автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Самосогласованная микрополевая модель неидеальной плазмы

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Павлов Алексей Сергеевич

Самосогласованная микрополевая модель неидеальной плазмы

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова и в Институте математического моделирования РАН

Научный руководитель - член-корреспондент РАН Калиткин H.H.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Змитренко Н.В.

- доктор физико-математических наук, профессор Лебо И.Г.

Ведущая организация - Московский физико-технический институт (Государственный университет).

Защита состоится «_» _2006 года

в _часов на заседании диссертационного совета К002.058.01 при

Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.

Автореферат разослан « Зо » kofj&jsQ_2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Прончева Н.Г.

200М_ 2 2Л~2в96

гть Общая характеристика рабо

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многократная ионизация разреженных газов описывается системой классических уравнений Саха. Для нее доказано существование и единственность решения, а в [1] предложен эффективный метод решения, пригодный для реализации на ЭВМ.

Классические уравнения Саха не учитывают квантового вырождения электронной компоненты, а также взаимодействия заряженных (и незаряженных) частиц. Поэтому при повышении плотности плазмы их физическая точность ухудшается. В модель требуется включать соответствующие эффекты.

Для учета вырождения электронов в многокомпонентной плазме в работах [2] и [3] была предложена модель ионизационного равновесия. Ионы при этом можно считать классическими частицами, так как эффект вырождения ионов проявляется лишь при плотностях в 1000 раз превышающих твердотельные, при этом вряд ли правомерно считать вещество плазмой.

Взаимодействие заряженных частиц существенно уже при плотностях порядка атмосферной (например, в капиллярных газовых разрядах). Оно приводит к уменьшению (сдвигу) всех потенциалов ионизации, расщеплению и уширению линий спектров, обрезанию статистических сумм атомов и ионов. Предложено много теоретических моделей для описания этих эффектов. Однако выводы этих моделей лишь физически правдоподобны и отнюдь не строги, а результаты их применения сильно различаются. Поэтому остановимся на этом вопросе подробнее.

Сначала строились классические дебаевские поправки ([4]). Однако большинство физиков считало, что эти поправки сильно завышают эффект неидеальности при высоких плотностях. (Экспериментов, с которыми можно было бы сравниться, не существовало.) К тому же в классической модели Дебая-Хюккеля нарушается электронейтральность среды в целом, а также наблюдается не единственность решений уравнений ионизационного равновесия. Столь серьезные недостатки вообще ставят под сомнение правомерность использования данной модели. Позднее стала популярной модель БДХ (Дебай-Хюккель в большом каноническом ансамбле,[5]). Она приводит к гораздо меньшим эффектам неидеальности; на наш взгляд она их сильно занижает. Эти и многие другие работы обосновывались различными приближениями теории возмущений с помощью фейнмановской диаграммной техники. Обзор это направления есть в [б].

Другим подходом, который мы считаем наиболее перспективным в настоящий момент, является микрополевая модель неидеальности ([7]). В ней использована идея плазменного микрополя, давно применявшаяся в спектроскопии. Было предложено рассчитывать термодинамические поправки на неидеальность с помощью этого микрополя Эта модель

существенно лучше согласовывалась с результатами экспериментов для очень плотной плазмы, проведенных в 1980-е годы, чем [4]-[6].

Однако оказалось, что микрополевая модель [7] требует доработки. Во-первых, использовавшееся там выражение для сдвига потенциала ионизации не позволяло написать простые выражения для поправок на неидеальность к термодинамическим

функциям; их можно было восстановить только очень громоздкими численными расчетами (многократным интегрированием сдвига потенциала ионизации). Во-вторых, ряд деталей модели был сделан недостаточно тщательно. На первый взгляд это казалось малосущественным. Однако, при попытке рассчитать состав высокоплотного слабо нагретого вещества, алгоритмы «срывались».

Цель работы - во-первых, построить такой сдвиг потенциалов ионизации с учетом мгновенного флуктуирующего микрополя, который имел бы несложную поправку на неидеальность, пригодную для расчетов термодинамических характеристик плазмы. Во-вторых, необходим алгоритм, позволяющий производить расчеты модели ионизационного равновесия с указанной поправкой на взаимодействие на ЭВМ.

Научная новизна. Впервые предложено явное выражение для поправки на неидеальность к свободной энергии, приводящее к микрополевому сдвигу потенциалов ионизации. На его основе построена согласованная термодинамическая модель плазмы с микрополевой неидеальностью.

