автореферат диссертации по энергетике, 05.14.12, диссертация на тему:Разработка усовершенствованной физико-математической модели импульсной стримерной короны в аксиально-симметричных системах электродов

Введение

Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических исследований положительной наносекундной импульсной стримерной короны

1.1. Постановка задачи

1.2. Импульсная стримерная корона и процессы ее определяющие

1.3. Экспериментальные исследования стримерного разряда в воздухе

1.3.1. Данные по стримерам в стримерной короне

1.3.2. Структура наносекундной стримерной короны

1.4. Математическое моделирование стримерного разряда в воздухе

1.4.1. Основные уравнения стримерного разряда

1.4.2. Математические модели одиночного стримера

1.4.3. Математическое моделирование стримерной короны

1.5. Выводы и постановка задач исследования

1.5.1. Параметры стримеров и стримерной короны

1.5.2. Математическое моделирование импульсной стримерной короны

1.5.3. Задачи исследования

Глава 2. Рекомендации по расчету электростатического поля в моделях стримерной короны

2.1. Требования к методике расчета электростатического поля в моделях стримерной короны

2.2. Сопоставление характеристик численных методов расчета электростатического поля

2.3. Метод эквивалентных зарядов (для аксиально-симметричных систем)

2.4. Уточнение метода эквивалентных зарядов для расчета поля в аксиально-симметричных системах электродов

2.4.1. Размещение эквивалентных зарядов

2.4.2. Применение линейно-зависимых зарядов

2.4.3. Использование "разгона" зарядов

2.4.4. Типовая система электродов "игла на плоскости против плоскости"

2.5. Выводы

Глава 3. Математическая модель одиночного стримера и расчет поля объемного заряда в моделях стримерной короны

3.1. Постановка задачи и анализ требований к методике

3.2. Математическая модель одиночного стримера - основные уравнения

3.3. Учет процессов рождения и гибели заряженных частиц в модели стримера

3.4. Методика решения уравнений неразрывности для заряженных частиц в стримере

3.4.1. Обзор конечно-разностных аппроксимаций первого порядка точности

3.4.2. Обзор конечно-разностных аппроксимаций второго порядка точности

3.4.3. Свойства конечно-разностных аппроксимаций уравнения неразрывности для электронов

3.5. Расчет поля в канале стримера (метод дисков)

3.6. Расчет поля в пространстве между стримерами

3.7. Примеры расчета развития одиночного стримера

3.7.1. Анализ распространения стримера в системе электродов «игла-плоскость»

3.7.2. Анализ распространения стримера в системе электродов «уединенная сфера в однородном поле»

3.8. Тестирование математической модели одиночного стримера

3.8.1. Проблема выбора радиуса канала стримера в его квазидвумерной математической модели

3.8.2. Сопоставление расчетных параметров стримера, полученных с использованием

1,5D и 2D моделирования

3.9. Выводы

Глава 4. Исследование параллельного распространения стримеров в импульсной стримерной короне

4.1. Постановка задачи

4.2. Модель стримерной короны со сферического электрода

4.3. Анализ результатов расчетов

4.3.1. Развитие первичных стримеров стримерной зоны

4.3.2. Развитие вторичных стримеров стримерной зоны

4.4. Выводы

Глава 5. Модель импульсной стримерной короны для систем электродов с аксиально-симметричным полем

5.1. Постановка задачи

5.2. Определение моментов ветвления развивающегося стримера

5.2.1. Исходные предпосылки

5.2.2. Анализ условий первого ветвления стримера

5.2.3. Анализ условий повторного ветвления стримера

5.2.4. Уточненная модель ветвления

5.3. Модель стримерной короны

5.4. Анализ влияния структуры стримерной короны на ее параметры

5.5. Сопоставление результатов расчетов с обобщенными параметрами короны по литературным данным

5.5.1. Обобщение экспериментальных данных из литературы

5.5.2. Сопоставление обобщенных данных с расчетами

5.6. Сопоставление расчетных и экспериментальных значений параметров стримерной короны

5.7. Выводы 203 Заключение 205 Список литературы 210 Приложение П1 218 Приложение П

Физико-математические модели наносекундной стримерной короны являются основой для решения различных актуальных задач энергетики. Эти многочисленные задачи могут быть разделены по следующим основным направлениям [1].

1. Разработка научных основ технологии и рекомендаций по совершенствованию оборудования для очистки дымовых газов электростанций от оксидов азота и серы.

