автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие метода функции влияния в задачах математического моделирования стилтьесовской струны

На правах рукописи

Кокорева Валентина Владимировна

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТИЛТЬЕСОВСКОЙ СТРУНЫ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь 2005

! (

Работа выполнена в Северо-Кавказском государственном техническом университете

кандидат физико-математических наук,профессор Галкина Валентина Андреевна

доктор физико-математических наук, профессор Каплан Лев Григорьевич, Ставропольский государственный университет

I

доктор физико-математических наук, '

профессор Сухинов Александр Иванович, Таганрогский радиотехнический университет

Воронежский государственный ^

университет (

!

!

Защита состоится «23 »декабря 2005 года в /о^часов & ¿'минут на заседании диссертационного совета ДМ 212.245.09 при СевероКавказском государственном техническом университете по адресу: 355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2, зал заседаний СевКавГТУ

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СевКавГТУ по адресу: г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2.

Автореферат разослан «)$» ноября 2005 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ 212.245.09 кандидат физико-математических наук, доцент О.С.Мезенцева

щь-г ЛЛобд

21 ше

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В строительной механике часто приходиться рассматривать механические системы из струн и тросов, вдоль которых распределены сосредоточенные нагрузки. Примерами таких механических систем являются электропровода между опорами линий электропередач, тросы канатных мостов и некоторые другие. Все такие механические системы принято называть стилтьесовскими струнами. Расчет и анализ формы и сил реакции этих упругих струн с распределенными вдоль них внешними нагрузками представляет сложную задачу актуальную как с прикладной, так и с теоретической точек зрения.

Задачи такого типа ранее рассматривались Ю.В. Покорным и его учениками методами дифференциальных уравнений с производными типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Данная диссертационная работа посвящена "развитию новых методов математического моделирования упругих континуумов типа стилтьесовских струн.

Целью работы является:

- развитие новых методов математического моделирования для расчетов формы и сил реакции механической системы типа стилтьесовской струны;

- исследование сопутствующих математических проблем: интегро-дифференциальные уравнения с интегралом Стилтьеса и построение его решения с помощью функции влияния.

Предметом исследования данной работы являются математические модели конкретных механических систем типа стилтьесовских струн и свойства

библиотека

ЛГ500

"■' ..... X

Научная новизна и методы исследования. Научная новизна данной диссертационной работы состоит в разработке новых методов математического моделирования стилтьесовских струн, в частности разработаны методы функции влияния для расчета формы и сил реакции механической системы типа упругой стилтьесовской струны.

В связи с тем, что функция влияния в построенных математических моделях стилтьесовских струн играет ведущую роль, приведем краткий литературно-исторический обзор её возникновения и развития.

Функция влияния - основополагающее понятие в физике, использующей математические средства для описания физических явлений и законов. При описании разнообразных физических свойств это понятие для физиков незаменимо ничем в условиях, когда о среде изначально ничего не известно.

В условиях достаточно регулярных сред, допускающих использование процедур дифференцирования и аппарата математической физики, функция влияния в канонических ситуациях совпадает с функцией Грина - важнейшим средством математического моделирования. К сожалению, вначале XX века функция влияния выпала из внимания математической физики, поскольку ее заменил другой математический объект - функция Грина.

В данной работе дается математически корректное описание функции влияния для заведомо нерегулярной среды - упругого континуума с локальными (типа дельта функций) аномалиями как во внешней нагрузке (сосредоточенные силы и массы), так и в наружной реакции (по примеру сосредоточенных упругих опор по типу пружинок). Поэтому построение и анализ функции влияния исследуемой задачи - яркий пример создания математического средства изучения моделей, когда прежние канонические методы математики оказываются не эффективными. Кроме того, изучаемая в работе физическая система не допускает в принципе описания с помощью

обычных ' дифференциальных уравнений. В диссертации используется нетрадиционный для математической физики интеграл, а именно - интеграл Стилтьеса, и описание напряженного состояния объекта осуществляется не привычным для математической физики дифференциальным уравнением второго порядка, а интегро-дифференциальным уравнением с интегралом не Римана (или Лебега), а Стилтьеса.

С давних времен функция влияния (функция источника, функция отклика) стала у физиков одним из наиболее эффективных средств описания взаимосвязи разных сторон сложных явлений. Определяемая как отклонение (*) точки

х исследуемой системы под влиянием единичного возмущения в точке эта функция позволяет задать состояние всего объекта в виде

где интеграл берется по области, вдоль которой распростерт исследуемый объект, а /(£) - интенсивность внешнего воздействия в точке Вбирая в себя всю специфику объекта, функция = как правило,

неотрицательная, что позволяет использовать при анализе задачи теорию интегральных операторов с положительными ядрами.

В начале XX века в задачах математической физики функция влияния приобрела облик функции Грина, введенной сначала для задачи Штурма-Лиувилля

и

(1)

о

(2) (3)

и(0) = и(1) = 0.

Обращая, оператор

ьЛи) = ~{Ри'1 +Чи

при краевых условиях (3) с помощью интегрального

оператора

(0/)(х)=\в{х,8)/(8)<1з, (5)

О

получим функцию Грина С(х,$).

