автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Развитие методов анализа динамических свойств энергосистем на основе решения частичной проблемы собственных значений

На правах рукописи

Тузлукова Екатерина Валерьевна

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЭНЕРГОСИСТЕМ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ЧАСТИЧНОЙ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Специальность 05.14.02 - Электростанции и электроэнергетические системы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2004

У)

Работа выполнена на кафедре «Электроэнергетические системы» Московского энергетического института (технического университета).

Научный руководитель -

Официальные оппоненты -

кандидат технических наук, доцент

Наталья Григорьевна Филиппова

доктор технических наук, Валентин Александрович Баринов

кандидат технических наук, Владимир Константинович Фокин

Ведущая организация - ОАО «Институт «Энергосетьпроект»,

г. Москва

'Защита диссертации состоится ((2.1 » ЛнС/7-/ 200 Ь Г. в аудитории Г-2СО В ' чаС' 'С О мин, на заседании диссертационного Совета Д 212.157.03 при Московском энергетическом институте (техническом университете).

Адрес: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый Совет МЭИ

(ту).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ.

Автореферат разослан «_»_200_г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета сЗ^Й^^-"

Д 212.157.03 к.т.н., доцент ^^ / Бердник Е.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность. Для настоящего этапа развития энергетики характерно наличие крупных концентрированных энергосистем, связанных между собой относительно слабыми межсистемными связями. Продолжается создание крупных энергообъединений на уровне национальных и транснациональных энергосистем. Происходит внедрение в энергосистемы нового оборудования, оснащенного современными устройствами автоматического регулирования. Все это приводит к усложнению динамических свойств энергосистем и увеличению размерности задачи анализа и управления режимами энергосистем и, в частности, оценки их статической устойчивости. Затраты труда и машинного ресурса при решении этой задачи непрерывно возрастают. Эти факты определяют необходимость постоянного совершенствования существующих и разработки новых методов анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем.

Одно из перспективных направлений решения указанной задачи представляет модальная теория, предполагающая разложение свободного движения энергосистемы на независимые составляющие движения. Основным понятием модальной теории является понятие моды или формы движения энергосистемы, характеризующейся частотой колебаний, коэффициентом затухания и вектором комплексных коэффициентов распределения амплитуд колебаний во всех переменных состояния. Задача определения параметров мод движения сводится к вычислению всех или интересующей части собственных значений и собственных векторов матрицы состояния линеаризованной математической модели энергосистемы.

Значительный вклад в развитие модальной теории внесли работы И.В. Литкенс, И.А. Груздева, ВА. Баринова и их учеников.

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы позволяет решить широкий круг задач управления и функционирования энергосистем, в том числе:

• оценка статической устойчивости энергосистемы с учетом самораскачивания,

• определение причин неустойчивости или низких демпферных свойств энергосистемы,

• выявление «слабых» сечений в энергосистеме,

• разработка мероприятий для повышения запаса устойчивости,

• построение эквивалентных математических моделей энергосистем.

Для сложной энергосистемы, элементы которой моделируются с высокой степенью подробности, анализ всего спектра мод движения представляет собой достаточно трудоемкий процесс. Формальный подход к анализу динамических свойств не всегда дает удовлетворительные результаты. Для исследователя же обозрение полного спектра параметров!Тф^^Щ^^ЩД^ижения затрудни-

тельно и может приводить к появлению ошибок и неточностей. Исследование параметров только незатухающих и слабозатухающих мод движения как наиболее важных с точки зрения статической устойчивости энергосистем, существенно сокращает трудозатраты и время, необходимые для анализа динамических свойств энергосистемы, что повышает практическую значимость получаемых результатов.

Цель настоящей работы состоит в разработке метода расчета параметров слабозатухающих и незатухающих мод движения энергосистем высокой размерности и совершенствования методики модального анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем.

Для достижения указанной цели в настоящей работе решаются следующие задачи.

1. Проведение сравнительного анализа существующих методов оценки статической устойчивости и динамических свойств энергосистем и выявление среди них наиболее пригодных для изучения объектов высокой размерности.

2. Разработка метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения на основе решения частичной проблемы собственных значений матрицы состояния линеаризованной математической модели энергосистемы. Ключевым положением при решении этой задачи является разработка эффективного алгоритма задания начальных приближений собственных значений матрицы состояния.

3. Развитие методики анализа динамических свойств энергосистемы, в том числе по параметрам незатухающих и слабозатухающих мод движения. Разработка подхода к выявлению доминирующих мод движения. Разработка численных показателей, позволяющих формализовать и алгоритмизировать методику анализа динамических свойств энергосистемы.

4. Создание программного обеспечения, реализующего разработанные методы и алгоритмы и позволяющего выполнять анализ динамических свойств энергосистем высокой размерности.

Научная новизна. Разработан метод расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения на основе решения частичной проблемы собственных значений, который практически не имеет ограничений на размерность математической модели. В основе метода находится алгоритм задания начальных приближений собственных значений по первой производной аргумента характеристического многочлена матрицы состояния энергосистемы. Указанный алгоритм гарантирует вычисление всех собственных значений, локализованных в исследуемой области плоскости комплексного переменного, и соответствующих им собственных векторов матрицы состояния.

Для вычисления первой производной аргумента характеристического многочлена разработан практический алгоритм приближенного дифференцирования с рациональным выбором узлов интерполирования. Алгоритм выбора узлов использоваться при расчете аргумента ха-

рактеристического многочлена для оценки статической устойчивости энергосистемы по критерию Михайлова.

Расширена методика анализа динамических свойств энергосистемы. Предложен новый подход к определению доминирующих мод движения. Предложены численные показатели для формализации методики анализа динамических свойств энергосистем. Разработано программное обеспечение, реализующее предложенные методы и алгоритмы, и позволяющее проводить анализ динамических свойств энергосистем любой размерности.

Методы исследования. При формировании модели энергосистемы использовались методы математического моделирования. При разработке метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения использовались вычислительные методы линейной алгебры, элементы теории автоматического регулирования, методы приближенного дифференцирования. Для повышения вычислительной эффективности разработанных алгоритмов применялась технология работы с разреженными матрицами. Анализ статической устойчивости и динамических свойств энергосистем выполнен на базе модальной теории. Сравнение результатов выполнялось с применением гармонического анализа.

Практическая ценность. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе «OMEGA», предназначенном для анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем. ПК «OMEGA» может быть использован проектными и научно-исследовательскими организациями для оценки статической устойчивости энергосистемы, выявления «узких» мест в энергосистеме, оценки эффективности настройки систем автоматического регулирования, исследования причин возникновения незатухающих и слабозатухающих общесистемных колебаний, в том числе для исследования причин возникновения низкочастотных слабозатухающих колебаний.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на пятой и восьмой международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов (Москва, 1999 и 2002 гг.), первой и второй конференциях молодых специалистов электроэнергетики (Москва, 2000 и 2003 гг.), на заседании ученого совета ОАО «Институт «Энерго-сетьпроект», на заседании кафедры «Электроэнергетические системы» МЭИ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано пять печатных

работ.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 106 наименований, изложена на 195 страницах, содержит 21 таблицу и 44 рисунка.

