автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Решение некоторых задач диагностики упруго-пластических материалов

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ км. М. В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ СОВЕТ К. 053. 05. 87

На правах рукописи

МАМЕДОЗ АЗЕР КУРБАН оглы

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДИАГНОСТИКИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —

1990

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. Б. АНДРЕЕВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А Б. ЕФИМОВ,

доктор физ:1:;о-математпчсс;;нх паук, профессор Л. А МУРАВЕП.

Ведущ¡я организация: ВСЙСОЫЗНЫЙ ЦвНТр МЭТеГЛаТИ-

Защита диссертации состоится « 21. » . 1920 г. в час.

па заседании специализированного совета К.053.05.87 в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899. ГСП, Москва, В-234, Ленинские горы, МГУ, факультет ВМиК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан «. . . »......• ■ 1!)90 г-

•Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

В. Л\. ГОВОРОВ

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБ01Ы

Актуальность темы. Работа посвящена проблака да.люога-ки упруго-пл ос тичзсхиа свойств конструкционных материалов. Под проблемой диагностики понимается задача определения характера тик материала на основе дашшх натурного экодеримз»-та. В последние года интерес к проблэкэ диагноотнкн оальло возроо в связи о инюнсивнни развитием кагошштэокого моделирования и вычислительного эксперимента.

Определение свойств конструкционных ьштеряадов являатоя сдням из центральных вопросов ишиноотроения. Зная фактические свойстви матешала, южно прогнозировать эадаоы дрочноо-ти конструкции серийного производства по рззульгатам одапзч-них натурных испытаний.

Сущаствущие в'настоящее время экоперииэнталыша катоды, в ооновноы, пмволяот определить только кзхвнвчаокне овой-отва материалов. Все реальные характеристики упруго-плаош-чэскоЯ срзда иохно определить из диаграмм дефориаровакия, другими олова л, из зовис*»иооти ыезду интенсивность!) касательных напряжений Т а интенсивностью деформаций одпага Г . Следовательно, задача построения диаграмма дефорця-рованяя для различных конструкционных материалов являатоя вас-ма актуальной в машиностроении.

Результаты исследований в области диагностика упруго- • плаотачаокях свойств конструкционных материалов могли бы служить математическому соеспечению вычислительной якопресо-днагностики.

Научная новизна. В диссертации содержатся следущно новые результаты:

1. Предложена математи-^ская модель определения упруго-пластических свойств пластин и стержней.

2. Доказаны теоремы существования для рассматриваемых задач диагностики.

3. Доказана теорема о сходимости итерационного процесса реивния задачи упруго-пластического изгиба защемленной пластины.

4. Наследовано качественное поведение решения односторонней контактной задачи теории упругости в окрестности неизвестней области контакта.

Практическая ценность работы. Полученные результаты носят как теоретический, гак и практический характер и могут быть использовш I при определении упруго-пластических свойств конкретных конструкционных материалов.

Апробация работы. По-результатам диссертации были сделаны сообщения на конференции молодых ученых факультета ШиК МГУ им. М.В.Ломонс ;ова, на общеинститутском сем1 ларе института математики и механики АН Азерб. ССР, на научно-исследова-тельоком семинаре кафедры математического моделирования физико-механических систем в МИЭМ под руководством профессора А.Б.Ефимова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах £1,2^ •

Структура и объем диосертагчи. Диссертация состоит ии введения, двух п. ш и списка литературы, вклшаыцего 4? наименований. Объем работы составляет 96 страниц гашнописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность теш исследований и кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается обратная задача определения упруго-пластических свойств пластины из упрочняющегося материала. В §1 главы I, в раж ах деформационной теории пластичности, ставится прямая задача упруго-пластического изгиба пластаны из упрочняпдегося к кссхямаеиого материала. Уравнение изгиба имеет следующий вид

+ -г = V1" • ("»'О в -Я- •

Л

где ^ ) -некоторая функция, характеризующая- дангай материал, иг (х^х,.")-прогиб срединной плоскости пластины, -величина, пропорциональная внешней нормальной нагрузке, Х2.

а

-огранич яная область в 1Р, с границей £ , занимаемая

2

срединной плоскостью пластины, ^ -положительно опредвлеп-ная квадратичная форма относ;; льно вторых производив прогиба

■2 ' 1гит \2 / тэиг г -»иг

^ - I X + I У * \ +

5 • Ьх^ I [ъх^х^ ) г -Эх'

На границе задаются условия жесткого закрепления

= ЩИИ 1 0

Б ' ъ

где h -нормаль к .

Предполагается, что функция удовлетворяет оледу-

шим условиям

*> с, ,

В) §4**) « ° .

и пласппескпц деформациям предшествуют упругие дефопждои

г) существует d. > о такое, что-для,-всех Чб[о»®0 справедливо О • '

Через ск обозначаются различные, положительные постоянные.

