автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие метода поверхностных гармоник для решения задач нейтронной пространственной кинетики в ядерных реакторах

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ»

На правах рукописи УДК 621.039.514

КОНДРУШИН Антон Евгеньевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ПОВЕРХНОСТНЫХ ГАРМОНИК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЙТРОННОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КИНЕТИКИ В ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРАХ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

19 Г-Н Ш

Москва - 2014

005549923

Работа выполнена в Национальном исследовательском центре «Курчатовский институт»

Научный руководитель: доктор технических наук,

начальник лаборатории, НИЦ "Курчатовский институт", Бояринов Виктор Федорович

Официальные оппоненты: кандидат физико-математических наук,

главный специалист, Частное учреждение ИТЦП "Прорыв", Суслов Игорь Рюрикович

доктор технических наук, начальник отдела, НИТИ им А.П. Александрова, Ельшин Александр Всеволодович

Ведущая организация: НИЯУ МИФИ.

Защита диссертации состоится «А» (М-О/ЬЯ- 2014 г. в/^ч. ^^мин. на заседании диссертационного совета Д 201.003.01 в ГНЦ РФ ФЭИ им А.И. Лейпунского по адресу: 249033, г. Обнинск, Калужская обл., пл. Бондаренко, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦ «Курчатовский институт»

Автореферат разослан «_»_2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, ^

доктор технических наук Верещагина Татьяна Николаевна

© Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт», 2014

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Важнейшую роль в проектировании надежных, безопасных и вместе с тем экономически выгодных ядерных реакторов играет проведение исследовательских и проектных расчетов. Одна из важных частей таких расчетов - нейтронно-физический расчет.

В последние годы все большее внимание уделяется развитию кодов, позволяющих проводить качественный нестационарный расчет ядерного реактора. Это связано с наличием факта, что большинство существующих на данный момент нестационарных кодов содержит ряд серьезных приближений в своей нейтронно-физической составляющей на фоне высоких требований к безопасности реакторов. К таким приближениям в первую очередь относятся пространственная гомогенизация, расчет в малом числе энергетических групп и диффузионное приближение.

Вместе с тем, следует также отметить, что ряд исследователей указывает на возможность получения улучшенных результатов путем решения более универсального газокинетического уравнения, особенно для анализа безопасности. Результаты, полученные таким путем, позволили бы обрести большую уверенность в качестве получаемых результатов.

Как известно, оперативность моделирования процесса переноса нейтронов главным образом зависит от сложности рассматриваемой модели (геометрические размеры, детальность описания, система приближений и т.д.), производительности вычислительной машины и метода, заложенного в основу моделирующего кода. Отказ от вышеизложенных приближений приводит к значительному усложнению математической модели и увеличению размера решаемой системы уравнений, что напрямую влияет на вычислительные затраты. Вместе с этим, несмотря на очень интенсивное развитие компьютерной техники в последние десятилетия, моделирование нестационарного процесса переноса нейтронов в полномасштабной модели ядерного реактора без вышеперечисленных приближений является трудоемкой задачей даже для современных компьютеров. Что касается методов моделирования переноса нейтронов, то наиболее широко используемые на сегодняшний день методы, такие как метод дискретных ординат, метод характеристик, метод вероятности первых столкновений, метод Монте-Карло и т.д., требуют больших вычислительных затрат. При этом, применение кода, основанного на методе, позволяющем быстро получать основные нейтронно-физические функционалы в нестационарном расчете аварийных ситуаций с достаточной для практики точностью, могло бы повысить оперативность и надежность получения результатов с помощью такого кода и позволило бы применять его для сложных масштабных моделей с умеренными вычислительными затратами. Таким образом, по-прежнему является актуальной проблема развития эффективных и вместе с тем экономичных алгоритмов.

В качестве метода, который мог бы лежать в основе нейтронно-физической составляющей современного нестационарного кода, обладающего вышеизложенными характеристиками, предлагается использовать предложенный Н.И. Лалетиным метод поверхностных гармоник (МПГ). МПГ является

процедурой построения математической модели для описания нейтронно-физических процессов в ядерном реакторе, учитывающей особенности нейтронно-физических реакторных задач. В качестве примера такого учета следует отметить следующие особенности МПГ:

• упорядоченность координатных функций по степени их влияния на нейтронно-физические функционалы, что позволяет достигать приемлемой для практики точности основных функционалов уже в низших приближениях метода;

• учет гладкости функции потока нейтронов на границе ячеек при выводе конечно-разностных уравнений.

Данные особенности и то, что этот метод, будучи реализованным в стационарных программных комплексах SUHAM и SVS, позволяет получать основные нейтронно-физические функционалы с точностью сравнимой с точностью детерминистических методов при вычислительных затратах сравнимых с затратами инженерных подходов, являются главными причинами для обращения к МПГ. Для применения МПГ в нестационарных задачах необходимо провести детальный математический вывод нестационарных уравнений МПГ и их верификацию посредством программной реализации и расчета ряда бенчмарков.

Вышеописанная ситуация определяет актуальность работы по развитию МПГ на задачи пространственно-временной кинетики, созданию алгоритмов и кода для их программной реализации, которые можно было бы рассматривать как базовое ядро для создания современного вычислительного инструмента. Цели и задачи работы.

Исходя из вышеописанных проблем, формируется цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и расчетных программ для решения нейтронно-физических пространственно-временных задач в ядерных реакторах на основе метода поверхностных гармоник для повышения надежности, точности и оперативности предсказания важнейших нейтронно-физических нестационарных характеристик ядерного реактора. Для достижения этой цели решены следующие задачи:

• проведение детального вывода пространственно-временных уравнений метода поверхностных гармоник посредством классического метода минимизации невязки на основе нестационарного уравнения переноса нейтронов;

• построение численного алгоритма решения нестационарного уравнения переноса нейтронов в одномерном и двумерном ядерном реакторе на основе полученных уравнений МПГ;

• программная реализация разработанных алгоритмов в рамках программного комплекса SUHAM-TD;

• верификация созданного кода и проведение с его помощью исследований применения метода поверхностных гармоник в пространственно-временном расчете;

• разработка нестационарного бенчмарка C5G7-TD для решения уравнения переноса на основе стационарного бенчмарка C5G7 (benchmark on deterministic transport calculations without spatial homogenization) посредством получения нестационарных характеристик материалов. Проведение расчета предложенного бенчмарка средствами программного комплекса SUHAM-TD.

Результаты работы, выносимые на защиту:

• алгоритмы решения нестационарных уравнений МПГ с тремя пробными матрицами, реализованные в созданных кодах, для случая реактора с квадратной решеткой блоков;

• разработанные программы комплекса SUHAM-TD;

• результаты верификации разработанного программного комплекса;

• созданный пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD для решения уравнения переноса.

Научная новизна результатов, представленных в работе, состоит:

• в разработке алгоритмов и их реализации в расчетной программе SUHAM-TD для решения одномерных и двумерных конечно-разностных нестационарных уравнений МПГ в ядерных реакторах с квадратной решеткой;

• в проведении верификации разработанного кода SUHAM-TD на ряде бенчмарков с демонстрацией эффективности уравнений и разработанного кода;

• в создании пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD для решения уравнения переноса на основе международного стационарного бенчмарка C5G7 с приведением результатов расчета.

Достоверность полученных результатов.

Разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе SUHAM-TD и верифицированы на ряде пространственно-временных бенчмарков в одномерной и двумерной геометриях с различными сценариями ввода реактивности в систему. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами, полученными другими методами и программами, как автором, так и другими научными коллективами.

Практическая ценность полученных результатов определяется тем, что:

• полученные нестационарные уравнения МПГ могут быть применены для любого типа реакторов с квадратной регулярной решеткой блоков;

• разработанные алгоритмы и модули программного комплекса SUHAM-TD предлагаются в качестве базового ядра для создания современного вычислительного инструмента для анализа нейтронных переходных процессов;

• созданный пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD предоставляет возможность для кросс-верификации любых пространственно-временных кодов с возможностью исследования эффекта гомогенизации и применения диффузионного приближения в нестационарном случае.

Апробация работы.

