автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Решение задач нейтронно-физического расчета на многопроцессорных ЭВМ

кандидата физико-математических наук
Мерзляков, Василий Анатольевич
город
Ростов-на-Дону
год
1997
специальность ВАК РФ
05.13.16
Автореферат по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Решение задач нейтронно-физического расчета на многопроцессорных ЭВМ»

Автореферат диссертации по теме "Решение задач нейтронно-физического расчета на многопроцессорных ЭВМ"

На правах рукописи

МЕРЗЛЯКОВ Дасилий Анатольевич

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕИТРОННО-ФИЗИЧЕСКОГО РАСЧЕТА НА МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ЭВМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (информатика, вычислительная техника и автоматизация)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1997

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте механики и прикладной математики при РГУ.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор СЕЛЕЗНЕВ М.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор СУХИНОВ А.И.

кандидат физико-математических наук,

доцент ШТЕЙНБЕРГ БЛ.

Ведущая организация: Кубанский госуниверситет

Защита состоится «<§$» 1997 г. в часов на

заседании диссертационного совета К 063.52.12 по физико-математическим и техническим наукам в Ростовском госуниверситете по адресу: 344090, Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, корпус 2, Вычислительный центр РГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

Муратова Г.В.

- 3 -

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке и реализации численных методов и алгортюв решения задач нейтронно-физического расчёта на многопроцессорных ЭВМ типа Cray.

Актуальность темы. Решение проблемы безопасного управления ядерными энергетическими установками немыслимо без применения вычислительной техники. Так, при разработке АСУ ТП, требуется проведение многагруппового нейтронно-физического расчёта. Задачи, возникающие при этом, являются нестационарными, нелинейными и трехмерными. Выбор модели, однако, определяется возможностями вычислительной техники. Известны двухгрупповые диффузионные модели, в которых нейтроны разбиты на две группы со скоростями V = 50 ил/сэк и V2= 2 кл/сек. Создание Высокопроизводительных Вычислительных Систем даёт возможность управлять реактором в реальном масштабе времени.

Практически, успеха можно добиться, если, при реализации на ВВС каждого шага модели, удасться эффективно решить центральную задачу : эллиптическую сеточную сгютелу уравнений общего вида.

Целью работы являлась разработка базовых, параллельных, итерационных методов решения сеточных систем, возникающих при проведении нейтронно-физического расчёта. При этом рассматривались системы заданные на прямоугольных и гексагональных сетках.

Научная новизна- Предложенные в диссертационной работе, итерационные методы решения систем сеточных эллиптических уравнений являются побит, априори учитывают особенности

многопроцессорных вычислительных комплексов типа Cray и позволяют повысить загрузку функционального оборудования яодобныг вычислительных систем.

Достоверность полученных результатов обусловлена теоретическим исследованием свойств предложенных алгоритмов, многочисленными численными экспериментами и их сравнением с известными результатами.

Практическая значимость выполненной работы состоит в том, что для многопроцессорных вычислительных комплексов разработаны и эффективно реализованы параллельные численные алгоритмы, которые могут быть использованы в качестве базовых при проведении нейтранно-физическага расчёта.

Апрооация работы■ Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах отдела Математических методов в экономике и экологии ШИМ и ПМ РТУ, на семинарах ВЦ РГУ, на международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" в 1Э95 году в г. Ростове-на-Дону, на второй международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" в 1996 году в г. Ростове-на-Дону.

В полном объёме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Методы решения краевых задач" лаборатории вычислительного эксперимента ВЦ Ростовского госуниверситета.

Публикации ■ По теме диссертации опубликована шесть печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и шести приложений. Содержание работы изложено на 157 страницах машинописного текста, включающих 7

- о -

рисунков и 14 таблиц. Список литературы содержит 1Э8 наименований.

Содержание работы.

Зо введении дан краткий обзор проблематики исследования, изложены основные новые результаты.

