автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Решение задач аппроксимации функций в системах компьютерной математики

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР МЕТОДОВ И СРЕДСТВ ПРИБЛИЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.1. Роль приближения функций в решении практических задач

1.2. Обзор современных систем компьютерной математики

1.3. Аналитический обзор численных методов полиномиальной аппроксимации

1.4. Численные методы приближения табличных данных

1.5. Метод наименьших квадратов

1.6. Тригонометрическая интерполяция рядами Фурье

1.7. Аппроксимация функциями Уолша

1.8. Выводы

2. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ СРЕДСТВАМИ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

2.1. Классификация методов интерполяции и аппроксимации специальных функций

2.2. Сравнительный анализ средств аппроксимации функций в современных системах компьютерной математики

2.3. Совмещение средств приближения функций с построением их графиков

2.4. Аппроксимация функций и сигналов на основе вейвлет-анализа и синтеза

2.5. Отражение систем компьютерной математики в Интернет

2.6. Перспективы онлайновых средств приближения функций в Интернете

2.7. Выводы

3. ВЕЙВЛЕТЫ В ТЕХНИКЕ ВЫЯВЛЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И СИГНАЛОВ

ЗЛ. Необходимость учета особенностей поведения функций и сигналов

3.2. Основные предпосылки к вейвлет- анализу функций и сигналов

3.3. Основы непрерывного вейвлет- анализа функций и сигналов

3.4. Методика вейвлет-анализа особенностей функций и сигналов с помощью системы компьютерной математики MATLAB

3.5. Специальные возможности непрерывного вейвлет- анализа

3.6. Выводы

4. ЭФФЕКТИВНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

4.1. Повышение эффективности аппроксимации специальных математических функций

4.2. Выбор метода приближения специальных функций

4.3. Методика рациональной (Паде) аппроксимации

4.4. Методика минимаксной аппроксимации

4.5. Оптимизация временных затрат при аппроксимации

4.6. Роль аппроксимации в машинной графике

4.7. Выводы

5. РЕАЛИЗАЦИЯ АППРОКСИМАЦИИ В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MATHEMATICA

5.1. Рациональная и минимаксная аппроксимации функций Бесселя

5.2. Аппроксимации с высокой степенью полинома

5.3. Минимаксная аппроксимация гамма- функции

5.4. Новые аппроксимации специальных математических функций

5.5. Моделирование сигналов

5.6. Комплекс программ приближения функций и ее визуализации

5.7. Выводы 127 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 129 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 132 ПРИЛОЖЕНИЕ: АКТЫ О ВНЕДРЕНИИ

Задачи аппроксимации встает довольно часто перед исследователями и инженерами в различных областях науки и техники. Области, где применимы те или иные методы решения задач приближения функций и сигналов весьма широки и разнообразны. Они используются как при выполнении математических расчетов и математического моделирования, так и при проектировании коммуникационного оборудования, систем технического зрения, высококачественного звуковоспроизводящего оборудования, а также анализирующих систем медицинского оборудования.

Примером необходимости проведения процедур приближения могут служить расчеты, проводимые с использованием специальных математических функций. На практике они часто заменятся приближенными аналитическими соотношениями, так как большинство из них является аналитически сложными и неудобными для дальнейших расчетов. Широко использовались технологии построения таблиц значений наиболее используемых специальных функций.

В настоящее время наиболее эффективными средствами для вычисления специальных математических функций является системы компьютерной математики. Но ввиду аналитической сложности специальных функций их реализация в данных пакетах имеет непростые алгоритмы вычисления, что приводит, как правило, к существенным затратам времени на вычисление и препятствует применению таких систем в практике моделирования систем и устройств.

В связи с этим одной из главных задач данной диссертации является рассмотрение возможностей применения различных приближений специальных функций в среде программных систем компьютерной математики. Полученные приближения должны иметь приемлемую для практики точность, также обеспечивать быстрое вычисление специальных функций, и должны быть реализованы в системах компьютерной математики.