Почти сразу усилиями Тамаркина понятие функции Грина было распространено на более общие задачи старших порядков. Далее теория функции Грина была развита на основе аксиоматического подхода к определению самой функции Грина, который крайне затруднил анализ конкретных физических задач. Трудности, вызванные аксиоматическим подходом к изучению функции Грина, были настолько серьезными, что, например, М.Г. Крейн основывал доказательство осцилляционных свойств собственных колебаний стержней на изучении функции влияния, а не функции Грина.

Оператор (4), известный физикам как оператор Шредингера, оказался востребован в середине XX века для анализа в случае сингулярных особенностей потенциала q(x), возникающих в виде (например) производных от скачков, называемых по физической терминологии дельта-взаимодействиями (8 -функциями). На чисто описательном уровне математическую постановку соответствующей задачи (2) - (3) удалось осуществить созданной для этого теорией обобщенных функций (распределений) Шварца-Соболева. Подобный обобщенный подход не позволял провести достаточно глубокий анализ, не приближая математические выкладки к физически интерпретируемым свойствам той же функции влияния. Причиной сложившейся ситуации являлось то, что для дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами отсутствовала какая-либо параллель с классическими теоремами анализа с поточечным дифференцированием.

Сравнительно недавно доступ к поточечному анализу задачи типа

(2) - (3) с обобщенными коэффициентами был разработан

Ю.В. Покорным и его учениками путем распространения на дифференциальные уравнения производных типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Для этого уравнение (2) представляли в виде

-—{ри) + -¥-и = Л-—\и, (6)

йо йо )

й

где--соответствующая производная по мере, а £> и М -

йсг

функции ограниченной вариации. Этот новый подход потребовал развития понятия функции влияния, так как в литературе отсутствует математически точное ее определение для решения нерегулярных задач.

В этих задачах форма м(дг) одномерного нерегулярного континуума определяется минималью потенциальной энергии (относительно виртуальных форм и (х))

I / 12 I

Ф(и) = ¡^-¿и + \-dQ- \udiF -» пнп (7)

о ^ о 2 0

В (7) интегралы берутся по Риману-Стилтьесу, 0 и^ имеют ограниченные вариации. Точного определения функции влияния, позволяющего аналогично (5), записать реальную форму и(х) из условия (7) в виде

I

и(х)= \к{х, *)&(*), (8)

о

не было.

Родственные задачи под названием «нерегулярной стилтьесовской струны» ранее изучались М. Г. Крейном в виде

*+о

и+(х) = и'_(0)-Л

о

где и+(х) - правая производная и «1(0) - фиктивное значение левой производной, причем внешним символом

этого уравнения была запись

йМ

Последняя запись ранее была введена Феллером при

гт

изучении задачи рассеяния. При этом символ —-

¿М

трактовался напрямую конструктивно, т.е. пределом соответствующего разностного отношения. Эти два уравнения были расширены Ю.В. Покорным и его учениками до более сильной формы (6). Однако построение и анализ функции влияния ими не проводились.

Центральными объектами исследования в диссертации являются функция влияния и интегро-дифференциальное уравнение с интегралом Стилтьеса. Эти объекты имеют чисто физическую природу и являются новыми математическими методами моделирования.

Более конкретно в диссертации изучается

математическая модель (7), (8) без применения обобщенного дифференцирования по мере, как это делается в работах Ю.В. Покорного и его учеников, упрощая, тем самым математический аппарат и делая значительно более наглядным изучаемые свойства.

Поэтому проведенное в работе исследование нестандартных для математики физических систем является совершенно новым направлением, а, по сути - разработкой новых математических методов анализа нестандартных математических моделей.

Для дальнейшего развития метода функции влияния в математическом моделировании автором были выделены и решены следующие частные задачи.

1. Построена и изучена функция влияния для математической модели, описывающей минимизацию функционала энергии для неоднородной струны

Ф(м)->пип (9)

при

О ^ О о

2. Для этой задачи построено интегро-дифференциальное уравнение, моделирующее напряженное состояние нерегулярного упругого континуума

-(^7«')(x)+J«¿j2 = F(x)-F(0)-(pM/)(0)• (Ю)

о

3. Проведено вариационное обоснование адекватности математической модели относительно натурального физического объекта.

4. Исследованы свойства математической модели функции влияния и ее специальные оценки, обеспечивающие сходимость разнообразных приближенных методов и их точности.

5. Показана усиленная положительность интегрального оператора, обращающего (10) при естественных условиях закрепления концов, что эффективно при построении математических моделей.

6. Показана возможность прогнозировать разрешимость нелинейной задачи

X X

- (ри\х) + ¡11*112 = Л ¡<р(и№ (11)

о о

с монотонной нелинейностью <р(и) при <р(0) =0.

Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается корректным применением апробированного математического аппарата - математического и функционального анализа, вариационного исчисления, теории однородных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений. Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, изложены в виде теорем, снабжёнными точными подробными доказательствами.

Обоснование математической модели проведено реализацией классических вариационных идей на нестандартном для математики объекте. Построение и изучение функции влияния осуществлено корректным применением апробированных методов анализа, существенно

модифицированных для преодоления трудностей, порождаемых особенностями объекта. Разработанные для решения поставленной научной задачи новые средства, внешне аналогичные классическому дифференциальному исчислению с использованием интеграла Стилтьеса, имеют прототипы и аналоги в классической теории упругости и механике деформируемых твёрдых тел.

Теоретическая и практическая ценность.