Первая глава состоит из двух разделов. В первом приводится сравнительный анализ результатов, полученных автором на ÏIC-3QOO. Сообщается, в частности, о реализации IïïmNFR, для проведения двухгруппавого нвйтронно-физическога расчёта. Базовый метод последовательной верхней релаксации (SOR) был заменен параллельным вариантом, что дало ускорение счёта в 20 раз по сравнению с ЭВМ БЭСМ-6. Анализ показал, что весьма актуальной является задача разработки новых алгоритмов, более полно использующих возможности новой вычислительной техники. Исследованиями в этой области занимались Бабенко Л.К., Боглаев Ю.П., Будникова Г.Г., Визнюк Г.И., Воеводин В.В., Галба Е.Ф., Гинкин В.П., Ерёмин А.Ю., Жангисина Г.Д., Ильин В.П., Иноземцев А.П., Каляев В.Ф., Калории И.Е., Кологатгаа Л.Б., Краснов O.A., Кузнецов Ю.А., Кучеров А.Б., Дедовский В.М., Локоть EÍA., Макаревнч О.Б., Молчанов И.Н., Нечепуренко D.M., Николаев Е.С., Николаев И.А., Овчаренко О.И., Софронов И.Д., Софронова О.И., Сухшов А.И., Толстых М.А., Фомин С.Ю., Харина О.П., Един А.Н., ¿Чненко H.H., Aby-Shumaya I.K., Aahby S.Г., Axelason 0., Brugnano L., Conçus P., Dubois P.F., Eijkhout V., Evans D.J., George A., Greenbaum A., Hockney R.ff., Hoebel W., Johnsson S.I., Eamath C.f Кеуез D.E., Kincaid D.R., Llpltakis E.A.,

Makowíts H., Manteuífel T.i., Ortega ¿.M., Poole E.L., Richards 3.E., Rodrigue G.H., Saad Y., Sameh A., Saylor P., Seager M.K., 7aasilevaki P.S., Vorst H.A., Young D.M., Yousif W.S. и многие другие отечественные и зарубежные ученые.

Во втором разделе помещен литературный обзор.

- Во втотой глазе. используя идеи неполной факторизации, разрабатываются параллельные итерационные методы для пятиточечного шаблона. Рассматриваются случаи диагональной и периферийной компенсации. Для тестового примера, с помощью предельного матричного анализа, получены формулы для собственных значений преобразования погрешности, хорошо согласующиеся с численными экспериментами уже на грубых сетках. Рассмотрен вопрос о сходимости предложенных методов. Были проведены численные эксперименты по ускорению предложенных методов с помоиью вариационных принципов.

Систему сеточных уравнений запишем в матричном виде:

А V = Í, (1 )

где матрица оператора А имеет блочно-трехциагональную структуру А = ¡L + Ю + 41. Для решения системы (1 ) применим двухслойную итерационную схему:

В (v""1- v") + A v" = í. (2)

Оператор верхнего слоя Ш должен быть легко обратим и обеспечивать высокую скорость сходимости. Применяя идеи методов неполной факторизации, зададим структуру оператора Ш, допускающую распараллеливание :

В = (IN + Е) * (Б » (Œ + QJ), (3)

где Е - единичный оператор. Вводя обозначения:

Ш = А + С , (4)

оператор € разобъем на сушу £Н + ВС , где И определен вне основного шаблона оператора Л , а К - компенсирующий оператор определен в узлах основного шаблона . При диагональной компенсации, оператор К определен в центральном узле.

О помошью предельного матричного анализа, на тестовом примере получаем вид коэффициентов оператора В в шаблоне: 1 . _____1__

!В =

1

ъг

2+2(1-9) — 1

4-

-1

49

2+2(1-В)

2+2(7-9 Г -1

(5)

2+2 П-в)1'* 2+2 (1-в

Погрешность бп итерационного процесса (2) подчиняется уравнению:

¡В О"*1 - (С бп. (б)

Собственные функции преобразования (б) с коэффициентами' (5) имеют вид:

рте,/

2 , 7ПХ1 __ а4п_ я

а собственные значения равны:

1 - 9 + 0.25 0.5 ((1т+ цр)

X =

тпр

(7)

(8)

- 9 + 0.25 1у1р+ 0.5 О-в (цт+ цр)

. .2 &71 .. , „, здесь р = 4 91п'-——, Ь = 1/Ы.

к ел

Поведение реального итерационного процесса хорошо согласуется с формулой (8) уже при Ж = 15. Наихудшая сходимость на гладких гармониках наблвдается при 8 = 0.0.

Определение 1. Назовем предельным такое значение

итерационного параметра, при котором минимален.

Определение 2. Назовем критическим такое значение итерационного параметра, при котором возникают расходящиеся гармоники.

При И = 15, для диагональной компенсации, получаем

<3 =0.56 и V.«* 0.844, а также 9 = 0.64 <6 = 0.Э6. опт 11 ирит пред

Определение 3. Будем говорить, что итерационный процесс (2) обладает пространственной счетной устойчивостью, если в (3) оператор 6 обратим и выполняются условия | И | 1 ; | 04 Ц ^ 1.

Пространственной счётной устойчивости макно добиться всегда, вводя, если необходимо, переменные итерационные параметры. Если 9 = 0.0, то построенный оператор С будет положительным, а соответствующее разбиение (4) оператора й является регулярным. Тогда, в силу основной теоремы, итерационный процесс (2) сходная.