Содержание работы

Во введении рассматривается актуальность исследуемой проблемы. Поставлена цель работы. Приведено распределение материала по главам, указаны основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлены результаты сравнительного анализа существующих методов анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем высокой размерности. Поставлены задачи, решаемые в работе.

При исследовании устойчивости при малых отклонениях параметров от состояния равновесия энергосистема описывается системой линеаризованных в трчке установившегося режима дифференциальных уравнений, приведенных к нормальной форме Коши

Здесь А - матрица порядка п с постоянными коэффициентами, называемая матрицей состояния энергосистемы, вектор отклонений переменных со-

стояния от их значений в установившемся режиме.

Общее решение системы уравнений (1) имеет вид

где A::=diag\Яí Х^ ...Ау... Ля] — диагональная матрица собственных значений матрицы модальные ортогональные матрицы, составленные из правых и левых собственных векторов матрицы А, нормированных таким образом, что вектор начальных возмущений.

Анализ косвенных критериев (алгебраических, частотных, локализации) и методов оценки статической устойчивости по спектру собственных значений матрицы состояния А показал, что наиболее пригодными для исследования энергосистем высокой размерности являются частотный критерий Михайлова, матричный критерий и методы на основе решения частичной проблемы собственных значений. Частотный критерий Михайлова позволяет определить количество собственных значений матрицы в правой полуплоскости комплексного переменного, а матричный критерий вычисляет коэффициент затухания самого «правого» собственного значения. Методы на основе решения частичной проблемы собственных значений позволяют получить подробную информацию о параметрах интересующих мод движения, например, имеющих коэффициенты затухания не ниже порогового значения.

Вторая глава посвящена разработке метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения энергосистем высокой размерности на основе решения частичной проблемы собственных значений и решению возникающей ключевой проблемы: разработке алгоритма задания начальных приближений собственных значений.

Задача вычисления параметров искомых мод движения сводится к определению собственных значений, локализованных в некоторой области Т (рис 1) плоскости комплексного переменного, и соответствующих им правых и левых собственных векторов матрицы состояния.

Границы области назначаются в зависимости от цели исследования. Левая граница по вещественной оси определяется по

пороговому коэффициенту затухания искомых мод движения. Правая граница по этой оси заранее неизвестна и подле-

жит вычислению с помощью матричного критерия, рассмотренного в главе 1. Ее задание позволяет ограничить область

исследования и тем самым сократить затраты времени на расчет. Границы по мнимой оси характеризуют полосу интересующих частот. При исследовании электромеханических колебаний, характеризующих взаимные качания роторов синхронных машин, верхняя граница по мнимой оси составляет 15-20 рад/с. Поскольку расположение комплексно-сопряженных собственных значений матрицы состояния на плоскости комплексного переменного симметрично относительно вещественной оси, достаточно ограничиться рассмотрением только верхней полуплоскости.

Решение частичной проблемы собственных значений требует задания начальных приближений собственных значений матрицы. При случайном выборе указанных начальных приближений отсутствует гарантия вычисления всех собственных значений в исследуемой области и возрастает вероятность выполнения большого количества избыточных расчетов, поскольку неоднократно могут определяться уже найденные ранее собственные значения. Как показал сравнительный анализ, среди методов этого класса наиболее предпочтительным является метод обратной итерации с постоянным сдвигом. Его преимуществом является однозначная связь между выбранным начальным приближением и рассчитанным собственным значением. Этот метод обеспечивает вычисление ближайшего на плоскости комплексного переменного к точке начального приближения собственного значения и соответствующих ему собственных векторов.

В основу разрабатываемого способа задания начальных приближений /¿ = С( + собственных значений матрицы состояния А положены свойства первой производной по частоте аргумента ее характеристического многочлена.

Характеристический многочлен матрицы А размерности п при замене ее собственных значений Я на ]Ф представляет собой комплексное число которое можно представить в виде:

D(jco) = Mod{eo)*eJ^ = л0 * ШуО'®).

Аргумент <р{ю) определяется суммой аргументов сомножителей djijeo):

, \ " г \ t \

<РЩ= L9>j{a)> где <р,\а) = ardan —-

^ . i ,

Первая производная функции <р[(о) также представляет собой сумму производных функций <Pj(a>):

d(p, ч "d<P}{ \ d<P¡( \

¿H = Н,где -±{(й)-.

-а.

С, . J \ш>- т í Y>

И da dm

d<P,

Каждая составляющая (<у) имеет один экстремум в точке т = со}, величина которого равна — . Таким образом, координата и величина экстремума

функции -~(а>) точно характеризуют частоту коэффициент затухания соответствующего собственного значения

Первая производная аргумента характеристического многочлена матрицы

состояния

da

на всем интервале изменения частоты отражает влияние од-

новременно всех собственных значений матрицы состояния энергосистемы и имеет в общем случае несколько локальных экстремумов. На рис 2 показан пример графика этой функции для матрицы состояния 20-ого порядка. Тонкими

линиями показаны графики составляющих -—(о).

dm

Некоторые локальные экстремумы функции называемые в работе

представительными, обусловлены экстремумами составляющих -^---(со) и характеризуют собственное значение Л/ (на рис 2 локальные максимумы). Другие же (локальные минимумы на рис 2) являются результатом суммирования и не отражают конкретных собственных значений матрицы. При наличии собственных значений в правой полуплоскости возникает неопределенность при выборе представительных экстремумов Нантгучшим образом представительные локальные экстремумы функции отражают собственные значения с не-

большой по модулю вещественной частью, взаимно удаленные друг от друга по частоте.

0123456789 10 частота, рад/с

Рис 2.

Начальные приближения // = # + _/© собственных значений вычисляются через координату юзкс и величину <р')КС представительного локального экстремума функции по формулам

Разработанный алгоритм задания начальных приближений по величинам и координатам представительных локальных экстремумов первой производной аргумента характеристического многочлена использует ряд приемов:

1) Перенос мнимой оси вправо с формированием матрицы В = А - V®.

2) Исключение из функции составляющих -^-(о), обусловленных

уже вычисленными собственными значениями.

3) Обратный перенос мнимой оси влево с формированием матрицы В[ =В + АуЕ.

Первый прием направлен на преодоление неопределенности выбора представительных локальных экстремумов При его использовании в состав представительных локальных экстремумов будут входить только локальные максимумы первой производной аргумента характеристического многочлена

Второй и третий прием направлены на улучшение распознаваемости близких по частоте или значительно удаленных от мнимой оси искомых собственных значений матрицы состояния. Близкие по частоте собственные значения

дают один локальный экстремум функции и, следовательно, одно на-

чальное приближение (например, как на рис 2 на частоте 7,5 - 8 рад/с). Экстре-

мум функции ~р(й')> обусловленный значительно удаленным собственным

значением, имеет малую величину и практически не видим.

На рис 3 показан пример применения указанных трех приемов для матрицы шестого порядка. Здесь приведено расположение собственных значений и первая производная аргумента характеристического многочлена для матрицы А (рис За), при переносе мнимой оси вправо (рис 36) для матрицы В и при обратном переносе мнимой оси и исключении составляющей, обусловленной вычисленным собственным значением матрицы А (0,5+|1) (рис Зв) для матрицы Вь

не найденное еще собственное значение^^вычисленноеуже собственное значение

РисЗ.