2. Расчет электрической прочности внешней изоляции при любых возможных воздействиях и практически важных для энергетики условиях; разработка мер по достижению максимальной электрической прочности.

Первая область применения математических моделей наносекундной стримерной короны связана с тем, что неравновесные плазмохимические процессы, относящиеся к взаимодействию элементарных частиц в сильных электрических полях, открывают чрезвычайно большие новые возможности в технологии. Для энергетики представляют наибольший интерес электроразрядные технологии, связанные с очисткой дымовых выбросов электростанций: здесь импульсный стримерный разряд используется для конверсии оксидов азота и серы, содержащихся в дымовых газах ТЭС в концентрациях, превышающих ПДК, в менее вредные и легко удаляемые примеси. Импульсный коронный разряд доказал свои преимущества в качестве средства борьбы с оксидами азота и серы по сравнению с химическими и электронно-лучевыми методами [2].

Основным недостатком метода, сдерживающим его практическое применения, остаются большие удельные затраты энергии на очистку. По данным испытаний на итальянской опытно-промышленной установке удельные затраты энергии для снижения концентрации NO на 60% и SO2 на 90% от начальной составили 16 Вт/м очищаемого газа [!]■

Для снижения затрат энергии необходимо:

- На основании модели стримерной импульсной короны в отходящих газах произвести расчет наработки радикалов и отдельных частиц при взаимодействии в электрическом поле электронов с молекулами газа.

- Определить наиболее благоприятные условия для реакций N0 и SO2 с этими продуктами, добавками и примесями (например, воды), имеющими место в дымовых газах. Выяснить возможности подавления обратных и непроизводительных реакций.

- Определить структуру импульсной короны (в пространстве и времени), соответствующие параметры импульсного напряжения и геометрию электродной системы, обеспечивающие наиболее эффективное использование электрической энергии с наименьшими тепловыми потерями.

Вторая важнейшая область применения математических моделей наносекундной стримерной короны в энергетике - это анализ электрической прочности внешней изоляции.

Существующие методы расчета пробивных напряжений промежутков с неоднородным полем, характерных для воздушной изоляции высоковольтных энергетических объектов, основаны на эмпирическом подходе. И все же полезность подходов на основе физических представлений в решении инженерных проблем, связанных с электрической прочностью изоляции, демонстрировалась неоднократно. Так, например, в работе [3] на примере пяти типичных высоковольтных задач (определение очень малых вероятностей пробоя, оценка влияния изменения атмосферных условий на пробой, определение вероятности прорывов и обратных перекрытий при ударе молнии в линию, построение вольт-секундных характеристик воздушных промежутков, пробой промежутков вакуумных выключателей) сопоставляются эмпирический и теоретический подходы и делается однозначный вывод о невозможности прогресса без использования физико-математических моделей.

Например, при разумном числе испытаний промежутков не представляет труда определить пробивное напряжение с вероятностью в диапазоне 0,02 — 0,98. Когда ставится важная для практики задача определения пробивного напряжения с очень малой вероятностью Р = 10"4 - 10"6, то результаты существенно различаются в зависимости от принятого для экстраполяции вида функции распределения. В [3] предлагается использовать следующее из физических соображений утверждение о том, что пробой возможен только, если внедренный в промежуток заряд превышает некоторое минимальное значение. Тогда, используя экспериментальные данные о распределении внедренного заряда при заданном уровне напряжения, можно экстраполировать распределение вероятности к значениям заряда, необходимым для пробоя и определить соответствующую вероятность.

Если в [3] утверждается, что определяющее влияние объемного заряда в промежутке на развитие пробоя следует из общих физических представлений, то при теоретическом рассмотрении это непосредственно следует из моделей стадий разряда начиная от стримеров до главной стадии разряда. Указания на определяющее влияние объемного заряда на развитие разряда встречались в публикациях и ранее, во всяком случае, с начала шестидесятых годов в работах В.И. Попкова [4] и других статьях [5].

Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что для зависимостей пробивных напряжений от диаметра проводов при разном межэлектродном расстоянии для систем электродов «коаксиальные цилиндры» и «провод — плоскость» характерным является наличие двух областей, соответствующих разным значениям диаметра провода.