Практическая ценность работы. Разработан численный алгоритм для решения обобщенных уравнений Саха с микрополевой неидеальностью на основе которого построен программный комплекс «Плазма-элемент», реализованный на языке С++. Cht позволяет производить расчет ионизации и термодинамических характеристик многократно ионизированной однокомпонентной плазмы для любого элемента периодической системы от водорода (z = 1) до лоуренсия (z = 103). В качестве примеров расчетов в работе представлены таблицы относительной электронной концентрации, давления и энергии элек для плазмы лития, алюминия и меди.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на международной конференции «VII тематические харигоновские чтения» (Саров, 2005). По материалам диссертации сделаны доклады на совместном семинаре Института математического моделирования РАН и кафедры математического моделирования Московского физико-технического института (октябрь 2005), на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (октябрь 2005).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации 76 страниц, рисунков 11, таблиц 11. Список литературы включает 47 наименований.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы. Их список представлен в конце автореферата.

Краткое содержание работы.

Введение включает обоснование актуальности темы, содержит формулировку основных целей работы и краткое содержание глав.

В первой главе приводятся некоторые результаты, необходимые для дальнейших изысканий. В начале обсуждается модель ионизационного равновесия для плазмы. В рамках модели рассматривается газо-плазменная смесь 1-х элементов с порядковыми номерами . Она считается состоящей

из ионов разной кратности к этих элементов (к=0 означает нейтральные атомы, которые присутствует при невысоких температурах) и свободных электронов. Атомы и ионы рассматриваются как частицы с жесткой внутренней структурой, т.е. с системой возбужденных уровней, имеющих

энергии е1кч относительно основного состояния частицы (егк0 = 0) и статистические веса д^. Для отрыва электрона от (к-1) -кратного иона надо затратить энергию, равную к-щ потенциалу ионизации (р1к. Обозначим относительные концентрации электронов через хе, относительные концентрации ионов /-го сорта и кратности ионизации к - через хл . Они

удовлетворяет следующим балансным соотношениям:

г,

,2>,=1 а)

к=0 ' >,к

здесь хг - доли различных элементов в смеси (по числу атомов). Они заданы

начальным составом плазмы.

Модель ИР исходит из функционала свободной энергии (все формулы приводятся в атомной системе единиц), приходящейся в среднем на одну атомную ячейку:

^ = (2)

где А/* есть поправка на неидеальность, а атомно-ионные и электронные члены соответственно определяются идеальногазовыми выражениями [Б4]

77 V Т1 хеШ*

р* = 2-й, - т——(^г-) ] ,

9=1 Х<*

К = (3)

При этом атомы и ионы считаются классическими, для электронов учитывается частичное фермиевское вырождение. Здесь V есть средний

объем атомной ячейки, Т - температура, (р1к - потенциал к-ой ионизации г'-го элемента, С1к - статистическая сумма по всем возбужденным состояниям к-кратного иона /-го элемента, /у - функции Ферми-Дирака, ЬЛ1 - масса иона, измеренная в электронных массах и // - химический потенциал электронов. Последний связан с параметрами вещества соотношением

= (4)

ж 1

Минимизируя функционал (2)-(3) по всем концентрациям с учетом соотношений (1) и (4), получим систему уравнений ионизационного равновесия для всех допустимых индексов /, к

М + Т + <рл + А <рА +8<рА =0, (5)

л х д 5 5 ч. „ где А <рл = — —- + — )ДР (6)

бг*-1 от.

есть снижение потенциалов ионизации, вызванное взаимодействием заряженных частиц, а

го

] 9=0

являются дополнительным сдвигом, обусловленным влиянием взаимодействия частиц на обрезание статистических сумм. Заметим, что

поправка ¿нр1к вводилась только в работах сотрудников данного коллектива. Для неидеальной плазмы поправка А <рл становится существенной;

величины же д<рл даже при заметной неидеальности могут оказаться

пренебрежимо малыми в некоторых диапазонах температур и плотностей вещества.

Далее в данной главе предлагается обзор наиболее известных моделей неидеальности, в частности широко известные и упомянутые ранее модели

МДХ и БДХ. Приводится вьфажение для микрополевой поправки на неидеальность из [7]. В ней вклад ионов предлагается аппроксимировать следующим достаточно громоздким выражением:

2 (Ахе//?2)1/2 (0,027(хе !кьУ + 0,27 (х4Х к / К )Г + ОД 8(хе*Г)2)'

. А _ / )

Ьф* - - -44 , П^4-21/15Чг , л10, ,~2ч1/8 ' <8>

где К = )2'3 , = 2>2х, , Г = , V = ^жК3.

к к К1 5

При низких температурах и больших плотностях значительна концентрация

Х0 нейтральных частиц. № влияние предлагается учитывать следующим

образом:

— 2ЬГ

Заметим, что сдвиг (9) построен в довольно грубом приближении, когда нейтральные частицы моделируются твердыми сферами. (Жесткая механическая система - отрыв электронов с внешней орбиты обусловлен столкновением с электроном другого атома). Окончательно поправка на взаимодействие, учитывающая оба вклада, ионный и электронный, выглядит следующим образом:

ДЙ+АЛА^+М. (10)

Вторая глава посвящена построению микрополевой поправки на неидеальность и численного алгоритма для решения системы уравнений ионизационного равновесия с микрополевым сдвигом потенциалов.