Основные положения диссертации докладывались на следующих конференциях, школах и семинарах:

• межведомственный ежегодный семинар по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «Нейтроника-2010» (г. Обнинск, 26 - 28 октября 2010 г.);

• 8-ая Курчатовская молодежная научная школа (г. Москва ,22 - 25 ноября 2010 г.);

• международная конференция по физики ядерных реакторов «PHYSOR» (г. Ноксвилл, Теннесси, США, 15-20 апреля 2012 г.);

• научная сессия НИЯУ МИФИ (г. Москва, 1-6 февраля 2013 г.);

• международная конференция по математическому моделированию и расчету ядерных реакторов «М&С» (г. Сан-Валли, Айдахо, США, 5 — 9 мая 2013 г.);

• межведомственный ежегодный семинар по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «Нейтроника-2013» (г. Обнинск, 6-8 ноября 2013 г.);

• 11-ая Курчатовская молодежная научная школа (г. Москва, 12-15 ноября 2013 г.).

Личный вклад автора.

Диссертант является соавтором научных работ по теме исследования и все основные результаты диссертации получены при непосредственном участии автора, а именно:

• нестационарные уравнения Mill и расчетные алгоритмы, реализованные в созданных кодах;

• разработанный программный комплекс SUHAM-TD за исключением программ РАЦИЯ, DICPN;

• верификационные исследования разработанного алгоритма и программ;

• созданный нестационарный тест C5G7-TD и его расчет по программе SUHAM-TD.

Публикации.

Список основных публикаций приведен в конце автореферата. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 122 наименований и пяти приложений, содержит 171 страницу, 66 таблиц и 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обозначаются предпосылки к разработке программы для моделирования нестационарного уравнения переноса нейтронов на основе метода поверхностных гармоник. Отмечаются основные факторы, влияющие на скорость проведения такого моделирования. Предлагается рассматривать метод поверхностных гармоник как основу для кода, позволяющего проводить нестационарный расчет без диффузионного приближения и пространственной гомогенизации. Отмечается недостаток бенчмарков в существующем наборе тестовых задач для проведения верификации таких кодов.

Первая глава посвящена анализу методов и программ, используемых для решения нестационарного группового уравнения переноса нейтронов с запаздывающими нейтронами. Так как решению нестационарной задачи предшествует решение стационарной задачи, то проводится обзор методов решения стационарной формы уравнения переноса нейтронов. При этом внимание уделяется только методам, принадлежащих, как и МПГ, к классу проекционно-сеточных методов, что позволяет рассмотреть метод поверхностных гармоник в совокупности с методами из этого класса. Приводится описание основ МПГ и его текущей реализации. Приводится краткий анализ работ по нестационарным уравнениям МПГ. Также рассматриваются методы решения нестационарного уравнения переноса и наиболее известные современные нейтронно-физические

программы, проводящие пространственно-временные расчеты переходных процессов в ядерном реакторе.

Одна из основных идей МПГ, а именно поиск решения краевой задачи в виде линейной комбинации пробных функций и некоторых коэффициентов, является широко распространенным подходом и реализуется в классе методов, называемых проекционными. Точное решение краевой задачи \|/(г) ищется в виде функции

ф(г), являющейся линейной комбинацией пробных или базисных функций:

/

Ч»(г) = Ф(г) = ]Гс;Ф,.(г)

I 1

где с„ - неизвестные коэффициенты, ф, (г)- пробные функции. Пробные функции должны удовлетворять граничным условиям и быть линейно независимыми.

Проекционно-сеточные методы, являются своего рода синтезом проекционных и разностных методов. Их преимущество заключается в том, что они приводят к системам уравнений, подобным, возникающим в разностных методах (т.е. системам с незначительным числом ненулевых элементов в матрицах), но значительно меньшего размера. Для получения данных методов, достаточно в проекционных методах в качестве базисных функций брать финитные функции, т.е. функции, которые отличны от нуля лишь на небольшой части той области, на которой определено искомое решение задачи.

Вышеописанная суть проекционно-сеточных методов является одним из базовых моментов МПГ. Кратко рассматриваются основные проекционно-сеточные методы, нашедшие применение в нейтронно-физических расчетах ядерных реакторов, а именно метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод конечных суперэлементов Федоренко, метод матриц отклика и метод Л-матриц Кочурова. Приводится описание базовых принципов МПГ и краткое описание программ вШАМ и 8У8, в которых он реализован. Отмечено, что метод поверхностных гармоник, можно рассматривать как один из наиболее разработанных проекционно-сеточных методов для решения стационарного уравнения переноса нейтронов.

Кратко рассмотрены работы, посвященные получению нестационарных уравнений МПГ. Особо следует отметить, что ни в одной из этих работ полученные в них уравнения не были реализованы в расчетных программах и верифицированы, что является необходимым моментом для их полной достоверности.

Рассмотрены наиболее популярные методы решения нестационарного уравнения переноса нейтронов: полностью явный метод, полностью неявный метод, 0-метод, метод переменных направлений, улучшенный квазистатический метод и БСМ метод. Отмечено, что безусловно устойчивым и при этом одним из наиболее простых в реализации подходов для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов является полностью неявная схема.

Далее кратко рассмотрены программы для проведения нестационарного временного расчета без диффузионного приближения. Исторически, из-за ограниченных возможностей вычислительных технологий на ранних этапах развития атомной науки, нейтронные переходные процессы описывались в значительной степени упрощенно, с использованием 1-Б подходов, либо с использованием уравнений точечной кинетики. Со значительным ростом

вычислительных возможностей компьютерной техники в течение второй половины XX века и развитием вычислительных алгоритмов были разработаны диффузионные коды для решения пространственно-временного группового уравнения переноса нейтронов с запаздывающими нейтронами.

Одними из первых программ, разработанных для решения пространственно-временного уравнения переноса нейтронов, были программы TIMEX и TRANZIT для 1-D и 2-D геометрий, созданные в начале 70-х годов. На текущий момент уравнение переноса нейтронов, как правило, применяется в основном в стационарном расчете, по причине высоких вычислительных затрат для нестационарных задач даже на современных компьютерах. Вместе с тем, растущая необходимость применения уравнения переноса нейтронов в расчете переходных процессов, особенно ввиду строгих стандартов безопасности, предъявляемых к новым разрабатываемым реакторам, привела к созданию ряда современных программных комплексов, позволяющих решать пространственно-временное уравнение переноса нейтронов с запаздывающими нейтронами. Количество таких кодов на данный момент довольно ограниченно. В качестве примера таких кодов можно назвать DORT-TD, TORT-TD, PARTISN, EVENT и BARS. Программы DORT-TD, TORT-TD, PARTISN используют для решения пространственно-временного уравнения переноса нейтронов метод дискретных ординат, программа EVENT - метод конечных элементов, а программа BARS - метод Л-матриц.

Во второй главе представлен подробный вывод двумерных конечно-разностных нестационарных уравнения метода поверхностных гармоник для трех и четырех пробных матриц в квадратной решетке блоков, а также представлены одномерные уравнения для плоской геометрии. Уравнения получены традиционным для Mill' методом минимизации невязки. Основываясь на полностью неявной схеме Эйлера, разработана итерационная схема решения полученных уравнений для трех пробных матриц.

Полученные нестационарные двумерные уравнения МПГ для четырех пробных матриц имеют вид:

| (v£, ^ х»3)(0+f см (')] " А„х<3»«) + s®xf(0+s<3' (0 = о

• sf'(/) = Л,х™(0 s<3)(0 = -A,«M0

f (0 = ~hc% (O+P^MV = 0; з. =-(фГ("Г |фГ(')(г)у,„„ф1')('-)^Г), /= 0;3 (если 1=0, то / =0, если 1=3, то /'=1).

2 vt

^^(фГ'-ФП"1, и

п

с''*(о=(Ф ;тТ К»"^ ,

к,

у,

" У-1 « у-1

о^^ФГГ1.