Кроме того, задачи интерполяции и аппроксимации занимают определенное место в учебных программах курсов по математике и информатике. Однако, в настоящее время это место недостаточно, что не позволяет рассмотреть ряд актуальных задач интерполяции и аппроксимации, например, методов оптимального выбора видов аппроксимации, повышения точности и скорости выполнения аппроксимации, использования новейших методов аппроксимации, например, на основе вейвлетов. Это тоже определяет необходимость дальнейших исследований в этой области.

Основной целью диссертации является разработка эффективных по скорости вычислений и практически приемлемых по точности алгоритмов и программных средств для проведения процедур приближения специальных математических функций в системах компьютерной математики.

Для ее достижения сформулированы следующие задачи:

1. Выполнение аналитического обзора методов и средств интерполяции табличных данных и аппроксимации аналитических зависимостей;

2. Проведение классификации рассмотренных методов, на основании которой можно осуществить целенаправленный эффективный выбор наиболее подходящего метода приближения специальных функций;

3. Анализ возможностей нового метода - вейвлет- преобразования в выявлении особенностей специальных функций;

4. Разработка алгоритма выбора метода приближения для специальных функций;

5. Разработка эффективных алгоритмов приближения специальных функций средствами систем компьютерной математики. лес.-: с (:■ г ■ ■■ .- '

Для решения поставленных задач в работе были использованы современные методы компьютерной алгебры, вычислительной математики, численные методы приближения функций и сигналов, теория прямого вейвлет-преобразования, теория специальных функций, алгоритмы и методы программирования.

На защиту выносятся следующие положения:

- классификация методов приближения специальных математических функций;

- применение прямого вейвлет- преобразования для визуального анализа особенностей специальных функций и сигналов по их вейвлет- спектрограммам;

- разработка алгоритма выбора метода приближения на основе особенностей исследуемой специальной функции;

- разработка программных средств аппроксимаций специальных математических функций в системах компьютерной математики.

Теоретическая значимость данного исследования заключается в следующем:

- проведение классификации методов приближения специальных функций, используемых в современных системах компьютерной математики, и изучение их возможностей для решения подобных задач;

- рассмотрение нового метода прямого вейвлет- преобразования для детального исследования особенностей функций и сигналов и построения вейвлет- спектрограмм функций;

- определение алгоритма выбора метода приближения на основании выявленных особенностей исследуемой функции.

Практическая ценность данной работы определяется следующим:

- получены конкретные результаты приближения специальных математических функций в системах компьютерной математики. При этом определяется выбор методов аппроксимации на основании особенностей исследуемой функции, которые имеют преимущества по точности приближения и скорости вычислений;

- разработан метод моделирования сигналов на основе использования их сплайновой интерполяции и увеличенного числа отсчетов при спектральном анализе и синтезе.

Результаты диссертации могут быть использованы для практических расчетов с использованием специальных математических функций, а также при моделировании физических сигналов и устройств. Разработанные программные средства применимы для приближений функций и сигналов как в среде систем компьютерной математики MATLAB 6/6.1 и Mathematica 4/4.1, так и при реализации вычислений на универсальных языках программирования. х . .

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на ряде международных научных конференциях. В их числе Международная научно- практическая конференция, посвященная 75-летию со дня рождения проф. М.Б. Балка (Смоленск, 1998), X Международная конференция «Применение новых технологий в образовании» (Троицк, 1999), Международная конференция - «Интернет. Общество. Личность» (Санкт-Петербург, 1999), Вторая Международная научная конференция по системам компьютерной алгебры (Минск, БГУ, 1999), Международная конференция «Системы компьютерной математики и лингвистики» (Смоленск, 2000), Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-14» (Смоленск, 2001) и другие, а также на семинарах кафедры физической и информационной электроники СГПУ.

Исследования по данной диссертации были частью плановых работ по гранту «Применение современных компьютерных систем в решении фундаментальных задач естествознания» Министерства общего и профессионального образования, проводимого в соответствии с приказом от 2 июня 1997 № 1083 и временным положением об организации конкурсов грантов в системе государственного комитета РФ по высшему образованию, утвержденным приказом Государственного комитета РФ по высшему образованию от 30 апреля 1993 г. № 5, и по планам научной работы кафедры физической и информационной электроники СГПУ в период с 1998 по 2002 г.г.