Для того чтобы оценить сдвиг потенциала ионизации рассмотрим ион заряда 2 — 1. Ионизация есть отрыв от него внешнего электрона электрическим микрополем. Этот электрон находится в поле остова, имеющего заряд г. Если электрон находился в высоковозбужденном состоянии, то он был далеко удален от остова, и его взаимодействие с остовом можно описать сферическим кулоновским полем. Для самых низких уровней и основного состояния энергии электрона не водородоподобные, поэтому поле вблизи остова отличается от кулоновского поля заряда 2. Тем не менее, будем принимать кулоновское взаимодействие и для низших уровней электронов, хоть это и не очень аккуратно.

Пусть в данной точке пространства имеется мгновенная напряженность микрополя е. Этому микрополю соответствует потенциал £ - г . Тогда

внешний электрон находится в суммарном поле £/(г) = —- + Е ■ г . Это

И

поле уже не сферическое. Его потенциал имеет седловую точку, в которой

г* = и* = 2-у/г | £ | (смотри рис.1). Если уровень энергии электрона

лежит ниже седловой точки, то электрон остается связанным с ионом. Если уровень выше, то электрон свободно уходит, т.е. ионизуется. Тем самым

сдвиг потенциала ионизации равен г \ е\. Для получения среднего

сдвига надо подставить в эту формулу усредненное электрическое поле

<е>. Это дает 2^/г |< е >|.

Рис. 1 Атом (ион) во внешнем однородном поле; разрез по направлению поля. Сплошные линии - невозмущенные уровни, пунктирные - возмущенные.

Щг) г

ч \ ^

Значение < Е > зависит от функции распределения микрополя. Например, если взять распределение Хольцмарка, то

к 1 Тогда получим следующее выражение для сдвига потенциала ионизации:

А = (12)

Удалось подобрать несложное выражение для АР , чтобы соответствующий ему сдвиг потенциала ионизации А <р достаточно точно аппроксимировал (12):

Дня него сдвиг потенциала к-й ионизации равен А(Рк = ^ +17 2)3'2 +(к~1/ 2)3/2 +1' 2)3/2 ~ С2 ]Х<}

(14)

Здесь с, и с2 постоянные.

Из соображений более точной аппроксимации (12) было выбрано

1 9

с2 = (—)3/2 - (-) . В этом случае выражение (14) будет почти точно

2 \0к

совпадать с хольцмаркским сдвигом (12), хотя внешне оно от него несколько отличается. Однако упомянутый ранее микрополевой сдвиг Волокитина-Голосного-Калиткина из [7] фактически не успевает выйти на

хольцмаркскую ассимптотику даже для газов невысоких плотностей; А<рк оказывается примерно в три - четыре меньше. Поэтому и в данном выражении для сдвига потенциала ионизации (14) было принято с1 = 1 /4.

Для построения самосогласованной модели неидеальной плазмы необходимо еще учесть влияние неидеальности на обрезание статистические суммы. Для изолированного атома статистические суммы бесконечны:

<Л_,=1>иехр (15)

т=1

где статистический вес электронного уровня, £кт- энергия

электронного уровня, отсчитанная от основного состояния.

Однако у атома в веществе не может быть бесконечно больших статистических сумм, поскольку он всегда окружен другими атомами. Высоковозбужденный уровень имеет большой классический радиус электронной орбиты. Однако он не может быть больше, чем среднее расстояние до соседних атомов или ионов. Этот эффект приводит к исчезновению верхних уровней и его формально описывают введением в

статистические суммы формфактора сокт (0 < (Окт < 1):

С*, =|>техр(-^К,,, (16)

т=1 I

Простейшие оценки формфактора основаны на следующем соображении. Пусть потенциал ионизации ¿-кратного иона равен <рм, а энергия

некоторого уровня есть Ект (она отсчитана от основного состояния). Тогда для ионизации с данного возбужденного уровня достаточно энергии (рк+1 - ект. Если эта величина много меньше, чем средний сдвиг потенциала

А(рк, то нахождение электрона на данном уровне маловероятно: 0)кт « 0. В

противном случае уровень практически заселен: С0кт ~ 1. Таким образом этот эффект имеет вероятностный характер, и вероятность заселения должна

А <рк

зависеть от отношения -. На основании всего выше сказанного в

<Рк+\ ~£кт

качестве формфактора нами было выбрано следующее выражение:

а>ь,=етр( ), (17)

<Рк+1 -£ы

Поскольку микрополевой сдвиг (14) \<рк < О, то 0 < 0)^ < 1, как и должно быть.

Для решения системы уравнений ионизационного равновесия с микрополевым сдвигом потенциалов предлагается следующий численный алгоритм. Теоретический вопрос о сходимости метода остается открытым, однако практически сходимость наблюдалась в очень широком диапазоне температур и плотностей.