Различие между первой областью, в которой средняя пробивная напряженность составляет около 20 кВ/см и не зависит от диаметра провода, и второй, в которой напряжение и средняя напряженность уменьшаются с увеличением диаметра провода, объяснялось структурой чехла коронного разряда и характером распределения объемного заряда, внедренного в промежуток. В первой области чехол состоит из множества стримеров, равномерно заполняющих область вблизи провода и обеспечивающих равномерное поступление заряда во внешнюю область. Во второй области чехол состоит из отдельных очагов коронного разряда, из которых происходит развитие стримеров в глубь промежутка. Неоднородная структура распределения объемного заряда поддерживает развитие разряда и продвижение стримеров к противоположному электроду. С дальнейшим ростом диаметра проводов средняя пробивная напряженность снижается до 5-7 кВ/см. При переходе к слабонеоднородным полям (с Кн<5) в связи с ростом начальной напряженности пробивное напряжение снова растет вплоть до значений, характерных для однородного поля.

Таким образом, минимальные пробивные напряжения характерны скорее для средненеоднородных полей, когда локальное внедрение объемного заряда поддерживает развитие канала разряда при достаточно низкой напряженности поля.

Существенное влияние объемного заряда проявляется на всех стадиях развития разряда. Высокая плотность объемного заряда на головке канального образования способствует его продвижению к противоположному электроду. С другой стороны, равномерное распределение объемного заряда, выравнивающее поле в различных частях промежутка, затрудняет переход к следующей стадии разряда. Это обстоятельство имеет большое значение для определения условий, в которых пробивное напряжение будет наибольшим: промежутки с сильнонеоднородным полем могут иметь преимущество перед средненеоднородными. Стремление уменьшить степень неоднородности не всегда является очевидным средством повышения пробивных напряжений.

Существенное влияние распределения объемного заряда на развитие разряда открывает путь для повышения прочности воздушных промежутков и соответственно внешней изоляции высоковольтных энергетических установок - поиск средств для обеспечения более равномерного аксиальном и радиальном направлении распределения объемного заряда, внедряемого в промежуток в процессе развития разряда. Конечно, сейчас рано говорить о каких-то отработанных практических рекомендациях. Их разработка требует всесторонних исследований. Однако такие меры, как более обоснованный выбор экранов, использование дополнительных коронирующих электродов, регулирование распределения поверхностной плотности заряда и т.д., заслуживают проработки.

Инструментом для решения перечисленных выше задач является математическая модель импульсной стримерной короны.

Для одиночного стримера известно наибольшее число моделей как 1,5-мерных [7], так и двухмерных [8]. Для описания элементарных процессов взаимодействия частиц в электрическом поле используются как кинетический подход [7], гак и представление процессов через обобщенные коэффициенты [8]. Однако существующие публикации скорее демонстрируют возможность построения математических моделей стримеров, чем дают возможность использования разработанных моделей для исследования стримерного разряда.

Для того, чтобы разработать модели стримеров, являющиеся инструментом в исследовании этой стадии, необходимо:

1. Разработать минимизированную по времени счета и удовлетворяющую заданному уровню погрешности методику определения напряженности электрического поля для всех элементов канала стримера. Поскольку расчет напряженности поля занимает основное время вычислений на компьютере, то фактически решение этого вопроса определяет возможности широкого использования модели стримера и соответствующих программ.

2. Выбрать эффективный численный метод решения системы дифференциальных уравнений, описывающих стример, который обеспечивает отсутствие искажений и устойчивость решения, достаточную для расчета длинных стримеров. Указанные уравнения должны позволять анализировать процессы в разрядной плазме двумя способами: через полный учет кинетических процессов в ней и через упрощенный учет процессов в стримере с использованием экспериментальных зависимостей для обобщенных коэффициентов, описывающих ударную ионизацию и рекомбинацию, прилипание и развал отрицательных ионов (в условиях, для которых такие экспериментальные зависимости известны).

3. Решить вопрос о возможности анализа с использованием простой, но удовлетворяющей заданной точности 1,5-мерной модели одиночного стримера.

Следующая задача связана с моделированием ветвления стримера. О необходимости учета этого явления убедительно свидетельствуют экспериментальные данные [11]-[17]. В основу построения модели ветвления могут быть положены следующие принципы.

Источником развития дополнительного стримера из основного служат многочисленные неоднородности в радиальной структуре объемного заряда стримера, которые всегда имеют место из-за вероятностного характера ионизационных процессов. Главным моментом реализации возможности ветвления является подтверждение расчетом фактического развития стримера из неоднородности в данном поле.

