автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Рекуррентное модальное управление линейными многосвязными объектами

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб од

2 7 ДНК 2000

На правах рукописи

БРУСИН АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

РЕКУРРЕНТНОЕ МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ МНОГОСВЯЗНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Н.Новгород - 2000

Работа выполнена в Нижегородском Государственном Техническом Университете.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Максимов Ю.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

заслуженный деятель науки РФ, профессор Белых В. Н.

доктор технических наук, профессор Титов В.Г.

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН.

С -С.''

Защита состоится «30» Н О £ ¿^<£2000 г. в IЬ часов на заседании

диссертационного Совета Д.063.85.02 Нижегородского государственного

технического университета по адресу: 603600 г. Нижний Новгород, ул.

Минина, 24, НГТУ, корпус аудитория .

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке университета.

Автореферат разослан «___»_2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

кандидат технических наук А.П.Иванов

3 №~, - 0 !, 0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема размещения собственных чисел с помощью обратной связи по выходу является актуальной задачей теории управления. Случай обратной связи по состоянию был полностью решен Вонэмом еще в шестидесятые годы. При этом, как отмечает Калман, впервые теорема о том,, что для полностью управляемой стационарной системы с одним входом характеристические числа можно устанавливать по своему усмотрению (если допустить использование обратной связи по состоянию) была доказана Бертрамом, использовавшим метод «корневого годографа». В 1961 г. Бэсс независимо сформулировал и доказал теорему в неопубликованных лекционных заметках. Его доказательство опиралось на шнейную алгебру. Кроме этого альтернативное доказательство, которое существенно проще многих других было дано Калманом в 1963 году.

В технических приложениях случай полностью наблюдаемого ¡ектора состояний практически не встречается. Отсюда, наибольший штерес представляет задача модального управления при неполной шформации о векторе состояний - задача модального управления «по [аблюдаемому выходу». При этом, в отличие от случая обратной связи по остоянию, задача модального управления по выходу, несмотря на начительное количество работ, исчерпывающего решения до сих пор не гмеет.

Проблема модального управления прошла сложный путь развития, "ак известно, в классической теории автоматического регулирования шрокое применение имел и имеет метод корневого годографа. Этим [етодом изучается характер перемещения корней характеристического равнения на комплексной плоскости в зависимости от изменения какого-ибо параметра обратной связи, в частности коэффициента усиления егулятора, что дает возможность изучать движение полюсов на

комплексной плоскости. Однако управлять этим движением, создавать желаемые конфигурации полюсов не позволяют ограниченные возможности метода. Все это привело к необходимости разработки новых подходов на основе более сильных математических средств.

В нашей стране теория модального управления в основном развивалась на основе подхода, базирующегося на анализе характеристического полинома замкнутой системы, коэффициенты которого являются функциями параметров обратной связи и описанного в монографиях Ю.Н. Андреева, Н.Т. Кузовкова, Л.И. Кожинской, Н.И. Неймарка. В рамках этого подхода был разработан ряд эффективных методов расчета матрицы пропорциональной обратной связи (Е.М. Смагина, A.M. Шубладзе, В.А. Подкучаев). Несколько другой подход, связанный с исследованием инвариантных подпространств матрицы замкнутой системы, был предложен Уонемом. Развивая этот подход, Кимурой был установлен простой критерий полной спектральной управляемости замкнутой многосвязной системы, а также были предложены методы расчета динамических компенсаторов. Из других зарубежных работ стоит отметить также работы Дэвисона, Кабамбы, Лонгмана, Ванга и Розенталя. Однако, несмотря на большое количество работ по данному вопросу, универсальных методов и алгоритмов, обеспечивающих полное решение данной задачи, к настоящему времени не получено.

Затруднения в решении проблемы модального управления тесно связаны ее с существенно нелинейной природой. Осмысление этого факта естественно приводит к идее применения нелинейных методов при решении общей задачи модального управления, в частности к разработке теории на основе использования функций Ляпунова. Такой подход, связанный с непрерывной деформацией спектра замкнутой системы был предложен в работе Ю.М. Максимова и В.А. Брусина и получил название

непрерывного модального управления. При этом необходимость получения алгоритмических процедур, ориентированных на создание прикладных программ, обладающих высокой вычислительной эффективностью, обусловила постановку общей задачи разработки дискретного способа управления спектром замкнутой системы (рекуррентного модального управления), а также практически важных частных задач, связанных с реализацией этой общей задачи

В прикладном плане наиболее остро проблема размещения полюсов стоит применительно к синтезу широкого класса электромеханических систем с упругими связями, к числу которых относятся большие космические конструкции, большие антенные установки, линии длинных механических трансмиссий, прокатные станы и т.п. Динамика систем такого рода характеризуется наличием большого числа слабодемпфированных мод. Это приводит к появлению паразитных механических колебаний при управлении этими объектами, негативно сказывающихся на их динамической точности. В связи с этим, задача управления объектом должна сочетаться с необходимостью активного подавления паразитных колебаний, что может быть достигнуто увеличением декрементов затухания колебательных мод в замкнутой системе. Другими словами, полюса, определяющие паразитные колебания упругого объекта, необходимо максимально сместить в левую часть комплексной плоскости, обеспечив при этом приемлемое расположение полюсов, определяющих основной процесс.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка и теоретическое обоснование нелинейной теории рекуррентного модального управления многосвязными объектами, а также демонстрация ее эффективности при решении практических задач проектирования сложных следящих систем.

