнические приложения и телекоммуникационные системы. В подавляющем большинстве случаев применение сигналов с хаотической структурой остается гораздо менее эффективным, чем применение классических широкополосных сигналов, для которых разработаны проверенные способы генерации и обработки.

Для устранения указанных недостатков систем с хаотическим синхронным откликом предложено множество решений, которые приводят к серьезному усложнению структурных схем систем связи, что снижает их привлекательность

4 Yang T. A Survey of Chaotic Secure Communication Systems. // International journal of computationai cognition (http-.//www.yangsky.com/yangijcc.htm), volume 2, number 2, p. 81-130, June 2004.

4

для практики. В последнее время даже наметилась тенденция к отказу от когерентного приема информации с помощью хаотического синхронного отклика и переходу к некогерентному приему5. Однако и в таких хаотических системах не удается реализовать скрытность передачи информации при приемлемом качестве её выделения.

Альтернативой хаотическим сигналам в системах широкополосной конфиденциальной связи могут служить сигналы с фрактальной структурой. Фрактальные сигналы - это новый тип сложных широкополосных сигналов, не уступающих хаотическим по непеп/ляпности. но вьтигпыпаюнтих ттп

, « 1 W Д ' ±- .... . -,- --

воспроизводимости и гибкости изменения характеристик. Впервые вопросы о свойствах фрактальных сигналов и способов их генерации были рассмотрены А.П. Кузнецовым и С.П. Кузнецовым6. Однако в указанной работе не было попытки использования фрактальных сигналов для систем связи. Идея использования фрактальных сигналов для скрытной передачи информации привлекает к себе внимание с начала 2000 годов, то есть со времени четкой формулировки недостатков хаотических сигналов. Основополагающие работы по применению фракталов для решения радиофизических и телекоммуникационных задач принадлежат A.A. Потапову7, В.Ф. Кравченко8, О.И. Шелухину9, А.В. Осину, С.М. Смольскому. Известно несколько видов фрактальных сигналов: сигналы предложенные проф. A.A. Потаповым, которые модулированы фрактальными последовательностями; фрактальные сигналы с мультипликативной структурой -фрактальные вейвлеты Болотова В.Н. и Ткача Ю.В.10; фрактальные

5 \lurali К., Leung Н., Yu Н. Design of noncoherent receiver for analog spread-spectrum communication based on chaotic masking. // Журнал IEEE, Volume 50, Issue 3, 2003 - p. 432-441.

6 Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Генератор фрактального сигнала // Письма в ЖТФ, Т. 18, вып.24. 1992. С.19-21.

7 Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. - М.: Логос, 2002. -664с.

8 Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Гусевский В.И. Конструктивные методы аппроксимации в теории антенн. - М.: Сайнс-Пресс. 2005.

9 Шелухнн О.И., Осин А.В., Смольский С.М. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. -368с.

10 Болотов В.Н., Ткач Ю.В. Генерирование сигналов с фрактальными спектрами. - Харьков, Украина: Институт электромагнитных исследований. //Журнал технической физики,2006,т.76, вып.4. с.91-98.

сверхширокополосные радиоимпульсы Лазоренко О.В. и Черногора Л.Ф.11; фрактальные сигналы на основе вейвлетов Womell G.12 и др. Однако эти фрактальные сигналы труднореализуемы на практике и не гарантируют скрытности передачи информации. Ясно видна потребность в разработке нового типа сигналов с фрактальной структурой, обладающих большой информационной емкостью, сложностью временных реализаций, но формируемых в непрерывном времени с помощью простых по структуре устройств. Выполнение этих условий в перспективе может дать возможность фрактальным сигналам составить конкуренцию хаотическим.

Очевидно, что наиболее просто в радиотехнических схемах будут формироваться сигналы, представляющие собой аддитивную комбинацию синусоидальных колебаний. Однако такие сигналы практически не исследованы, что пока не позволяет рекомендовать их для переноса информации.

Исходя из проведенного обзора можно сформулировать цели и задачи диссертационной работы.

Целью работы является разработка и исследование нового класса сигналов с аддитивной фрактальной структурой в базисе различных периодических функций, разработка принципов модификации этого базиса для улучшения характеристик радиосигнала, разработка способов передачи информации с помощью предлагаемых сигналов нового типа.

Основные задачи, решаемые в работе:

• Исследование общих свойств стандартного ряда Вейерштрасса, как исходной модели сигнала с аддитивной фрактальной структурой (САФС) и выявление его ограничений и недостатков;

• Поиск путей модификации стандартного ряда Вейерштрасса для создания на его базе радиосигналов нового типа - сигналов с аддитивной фрактальной структурой;

11 Лазоренко О.В., Черногор Л.Ф. Фрактальные сверхширокополосные сигналы // Радиофизика и радиоастрономия, 2005, т.10, №1, с.62-84.

12 Womell G. Signal processing with fractals: A wavelet-based approach - London, UK: Prentice-Hall International, 1996.

6

• Разработка способов применения масштабной инвариантности и высокой сложности временных реализаций САФС для скрытной и высокоскоростной передачи информации в широком диапазоне частот - от звукового до СВЧ;

• Проведение компьютерного эксперимента по передаче информации с помощью разработанных способов в предложенных схемах и оценка скрытности и помехоустойчивости такой передачи.

Методы исследования: Для решения перечисленных задач в работе

используются методы теории фрактальной размерности и скейлинга, спектрального анализа, статистические метпды. методы теории нелинейных динамических систем, кластерного анализа и теории перколяции, имитационное моделирование и расчеты на ПЭВМ.

достоверность научных положений и выводов подтверждается

соответствием теоретических результатов и экспериментальных данных, полученных в диссертации посредством численного моделирования;

воспроизводимостью характеристик предлагаемых сигналов; сопоставлением

новых результатов с ранее известными результатами других авторов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Базовые математические модели сигналов с аддитивной фрактальной структурой и их качественные и количественные характеристики.

2. Способы получения сложных сигналов при аддитивной комбинации прецизионных простых колебаний с несоизмеримыми частотами.

3. Универсальная численная мера сложности временных реализаций фрактальных и хаотических сигналов.

4. Новые базисы сигналов с аддитивной фрактальной структурой, повышающие их технические характеристики для систем передачи информации.

5. Новые способы обработки фрактальных сигналов, основанные на использовании их свойств самоподобия (скейлинга).

6. Результаты имитационного моделирования скрытной передачи информации с

помощью фрактальной маскировки и прямофрактальной передачи информации.

7

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие новые научные и практические результаты:

• Введены новые ткпы сигналов с аддитивной фрактальной структурой с улучшенными техническими характеристиками, ориентированные на использование в радиотехнических приложениях.

• Разработаны:

о способ передачи информации с фрактальной маскировкой (Ргатавк), о прямофрактальный способ передачи информации (аналог прямохаотического способа передачи), о способ скрытной передачи информации, основанный на масштабной инвариантности сигналов с аддитивной фрактальной структурой.