При периферийной компенсации получаем предельный вид оператора С :

1 -2а ?

С =

гк3\ 1-а')

и собственные значения преобразования погрешности (6):

-2а 4а -2а 1 -2а 1

(9)

{1-а.) + 0.25 ии - 0.5 (1-а) (и + и. )

X ------Р (10)

^ (1-а) + 0.25 и и +0.5 4 1-а (ц + ц. )

• пт р чгтп ^р'

Для И = 15 находим а = 0.9999 и а < а , что

пред пред «¡рнт'

наглядно демонстрирует Таблица 1. Оптимальное значение паоаметга а =0.96 дает сиеднюю скохгасть сходимости X =0.78.

опт - - ср

£ з

ч

г1-

Таблица 1

РНОСЕМ^БЗРБ^»); ПМЬ®ДШ5 )ПК1 ____ ^ ПРИЛОШИЕ^Лг

АЬРА= .999900 ЕР5= .10000003-05 ОЕ?а= . 1ииООООЕ-и5 р=14 .21 .56 .73 . 81 .86 . 88 . 90 . 91 .92 . 93 . 93 . 94- .94 . 95 и=1и .¿и .ол . ш .(о .83 .8о .а/ .ау .«и .уи .91 .ъм

р=12 .20 .53 .59 .77 .81 .34 .86 .37 .88 .89 .89 .90 .91 .91 Т5=11 .20 .53 .68 .76 .80 .83 .85 .86 .87 . 38 . 88 . 89 . 90 . 90 р=10 . 20 - 53 . 68 . 76 . 80 . 83 . 34 .86 . 86 . 37 . 88 . 83 . 89 . 90

.«- I шОс. .со . < О . / V . - .аз . о о . О ( . со - оъ»

1^4 Г"<~, /"Гт Т/Г Г7Г~г г-> * «"»О /-» 4 .-1Г- >-> Г" > /—>,<- Г~\Г7 ЛЛ

.¿1 .5^: .о7 .75 .с» .01 -вЗ .а» .со .ео .во .во .аТ ..г»

.22 .52 .67 .74 .78 .80 .32 .33 .84 .84 .85 .85 .86 .87

.22 .51 .66 .73 .76 .79 .30 .81 .82 .32 .83 .83 .84 .85

Ь= 5 .23 .51 .64 .71 .74 .77 .78 .79 .79 .80 .80 .81 .81 .82

1. . 1—1 1-г\ 1~Г\ Г74 ГТ<~1 ГТ * гтг- ГТ Г" Г7■ (- ПГ/- ГУ" ГТГТ ГГ<*"Ч

и= л .¿О ,0и .0£ .СИ .11 .(4- .1 О .¡О .Ю ./О .(О .11 .1В

р= 3 .29 .49 .59 .63 .66 .67 .68 .68 .69 .59 .69 .69 .69 .71_ р= 2 .36 .46 .51 .53 .54 .55 .55 .56 .56 .56 .56 .55 .55 .55

I .¡и .10 .1 у .¿1 ..и .¿ч- .¿4- .¿4 .¿•ч- .¿■т .¿■ч-

_ V 4 /-V <-1 4 Г~ ГТ Г"> /Л ^ Л * * ^ П 4 ГЧ <1 4

i £ о 4- о о г а ушм^ю'!*

Для двухпараметрического итерационного процесса с а = О и '.1,= 1 получаем среднюю скорость сходимости А. = 0.58.

В третьей главе разрабатываются параллельные итерационные методы для сеточных систем, заданных на семиточечном шаблоне. Представлены случаи диагональной и три варианта периферийной компенсации. Рассмотрения ведутся применительно к системам заданным на гексагональной сетке. Еля специального теста с помошью предельного матричного анализа получены формулы для собственных значений преобразования погрешности. Численные эксперименты позволили провести анализ полученных результатов и подтвердили высокую скорость сходимости построенных алгоритмов.

При диагональной компенсации получаем для Ы = 16 9 =0.615 и скооость сходимости л, ,= 0.74, а также

ОПТ - 1 I 1

3 =0.735, в =0.949. Отметим, что опетатот) Ш хпзи

крит пред -

диагональной компенсации сохраняет сеойстео симметричности

оператора А.