^^(фГ-РГМ0'-Ымф^-ФГ'М3',

- 1-ая пробная матрица в к-ой ячейке, 5 - длина грани ячейки, - /-ая амплитуда, Л - шаг ячейки (в данном случае совпадает с Б), 2руГ(г) - групповой вектор-строка, каждый элемент которого определяется как

Уравнения для трех пробных матриц имеют вид:

^^ | Ф. о + Й^С« м| - А„Ф,(0 + (0 = о

А , Э/

с<>) = -^с<°>(0 + р<><°40

Итерационная схема для решения уравнений с тремя пробными матрицами получена используя полностью неявную схему Эйлера. Для дискретизации временных производных используется аппроксимация первого порядка:

Л к Д/, ' Л Л/,

В итоге получена система линейных алгебраических уравнений М(/,)Ф(«. ) = §(/_,), где матрица М(/,) и вектор 8(?гЧ) имеют вид

1 5 Д/. 0 ^ ' ^

Начальное условие для С™(/)

_I_с(0)Гг ">

1 + ДгД,

1+Дг х,

У

Блок-схема процесса решения нестационарных уравнений МПГ представлена на рисунке 1. Временная точка -последняя временная точка расчета.

Рисунок 1 — Блок-схема процесса решения нестационарных уравнений МПГ

На первом этапе данной работы проводился вывод нестационарных уравнений МПГ для одномерной плоской геометрии. Данная геометрия интересна тем, что в плоской одномерной ячейке возможны только две пробные матрицы -симметричная и антисимметричная . Таким образом, набор пробных групповых функций образует полную систему решений. Как результат, в этой геометрии проще исследовать основные особенности применения МПГ для нестационарного случая, не отвлекаясь на возможную недостаточность пробных решений. Процедура получения уравнений аналогична двумерному случаю. Полученные одномерные уравнения МПГ имеют вид

vL°>, (/)+ю - (о+£<0)Ф* С)=о,

at hdtj

4 С (0=-ЬС<°> (г)+РГ (ОФ<0) (О,

vZ 0 + f С<'> (/) - А.ФДО + «'(О = О, Отметим, что в одномерных уравнениях

h

п

Первая система уравнений является основной системой конечно-разностных уравнений МПГ для пространственной кинетики в одномерной геометрии. Вторая система уравнений решается только в том случае, если необходимо восстановить ход функций распределения нейтронов и предшественников запаздывающих нейтронов внутри ячеек.

В третьей главе представлено описание разработанного программного комплекса SUHAM-TD и его верификация. В данном коде реализованы двумерные нестационарные уравнения МПГ для трех пробных матриц для квадратной решетки блоков и одномерные нестационарные уравнения МПГ для плоской геометрии. SUHAM-TD позволяет проводить нестационарные расчеты без использования диффузионного приближения и пространственной гомогенизации. Проведена верификация полученных уравнений и комплекса SUHAM-TD на ряде классических бенчмарков BSS-6, PHWR, TWIGL (диффузионный и транспортный варианты) и модифицированный 8-А1.

В качестве составных частей SUHAM-TD следует отметить следующие модули, реализующие метод поверхностных гармоник для диффузионного группового уравнения:

• SUHAMD-PL-1D-SHM для одномерной плоской геометрии в стационарном случае;

• SUHAMD-TD-PL-1D-SHM для одномерной плоской геометрии в нестационарном случае (использует результаты работы SUHAMD-PL-1D-SHM);

• SUHAMD-SQ-2D-SHM для квадратной решетки блоков в двумерной геометрии в декартовых координатах в стационарном случае;

• SUHAMD-TD-SQ-2D-SHM для квадратной решетки блоков в двумерной геометрии в декартовых координатах в нестационарном случае (использует результаты работы SUHAMD-SQ-2D-SHM).

Программы SUHAMD-SQ-2D-SHM и SUHAMD-TD-SQ-2D-SHM прошли государственную регистрацию.

В рамках комплекса SUHAM-TD созданы также диффузионные модули, реализующие классический метод конечных разностей, которые имеют аналогичное наименование, за исключением трех последних букв (они заменяются на FDM (Finite-Difference Method)), например SUHAMD-TD-SQ-2D-FDM. Область применения этих модулей аналогична.

Отметим также модули комплекса SUHAM-TD, проводящие расчеты без диффузионного приближения методом поверхностных гармоник:

• SUHAM-SQ-2D-SHM для квадратной решетки блоков в двумерной геометрии в декартовых координатах в стационарном случае;

• SUHAM-TD-SQ-2D-SHM для квадратной решетки блоков в двумерной геометрии в декартовых координатах в нестационарном случае (использует результаты работы SUHAM-SQ-2D-SHM).

Как видно, SUHAM-TD позволяет проводить расчеты, как с использованием диффузионного приближения, так и без него. Здесь важной чертой является то, что уравнения МПГ инвариантны по отношению к исходным уравнениям, из которых они получены, а именно, к уравнению переноса нейтронов и диффузионному уравнению и факт использования диффузионного приближения определяется только использованием его в расчете пробных матриц. Для получения диффузионных пробных матриц SUHAM-TD использует собственные процедуры, а для расчета пробных матриц без диффузионного приближения - программы РАЦИЯ и DICPN. Программа РАЦИЯ используется для расчета нулевой пробной матрицы методом поверхностных псевдоисточников в Сз-приближении. Программа DICPN применяется для получения первой и второй пробных матриц методом сферических гармоник в Р2-приближении. Также отметим, что факт использования процедуры пространственной гомогенизации определяется только программами расчета пробных матриц. Программы РАЦИЯ и DICPN не используют данную процедуру.

Программа SUHAM-TD разрабатывается для произвольного числа энергетических групп, групп запаздывающих нейтронов. Требование, которое накладывает МПГ на рассчитываемую среду — периодичность системы, присуще большинству современных ядерных реакторов.

Верификация программного комплекса SUHAM-TD проводилась на ряде классических бенчмарков, характеризующихся отсутствием неопределенности в начальных данных и отсутствием обратных связей. Этот факт дает возможность выделить методическую погрешность МПГ, реализованного в SUHAM-TD.

Важным фактом при проведении верификации SUHAM-TD является соблюдение «чистоты эксперимента» в плане сравнения вычислительных затрат. Для этого в рамках SUHAM-TD были специально разработаны программы проводящие расчеты классическим конечно-разностным методом (МКР или FDM). Для сравнения вычислительных затрат МПГ и МКР вычисления по SUHAM-TD проводились с одинаковыми критериями точности и способами организации итераций (например, во всех программах матрицы обращаются с помощью метода верхней релаксации, везде используется полностью неявная схема). Также в программах не применяются какие-либо методы ускорения.

Далее кратко рассмотрим результаты верификации. Расчеты, проведенные программным комплексом SUHAM-TD с помощью традиционного конечно-разностного метода, будем обозначать SUHAM-FDM (Finite-Difference Method), а расчеты, проведенные с помощью МПГ - SUHAM-SHM (Surface Harmonics Method).

Тест BSS-6. Для верификации полученных одномерных уравнений был выбран одномерный тест BSS-6 (рисунок 2). В этом тесте описана трехзонная размножающая среда с граничными условиями в виде нулевых потоков на обеих границах. Для гомогенных областей этого теста в двухгрупповом приближении

задан полный набор макроконстант. Запаздывающие нейтроны представлены в шести группах.

Зона 1

Зона 1

Зона 3

40 см

160 см

40 см

Рисунок 2 - Геометрия теста BSS-6

Рассматривались следующие сценарии ввода реактивности:

• А1 - сечение поглощения нейтронов в первой зоне во второй энергетической группе линейно увеличивается на 3% в течение первой секунды;

• А2 - сечение поглощения нейтронов в первой зоне во второй энергетической группе линейно уменьшается на 1% в течение первой секунды;

• A3 - сечение поглощения нейтронов в первой зоне во второй энергетической группе линейно уменьшается на 5% в течение первой 0,01 секунды;

• А4 - сечение поглощения нейтронов в первой зоне во второй энергетической группе линейно уменьшается на 5% в течение первой 0,01 секунды, при этом скорости нейтронов на два порядка больше.

В дополнении к этим тестам был проведен расчет теста АО (отсутствует в исходном описании), представляющего собой задачу аналогичную А1, но с возмущением в 1 и 3 зонах (симметричный тест). Динамическое поведение исследуется на интервале 0 < t < 4 с для всех рассматриваемых случаев.