• Введены количественные оценки сложности временных реализаций произвольных сигналов и скрытности ввода информации в такие сигналы.

• Выдвинута и разработана концепция несоизмеримости частот простых высокостабильных гармонических колебаний, входящих в ряд Вейеригхрасса, как принцип достижения сложного вида его временных реализаций.

• Предложены способы модификации спектра сигнала с аддитивной фрактальной структурой, позволяющие располагать частотные составляющие по произвольному закону с целью улучшения его маскирующих свойств.

• Получены соотношения, позволяющие находить самоподобные участки временных реализаций сигналов с аддитивной фрактальной структурой для построения новых схем некогерешного выделения информации. ‘

Практическая ценность работы и её реализация. Результаты, полученные при выполнении диссертационной работы, могут быть использованы при разработке способов скрытной передачи информации, способов её шифрования, моделировании сложных процессов, проектировании различных сигналов с самоподобной структурой.

Результаты диссертационной работы вошли в материалы научноисследовательской работы по темам: Рег.№ 01200950518 “Разработка научных основ формирования и обработки прецизионных сигналов сверхвысокочастотного диапазона”; НИР “Разработка способа формирования прецизионных

шумоподобных сигналов в требуемой полосе частот” в рамках гранта У.М.Н.И.К. 2009-2010 годов №9652.

Разработанные в диссертационной работе способы передачи информации и способы оценки свойств хаотических и фрактальных сигналов используются с 2009 г. по настоящее время в учебном процессе кафедры ФКС в лекционном курсе кафедры ФКС «Регулярная и хаотическая динамика нелинейных систем» для потока магистров и специалистов Радиотехнического факультета МЭИ (ТУ). Также для данного курса разработаны и зарегистрированы два программных средства учебного назначения (ПСУН), на базе которых поставлены лабораторные работы. Работа выполнена при поддержке гранта № НШ-3344.2008.8 Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ.

Использование положений, разработок и практических рекомендаций диссертации при разработке нового типа оборудования для широкополосных систем передачи информации и при проектировании систем связи для передачи конфиденциальной информации в интересах ОАО «Газпром Космические Системы» подтверждено соответствующим актом о внедрении.

Апробаиия работы. Материалы работы докладывались на Международной научно-технической конференции к 100-летию со дня рождения В.А. Котельникова, Москва, 2008; международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов: «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» Москва, 2009, 2010, 2011; 65-й научной сессии, посвященной дню радио, Москва, 2010; Всероссийской школе-семинаре «Нелинейные дни в Саратове для молодых», Саратов, 2009; Научно-техническом семинаре «Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания», Н.

Новгород, 2010; 9-й Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС-2010), Саратов, 2010.

По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, из них 11 научных статей и текстов докладов (общим объемом 41 стр.), в числе которых 4 без соавторов и 2 статьи в научных журналах из списка, рекомендованного ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 189 наименований и трех приложений. Общий объём диссертации составляет 216 страниц машинописного текста, включая 135 рисунков и 20 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируется цель работы, а также проблемы и задачи, которые необходимо решить для повышения эффективности применения фрактальных и хаотических сигналов в системах передачи информации.

В первой главе проводится обзор известных из литературы результатов по использованию фрактальных структур и сигналов в радиотехнике. Обсуждаются основные свойства и особенности таких объектов. Показано, что большая информационная емкость элементов с фрактальной структурой уже успешно используется в электродинамике и антенной технике. Рассмотрены различные области применения фракталов в радиотехнике, особое внимание уделено радиосигналам с фрактальной структурой. Показано, что известные на настоящий момент фрактальные сигналы пока не способны составить конкуренцию хаотическим по эффективности использования их в системах связи.

Проведен обзор свойств фрактальных сигналов, то есть непрерывных, но всюду недифференцируемых математических объектов, обладающих самоподобием, удовлетворяющих скейлинговому уравнению Шрёдера Используя решение этого функционального уравнения в форме

бесконечных степенных рядов вида = показано, что при g(x)=sin(x)

mi и

со

функции Вейерштрасса W(t) = ~^Л(0 2)к sin(A‘r + ^t) обладают аддитивной

¿=1

фрактальной структурой и могут служить в качестве исходной модели фрактального сигнала.

По итогам первой главы сделан вывод о том, что среди различных фрактальных колебаний сигналы с аддитивной фрактальной структурой в форме ряда Вейерштрасса обладают наиболее перспективными характеристиками для скрытной передачи информации. Поэтому их всестороннее исследование, совершенствование и сопоставление с хаотическими сигналами является главной целью диссертации.

Во второй главе исследуются свойства и характеристики реального сигнала с аддитивной фрактальной структурой, представляющего усеченный ряд Вейерштрасса:

и</)= £ Л(с_2)* sin (Л‘/+ ^) , (1)

где 1<D<2, />1 - безразмерная опорная частота, <рк- произвольные начальные фазы компонентов w(t). Показано, что исходная функция Вейерштрасса (ктт=1, &тог=0°) обладает идеальным самоподобием, или, более точно, самоафинностью. Аналитически доказано самоподобие усеченного ряда Вейерштрасса, как реальной модели фрактального сигнала. Введен в рассмотрение скейлинговый коэффициент, определяющий самоподобные участки временной реализации (рис.1) и спектра сигнала для построения схем некогерентного выделения информации. Показано, что фрактальная размерность усеченного ряда с большой точностью равна параметру D даже при малом числе членов (от 7 до 15).

Введена концепция несоизмеримости частот <1* простых колебаний, входящих в ряд Вейерштрасса, как принцип возникновения сложного вида его временных реализаций. Показано, что появление кратных частот приводит к

периодичности сигнала, а при несоизмеримости частот период его повторения неограниченно возрастает. При этом расстановка частот сигнала по геометрической прогрессии, принятая в исходной функции Вейерштрасса, приводит к его масштабной инвариантности. Вычислены квазипериоды сигналов на основе усеченного ряда Вейерштрасса. Найдены и рассчитаны наихудшие и наилучшие значения опорной частоты Я с точки зрения максимальной несоизмеримости всех частот Хк ряда.

Рис.!. Самоподобие временной реализации , с сигнала с аддитивной фрактальной структурой (1). Коэффициент корреляции между выделенными участками равен единице.

Проведен расчет численных статистических характеристик сигнала с аддитивной фрактальной структурой: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения, эксцесса, асимметрии, размаха. Показано, что изменение параметров сигнала дает возможность менять вид огибающей гистограммы распределения от нормальной (рис.2) до равномерной плотности распределения, причем случайные значения начальных фаз его компонент не влияют на огибающую гистограммы распределения.