Наиболее быстрой сходимостью обладает схема с периферийной

компенсацией 3. Пиедельный матричный анализ дает ж(а.) и о (а):

Зге

+ а(йе + 36) „ , , ,-= - а (ae + Q;

зе + 33*

~L = - a2 -

+ a(gae + 30)

-1 - б - а (йе + б)

(11 ) (12)

8 ж* + 38*

В результате получаем вид оператора С :

ае -а(эе+б) —ctfae+5) ae О

С = _£_ s -а(йе+3) 4а{%+§) -а(2зе+б) б

О зе -а(ге+б) -а(ае+5) ае

3/1г

п:

Собственные функции имеют следующий вид :

уГ? = sin. rmíí+j/2)h sin VDjh, (14)

* j *

а соответствующие собственные значения преобразования погрешности (б), задаются формулами:

= -И-

+ ( ^23 + К } ' *

(15)

где г = (J. |jl - tí - a if + Q/as)] + S/ae u^ -

- [4 + 4 5/ае - а (2 + S/эе)] ц + (4 + 2 S/ae) (? - а) - 4 sinг т

г 1 С

= 4 aln* + + 4 sin2 (Щк.ЩЬ). Система (11, 12) имеет решение при любом aetO.O,Í.01. При а = 1.0 формула (15) принимает вид:

(16)

(17)

(18)

(19)

(ц23- 0.5^

Отсюда для гладкой гармоники получаем асимптотическую

формулу:

л.1 -1 «« 1 - 0.875 М= /тс2 (20)

которая показывает, что при а близких к единице имеются гармоники, обладающие значительной расходимостью.

Численные эксперименты, проведенные для тестовой задачи при и = 16, показывают, что формула (15) для гладких гармоник дает завышенную оценку. На рисунке 1 приведены результаты для гармоники т = /, р = ?, где пунктиром показана кривая, полученная по формуле (15).

i 1 ^ J í ; ; | ! i N

1 А V Г\ ¡ ! X ! ! \

А í I \ I 1 \ ! ! N

1 ч J 1 i 1 J 1 1 ] J i i .... 1 .... I ... . С ,1 СГ- Л ■? \ \J 1 1 1

Рис. 1. ^

i. i

по формуле (15)

Для стационарного итерационного процесса существует оптимальное значение итерационного параметра а. При Ы = 16 получаем а =0.73, а скорость сходимости равна = таг 1А."1р! = 0.42.

Предельное значение а, при котором ¡Л.1,1! принимает минимальное значение, савно а*= О.бЗ, ггшчем iX.1,1! = 0.07, max ¡л.гп,р| =

1 - * 1 ' 171 , О '

0.61, т.е. а* < а

' крит

Для нестационарных итерационных процессов набор параметров ак следует выбирать из промежутка [0.0,а*]. Например, для двухпараметрического процесса с 0^= 0.5 и аг= 0.8 ( не оптимальными! ) средняя скорость сходимости равна Xе р= 0.375. Такая высокая скорость сходимости обусловлена тем, что на промежутке С0.0,а*] нет расходящихся гармоник.

В четьйртоя главе, при проведении нейтронно-физического расчёта, в качестве базовых предложено использовать разработанные Параллельные Методы Неполной Факторизации. При этом для сходимости "внешних" итераций важным оказалось свойство самосопряженности оператора верхнего слоя.

Полученные результаты численных экспериментов свидетельствуют о значительном увеличении скорости сходимости итерационных процессов, обеспечивая возможность эффективного использования Высокопроизводительных Вычислительных Систем с параллельной обработкой.

Остановимся на двухгрупповой модели в двумерном приближении :

= vZxf ф15л> + ©Jtn' (21)

-аШ ггаа ф15> +Б1 „ф1 с ' ^ q<п' /X п) (22)

~ т оа^ л г зфф

-div&zraa. rf^^'+S® <p"T,+1,«YaQlnV^"'tS^V^1 ' (23) ~ T oaT f зфф

3 ф ф эффх f г г

где фт<п'- п-ов приближение плотности потока нейтронов т-ой группы;

Вт - коэффициент диффузии т-ой группы;

V

~ коэффициент увода т-ой группы; 21_>2 - коэффициент перехода из первой группы во вторую группу;

1'2™ - коэффициент размножения ш-ой группы; X™ - доля спектра деления в ш-ой группе; .Г™ - эффективный коэффициент размножения. Численные экперименты проводились для следующих значений констант, заданных таблицей 2.

Таблица 2

функция вода топливо рагулиров. мн. разм.

51 1.625 1.291 1.377 м

"ай 3.833 1.965 2.370 1СР м-1

I? 2.750 4.565 - 3.384 10~3 м

"ай 1.083 4.975 13.390 1СР м"1

< 0.000 2.330 5.262 1СГ1 м-1

-у 2* 0.000 4.744 14.901 1СР м-1 •

VI -*г сл 3.797 1.116 1.309 1СР м-1

Было принята также 'п = 0.234 м, х1 = 1-0, = Для начала итерационного тхшесса следует задать = 1.0 и

— - ЭЙф

ф1С0>= 1.0, <ргсо> = 1.0 в расчетных узлах.Сходамость контролировалась по условию

- и -

, £<п-м> _ ксп> 1 < (25)

Полученные данные для е=10~6 приведены в таблице 3.