Алгоритм задания начальных приближений по первой производной аргумента характеристического многочлена положен в основу метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения энергосистемы.

Апробация этого метода на примере матриц состояния 20-ого - 498-ого порядка показала, что он гарантирует вычисление параметров всех искомых мод. Этот метод практически не имеет ограничений на размерность матрицы состояния линеаризованной математической модели энергосистемы, поскольку основан на использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.

В третьей главе разработан практический алгоритм расчета первой производной аргумента характеристического многочлена. Из-за высокой размерности матрицы состояния эта функция определяется приближенным дифференцированием с использованием интерполяционной формулы:

Здесь Ц„(со) - интерполирующая функция, Р%(а>) - остаточный член интерполяционной формулы. Для получения интерполирующей функции 1?т (а) в алгоритме используется интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков.

Погрешность расчета искомой функции зависит от свойств матрицы состояния, а также от выбора координат и количества узлов интерполирования; то есть тех точек по частоте, в которых производится вычисление аргумента характеристического многочлена. Из-за многозначности функции «арктангенс», используемой для определения аргумента, в случае слишком большого расстояния между соседними узлами интерполирования при вычислении аргумента появляется ошибка на величину к*2к, которую распознать не удается. Это приводит к повышению погрешности расчета искомой функции. Уменьшить погрешность расчета можно, увеличивая число узлов интерполирования. Однако для матриц состояния высокой размерности это влечет за собой существенный рост затрат времени на расчет, что обусловлено высокой трудоемкостью процедуры определения аргумента характеристического многочлена, так как эта процедура предполагает вычисление детерминанта матрицы.

Разработанный в этой главе алгоритм приближенного вычисления функции предполагает рациональный выбор узлов интерполирования, который обеспечивает исключение возможности возникновения ошибки на величину и позволяет найти компромисс между двумя противоречивыми требованиями: точностью расчета и затратами времени.

Четвертая глава посвящена повышению вычислительной эффективности метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения.

Матрица состояния энергосистемы имеет разреженную структуру, которая определяется степенью подробности моделирования динамических элементов энергосистемы (в большинстве практических случаев коэффициент слабой заполненности матрицы состояния энергосистемы составляет величину порядка 0,7 - 0,8). Кроме того, разработанные в главах 2-3 алгоритмы в процессе исполнения обеспечивают сохранение ее структуры, так как основаны на методе Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Эти обстоятельства позволяют применять алгоритмы упаковки разреженных матриц.

В настоящей работе применяется схема упаковки матрицы А в виде линейного связанного списка со входом как по строкам, так и по столбцам. На примере вычисления детерминанта матрицы состояния показано, что применяемая схема упаковки позволяет сократить затраты времени от 1,5 до 8,5 раз в зависимости от коэффициента слабой заполненности матрицы.

В пятой главе изложена расширенная методика модального анализа динамических свойств энергосистемы.

В соответствии с (2) свободное движение переменной состояния (А=1.....п

| можно представить в виде

I и^'Х^Л'о) =1Атцеа>1 со*(й);1 + ук)). (3)

М '=1 J 1

В классификации, предложенной в работах Н.Г. Филипповой, все моды, характеризующие электромеханические колебания энергосистемы, подразделяются на общесистемные, подсистемные и локальные. При этом для первых двух групп мод движения введено понятие разделения энергосистемы на про-тивофазно колеблющиеся подсистемы, что позволяет определять «слабые» сечения в энергосистеме.

В настоящей работе предлагается расширенный набор показателей динамических свойств энергосистемы. Помимо общепринятых характеристик (собственных частот, коэффициентов затухания, наблюдаемости и возбуждаемости мод движения) этот набор включает численные показатели наблюдаемости, возбуждаемости, выделения синфазных групп генераторов, позволяющие формализовать выполнение анализа динамических свойств энергосистем высокой размерности. Введено понятие состава доминирующих мод в конкретной переменной состояния. Предложен алгоритм его определения в зависимости от типа и места приложения возмущения. При этом нет необходимости многократного решения системы дифференциальных уравнений. Достаточно решать систему линейных алгебраических уравнений. Это позволяет получить существенную экономию затрат времени на расчет, что актуально при исследованиях энергосистем высокой размерности.

Расширенная методика анализа динамических свойств включает следующие позиции.

1.Оценка статической устойчивости с установлением факта ее нарушения и анализ демпферных свойств энергосистемы путем ранжирования мод движения по величинам их коэффициентов затухания.

2. Анализ наблюдаемости мод движения. Наблюдаемость у'-ОЙ моды движения характеризует интенсивность ее проявления в переменных состояния разных генераторов.Вектор коэффициентов наблюдаемости

определяется для скольжений или углов роторов синхронных машин через правый собственный вектор

и не зависит от возмущения. Эта характеристика позволяет классифицировать моды движения по степени их проявления как локальные, которые будут иметь наибольшую амплитуду в нескольких генераторах локализованной области энергосистемы, или общесистемные, проявляющиеся с наибольшей амплитудой почти во всех генераторах энергосистемы. Для этого используется численная характеристика «показатель наблюдаемости» ^^ Он определяется как отношение числа генераторов

скольжения или углы роторов которых имеют коэффициент наблюдаемости, превышающий некоторое пороговое значение к общему

числу синхронных машин s

Для локальной моды движения показатель наблюдаемости ffу много меньше

1, а для общесистемной почти равен 1. Моды, имеющие средний показатель наблюдаемости, предлагается классифицировать как подсистемные. Для целей алгоритмирования предлагается ориентировочная классификация мод по показателю наблюдаемости, представленная в таблице 1. При этом пороговое значение коэффициента наблюдаемости рекомендуется принимать равным

щ = 0,2 o.e.

Классификация моды Показатель наблюдаемости Jfy, o.e.

Общесистемная >0,8

Подсистемная 0,8-0,2

Локальная <0,2

3. Выявление синфазных групп генераторов. На частоте .¡-ой моды количество групп генераторов, роторы которых колеблются почти синфазно, может быть одна или несколько. Определение синфазных групп генераторов производится через соответствующий правый собственный вектор

для скольжений или углов роторов синхронных машин и не зависит от возмущения. Для выявления синфазной

группы в векторе фаз ^ = (^у,...^,...^,...^)^ выбираются компоненты,

имеющие близкие значения. Выявление синфазных групп генераторов позволяет корректно создавать эквивалентные модели энергосистемы.

4. Анализ возбуждаемости мод движения. Эта характеристика определяет значимость типа и места возмущения с точки зрения возникновения колебаний на частоте_/-0Й моды с наибольшей амплитудой. Как видно из (3), возбуждаемость /-ой моды рассчитывается через соответствующий левый собственный вектор Уу и одинакова во всех переменных состояния (к — 1,

Анализ всех компонент левого собственного вектора

позволяет выявить, возбуждение каких переменных состояния (углов, скольжений, токов, ЭДС) приведет к возникновению колебаний на частоте /ой моды с наибольшей амплитудой и таким образом проследить зависимость возбуждаемости этой моды от типа возмущающего воздействия. Для того чтобы иметь возможность связать возбуждаемость моды движения с географическим местом приложения возмущения, необходимо анализировать компоненты вектора при переменных состояния одной физической

природы, например, скольжениях или углах роторов генераторов. Для этого формируется вектор коэффициентов возбуждаемости

¡^ = (^у,...^,..^,...^^. Аналогично показателю наблюдаемости /-ой моды движения определяется показатель возбуждаемости отражающий долю генераторов от их общего числа, возмущение вблизи которых приводит к возникновению колебаний с высокой амплитудой на частоте этой моды:

Здесь ж — общее число генераторов в энергосистеме, $2 число генераторов, для которых выполняется условие пороговое

значение коэффициента возбуждаемости, которое предлагается принимать равным 0,2 о.е.