Рис. 2. Сравнение нормированной гистограммы распределения сигнала с аддитивной фрактальной структурой на основе ряда Вейерштрасса (серый фон) с плотностью распределения нормального закона. Параметры D=1.9, Я = 1.21, kmin—L 12, (р„ = О

-5 0 5

С помощью критерия согласия Колмогорова показано, что огибающая гистограммы распределения w(t) соответствует плотности распределения

гауссовского закона даже при малом числе членов сигнала (1). Вьмвлено время наблюдения сигнала, с превышением которого его статистические характеристики становятся неизменными, то есть время установления стационарного режима. Показано, что в стационарном режиме сигнал на основе ряда Вейерштрасса у/ф обладает эргодичностью.

Введена универсальная численная мера сложности хаотических и фрактальных сигналов - значение фрактальной размерности их временных реализаций. Показано, что предельная сложность фрактальных сигналов может

^Т1Т1 ГЛГ4Т1 ТТТО ЛГТЛМ/ТТЛЛТТ1 Х'О Г\Т'Т1ТТѻëТ*Т 1Л/ ЛТГРЧПТТЛТ! ПИТТ лтшпмппптт ППтпГАЛОЛтЧ 17» 1Т7

ч/ини лииш тиши при ШУШ

полосе частот.

С помощью кластерного анализа проведена оценка глубины долговременной памяти хаотических и фрактальных процессов, то есть скорости появления перколяционного кластера. Показано, что глубина долговременной памяти сигнала с аддитивной фрактальной структурой гораздо слабее, чем у хаотических процессов, порождаемых динамическими системами Лоренца и Рёсслера, что является позитивньм фактором, так как предсказывать поведение такого сигнала гораздо труднее.

Показано, что радиосигналы с канонической фрактальной структурой в форме идеального ряда Вейерштрасса обладают рядом недостатков: чрезмерно большим динамическим диапазоном, нерационально используют занимаемую полосу частот, сложно реализуются посредством цифровой техники, имеют высокий уровень боковых лепестков автокорреляционной функции. Эти недостатки не позволяют использовать такие сигналы в радиотехнических приложениях. В третьей главе развиваются способы улучшения математических моделей сигналов с аддитивной фрактальной структурой для устранения их недостатков.

В третьей главе вводится новая фрактальная функция на базе усеченного ряда Вейерштрасса V, (I, г) = п’(г) - М(<, г), центрированная относительно её

1

текущего математического ожидания в скользящем окне М (/, г) = - | (рис.З).

Получена прямая аналитическая запись центрированной функции Вейерштрасса:

8т(гА*/2)''

VA^T)= Z

*4™

1-

Ы*/2

(2)

Выявлены следующие достоинства центрированной функции Вейерштрасса с точки зрения её применения в системах связи как модели несущего колебания: отсутствует нарастающий тренд энергии в области низких частот; увеличена сложность временных реализаций, гистограмма распределения соответствует гауссовскому закону, между отсчетами ослаблена корреляционная связь.

Рис. 3. Временные реализации сигналов на базе исходного ряда Вейерштрасса w(t), его текущего среднего M(t) и центрированного w4(t) при D-1.5, Л = 1.8, кт1„-1, ктах=15, т=0.3325

t

Для улучшения заполнения частотного диапазона в исходный сигнал в виде ряда Вейерштрасса предлагается ввести нелинейную функцию роста степени опорной частоты Х(тЛ);

wz(t) = X sin(Лх{тк\) , (3)

‘=*n¡>

В результате расстановка частот ряда становится отличной от геометрической прогрессии, то есть взамен Як получаем . Показано, что сложность сигнала с деформированным спектром (3) можно сделать выше сложности исходного сигнала, однако теряется масштабная инвариантность.

Вводится новый тип сигнала с аддитивной фрактальной структурой, состоящий не из синусоидальных, а из коробчатых кривых (4), который проще реализуются в цифровой технике, и сохраняет все свойства оригинала:

Кор (0 = £ Я(0'2)‘5/яи[зт [ьЧ + <Рк)], *-1

Разработана методика разложения функции с аддитивной фрактальной структурой с произвольно выбранным базисом на аддитивную взвешенную комбинацию функций Вейерштрасса. Это дает возможность создания и исследования сигналов с аддитивной мультифрактальной структурой. Уровень боковых лепестков автокорреляционной функции для такого класса сигналов уменьшен практически на порядок.

Разработанные в третьей главе улучшенные сигналы с аддитивной фрактальной структурой могут быть эффективно использованы для передачи информации, что показано в четвертой главе.

В четвертой главе разрабатываются способы передачи информации с помощью сигналов с аддитивной фрактальной структурой (в том числе и скрытой передачи - способ ‘ТгатаБк”). Поскольку в работе фрактальные сигналы сравниваются с хаотическими, то за основу всех способов берутся схемы передачи информации, ориентированные на хаотические сигналы.

Вначале рассматривается возможность применения сигналов с аддитивной фрактальной структурой в схемах хаотической маскировки, где хаотический сигнал заменен на фрактальный (рис.4). Показано, что в схемах с фрактальной маскировкой удается получить не только приемлемое качество выделения информации, но и обеспечить скрытность её передачи. Аналогичные схемы с хаотическими сигналами не обладают такими качествами.

Звуковое V

:оо5щоше;(?)

¡ф> Некотерешшя

оконная ►

обработка

1 Приёмник

Рис. 4. Система скрытной связи «Ргатаэк» с фрактальной маскировкой в передатчике и оконной обработкой на приемной стороне

Затем предлагается и исследуется прямофрактальный способ передачи информации с прямым формированием фрактальных радиоимпульсов в СВЧ

диапазоне, и рассчитанный на работу в стандарте ШЕЕ 802.14а по аналогии с прямохаотическим способом2. Показано, что в прямофрактальном случае помехоустойчивость передачи информации не ниже (рис.5), а в ряде случаев выше, чем в прямохаотическом. Причем спектральные характеристики прямофрактальных импульсов не хуже характеристик прямохаотических.

Рис. 5. Оценка вероятности ошибки приема одного бита информации при прямофрактальной (сплошная линия) и прямохаотической (пунктир)

различных отношений С/Ш, дБ сигнал / шум на входе

приемника

Разработаны способы скрытной связи на основе модуляции параметров несущего сигнала с аддитивной фрактальной структурой. Предложен принципиально новый способ некогерентного выделения информации, замаскированной фрактальным сигналом, за счет самоподобия последнего.

В Заключении сформулированы основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Предложен новый класс фрактальных сигналов с аддитивной фрактальной структурой (САФС), исследованы их свойства и выделены характеристики, определяющие применение САФС для передачи информации.

Предложены способы модификации базовых САФС, основанные на выдвинутой в диссертации концепции несоизмеримости частот и предназначенные для согласования свойств САФС с конкретными требованиями в системе передачи информации.

2. Разработан ряд САФС с улучшенными характеристиками, ориентированных на радиотехнические приложения:

о САФС на основе центрированного в скользящем окне ряда Вейерштрасса с пониженной плотностью спектра в низкочастотной части. Исследованы

свойства центрированных САФС как в одиночном окне, так и в каскаде из нескольких окон.