В строгой постановке это требует трехмерного анализа стримера. Однако это чрезмерно усложнило бы расчеты. Поэтому целесообразно задачу решать поэтапно, используя приближенную замену трехмерного поля аксиально-симметричным.

Непосредственно после возникновения первичного стримера формируется импульсная корона, состоящая из совокупности развивающихся параллельно друг другу и ветвящихся стримеров. Разработка моделей импульсной короны, если судить по публикациям [9], [10], находится на начальном этапе. В статьях в лучшем случае можно найти суждения относительно количества стримеров, из которых состоит в среднем импульсная корона [9], или ее упрощенный расчет, основанный на предварительном задании числа и взаимного расположения стримеров [10]. Вместе с тем определенно ясно, что структура импульсной короны определяется распределением поля. Наличие сильного поля является основанием для появления новых стримеров, и они возникают до тех пор, пока поле не снизится ниже некоторой критической величины. В этом смысле положение аналогично тому, которое имеет место при ветвлении стримера.

Таким образом, при построении математической модели импульсной короны следует исходить из следующих основных положений:

1. Развитие каждого из стримеров, образующих импульсную корону, происходит в электрическом поле электродной системы и совокупности остальных стримеров.

2. Число и расположение стримеров определяются результирующим распределением поля, которое должно обеспечивать развитие данного количества стримеров.

3. Конкретная структура импульсной короны (распределение в пространстве основных стримерных каналов и ветвей) является случайной реализацией множества возможных состояний.

4. Необходимо решить вопрос об определении расстояния между последовательными точками ветвления, исследовать влияние различного расстояния между точками ветвления на распределение поля в развивающейся стримерной короне.

Целью настоящей работы является разработка на основе сформулированных выше основных положений комплексной математической модели наносекундной импульсной стримерной короны в аксиально-симметричных системах электродов.

5.7. Выводы

1. Определены наиболее благоприятные условия для появления ветвей (первой и последующих) стримера. Для этого анализируется функция зависимости максимальной напряженности суммарного электрического поля на боковой поверхности стримера от времени (или, что то же самое, от его длины). Предполагается, что по достижении очередного локального максимума этой функции начинается очередное ветвление при условии, что значение напряженности в этом максимуме превышает критический уровень ЕКрит=110 КВ/СМ.

2. На основе полученных рекомендаций по определению моментов ветвления сформулирована уточненная модель процесса ветвления стримера.

3. Впервые разработана математическая модель стримерной короны, учитывающая многократное ветвление параллельно развивающихся стримеров и позволяющая рассчитывать электрофизические параметры короны с учетом характера ее структуры.

4. Проведен анализ влияния случайных вариаций структурных параметров короны (положение ветвей) и параметров электродной системы (тип системы, радиус коронирующих электродов, характеристики приложенного импульса напряжения) на электрофизические параметры коронного разряда (значения напряженности, тока и скорости развития разряда). Он показал следующее.

4.1. Основным фактором, определяющим длину стримера, при которой складываются оптимальные условия для его первого ветвления, является радиус кривизны коронирующего электрода; он же является фактором, определяющим расстояние между соседними ответвлениями одного стримерного канала.

4.2. Распространение стримерной короны в межэлектродном промежутке при фиксированных параметрах электростатического поля обладает свойством обратной связи относительно интенсивности ветвления: чем более интенсивным оно является (т.е. чем ближе к коронирующему электроду оно начинается и чем меньше расстояние между соседними ветвями одного стримерного канала), тем быстрее напряженность поля в объеме стримерной короны снижается до таких значений, при которых становится невозможным (или затруднительным) дальнейшее развитие входящих в нее стримеров и их ветвей. Таким образом, ветвление стримеров продолжается до тех пор, пока напряженность поля в стримерной короне не снизится до значений, при котором ветвление невозможно (или затруднительно). В результате такие интегральные параметры короны, как скорость распространения фронта, средняя напряженность электрического поля в объеме короны мало зависят от интенсивности ветвления. Таким образом, процесс ветвления носит самосогласованный характер.