Полученные в работе результаты представляют интерес при изучении любого нового класса краевых задач физической природы, поскольку они интересны и значимы с физической и инженерной позиций, а также могут быть использованы при чтении курсов «Инженерные сооружения в транспортном строительстве» и «Строительная механика». Полученные в работе результаты представляют научный, эвристический и методологический интерес.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Ставропольского института экономики и управления (филиал ПГТУ), на VII, VIII региональных научно-технических конференциях «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону» (2003, 2004г.), на V, VI Международных конференциях «Циклы» (2003, 2004г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы в теории функций и смежные проблемы» (2005), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVI» (2005), на расширенном заседании кафедры прикладной математики СевероКавказского государственного технического университета.

Результаты исследования нашли отражение в семи публикациях автора, из которых три в центральной научной печати, а также в научно-методических рекомендациях, которые внедрены в образовательный процесс Ставропольского института экономики и управления.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, списка цитируемой литературы из 52 наименований и содержит 111 страниц.

На защиту выносятся следующие положения:

1) методы построения математической модели нерегулярных упругих континуумов типа стилтьесовских струн в виде интегро-дифференциального уравнения

X

~{ри){х)+ ¡udQ = F{x)-F{0)-{pu'){0), о

моделирующего напряженное состояние объекта;

2) вариационное обоснование адекватности математической модели относительно натурального (физического) объекта типа стилтьесовской струны;

3) точное определение функции влияния, как математической модели изучаемого объекта на основе его вариационной природы и доказательства, открытых автором свойств этой модели;

4) методы расчета главной собственной частоты и отсутствие внутренних узлов у соответствующей амплитудной функции (стоячей волны) для спектральной задачи

X X

- ( ри) (x) + judQ = Л judM, о о

и(0) = и(1) = 0,

соответствующей проблеме о собственных колебаниях для рассматриваемого физического объекта;

5) условия монотонной зависимости от частоты

(Л = £У2) соответствующей собственной функции

ил (л:) и сходимость при фиксированном Л к этой

собственной функции итерационного процесса для

нелинейной спектральной задачи.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность диссертационных исследований, делается краткий литературный обзор, сформулирована цель работы, изложены основные результаты проведенных исследований, показана их научная новизна, теоретическая и практическая значимость, указаны основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся примеры механических систем типа стилтьесовских струн и необходимые понятия, и факты из современного анализа и теории краевых задач.

Во второй главе строится и исследуется интегро-дифференциальное уравнение

X

ри +const (12)

о

в предположении, что р, Q и F - функции ограниченной вариации, а штрих означает обычную производную. Решения будем искать в классе абсолютно непрерывных функций, производные которых имеют ограниченную на [0,1] вариацию.

Генезис такого уравнения объясняется в § 1 для случая, когда уравнение (12) имеет физическую природу и возникает

из задачи минимизации функционала энергии

•м-Ш"НuidQ-'tdF

для упругого нерегулярного континуума. В работах М. Г. Крейна и других авторов, где впервые для анализа физических задач был привлечен интеграл Стилтьеса, подобный объект (при <2 = 0) был назван стилтьесовской струной под влиянием знаменитой работы Стилтьеса об упругой нити с бусинками.

Во втором параграфе дается точное описание уравнения (12) и устанавливаются условия его разрешимости в виде аналога теоремы Коши-Пеано.

Теорема 2.2.1. При любых и0, v0 и любой точке

*0e[0,l]s уравнение (12) имеет решение, определенное на всем [0,1] и удовлетворяющее условиям

и(х0) = и0,' u'(x0) = v0, (13)

причем это решение единственно.

В третьем параграфе изучаются свойства определителя Вронского, и доказывается, что размерность пространства решений однородного уравнения

х

pu(x)= ju(s)dQ(s) +const о

равна двум.

В четвертом параграфе второй главы изучена непрерывная зависимость решения интегро-дифференциального уравнения от параметра X, если начальные условия зависят от этого параметра.

Теорема 2.4.2. Пусть их - решение уравнения

(р«)(х) = И*) + (Я) )и (s)dQ2(s)-(Fl(x) + vr2{A)F, (х)) + const

при начальных условиях

|"(*о) = М0'

|m'(*o) = vO

при некотором я0 е [0,1]5. Тогда мх непрерывна по X вместе с \|Г,,\|Г2 и непрерывно дифференцируема по Я вместе с

В третьей главе изучается аналог стандартной краевой задачи

X

ри(х)- |и(.$)^<2(.у)^(л:) + с<зп.^, ^^

м(0) = и(1) = 0.

В первом парафафе вводится (на базе вариационной природы задачи) и изучается функция влияния задачи (15).

Функцию двух переменных, заданную на квадрате [0,1]х[0,1], назовем функцией влияния задачи (15), если ее решение можно представить в интегральном виде

и(х)= jG(x,syiF(s)

для любой функции F(x), имеющей конечную на [0,1] вариацию.

Теорема 3.1.2. Функция влияния задачи (15) существует, непрерывна и имеет вид

0<s<x<i

pW(s) zi(x)z2(s)

G( x,s ) = <

pW(s)

где z, (*) и z2 (jc) - решения краевых задач

, 0<x<s<l,

ри( х) = ри( 0 ) + 5 )<10( £ ), о

и( 0) = 0, и( 1 > = 1

ри( х)= ри( 0 ) + 5 ^бС 5 ),

и(0) = 1, и(1) = 0

соответственно, а г2](*) - определитель Вронского системы { гх (л), г2 (л)}.