По теме диссертации опубликовано 12 работ, 3 из которых в соавторстве.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы, приложения. Объем диссертации составляет 131 страницу основного текста, содержит 34 рисунка, 4 таблицы. Библиография включает 124 наименования отечественной и зарубежной литературы.

5.7. Выводы

1. Система компьютерной математики Mathematica 4 имеет достаточно обширный набор специальных математических функций, но их вычисление происходит с избыточной точностью и низкой скоростью;

2. Функции и пакеты расширений системы компьютерной математики Mathematica 4 имеют возможность представления ряда специальных математических функций, упрощенными полиномиальными выражениями, дающими при приемлемой на практике заданной погрешности вычислений порядка десятых или сотых долей процента, выигрыш по скорости вычислений порядка десятков раз;

3. Выполнена аппроксимация с высокой степенью полиномов (выше 5), что дает существенное уменьшение погрешности при высокой скорости вычислений для отдельных функций, например, интегралов Френеля;

4. Показаны способы преодоления влияния некоторых особенностей специальных функций на рост погрешности вычислений вблизи этих особенностей путем добавления к аппроксимируемой функции константы, сдвига значений аргумента и перевода вычислений в новую область допустимых значений аргумента с последующим рекуррентным вычислением в заданном интервале изменения аргумента;

5. Представлены конкретные результаты по ускорению вычислений специальных математических функций в среде системы Mathematica 4 и конкретные программные реализации методов вычислений.

6. Реализован метод моделирования сигналов, заданных таблицей отсчетов с применением многоинтервальной сплайновой интерполяции между узлами. Это позволяет увеличивать количества отсчетов сверх допустимого по теореме отсчетов Шеннона-Котельникова, что существенно повышает точность спектрального представления сигналов и снижает проявление эффекта Гиббса.

7. Рассмотренные методы аппроксимации и приближения сигналов и функций могут быть реализованы и в других системах компьютерной математики, например Mathcad, MATLAB.

8. Показаны возможности программирования решаемых в диссертации задач с помощью систем MATLAB 6/6.1 и пакетом расширения Wavelet Toolbox.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как показывает проведенное исследование, приближение специальных функций и сигналов в среде систем компьютерной математики имеет большое значение, которое помогает в решении ряда научно-технических задач. Удалось получить приемлемые для практики аппроксимации специальных функций, позволяющие существенно сократить время их вычисления.

В целом по диссертации можно сделать следующие заключительные выводы:

1. Эффективным инструментарием в решении задач приближения функций и сигналов численными методами, включая задачи интерполяции, экстраполяции и аппроксимации, в настоящее время являются программные средства систем компьютерной математики и пакетов расширения для них. Для решения научно-технических задач наиболее приспособлены системы Maple, Mathematica и MATLAB. Система Mathcad может использоваться, в основном, для решения технических задач приближения.

2. На основании рассмотренной задачи аппроксимации, ее методов реализации, можно сделать вывод о том, что процедура приближения функций и сигналов используется на практике довольно часто. Аппроксимация может потребоваться тогда, когда аналитическое выражение для функции f(x) известно, но является слишком сложным для проведения различных математических операций над ним и построения графиков.

3. Важным является выбор метода аппроксимации, определение критерия применимости выбранных методов и разработки общей методики приближения функций на основе анализа их особенностей. Анализируя поведение приближаемой функции, также используя выполненную классификацию известных методов приближений, можно провести целенаправленный эффективный выбор подходящего метода приближения специальных функций.

4. На основе анализа существующей математической литературы по вейв-летам отобраны минимально-необходимые сведения по практическому проведению вейвлет- анализа функций и сигналов с применением для этого инструментальных средств пакета расширения Wavelet Toolboox матричных систем компьютерной математики MATLAB. Показано, что эффективное исследование особенностей функций можно провести с помощью процедуры непрерывного вейвлет- преобразования, результатом которого является построение вейвлет- спектрограммы.

5. Разработаны программные средства для получения вейвлет- спектрограмм специальных функций и сигналов средствами языков программирования современных систем компьютерной математики MATLAB 6/6.1 пакета расширения Wavelet Toolboox.