Задачи диссертационной работы.

• Вывод рекуррентных уравнений, описывающих эволюцию спектра замкнутой системы;

• разработка методов редукции порядка системы уравнений, описывающих эволюцию спектра замкнутой системы;

• показ существования целого семейства алгоритмов синтеза матрицы обратной связи, решающего поставленную задачу;

• синтез эффективных в вычислительном плане алгоритмов нахождения матрицы обратной связи;

• демонстрация эффективности метода на примере практически значимого объекта.

Методы исследования. Для решения задач модального управления используется аппарат линейной алгебры, базирующийся на исследовании подпространств собственных векторов, и аппарат нелинейной теории устойчивости, основанный на использовании второго метода Ляпунова. Применение указанных подходов связано с универсальностью и гибкостью как первого, так и второго аппарата, что позволяет развивать теорию, не привязываясь к каким-либо специальным структурным представлениям и не находясь в зависимости от каких-либо специфических численных методов расчета. При этом, инструментом описания динамических систем служит пространство состояний. Все положения теории реализуются в виде алгоритмов рекуррентного типа и строго обоснованы соответствующими теоремами и экспериментами.

Научная новизна. Проведенный в работе комплекс исследований позволил создать новый подход к решению задачи модального управления многосвязными объектами по выходу. Предложенный метод' заключается в создании дискретного процесса деформации спектра замкнутой системы таким образом, что либо достигается желаемый спектр, либо спектр с

минимальным расстоянием от желаемого в евклидовой метрике. В этой области получены следующие результаты:

• получены рекуррентные уравнения, описывающие эволюцию изменения спектра и собственных векторов матрицы замкнутой системы;

• разработаны алгоритмы синтеза модального регулятора, минимизирующие в общем случае невязку текущего и желаемого спектров;

• получены локальные критерии спектральной управляемости.

• полученные результаты применены к задаче синтеза следящей системы со структурой «подчиненного регулирования»

Практическая ценность работы. Практическая ценность работы состоит в создании нового эффективного и универсального метода синтеза матрицы обратной связи при неполном измерении вектора состояния, при которой реализуется желаемое расположение полюсов замкнутой системы, а также применении этого метода к классу задач проектирования САУ со структурой подчиненного регулирования.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на конференции «III-d International Conference on Dynamic Systems & Application", Atlanta, USA, 1999; на конференции "Second Nonlinear Control Network (NCN) Workshop" "Nonlinear Control in the Year 200", France, 2000; на семинарах «Современные проблемы теории управления», Н.Новгород, 1998, 1999, «Пятая нижегородская сесия молодых ученых. Математика и гуманитарные науки», Саров, 2000.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 печатных работах.

Личным вкладом диссертанта в совместные. работы является разработка метода рекуррентного модального управления, его

обоснование, а также применение полученных результатов к задаче синтеза следящей системы со структурой «подчиненного регулирования» и разработка соответствующего программного обеспечения. Научному руководителю, принадлежат постановки задач и формулировка общего подхода к решению.

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 100 страниц, в том числе 75 страниц основного текста, 23 рисунка, 4 таблицы, 6 страниц списка литературы (62 наименования).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность использования метода модального управления для решения задач управления широким классом сложных электромеханических систем с упругими связями.

В первой главе приводится обзор литературы по данной тематике, ставится научная проблема, в рамках которой выполняется данное исследование, а также приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

При этом, общая формулировка исследуемой задачи ставится следующим образом: задан линейный, стационарный, полностью управляемый объект, описывающийся системой *(0 = Лх(0+Ли(0 Х0 = Сх(/)

где дг(г') бЛ" - вектор состояний объекта, еЯт - вектор управления, у{1) е Я1 - вектор наблюдаемого выхода; А, В, С - постоянные матрицы соответствующих размерностей. Требуется найти обратную связь вида

и(0 = А>(0 (2)

такую, что полюса замкнутой системы, определяемые как нули характеристического полинома И(р) = -А-ВКС), совпадали

бы с заданными.

Другими словами: дан вектор а = (а0, а,,..., ап_х) е Я", требуется найти матрицу обратной связи К при которой выполняется равенство

ЛеКр1 -А- ВКС) = р" + апАр"'х +... + а0, (3)

если такая матрица существует.

Во второй главе дается математическая формулировка задачи рекуррентного модального управления, определяются классы управляющих вектор-функций для рекуррентного модального управления и выводятся основные уравнения, описывающие эволюцию спектра и собственных векторов замкнутой системы. Здесь же рассматривается процедура редукции порядка полученных уравнений.