Систему уравнений ионизационного равновесия (5) можно, пользуясь балансными соотношениями (1), свести к одному уравнению:

ЧЧ*) ^ х-2>, ^-р-= 0, (18)

к=0 1 т=1

где = ехр(--—-), а х - относительная концентрация

электронов. Тогда относительные концентрации ионов вычисляются по формуле:

** =-ГТТ^-• (19)

4=0 1 ш=1

Уравнение (18) можно численно решить комбинацией метода деления пополам и метода простых итераций. Предлагается следующая процедура

расчета. Имея на (и +1) -ом шаге х" и х" (на первом шаге берем начальное

приближение х° и дг°) вычисляем (простая итерация) //(дгп),

&<рк" - А<рк"(х",хк") и 5<рк" = 5(рк(х",хк"). Далее по (18) делением

пополам получаем хп+1, по (19) вычисляем и т.д. Несмотря на хорошую устойчивость данного метода, иногда возникают ситуации, когда в процессе вычисления искомый корень уравнения оказывается за пределами отрезка. По-видимому, это связано с тем, что итерации фактически ведутся по двум переменных х и ц. Поэтому по окончанию итерационного процесса

необходимо поставить проверку электронного баланса хе = У, и, в

к

случае его невыполнения, положить границы отрезка равными х±0.5х\ После этого заново повторить итерационный процесс.

В третьей главе описывается программный комплекс, который реализует описанный во второй главе численный алгоритм для решения системы уравнений ионизационного равновесия (5) с предложенным в работе микрополевым сдвигом потенциала ионизации (14). Он реализован на языке С++ и состоит из непосредственно программного ядра и прилагающейся к нему таблице потенциалов ионизации элементов, взятой из [8]. В этой таблице содержатся потенциалы ионизации всех элементов периодической системы от г = 1 (водород) до г - 103 (лоуренсий), причем кратностей от к = 1 до г. Потенциалы низших ионизаций элементов взяты из экспериментальных данных, собранных в [9]. Для более высоких кратностей ионизации потенциалы построены в [8] на основе расчетов по релятивисткой модели Хартри-Фока-Слэтера с учетом специальных интерполяционных поправок.

При запуске программы пользователю предлагается выбрать химический элемент, плазму которого предполагается исследовать. Также можно задать диапазон температур, диапазон объемов и соответствующие шаги, с которыми будут производиться вычисления (либо производить расчет для некоторых фиксированных значений Т и V). На выходе рассчитываются значения электронных и ионных относительных концентраций, а также

термодинамические величины: давление Р и энергия Е (в атомных единицах). Все величины выдаются в логарифмическом масштабе.

При расчете таблицы для выбранных диапазонов Т и V программа организована таким образом, что на каждом шаге в качестве начального

приближения и принимаются значения в предыдущей точке расчетов.

Это уменьшает число итераций и экономит время. Поэтому рассчитать всю таблицу данных сразу получается быстрее, нежели по отдельности в каждой точке. Пока скорость работы данного программного комплекса не очень высока. Она сильно зависит от атомного номера элемента. Например, время, затраченное на расчет приведенных в диссертационной работе таблиц (каждая содержит 273 точки) для Си составляет около 1 часа, в то время как аналогичные таблицы для А1 вычисляются за пару минут. Причин здесь несколько. Во-первых, сам алгоритм является достаточно трудоемким

(порядка 24 операций сложения, умножения и возведения в степень), во-вторых, программный комплекс написан на языке С++, который сам по себе не приспособлен для таких расчетов. И, наконец, пока еще мы не ставили перед собой задачу оптимизации вычислительного процесса.

Практические вычисления показали, что для плазмы любого элемента в области с > 4 («0.01 от плотности твердого вещества) и

произвольными температурами никаких проблем с расчетами не возникает. Однако, при меньших объемах возможны срывы алгоритма в области первой ионизации. Физически это связано с тем, что здесь возникает настолько сильная неидеальность, что говорить о применимости какой-либо модели вообще затруднительно. Математически это выражается в том, что уравнение для определения степени ионизации (19) имеет в этой области три корня.

С помощью построенного программного комплекса проанализирована количественная роль неидеальности на примере лития. Наш анализ показал, что неидеальность существенно сказывается на ионизации, в то время как давление и энергия практически не отличаются от идеальногазовых выражений.

Для демонстрации работоспособности программного комплекса были проведены расчеты плазмы лития, алюминия и меди. Расчеты проводились в диапазоне температур -2<\%Т <0 (Г« 3^-300 тыс. К) и объемов 4 < V < 7 с шагом ^ АТ = 0.1 и АV = 0.25 соответственно (Т и Ув атомных единицах). Для каждого элемента рассчитаны три таблицы: электронная концентрация х, давление Р и энергия Е. В таблицах приведены значения десятичных логарифмов указанных величин. Таблицы представлены в диссертационной работе.