Расчет данного бенчмарка проводился с помощью SUHAM-TD с использованием Mill и МКР при различных шагах пространственной и временной сетки. В таблице 1 приведены значения максимальных отклонений зонных мощностей (зоны представлены на рисунке 2), полученных в расчете SUHAM-SHM, от значений, полученных в расчете SUHAM-FDM при одинаковых значениях расчетного шага по времени At с пространственными шагами h = 0,25 см, 11=2 см. Расчет данного теста продемонстрировал незначительные относительные отклонения зонных мощностей и потоков нейтронов. На рисунках 3 и 4 представлены результаты расчета с помощью программного комплекса SUHAM-TD вариантов АО и А1. Величины отклонений плотности потока нейтронов, полученных с помощью Mill' от величин, полученных с помощью МКР, представлены в таблице 2.

Таблица 1 — Максимальные значения среди относительных отклонений зонных мощностей 8Р„ полученных в расчетах SUHAM-SHM от значений в расчетах

At, с АО А1 А2

ю-4 4,ЗЕ-02 3,8Е-02 7,6Е-02

10"J 4,2Е-02 3,8Е-02 7,5Е-02

101 4,2Е-02 4,0Е-02 7,5Е-02

Ю-1 4,2Е-02 4,0Е-02 7,6Е-02

Таблица 2 - Максимальные значения RMS и относительных отклонений локальных потоков, полученных в расчетах SUHAM-SHM от значений в расчетах SUHAM-

At, с АО А1 А2

RMS*, % 3,7Е-02 2,7Е-02 5,4Е-02

тах5ф(/)|, % 2ДЕ-01 1.9Е-01 1,ЗЕ-01

*RMS — среднеквадратичное отклонение

120 X см

Рисунок 3 - Тест ВБЗ-б-АО. Пространственное распределение потоков в расчете 8иНАМ-8НМ - первая группа (слева), вторая группа (справа)

Рисунок 4 - Тест В88-6-А1. Пространственное распределение потоков в расчете ЗТШАМ-ЗНМ - первая группа (слева), вторая группа (справа)

Тест РШУЛ. Одним из тестов, на котором проводилась верификация двумерных уравнений, является РШУП бенчмарк. Данная задача представляет собой идеализированное представление реактора САЖЩ, где переходный процесс моделирует аварию с потерей теплоносителя с последующим вводом поглощающих стержней. Тест сформулирован для расчётной модели, представляющей собой четыре параллельно расположенные зоны одинакового размера (рисунок 5). Граничные условия представлены в виде нулевого потока на

всех четырёх границах. Энергетическое распределение нейтронов представлено в данной задаче в виде двух энергетических групп. Запаздывающие нейтроны в задаче представлены в двух вариантах: одна группа (вариант РН\\Т1-1) и шесть групп (вариант РН\\Т1-6).

В ходе серии стационарных расчетов посредством МКР и МПГ была выбрана сетка для проведения нестационарных расчетов с параметрами И = 4 см и Н— 20 см. При данных параметрах кф равен 1,007412 и 1,007429 для МКР и МПГ соответственно.

3

200 200 <-X->1

200

|< >

200

<-Я

0,5

- - виНАМ-РОМ, 1 группа » ЗиНАМ-ЭИМ. 1 группа

— БиНАМ-РОМ, 6 групп • виНАМ-БНИ, 6 групп

Рисунок 5 - Геометрия теста РН\\Т1

' Ч ' 1 1 ' ! 1 1 1 ! I 1 1 ' 1 I ' 1 ' ' I ' ' 1 1 I 0 0.5 1 1.5 2 25 3 Время, с

Рисунок 6 - Изменение мощности в тесте РИМ/Л

Проведен анализ сходимости МПГ в зависимости от временного шага. Проанализировав отличие мощности, полученной с помощью МПГ, при шагах временной сетки 10"4, 10"3 и 10"2 с по сравнению с результатами для Аг = 10"5 с, получено, что погрешность падает с уменьшением шага временной сетки, что свидетельствует о сходимости МПГ с уменьшением временного шага. Для случая с одной группой запаздывающих нейтронов отклонение мощности между расчётами с временными шагами А/ = 10"5 с и А/ = 10^ с составило -5,6-10"3 %, а для случая с шестью группами запаздывающих нейтронов равно 8,1-10"3 %.

На рисунке 6 представлены графики изменения мощности с течением времени для обоих вариантов теста при шаге А/ = 10"5 с временного расчёта. Максимальное относительное отклонение составляет -0,75 % для случая одной группы запаздывающих нейтронов и —0,84 % для случая шести групп запаздывающих нейтронов.

Тест ТЛУЮЬ. Другим рассмотренным тестом является Т\УГСЬ. Данная задача представляет собой идеализированное представление реактора типа 1ЖЯ с квадратной кассетой с заданными нейтронно-физическими константами физических зон в двух энергетических группах и заданным изменением сечений в течение времени. Расчётная модель с граничными условиями представлена на рисунке 7. Задана одна эффективная группа запаздывающих нейтронов. В тесте представлены два сценария развития переходного процесса: возмущение скачком

(вариант Т\УЮЬ-8) и линейное возмущение (вариант ТиТОЬ-Я) посредством ввода положительной реактивности.

вакуумное условие условие отражения

Рисунок 7 — Геометрия теста TWIGL

В ходе серии стационарных расчетов посредством МКР и МПГ была выбрана сетка для проведения нестационарных расчетов с параметрами h = 0,8 см и Н = 4 см. При данных параметрах keff равен 0,913187 и 0,913204 для МКР и МПГ соответственно.

Проведен анализ сходимости МПГ в зависимости от временного шага. Проанализировав отличие мощности, полученной с помощью МПГ, при шагах временной сетки 10"4 с, 10~3 с по сравнению с результатами для At = 10~5 с, получили, что погрешность падает с уменьшением шага временной сетки, что свидетельствует о сходимости МПГ.

Расчеты по МПГ с различными шагами временной сетки сопоставлены с расчетом по SUHAM-TD с помощью МКР. при шаге временной сетки 10"5 с (таблица 3). На рисунке 8 представлены результаты расчета теста TWIGL различными программами. Важно отметить, что результаты расчета хорошо согласуются с другими программными комплексами.

Таблица 3 - Максимальные относительные отклонения мощности SUHAM-SHM шах(8Р(0) от расчета SUHAM-SHM (At = 10"5 с), %

Вариант A t= 10"5 с Ai = 10"4 с Ai = 10"3 с

TWIGL-R 4,72Е-02 4,78Е-02 5,59Е-02

TWIGL-S -9.54Е-02 -1,41Е-01 -9,81Е-01

Величина относительного максимального относительного отклонения для плотности потока нейтронов в случае TWIGL-R практически постоянна в течение расчетного времени и равна 0,55 % и 3,3% для быстрой и тепловой групп соответственно. Среднеквадратичное отклонение RMS равно 0,22 % и 1,02 % для быстрой и тепловой групп соответственно.

0,3 0.4

с О 0,1 0,2 0.3

Время, с

Рисунок 8 — Изменение мощности в тесте Т\УЮЬ - линейное возмущение (слева), мгновенное возмущение (справа)

Важно отметить, что все результаты по МИГ получены при меньших вычислительных затратах чем МКЭ. Данное сравнение проводилось между модулями SUHAM-TD, позволяющими обеспечить чистоту данного сравнения, посредством одинаковой организации итерационного процесса. В таблице 4 представлены относительные вычислительные затраты для тестов PHWR и TWIGL на ранее указанных пространственных сетках. Видно, что вычислительные затраты для Mill' значительно меньше, чем для прямого конечно-разностного моделирования. Следует отметить, что показатели в таблице в значительной мере зависят от шага временной сетки.

Данный факт объясняется следующей причиной. С уменьшением временного шага обращение матрицы при решении реакторного уравнения производится быстрее как в случае прямого конечно-разностного моделирования, так и в случае МИГ по причине меньшего возмущения элементов в матрице. Однако в случае Mill часть времени уходит на расчёт пробных матриц, продолжительность которого, как показывает расчёт этих тестов, слабо зависит от размера временного шага.

Таблица 4 — Отношение времени расчета по МКР к времени расчета по МИГ (SUHAM-TD), отн. ед.

А/, с PHWR-1 PHWR-6 TWIGL-R TWIGL-S

10"J 32,3 22,3 40,1 35,9

ю-4 10,3 9,8 11,2 9,6

ю-5 4,5 1,9 3,5 4,2

Таким образом, время на расчёт пробных матриц возрастает примерно во столько, во сколько увеличивается количество временных точек (при условии, что в каждой временной точке производится возмущение в каждом типе ячейки). Это ведёт к увеличению доли всего расчётного времени на расчёт пробных матриц. Например, в тесте ТЛУЮЬ в течение первых 0,2 с при шаге Дг = 10"3 с отношение

времени на расчёт пробных матриц к полному времени расчёта составляет 9 %, а при шагах Д£ = 10"4 с и Д/ = 10"5 с оно составляет 35 % и 49 %, соответственно.