о САФС с модифицированным законом расстановки частот спектра. Частоты таких сигналов могут быть расставлены квазиравномерно или разреженны в определенном диапазоне в зависимости от решаемой задачи - скрытной связи или высокоскоростной передачи информации, о САФС, состоящие не из синусоидальных, а из коробчатых кривых, которые проще реализуются в цифровой технике, при сохранении свойств исходных САФС. Самоподобие таких САФС сохраняется, и возрастает сложность временных реализаций, о сигналы с аддитивной мультифрактальной структурой, уровень боковых лепестков автокорреляционной функции которых уменьшен практически на порядок по сравнению с исходными САФС.

3. Разработан способ передачи информации с фрактальной маскировкой (Тгатавк) по аналогии со схемами с хаотической маскировкой информационного сигнала в передатчике и его некогерентным приемом. Показано, что фрактальный сигнал позволяет при приемлемом качестве выделения информации обеспечить скрытность её передачи, превышающую скрытность систем с хаотическими сигналами.

Разработан прямофрактальный способ передачи информации по аналогии с прямохаотическим. Показано, что в прямофракгальном случае помехоустойчивость передачи информации в ряде случаев выше, чем в прямохаотическом.

Предложены и исследованы новые способы модуляция параметров САФС - по фрактальной размерности и по частоте. С помощью введенной количественной оценки скрытности модуляции показано, что для скрытия факта ввода информации в САФС его модуляцию целесообразно проводить по размерности временных реализаций.

Разработан новый способ некогерентного выделения информации - за счет самоподобия временных реализаций САФС, основанный на полученных в диссертации соотношениях, определяющих подобные участки временных реализации фрактальных сигналов.

4. С помощью введенной количественной оценки сложности временных реализаций произвольных сигналов (их фрактальной размерности) показано, что сложность хаотических сигналов всегда меньше сложности САФС при одинаковой занимаемой ими полосе частот, что говорит о перспективности применения САФС для скрытной передачи информации.

5. Определено время установления стационарного режима САФС и доказана его эргодичность в стационарном режиме. С помощью перколяционного анализа показано, что глубина памяти исследуемых фрактальных сигналов гораздо слабее, чем у хаотических, что является значительным их преимуществом. Вычислены значения параметров фрактального сигнала, при которых огибающая его гистограммы распределения совпадает с плотностью распределения нормального закона. Показано, что фрактальная размерность временных реализаций САФС численно равна одному из параметров его математической модели - ряда Вейерштрасса - даже при малом числе его компонентов (7-15).

В приложении П.1. Показаны примеры вычисления боксовой размерности конкретных САФС, приведены теоретические выкладки для доказательства теоремы о размерности функции Вейерштрасса.

В приложении П.2, приведены таблицы с результатами расчетов численных статистических характеристик САФС, а также таблицы с рассчитанными критическими, запрещенными и наилучшими значениями безразмерной опорной частоты САФС для широкого круга параметров.

В приложении П.З. (СБ-диск + описание) содержатся звуковые файлы с

результатами компьютерного эксперимента по передаче звуковых сообщений в

различных схемах, разработанных в главе 4. На момент окончания диссертации -

18

область скрытной передачи голосовых сообщений рассматривается как наиболее

перспективная для внедрения предлагаемых сигналов нового типа, обладающих

аддитивной фрактальной структурой.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Капранов М.В., Хандурин A.B. Передача информации в системе связи с фрактальной маскировкой Framask. // Вестник МЭИ, №1. - М.: Изд. дом МЭИ, 2009. с.89-92.

2. Капранов М.В., Хандурин А.В. Сигналы с аддитивной фрактальной структурой для передачи информации. // Электромагнитные волны и электронные системы. №2, Т.16. - М.: Изд. «Радиотехника», 2011. С.23-36.

3. Капранов М.В., Хандурин A.B. «FRAMASK» - система передачи информации с фрактальной маскировкой. // Международная научно-техническая конференция к 100-летию со дня рождения В.А. Котельникова: Москва, 21-23 октября 2008: Тезисы докладов. - М.: Издательский дом МЭИ, 2008. с.83-85.

4. Хандурин A.B. Спектры сигналов с фрактальной структурой на базе усеченного ряда Вейерштрасса. // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. 15-я межд. науч.-техн. конф. студ. и асп.: Тез. докл. В Зт. Т.1. М.: Изд. дом МЭИ, 2009. С.51-52.

5. Хандурин A.B. Формирование хаотических и фрактальных сигналов и численная оценка их сложности. // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. 16-я межд. науч.-техн. конф. студ. и асп.: Тез. докл. В Зт. Т.1. М.: Изд. дом МЭИ,, 2010. С.56-57.

6. Хандурин A.B. Свойства фрактальных радиоимпульсов при широкополосной передаче информации. // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. 17-я межд. науч.-техн. конф. студ. и асп.: Тез. докл. В Зт. Т.1. М.: Изд. дом МЭИ,, 2011. С.55-56.

7. Долотказина В.Р., Хандурин A.B. Демонстрационная работа по передаче информации с помощью хаотических и фрактальных сигналов. // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. 17-я межд. науч.-техн. конф. студ. и асп.: Тез. докл. В Зт. Т.1. М.: Изд. дом МЭИ,, 2011. С.46-47.

8. Капранов М.В., Хандурин A.B. Система скрытной связи с фрактальной маскировкой и многокаскадной операцией выделения текущего среднего. // 65-я научная сессия,

посвященная дню радио. - М. Издательство МТУ СИ, 2010г., С.60-62.

19

9. Хандурин A.B. Некогеревтный прием сообщений в системе скрытной связи с фрактальной маскировкой. // Нелинейные дни в Саратове для молодых : Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 16-18 ноября 2009. С.52-55.

10. Капранов М.В., Хандурин А.В. Фрактальная маскировка голосовых сообщений. // Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания: тез. докл. всеросс. научн.-техн. семинара, под ред. Шахгильдяна В.В. - М.: Инсвязьиздат, 2009. С.7-9.

11. Капранов М.В., Хандурин А.В. Способ прямофрактальной передачи информации. // Материалы IX Международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 4-9 октября. Саратов, 2010. С.154-155.

\

Печ. л. Тираж J/QQ Заказ !)8

Типография МЭИ (ТУ), Красноказарменная ул., д. 13

Аннотация

Введение.

Глава 1 Математические и физические приложения фракталов.

1.1 Введение.

1.2 Основные характеристики фракталов.

1.3 Геометрические фракталы в радиотехнике.

1.4 Алгебраические фракталы.

1.4.1 Статистически самоподобные фракталы.

1.4.2 Фрактальные функции с полным самоподобием.

1.4.3 Спектральные свойства фрактальных процессов.

1.5 Применение алгебраических фракталов в радиотехнике.

1.5.1 Фрактальная радиолокация и фрактальные радиоэлементы.