Таблица 3

п дСТ» В

Эфф п

1 0.7435694 0.256Е+00

2 0.7497676 0.834Е-02

3 0.7528695 0.414Е-02

4 0.7545571 0.224Е-02

5 0.7555432 0.131Е-02

11 0.7571720 0.110Е-03

17 0.7573408 0.132Е-04

21 0.7573541 0.167Е-05

22 0.7573544 0.238Е-06

При этом на каадой -внешней" итерации для решения системы сеточных уравнений первой группы затрачивалось пять итераций, а второй группы - три итерации. Решение задачи получено за 22 ■внешние* итерации и найден эффективный коэффициент размножения Е = 0.7'57354. Значения пашметтов 0 =0.0 и 9 = 0.0 дают

Эфф 1 3 "

решение двугрупповой задачи за 23 -внешние* итерации.

В заключении дана сводка основных результатов, полученных в диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертация посвящена разработке и исследованию параллельных итерационных методов решения сеточных эллиптических задач, необходимых для проведения нейтронно-физического расчёта на Многопроцессорных Вычислительных

Сиетемах тана Cray.

Результата, представленные к защите :

1. Проведён сравнительный анализ численных результатов, полученных на Многопроцессорном Вычислительном Комплексе ПС-3000, который показал, что существуют эффективные скалярные алгоритмы, плохо поддающиеся распараллеливанию.

2. Для сеточных систем, заданных на пятиточечном шаблоне, разработаны Параллельные Методы Неполной Факторизации. Представлены варианты с диагональной и периферийной компенсацией. Для двухпараметрического итерационного метода, на тестовых задачах, получена средняя скорость сходимости итераций хср-= 0.58.

3. Для эллиптических сеточных систем, заданных на гексагональной сетке, разработаны 1МЙ> с диагональной и различными видами периферийной компенсации. Получена схема (периферийная компенсация 3), дающая для двухпараметрического итерационного процесса на специальной тестовой задаче среднюю скорость сходимости =0.375.

4. С помощью предельного матричного анализа найдены формулы для собственных значений преобразования погрешности. С помоаью численных экспериментов указаны диапазоны применимости полученных формул.

5. С применением разработанных ПМНФ решена практически важная задача о проведении многогруппового Нейтранно-Физического Расчёта. В результате подтвервдена перспективность использования в качестве базового ПМН® взамен ранее применявшихся (SOR, либмановские итерации).

- 16 -

6. Применение для ускорения обобщённого метода сопряжённых градиентов [6] позволило получить оценку для необходимого числа итераций з виде: п(«з )=C«N 0'5 *1п(2/е ).

Основные результаты изложены в следующих публикациях :

1. Мерзляков В.А. Пакет прикладных программ ЭЛПС для решения двумерных эллиптических краевых задач на ПС-3000 // Высокопроизводительные вычиааигашшв системы. III. Всесоюзное совещание 1988. Таллинн. - Тезисы докладов. - М.: 1S88. - с.12.

2. Мерзляков В.А. Разработка параллельных методов и программ для решения задач диффузии // Отчет НИИМ и ПМ при РГУ. - 1989. - тема J628T3. - J6 гос. регистрации 02900045248.

3. Мерзляков В.А. Параллельные методы для пятиточечных уравнений // Ростов, ун-т, ШШ и ПМ. - Ростов н/Д, 1994. -18 с. - Ил. - Еиблиогр. 4 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 23.12.94, JS3014 БЭ4.

4. Мерзляков В.А. Параллельные методы для эллиптических сеточных уравнений, заданных на гексагональной сетке // Ростов, ун-т, НИИМ и ПМ. - Ростов н/Д, 1994. - 15 с. - Ил. -Библиогр. 7 назв. - Рус. - Деп. в ВИШИ 23.12.94, №3015 В94.

5. Мерзляков В.А. Применение параллельных методов неполной факторизации при проведении нейтронно-физического расчёта //Труды Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". - Ростов-на-Дону, 19-21 июня 1995 г., Тезисы докладов - с.35 - 36.

6. Мерзляков В.А. Ускорение с помощью сопряжённых

градиентов в ПМНФ решения системы сеточных уравнений // Труды II Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". - Ростов-на-Дону, 19-20 сентября 1996 г., т.2 - с.112 - 114.