6. Определены характерные визуальные признаки вейвлет- спектрограмм, позволяющие эффективно идентифицировать локальные особенности поведения функции. Значение подобного анализа повышается при исследовании сложных функций, например, ряда специальных математических функций или сигналов, заданных временной зависимостью. Результаты вейвлет- анализа характера поведения функции могут служить критерием выбора метода приближения.

7. Системы компьютерной математики реализуют сложные и медленные методы вычисления специальных функций. Поэтому весьма актуально создание аппроксимаций и приближений таких функций, дающих выигрыш во времени вычислений при приемлемой, а не избыточной точности вычислений. Это открывает новые возможности в применении систем компьютерной математики в технике моделирования систем и устройств и в обработке сигналов и функций.

8. Улучшение полиномиального приближения на всем интервале изменения аргумента может быть выполнено с помощью алгоритма минимаксного приближения, который направлен на минимизацию значение разности между приближением и исходной функцией.

9. Повышение скорости вычислений аппроксимирующей функции в виде полинома дает возможность преобразовать ее запись по схеме Горнера, результатом которой является уменьшение количества вычислительных операций.

10. Выполнена аппроксимация с высокой степенью полиномов (выше 5) для простой и модифицированной функции Бесселя, функции ошибки, интегралов Френеля, интегрального синуса, гамма- функции, что дает существенное уменьшение погрешности от 10"5 до Ю"10 при высокой скорости вычислений для отдельных функций, например, интегралов Френеля в сотни раз.

11. Показаны способы преодоления влияния некоторых особенностей специальных функций на рост погрешности вычислений вблизи этих особенностей путем добавления к аппроксимируемой функции константы, сдвига значений аргумента и перевода вычислений в новую область допустимых значений аргумента с последующим рекуррентным вычислением в заданном интервале изменения аргумента.

12. Представлены конкретные результаты по ускорению вычислений специальных математических функций в среде системы Mathematica 4 и конкретные программные реализации методов вычислений.

13. Реализован метод моделирования сигналов, заданных таблицей отсчетов с применением многоинтервальной сплайновой интерполяции между узлами, что снижает проявление эффекта Гиббса.

14. Рассмотренные методы аппроксимации и приближения сигналов и функций могут быть реализованы как в системе Mathematica, так и в других системах компьютерной математики, например MATLAB или Mathcad.

1. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.-221 с.

2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- 3-е изд., перераб., и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 608 с.

3. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: Нолидж, 2001. - 1296с., ил.

4. Основы современных компьютерных технологий. / Под ред. проф. А.Д. Хомоненко Авторы: Б.Н. Артамонов, Г.А. Брякалов, В.Э. Гофман и др. -Спб.: КОРОНА принт, 1998. 448 с.

5. Баракат Р. и др. Компьютеры в оптических исследованиях: Пер. с англ. / Под ред. Б. Фридена. М.:Мир, 1983. - 488 е., ил.

6. Дьяконов В.П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. 3-е изд., доп. и перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 464 с.

7. Трохименко Я. К. Любич Ф.Д. Инженерные расчеты на программируемых микрокалькуляторах. Киев: Техника, 1985. - 326 с.

8. Жаблон К., Симон Ж.-К. Применение ЭВМ для численного моделирования в физике: Пер. с фр. М.: Наука, 1983. - 235 с.

9. Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Maple 6: Решение математических, статистических и физико-технических задач. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 824 е.: ил.

10. Чен К., Джиблин П., Ирвинг A. MATLAB в математических исследованиях: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 346 е., ил.

11. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамович, И. Стиган;: Пер. с англ. М.: Наука, 1979. - 830 е.: ил.

12. Воронова В.Ф. Специальные функции: Справочное пособие. Рязань: рязанский радиотехнический институт, 1974. - 98 с.

13. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М., Л.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963. - 358 е., ил.

14. Дьяконов В.П. Справочник по системе символьной математики Derive. -М.: СК-ПРЕСС, 1998. - 256 е., ил.

15. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999. - 640 е., ил.

16. Дьяконов В.П. MATLAB: Учебный курс. СПб: Питер, 2001. - 560 е.: ил.

17. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 7.0 PRO. М.: СК-ПРЕСС. 1998. -352 с.

18. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD 7.0 PRO. М.: СК-ПРЕСС. 1998. -352 с.

19. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 7.0 в математике, физике и в Internet. М.: Нолидж. 1998. -352 с.

20. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в математике, физике и в Internet. М.: Нолидж. 1999. -512 е., ил.

21. Дьяконов В.П. Mathcad 2001: Учебный курс. СПб.: Питер, 2001, - 624 е.: ил.

22. Дьяконов В.П. Справочник по математической системе Mathematica 2 и 3. М.: СК-ПРЕСС. 1998. - 320 с.

23. Дьяконов В.П. Mathematica 4: Учебный курс СПб: Питер, 2001. - 656 е.: ил.

24. Дьяконов В.П. Mathematica 4с пакетами расширений. М.: «Нолидж», 2000. - 608 е., ил.

25. Дьяконов В. Maple 6: Учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 608 е.: ил.

26. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5 М.: СОЛОН, 1998.-400с., ил.

27. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширений MATLAB: Специальный справочник СПб.: Питер, 2001 - 480 е.: ил.

28. Дьяконов В. П. MATLAB 6. Учебный курс. СПб.: Питер, 2002. - 92 с.

29. Дьяконов В.П. Simulink 4: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002-528 е.: ил.

30. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. -448 с.

31. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. М.: МИКАП, 1994. - 382 е.: ил. 78.

32. Дли М.И., Круглов В.В., Осокин М.В. Локально- аппроксимационные модели социально-экономических систем и процессов. М.: Наука. Физматлит, 2002. - 224 с.

33. М. Шмелев. Третий не лишний // Hard'n'Soft. 2001. - №9. - С.52-63.

34. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 604 е., ил.

35. Самарский А.А., Гулин А.В. Численный методы. М.: Наука, 1989. -429 е.: ил.

36. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. - 272 с.

37. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. Физматлит. 1987. - 600 с.

38. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1 М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 464 с.

39. Волков Е.А. Численные методы. 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248с.

40. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1953. - 527 е., ил.

41. Каханер Д., Моулер К., Неш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. Изд. второе, стереотип. - М.: Мир, 2001. -575 е., ил.

42. Davis 1963. Interpolation and Approximation. Blaisdell, New York. Mathematics of Computation.

43. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Изд-во МАИ, 1998. - 188 е.: ил.

44. Кунцман Ж. Численные методы: Пер. с фр. Е.И. Стечкиной. М.: Наука, 1978.- 159 с.

45. Гусак А.А. Приближение функций. Мн.: Университетское, 1989. - 174 е.: ил.

46. Демидович Б.П., Марон И.А, Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. -М.: гос. изд. физ.-мат. лит., 1963. -400 е., ил.

47. Мэтьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование MATLAB: Пер. с англ. 3-е изд. М.: Издательский дом «Вильяме», 2001. - 720 е.: ил.

48. Залманзон JI.A. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. - 496 с.

49. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986.-440 е., ил.

50. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2000.-462 с.: ил.

51. Чуй Ч. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. / Под ред. Я. М. Жилейкина -М.: Мир, 2001.-412 е., ил.

52. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Pattern Anal, and Machine Intell.- 1989. vol. 11, no. 7, pp. 674-693.

53. Meyer Y. Ondelettes et operateurs. Tome 1. Hermann Ed.-1990 (English translation: Wavelets and operators, Cambridge Univ. Press. 1993.).

54. Daubechies I. Ten lectures on wavelets, CBMS-NSF conference series in applied mathematics. SIAM Ed. -1992.

55. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: Пер. с англ. Е. В. Мищенко. / Под ред. А. П. Петухова Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 с.

56. Новиков И.Я., Стечкии С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. - Т.З. №4.- С.999-1028.

57. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. - Т.53. №6(324).- С.53-128.

58. Астафьева Н.М. Вейвлет- анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. - Т. 166. № 11.- С. 1145-1170.

59. Третьяков А.А. Быстрое преобразование Фурье и вейвлетные разложения: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. СПб., 1998 - 8с.

60. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразований. СПб: ВУС. - 1999. - 208с.

61. Скопина М.А. Приближение функций полиномами и всплесками: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. СПб., 2000. - 30 с.

62. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. - Т. 171. №5.- С. 465561.

63. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: Солон-Р.- 2002 -442 с.