1.5.2 Сигналы с фрактальной структурой А.А. Потапова

1.5.3 Сигналы с мультипликативной фрактальной структурой.

1.5.4 Фрактальные сверхширокополосные сигналы.

1.5.5 Фрактальные сигналы с аддитивной структурой в базисе вейвлет функций.

1.6 Выводы по главе 1. Постановка задачи исследования.

Глава 2 Исследование сигналов с аддитивной фрактальной структурой.

2.1 Введение.

2.2 Самоподобие сигналов с аддитивной фрактальной структурой.

2.2.1 Самоподобие бесконечного ряда Вейерштрасса.

2.2.2 Самоподобие усеченного ряда Вейерштрасса.

2.3 Зависимость размерности сигнала с аддитивной фрактальной структурой от значения его параметров.

2.3.1 Фрактальная размерность бесконечного ряда Вейерштрасса.

2.3.2 Фрактальная размерность усеченного ряда Вейерштрасса.

2.4 Несоизмеримость частот простых колебаний, или простой путь к сложному виду временных реализаций.

2.4.1 Кратность и несоизмеримость частот ряда.

2.4.2 Квазипериод усеченного ряда Вейерштрасса, предельное число отсчетов в выборке. ^

2.4.3 Запрещенные значения безразмерной опорной частоты.

2.5 Статистические характеристики сигнала с аддитивной фрактальной структурой в сравнении с характеристиками хаотических сигналов.

2.5.1 Стационарность сигналов на базе ряда Вейерштрасса.

§

2.5.2 Эргодичность сигналов на базе ряда Вейерштрасса.

2.5.3 Расчет численных статистических характеристик сигналов на базе ряда Вейерштрасса.

2.6 Оценка сложности хаотических и фрактальных сигналов.

2.6.1 Численная оценка сложности с помощью статистического критерия согласия.

2.6.2 Численная оценка сложности с помощью фрактальной размерности.

2.7 Оценка глубины долговременной памяти хаотических и фрактальных сигналов.

2.8 Выводы по главе 2. 2 2 ^

Глава 3 Новые базисы для сигналов с аддитивной фрактальной структурой.

3.1 Введение. ИЗ

3.2 Центрированный ряд Вейерштрасса и сигналы на его основе. ^ ¡

3.2.1 Текущее среднее ряда Вейерштрасса. ^

3.2.2 Центрированный сигнал с аддитивной фрактальной структурой.

3.2.3 Каскадное центрирование сигнала с аддитивной фрактальной структурой.

3.3 Сигнал с аддитивной фрактальной структурой с модифицированным законом расстановки частот.

3.3.1 Квазиравномерный спектр сигнала с аддитивной фрактальной структурой.

3.3.2 Диапазонная неравномерность спектра сигнала с аддитивной фрактальной структурой.

3.4 Сигнал с аддитивной фрактальной структурой в базисе коробчатых кривых.

3.4.1 Свойства сигнала с аддитивной фрактальной структурой в коробчатом базисе. ^^

3.5 Сигналы с аддитивной мультифрактальной структурой. ¡

3.6 Выводы по главе 3.

Глава 4 Способы передачи информации с помощью сигналов с аддитивном фрактальной структурой.

4.1 Введение.

4.2 Маскировка информации с помощью сигналов с аддитивной фрактальной структурой (Framask).

4.2.1 Некогерентный прием информации с помощью однооконной обработки в системе Framask.

4.2.2 Способ каскадного выделения информации в системе Framask.

4.2.3 Устранение маскирующего фрактального сигнала методом когерентного приема.

4.2.4 Способ скрытной связи Framask с управляемой формой спектра 161 маскирующего колебания в передатчике.

4.3 Прямо фрактальный способ передачи информации. ^

4.3.1 Выбор сигнала для прямофрактальной системы передачи 167 информации.

4.3.2 Структурная схема и оценка помехоустойчивости прямофрактального способа передачи информации. ^^

4.4 Скрытная передача информации с помощью модуляции параметров сигналов с аддитивной фрактальной структурой.

4.4.1 Размерностная модуляция сигнала с аддитивной фрактальной структурой.

4.4.2 Частотная модуляция сигнала с аддитивной фрактальной структурой.

4.5 Использование масштабной инвариантности (самоподобия) сигналов с аддитивной фрактальной структурой для выделения информации. * ^

4.6 Выводы по главе 4.

Основой современных беспроводных технологий являются сложные широкополосные (ШПС) (или сверхширокополосные) сигналы, нашедшие применение в действующих радиолокационных, радионавигационных и телекоммуникационных системах. Причиной большого интереса к широкополосным сигналам в современных системах передачи информации стало то, что с их помощью можно решить проблемы электромагнитного влияния одного радиотехнического устройства на другое; проблемы помехоустойчивой передачи информационных сообщений в канале связи с широкополосными или узкополосными помехами; проблемы скрытности и защищенности информации, разработка новых методов модуляции-демодуляции, кодирования м декодирования сообщений.

Один из способов формирования ШПС основан на снижении спектральной плотности мощности передаваемого сообщения, за счет расширения его полосы частот. При этом в классических методах, описанных в работах Варакина Л.Е., Платова В.П., Пестрякова В.Б., Хармута Х.Ф. [1-4] и др., в качестве переносчика информации используются гармонические колебания, которые подвергаются сложной модуляции, что приводит к серьезному усложнению схем передатчиков и приемников. Усложнения можно избежать, если отказаться от гармонической несущей в пользу сигнала, изначально обладающего широкополосностью.

В последние 15-20 лет возник интерес к использованию хаотических колебаний в качестве широкополосных несущих сигналов. Направление в области формирования сложных, шумоподобных колебаний и сигналов на базе динамического хаоса стало одним из ведущих [5].

Хаотические сигналы формируются в очень простых, но существенно нелинейных, полностью детерминированных динамических системах [6]. Например, в системах третьего порядка и выше с непрерывным временем [7

10]: Лоренца (В.1) и Рёсслера (В.2) или с дискретным временем (начиная от первого порядка) в логистическом отображении (В.З):

-(гг+гг\ ^гг=г,+Агг, гъ=В + фх-р), (В.2)

4«*„( 1-*„), (В.З) где / =(/р/2,/3); г = (rpr2,r3); л: - компоненты векторов состояния систем, а P,R,b; А,В,р; а - их параметры. Свойства хаотических сигналов близки к естественным шумам радиотехнических приборов, но в отличие от шума хаотические сигналы воспроизводимы при условии совпадения (с заданной точностью) параметров передатчика и приемника.

В фазовом пространстве порождающей динамической системы хаотическим сигналам соответствуют особые притягивающие множества — хаотические (странные) аттракторы, что было показано еще в ранних работах Анищенко B.C., Муна Ф., Шустера Г. [11-13]. Размерность таких аттракторов не является целой величиной, а является дробной, их структура фрактальной (Farmer J.D., Grassberg P., Procaccia I., Yorke J.A [14-15]).