Задачу нахождения функции w £ ИЦй) ■ удовлвгворявдув интегральному тождеству

а

при Vir € И« будем называть прямой задачей, Здесь \1геИ1№; = о на S J ,

где ИЧ-^ ^ -пространство Соболева, a Ь-^ билиней-

ная форма, соответствующая квадратичной форме

I (,. , \ _ 7>V pV . ъиу •эУ / -qV РУ ,

* -ас» -¿x^ I

В §2 главы I ставится обратная задача определения уп?> го-пластичеоких свойств плагтинн, доказываются вспомогательные леылы и теорема существования.

Предполагается, что проведено экспериментальное кваэи-статическое нагружеше пластины, и осуществимо наблвдепие за прогибом её оредянной плоскости

2¿ = . ¿ = 1,2,...,/✓ ,

где ¿ ( ^ ¿ ^ -экспериментальное значение прогиба срединной плоскости при заданной нагрузке tj, •= . Требует-

ся восстановить диаграмму деформирования ■= ^(i*) ^

на основе этих данных. Вводятся множество допустимых коэффициентов Мд = • элемв11ГЫ которого удовлетворяю-условиям а)-г). Задача восстановления диаграммы дефоргарова^-ния сводится к задаче определения функции ^ Q AVg , при которой прогиб w[ будет наиболее близким в норме-пространства (-ÍI) к заданной Н- , Другнкя словаш, рассматривается задача о мштмуме функционала

1-1 Л.

на множество iVL ^ . Здесь -решение прямой

задачи при заданных g (\г) и s (x¿, xt ) .

Теорема I. Существует решение задачи минимизации Функционала I (/3 ) на множестве /Ц. ^ .

В §3 главы I рассматривается итерационный метод решения прямой .

* . I .

Из-за наличия члена ^ ( ^ ) пряная задача нелинейна, ■бгшеарнввцкя проводится о помощью метода последовательных приближений, известного под название« метод секущих модулей. Требуется найти • текУ*>> чг0 Для

• (I)

XI. л.

На ооноье результатов работы Фучика С. в др.*^ доказывается сходемэоть итерационного процеооа.

Теорема 2. Пусть выполняется условия а)-в). Тогда последовательность с Н* ^ решений линеаризованных задач сходится к решение прямой задачи по норме Ц* (XI } .

В §4 главы I описывается алгоритм решения обратис2 задачи, указывается сеточная шшроксима: м линеаризованной задачи ( I ) в приводятся результаты вычислительного эксперимента определения упруго-пластических свойств пластин.

Вторая глава диссертации посвящена определению упруго-плаотичеоких свойств одвоовлзвого стержня и исследованию свойств трансвероально изотропного тела.

В §1 главы II ставится задача упруго-пластического кручения одноовязного стержня. Кручение стержня осуществляется приложением крутящего момента М. на верхнем конце стержня. Считается, что нижний конец отерж я закреплен, объемные силы равны нулю, р боковая поверхность свободна от вышних нагру-

X) FucU S., KrabcKvit А., TUcas, 3 . KatanoiA vnet -boj and lis af ip¿icat;o\n — Reír. Roum . Watt». Hure^>

et Af^e.-т.хх .Al , P.90Í-3Í6 , L41S.

зок. Уравнение упруго-пластического кручения ыержия имеет оледупций вид

Ыи^МчИ^}=• ■л •

где б -поперечное сечение огержня, $(т1) -не-

которая пункция, характеризующая данный материал, , -угол закручивания одного конца стержня относительно другого, I -длина стержня, И-функция непрямнаЗ Прандтля, Т -

~ + 1 ' -ингенсявность касательных напряжений.

На контуре поперечного сечения стержня

и13 = 0-

Предполагается, что функция ^ (ф1 ) удовлетворяет сл>-дупции уоловиям

д) с, < ,

в) <4 6 Нт^ + ч'ст^т2 ^ с, ,

и шшстическии деформация« предшествуй; упругие дефор: ада ж) существует р > о такое, что л ля всех [о, рД

справедливо (т*) = ° * Задачу нахождения функции Н0 (-0-) , удовлет-

воряющую интегральному тождеству

О. .

при V- 1г £ Нд (-0-) будем называть прям. й. задачей упруго-п-чао-п еского кручения стержня. Здесь

н;^ = Н1Ы; = 0 на 2 У

и

В §2 главы II ставится обратная задача определения упру-го-пластячеоких свойств односвязного сте^-жня и доказываете! теорема существования.