5. Анализ доминирующих мод движения. Под доминирующими в переменной состояния понимаются моды, которые по сравнению с остальными

модами имеют наибольшие амплитуды колебаний. Для их выявления необходимо сравнить между собой амплитуды Ашк = {Атк],...)Атщ)...>Атк1,...Ат1;п^ ] всех вычисленных мод движения

(/' = 1,..., Пгде амплитуда/-ОЙ моды определяется из (3). Для удобства сравнения результатов вектор Аш^ целесообразно нормировать. Предлагается считать, что /-ая мода относится к доминирующим в переменной состояния Ах к (/), если значение соответствующей компонен -Гю^ о р м и -рованного вектора больше некоторого порогового значения

Пороговое значение Ат§ можно принимать равным 0,2 о.е. Поскольку абсолютные значения амплитуд зависят от возмущающего воздействия, состав доминирующих мод в определенной переменной состояния оказывается разным при различных возмущениях.

Варьируя возмущение можно проследить зависимость состава доминирующих мод от типа и места приложения возмущения. В работе на примере реальной энергосистемы рассмотрено возмущение в виде малого изменения момента турбины одного генератора (рис 4). Поочередно организовывая такое возмущение в разных генераторах энергосистемы, выявлено, что некоторые моды оказываются доминирующими при возмущениях только в двух-трех генераторах, локализованных в одной части энергосистемы

•1 .. =1

Рис 4.

(например, на рис 4 мода №19 a¡=- 0,21 С* , (0= 12,5 рад/с). Другие моды попадают в состав доминирующих при приложении возмущающего воздействия рассматриваемого типа к многим генераторам, расположенным в разных районах энергосистемы (например, на рис 4 мода №2 fl^=-0,18 С*1, 0)j—3,6

рад/с).

Анализ наблюдаемости, возбуждаемости и состава доминирующих мод позволяет определить причины неустойчивости или низких демпферных свойств энергосистемы и предложить мероприятия по повышению запаса устойчивости.

Разработанная методика реализована в программном комплексе «OMEGA». При заданном возмущении ПК «OMEGA» позволяет также реконструировать свободный переходный процесс.

Апробация методики выполнена на примере реальной энергосистемы протяженной структуры, включающей 25 генераторов. Достоверность полученных результатов оценивалась путем сравнения переходных процессов, полученных с помощью ПК «OMEGA» и рассчитанными при таких же возмущениях численным интегрированием с помощью ПК «MUSTANG». Для корректного сравнения временные зависимости скольжений роторов генераторов раскладывались в ряд Фурье по одним и тем же гармоническим составляющим. Анализ результатов показал хорошее качественное совпадение и подтвердил выводы, сделанные на основе модального анализа динамических свойств энергосистемы.

В приложениях 1 и 2 приведены характеристика разработанного ПК

«OMEGA» и характеристики 5-ти расчетных схем реальных энергосистем высокой размерности (количество генераторов от 10 до 129), применявшихся для

апробации разработанных в работе методов и алгоритмов.

Выводы

1) Проведен сравнительный анализ существующих методов оценки статической устойчивости и динамических свойств энергосистем высокой размерности. Выявлены области применения и проблемы при использовании этих методов. Анализ, выполненный с помощью программного комплекса «OMEGA» показал, что наиболее пригодными для изучения энергосистем высокой размерности являются частотный критерий Михайлова, матричный критерий и методы на основе решения частичной проблемы собственных значений матрицы состояния энергосистемы.

2) Предложен метод расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения энергосистем высокой размерности на основе решения частичной проблемы собственных значений матрицы состояния энергосистемы. Он практически не имеет ограничений на размерность матрицы состояния математической модели энергосистемы и гарантирует получение параметров всех искомых мод движения.

3) При разработке указанного метода преодолена основная трудность использования методов решения частичной проблемы собственных значений. Для этого предложен алгоритм задания начальных приближений собственных значений, использующий свойства первой производной по частоте аргумента характеристического многочлена.

4) Разработан алгоритм вычисления этой функции приближенным дифференцированием с рациональным выбором узлов интерполирования.

5) Расширена методика модального анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем. Предложен набор численных показателей, позволяющий формализовать выполнение анализа динамических свойств энергосистем высокой размерности. Определено понятие возбуждаемости j-ой моды движения как с точки зрения наиболее опасного места приложения возмущения, так и с позиции наиболее опасного типа возмущения.

6) Введено понятие состава доминирующих мод движения в конкретной переменной состояния и разработан подход его определения, основанный на сопоставлении амплитуд составляющих движения энергосистемы, полученных при вариации реальных возмущений. На примере реальной энергосистемы показано, что хотя состав доминирующих мод зависит от места и вида возмущения, существуют моды, которые при большинстве возмущений являются доминирующими.

7) Предложен алгоритм, позволяющий при задании ряда малых возмущающих воздействий реконструировать свободные переходные процессы без необходимости многократно решать систему дифференциальных уравнений. Такой подход позволяет получить существенную экономию времени, что актуально при исследовании энергосистем высокой размерности.

8) Разработан программный комплекс «OMEGA», реализующий предложенные в настоящей работе методы и алгоритмы, а также расширенную формализованную методику анализа динамических свойств энергосистемы. ПК «OMEGA» разработан с использованием среды программирования DELPHI 6.

Научные публикации по теме диссертации

1. Арефьев С.А, Золотова Е.В., Филиппова Н.Г. Анализ динамических свойств и устойчивости регулируемых энергосистем // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Пятая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тез. докл. в 2-х т. Т.2 - М.: Изд-во МЭИ, 1999.-С. 375-376.

2. Золотова Е.В. Анализ параллельной работы энергообъединения ЕЭС России с энергосистемами Восточной и Западной Европы по условиям статической устойчивости // Конференция молодых специалистов электроэнергетики - 2000: Сб. докл. - М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2000. - С. 165 -167Г

3. Золотова Е.В., Осиянова Ю.И., Филиппова Н.Г. Модальный анализ устойчивости и динамических свойств сложных ЭЭС с использованием алгебраических критериев // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Восьмая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тез. докл. в 3-х т. Т.З - М.: Изд-во МЭИ, 2002. - С. 280.

4. Тузлукова Е.В., Филиппова Н.Г. Анализ эффективности применения методов оценки статической устойчивости сложных энергообъединений // Вторая научно-техническая конференция молодых специалистов электроэнергетики - 2003: Сб. докл. - М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003. - С. 229 -231.