Предлагаемый подход к решению общей задачи модального управления заключается в следующем. Модальное управление объектом (1) строится итерационным способом путем генерации последовательности линейных систем (ЛС). Процесс генерации ЛС описывается следующей схемой:

Номер шага Управление Уравнение ЛС

1. х(0 = А(\)х(0 + Ви2(0,у(0 = Сх:(0

2. и2{1) = ехС{Ш) + и\1) = А( 2)х(0 + Ви\(),у{ 0 = Сх(0 А(2) = А(\) + £1Вв(}.)С

и так далее.

Здесь и G{i -1)- соответственно малый параметр и матрица обратной

связи на /-ом шаге, (t) е Rm- вектор входов г"-ой JIC. Таким образом, имеем последовательность JIC, матрицы которых удовлетворяют рекуррентному уравнению вида

A(i +1) = A(i) + EjBG(i)C, i =0,1,2,3,--;

где ДО) = А. Спектры этой последовательности JIC связаны между собой следующим образом: Л „ (/ +1) = Л „ (г) + SA п (/), где Лп(г) = {pi(i),p2 (')>•• чР„(0}" множество собственных чисел (спектр) /-ой JIC, SAn(i) = {SР\(i),8Р2(i),...,Spn(г)}- его малое (в силу малости £j) приращение, Л„(0)- спектр разомкнутого объекта.

Процедура последовательных сдвигов спектра замкнутой системы (процедура построения новых JIC) заканчивается, если достигается цель модального управления. Пусть этому моменту соответствует N-ый шаг, тогда uN+l(t) = 0, V/ > 0 и решение общей задачи синтеза модального регулятора получаем в виде N

K^£iG(i), (4)

i=o

где / - номер шага при принятом способе модального управления.

Рассмотрим (/+1)-ый шаг. На этом шаге матрица A(i) получает приращение SА(г) - Е¡BG(i)C, а спектр Л„(/)- приращение SЛ„(г).

Относительно приращения спектра, а также приращений систем правых и левых собственных векторов матрицы A(i), справедлива следующая теорема.

т

Теорема 1. Пусть матрица A{i) проста и lk (i)ek (/) = 1. Тогда существует такое малое число £ , что при е (О,?), имеет место

8pk{i) « £¡lk(i)BG(i)Cek(г),

8вк (/) « stEk (i)BG(i)Cek (/), {к = 1ч-«) (5)

8lTk(i)*£ilTk{i)BG{i)CEk(i) где 8ek(f) и ölk{i)- приращения соответственно правого ek(/) и левого lk(f) собственных векторов матрицы A(i), соответствующих собственному числу Рк(')> матрица

Ek(i) = X{Рк(0- PjО'))"1 ек('Vi (0 е Е", где Е"- линейное п-j=l,j*k

мерное пространство над полем комплексных чисел, Т- знак транспонирования.

Полученные в явном виде формулы для приращений собственных чисел и собственных векторов матрицы А(г) служат основой для формулирования следующих нелинейных рекуррентных уравнений, описывающих эволюцию спектра замкнутой системы

Рк О + V = Pk (О + 5Рк (0+ o{£i ),

ek(i + l) = ek(i) + öek(i) + o(£i), (к = 1,...,п) (6)

ll (г +1) = # (0 + Sil (0 + o(ßi)

где o(£j) - члены более высокого порядка малости по параметру £t.

Начальные условия для уравнений (6) определяются значениями систем собственных векторов разомкнутого объекта, а также спектра матрицы разомкнутого объекта.

Характерной особенностью уравнений (6) является их связанность

по векторным переменным ek{i) и /¿(0> что обуславливает

II

необходимость вычисления одновременно всех . правых и левых собственных векторов. Следствием этого является высокий порядок

уравнений: 2п + п. Во многих практических приложениях интересуются не всем спектром замкнутой системы, а лишь ее некоторой частью, выделяемой по тем или иным соображениям. В этой связи в вычислительном плане становится невыгодным расчет всей системы правых и левых собственных векторов. Для устранения этого недостатка уравнения (6), описывающие эволюцию спектра замкнутой системы, могут быть переписаны либо в терминах только правых, либо в терминах только левых собственны^ векторов. Следующая теорема дает эти два описания.

Теорема 2. Пусть матрица А(г) проста и /[ (¿)ек (г) = 1. Тогда существует такое малое число Е, что при е (0,?), имеют место

следующие выражения для вычисления, приращений собственных чисел, в терминах только правых (пункт 1) и соответственно только левых (пункт 2) собственных векторов замкнутой системы

1) дрк (0 - е^ (№ (/)[/ + А(0^ {ек (0, А{ф{г)ек (/) (7) 6ек(г)« £Д(ек(0,А0-)р(!)ек(:) (8) (* = 1 + и),

2) 5рк (0 * гД (/)£/(/)[/ + Я2 {1к (/), АЦ))Афк {г)Гк (/) (9)

ЯПО (Ю)

{к = 1 + п),

где /еГ", Ук(0 = (е?(1)ек(1)У1, Фк(1) =(1Тк (¿)Г(¡)у11, £/(/) = Ж7(/)С,

=-ко - Рк (о/ - е* аУк (№ см(оГ (/ - ^ о>Г (о^со) 12

s2(Jk (0,Л(0) =

= -(/ - ф* ох (o/J (/»ko - рк со/ - жофa (о/; (/)/[ со]"1

При этом для любой матричной функции U(i) приращение правых собственных векторов, описываемое уравнениями (7)-(8), подчинено условию ек (i)Sek(i) = 0, приращение левых собственных векторов,

т *

описываемое уравнениями (9)-(10), подчинено условию 81 к (i)lk(i) = 0, Л = 1-5-/1.