Передача информации с помощью сигналов на основе динамического хаоса получила развитие после открытия Пекорой и Кэрроллом (Pécora L.M., Carroll T.L.) в 1990 году [16] явления хаотического синхронного отклика (хаотической синхронизации). На настоящий момент применению хаотических сигналов в телекоммуникационных системах посвящен ряд отечественных и зарубежных работ, причем число публикаций очень быстро растет [17-62]. Более подробно отечественные и зарубежные научные школы, занимающиеся нелинейной динамикой и динамическом хаосом, освещены в главе 1.

Повышенное внимание к динамическому хаосу обусловлено необычайно широким набором видов хаотических колебаний, простотой схем их генерации в различных диапазонах частот и высокими потенциальными возможностями применения в разнообразных системах скрытной связи, системах с распределенным спектром, криптографии и многих других практических применениях. Скрытность передачи информации в системах связи с хаотической несущей достигается за счет того, что очень сложно не только демодулировать хаотическую несущую, но и определить само существование информации в нерегулярном, изрезанном хаотическом сигнале без знания характеристик и параметров передатчика. Как междисциплинарное направление, теория динамического хаоса объясняет с общих позиций большое число новых явлений в ряде наук естественно-физического профиля.

Однако после детального исследования систем связи с хаотической синхронизацией стало понятно, что в реальных условиях работа таких систем весьма нестабильна, а часто совершенно невозможна [62]. Проблема заключается в самой природе хаотических колебаний. Во-первых, сложные нелинейные механизмы формирования динамического хаоса весьма чувствительны к неизбежным, даже незначительным, рассогласованиям параметров на приемной и передающей стороне, что приводит к разрушению хаотической синхронизации. Во-вторых, более важное, на качество синхронизации существенное влияние оказывает уровень шумов в канале связи. В-третьих, невозможна адаптация хаотической несущей к изменению параметров сообщения или помеховой обстановки в канале связи -характеристики хаотических колебаний строго определяются структурой формирующей динамической системы и выбором режима её работы. Эти недостатки динамического хаоса препятствуют широкому внедрению сигналов на его основе в практические радиотехнические приложения и телекоммуникационные системы. В подавляющем большинстве случаев применение сигналов с хаотической структурой остается гораздо менее эффективным, чем применение классических широкополосных сигналов [4], для которых разработаны проверенные способы генерации.

Для устранения указанных недостатков систем с хаотическим синхронным откликом предложено множество решений [62], которые приводят к серьезному 9 усложнению структурных схем систем связи. Это снижает привлекательность хаотических систем связи с корреляционным приемом для практики. В последнее время даже наметилась тенденция к отказу от когерентного приема информации с помощью хаотического синхронного отклика и переходу к некогерентному приему [61-62].

Простая схема некогерентного приема информации в системе связи с хаотической маскировкой предложена Murali К., Leung Н. в [61]. Она основана на оконной обработке (усреднение в окне шириной г) несущего колебания в передатчике и приемнике (рис.В.1), что позволяет в ряде случаев получить приемлемое качество передачи как цифровой, так и> аналоговой информации при высоком уровне шумов в канале.

Рис. В.1. Структурная схема некогерентного приема информации с хаотической маскировкой

По виду временных реализаций, приведенных в [61] и полученных автором диссертации в результате компьютерного моделирования, совершенно четко можно судить о существовании или отсутствии сообщения. Термин «маскировка» в данном случае означает лишь наложение хаотического сигнала на информационный без попытки скрыть наличие последнего. Данная схема из-за простоты её реализации может оказаться перспективной при условии изменения типа переносчика информации. Также и в других системах с хаотическими сигналами не удается реализовать скрытность передачи информации при удовлетворительном качестве её приема.

Таким образом, применение хаотических сигналов для скрытной передачи информационного сообщения в реальных условиях с высоким уровнем шумов пока проблематично. Ясно видно противоречие между высокой скрытностью

10 передачи информации и качеством его выделения. В настоящее время работы по поиску новых типов и свойств хаотических колебаний ведут многие ученые, среди которых отечественные научные группы под руководством A.C. Дмитриева, С.П. Кузнецова и A.A. Короновского.

Научная группа Дмитриева A.C. (ИРЭ РАН) разработала ряд сенсорных сетей на основе прямохаотической системы передачи информации [5,20-24,5154], использующей широкополосные хаотические колебания, формируемые непосредственно в СВЧ-диапазоне частот, и ориентированной на стандарт связи IEEE 802.15.4а (UWB), рис.В.2. Прямохаотическая система связи имеет ряд преимуществ по сравнению с существующими системами и обладает хорошими перспективами. g

Рис. В.2. Блок-схема прямохаотической системы передачи информации [24]

Саратовская научная-группа в составе Короновского A.A., Храмова А.Е. и Москаленко А.И. [63-64] (СарГУ) разработала способ скрытой передачи информации, основанный на явлении обобщенной хаотической синхронизации, позволяющий повысить качество скрытности передачи информации в присутствии интенсивных шумов. Большие возможности открывают свойства гиперболического хаоса, исследуемого С.П. Кузнецовым [65], в котором два или более старших показателя Ляпунова положительны.

Альтернативой хаотическим сигналам в системах широкополосной, конфиденциальной связи могут служить сигналы с фрактальной структурой.

Фрактальные сигналы - это новый тип сложных широкополосных сигналов; не уступающих хаотическим по нерегулярности, но выигрывающие по точности воспроизведения и гибкости изменения характеристик. Впервые вопросы о

11 свойствах фрактальных сигналов и способов их генерации были рассмотрены А.П. Кузнецовым и С.П. Кузнецовым в работах [66-67]. Однако в указанных работах не было попытки использования фрактальных сигналов в системах связи. Идея применения фрактальных сигналов для передачи информации привлекает к себе внимание с начала 2000 годов, то есть со времени чёткой формулировки недостатков хаотических сигналов. Основополагающие работы по применению фракталов для решения радиофизических и телекоммуникационных задач принадлежат A.A. Потапову [74-79], В.Ф. Кравченко [68-74], О.И. Шелухину, A.B. Осину, С.М. Смольскому, С.М. [112,132-133]. В работах A.A. Потапова предлагаются сигналы, модулированные фрактальными последовательностями, указывается, что такие сигналы позволят повысить информативность систем связи на их основе [7576]. Болотовым В.Н и Ткачем Ю.В. (ИЭИ, Украина) было показано [80-81], что фрактальные импульсные сигналы (<фрактальные вейвлеты) повышают помехоустойчивость передачи информации при импульсных помехах. Лазоренко О.В. и Черногор Л.Ф. (ХНУ РЭ, Украина) пишут о высокой информационной ёмкости сигналов с фрактальной структурой за счет их масштабной инвариантности [82-83], но не предлагают способов передачи* информации на их основе.