5. Филиппова Н.Г., Тузлукова Е.В. Модальный анализ устойчивости энергосистем: критерии статической устойчивости и локализации собственных значений // Электричество. - 2004. - № 11. - С. 2 -15.

Подписано в печать л.,'Л С^Зяк. lf[j} Тир. ¡СО Пл. I, US Полиграфический центр МЭИ (ТУ)

№2 52 3 6

Введение.

Глава 1. Анализ методов оценки статической устойчивости.

1.1. Общие положения.

1.2. Формирование математической модели.

1.3. Анализ методов оценки статической устойчивости.

1.3.1. Косвенные критерии.

1.3.1.1. Алгебраические критерии.

1.3.1.2. Частотные критерии.

1.3.1.3. Оценка статической устойчивости с помощью критериев локализации собственных значений.

1.3.2. Методы оценки статической устойчивости по полному спектру собственных значений матрицы состояния энергосистемы.

1.3.3. Методы оценки статической устойчивости на основе решения частичной проблемы собственных значений.

1.4. Выводы по главе.

Глава 2. Разработка метода расчета параметров слабозатухающих и незатухающих мод движения энергосистемы на основе решения частичной проблемы собственных значений.

2 1. Постановка задачи.

2.2. Анализ свойств первой производной аргумента характеристического многочлена.

2.3. Разработка алгоритма задания начальных приближений собственных значений по первой производной аргумента характеристического многочлена.

2.4. Алгоритм расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения.

2 5. Выводы по главе.

Глава 3. Разработка алгоритма расчета первой производной аргумента характеристического многочлена.

3.1 Постановка запачи.

3.2. Разработка алгоритма рационального выбора узлов интерполирования.

3.3. Оценка эффективности алгоритма.

3 .4. Выводы по главе.

Глава 4. Применение модифицированного алгоритма упаковки разреженных матриц.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Модификация схемы упаковки матрицы в виде

ШШАЙНПГП риявддногп

4.3. Оценка эффективности упаковки матрицы.

4.4. Выводы по главе.

Глава 5. Развитие методики модального анализа динамических свойств энергосистем высокой размерности.

51 Ооноинир положения.

5.2. Определение вектора начальных возмущений.

5.3. Методика модального анализа динамических свойств энергосистемы.

5.4. Пример анализа динамических свойств реальной энергосистемы.

5.5. Выводы по главе.

Необходимым условием надежности и живучести электроэнергетической системы является обеспечение ее статической и динамической устойчивости.

Оценка статической устойчивости осуществляется как на стадии проектирования энергосистем (ввод новых линий, электростанций, систем автоматического регулирования), так и на стадии эксплуатации. При оперативно-диспетчерском управлении анализ статической устойчивости является одной из задач долгосрочного и краткосрочного планирования и ведения электрических режимов (определение допустимых перетоков мощности по связям и сечениям по условию статической устойчивости, выбор уставок систем автоматического регулирования и противоаварийной автоматики) [1-4].

Основополагающие работы в области анализа статической устойчивости в СССР были выполнены в 30-х годах прошлого столетия П.С. Ждановым, А.А. Горевым, А.С. Лебедевым в период создания Единой электроэнергетической системы страны [5-9]. Дальнейшее развитие энергетики - расширение энергосистем, переход к более высоким ступеням напряжения, ввод в эксплуатацию дальних электропередач, создание более совершенных автоматических средств регулирования, объединение энергосистем на параллельную работу - приводит к увеличению размерности задачи анализа и управления режимами энергосистем и, в частности, оценки их статической устойчивости. Этот факт определяет необходимость разработки новых и постоянного совершенствования существующих методов решения указанной задачи.

С другой стороны, развитие в последние десятилетия вычислительной техники существенно повысило возможности практического применения более подробных моделей энергосистем и некоторых ранее мало использовавшихся подходов и методов.

Для настоящего этапа развития энергетики характерно наличие крупных концентрированных энергосистем, связанных между собой относительно слабыми межсистемными связями. Намечаются тенденции внедрения в энергосистемах нового оборудования, оснащенного современными устройствами регулирования - асинхронизированных генераторов, статических тири-сторных компенсаторов, управляемых реакторов, управляемых установок продольной компенсации, фазоповоротных устройств, универсальных регуляторов режимных параметров, сверхпроводниковых индуктивных накопителей энергии [2, 10, 11].

Отмеченное выше, а также создание крупных энергообъединений на уровне национальных и транснациональных энергосистем, приводит к тому, что система приобретает новые свойства, которые, в частности, проявляются в возникновении низкочастотных (0,1 - 0,8 Гц) общесистемных колебаний ее режимных параметров. Проблема обеспечения устойчивости и удовлетворительного демпфирования общесистемных колебаний вставала неоднократно в энергосистемах многих стран [12 - 20]. Важность и сложность задачи обеспечения статической устойчивости при возникновении таких колебаний привели к разработке новых методов ее оценки, основанных на серьезном изучении динамических свойств крупных энергообъединений [21 - 45, 90 - 95].

Динамические свойства энергосистемы характеризуются многочастот-ностью. В литературе принято частотные составляющие, характеризующие взаимные качания роторов синхронных машин, называть электромеханическими колебаниями, а частотные составляющие, проявляющиеся в системах регулирования возбуждения - электромагнитными колебаниями [22, 27].

Как правило, собственные частоты электромеханических колебаний расположены в диапазоне 0,1-2 Гц. Среди них содержатся как локальные, так и охватывающие практически всю энергосистему, общесистемные колебания. При этом локальные колебания характеризуют параметры взаимных качаний синхронных машин в подсистемах, общесистемные - качания подсистем или групп генераторов относительно друг друга [22, 27, 30, 36, 39].

Относительно более высокочастотную часть спектра (>1,5 Гц) составляют собственные частоты электромагнитных колебаний энергосистемы.

Электромагнитные колебания в силу значительной механической инерции ротора и большой постоянной времени обмотки возбуждения обычно локализуются внутри синхронной машины [22]. Один из видов реального нарушения электромагнитной устойчивости - самовозбуждение - проявляется в изменении напряжения и тока электрической машины [9, 46 - 48]. Другой вид нарушения электромагнитной устойчивости неоднократно наблюдался при наладочных работах в виде самораскачивания режимных параметров в контуре АРВ-СД с частотой на порядок выше частоты электромеханических колебаний роторов синхронных машин [48].

Нарушение устойчивости энергосистемы связано с незатухающими колебаниями. Однако следует рассматривать и слабозатухающие колебания, поскольку они могут быть опасны из технологических соображений, а разработка мер по их демпфированию может позволить расширить область устойчивости энергосистемы.

Условно ранжировать колебания по степени их демпфирования предлагается в соответствии с таблицей О.1., где нормируемый коэффициент затухания колебаний отражает технические и эксплуатационные соображения [22, 39].

Таблица 0.1.