Выражения (7-8) и (9-10) служат основой написания следующих систем нелинейных уравнений, описывающих эволюцию спектра в терминах только правых и только левых собственных векторов.

Рк 0' + 1) = Л (0 + О* (0, A(i))ek (i) 4- o(£i ) е*(1 + 1) = (/ + Ж£(|) + о(е,)>*(0, (¿ = 1-и) (11)

где = (е,(/),Ж/)М/).

Рк 0' + !) = />* (0+0"M0S21 (4 (0,40)+^ )

/[(/ +1) = /[(,')(/ + SR"k{i).+ 0(*f)), (¿ = 1 + «) (12)

TReSR^i) = £iU0)S2(lk(i),Am

Начальными условиями для рекуррентных процедур (11) и (12) являются значения соответственно правых и левых собственных векторов, а также спектра и матрицы разомкнутого объекта.

Нетрудно видеть, что уравнения (11), (12) развязаны по собственным векторам, что дает возможность рассмотреть только часть спектра, выделяемую по тем или иным соображениям, и как следствие существенно уменьшить размерность решаемой задачи.

В третьей главе разрабатываются алгоритмы рекуррентного модального управления, а также получены критерии спектральной

управляемости, которые соответствуют данному подходу к решению задачи модального управления.

Рассмотрим два типа алгоритмов. Для алгоритма первого типа в качестве цели управления задается некий желаемый спектр Т] — {т]1,т]2>--->т]п)> в окрестность которого необходимо перевести спектр разомкнутой системы Л(0). Не уменьшая общности, желаемый спектр Т] может быть выбран таким образом, что комплексно сопряженным полюсам спектра Л(0) будут соответствовать комплексно сопряженные полюса спектра 1] а действительным полюсам спектра Л(0) -действительные полюса г/.

Введем меру рассогласования между желаемым и текущим спектрами:

ПО = 2>* (Рк (0 - Пк Ък (0 - 7* Г. (13)

к=1

где знак * определяет комплексно сопряженную величину, а = («!,..вектор весовых коэффициентов (а,- > 0), причем весовые коэффициенты при комплексно сопряженных полюсах предполагаются равными.

Матрица обратной связи (7(/) строится на каждом шаге г таким образом, чтобы функция У(г) удовлетворяла условиям аналогичным условиям дискретного варианта теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Для приращения АУ(г) справедливо следующее выражение

АК(0 = 2*,./(/)£(0 + £ЬТ№Ш0 + о(е?), (14)

где гТ(/) = (в®СТ)£ак(/[(0® е{(/)), Л(/) = г(г)гТ(/) е ЯтЫт1, *=1

*т(0= (5®ст\

.к= 1 ]

Показано, что вектор-функции g|c(i), к — 1,2 вида:

= (15)

^2(0--/,—", (16) 1Ко||

обеспечивают достижение желаемой цели при определенном выборе переменного коэффициента усиления > 0.

Во втором случае в качестве цели модального управления примем некоторую область комплексной плоскости, в которой желательно

разместить полюсы замкнутой системы. Будем полагать, что эта область может быть задана системой линейных неравенств вида: Яер + Ду 1т/7 + ¿у > 0 (_/ = 1 -^р). В данном алгоритме направление

движения полюсов на каждом шаге рекуррентной процедуры задается из чисто геометрических соображений, связанных с конкретным распределением спектра и конфигурацией желаемой области. В этом случае решение задачи модального управления в замкнутом виде требует определения способа синтеза матричной функции Сг(/), на каждом шаге обеспечивающей движение полюсов в направлении области .

Рассмотрим отдельный шаг модального управления. Составим из элементов gij матрицы С вектор, приняв за первые т компонент

элементы первой строки, за вторые т компонент - элементы второй строки и так далее:

g~ col{gn,...,gXm,g1Ь...,g2m,■■■,gl\,■■^,glm)&RS5 =

Будем интересоваться не всем спектром Л„, а некоторой его частью, содержащей ц полюсов, при этом в силу симметричности смещений комплексно-сопряженных полюсов достаточно учесть только половину из принятых в рассмотрение. Сформируем из векторов 8р^ обобщенный

вектор смещений 8Рд = со1(8 р\,8 р2,---,8 рдЛ, который в силу (5)

/2

можно представить в виде

5РЧ=МЧ% (17)

где М ч - со1

/2

- матрица «чувствительности»,

определяющая величины локальных смещений полюсов при заданной матрице обратной связи. Для каждого полюса р^ определим на комплексной плоскости вектор 8пк = еп^ = есо1{п'к,п1), перпендикулярный границе области и направленный внутрь ее. Вектор пк примем единичным. Сформируем также из векторов 8пк обобщенный