Проведены также сравнительные расчеты ионизации на примере лития с микрополевой поправкой из [7] и предложенным в данной работе сдвигом

потенциалов ионизации. Результаты для = 4 (р « 0.008г/см3) и

-2 < < 0(Т « З + ЗООтыс.К) представлены на рис.11. Видно, что некоторое количественное различие наблюдается лишь в области первой ионизации, в то время как качественно модели идентичны. Причем количественная разница уменьшается с увеличением объема.

Рис.11 Расчет ионизации для лития по микрополевой модели [7] и модели, предложенной в данной работе.

На рисунке представлено изменение относительной электронной концентрации х при У= 10000 (р « 0.0008г/см3)

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложении приводится таблица потенциалов ионизации, используемая в программном комплексе и текст программы.

Основные результаты

1. Впервые предложено явное выражение для поправки на неидеальность к свободной энергии, приводящее к микрополевому сдвигу потенциалов ионизации. На его основе построена согласованная термодинамическая модель плазмы с микрополевой неидеальностью. г 2. Разработан численный алгоритм для решения обобщенных уравнений Саха с микрополевой неидеальностью. На его основе построен программный комплекс, реализованный на языке С++. Он позволяет производить расчет ионизации и термодинамических характеристик многократно ионизированной однокомпонентной плазмы для любого элемента периодической системы от водорода ( г = 1) до лоуренсия (г — 103).

3. С использованием программного комплекса проведены численные расчеты, которые показали:

- модель разумно воспроизводит явление металлизации;

- аккуратный учет возбужденных уровней в статистических суммах слабо влияет на ионизацию и термодинамику; доминирующий вклад вносит основное состояние и его обрезание;

- неидеальность существенно сказывается на ионизации, в то время как термодинамические характеристики практически не отличаются от идеальногазовых.

Литература

1. Калиткин H.H., Царева JI.C. Метод расчета ионизации на ЭВМ.// ЖВММФ, 1971, т. 11, №3, С.772-773.

2. Баско М.М. Уравнение состояния металлов в приближении среднего иона. М.: Препр. ИТЭФ, 1982, №57,44с.

3. Калиткин H.H., Ритус И.В., Миронов A.M. Ионизационное равновесие с учетом вырождения электронов. М.: Препр. ИПМ, 1983, №46, 27с.

4. Тиман Л.Б. Влияние взаимодействия ионов на их равновесные концентрации в случае многократной термической ионизации газа.// ЖЭТФ, 1954, т.27, вып. 6(12), с.708-711.

5. Ликальтер A.A. Взаимодействие атомов с электронами и ионами в плазме. // ЖЭТФ, 1969, т.56, №1, с.240-245.

6. Эбелинг В., Крефт В., Кремп Д. Теория связанных состояний и ионизационного равновесия в плазме и твердом теле. М.: Мир, 1979, 262с.

7. Волокитин B.C., Голосной И.О., Калиткин H.H. Широкодиапазонное уравнение состояния вещества. 1. Анализ моделей неидеальности. // Известия вузов; физика, 1994, №11, с.23-43.

Волокитин B.C., Голосной И.О., Калиткин H.H. Широкодиапазонное уравнение состояния вещества. 2.Микрополевая модель. // Известия вузов; физика, 1995, №4, с.11-31.

8. Калиткин H.H., Кузьмина Л.В., Ритус И.В. Потенциалы ионизации и ударные адиабаты плазмы. М.: Препр. ИПМ, 1986, №120, 24с.

9. Физические величины: Справочник/ А.П. Бабичев, H.A. Бабушкина, А.М. Братковский и др. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова - М.; Энергоатомиздат, 1991.-1232с.

Основные результаты опубликованы в работах

Калиткин H.H., Павлов A.C. Метод расчета состава неидеальной плазмы. Математическое моделирование, 2004, т. 16, №12, с.61-68. Калиткин H.H., Павлов A.C. Микрополевая неидеальность и металлизация плазмы. Математическое моделирование, 2005, т. 17, №6, с.21-32.

Калиткин H.H., Павлов A.C. Программный комплекс «Плазма-элемент».

Математическое моделирование, 2005, т.17, №10, с.14-30.

Калиткин H.H., Павлов A.C. Ионизационное равновесие в сверхплотной

сильно неидеальной плазме. Экстремальные состояния вещества, детонация,

ударные волны. Труды международной конференции VII харитоновские

тематические научные чтения, Саров, 2005, под ред. А.Л.Михайлова, с.312-

317.

Павлов Алексей Сергеевич

Самосогласованная микрополевая модель неидеальной плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Отпечатано в Институте математического моделирования РАН Тираж 100 экз.

025870

<r i

РНБ Русский фонд

2006-4 t

27983

ВВЕДЕНИЕ.з

ГЛАВА 1.

ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ИОНИЗАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ.

1.1 МОДЕЛЬ ИОНИЗАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ.