Значения коэффициента затухания, с"1 Характеристика демпфирования колебаний Уменьшение амплитуды колебаний за время 5 с

-0,14 Слабое В 2 раза

-0,3 Удовлетворительное В 5 раз

-0,5 Хорошее В 10 раз

-1,0 Сильное В 150 раз

При малых отклонениях параметров от состояния равновесия, колебания параметров режима энергосистемы можно представить как линейную комбинацию динамических составляющих движения. Разложение свободного движения энергосистемы на такие составляющие и их анализ составляют модальную теорию [2, 21, 22, 30, 36, 38, 39, 52]. Основным понятием модальной теории является понятие моды или формы движения, характеризующейся коэффициентом затухания, собственной частотой и комплексными коэффициентами распределения амплитуд колебаний во всех переменных состояния [2, 22, 39]. Эти показатели определяются параметрами и структурой энергосистемы, не зависят от вида и места приложения возмущения и отражают динамические свойства энергосистемы.

Модальный анализ динамических свойств энергосистемы позволяет решить следующие задачи [2,21, 27, 36, 39]:

1) оценка статической устойчивости энергосистемы с учетом самораскачивания,

2) выявление причин неустойчивости или низких демпферных свойств энергосистемы,

3) исследование функционирования энергосистемы при малых возмущениях,

4) построение эквивалентных математических моделей энергосистем,

5) выявление слабых сечений в энергосистеме,

6) разработка мероприятий для повышения запаса устойчивости,

7) определение требований к системам автоматического регулирования с точки зрения эффективного демпфирования колебаний,

8) выбор наиболее целесообразных мест установки устройств, осуществляющих автоматическое регулирование параметров режима работы энергосистемы, и эффективных алгоритмов их функционирования.

Для сложной энергосистемы, элементы которой моделируются с высокой степенью подробности, оценка всего спектра мод движения представляет собой достаточно трудоемкий процесс. Формальный подход к анализу динамических свойств не всегда дает удовлетворительные результаты. Для исследователя же обозреть полный спектр параметров нескольких сот мод движения затруднительно и приводит к появлению ошибок и неточностей. Исследование параметров только незатухающих и слабозатухающих мод движения как наиболее важных с точки зрения статической устойчивости энергосистем, существенно облегчает анализ динамических свойств энергосистемы.

Цель настоящей работы состоит в разработке метода расчета параметров слабозатухающих и незатухающих мод движения и совершенствовании методики модального анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистемы.

Основными задачами, решаемыми в диссертационной работе, являются о проведение сравнительного анализа существующих методов оценки статической устойчивости и динамических свойств энергосистем и выявление среди них наиболее пригодных для изучения объектов высокой размерности, о разработка метода расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения энергосистем высокой размерности, о алгоритмическая и программная реализация разработанного метода, о развитие методики модального анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистемы, о применение методики для анализа статической устойчивости и динамических свойств реальных энергосистем высокой размерности. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и двух приложений.

5.5. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

Настоящая глава посвящена совершенствованию методики модального анализа динамических свойств энергосистемы.

Каждаяу-ая составляющая (J = 1, ., п) свободного движения энергосистемы в переменной состояния Axk{t) характеризуется набором таких параметров как: собственная частота, коэффициент затухания, амплитуда и начальная фаза. При этом на значения амплитуд и начальных фаз влияет вид вектора начальных возмущений, который определяется местом и типом возмущающего воздействия в действительности приложенного к энергосистеме. В совокупности параметры составляющих движения (коэффициенты затухания, собственные частоты, комплексные коэффициенты соотношения амплитуд, абсолютные значения амплитуд и начальных фаз) позволяют провести всесторонний анализ динамических свойств энергосистемы для решения задач управления ее режимами.

В расширенную методику анализа динамических свойств входят следующие позиции. о Оценка статической устойчивости с выявлением факта ее нарушения и анализ демпферных свойств энергосистемы, о Анализ наблюдаемости мод движения с вычислением коэффициентов векторов наблюдаемости и показателей наблюдаемости. В этом пункте производится классификация мод движения по степени интенсивности проявления в разных переменных состояния (общесистемные, локальные, под-системные), о Выявление синфазных групп генераторов. о Анализ возбуждаемости мод движения как с точки зрения наиболее опасного места приложения возмущения (с вычислением коэффициентов векторов возбуждаемости и показателей возбуждаемости), так и с позиции наиболее опасного типа возмущающего воздействия, о Анализ доминирующих мод в любой переменной состояния при различных возмущениях.

В главе предложены численные показатели наблюдаемости, возбуждаемости и доминирования, позволяющие формализовать методику анализа динамических свойств энергосистемы.

Введено понятие состава доминирующих мод движения в конкретной переменной состояния и разработан подход его определения, основанный на сопоставлении амплитуд составляющих движения энергосистемы, полученных при вариации реальных возмущений. В работе рассматривается реальное возмущение в виде малого изменения момента турбины одного генератора энергосистемы. Поочередное приложение возмущающего воздействия такого типа к разным генераторам дает возможность корректно проследить зависимость состава доминирующих мод от места возмущения.

При заданном векторе возмущений модальная теория позволяет реконструировать свободный переходной процесс в любой переменной состояния. При этом для получения серии переходных процессов при различных возмущениях нет необходимости многократно решать систему дифференциальных уравнений. Такой подход позволяет получить существенную экономию времени, что актуально при исследовании энергосистем высокой размерности.

Формализованная расширенная методика анализа динамических свойств осуществлена в программном комплексе «OMEGA». Апробация методики выполнена на примере реальной энергосистемы протяженной структуры, включающей 25 генераторов.

На этом примере показано, что состав доминирующих мод для каждой переменной состояния существенно зависит от возмущающего воздействия.

Однако существуют моды движения, которые оказываются доминирующими при многих возмущениях.

Как правило, количество доминирующих мод в какой-либо переменной состояния не ограничивается одной. Из чего следует, что свободный переходной процесс имеет сложный многочастотный характер.

Достоверность полученных результатов оценивалась путем сравнения переходных процессов, полученных с помощью ПК «OMEGA» и рассчитанными при таких же возмущениях численным интегрированием с помощью ПК «MUSTANG». Анализ результатов показал хорошее качественное совпадение и подтвердил выводы, сделанные на основе модального анализа динамических свойств энергосистемы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию методов анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистемы на основе модальной теории, предполагающей разложение свободного движения энергосистемы на отдельные динамические модальные составляющие. Наиболее важными с позиции оценки статической устойчивости энергосистемы представляются незатухающие и слабозатухающие моды движения. В работе получены следующие результаты.

1) Проведен сравнительный анализ существующих методов оценки статической устойчивости и динамических свойств энергосистем высокой размерности. Выявлены области применения и проблемы при использовании этих методов. Анализ, выполненный с помощью программного комплекса «OMEGA» показал, что наиболее пригодными для изучения энергосистем высокой размерности являются частотный критерий Михайлова, матричный критерий и методы на основе решения частичной проблемы собственных значений матрицы состояния энергосистемы.

2) Предложен метод расчета параметров незатухающих и слабозатухающих мод движения энергосистем высокой размерности на основе решения частичной проблемы собственных значений матрицы состояния энергосистемы. Он практически не имеет ограничений на размерность матрицы состояния математической модели энергосистемы и гарантирует получение параметров всех искомых мод движения.

3) При разработке указанного метода преодолена основная трудность использования методов решения частичной проблемы собственных значений. Для этого предложен алгоритм задания начальных приближений собственных значений, использующий свойства первой производной по частоте аргумента характеристического многочлена.