вектор желаемых направлений 8Ы д = со1

Г \

8щ,8п2,...,8пд

V /2 У

. При этом,

расположим 8п^ в том же порядке, что и вектора 8 р^. Полюсы будут приближаться к области на каждом шаге модального управления, если вектора их локальных смещений удовлетворяют условиям:

Т Т (1 /

пк & Рк ~ fg ~ 1/2 ^' Д™ множества рассматриваемых

полюсов эти условия примут вид > 8, где .Р е - матрица с

т т

вектор-строками /[, ~ п.кМк, 8 = со1{8\, 82, • ■ •, 8„/ ) - вектор,

V /2

компоненты которого определяют конусы , допустимых направлений для 16

векторов 3Рь, а векторное неравенство понимается в покомпонентном смысле.

Тогда задача синтеза обратной связи сводится к решению задачи «наименьших квадратов» с ограничениями типа неравенств

g0(i) = агёшт||^(/) -еЛ/9(/)я(/)||2 : ЕОМО > 3(0 (18)

Одним из главных вопросов, связанных с анализом алгоритмов модального управления, является выяснение условий при выполнении которых достигается цель модального управления. Эти условия получили название условий спектральной управляемости. Теоремы 3 и 4 определяют условия спектральной управляемости соответственно для случаев, когда целью управления является желаемый спектр и желаемая область.

Теорема 3. Пусть объект (1) замкнут постоянной обратной связью, т1 - желаемый спектр замкнутой системы. Тогда, если

то желаемый спектр Г] достижим из спектра разомкнутого объекта Л(0).

гапШ?(}) = п V/,

(19)

с\2\Ьт °\22Ът '

Вектор С^ состоит из элементов /¿-ой строки матрицы С, вектор Ъу

состоит из элементов V -го столбца матрицы В.

Рассмотрим условия, обеспечивающие движение полюсов в направлении области на /-ом шаге модального. Множество матриц

обратной связи (?(/) для этого шага, обеспечивающих решение этой задачи, не пусто, если выполнены неравенства (Fg>S). Следующая теорема дает критерий непустоты множества J = {g:Fg> б} для алгоритмов второго типа, являющийся критерием локальной спектральной управляемости.

Теорема 4. Множество У = \g\Fg > <5} непусто тогда, когда найдется хотя бы один вектор у Ф О, удовлетворяющий условию

РР*у>6, (20)

где матрица псевдообратная к матрице В этом случае:

zcшs<^,^oJ=\g•.g=F+y\, (21)

J=\g•.g = F+у+ {1~р+р\>\, (22)

Ч

где уеЛ2- вектор, удовлетворяющий (19), уе/?5- произвольный вектор.

В четвертой главе для иллюстрации возможностей рекуррентного модального управления рассмотрены часто встречающиеся на практике следящие системы, построенные по схеме так называемого «подчиненного регулирования». Для применения изложенного в главах 2 и 3 метода модального управления к данному классу САУ потребовалось использование специального приема представления структуры САУ к некоторому специальному виду, заключающегося в процедуре 18

«размыкания» контуров обратной связи в соответствующих местах (данный метод в работе назван методом «распараллеливания»),

В качестве конкретного примера рассмотрена система азимутального привода большого наземного радиотелескопа РТ-70. При этом динамика этого распределенного объекта описана двухмассовой моделью, нашедшей широкое применение при проектировании САУ данным объектом. В целях выяснения влияния различных факторов на положение полюсов замкнутой системы принята следующая последовательность рассмотрения:

- приведение объекта управления при некоторых упрощающих предположениях к ситуации полной спектральной управляемости и анализ особенностей движения полюсов на комплексной плоскости;

- выяснение влияния на движение полюсов инерционности тиристорного преобразователя, а также интегратора в прямой цепи, обеспечивающего астатизм первого порядка;

- выяснение влияния на движение полюсов упругих мод.

Анализ результатов численного моделирования для случая полной спектральной управляемости обнаружил факт разделения континуального множества траекторий полюсов замкнутой системы (множества корневых годографов) на некоторые подмножества. При этом, движение полюса замкнутой системы сначала происходит по границе между подмножествами, а затем кратчайшим путем внутрь той или другой области в зависимости от положения желаемых полюсов.

Рассмотрено влияние на движение полюсов, а также границу области таких факторов, как инерционность тиристорного преобразователя, интегратора в прямой цепи, а также упругости вала, связывающего редуктор и исполнительный механизм.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. На основе метода непрерывного модального управления разработан его дискретный вариант — рекуррентное модальное управление, в основу которого положена процедура пошаговой дискретной деформации спектра замкнутой системы в направлении желаемой цели. ..

2. Получены рекуррентные уравнения, описывающие эволюцию спектра замкнутой системы, а также предложены методы редукции порядка этих уравнений, основанные на переходе к их записи в терминах только левых и только правых собственных векторов.

3. Разработаны и обоснованы алгоритмы рекуррентного модального управления для случаев, когда целью управления является желаемый спектр и желаемая область.