Предполагается, что задана вкспериментальная зависимость крутят го момента от угла закручивания

Вводитоя множество допуотидах коэффициентов ,

эле манты которого удовлетворяют условиям д)-ж). Рассматривается задача определения, из решения прямой задачи, функции

£ » при которой найденные значения крутящих моментов будут наиболее близкими к экспериментальный значениям моментов, при заданных углах закручивания ^. . Последняя сводится к задаче о шгошуме функционала

Т(П = £

на множестве ¿г ^ • Здесь * <£.1 -решение прямой задачи при заданных ) к ^ » а М (и [$ ) пы~ чис !нное значение крутящего момента.

Теорема 3. Существует решение задачи минимизации функционала т ( л ) на множестве 2 ^

В §3 глагн II описывается схема решения обратной заппчи к приводятся оазультатн вычислительного эксперимента.

- г

В „4 главы II ставится, в обдам виде, задаче о контакте упругого тела о жестким, нвдеформнруешм ттампм. Поверхность штампа считав тоя выпуклой я гладкой. Трение между штампом и телом отсутствует.

Пуоть -О- -открытое множество в (В. , занятое упругим телом о гладкой границей Г = Г„ и Г0 У Г5 . Г^, ГН^ = 0 • Рассмотрим задачу об отыскании вектора пэреглещений и = = » К01°РиЯ удовлетворяет следующим условиям (пред-

полагается оуимировакаи по повгоряпцимся индексам )

С^о + ~ о , в .а , с 2 )

и •= о на Р., , = о на Г , ( 3 )

И Л 3 .

^>•{4,- = о ,

на Г0 .14)

Здеоь (и) = £|г|)(ц'> -компоненты тензпра напряжений, запятая перед индексом озчачаат дифференцировали по переменной, представляемой этим индексом, =1 -компоненты тензора деформаций, О^^ц -коэффициенте упругости, удовлетворяют обычным уоловиям

5г ~ ^^ ^ -вектор массовых сил, И„ = "М-И.-норм£_1Ь-ная компонент". вектора перемещений, в"п ( ") -нормальное напряжение, <311 к) -компоненты касательного напряжения, Ф (х1 х \

' I *

-некоторая функция, значения которой равны расстоянию от точ-

ки хе Г0 до поверхности штампа, расстояние измеряется вдоль направления внешней нормали ")

В §5 главы II на дифференциальном уровне устанавливаются некоторые свойства решения односторонней контактной задачи С 2 ) - ( 4 ), котсрые лзгла в основу численного ¡метода решения контактных задач теории упругости с неизвестной границей.

Из условий С 4 ) следует, -что граница Г0 состоит из двух частей Г*+ и Р_ ( Р_ = 0 ), где Г+ -та часть Р0 , на которой осуществляется койтактное ..взаимодействие, а часть р_ свободна от нагрузки и взаимное расположение-этих частей на П0 заранее не известно. Если теперь предположить, что известна область вонтакта, то задача ( 2 ),( 3 ), ( 4 ) становится обычной смешанной задачей : найти вектор и , который в -О- удовлетворяет уравнениям ( 2 •), на Ри и Гь граничным условиям ( 3 ), а ьа Р0 = Г+ и Г_ оледупцим условиям

, на Пн » ^ = ° на Г_ • 1.5 )

Отметим, что для решения задачи ( 2 ),( 3 ),( 5 ) выполняются условия

* Н7 на Г_ , ^(Ю 4 о на Г+ .

п/ /V

Возмутим разбиение Г0 путем априорного задания Г и Г_

П Г_ - 0 ) вместо Г+. и Р_ , и назовем возмущенной задачей задачу (2 ),( 3 ),( 6 )

И* = Ч ♦ ^Т 1") = ° "а П » # 1и)и. - о на Г . ( 6 )

V

Теорема 4. Пусть Iх и и решения задач (2 ), (3 ), (5 ) и ( 2 ),( 3 ),(6 ), соответственно. Тогда справедли-зн следувдие утверждения

I) если Г+с Г+ (Р+\Г,Л > О , то

и Г+\?+ . ;

II) если Г+с Г+. . ) > О .ю

В §6 главк II приводятся результаты расчетов контактной задачи для трчнсверсально изотропного тела.

Основное содержанке работы изложено в следующих статьях:

1. Гасанов АЛ., Мамедов А.К, Некоторые овойотва решения задачи Синьоринн оря возмущении неизвестной гршшда,

■г Вести. МГУ. Сер. 15» Выч. мат. в кибернетики. - 1939, £3, о. 64-66.

2. Мамедов ¿.К. Обратная задача вооотановденил диаграммы деформирования уяру^о-шхастичеокой алоотввы. - Матем.

моделир. - 1989, т.1, Ш, с. .

. - зл. 9ЛЧ Г ЧЦ. '/СО 1кч. ЛИС! ^ О

Тит ,)афия ЛзННДОТКХИПа им. М. Лиибском. Бьку-ГГ.Н, нроок-лг Ленина. 20.