1.2 МОДЕЛИ НЕИДЕАЛЬНОСТИ.

1.3. МИКРОПОЛЕВАЯ МОДЕЛЬ НЕИДЕАЛЬНОСТИ.

1.4 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ФЕРМИ-ДИРАКА.

ГЛАВА 2.

ПОСТРОЕНИЕ МИКРОПОЛЕВОЙ МОДЕЛИ.4i

2.1 МИКРОПОЛЕВАЯ ПОПРАВКА НА НЕИДЕАЛЬНОСТЬ.

2.2 СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ. СИСТЕМЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ ЛИТИЯ И ВОДОРОДА.

2.3 ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА МОДЕЛИ.

ГЛАВА 3.

ВЕРИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ.

3.1 ПРОГРАМНЫЙ КОМПЛЕКС.

3.2 ПАРАМЕТРЫ НЕИДЕАЛЬНОСТИ.

3.3 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Многократная ионизация разреженных газов описывается системой классических уравнений Саха ([5]). Для этой системы в [5] доказано существование и единственность решения, а в [6] предложен эффективный метод решения, пригодный для реализации на ЭВМ.

Классические уравнения Саха не учитывают квантового вырождения электронной компоненты, а также взаимодействия заряженных (и незаряженных) частиц. Поэтому при повышении плотности плазмы их физическая точность ухудшается. В модель требуется включать соответствующие эффекты.

Для учета вырождения электронов в многокомпонентной плазме в работах [7] и [8] была предложена модель ионизационного равновесия. Ионы при этом можно считать классическими частицами, так как эффект вырождения ионов проявляется лишь при плотностях в 1000 раз превышающих твердотельные, при этом вряд ли правомерно считать вещество плазмой.

Взаимодействие заряженных частиц существенно уже при плотностях порядка атмосферной (например, в капиллярных газовых разрядах). Оно приводит к уменьшению (сдвигу) всех потенциалов ионизации, расщеплению и уширению линий спектров, обрезанию статистических сумм атомов и ионов. Предложено много теоретических моделей для описания этих эффектов. Однако выводы этих моделей лишь физически правдоподобны и отнюдь не строги, а результаты их применения сильно различаются. Поэтому остановимся на этом вопросе подробнее.

Сначала строились классические дебаевские поправки ([9]). Однако большинство физиков считало, что эти поправки сильно завышают эффект неидеальности при высоких плотностях. (Экспериментов, с которыми можно было бы сравниться, не существовало.) К тому же в классической модели Дебая-Хюккеля нарушается электронейтральность среды в целом, а также наблюдается не единственность решений уравнений ионизационного равновесия [30]. Столь серьезные недостатки вообще ставят под сомнение правомерность использования данной модели. Позднее стала популярной модель БДХ (Дебай-Хюккель в большом каноническом ансамбле,[10]). Она приводит к гораздо меньшим эффектам неидеальности; на наш взгляд она их сильно занижает. Эти и многие другие работы обосновывались различными приближениями теории возмущений с помощью фейнмановской диаграммной техники. Обзор это направления есть в [11].

Другим подходом, который мы считаем наиболее перспективным в настоящий момент, является микрополевая модель неидеальности ([12]). В ней использована идея плазменного микрополя, давно применявшаяся в спектроскопии ([13]). Было предложено рассчитывать термодинамические поправки на неидеальность с помощью этого микрополя. Эта модель существенно лучше согласовывалась с результатами экспериментов для очень плотной плазмы, проведенных в 1980-е годы, чем [9]-[11].

Однако оказалось, что микрополевая модель [12] требует доработки. Во-первых, использовавшееся там выражение для сдвига потенциала ионизации не позволяло написать простые выражения для поправок на неидеальность к термодинамическим функциям; их можно было восстановить только очень громоздкими численными расчетами (многократным интегрированием сдвига потенциала ионизации). Во-вторых, ряд деталей модели был сделан недостаточно тщательно. На первый взгляд это казалось малосущественным. Однако, при попытке рассчитать состав высокоплотного слабо нагретого вещества, алгоритмы «срывались».

Таким образом, ставилась задача, во-первых, построить такой сдвиг потенциалов ионизации с учетом мгновенного флуктуирующего микрополя, который имел бы несложную поправку на неидеальность, пригодную для расчетов термодинамических характеристик плазмы. Во-вторых, необходим алгоритм, позволяющий производить расчеты модели ионизационного равновесия с указанной поправкой на взаимодействие на ЭВМ. В данной диссертационной работе приводится решение указанных проблем.

Первая глава работы содержит некоторые основные результаты, которые необходимы для дальнейших изысканий. Здесь представлена модель ионизационного равновесия, вводится понятие мгновенного флуктуирующего микрополя, а также приводится микрополевая модель неидеальности из [12], взятая в данной работе за основу. Помимо этого в первой главе содержится обзор наиболее известных (классических) моделей неидеальности, а также необходимая в дальнейшем интерполяционная формула для функций Ферми - Дирака, позволяющая свести интегральную зависимость к несложному дробно-рациональному выражению, удобному для численных расчетов.