Тест 8-А1. Модифицированный вариант теста 8-А1 ("БосЫв") также был использован для верификации ЭиНАМ-ТВ. Интерес к расчету данного теста вызван фактом, что он является геометрически более масштабным (рисунок 9), чем рассмотренные ранее тесты. В тесте представлен следующий сценарий развития переходного процесса: в зонах 3 и 7 тепловое сечение поглощения линейно возрастает на 3%, а в зоне 11 линейно уменьшается на 3% в течение 1 с. Переходный процесс исследуется в интервале 0 < (< 4 с.

уА

525 487,5 450

337,5

187,5

75 37,5

0 40 120 160 200 240 г

Рисунок 9 — Геометрия модифицированного теста 8-А1

2

3 4 5 6

7 8 9 10 16

11 12 13

14

МПГ продемонстрировал незначительные отклонения от прямого конечно-разностного моделирования, а именно на сетке И = 1,25 см, Н = 2,5 см, Ы = 10"3 с максимальное относительное отклонение мощности, рассчитанной по МПГ от мощности, рассчитанной по МКР, составило -4,5Е-02%.

Транспортный тест Т\УЮЬ. Для верификации модулей позволяющих проводить расчет без использования диффузионного приближения использовался транспортный вариант теста Т\\ТОЬ. Транспортный вариант отличается от диффузионного только набором констант, сохраняя геометрию, граничные условия, параметры запаздывающих нейтронов и законы возмущения. Переход от транспортного варианта теста к диффузионному можно осуществить по формуле

°е 3(2 )

считая, что =0,01 см"1.

Сравнение результатов по БиНАМ-ТТ) проводилось с результатами по методу характеристик и методу дискретных ординат. Из полученных результатов можно отметить хорошее согласование со сторонними кодами. На рисунке 10 представлены результаты расчета теста Т\¥ЮЬ различными программами.

Также необходимо отметить, что результаты расчета транспортного теста отличаются от результатов диффузионного теста. В таблице 5 приведена относительная мощность в разных временных точках, полученная по ЗИНАМ-ТО методом поверхностных гармоник, для диффузионного и транспортного вариантов теста Т\\'ЮЬ-1< при параметрах

А? = 10"5 с,Н=4 см.

Рисунок 10 - Изменение мощности в тесте Т\\ТСЬ (транспортный) - линейное возмущение (слева), мгновенное возмущение (справа)

Таблица 5 — Относительная мощность для диффузионного и транспортного вариантов теста ТХ^ЮЬ-Я, отн. ед.

t, с Диффузионный Транспортный

0,0 1,0000 1,0000

0,1 1,3083 1,3107

0,2 1,9592 1,9711

0,3 2,0746 2,0893

0,4 2,0919 2,1070

0,5 2,1094 2,1248

Четвертая глава посвящена разработке и расчету пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD для тестирования нестационарных кинетических нейтронно-физических кодов. На основе стационарного бенчмарка C5G7

(Benchmark on deterministic transport calculations without spatial homogenisation), создан бенчмарк C5G7-TD путем подготовки кинетических нейтронно-физических характеристик для тестирования нейтронно-физических пространственно-временных кодов. Представлены результаты расчета бенчмарка C5G7-TD с помощью программного комплекса SUHAM-TD.

Современный нестационарный нейтронно-физический код должен базироваться на решении уравнений пространственной кинетики без диффузионного приближения и пространственной гомогенизации в полномасштабной модели активной зоны. Важным вопросом в разработке такого кода является его верификация. Общей практикой для такой верификации является кросс-верификация, которая заключается в расчете определенных задач (бенчмарков) различными кодами и методами. Однако проведение такой процедуры осложняется следующей проблемой. На сегодняшний день набор представленных в литературе пространственно-временных бенчмарков с заданными групповыми нейтронно-физическими константами содержит своего рода пробел. С одной стороны, существует набор простых диффузионных бенчмарков. Расчетная область в таких задачах представляет собой несколько гомогенных зон описанных, как правило, малогрупповыми (зачастую только две группы) диффузионными нейтронно-физическими макроконстантами. К таким бенчмаркам можно отнести рассмотренные тесты: BSS-6, 8-А1, TWIGL , PHWR, а также, например, тест OBLONG и др. Главная их особенность в том, что они просты, и при этом они сохраняют актуальность и в сегодняшние дни, находя свое применение, как правило, для отладки программ на начальном этапе разработки. Однако, такие тесты не позволяют провести верификацию кодов, проводящих расчеты без пространственной гомогенизации и использования диффузионного приближения.

С другой стороны, имеется набор значительно более «сложных» бенчмарков, которые описывают гетерогенную структуру среды, в качестве характеристик материалов содержат концентрации нуклидов, и, как правило, включают в себя характеристики обратных связей и т.д. К этой группе бенчмарков можно отнести PWR M0X/U02 core transient benchmark, PBMR coupled neutronics/thermal-hydraulics transient benchmark the PBMR-400 core design, Prismatic coupled neutronics/thermal fluids transient benchmark of MHTGR-350 MW core design и др. Результаты их расчетов содержат дополнительные неопределенности, связанные с неопределенностями ядерных данных, процедурой подготовки групповых сечений и погрешностью сторонних кодов (например, тепло-гидравлических кодов), применяемых для учета обратных связей и др. Этот факт не дает возможности выделить методическую погрешность метода, заложенного в расчетную программу.

Как результат вышесказанного, наличие бенчмарка, описывающего гетерогенную среду, и содержащего заданные нейтронно-физические макроконстанты отдельных материалов для решения уравнения переноса нейтронов без диффузионного приближения и обратных связей, могло бы дать больше возможностей для верификации непосредственно метода решения нестационарного уравнения переноса нейтронов. Задача такого рода позволяет выделить методическую составляющую погрешности, поскольку результаты

расчета не содержат других неопределенностей. Также такой тест может быть полезен для исследования величины эффекта гомогенизации и факта применения диффузионного приближения в пространственно-временном расчете.

В качестве базовой основы для создания такого теста был выбран хорошо известный стационарный тест C5G7. Расчетная среда (рисунки 9-11) представляет собой четыре тепловыделяющих сборки (две сборки с МОХ топливом и две с U02) и слой замедлителя, располагающийся справа и снизу от сборок. Граничные условия для среды представлены в виде вакуума справа и снизу и в виде отражения сверху и слева. В бенчмарке представлены нейтронно-физические характеристики для материалов в семи энергетических группах. Данный бенчмарк был специально разработан для исследования возможностей современных детерминистических кодов решающих уравнение переноса без использования пространственной гомогенизации. Тест предназначен для решения уравнения переноса без диффузионного приближения.

Отражение

ио2 МОХ

J

i

мох ио2

3 4

Замедлитель

Рисунок 10 — Картограмма топливных сборок теста C5G7

Вакуум

Рисунок 9 — Геометрия теста C5G7

Щ - Зона 1

I | - Зона 2 (замедлитель)

■ Топливо

■ Zr

В А!

□ Замедлитель

□ Вакуум

Рисунок 11 - Схема ячейки Рисунок 12 - Модель топливной ячейки

бенчмарка C5G7 для подготовки констант

Одной из причин для выбора теста C5G7 в качестве базы для нового бенчмарка, является наличие описания среды, на основе которой готовились константы материалов для теста C5G7 в виде концентраций материалов и описание геометрии исходных ячеек (рисунок 12). Именно эти характеристики

использовались автором для подготовки кинетических параметров среды, необходимых для пополнения бенчмарка C5G7 до бенчмарка C5G7-TD: доли запаздывающих нейтронов, постоянные распада предшественников запаздывающих нейтронов, спектры запаздывающих нейтронов, среднегрупповые скорости нейтронов.

В соответствии с логикой теста C5G7, в основу процедуры подготовки нестационарных констант среды было заложено приближение, состоящее в использовании зависящих от физической зоны параметров запаздывающих нейтронов при отказе от их явной нуклидной зависимости с последовательным переходом к макросечениям. Расчет ячеек для подготовки констант проводился по программе WIMS-D.