Однако все эти сигналы, во-первых, оказываются трудно-реализуемыми на практике, из-за чего их применение серьезно усложняет структурную схему передачи информации, а во-вторых, не гарантируют скрытности передачи. Ясно видна потребность в разработке нового типа сигналов с фрактальной структурой, обладающих большой информационной емкостью, сложностью временных реализаций, но формируемых в непрерывном времени с помощью простых по структуре устройств. Выполнение этих условий в перспективе может дать возможность фрактальным сигналам составить конкуренцию хаотическим.

В своей работе Wornell G. [84] обращает внимание на класс фрактальных процессов с аддитивной структурой и указывает на то, что они могут быть

12 использованы для передачи информации. Однако не было проведено их подробного исследования, а рассмотрены такие процессы были в базисе вейвлет-функций, нереализуемых на практике простыми способами. Однако такие сигналы на настоящий момент практически не исследовались, что пока не позволяет рекомендовать их для переноса информации.

Исходя из проведенного обзора, можно сформулировать цель и задачи данной диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование нового класса сигналов с аддитивной фрактальной структурой в базисе различных периодических функций, разработка принципов модификации этого базиса для улучшения характеристик радиосигнала, разработка способов передачи информации с помощью предлагаемых сигналов нового типа. Основные задачи, решаемые в работе

• Исследование общих свойств стандартного ряда Вейерштрасса и выявление его ограничений и недостатков;

• Поиск путей модификации стандартного ряда Вейерштрасса для создания на его базе радиосигналов нового типа - сигналов с аддитивной фрактальной структурой (САФС);

• Разработка способов* применения масштабной инвариантности и высокой сложности временных реализаций САФС для скрытной и высокоскоростной передачи информации в широком диапазоне частот - от звукового до СВЧ;

• > Проведение компьютерного эксперимента по передаче информации с помощью разработанных способов в предложенных схемах, и оценка скрытности и помехоустойчивости такой передачи.

Структура диссертации:

В ¡первой, главе проводится обзор известных из литературы результатов использованию фрактальных структур и сигналов в радиотехнике.

Рассматриваются основные свойства и особенности фрактальных структур.

Показано, что большая информационная емкость фракталов уже успешно

13 используется в антенной технике. Фрактальные антенны являются широкополосными и компактными, за счет чего их экономическая эффективность очень высока — в настоящее время во многих мобильных устройствах используются такие антенны [68,76,84-90]. На основе новых радиотехнических элементов — фрактальных конденсаторов - созданы устройства, осуществляющие операцию дробного интегрирования или дифференцирования [91-92]. Фрактальные методы в радиолокации позволяют обнаруживать и распознавать слабоконтрастные объекты даже при очень малых отношениях сигнал/фон [76].

Рассмотрены области применения алгебраических фракталов в радиотехнике, особое внимание уделено радиосигналам с фрактальной структурой [77-84]. Показано, что используемые на настоящий момент фрактальные сигналы с мультипликативной структурой не способны составить конкуренцию хаотическим по эффективности использования их в системах передачи информации.

По итогам первой главы сделан вывод о том, что среди различных фрактальных колебаний • сигналы с аддитивной фрактальной структурой в форме ряда Вейерштрасса обладают наиболее перспективными характеристиками для скрытной- передачи информации. Поэтому его всестороннее исследование, совершенствование и сопоставление с хаотическими сигналами является главной целью диссертации.

Во второй главе теоретически исследуются свойства и характеристики реальных сигналов с аддитивной фрактальной структурой на основе усеченного ряда Вейерштрасса:

Показано, что исходная функция Вейерштрасса (кт^=1, ктах=оо) обладает идеальным самоподобием, или, более точно, самоафинностью. Аналитически доказано самоподобие усеченного ряда Вейерштрасса (В.5), как реальной

В.5) к = к, модели фрактального сигнала. Введен в рассмотрение коэффициент самоподобия, определяющий самоподобные участки временной реализации и спектра сигнала.

Приведено доказательство того, что фрактальная размерность функции Вейерштрасса численно равна одному из её параметров [99,144]. Фрактальная размерность усеченного ряда приближается к теоретической при определенном числе его членов, которое определяется значением других его параметров.

Введена концепция несоизмеримости частот простых колебаний, входящих в ряд Вейерштрасса, как принцип возникновения сложного вида его временных реализаций. Получено соотношение для опорной частоты ряда, приводящее к разрушению несоизмеримости. Показано, что появление кратных частот приводит к периодичности временных реализаций сигналов, а при их несоизмеримости период его повторения неограниченно возрастает. При этом расстановка частот ряда по геометрической прогрессии, принятая в исходной функции Вейерштрасса, приводит к её масштабной инвариантности. Вычислены квазипериоды сигналов на основе усеченного ряда Вейерштрасса. Найдены и рассчитаны запрещенные и наилучшие значения опорной частоты с точки зрения максимальной несоизмеримости всех частот ряда.

Проведен расчет численных выборочных статистических характеристик сигнала с аддитивной фрактальной4 структурой: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения; эксцесса, асимметрии, размаха. Показано, что изменение параметров сигнала дает возможность менять вид гистограммы распределения от нормального до равномерного, причем случайные значения начальных фаз компонент ряда не влияют на огибающую его гистограммы распределения. С помощью критерия согласия Колмогорова показано, что огибающая гистограммы распределения соответствует плотности распределения гауссовского закона даже при малом числе членов ряда. Выявлено время наблюдения сигнала, с превышением которого его статистические характеристики становятся неизменными, то есть время установления стационарного режима. Показано, что в стационарном режиме ряд Вейерштрасса обладает эргодичностью.

Введена универсальная численная мера сложности хаотических и фрактальных сигналов — значение фрактальной размерности их временных реализаций. Показано, что предельная сложность фрактальных сигналов может быть больше сложности хаотических сигналов при одинаковой занимаемой ими полосе частот.

С помощью кластерного анализа проведена оценка степени глубины долговременной памяти хаотических и фрактальных процессов, то есть скорости появления перколяционного кластера. Показано, что глубина долговременной памяти фрактального ряда Вейерштрасса гораздо слабее, чем у хаотических процессов, порождаемых динамическими системами Лоренца и Рёсслера, что является позитивным фактором, так как предсказывать поведение такого сигнала гораздо труднее.

Показано, что радиосигналы с фрактальной структурой в форме идеального ряда Вейерштрасса обладают рядом недостатков (чрезмерно большой динамический диапазон, нерациональное использование частотного ресурса, сложность реализации посредством цифровой техники, трудности при аналитическом анализе сигналов в произвольном базисе, высокий уровень боковых лепестков автокорреляционной функции), не позволяющих их использовать в радиотехнических приложениях, но которые можно устранить, проведя модификацию их математических моделей.

В третьей главе разрабатываются принципы и способы модификации базисных функций фрактальных аддитивных рядов для улучшения частотно-энергетических характеристик сигналов на их основе, а также вводятся новые базисы с ориентацией на цифровую реализацию этих сигналов.