Вторая глава посвящена построению микрополевого сдвига потенциалов ионизации А<р для модели ионизационного равновесия. В ней указывается соответствующая этому сдвигу поправка на неидеальность AF, необходимая для расчета термодинамических характеристик плазмы. Здесь же приводится и алгоритм, пригодный для численных расчетов ионизации по описанной модели. Помимо этого во второй главе описывается построение системы энергетических уровней для Li, позволяющей достаточно аккуратно воспроизвести статистические суммы с учетом их обрезания.

В третьей главе дается описание программного комплекса, построенного на основе предложенной микрополевой модели неидеальности, и позволяющего производить расчет ионизации и термодинамических свойств плазмы одного элемента. С его помощью проводится анализ количественных характеристик различных параметров неидеальности. Рассчитываются таблицы ионизации для Li, Al, Си, демонстрирующие работоспособность программы, достаточную устойчивость численного метода и адекватность приведенной микрополевой поправки на взаимодействие.

Основные результаты были изложены в работах [1—4]. Они докладывались на VII-x Харитоновских чтениях, проходивших в марте 2005 года в городе Саров.

Для написания программы использовался язык С++. Текст приводится в приложении 1.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Впервые предложено явное выражение для поправки на неидеальность к свободной энергии, приводящее к микрополевому сдвигу потенциалов ионизации. На его основе построена согласованная термодинамическая модель плазмы с микрополевой неидеальностью.

2. Разработан численный алгоритм для решения обобщенных уравнений Саха с микрополевой неидеальностью. На его основе построен программный комплекс, реализованный на языке С++. Он позволяет производить расчет ионизации и термодинамических характеристик многократно ионизированной однокомпонентной плазмы для любого элемента периодической системы от водорода (z = 1) до лоуренсия (z = 103).

3. С использованием программного комплекса проведены численные расчеты, которые показали:

- модель разумно воспроизводит явление металлизации;

- аккуратный учет возбужденных уровней в статистических суммах слабо влияет на ионизацию и термодинамику; доминирующий вклад вносит основное состояние его обрезание;

- неидеальность существенно сказывается на ионизации, в то время как термодинамические характеристики практически не отличаются от идеальногазовых.

1. Калиткин Н.Н., Павлов А.С. Метод расчета состава неидеальной плазмы.// Математическое моделирование, 2004, т.16, №12, с.61-68.

2. Калиткин Н.Н., Павлов А.С. Микрополевая неидеальность и металлизация плазмы.// Математическое моделирование, 2005, т. 17, №6, с.21-32.

3. Калиткин Н.Н., Павлов А.С. Программный комплекс «Плазма-элемент».// Математическое моделирование, 2005, т.17, №10, с.14-30.

4. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966, 686с.

5. Калиткин Н.Н., Царева JI.C. Метод расчета ионизации на ЭВМ.// ЖВММФ, 1971, т.11, №3, С.772-773.

6. Баско М.М. Уравнение состояния металлов в приближении среднего иона. М.: Препр. ИТЭФ, 1982, №57,44с.

7. Калиткин Н.Н., Ритус КВ., Миронов A.M. Ионизационное равновесие с учетом вырождения электронов. М.: Препр. ИПМ, 1983, №46, 27с.

8. Тиман Л.Б. Влияние взаимодействия ионов на их равновесные концентрации в случае многократной термической ионизации газа.// ЖЭТФ, 1954, т.27, вып. 6(12), с.708-711.

9. Ликалътер А.А. Взаимодействие атомов с электронами и ионами в плазме. // ЖЭТФ, 1969, т.56, №1, с.240-245.

10. Эбелинг В., Крефт В., Кремп Д. Теория связанных состояний и ионизационного равновесия в плазме и твердом теле. М.: Мир, 1979, 262с.

11. Волокитин B.C., Голосной И.О., Калиткин Н.Н. Широкодиапазонное уравнение состояния вещества. 1 .Анализ моделей неидеальности. // Известия вузов; физика, 1994, №11, с.23-43.

12. Волокитин B.C., Голосной И.О., Калиткин Н.Н. Широкодиапазонное уравнение состояния вещества. 2.Микрополевая модель. // Известия вузов; физика, 1995, №4, с.11-31.

13. Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме. М.: Мир, 1978, 491с.

14. Веденов А.А., Ларкин А.И. Уравнение состояния плазмы. // ЖЭТФ. 1959. Т.36, вып.4. С.1133-1142

15. Ларкин А.И. Термодинамические функции низкотемпературной плазмы. // ЖЭТФ. 1960. Т.38, вып.6. С.1896-1898.