Для первого варианта вывод алгоритмов базируется на применения метода функции Ляпунова, заданной на спектре замкнутой системы, что обеспечивает сходимость текущего спектра к желаемому.

Для второго варианта синтезированы алгоритмы, обеспечивающие наискорейшее движение полюсов к границе желаемой области, которая может иметь сложную конфигурацию.

4. Получены условия спектральной управляемости для цели модального управления в виде желаемого спектра и желаемой области.

5. Рассмотрено практическое приложение разработанной теории к синтезу системы управления азимутального привода для наведения большого наземного радиотелескопа РТ-70. В результате численного моделирования процесса рекуррентного модального управления обнаружен эффект разделения множества траекторий полюсов (корневых годографов) на некоторые подмножества, дающий возможность 20 .

прогнозировать движение и возможные конфигурации полюсов замкнутой системы при проектировании САУ.

Публикации.

1. Брусин A.B. Максимов Ю.М. Нелинейные уравнения для описания эволюции распределения мод при рекуррентном модальном управлении. Межвузовский сборник научных трудов, выпуск 273, с. 9296,1996.

2. Брусин A.B., Максимов Ю.М. Рекуррентное модальное управление линейными многосвязными объектами. Изв. РАН. Теория и системы управления, №3, с. 22-28, 1999.

3. Brusin A.V., Maximov Yu. М. Lyapunov method in the pole assignment problem. Abstracts of the Ill-d International Conference on Dynamic Systems & Application. Atlanta, USA, 1999, pp.32.

4. Брусин A.B. Применение метода Ляпунова для решения задачи размещения полюсов. Пятая Нижегородская сессия молодых ученых. Математика и гуманитарные науки. Тезисы докл., Саров, 2000.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Состояние проблемы модального управления и постановка общей задачи исследования

1.1. Актуальность проблемы и обзор литературы по модальному управлению

1.2. Постановка задачи исследования

1.3. Выводы по главе

ГЛАВА 2. Математическая формулировка рекуррентного модального управления и вывод основных уравнений

2.1. Классы управляющих вектор-функций для рекуррентного модального управления

2.2. Рекуррентные уравнения для собственных значений и собственных векторов матрицы замкнутой системы

2.3. Методы редукции размерности основных уравнений

2.4. Выводы по главе

ГЛАВА 3. Алгоритмы рекуррентного модального управления и критерии спектральной управляемости

3.1. Алгоритмы рекуррентного модального управления для цели управления 1 (цель управление - желаемый спектр)

3.2. Алгоритмы рекуррентного модального управления для цели управления 2 (цель управления - желаемая область)

3.3. Условия спектральной управляемости для алгоритма

3.4. Локальные условия спектральной управляемости для алгоритма

3.5. Выводы по главе

ГЛАВА 4. Использование метода рекуррентного модального управления в задачах автоматического регулирования

4.1. Модальное управление в следящих системах с подчиненным регулированием

4.2. Двухмассовые электромеханические системы с упругой связью и формулировка подхода к синтезу регуляторов

4.3. Управление модами «жесткого» объекта в ситуации подчиненного регулирования

4.4. Влияние инерционности тиристорного преобразователя и введение блока, обеспечивающего аста-тизм первого порядка САУ

4.5 Влияние упругих мод на процесс модального управления.

4.6 Выводы по главе

Повышение уровня автоматизации и развитие современных технических систем повлекло за собой резкое увеличение их сложности. В связи с этим, типичной ситуацией, возникающей при проектировании систем управления, является использование моделей, представляющих лишь упрощенное описание реального объекта. Помимо того, что размерность математических моделей, как правило, меньше размерности реального объекта, не всегда существует возможность точного определения параметров объекта на этапе проектирования систем автоматического управления. Использование при этом точных математических методов может привести к резкому ухудшению качества переходных процессов в реальной системе по сравнению с расчетными, а в отдельных случаях и к потере работоспособности системы в целом. Радикальным способом компенсации неточности математической модели, и в настоящий момент наиболее динамично развивающимся, является использование адаптивных алгоритмов управления. Однако сложность таких алгоритмов влечет за собой трудности в их практической реализации и, кроме этого, негативно сказывается на надежности системы и ее стоимости. Поэтому, для большого класса технических систем актуальным остается использование неадаптивных алгоритмов управления. Характерным примером является проблема синтеза регулятора в задачах управления колебаниями динамических систем, имеющих малые запасы устойчивости. В частности, наиболее остро проблема размещения полюсов стоит применительно к синтезу систем автоматического управления большими космическими конструкциями. Динамика систем такого рода характеризуется наличием большого числа слабодемпфированных мод. Это приводит к появлению паразитных механических колебаний при управлении объектом, негативно сказывающихся на точности наведения 6 электрической оси диаграммы направленности (от которой, в свою очередь зависит основной показатель качества работы антенны — абсолютное усиление при работе в определенном диапазоне частот) и вызывающих увеличение механического износа системы. В связи с этим, задача управления объектом сочетается с необходимостью активного подавления паразитных колебаний. Это достигается увеличением декрементов затухания колебательных мод в замкнутой системе, или другими словами, полюса, определяющие паразитные колебания упругого объекта, необходимо максимально сместить в левую часть комплексной плоскости, при этом обеспечив приемлемое расположение полюсов, определяющих основной процесс. Задачи такого класса называются задачами модального управления.