64. Дьяконов В. П. Mathcad 2001: Специальный справочник. С-Пб.: Питер. 2002 - 832 с.

65. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений: Специальный справочник. С.-Пб.: Питер. 2002- 608 с.

66. В. Дьяконов, А. Пеньков. Современные математические системы // PC WEEK. 1996. - № 43(97). - С.42.

67. Дьяконов В.П. Компьютерные математические системы в образовании // Информационные технологии. 1997. - №4. - С.40.

68. В. Дьяконов. Как выбрать математическую систему? // Монитор-Аспект. 1993. - № 2. - С.22.

69. Мартынов Н.Н., Иванов А.П. MATLAB 5.x. Вычисления, визуализация, программирование. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000. - 336 с.

70. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический пакет для всех. М.: Мир. - 1997. - 208 с.

71. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V. М.: Петит. - 1997. - 200 с.

72. Манзон Б.М. Maple V Power Edition М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1998. - 240 с.

73. Гультяев А.К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows. СПб.: КОРОНА принт, 1999. - 288 с.

74. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB. Учебный курс. СПб.: Питер.- 2000.- 432 с.

75. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. Т.1 М.: Диалог МИФИ, 1999. - 366 с.

76. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. Т. 2 М.: Диалог МИФИ, 1999. - 304.

77. Дьяконов В.П., Петрова Е.В. Аппроксимация и регрессия графически заданных функций в системе Matlab 6.0 // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. Смоленск: СГПУ, 2001. - С. 38-41.

78. Петрова Е.В. Система компьютерной алгебры MuPAD. // Системы компьютерной математики и лингвистики: Сб. материалов международной конференции. Смоленск: СГПУ, 2000. - С. 30-32.

79. Очков В.Ф. MathCAD 7 Pro для студентов и инженеров. М.: KoMnbK>TepPress. - 1998. - 384 е., ил.

80. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров. М.: Финансы и статистика, 2002 - 656 е.: ил.

81. Wolfram S. The Mathematica book Mathematica Version 4 - Fourth Edition- Wolfram-Media, 1999. 1470 c.

82. Mathematica 4: Standard Add-on Packages. Wolfram-Media, 1999. - 535 c.

83. Петрова Е.В. Дистанционный курс новое дополнительное средство образования. // Информационные технологии в образовании: Сб.трудов участников IX Международная конференция - выставка. Часть III. - М.: МИФИ, 1999.-С. 97-98.

84. Петрова Е.В. Виртуальный университет для смоленского студента. // Интернет. Общество. Личность: Сб. тезисов докладов Международной конференции С-Пб.: Институт «Открытое общество», 1999. - С. 226.

85. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров.- М.: Советская энциклопедия, 1988. 847 е., ил.

86. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.Виноградов. Т. 4, Ок-Сло.- М.: Советская Энциклопедия, 1984. 1216 стб., ил.

87. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.Виноградов. Т. 1 М.: "Советская Энциклопедия", 1977. - 1152 стб., с ил.

88. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.Виноградов. Т. 3, Коо-Од -М.: Советская Энциклопедия, 1982. 1184 стб., ил.

89. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.Виноградов. Т. 5 Слу-Я -М.: Советская Энциклопедия, 1984. 1248 стб., ил.

90. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.Виноградов. Т. 2 М.: Советская Энциклопедия, 1979. - 1104 стб., ил.

91. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева: Пер. с пол. С.Н. Киро / Под ред. В.И. Лебедева. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1983. - 384 с.

92. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелое В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 224 е., ил.

93. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация: Пер. с франц. Ю.С. Завьялова и др. М.: Мир, 1975. - 496 е., ил.

94. Хинчин А .Я. Цепные дроби. 3-е изд. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.-111 с.

95. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М.: Гос. изд-во тех.- теор. лит., 1956.-203 с.

96. Скоробатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. М.: Недра, 1968. - 437 с.

97. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -256 с.

98. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. М.: Наука, 1964. - 303 е., ил.

99. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, Физматлит. - 1980. - 384 с.

100. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике. М.: Наука, Физматлит. - 1992. - 174 е., ил.

101. Тормышев Ю.И. Технические средства машинной графики / Под ред. П.М. Чеголина. Мн.: Наука и техника, 1987 - 192 с.

102. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд. - М.: Наука, 1976. - 544 с. с ил.

103. Петрова Е.В. Исследование особенностей функций с помощью вейвлет-спектрограмм пакета Wavelet Toolbox // Телекоммуникации, математика и информатика исследования и инновации: Межвуз. сб. науч. тр. -СПб.: ЛГОУ, 2002. - С. 218-221.

104. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964. - 772 е., ил.

105. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, Физматлит, 1973. - 832 с.

106. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика / Пер. с англ. М.:Наука, 1990.-383 е., ил.

107. Ахмет Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Наука, 1980. - 248 с.

108. Ш.Зеленский К.Х., Игнатенко В.Н., Коц А.П. Компьютерные методы прикладной математики. Киев: Дизайн-В, 1999 - 352 с.

109. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики. М.: Наука, 1968.-94 е., ил.

110. Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-502 е., ил.

111. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.: Наука, 1989. 299 е., ил.

112. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. - 544 е., ил.

113. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. Х.Д. Икрамова. М.: Мир, 1980.-280 е., ил.

114. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-448 с.

115. Гутер Р.С., Резниковский П.Т. Программирование и вычислительная техника. Вып.2. Вычислительная математика. Программная реализация вычислительных методов. М.: Наука, 1971. - 263 е., ил.

116. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. М.: Финансы и статистика, 1999 - 256 е.: ил.

117. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Киев: Наукова Думка.- 1986.- 584 с.

118. Петрова Е.В. Методика проведения аппроксимации функций средствами Mathematica // Системы компьютерной математики и их приложения: Сб. материалов международной конференции. Смоленск: СГПУ, 2001. - С. 111-112.

119. Петрова Е.В. Интерполяция и аппроксимация экспериментальных данных средствами системы Mathematica 4 // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-14: Сб. тезисов докл. Международной научной конференции. Смоленск, 2001. - С. 176-178.

120. Петрова Е.В. Рациональная и минимаксная аппроксимации специальных математических функций средствами систем компьютерной математики / Смол. гос. пед. ун-т. Смоленск, 2002. - 19 е., ил. - Библиогр.: 5 назв. -Рус. - Деп. в ВИНИТИ 26.03.02 № 548-В2002.

121. Настоящий акт составлен в том, что следующие результаты диссертационной работы Петровой Е.В. приняты к внедрению в ОАО НПП "Техноприбор":

122. Методика выявления особенностей поведения специальных функций на основе использования их вейвлет-спектрограмм.

123. Методика выбора оптимальных метода приближения специальных функций с практически приемлемой точностью и малым временем вычисления.

124. Программные модули для построения спектрограмм функций, представленные на языке программирования системы MATLAB.

125. Результаты работы Петровой Е.В. использованы при создании двух библиотек функциональных блоков:

126. MatFast.lib включает набор базовых математических функций. Вычисления производятся в стандартном (IEEE 32-bit real) формате с плавающей запятой. В настоящее время библиотека реализует 10 математических функций.

127. Linear.lib содержит целочисленные (1б-бит) блоки, предназначенные для быстрой предварительной обработки результатов аналоговых измерений: цифровая передискретизация, фильтрация и линеаризация измерений.

128. Ведущий инженер-программист» а^лг-J^- 2002 г.1. АКТвнедрения результатов диссертационной работы Петровой Е.В. «Решение задач аппроксимации функций в системах компьютерной математики»

129. Настоящий акт составлен в том, что в учебном процессе физико-математического факультета Смоленского государственного педагогического университета используются следующие результаты диссертационной работы Петровой Е. В.:

130. В учебном курсе «Программное обеспечение ПЭВМ» дается информация о возможностях современных систем компьютерной математики по проведению аппроксимации специальных функций и обработки сигналов.

131. В учебном курсе «Теоретические основы информатики» дается описание методов и примеров аппроксимации функций на основе применения численных методов, описанных в диссертации.

132. В спецкурсе «Системы компьютерной математики в выполнении математических расчетов» даются примеры проведения таких расчетов из диссертационной работы Петровой Е.В.

133. Декан физико-математического 1д. ф.-м. н., проф.