4.3. Наибольшее влияние интенсивность ветвления оказывает на ток стримерной короны. Зависимости тока от времени для одиночного и ветвящегося стримеров различаются не только по абсолютным значениям, но и по форме. Если кривая тока для одиночного стримера очень быстро, в течение долей наносекунды, достигает максимума, а затем ток монотонно спадает, то кривая тока для ветвящегося стримера имеет совершенно иной характер: ток нарастает в течение достаточно длительного времени (10+15 нс), и лишь затем начинает спадать. Рост тока ветвящегося стримера может иметь немонотонный характер и определяется в основном развитием первых двух ветвей.

4.4. Влияние изменения крутизны фронта импульса приложенного напряжения на параметры стримерной короны (в том числе и на расстояния между точками ветвления) зависит от неоднородности электрического поля. В более неоднородном поле сокращение длительности фронта импульса при сохранении его амплитуды приводит к более существенному росту напряженности поля на головках стримеров, средней напряженности поля в объеме стримерной короны и скорости распространения ее фронта, чем в более однородном поле. В этом случае эффект от сокращения длительности фронта при постоянной амплитуде импульса может быть большим, чем от увеличения амплитуды при постоянной длительности фронта.

5. Проведено сопоставление результатов расчетов параметров стримерной короны с соответствующими данными экспериментов, показавшее следующее.

5.1. Для широкого диапазона влияющих параметров (тип электродной системы «сфера-плоскость» и «игла-плоскость»; радиус коронирующего электрода от 0.05 до 0.25 см; средняя напряженность поля в разрядном промежутке 5-9 кВ/см; длительность фронта импульса от 30 до 180 нс) рассчитаны характерные значения параметров стримерной короны. Полученные значения (концентрация электронов в канале стримера (4+6) -1014 см"3, максимальная напряженность электрического поля в его головке 230+290 кВ/см и максимальная скорость распространения фронта короны о

2,2+4,7)-10 см/с) находятся в хорошем совпадении с обобщенными экспериментальными данными, известными из литературы.

5.2. Выполнено сопоставление расчетных значений амплитуды импульса тока разряда и средней скорости распространения фронта стримерной короны с данными экспериментов, проведенных на кафедре ТЭВН МЭИ (ТУ). Среднее отклонение расчетных значений от экспериментальных составляет не более 15%. Отмечено также удовлетворительное совпадение формы импульса разрядного тока, полученных в расчетах и экспериментах.

6. Вся совокупность полученных расчетных данных о структуре стримерной короны, распределении электрических полей и зарядов в ней, значениях скорости распространения короны вглубь промежутка, тока короны в системе электродов «игла-плоскость» полностью удовлетворяет опытным данным, доступным в литературе, а также полученным в ходе экспериментальных работ, проводящихся на кафедре ТЭВН МЭИ (ТУ), и подтверждает достоверность разработанной математической модели и программы расчета наносекундной стримерной короны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных в данной работе исследований получены следующие результаты.

1. Проведен обзор известных теоретических и экспериментальных материалов по параметрам стримера и стримерной короны и по вопросам математического моделирования стримерной импульсной короны.

1.1. Для использования в модели стримерной короны, а также для ее последующей проверки определены следующие параметры стримера и стримерной короны: радиус канала стримера длиной от нескольких миллиметров до нескольких сантиметров мало меняется в зависимости от длины и составляет 0,01-0,03 см; среднее значение линейной плотности избыточного заряда в канале стримера определяется величиной (1,1-2,0)*109 элементарных зарядов на 1 см длины стримеров; концентрация электронов в канале стримеров составляет 10^-10^ см~3 при средней напряженности 5-15 кВ/см; максимальная напряженность поля в головке стримера близка к 130-160 кВ/см, увеличиваясь до 250-270 кВ/см лишь вблизи коронирующего электрода; средняя напряженность электрического поля в канале стримера в воздухе при нормальных атмосферных условиях составляет 4,5-5,0 кВ/см; значения скорости положительного стримера и стримерной короны могут колебаться от 3*10? см/с до 5*1см/с. При развитии стримерной короны в системах электродов с аксиально-симметричным полем (коронирующим электродом является игла или сфера малого радиуса) с их поверхности стартует три-четыре главных стримера, развивающихся первоначально в радиальном направлении от острия иглы или поверхности сферы. Каждый из этих первичных стримеров имеет два-пять главных ответвлений, каждое из которых в свою очередь ветвится. Таким образом, число стримерных головок, связанных с одним первичным стримером превышает 30; среднее расстояние между соседними ветвями одного стримерного канала не превышает 0,4-0,6 см; начальные углы, на которые отклоняются ветви от одного канала, составляют в среднем 25-40° и не превышают 45°.