В качестве законов ввода реактивности рассмотрен закон в виде возмущения сечений поглощения и рассеяния в каналах направляющих труб в различных TBC бенчмарка, что призвано смоделировать движение стержней регулирования в каналах.

(/) = 0,01 • (z*s - Z^ ) • / + ,0 < t < le . ZXig(i) = -0,01 ■ (z?s -Z%)t + °>02 'Kg + °'98 'Д -2c

где Z^- макросечение взаимодействия для направляющего канала, Z*g-макросечение взаимодействия для стержня поглощения. Данный закон используется для сечения поглощения и матрицы рассеяния во всех семи энергетических группах. Следует отметить, что в ячейке возмущается только зона 1 (рисунок 11).

Возмущение сечений в ячейках направляющих стержней проводилось в различных TBC бенчмарка. На рисунке 13 отмечены три группы ячеек, в которых проводилось возмущение сечений. В зависимости от того, в какой группе ячеек происходит возмущение, используются дополнительные обозначения бенчмарка: C5G7-TD-1, C5G7-TD-2 и C5G7-TD-3.

Предложенные законы ввода реактивности моделируют ввод стержней регулирования на некоторую величину внутрь различных групп направляющих каналов, обладающих различной ценностью в плане участия в поддержании цепной реакции деления в среде, с последующим их извлечением.

Следует отметить, что, предложенные законы ввода реактивности нужно рассматривать как одни из большого числа возможных, полученный набор констант позволяет создавать различные двумерные и трехмерные бенчмарки, различающиеся законом ввода реактивности. Данный факт обеспечивает возможность тестирования различных нейтронно-физических пространственно-временных кодов, используя тест C5G7-TD для разных законов ввода реактивности.

Результаты моделирования предложенного теста средствами SUHAM-TD представлены на рисунке 14. На рисунках 15, 16 и 17 представлены графики распределения нормированного деления по ячейкам в сечениях A-A (C5G7-TD-1 и C5G7-TD-2) и Б-Б (C5G7-TD-3) (см. рисунок 13). На рисунке 18 на примере теста C5G7-TD-1 представлены графики распределения нормированного деления по TBC.

1 2 3 4 6 А 6

| 1

6 7 в 9 10 11 12 13 14 16 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 ■

■

1

1

■ ■

■ 1 1 ■

■

■

А Ь

■ С507-ТТ>1 ■ С50-П>2 0 С507-ТБ-3 Рисунок 13 — Ячейки возмущения для трех вариантов теста С507-ТГ)

I, с

Рисунок 14 - Изменение мощности с течением времени для теста С507-'ГО

1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425262728293031323334

Номер ячейки

Рисунок 15 - C5G7-TD-1. Распределение нормированного деления по ячейкам

(сечение А-А)

Номер ячейки

Рисунок 16 - C5G7-TD-2. Распределение нормированного деления по ячейкам

(сечение А-А)

0.9 0.8 0.7

1

| 0.4 I 0.3

S. 0.2

О

0.1 о

■ t = 0 с fflt= Юс Ш = 2с Qt = 0.5 с □ t = 1 с

2 3 4 5 б 7 S 9 10111213141516171819202122232425262728293031323334 Номер ячейки

Рисунок 17 - C5G7-TD-3. Распределение нормированного деления по ячейкам

(сечение Б-Б)

ЕЭ1 Q2

О 0.5 1 2 10

Время, с

Рисунок 18 - C5G7-TD-1. Распределение нормированного деления по TBC (номера TBC соответствуют рисунку 9)

Выводы.

Современные требования безопасности к ядерным реакторам все больше ужесточаются. Как следствие этого возрастают требования к качеству исследовательских и проектных расчетов и, в частности, к нестационарному нейтронно-физическому расчету. Исторически данный тип расчета проводится программами, использующими ряд серьезных приближений, а именно: диффузионное приближение, расчет в малом числе энергетических групп,

пространственная гомогенизация. Причиной использования этих приближений являются большие вычислительные затраты. Вместе с тем ряд исследователей указывают на возможность улучшения результатов посредством решения уравнения переноса нейтронов, особенно при анализе аварийных ситуаций.

В данной работе в качестве пути по сокращению временных затрат в нестационарных нейтронно-физических расчетах без вышеперечисленных приближений предложено использовать метод поверхностных гармоник (МПГ) для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов с запаздывающими нейтронами. Данный выбор сделан на основе многолетнего опыта использования МПГ в стационарных расчетах в НИЦ «Курчатовский институт» и демонстрации преимущества по вычислительным затратам в сравнении с детерминистическими методами при сохранении качества результатов на уровне этих подходов. Можно сделать следующие выводы:

• Предложены алгоритмы решения нестационарных уравнений метода поверхностных гармоник с тремя пробными матрицами на основе полностью неявной схемы. Данные уравнения являются математической моделью для описания нейтронно-физических процессов в ядерном реакторе, учитывающей особенности нейтронно-физических реакторных задач.

• Разработаны диффузионные программы SUHAMD-SQ-2D-SHM и SUHAMD-TD-SQ-2D-SHM, как часть программного комплекса SUHAM-TD, реализующие полученные уравнения для трех пробных матриц.

• Проведена верификация разработанных программ с использованием тестов TWIGL, PHWR, модифицированного 8-А1. Также проведена верификация их одномерных аналогов на тесте BSS-6.

• В ходе верификации МПГ продемонстрировал незначительные отклонения от классического конечно-разностного метода.

• Продемонстрирован потенциал метода в смысле точности и вычислительных затрат. В дальнейшем, результаты этой работы могут быть использованы для демонстрации полных возможностей метода посредством оптимизации алгоритмов и программы и использования параллельных вычислений. МПГ продемонстрировал значительно меньшие вычислительные затраты по сравнению с классическим конечно-разностным методом. Показан рост доли времени на расчет пробных матриц с уменьшением расчетного шага по времени.

• Посредством интеграции программ для расчета ячеек РАЦИЯ и DICPN созданы недиффузионные программы SUHAM-SQ-2D-SHM и SUHAM-TD-SQ-2D-SHM реализующие МПГ.

• Проведена верификация программ SUHAM-SQ-2D-SHM и SUHAM-TD-SQ-2D-SHM на транспортном варианте теста TWIGL.

• Путем подготовки кинетических нейтронно-физических характеристик для теста C5G7, создан пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD, позволяющий проводить верификацию пространственно временных кодов без использования диффузионного приближения и пространственной гомогенизации.

• Представлены результаты расчета бенчмарка C5G7-TD средствами SUHAM-TD.

В качестве дальнейших путей развития работы можно отметить следующие:

• оптимизация временного расчета в смысле добавления ускоряющих схем,

• получение нестационарных уравнений МПГ для решения задач с треугольной решеткой блоков,

• решение трехмерных задач,

• распараллеливание расчетов,

• подключение сторонних программ для учета обратных связей,

• применение комплекса SUHAM-TD для расчета конкретных ядерных реакторов и анализа переходных процессов.

Таким образом, в диссертации разработаны алгоритмы метода поверхностных гармоник для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов в ядерных реакторах. Продемонстрирован потенциал и эффективность метода поверхностных гармоник и разработанных кодов. Совокупность выполненных работ представляет собой решение важной научной проблемы по разработке алгоритмов и расчетных программ для решения нейтронно-физических пространственно-временных задач ядерных реакторов на основе метода поверхностных гармоник для повышения надежности, точности и оперативности предсказания важнейших нейтронно-физических нестационарных характеристик ядерного реактора.

Основные публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России:

1. Бояринов В.Ф., Кондрушин А.Е., Фомиченко П.А. Уравнения метода поверхностных гармоник для решения нестационарных задач переноса нейтронов и их верификация // Вопросы атомной науки и техники, Серия: Физика ядерных реакторов, - 2012, - Вып. 2, Физика и методы расчета ядерных реакторов, — с. 18 — 27.

Версия на английском языке: Boyarinov V.F., Kondrushin А.Е., Fomichenko P.A. Equations of the Surface Harmonics Method for Solving Time-Dependent Neutron Transport Problems and Their Verification // Physics of Atomic Nuclei, — 2013,-Vol. 76,-No. 14,-P. 1631-1638.