16. Копышев В.П. Второй вириальный коэффициент плазмы. // ЖЭТФ. 1968. Т.55, вып.4(10). С.1304-1310

17. Норман Г.Э., Старостин А.Н. Термодинамика сильно неидеальной плазмы. //ТВТ. 1970. Т.8, вып.2. С.413-438.

18. Очерки физики и химии низкотемпературной плазмы. // Ред. Полак JI.C. М.: Наука, 1971.435с.

19. Hansen J.P. Statistical mechanics of dense ionized matter. I. Equilibrium properties of the classical one-component plasma. // Phys. Rev. Vol. A8, N6. P.3096-3109.

20. Фортов B.E., Якубов ИТ. Физика неидеальной плазмы. Черноголовка: ОИХВ и ИВТ АН СССР, 1984. 263с.

21. Каклюгин А.С., Норман Г.Э. Уравнения состояния и ионизационного равновесия недебаевской плазмы // ТВТ. 1987. Т.25, вып.2. С.209-217.

22. Каклюгин А. С. Термодинамические свойства недебаевской плазмы: Кандидатская дисертация. М.: ИВТАН, 1987. 157с.

23. Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В. Интерполяционные формулы для функций Ферми-Дирака.//ЖВММФ, 1975, т. 15, №3, с.768-771.

24. Собелъман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Физматгиз, 1963. 640с.

25. Севастьяненко В.Г. Влияние взаимодействия частиц в низкотемпературной плазме на ее состав и оптические свойства: Препр. ИТПМ СО АН СССР N30. Новосибирск, 1980.

26. Калиткин Н.Н., Кузьмина JI.B. Модели неидеальности плазмы. М.: Препр. ИПМ АН СССР N16. 1989.38с.

27. Ломакин Б.Н., Фортов В.Е. Уравнение состояния неидеальной цезиевой плазмы. //ЖЭТФ. 1972. Т.63, вып. 1(7). С.92-103.

28. Сеченов В.А., Щекотов О.Е. Сравнение экспериментальных и расчетных термодинамических параметров сильнонеидеальной цезиевой плазмы. // ТВТ. 1974. Т.12, вып.З. С.652-654.

29. Буигман А.В., Ломакин Б.Н., Сеченов В.А., Фортов В.Е., Щекотов О.Е., Шарипджанов ИИ. Термодинамика неидеальной плазмы цезия. // ЖЭТФ. 1975. Т.69, вып.5(11). С.1624-1633.

30. Калиткин Н.Н. Неадекватность дебаевской ассимптотики. // Математическое моделирование. 2005. т.17. N4. С.40-52.

31. Калиткин Н.Н. Квазизонное уравнение состояния. // Математическое моделирование. 1989. N2. С.64-108.

32. Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы. М.: Мир, 1974. 496с.

33. HoltsmarkJ. II Ann. Phys. (Leipzig). 1919. V.58. P.577.

34. Broyles A.A.I/ Phys. Rev. A. 1955. V.100. P.l 181-1190.

35. Куриленков Ю.К., Филинов B.C. II Теплофизика высоких температур. 1980. Т. 18. №4. С.657-667.

36. Голосной И.О. // Математическое моделирование. 1993. Т.5. №6. С. 11-23.

37. Iglesias С.A., Lebowitz J.L., McGowan G. //Phys. Rev. A. 1983. V28. №3. P.l 667-1672.

38. Iglesias C.A., DeWitt H.E., Lebowitz J.L. // Phys. Rev. A. 1985. V31. №3. P.l 698-1702.

39. Голосной И.О. // Математическое моделирование. 1991. Т.З. №9. С.49-54.

40. McDougall J., Stoner E.S. The computation of Fermi-Dirac functions. Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1939. A237. P.67-104

41. Rhodes P. Fermi-Dirac functions of integral order. Proc. Roy. Soc. 1950. A204. N1078. P.396-405.

42. Beer A.C., Chase M.N., Choquard P.F. Extention of McDougall-Stoner tables of the Fermi-Dirac functions. Helv. phys. acta. 1955. 28. P.529-542.

43. Latter R. Temperature behavior of the Thomas-Fermi statistical model for atoms. Phys. Rev. 1955. 99. P.l854-1870.

44. Cody W.J., Thacher H.C. jr. Rational Chebyshev approximation for Fermi-Dirac integrals of orders -1/2, 1/2 and 3/2. Math. Comput. 1967. 21. N97. P.30-40.

45. Физические величины: Справочник // А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, A.M. Братковский и др. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова М.; Энергоатомиздат, 1991.-1232с.

46. Калиткин Н.Н., Кузьмина Л.В., Ритус И.В. Потенциалы ионизации и ударные адиабаты плазмы. М.: Препр. ИПМ, 1986, №120, 24с.

47. Carlson Т.А., Nestor C.W.jr.,Wasserman N., Mc Dowell J.D. Calculated ionization potentials for multiply charged ions. Atomic data, 1970, v.2, №1, p.63-99.