1.2. Выявлено, что предшествующие работы в части моделирования стримерной короны очень немногочисленны, они главным образом относятся к одиночному стримеру. Основной материал, который является базой для данной работы, связан с исследованиями по моделированию стримерной короны, которые ведутся на кафедре ТЭВН МЭИ.

1.3. В результате анализа известных моделей одиночного стримера для создания модели стримерной короны выбрана полуторамерная модель, которая при указанном выше выборе величины радиуса обеспечивает удовлетворительное совпадение с результатами расчета по двухмерным моделям и экспериментальными данными. При этом из-за сложного характера структуры импульсной короны необходимо дальнейшее упрощение модели одиночного стримера, чтобы сделать возможными расчеты на ПК в течение всего времени развития импульсной короны.

2. Для использования в модели короны разработана экономичная методика расчета электростатических полей, основанная на методе эквивалентных зарядов и включающая в себя методические рекомендации по размещению эквивалентных зарядов и использованию приемов, упрощающих применение метода.

2.1. Наиболее подходящим среди рассмотренных численных методов (интегральных, конечно-разностных и вариационно-разностных) для использования в модели импульсной короны как в отношении обеспечения необходимой точности расчета, так и возможности учета объемного заряда в промежутке для аксиально-симметричных систем электродов выбран метод эквивалентных зарядов.

2.2. Подтверждено, что система эквивалентных зарядов (кольцевых зарядов), замещающих заряд данного тела, полностью характеризуется двумя параметрами -отношением расстояния между двумя соседними эквивалентными зарядами (L) к глубине их залегания под поверхностью тела (Я) и отношением расстояния между двумя соседними эквивалентными зарядами (Z) к радиусу кривизны поверхности тела в данной точке (R). Для систем электродов с аксиально-симметричным полем определены следующие значения параметров: для уровня точности с погрешностью 5% - H/L Si,25, L/R 3D,7; для уровня точности с погрешностью 1% - Я/L Si,75, L/R 33,3.

2.3. Предложено применение линейно-зависимых зарядов, способствующее более точной аппроксимации электродов при сохранении числа расчетных точек. Несмотря на некоторое увеличение числа обусловленности, погрешность расчетов при использовании линейно-зависимых зарядов уменьшается, и для обеспечения заданного уровня точности можно использовать более легкие условия аппроксимации электрода базовыми зарядами. Для погрешности не более 5% рекомендовано использовать соотношения H/L 30,5, L/R ^ ,0; для погрешности не более 1 % - H/L >1,0, L/R

2.4. Применен прием "разгона" зарядов, заключающийся в последовательном увеличении расстояния между базовыми эквивалентными зарядами L при сохранении параметра H/L и соответствующем росте параметра L/R. Этот прием расширяет возможности метода эквивалентных зарядов, так как позволяет сократить число базовых зарядов в 2 и более раза. Применение "разгона" характеризуется параметрами: коэффициентом увеличения AL и расстоянием начала "разгона" относительно центра электродной системы - 1от. Рекомендуются значения AL <5%, и 1от такой величины, чтобы начало "разгона" было смещено к границе расчетной области.

3. Для использования в модели стримерной короны разработана упрощенная математическая модель одиночного стримера, базирующаяся на квазидвумерном описании стримера, которая удовлетворяет требованиям экономичности и точности для использования в рамках сложных моделей, состоящих из большого количества стримеров. Модель проверена путем проведения расчетов распространения одиночного стримера в системах электродов "игла-плоскость" и "уединенная сфера в однородном поле", показавших хорошее соответствие расчетных параметров стримера с соответствующими значениями, известными из экспериментов (концентрация электронов; плотность избыточного объемного заряда; напряженность электрического поля в головке и канале стримера; скорости распространения стримера; средняя напряженность электрического поля).

3.1. Для численного решения уравнений неразрывности потока частиц при математическом моделировании стримерной стадии электрического разряда на основе анализа имеющихся методов выбрана конечно-объемная схема второго порядка точности "среднее гармоническое", реализованная на конечно-разностной сетке с постоянным шагом, равным 1-2% радиуса стримера.

3.2. Для расчета электрического поля, созданного избыточным объемным зарядом стримера на его оси в узлах конечно-разностной сетки, на которой решается уравнение неразрывности потока частиц, рекомендован метод дисков. Расчет электрического поля методом суперпозиции полей всех дисков рекомендуется производить во всех узлах сетки в головке и приэлектродной области стримера. Важно, что для сокращения времени счета определение напряженности в канале стримера производится только в опорных точках.