Проблема размещения полюсов с помощью обратной связи по выходу является на настоящий момент одной из наиболее важных в теории управления. Несмотря на то, что изучением данной задачи на протяжении последних десятилетий занимается большое число ученых, исчерпывающего решения до сих пор не получено. X. Кимура связывает этот факт с существенно нелинейной природой исследуемой проблемы и ставит общую задачу разработки нелинейной теории модального управления, органически сочетающую процедуры синтеза обратной связи и получения условий спектральной управляемости.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. На основе метода непрерывного модального управления разработан его дискретный вариант - рекуррентное модальное управление, в основу которого положена процедура пошаговой дискретной деформации спектра замкнутой системы в направлении желаемой цели.

2. Получены рекуррентные уравнения, описывающие эволюцию спектра замкнутой системы, а также предложены методы редукции порядка этих уравнений, основанные на переходе к их записи в терминах только левых и только правых собственных векторов.

3. Разработаны и обоснованы алгоритмы рекуррентного модального управления для случаев, когда целью управления является желаемый спектр и желаемая область.

Для первого варианта вывод алгоритмов базируется на применения метода функции Ляпунова, заданной на спектре замкнутой системы, что обеспечивает сходимость текущего спектра к желаемому.

Для второго варианта синтезированы алгоритмы, обеспечивающие наискорейшее движение полюсов к границе желаемой области, которая может иметь сложную конфигурацию.

4. Получены условия спектральной управляемости для цели модального управления в виде желаемого спектра и желаемой области.

5. Рассмотрено практическое приложение разработанной теории к синтезу системы управления азимутального привода для наведения большого наземного радиотелескопа РТ-70. В результате численного моделирования процесс-а рекуррентного модального управления обнаружен эффект разделения множества траекторий полюсов (корневых годографов) на некоторые подмножества, дающий возможность

94 прогнозировать движение и возможные конфигурации полюсов замкнутой системы при проектировании САУ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Альберт А. Регрессия, псевдорегрессия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

3. Асмыкович И.К., Габасов Ф.М., Кириллова Ф.М., Марченко В.М. Задача управления конечномерными системами (обзор). АиТ, 1986, № 11, с. 5-29.

4. Башарин A.B., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. Л.: Энергоиздат, 1982.

5. Башарин A.B., Постиков Ю.В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ. Л.: Энергоатомиздат, 1990.

6. Брусин В.А., Максимов Ю.М. Непрерывное модальное управление линейными многосвязными объектами. ПММ, т. 52, вып. 6, 1988.

7. Брусин A.B. Максимов Ю.М. Нелинейные уравнения для описания эволюции распределения мод при рекуррентном модальном управлении. Межвузовский сборник научных трудов, выпуск 273, с. 9296, 1996.

8. Брусин А. В., Максимов Ю.М. Рекуррентное модальное управление линейными многосвязными объектами. Изв. РАН. Теория и системы управления, №3, с. 22-28, 1999.

9. Брусин A.B. Применение метода Ляпунова для решения задачи размещения полюсов. Пятая Нижегородская сессия молодых ученых'. Математика и гуманитарные науки. Тезисы докл., Саров, 2000.

10. Ю.Вермей Е.И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1986, №4, с. 123-130.

11. П.Егоренков Д. Л., Фрадков А. Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования с примерами на языке MATLAB. СПб, 1996.12.3агарий Г.И, Шубладзе A.M. Синтез систем управления максимальной степени устойчивости. М.: Энергоатомиздат. 1988.

12. И.Кожинская Л.И, Ворновицкий А.Э, Управление качеством систем. М.: Машиноведение, 1979.

13. М.Красовский A.A., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.: Госэнергоиздат, 1962.

14. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976.

15. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

16. Лоусон Ч, Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986.

17. Петров Б.Н, Соколов H.H. и др. САУ с переменными параметрами. М.: Машиностроение, 1986.

18. Подкучаев В.А. Оптимальное модальное управление и наблюдение. АиТ, 1983, № 8, с. 49-54.

19. Смагина Е.М. Оптимизация линейных систем управления с заданным спектром. Известия АН СССР, Техническая Кибернетика, 1984, № 4, с. 209-212.

20. Справочник по теории автоматического управления/ Под ред. А.А Красовского. М.: Наука, 1987.

21. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами.Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1985.

22. Фомин В.Н, Фрадков А.Л,. Якубович В.А. Адаптивное упрвленйе динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

23. Шубладзе A.M. Синтез оптимальных линейных регуляторов. АиТ, 1984, № 12, с. 22-33.

24. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968.

25. Ahmari R., Vacroux A. On the pole assignment in linear systems with fixed order compensators. Int. J. Contr. 1973, v. 17, N2, pp 143-145.

26. Brasch F. and J. Pearson. Pole assignment using dynamic compensators. IEEE Trans. Autom. Control, AC-16, pp. 348-351, 1970.