4) Разработан алгоритм вычисления этой функции приближенным дифференцированием с рациональным выбором узлов интерполирования.

5) Расширена методика модального анализа статической устойчивости и динамических свойств энергосистем. Предложен набор численных показателей, позволяющий формализовать выполнение анализа динамических свойств энергосистем высокой размерности. Определено понятие возбуждаемости у-ой моды движения как с точки зрения наиболее опасного места приложения возмущения, так и с позиции наиболее опасного типа возмущения.

6) Введено понятие состава доминирующих мод движения в конкретной переменной состояния и разработан подход его определения, основанный на сопоставлении амплитуд составляющих движения энергосистемы, полученных при вариации реальных возмущений. На примере реальной энергосистемы показано, что хотя состав доминирующих мод зависит от места и вида возмущения, существуют моды, которые при большинстве возмущений являются доминирующими.

7) Предложен алгоритм, позволяющий при задании ряда малых возмущающих воздействий реконструировать свободные переходные процессы без необходимости многократно решать систему дифференциальных уравнений. Такой подход позволяет получить существенную экономию времени, что актуально при исследовании энергосистем высокой размерности.

8) Разработан программный комплекс «OMEGA», реализующий предложенные в настоящей работе методы и алгоритмы, а также расширенную формализованную методику анализа динамических свойств энергосистемы. ПК «OMEGA» разработан с использованием среды программирования DELPHI 6.

1. Автоматизация диспетчерского управления в электроэнергетике. Под ред. Руденко Ю.Н. и Семенова В.А. - М.: Издательство МЭИ. 2000.

2. Баринов В.А., Совалов С.А. Режимы энергосистем: методы анализа и управления. М.:Энергоатомиздат.-1990.

3. Решетов В.И., Семенов В.А., Лисицын Н.В. Единая энергетическая система России на рубеже веков. М. Издательство НЦ ЭНАС.-2002.

4. Совалов С.А. Режимы единой энергосистемы. М.: Энергоатомиздат.-1983.

5. Жданов П.С. Вопросы устойчивости электрических систем. М.: Энергия.-1979.

6. Горев А.А. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем. М.-Л.: Госэнергоиздат.-1960.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука.-1967.

8. Ульянов С.А. Электромагнитные переходные процессы. М.: Энергия.-1970.

9. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высшая школа.-1978.

10. Breulmann Н., Grebe Е. et al. Analysis and Damping of Inter-Area Oscillations in the UCTE/CENTREL Power System. Session CIGRE. 2000.

11. Баринов В.А., Воропай Н.И. Влияние динамических свойств на принципы формирования основной электрической сети Единой электроэнергетической системы СССР// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, -1990, № 6.

12. Масленников В.А., Устинов С.М. Низкочастотные системные колебания и устойчивость объединенных энергосистем// Изв. АН. Энергетика, -2001, №4.

13. Canadian Electrical Association Report, «Investigation of Low Frequency Inter-Area Oscillation Problems in Large Inter-connected Power Systems», Report of Research Project 294T622, Prepared by Ontario Hydro, 1993.

14. Кощеев Л.А., Семенов B.A. Материалы расследования крупных системных аварий в США. М.: РАО ЕЭС России.-1996.

15. Баринов В.А., Совалов С.А. Модальное управление режимами энергетических систем// Электричество,-1986.-№ 8.

16. Литкенс И.В., Пуго В.И. Колебательные свойства электрических систем. — М.: Энергоатомиздат.-1988.

17. Литкенс И.В., Абрамян Р.Ш., Чилингарян С.Л. Определение доминирующей формы электромеханических колебаний в энергосистеме// Электричество,-1988, № 3.

18. Литкенс И.В., Пуго В.И., Абдул-Заде В.М. Демпферные коэффициенты синхронных генераторов в многомашинных электрических систе-мах//Электричество, -1984, № 3.

19. Литкенс И.В., Филиппова Н.Г. Анализ и улучшение динамических свойств энергосистем// Электричество, -1991, № 12.

20. Литкенс И.В., Филиппова Н.Г., Отморский С.Г. Анализ возможных причин возникновения длительных электромеханических колебаний в объединенной энергосистеме// Электричество, -1992, № 6.

21. Бушуев В.В., Лизалек Н.Н., Новиков Н.Л. Динамические свойства энергообъединений. -М.: Энергоатомиздат.-1995.

22. Бердник Е.Г. Разработка алгоритмов для исследования статической устойчивости электроэнергетических систем большой размерности. Дис.канд. тех. наук. М.: МЭИ.-1998.

23. Литкенс И.В., Филинская Н.Г. Выбор настроек АРВ в многомашинной энергосистеме// Электричество, -1986, №4.

24. Груздев И.А., Устинов С.М., Шевяков В.В. Анализ и управление собственными динамическими свойствами электроэнергетических систем// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, -1988, № 6.

25. Груздев И.А., Стародубцев А.А., Устинов С.М., Шевяков В.В. Анализ статической устойчивости и демпфирования низкочастотных колебаний в объединенных энергосистемах// Электричество, -1991, № 3.

26. Левит Л.М., Горбунова Л.М., Рабинович Р.С., Совалов С.А., Портной М.Г. О реакции протяженной энергосистемы на небалансы активной мощности// Электричество, -1982, № 1.

27. Броссман Э., Строев В.А., Хачатурова Е.А. Демпфирование малых низкочастотных колебаний в сложных электроэнергетических системах с помощью АРВ сильного действия// Электричество, -1983, № 7.

28. Броссман Э. Вопросы исследования статической устойчивости сложных электрических систем. Дис.канд. тех. наук. М.: МЭИ.-1980.

29. Масленников В.А. Управление собственными динамическими свойствами крупных энергообъединений и дальних электропередач. Дис.докт. тех. наук. С-Пегербург: СПГТУ-1998.

30. Стародубцев А.А. Методика расчета и анализа колебательной устойчивости для больших энергосистем. Дис. .канд. тех. наук. JL: ЛПИ.-1990.

31. Устинов С.М. Методы анализа и управления статической устойчивостью и демпферными свойствами сложных регулируемых энергосистем. Дис.докт. тех. наук. Л.: ЛПИ.-1989.

32. Филинская Н.Г. Разработка методики определения настроек АРВ генераторов в объединенных энергосистемах. Дис.канд. тех. наук. — М.: МЭИ.-1986.

33. Цэн Гопинь Методика выбора настроек АРВ генераторов для управления демпферными свойствами сложных энергосистем. Дис.канд. тех. наук. — С-Пегербург: СПГТУ.-1993.

34. Шевяков В.В. Управление собственными динамическими свойствами энергосистем путем координации и избирательной работы САР. Дис.канд. тех. наук. Л.: ЛПИ.-1988.

35. Устинов С.М., Масленников В.А. Анализ общесистемных низкочастотных колебаний в общих энергосистемах// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт,-1998, № 2.

36. Бушуев В.В. Динамические свойства электроэнергетических систем. — М. :Энергоатомиздат.-1987.

37. Литкенс И.В., Логинов Н.П. Качественный анализ динамических процессов в электрических системах протяженной структуры// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт,-!988, № 6.

38. Абрамян Р.Ш. Разработка методов исследований электромеханических колебаний в сложных электрических системах. Дис.канд. тех. наук. М.-1985.