Вводится новый фрактальный сигнал на базе усеченного ряда Вейерштрасса, центрированного относительно его текущего математического ожидания в скользящем окне. Такой сигнал позволяет устранить чрезмерно

16 высокую спектральную плотность в низкочастотной области. Проведена оценка потери сложности фрактального сигнала при его центрировании. Рассмотрены скейлинговые свойства центрированного ряда Вейерштрасса.

В результате выявлены следующие достоинства такой функции с точки зрения её применения в системах связи как несущего колебания: убран нарастающий тренд энергии в области низких частот; увеличена сложность временных реализаций; показано, что гистограмма распределения соответствует гауссовскому закону; между отсчетами уменьшена корреляционная связь; сохранено самоподобие временных реализаций.

Для улучшения заполнения частотного диапазона в исходный сигнал на базе ряда Вейерштрасса введена нелинейная функция роста степени опорной частоты, в результате чего появилась возможность уйти от чрезвычайно неравномерной расстановки частот исходного ряда по геометрической прогрессии. Благодаря введенной модификации базиса возможны различные способы квазиравномерного расположения частот внутри отведенного частотного диапазона, а также расположения частот согласно заданному закону. В результате появилась возможность сжимать спектр не только в; низкочастотной области, но и в высокочастотной, оставляя область средних частот разреженной для более эффективной маскировки заданного спектра информационного сообщения фрактальным сигналом. Показано, что сложность сигнала с деформированным спектром больше сложности исходного сигнала, однако теряется масштабная инвариантность.

Вводится новый тип сигнала с аддитивной фрактальной структурой, состоящий не из синусоидальных, а из коробчатых кривых, которые проще реализуются в цифровой технике. Показано, что фрактальная функция в коробчатом базисе состоит из аддитивной комбинации усеченных рядов Вейерштрасса, что облегчает формирование нового сигнала. Доказывается, что коробчатый фрактальный сигнал обладает самоподобием, сложность его временных реализаций также зависит от значения одного из параметров ряда, но численно всегда превышает сложность сигнала в синусоидальном базисе.

17

Разработаны способы формирования сигнала в исходном синусоидальном базисе на основе выбранного фрактального сигнала в коробчатом базисе.

Разработана методика разложения функции с аддитивной фрактальной структурой с произвольно выбранным базисом на аддитивную взвешенную комбинацию функций Вейерштрасса. Так как свойства функции Вейерштрасса подробно исследованы в главе 2, то такое разложение позволяет упростить аналитическое исследование этой фрактальной функции.

Для устранения сильной корреляции между отсчётами сигнала на основе ряда Вейерштрасса, то есть для снижения уровня боковых лепестков его автокорреляционный функции, вводятся- сигналы с аддитивной мультифрактальной структурой. Показано, что уровень боковых лепестков АКФ для такого класса сигналов может быть уменьшен практически на* порядок.

В итоге третьей главы делается вывод о том, что определенные недостатки сигнала на основе исходного ряда Вейерштрасса могут быть успешно устранены изложенными способами. Это позволяет использовать их для разработки различных способов передачи информации.

В четвертой главе разрабатываются способы передачи информации с помощью сигналов с аддитивной фрактальной структурой. В соответствии с целью диссертационной работы показывается, что предлагаемый тип сигналов способен конкурировать с хаотическими, поэтому за основу всех способов-берутся схемы передачи информации, рассчитанные на хаотические сигналы.

Вначале рассматривается возможность применения сигналов с аддитивной фрактальной структурой в схемах хаотической маскировки, где хаотический сигнал просто заменен на фрактальный. Так как генераторы фрактальных сигналов не обладают способностью к самосинхронизации, то рассматриваются схемы с некогерентным приемом. Показано, что в-таких схемах фрактальный сигнал позволяет не только получить приемлемое качество приема информации, но и обеспечить скрытность её передачи, тогда как хаотические сигналы не давали такой возможности.

Затем предлагается и исследуется прямофрактальный способ передачи информации с прямым формированием фрактальных радиоимпульсов в СВЧ диапазоне, и рассчитанный на работу в стандарте IEEE 802.14а по аналогии с прямохаотическим способом, разработанным в ИРЭ РАН под руководством Дмитриева A.C. Показано, что в прямо фрактальном способе помехоустойчивость передачи информации как минимум не ниже, а в ряде случаев выше, чем в прямохаотическом. При этом характеристики прямофрактальных импульсов оказываются не хуже характеристик прямохаотических.

Разработан ряд способов'скрытной связи на основе модуляции параметров, несущего сигнала с аддитивной фрактальной структурой. Показано, что для удовлетворительной скрытности модуляцию имеет смысл проводить только по параметру размерности временной' реализации. Проведен анализ спектров, модулированных сигналов, показано, что размерностная модуляция практически-аналогична классической амплитудной модуляции.

Предложен принципиально новый способ некогерентного выделения информации, замаскированной фрактальным сигналом, за счет масштабной инвариантности последнего.

В конце главы рекомендуется главная область применения аддитивных фрактальных сигналов в радиотехнике — скрытная передача голосовых сообщений в звуковом диапазоне частот. Показано, что в данной области новый класс сигналов заметно превосходит сигналы на основе динамического хаоса, для которых невозможно получить скрытную передачу информации и приемлемое качество её демодуляции.

В приложении П.1. дано определение боксовой размерности множества, показан способ вычисления боксовой размерности произвольной функции, приведены теоретические выкладки для доказательства теоремы о размерности функции Вейерштрасса.

В приложении П.2. приведены таблицы с результатами расчетов численных статистических характеристик сигналов с аддитивной фрактальной структурой (САФС), а также таблицы с рассчитанными критическими, запрещенными и наилучшими значениями безразмерной опорной частоты САФС для широкого круга параметров.

В приложении П.З. (СБ-диск + описание) содержатся звуковые файлы с результатами компьютерного эксперимента по передаче звуковых сообщений в различных схемах, разработанных в главе 4. На основании этого проведенного эксперимента можно говорить о высокой эффективности применения сигналов с аддитивной фрактальной структурой для передачи голосовой информации в акустическом диапазоне. Возможно, высокая степень скрытности передачи в данном эксперименте определяется особенностью слухового восприятия человека. На момент окончания диссертации - область скрытной передачи голосовых сообщений рассматривается как наиболее перспективная для внедрения предлагаемых сигналов нового типа, обладающих аддитивной фрактальной структурой.

В заключении сформулированы основные результаты работы

Заключение

В данной диссертационной работе главной задачей являлась разработка и исследование нового класса сигналов с аддитивной фрактальной структурой (САФС), в качестве альтернативы хаотическим сигналам при передаче аналоговой и цифровой информации. В качестве математической модели САФС был выбран фрактальный ряд Вейерштрасса с ограниченным числом спектральных компонент, как наиболее просто формируемый в радиотехнических приложениях.