27. Brockett R. and Byrnes C. Multivariable Nyquist criteria, root loci, and pole placement: a geometric viewpoint. IEEE Trans. Autom. Control, AC-26, pp271-284, 1981.

28. Brusin A.V., Maximov Yu. M. Lyapunov method in the pole assignment problem. Abstracts of the Ill-d International Conference on Dynamic Systems & Application. Atlanta, USA, 1999, pp.32.

29. Buckley A. Hubble Space telescope pointing control system design improvement study results. J. Guidance, Control, Dyn., 18, pp. 194-199, 1995.

30. Byrnes C.I. Pole assignment by output feedback. In Three Decades of Mathematical System Theory, H. Nijmeijer and J.M. Shumacher (eds.), pp. 31-78, 1989.

31. Cameron R. and Kouvaritakis B. Minimizing the norm of output feedback controllers used in pole placement: a dyadic approach. Int. J. Control, v.32, N 5, 1980.

32. Champetier C. and Magni J. On eigenstructure assignment by output feedback. SIAM J. Control Optim., 29, pp. 848-865, 1991.

33. Davison E. On pole assignment in linear systems with incomplete state feedback. IEEE Trans. Autom. Control, AC-15, pp. 348-351, 1970.

34. Davison E. A note on pole assignment in linear systems with incomplete state feedback. IEEE Trans. Autom. Control, AC-15, pp. 348-351, 1971.

35. Davison E. A note on pole assignment in linear systems with incomplete state feedback. IEEE Trans. Autom. Control, AC-16, pp. 98-99, 1971.

36. Davison E. and Chow S. An algorithm for the assignment of closed-loop poles using output feedback in large multivariable systems. IEEE Trans. Autom. Control, AC-18, pp. 74-75, 1973.

37. Davison E. and Wang S. On pole assignment in linear multivariable systems using output feedback. IEEE Trans. Autom. Control, AC-206, pp. 516-518, 1975.

38. Giannakopoulos C. and Karkanias N. Pole assignment of strictly proper and proper linear systems by constant output feedback. Int. J. Control, AC-42, pp. 543-565, 1985.

39. Hermann R. and Martin C. Applications of algebraic geometry to systems theory: Part 1. IEEE Trans. Autom. Control, AC-22, pp. 19-25, 1977.

40. Kabamba P. and Longman R. Exact pole assignment using direct or dynamic output feedback. IEEE Trans. Autom. Control, AC-27, pp. 1244-1246, 1982.

41. Kimura H. On pole assignment by gain output feedback. IEEE Trans. Autom. Control, AC-20, pp. 509-516, 1975.43 .Kimura H. A further result on the problem of pole assignment by gain output feedback. IEEE Trans. Autom. Control, AC-22, pp. 458-463, 1977.

42. Kimura H. On pole assignment by output feedback. Int. J, Control, 28, pp. 11-22, 1978.

43. Kimura H. Pole Assignment by Output Feedback: A Long standing open Problem // Proc. of the 33rd Conference on Decision and Control. Lake Buena Vista, 1994.

44. Kreisselmeir G. Stabilization of linear systems by constant output feedback using the Riccati equation. IEEE Trans. Autom. Control, AC-20, pp. 556557, 1975.

45. Leventides J. and Karcanias N. Global asymptotic linearisation of the pole placement map: a closed-form solution for the constant output feedback problem. Automatica, 31, pp. 1303-1309, 1995.

46. Luns R., Matharasan R. Stabilization of linear systems behavion by pole shifting. Int. Y. Contr. 1974, v.20, N3, pp 46-49.

47. Piou J.E., Sobel K.M., Shapiro E.Y. Robust decentralized eigenstructure assignment. Proc. of the 33rd Conf. On Decision and Control, Lake Buena Vista, 1994, pp.559-560.

48. Rosenthal J. New results in pole assignment by real output feedback. SIAM J. Control and Optimization, Vol.30, 1992, pp.203-211.

49. Rosenthal J. and Wang X. Output feedback pole placement with dynamic compensators. Technical Report BS-R9516, CWI, Amsterdam, 1995.'

50. Schumacher J. Compensator synthesis using (C, A, B)-pairs. IEEE Trans. Autom. Control, AC-25, pp. 1133-1138,1980.

51. Seraji H. Design on pole placement compensators for multivariable systems.

52. Automatica, 1980, N2, pp82-85. 56.Srinithkumar S. Eigenvalue / eigenvector assignment using output feedback.,

53. EE Trans. Autom. Control, AC-23, pp. 79-81, 1978. 57.Syrmos V.L., Abdallah C.T., Dorato P., Grigoriadis K. Static output feedback a survey. Automatica? Vol. 33, pp. 125-137, 1997.

54. Wang X. Pole placement by static output feedback. J. Of Math. Systems-Estimation and Control, Vol. 2, 1-992, pp.205-218.

55. Willems J. and Hesselink W. Generic properties of pole placement problem. Proc. 7th IF AC World Congress, Helsinki, pp. 1725-1729, 1978.