3.3. Разработана следующая аппроксимация заряда стримера для расчета электрического поля, созданного избыточным объемным зарядом стримера вне его объема. Головка стримера аппроксимируется системой соосных кольцевых зарядов, остальная части стримера аппроксимируется линейно заряженными отрезками, расположенными на оси стримера. Заряд каждого из них равен полному заряду того участка стримера, который аппроксимирует данный отрезок. Построена и табулирована функция погрешности расчета напряженности электрического поля от расстояния расчетной точки до оси стримера и длины аппроксимирующего отрезка. Она позволяет определить длину отрезка, необходимую для получения точности с погрешностью, не превышающей заданную (от 1 до 5%) в данной расчетной точке. Поле в произвольной точке пространства определяется как суперпозиция полей соосных кольцевых зарядов и заряженных отрезков. Описанный алгоритм позволяет выполнять расчет напряженности электрического поля, созданного избыточным зарядом стримера с заданной точностью при экономии времени расчета.

4. Разработана математическая модель параллельного развития стримеров с коронирующего электрода, учитывающая возможность их неодновременного старта. Проведенные расчеты параллельно стартующих стримеров выявили следующие закономерности;

4.1. Средняя скорость распространения первичных стримеров в стримерной короне заметно ниже скорости одиночного стримера. Первичный стример короны обладает более низкими энергетическими характеристиками (скорость, максимальная напряженность поля на головке), чем одиночный стример, развивающийся в аналогичных условиях. Скорость, максимальная напряженность поля на головке стримера уменьшаются также с увеличением длительности фронта импульса приложенного напряжения, причем это справедливо и для одиночного стримера, и для стримеров, развивающихся в стримерной короне.

4.2. Внедрение в межэлектродное пространство избыточного заряда первичными стримерами приводит к значительному перераспределению поля: вблизи поверхности электрода напряженность поля снижается по сравнению с электростатическим полем, а вдали от электрода - усиливается. Увеличение напряженности на головках стримеров может достигать двух и более раз по сравнению с электростатическим полем. Средняя напряженность электрического поля в межстримерном пространстве постепенно снижается по сравнению с электростатическим полем и приближается к 7 кВ/см. Таким образом, она близка к средней напряженности в канале стримера (около 5 кВ/см).

4.3. В связи с перераспределением поля развитие запаздывающих стримеров замедляется по сравнению с первичными: их скорость меньше, максимальная напряженность поля на головке ниже. Вычислено предельное время запаздывания запаздывающих стримеров по сравнению с первичными, при котором еще возможен старт вторичных стримеров с поверхности коронирующего электрода, оно примерно соответствует 1 не. После этого старт новых стримеров с поверхности электрода невозможен. Увеличение длительности фронта импульса приводит к уменьшению предельного времени запаздывания вторичных стримеров по сравнению с первичными.

4.4. Разброс времен старта стримеров в стримерной зоне не превышает 1 не. Сформировавшаяся стримерная зона представляет собой область вокруг коронирующего электрода, внутренняя часть которой заполнена стримерными каналами, а на внешней границе развиваются головки стримеров, стартовавших в первую наносекунду после начала процесса. В приэлектродной области стримерной зоны после ее формирования в первую наносекунду разрядные процессы имеют малую интенсивность.

5. Для разработанной на кафедре ТЭВН концепции ветвления выработаны рекомендации по определению моментов времени последовательного ветвления стримеров на основе анализа максимумов напряженности на боковых поверхностях стримеров. Произведена оценка критического значения напряженности Екрит-110 кВ/см, при котором возможно ветвление.

6. Впервые реализован упрощенный вариант математической модели стримерной короны с игольчатого коронирующего электрода, воссоздающей структуру короны (многократное ветвление стримеров и параллельное развитие ветвей), основанной на физической сущности происходящих процессов и позволяющей рассчитывать за приемлемое время параметры стримерного разряда.