Во втором параграфе вводится и изучается аналогичное классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений свойство неосцилляции «однородного» уравнения

х

ри(х)= ]и(5)<*0($) + /ш'(О). (16)

о

Уравнение (16) назовем неосциллирующим на [0,1], если всякое его решение имеет на [0,1] не более одного нуля.

Теорема 3.2.3. Если однородное уравнение (16) не осциллирует на [0,1], то существует такое положительное решение ф(х) уравнения (16), что справедливо равенство

X С X

ри'(х)- [и(я)^е(5) + ^(х)=р<р2(л:) — (*) + Гф^)^^

6 Ы б

для любой и (ас) е Es.

В третьем параграфе главы Ш изучаются положительные решения уравнения

X

ри(х) = ju(s)dQ(s)~ F(x) +const (17)

о

при неубывающей F(x).

Теорема 3.3.1. Пусть уравнение

X

ри\х) = ^u(s)dQ(s)+const (18)

о

не осциллирует на [0,1]. Тогда любое нетривиальное и неотрицательное на (0,1) решение и(х) уравнения (17) не имеет нулей в (0,1), т.е. м(д:)>0 на (0,1). При этом и(0) Ф 0(и'(1) * 0), если и(0) = 0(и(1) = 0).

В четвертом параграфе главы III получены некоторые оценки функции влияния задачи (15).

Лемма 3.4.1. Найдутся такие суммируемые функции a(s) и 3(j), что при почти всех se (0,1) и при всех хе (0,1) справедливо неравенство

0<a(,)<-^<{3(,). (19)

«oW

В силу этого утверждения интегральный оператор

i

(Дг)(х)= \G{x,s)z(x)dM{s) о

оказывается сильно положительным и вполне непрерывным при действии из пространства BV[0,1] функций ограниченной на [0,1] вариации в банахово пространство Eu¡¡ функций

и(х)еС[0,1] с конечной и0-нормой:

i

и(х)

и = sup

щ(х)

Основополагающая роль оператора А определяется тем, что уравнение

Z(jc) = X(AZ)(JC) адекватно спектральной задаче

X X

-( ри )(х)+ ju(s )dQ(s ) = Aju(s)dM( s) + consi u(0) = u(l°) = 0

при X = (£i2, возникающей в проблеме о собственных гармонических колебаниях нерегулярного континуума с произвольным распределением масс М(х).

В силу приведенных выше оценок функции влияния к оператору А применима общая теория конусов М.А. Красносельского, что приводит к следующему свойству

Теорема 3.5.1. Пусть М(х) возрастающая на [0,1] функция. Ведущее собственное значение спектральной задачи

X

~(ри)(х)+ ju(s)dQ(s) -X ju(s)dM(s) + const,

о о

и(0) = и(1) = 0

является простым и положительным значением, которому отвечает положительная собственная функция.

В четвертой главе обсуждается вопрос существования и единственности нетривиального решения (при А,>0) у нелинейного интегро-дифференциального уравнения

о о

где а(^) - строго возрастающая функция, /(и) - вогнутая,

р{х) - строго положительная на [0,1] функция ограниченной

вариации, а Q(x) не убывает на [0,1].

Теорема 4.1.1. Пусть однородное уравнение (16) не осциллирует на [0,1] и функция /(и) не убывает при и>0. Пусть при и > 0 функция

и

строго убывает. Пусть /(0) = 0. Пусть, наконец, определяемый функцией /(и) оператор суперпозиции

непрерывно действует из С[0,1] в ЛУ[0,1].

Тогда множество Л значений Л>0, при которых

задача

о О I/-1/

и(0) = и(1) = 0

имеет хотя бы одно нетривиальное решение в конусе К, обладает следующими свойствами:

а) Л непусто и совпадает с некоторым интервалом ПРи 0<К <Л„ <оо;

б) каждому Хе Л отвечает лишь одно решение их (дг)е К краевой задачи (21), причем

ЙоК|| = 0, ümJKIb-;

в) функция их (jc) монотонна по X:

- К Ж (*) - "я2 (*)] * о (0 < д: < 1);

г) при каждом фиксированном X* е Л для любого начального приближения и0 (лс) последовательность

К (х)]о , определяемая из линейных уравнений

о

= (л = 1,2,...)

о

ири прежних краевых условиях, равномерно сходятся к их.(х).

Заключение

В диссертационной работе проведены исследования математической модели неупругого континуума типа стилтьесовской струны. В результате выполнения работы получены следующие научные и практические результаты.

1. Построена и исследована математическая модель физического объекта типа неоднородной струны.

2. Дано вариационное обоснование, мотивирующее адекватность интегро-дифференциального уравнения, как математической модели исходного физического объекта.

3. Разработаны новые математические методы анализа качественных свойств этих уравнений, исследовано явление неосцилляции.

4. Дано корректное математическое определение функции влияния, как математической модели податливости неоднородной струны на основе физического смысла исследуемого объекта.

5. Изучена структура функции влияния и установлены ее знакорегулярные свойства.

6. Разработаны методы расчета главной собственной частоты спектральной задачи

- ( ри) (х) + ¡ис/() = Л \ийМ, о о

м(0) = м(1) = 0

для рассматриваемого физического объекта.