2. Бояринов В.Ф., Кондрушин A.E., Фомиченко П.А. Двумерные уравнения метода поверхностных гармоник для решения задач пространственной нейтронной кинетики в реакторах с квадратной решеткой // Вопросы атомной науки и техники, Серия: Физика ядерных реакторов — 2013, — Вып. 4, Физика и методы расчета ядерных реакторов, — с. 4 - 16.

Материалы конференций:

1. Бояринов В.Ф., Кондрушин А.Е., Фомиченко П.А. Развитие метода поверхностных гармоник для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов. — В сб.: 8-ая Курчатовская молодежная научная школа, 22 - 25 ноября 2010 г., Москва, с. 28.

2. Boyarinov V.F., Kondrushin А.Е., Fomichenko P.A. Surface harmonics method equations for solving the time-dependent neutron transport problems and their

verification. - Proc. of the International Conference PHYSOR 2012 "Advances in Reactor Physics - Linking Research, Industry, and Education", Rnoxville, Tennesse, USA, April 15-20, 2012.

3. Бояринов В.Ф., Кондрушин A.E., Фомиченко П.А. Применение метод поверхностных гармоник для решения двумерного нестационарного уравнения переноса нейтронов. - В сб.: Научная сессия НИЯУ МИФИ, 1-6 февраля 2013 г., Москва, с. 58.

4. Boyarinov V.F., Kondrushin А.Е., Fomichenko Р.А. Surface harmonics method for two-dimensional time-dependent neutron transport problems of square-lattice nuclear reactors. - Proc. of International Conference on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering (M&C 2013), Sun Valley, Idaho, May 5-9, 2013.

5. Бояринов В.Ф., Кондрушин A.E., Фомиченко П.А. Разработка пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD для верификации нейтронных кодов. - В сб.: 11-ая Курчатовская молодежная научная школа, 12—15 ноября 2013 г., Москва, с. 22.

Подписано в печать 17.03.14. Формат 60x90/16 Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,75 Тираж 70. Заказ № 24

Отпечатано в НИЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

п/УДК 621.039.514

04201460108

Кондрушин Антон Евгеньевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ПОВЕРХНОСТНЫХ ГАРМОНИК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЙТРОННОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КИНЕТИКИ

В ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРАХ

Специальность: 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.т.н. Бояринов В.Ф.

Москва-2014

Оглавление

Введение............................................................................................4

Глава 1 Обзор литературы...................................................................12

1.1 Общие уравнения........................................................................12

1.2 Обзор проекционно-сеточных методов решения уравнения переноса нейтронов.................................................................................14

1.2.1 Метод конечных элементов....................................................15

1.2.2 Метод граничных элементов...................................................19

1.2.3 Метод конечных суперэлементов Федоренко.............................21

1.2.4 Метод матриц отклика..........................................................22

1.3 Метод поверхностных гармоник....................................................24

1.3.1 Основы метода поверхностных гармоник и определения..............24

1.3.2 Обзор программных комплексов SUHAM и SVS.........................27

1.3.3 Обзор работ по нестационарным уравнениям Mill......................30

1.4 Обзор методов решения нестационарного уравнения переноса нейтронов.................................................................................32

1.4.1 Полностью явный метод.......................................................33

1.4.2 Полностью неявный метод....................................................33

1.4.3 8-метод............................................................................34

1.4.4 Метод переменных направлений.............................................34

1.4.5 Улучшенный квазистатический метод......................................36

1.4.6 SCM метод........................................................................37

1.5 Обзор программ для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов.................................................................................38

Заключение к главе 1.......................................................................41

Глава 2 Нестационарные уравнения метода поверхностных гармоник........44

2.1 Двумерные нестационарные уравнения Mill'....................................44

2.1.1 Поверхностная невязка.........................................................45

2.1.2 Объемная невязка................................................................48

2.1.3 Вывод уравнений Mill.........................................................50

2.2 Одномерные уравнения Mill........................................................58

2.3 Итерационная схема....................................................................59

Заключение к главе 2.......................................................................61

Глава 3 Программный комплекс SUHAM-TD и его верификация...............64

3.1 Программный комплекс SUHAM-TD..............................................64

3.2 Верификация программного комплекса SUHAM-TD...........................67

3.2.1 Тест BSS-6........................................................................70

3.2.2 Тест PHWR.......................................................................81

3.2.3 Тест TWIGL......................................................................90

3.2.4 Модифицированный тест 8-А1...............................................98

3.2.5 Транспортный тест TWIGL...................................................101

Заключение к главе 3......................................................................104

Глава 4 Разработка и расчет пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD для тестирования кинетических нейтронно-физических кодов. ...107

4.1 Обзор пространственно-временных бенчмарков.....................................107

4.2 Описание бенчмарка C5G7...........................................................109

4.3 Расчет кинетических характеристик для теста C5G7-TD.....................112

4.4 Законы ввода реактивности для теста C5G7-TD.................................120

4.5 Результаты моделирования теста C5G7-TD......................................122

Заключение к главе 4......................................................................126

Заключение......................................................................................129

Обозначения....................................................................................132

Список литературы...........................................................................133

Приложение А Копии свидетельств о регистрации модулей SUHAM-TD. ...147

Приложение Б Результаты расчета теста BSS-6......................................149

Приложение В Результаты расчета теста PHWR....................................159

Приложение Г Результаты расчета теста TWIGL...................................163

Приложение Д Результаты расчета теста C5G7-TD.................................167

Введение

Развитие современной атомной энергетики требует повышенного внимания к характеристикам надежности и безопасности ядерных реакторов. Это внимание обуславливается наличием потенциальной возможности возникновения аварии и значительными затратами при строительстве атомных станций, по причине проектирования с запасом с целью предотвращения потенциально возможных аварий. Важнейшую роль в проектировании надежных, безопасных и вместе с тем экономически выгодных ядерных реакторов играет проведение исследовательских и проектных расчетов, позволяющих приблизится к оптимальному соотношению этих показателей. При этом важнейшее значение имеет проведение качественного нейтронно-физического расчета.

В последние годы все большее внимание уделяется развитию кодов, позволяющих проводить нестационарный расчет ядерного реактора. Это связано с наличием факта, что большинство существующих на данный момент нестационарных кодов содержит ряд серьезных приближений в своей нейтронно-физической составляющей на фоне высоких требований к безопасности реакторов. К таким приближениям в первую очередь относятся пространственная гомогенизация, расчет в малом числе энергетических групп, диффузионное приближение, а также применение разного рода поправок, полученных расчетно-экспериментальным путем и призванных уменьшить ошибки в моделировании по заложенной в расчет математической модели (например [1, 2]). Вместе с тем, следует также отметить, что ряд исследователей (например, [3-5]) указывает на возможность получения улучшенных результатов путем решения более универсального газокинетического уравнения, особенно для анализа безопасности. Результаты, полученные таким путем, позволили бы обрести большую уверенность в качестве получаемых результатов. Таким образом, можно заключить, что существует необходимость в создании нестационарных

нейтронно-физических программ, в алгоритмы которых не заложены вышеуказанные приближения.

Как известно, оперативность моделирования процесса переноса нейтронов главным образом зависит от сложности рассматриваемой модели (геометрические размеры, детальность описания, система приближений и т.д.), производительности вычислительной машины и метода, заложенного в основу моделирующего кода. Отказ от вышеизложенных приближений приводят к значительному усложнению математической модели и увеличению размера решаемой системы уравнений, что напрямую влияет на вычислительные затраты. Вместе с этим, несмотря на очень интенсивное развитие компьютерной техники в последние десятилетия, моделирование нестационарного процесса переноса нейтронов в полномасштабной модели ядерного реактора без вышеперечисленных приближений является трудоемкой задачей даже для современных компьютеров. Что касается методов моделирования переноса нейтронов, то наиболее широко используемые на сегодняшний день методы, такие как метод дискретных ординат, метод характеристик, метод вероятности первых столкновений, метод Монте-Карло и т.д., требуют больших вычислительных затрат. При этом, применение кода, основанного на методе, позволяющем быстро получать основные нейтронно-физические функционалы в нестационарном расчете с достаточной для практики точностью, могло бы повысить оперативность получения результатов и позволило бы применять его для сложных масштабных моделей с умеренными вычислительными затратами. Таким образом, по-прежнему является актуальной проблема развития эффективных и вместе с тем экономичных алгоритмов.