39. Веников В.А., Анисимова Н.Д., Долгинов А.И., Федоров Д.А. Самовозбуждение и самораскачивание в электрических системах. М.: Высшая школа.-1964.

40. Гуревич Ю.Е., Либова Л.Е., Окин А.А. Расчеты устойчивости и противо-аварийной автоматики в энергосистемах. М.: Энергоатомиздат.-1990.

41. Цукерник Л.В. Многообразие видов нарушения статической устойчивости электроэнергетических систем// Вопросы устойчивости сложных электрических систем. Сборник научных трудов. М.- Энергосетьпроект, 1985.

42. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических систем. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение.-1988.

43. Картвелишвили Н.А., Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамических систем с примерами из электроэнергетики. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.-1976.

44. Фельдбаум А.А. Электрические системы автоматического регулирования. М.: Гос. издательство оборонной промышеленности.-1954.

45. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение.-1976.

46. Страхов С.В. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока. М-Л.: Госэнергоиздат.-1960.

47. Гуревич Ю.Е., Окин А.А., Хачатрян Э.А. Устойчивость эксплуатируемых энергосистем и ее обеспечение. Динамическая устойчивость. Учебное пособие. М.: Всесоюзный институт повышения квалификации руководящих работников и специалистов.-1986.

48. Гуревич Ю.Е., Окин А.А., Хачатрян Э.А. Устойчивость эксплуатируемых энергосистем и ее обеспечение. Статическая устойчивость. Учебное пособие. М.: Всесоюзный институт повышения квалификации руководящих работников и специалистов.-1984.

49. Строев В.А., Шульженко С.В. Математическое моделирование элементов электрических систем. Курс лекций. Учебное пособие. — М.: МЭИ.-2002.

50. Стернинсон Л.Д. Переходные процессы при регулировании частоты и мощности в энергосистемах. М.: Энергия.-1975.

51. Юрганов А.А., Кожевников В.А. Регулирование возбуждения синхронных генераторов. С.-Петербург.: Наука,-1996.

52. Глебов И.А. Системы возбуждения синхронных генераторов с управляемыми преобразователями. М.-Л.: Издательство АН СССР.-1960.

53. Веников В.А., Герценберг Г.Р., Совалов С.А., Соколов Н.И. Сильное регулирование возбуждения. М.-Л. Государственное энергетическое издательство.-1963.

54. Гуревич. Ю.Е., Либова Л.Е., Хачатрян Э.А. Устойчивость нагрузки электрических систем. -М.: Энергоиздат.-1981.

55. Применение аналоговых вычислительных машин в энергетических системах. Методы исследования переходных процессов. Под ред. Соколова Н.И. -М.: Энергия.-1970.

56. Кочкин В.И., Нечаев О.П. Применение статических компенсаторов реактивной мощности в электрических сетях энергосистем и предприятий. — М.: НЦ ЭНАС.-2000.

57. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики. Под ред. Веникова В.А. М.: Высшая школа.-1981.бб.Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. М.: Энергия.-1967.

58. Гузенко А.И. Основы теории автоматического регулирования. М.: Высшая школа.-1967.

59. Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л.: Гос. издательство технико-теоретической литературы.-1950.

60. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 2. М.: Физматгиз.-1960.

61. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука.-1966.

62. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. Пер. с англ. М.: Наука.-1970.

63. Тузлукова Е.В., Филиппова Н.Г. Анализ эффективности применения методов оценки статической устойчивости сложных энергообъедине-ний//Сборник докладов. Вторая научно-техническая конференция молодых специалистов электроэнергетики 2003. - М.: НЦ ЭНАС.-2003.

64. Гамазин С.И., Костенко В.А., Скопинцев В.А., Строев В.А. К вопросу о применении критерия Михайлова для анализа статической устойчивости сложных энергетических систем// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт,-1968, № 4.

65. Карасев Е.Д. К анализу статической устойчивости электрических систем по критерию Михайлова// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, -1981.

66. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко А.А. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Л.:Энергия.-1970.

67. Дидук Г.А. Машинные методы исследования автоматических систем. Л.: Энергоатомиздат.-1983.

68. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир.-1999.

69. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука.-1977.

70. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа.-1994.

71. Уилкинсон Дж.Х. Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Пер. с англ. М.: Машиностроение.-1976.

72. Буткевич А.Ф. Некоторые методические вопросы расчета статической устойчивости сложной энергосистемы по необходимым и достаточным условиям. Киев, ИЭД АН УССР.-1985.

73. Lam D.M., Yee Н., Campbell В. «An efficient improvement of the AESOPS algorithm for power system eigenvalue calculation», IEE Trans, on Power Systems, vol.9, no.4, November 1994.

74. Zhou E.Z. A Study of the AESOPS/PEALS algorithm. Electrical Power & Energy Systems, vol.14, no 6, December 1992.

75. Martins N., Pinto H.J.C.P, Lima L.T.G. «Efficient method for finding transfer function zeros of power systems», IEEE Trans, on Power Systems, vol.7, no 3, August 1992.

76. Byerly R.T., Bennon R.J., Sherman D.E. «Eigenvalue analysis of Synchronizing power flow oscillations in large electric power systems», IEE PICEConf., 1981.

77. Campagnolo J., Lima L.T.G., Martins N., Pinto H.J.C.P et al «Fast small-signal stability assessment using parallel processing», IEEE Trans, on Power Systems, vol.9, no 2, May 1994.

78. Campagnolo J., Martins N., Falcao D. «Refactored Bi-iteration: A high performance eigensolution method for large Power System matrices», IEEE Summer Meeting Portland, July 1995.

79. Tuzlukova E.V. «Analysis of parallel operation of the united system of Russia and power systems of eastern and western Europe with respect to the conditions of static stability», Power Technology and Engineering, vol. 36, No 2, 2002.

80. V.I. Vittal, N.Bhatia, A.A. Fouad, «Analysis of the Inter-Area Mode Phenomenon in Power Systems Following Large Disturbance», «Inter-Area Oscillations in Power Systems», IEEE Power Engineering Society, 95 TP 101, October 1994.

81. F. L. Pagola, I.J. Perez-Arriaga, G.C. Verhese, «On sensitivity, residues and participations. Applications to oscillatory stability analysis and control», IEEE Transactions on Power Systems, vol. 4, no 1, February 1989.

82. Боровик В.К., Бушуев В.В. Обобщенная оценка демпферных свойств автоматически регулируемых электроэнергетических систем// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт,-1984, № 1.

83. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир.-1988.

84. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмэм Я. Слабозаполненные матрицы. М.: Энергия.-1979.

85. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир.-1984.

86. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. М.: Радио и связь.-1988.

87. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М.: Энергоатомиздат 1989.

88. Филиппова Н.Г., Тузлукова Е.В. Модальный анализ устойчивости энергосистем: критерии статической устойчивости и локализации собственных значений// Электричество, -2004, №11.

89. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Государственное издание технико-теоретической литературы.-1953.

90. Архангельский А.Я. Программирование в Delphi 6. М.: ЗАО «Издательство БИНОМ».-2003.

91. Фаронов В. Delphi 6 Учебный курс. СПб.: «Питер».-2002.