7. Установлены условия монотонной зависимости от частоты (Л = &»2) соответствующей собственной

функции ил (х) и сходимость при фиксированном Л к

этой собственной функции итерационного процесса для нелинейной спектральной задачи.

В приложении представлен акт (копия) о внедрении результатов диссертационной работы в учебный процесс Северо-Кавказского государственного университета при чтении курса «Вариационное исчисление и оптимальное управление» для студентов СевКавГТУ специальностей «Прикладная математика» и «Прикладная математика и информатика».

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах:

' 1. Кокорева В.В. Галкина В.А. О корректности одной

1 математической модели (Северо-Кавказский

государственный технич.университет- Ставрополь, 2005. -22с. -Библиогр. 2 назв. - Рус.-Деп. в ВИНИТИ) 22.04.2005, № 590-В 2005

2. Кокорева В.В. Интегральные уравнения с квазивогнутыми операторами// Материалы VI Международной конференции «Циклы». - Ставрополь, 2004.-С. 106-107. 1 3. Кокорева В.В. Качественные свойства математической

модели стилтьесовской струны (Северо-Кавказский государственный технич.университет - Ставрополь, . 2005.-21с. -Библиогр. 7 назв. - Рус. -Деп. в ВИНИТИ)

22.04.2005, № 587 - В 2005 \ 4. Кокорева В .В. О некоторых свойствах и 0 - ограниченных

операторов// Материалы VII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо' Кавказскому региону». Т.2. - Ставрополь, 2003. - С. 155. ' 5. Кокорева В.В. Об одной вогнуто-податливой интегро-дифференциальной модели. Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 2005. -С. 115.

6. Кокорева В.В.Непрерывность аддитивных и полуаддитивных операторов// Материалы VI Международной конференции «Циклы».

-Ставрополь, 2004. - С.107-108.

7. Кокорева В.В. Об одном представлении функции влияния одной нестандартной податливой модели. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения -XVI». Воронеж, 2005. -С. 76

Формат 60X84 1/16 Усл. печ. л. 1,5 Уч.-изд. л. 1 Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ 771 Тираж 100 экз. ГОУВПО «Северо-кавказский государственный технический университет» 355029 г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

Издательство Северо-кавказского государственного технического

университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

I

№23497

РНБ Русский фонд

2006-4 27069

Введение.

Глава I. Предварительные понятия и факты.

1.1. Классическая модель упругого континуума.

1.2. Некоторые сведения из теории краевых задач.

1.3. Задача Штурма-Луивилля.

1.4. Функция ограниченной вариации.

1.5. Интеграл Римана-Стилтьеса.

1.6. Некоторые основные свойства интеграла Стилтьеса.

Глава II. Интегро-дифференциальная модель.

2.1. Вариационная мотивация модели.

2.2. Аналог теоремы Коши-Пикара для интегро-дифференциального уравнения.

2.3. Свойства решений однородного уравнения.

2.4. Зависимость решения интегро-дифференциального уравнения от параметра.

Глава III. Псевдокраевая задача для интегро-дифференциального уравнения.-.

3.1. Функция влияния.

3.2. Свойство неосцилляции.

3.3. Положительные решения.

3.4. Оценки функции влияния.

3.5. Простота ведущей частоты.

Глава IV. Нелинейная спектральная задача.

4.1. О монотонной ветви нелинейной спектральной задачи.

4.2. Вычисление границ интервала (Д0>Ао).

Актуальность темы. В строительной механике часто приходиться рассматривать механические системы из струн и тросов, вдоль которых распределены сосредоточенные нагрузки. Примерами таких механических систем являются электропровода между опорами линий электропередач, тросы канатных мостов и некоторые другие. Все такие механические системы принято называть стилтьесовскими струнами. Расчет и анализ формы и сил реакции этих упругих струн с распределенными вдоль них внешними нагрузками представляет сложную задачу актуальную как с прикладной, так и с теоретической точек зрения.

Задачи такого типа ранее рассматривались Ю.В. Покорным и его учениками методами дифференциальных уравнений с производными типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Данная диссертационная работа посвящена развитию новых методов математического моделирования упругих континуумов типа стилтьесовских струн.

Целью работы является

1. развитие новых методов математического моделирования для расчетов формы и сил реакции механической системы типа стилтьесов-ской струны;

2. исследование сопутствующих математических проблем: интегро-дифференциальные уравнения с интегралом Стилтьеса и построение его решения с помощью функции влияния.

Предметом исследования данной работы являются математические модели конкретных механических систем типа стилтьесовских струн и свойства этих моделей.

Научная новизна и методы исследования. Научная новизна данной диссертационной работы состоит в разработке новых методов математического моделирования стилтьесовских струн, в частности разработаны методы функции влияния для расчета формы и сил реакции механической системы типа упругой стилтьесовской струны.

В связи с тем, что функция влияния в построенных математических моделях стилтьесовских струн играет ведущую роль, приведем краткий литературно-исторический обзор её возникновения и развития.

Функция влияния - основополагающее понятие в физике, использующей математические средства для описания физических явлений и законов. При описании разнообразных физических свойств это понятие для физиков незаменимо ничем в условиях, когда о среде изначально ничего не известно.