В качестве метода, который мог бы лежать в основе нейтронно-физической составляющей современного нестационарного кода, обладающего вышеизложенными характеристиками, предлагается использовать предложенный Н.И. Лалетиным [6-10] метод поверхностных гармоник (Mill').

Главной причиной для обращения к Mill стал тот факт, что данный метод, реализованный в стационарных программных комплексах SUHAM [11, 12] и

5

SVS [13], позволяет получать основные нейтронно-физические функционалы с точностью сравнимой с точностью детерминистических методов при вычислительных затратах сравнимых с затратами инженерных подходов. Данные свойства Mill проявил как при расчете классических сильно идеализированных бенчмарков, так и при расчете моделей как проектируемых (БРЕСТ-ОД-ЗОО, БН-1200 [14], ГТ-МГР [15]), так и реальных реакторов (РБМК-1000 [14], ВВЭР-1000 [16, 17]). Данный метод реализован в одно-, двух- и трехмерной геометриях [14, 17], в системах с квадратной и треугольной решеткой. Все это позволяет рассматривать Mill' как хорошо апробированный и состоявшийся метод, проявивший свои положительные черты на широком классе реакторных задач. Кроме этого, Mill' очень удобен для применения алгоритмов параллельных вычислений [18].

Для применения Mill в нестационарных задачах необходимо провести детальный математический вывод нестационарных уравнений Mill и их верификацию посредством программной реализации и расчета ряда бенчмарков.

Вышеописанная ситуация делает актуальной работу по развитию Mill' на задачи пространственно-временной кинетики, созданию алгоритмов и кода для их программной реализации, которые можно было бы рассматривать как базовое ядро для создания современного вычислительного инструмента.

Здесь следует заметить, что верификация такого кода на этапе разработки осложняется следующей проблемой. Существующий на сегодняшний день набор пространственно-временных бенчмарков содержит своего рода пробел. С одной стороны существует ряд классических диффузионных бенчмарков (например, TWIGL [19], 8-А1 [20]) представляющих собой несколько гомогенных зон и содержащих диффузионные нейтронно-физические константы в виде малогрупповых макроконстант и прочих величин. Такие тесты не позволяют провести верификацию программы, проводящей расчеты без пространственной гомогенизации и без диффузионного приближения. С другой стороны, имеется набор бенчмарков, которые описывают гетерогенную структуру среды, содержат концентрации нуклидов в качестве характеристик материалов, включают в себя

6

характеристики обратных связей и т.д. Например, к таким задачам можно отнести PWR MOX/UO2 core transient benchmark [21], PBMR coupled neutronics/thermal-hydraulics transient benchmark the PBMR-400 core design [22]. Результаты их расчетов содержат дополнительные погрешности (погрешность ядерных данных, погрешности тепло-гидравлических кодов и другие) что не позволяет выделить погрешность метода, заложенного в основу нейтронного кода.

Тест, описывающий гетерогенную среду, содержащий заданные нейтронно-физические макроконстанты материалов для решения уравнения переноса нейтронов без диффузионного приближения и обратных связей, позволил бы избежать излишних сложностей при верификации и мог бы дать больше возможностей для верификации непосредственно метода. Задача с такого рода характеристиками позволяет выделить методическую составляющую погрешности.

Исходя из вышеописанных проблем, формируется цель диссертационной работы — разработка алгоритмов и расчетных программ для решения нейтронно-физических пространственно-временных задач в ядерных реакторах на основе метода поверхностных гармоник для повышения надежности, точности и оперативности предсказания важнейших нейтронно-физических нестационарных характеристик ядерного реактора. Для достижения этой цели решены следующие задачи:

1. проведение детального вывода пространственно-временных уравнений метода поверхностных гармоник посредством классического метода минимизации невязки на основе нестационарного уравнения переноса нейтронов;

2. построение численного алгоритма решения нестационарного уравнения переноса нейтронов в одномерном и двумерном ядерном реакторе на основе полученных уравнений Mill;

3. программная реализация разработанных алгоритмов в рамках программного комплекса SUHAM-TD [23];

4. верификация созданного кода и проведение с его помощью исследований применения метода поверхностных гармоник в пространственно-временном расчете;

5. разработка нестационарного бенчмарка C5G7-TD для решения уравнения переноса на основе стационарного бенчмарка C5G7 (benchmark on deterministic transport calculations without spatial homogenization) [24] посредством получения нестационарных характеристик материалов. Проведение расчета предложенного бенчмарка средствами программного комплекса SUHAM-TD.

Научная новизна результатов, представленных в работе, состоит:

• в разработке алгоритмов и их реализации в расчетной программе SUHAM-TD для решения одномерных и двумерных конечно-разностных нестационарных уравнений Mill в ядерных реакторах с квадратной решеткой;

• в проведении верификации разработанного кода SUHAM-TD на ряде бенчмарков с демонстрацией эффективности уравнений и разработанного кода;

• в создании пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD для решения уравнения переноса на основе международного стационарного бенчмарка C5G7 с приведением результатов расчета.

Достоверность полученных результатов. Разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе SUHAM-TD и верифицированы на ряде пространственно-временных бенчмарков в одномерной и двумерной геометриях с различными сценариями ввода реактивности в систему. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами, полученными другими методами и программами, как автором, так и другими научными коллективами.

Практическая ценность полученных результатов определяется тем, что: • полученные нестационарные уравнения Mill могут быть применены для любого типа реакторов с квадратной регулярной решеткой блоков;

• разработанные алгоритмы и модули программного комплекса SUHAM-TD предлагаются в качестве базового ядра для создания современного вычислительного инструмента для анализа нейтронных переходных процессов;

• созданный пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD предоставляет возможность для кросс-верификации любых пространственно-временных кодов с возможностью исследования эффекта гомогенизации и применения диффузионного приближения в нестационарном случае.

Личный вклад автора. Диссертант является соавтором научных работ по теме исследования и все основные результаты диссертации получены при непосредственном участии автора, а именно:

• нестационарные уравнения Mill и расчетные алгоритмы, реализованные в созданных кодах;

• разработанный программный комплекс SUHAM-TD за исключением программ РАЦИЯ [25], DICPN [26];

• верификационные исследования разработанного алгоритма и программ;

• созданный нестационарный тест C5G7-TD и его расчет по программе SUHAM-TD.

На защиту выносятся

• алгоритмы решения нестационарных уравнений Mili с тремя пробными матрицами, реализованные в созданных кодах, для случая реактора с квадратной решеткой блоков;

• разработанные программы комплекса SUHAM-TD;

• результаты верификации разработанного программного комплекса;

• созданный пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на следующих российских и международных конференциях, школах и семинарах:

• межведомственный ежегодный семинар по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «Нейтроника-2010» (г. Обнинск, 26 - 28 октября 2010 г.);

• 8-ая Курчатовская молодежная научная школа (г. Москва ,22 - 25 ноября 2010 г.);

• международная конференция по физики ядерных реакторов «PHYSOR» (г. Ноксвилл, Теннесси, США, 15-20 апреля 2012 г.);

• научная сессия НИЯУ МИФИ (г. Москва, 1-6 февраля 2013 г.);

• международная конференция по математическому моделированию и расчету ядерных реакторов «М&С» (г. Сан-Валли, Айдахо, США, 5-9 мая 2013 г.);

• межведомственный ежегодный семинар по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «Нейтроника-2013» (г. Обнинск, 6 — 8 ноября 2013 г.);

• 11-ая Курчатовская молодежная научная школа (г. Москва, 12-15 ноября 2013 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы две статьи в рецензируемом научном журнале «Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 122 наименований и пяти приложений, содержит 171 страницу, 66 таблиц и 34 рисунка.

Первая глава содержит краткий обзор проекционно-сеточных методов, нашедших применение для решения нейтронно-физических задач, к которым относится и метод поверхностных гармоник. Дано краткое описание МПГ. Описаны программные комплексы SUHAM и SVS с рассмотрением круга основных решенных ими задач. Приведен краткий обзор методов для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов и работ по нестационарным уравнениям Mill. Дан краткий обзор основных современных недиффузионных нестационарных нейтронно-физических кодов для расчета реакторной кин