В условиях достаточно регулярных сред, допускающих использование процедур дифференцирования и аппарата математической физики, функция влияния в канонических ситуациях совпадает с функцией Грина — важнейшим средством математического моделирования. К сожалению, вначале XX века функция влияния выпала из внимания математической физики, поскольку ее заменил другой математический объект — функция Грина.

В данной работе дается математически корректное описание функции влияния для заведомо нерегулярной среды — упругого континуума с локальными (типа дельта функций) аномалиями как во внешней нагрузке (сосредоточенные силы и массы), так и в наружной реакции (по примеру сосредоточенных упругих опор по типу пружинок). Поэтому построение и анализ функции влияния исследуемой задачи - яркий пример создания математического средства изучения моделей, когда прежние канонические методы математики оказываются не эффективными. Кроме того, изучаемая в работе физическая система не допускает в принципе описания с помощью обычных дифференциальных уравнений. В диссертации используется нетрадиционный для математической физики интеграл, а именно — интеграл Стилтьеса, и описание напряженного состояния объекта осуществляется не привычным для математиче4 ской физики дифференциальным уравнением второго порядка, а интегро-дифференциальным уравнением с интегралом не Римана (или Лебега), а Стил-тьеса.

С давних времен функция влияния (функция источника, функция отклика) стала у физиков одним из наиболее эффективных средств описания взаимосвязи разных сторон сложных явлений. Определяемая как отклонение К(х) точки х исследуемой системы под влиянием единичного возмущения в точке %, эта функция позволяет задать состояние всего объекта в виде и(*)= ]лДх)/(£)с/£, (1) п где интеграл берется по области, вдоль которой распростерт исследуемый объект, а - интенсивность внешнего воздействия в точке %. Вбирая в себя всю специфику объекта, функция = как правило, неотрицательная, что позволяет использовать при анализе задачи теорию интегральных операторов с положительными ядрами.

В начале XX века в задачах математической физики функция влияния приобрела облик функции Грина, введенной сначала для задачи Штурма-Лиувилля ш'У + дм = Лти, (2) и(0) = и(1) = 0. (3)

Обращая, оператор ^ (4) при краевых условиях (3) с помощью интегрального оператора

С7/)(*)=ф(х,*)/■(*)<&, (5) о получим функцию Грина

Почти сразу усилиями Тамаркина понятие функции Грина было распространено на более общие задачи старших порядков. Далее теория функции Грина была развита на основе аксиоматического подхода к определению самой функции Грина, который крайне затруднил анализ конкретных физических задач. Трудности, вызванные аксиоматическим подходом к изучению функции Грина, были настолько серьезными, что, например, М.Г. Крейн основывал доказательство осцилляционных свойств собственных колебаний стержней на изучении функции влияния, а не функции Грина.

Оператор (4), известный физикам как оператор Шредингера, оказался востребован в середине XX века для анализа в случае сингулярных особенностей потенциала д(х), возникающих в виде (например) производных от скачков, называемых по физической терминологии дельта-взаимодействиями (5-функциями). На чисто описательном уровне математическую постановку соответствующей задачи (2) - (3) удалось осуществить созданной для этого теорией обобщенных функций (распределений) Шварца-Соболева. Подобный обобщенный подход не позволял провести достаточно глубокий анализ, не приближая математические выкладки к физически интерпретируемым свойствам той же функции влияния. Причиной сложившейся ситуации являлось то, что для дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами отсутствовала какая-либо параллель с классическими теоремами анализа с поточечным дифференцированием.

Сравнительно недавно доступ к поточечному анализу задачи типа (2) — (3) с обобщенными коэффициентами был разработан Ю.В. Покорным и его учениками путем распространения на дифференциальные уравнения производных типа Радона-Никодима из общей теории интеграла. Для этого уравнение (2) представляли в виде а, л ¿<2 л с1м\

--(ри')+-^-и = Л —— м, (6) с1сг d<J с1ст где - соответствующая производная по мере, а £) и М — функции ограниченной вариации. Этот новый подход потребовал развития понятия функции 6 влияния, так как в литературе отсутствует математически точное ее определение для решения нерегулярных задач.

В этих задачах форма m(jc) одномерного нерегулярного континуума определяется минималью потенциальной энергии (относительно виртуальных форм и(х))

I г 12 I ф(ы) = j'^-du + f—dQ- fudF -> min . (7) о ^ 0 2 0

В (7) интегралы берутся по Риману-Стилтьесу, Qu F имеют ограниченные вариации. Точного определения функции влияния, позволяющего аналогично (5), записать реальную форму из условия (7) в виде м(д:)= 5)^(5), (8) о не было.

Родственные задачи под названием «нерегулярной стилтьесовской струны» ранее изучались М. Г. Крейном в виде лг+О и'+(х) = и'(0)-Л fu(s)dM(s), о где и[ (л:) — правая производная и и' (0) — фиктивное значение левой производной, причем внешним символом этого уравнения была запись du' dM

Ли.

Последняя запись ранее была введена Феллером при изучении задачи рассеягт ¿К ния. При этом символ трактовался напрямую конструктивно, т.е. пределом соответствующего разностного отношения. Эти два уравнения были расширены Ю.В. Покорным и его учениками до более сильной формы (6). Однако построение и анализ функции влияния ими не проводились.

Центральными объектами исследования в диссертации являются функция влияния и интегро-дифференциальное уравнение с интегралом Стилтьеса. Эти объекты имеют чисто физическую природу и являются новыми математическими методами моделирования.

Более конкретно в диссертации изучается математическая модель (7), (8) без применения обобщенного дифференцирования по мере, как это делается в работах Ю.В. Покорного и его учеников [31], [32], упрощая, тем самым математический аппарат и делая значительно более наглядным изучаемые свойства.

Поэтому проведенное в работе исследование нестандартных для математики физических систем является совершенно новым направлением, а, по сути — разработкой новых математических методов анализа нестандартных математических моделей.

Для дальнейшего развития метода [35] функции влияния в математическом моделировании автором были выделены и решены следующие частные задачи.

1. Построена и изучена функция влияния для математической модели, описывающей минимизацию функционала энергии для неоднородной струны

Ф(м)->шт (9) при о ^ о о

2. Для этой задачи построено интегро-дифференциальное уравнение, моделирующее напряженное состояние нерегулярного упругого континуума ри'){х) + о

3. Проведено вариационное обоснование адекватности математической модели относительно натурального физического объекта.

4. Исследованы свойства математической модели функции влияния и ее 8 X

-(ри')М + = Р(х)~ Р(0) - (ри')(0). (10) специальные оценки, обеспечивающие сходимость разнообразных приближенных методов и их точности.

5. Показана усиленная положительность интегрального оператора, обращающего (10) при естественных условиях закрепления концов, что эффективно при построении математических моделей.

6. Показана возможность прогнозировать разрешимость нелинейной задачи

- (ри%х)+ )ис1д = Л (11) о о с монотонной нелинейностью (р{и) при 9>(0) = 0.

Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается корректным применением апробированного математического аппарата — математического и функционального анализа, вариационного исчисления, теории однородных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений. Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, изложены в виде теорем, снабжёнными точными подробными доказательствами. Обоснование математической модели проведено реализацией классических вариационных идей на нестандартном для математики объекте. Построение и изучение функции влияния осуществлено корректным применением апробированных методов анализа, существенно модифицированных для преодоления трудностей, порождаемых особенностями объекта. Разработанные для решения поставленной научной задачи новые средства, внешне аналогичные классическому дифференциальному исчислению с использованием интеграла Стилтьеса, имеют прототипы и аналоги в классической теории упругости и механике деформируемых твёрдых тел.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес при изучении любого нового класса краевых задач физической природы, поскольку они интересны и значимы с физической и инженерной позиций, а также могут быть использованы при чтении курсов «Инженерные сооружения в транспортном строительстве» и «Строительная механика». Полученные в работе результаты представляют научный, эвристический и методологический интерес.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Ставропольского института экономики и управления (филиал ГТГТУ), на VII, VIII региональных научно-технических конференциях «Вузовская наука — СевероКавказскому региону» (2003, 2004г.), на V, VI Международных конференциях «Циклы» (2003, 2004г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы в теории функций и смежные проблемы» (2005), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVI» (2005), на расширенном заседании кафедры прикладной математики СевероКавказского государственного технического университета.

Результаты исследования нашли отражение в семи публикациях автора [46-52], из которых три в центральной научной печати, а также в научно-методических рекомендациях, которые внедрены в образовательный процесс Ставропольского института экономики и управления.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, списка цитируемой литературы из 52 наименований и содержит 111 страниц.

Основные результаты четвертой главы.

1. Обсужден вопрос о существовании и единственности нетривиального решения (при А,>0) у нелинейного интегро-дифференциального уравнения

X X ри')(х) + = А. - (ри')(0). о о

2. Доказана единственность тривиального решения данного уравнения при любом X.

3. Указаны условия единственности нетривиального решения.

Заключение

В диссертационной работе проведены исследования математической модели неупругого континуума типа стилтьесовской струны. В результате выполнения работы получены следующие научные и практические результаты.

1. Построена и исследована математическая модель физического объекта типа неоднородной струны.

2. Дано вариационное обоснование, мотивирующее адекватность интегро-дифференциального уравнения, как математической модели исходного физического объекта.

3. Разработаны новые математические методы анализа качественных свойств этих уравнений, исследовано явление неосцилляции.

4. Дано корректное математическое определение функции влияния, как математической модели податливости неоднородной струны на основе физического смысла исследуемого объекта.

5. Изучена структура функции влияния и установлены ее знакорегулярные свойства.

6. Разработаны методы расчета главной собственной частоты спектральной задачи

X X

-( ри')(х) + \uclQ = Л $ис!М, о о м(0) = ы(1) = 0 для рассматриваемого физического объекта.

7. Установлены условия монотонной зависимости от частоты (Л = й соответствующей собственной функции ил (л:) и сходимость при фиксированном Я к этой собственной функции итерационного процесса для нелинейной спектральной задачи.

В заключении автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научному руководителю кандидату физикоматематических наук, профессору Галкиной Валентине Андреевне, за ценные замечания, а так же всем сотрудникам кафедры прикладной математики, без помощи которых работа могла, и не состоятся как диссертация.

1. Ando T. On fundamental properties of a Banach space with a cone //Pacific T. Math. 12 1962. -№4. - P. 1 - 12.

2. Bonsall F.F. Linear operators in complete positive cones // Proc. London Match. Soc. 8, 1958. P. 53 - 75.

3. Karlin S. (Карлин С.) Positive operators // J. Math. Mech. -1955. -V.6,6.-P. 907-937.

4. Thompson A.C. On certain contraction mappings in a partially ordered vector space//Proc. Amer. Math. Soc. 14. 1963, №3. P. 438 - 443.

5. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи — М.: Мир, 1968.-749 с.

6. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве — М.: Наука, 1966. — 136 с.

7. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению — М.: Гостехиздат, 1955. — 248 с.

8. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис.д-ра физ.-мат. наук. — Ленинград, 1967. 320 с.

9. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами// Сибирский математический журнал. 1963. -Т.4, №2. -С. 268-286.

10. Ю.Бахтин И. А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами// Сибирский математический журнал. -1961. Т.2, №3. - С. 313 - 330.

11. Брело М. Основы классической теории потенциала М.: Мир. 1964. -214 с.

12. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ М.: Наука, 1967. -415 с.

13. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория М.: Издательство иностранная литература, 1962. — 895 с.

14. Канторович JI.B., Акилов Г.ГТ. Функциональный анализ в нормированных пространствах — М.: Наука, 1977. — 496 с.

15. Канторович J1.B., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

16. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика -М.: Мир, 1969.-421 с.

17. П.Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1981.—543 с.

18. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений — М.: Физматгиз, 1962. — 394 с.

19. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений —М., 1956. 372 с.

20. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений М: Наука, 1969.-456 с.

21. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений// ДАН Тадж. ССР, 1974. T. XVII, №1.1. С. 12-15.

22. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов — М: Наука, 1985.-256 с.

23. Красносельский М.А., Соболев В.И. О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для эллиптического уравнения// Успехи математических наук. 1961, Т. 16, № 1. - С. 253-280.

24. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. К теории уравнений с вогнутыми операторами// Сибирский математический журнал. 1969, № 3.1. С. 565 572.

25. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О некоторых нелинейных задачах, имеющих много решений// Сиб. Матем. ж., Т.4, №1, 1963.1. С. 120- 137.

26. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха// Успехи мат. наук. — 1948. -Т.З, №1. С. 3 - 95.

27. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики — М.: Гостехиздат. — Т.1, 1933. — 476 с.

28. Левин А.Ю., Лифшиц Е.А. К принципу обобщенного сжатия М.А. Красносельского// Проблемы математического анализа сложных систем — Издательство ВГУ, 1967. — Вып. 1. — С. 46 -85.

29. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям Гос. изд. тех.-теор. лит. Москва, Ленинград, 1972. — 274 с.

30. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа — М: Наука, 1965.-520 с.

31. Натансон И.П. Теория функции вещественной переменной М.:Наука, 1974.-474 с.

32. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1954.-351 с.

33. Покорный Ю.В. Оптимальные задачи — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2002. 198 с.

34. Покорный Ю.В., Боровских A.B. О дефектах аксиоматики функции Грина // Доклады РАН. 2002. -Т. 284, №4. -С. 460 464.

35. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских A.B., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272 с.

36. Рисс Ф., Секефальди-Надь Б. Лекции по функцианальному анализу -М.: Мир, 1978.-587 с.

37. Сакс дж. Теория интеграла М.: ИЛ, 1949. - 494 с.

38. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс.д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. -307 с.

39. Стеценко В.Я. Нелинейная задача о собственных векторах// ДАН Таджикской ССР. 1973, Т. XVI, № 4. - С. 5 - 8.

40. Стеценко В.Я. О неподвижных точках нелинейных отображений // Сибирский математический журнал 1969, Т. 10, №3. — С. 642 — 652.

41. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближённое решение операторных уравнений — Ставрополь, 1998 г. 168 с.

42. Стеценко В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки// ДАН Тадж. ССР. 1967, Т. 10, №2. - С. 3 -11.

43. Хатсон В.К., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теории операторов М.: Мир, 1983. - 431 с.

44. Шефер Г. Some Spectral properties of positive linear operators Pacific J. Math. 10, 1960.-P. 1009 1019.

45. Шилов Г.Е., Гуревич Б.JI. Интеграл, мера и производная. Общая теория М.: Наука. - 1967.

46. Кокорева В.В. Интегральные уравнения с квазивогнутыми операторами// Материалы VI Международной конференции «Циклы» -Ставрополь, 2004. С. 106-107.

47. Кокорева В.В. Качественные свойства математической модели стилтьесовской струны (СевКавГТУ- Ставрополь, 2005. 21 с. -Библиогр. 7 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ) 22.04.2005, № 587 - В 2005.

48. Кокорева В.В.Непрерывность аддитивных и полуаддитивных операторов// Материалы VI Международной конференции «Циклы». -Ставрополь, 2004. С. 107- 108.

49. Кокорева B.B. Галкина В.А. О корректности одной математической модели (СевКавГТУ- Ставрополь, 2005. 22 с. - Библиогр. 2 назв. -Рус. - Деп. в ВИНИТИ) 22.04.2005, № 590 - В 2005.

50. Кокорева В.В. О некоторых свойствах и0- ограниченных операторов//

51. Материалы VII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука Северо-Кавказскому региону». Т.2. - Ставрополь, 2003.-С. 155.

52. Кокорева В.В. Об одной вогнуто-податливой интегро-дифференциальной модели Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 2005. — С. 115.

53. Кокорева В.В. Об одном представлении функции влияния одной нестандартной податливой модели Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения —XVI» Воронеж, 2005. -С. 76.