7. Выявлен самосогласованный характер коронного разряда. Распространение стримерной короны в межэлектродном промежутке при фиксированных параметрах электростатического поля обладает свойством обратной связи относительно интенсивности ветвления: чем более интенсивным оно является (т.е. чем ближе к коронирующему электроду оно начинается и чем меньше расстояние между соседними ветвями одного стримерного канала), тем быстрее напряженность поля в объеме стримерной короны снижается до таких значений, при которых становится невозможным (или затруднительным) дальнейшее развитие входящих в нее стримеров и их ветвей. В результате такие интегральные параметры короны, как скорость распространения фронта, средняя напряженность электрического поля в объеме короны мало зависят от интенсивности ветвления.

8. Адекватность модели проверена путем сравнения с результатами экспериментов:

8.1. Для широкого диапазона влияющих параметров (тип электродной системы «сфера-плоскость» и «игла-плоскость»; радиус коронирующего электрода от 0.05 до 0.25 см; средняя напряженность поля в разрядном промежутке 5-9 кВ/см; длительность фронта импульса от 30 до 180 не) рассчитаны характерные значения параметров стримерной короны. Полученные значения (концентрация электронов в канале стримера (4+6) • 1014 см"3, максимальная напряженность электрического поля в его головке 230+290 кВ/см и максимальная скорость распространения фронта короны (2,2+4,7)-108 см/с) находятся в хорошем совпадении с обобщенными экспериментальными данными, известными из литературы.

8.2. Выполнено сопоставление расчетных значений амплитуды импульса тока разряда и средней скорости распространения фронта стримерной короны с данными экспериментов, проведенных на кафедре ТЭВН МЭИ (ТУ). Среднее отклонение расчетных значений от экспериментальных составляет не более 15%. Отмечено также удовлетворительное совпадение формы импульса разрядного тока, полученных в расчетах и экспериментах.

9. Вся совокупность полученных расчетных данных о структуре стримерной короны, распределении электрических полей и зарядов в ней, значениях скорости распространения короны вглубь промежутка, тока короны в системе электродов «игла-плоскость» полностью удовлетворяет имеющимся опытным данным и подтверждает достоверность разработанной математической модели и программы расчета наносекундной стримерной короны.

1. Теория электрических разрядов в энергетике / А.Ф.Дьяков, О.А.Никитин, И.П.Верещагин и др. // Теория и практика электрических разрядов в энергетике: Сб. научн. ст. / Под ред. А.Ф.Дьякова. Пятигорск: Издательство ЮЦПК РП "Южэнерготехнадзор", 1997. С.6-25.

2. Мусагалиев С.Г. Исследование характеристик импульсного наносекундного коронного разряда с целью разработки технологии очистки газов от вредных примесей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва, МЭИ (ТУ), 1996.

3. Practical problems of impulse breakdown requiring a physical approach / G. Carrara, F. Gallucci, S. Manganaro, A. Pigini // 3 Int. Symp. on Gaseous Dielectrics. Knoxvikke, USA, 1982.

4. Попков В.И. К теории коронного разряда в газе при постоянном напряжении // Известия АН СССР. ОТН. 1953, № 5.

5. Верещагин И.П. Коронный разряд в аппаратах электронно-ионной технологии. -М.: Энергоатомиздат, 1985.

6. Левитов В.И., Ткаченко В.М. Электрические характеристики некоторых типов коронирующих электродов // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1966, № 3.

7. Александров H.JL, Базелян Э.М., Базелян А.Э, Кочетов И.В. Моделирование длинных стримеров в газе атмосферного давления. // Физика плазмы, том 21, 1996, №1, С.60-80.

8. Wang М.С., Kunhardt Е.Е. Streamer dynamics. // Physical Review A. Vol. 42, No 4, 1990, P.2366-2373.

9. Bondiou A., Gallimberty I. Theoretical modelling of the development of positive spark in long gaps // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.27,1994, P. 1252-1266.

10. Naidis G.B. On streamer interaction in a pulsed positive corona discharge. // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.29, 1996, P.779-783.

11. Loeb L. Electrical Coronas. University of California, Berkley, 1965.

12. Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Искровой разряд. М.: Издательство МФТИ, 1997.

13. Nasser Е., Loeb L. Impulse Streamer Branching from Lichtenberg Figure Studies. // Journal of Applied Physics, Vol. 14, No. 11, November 1963, P. 3340-3348.

14. Соколова М.В., Темников А.Г., Анашкина О.В. Некоторые возможности комплексного метода экспериментального исследования импульсной наносекундной короны в воздухе. // Вестник МЭИ, 2000, N° 2, С.27-34.

15. Экспериментально-теоретические исследования пространственной структуры стримерной короны в воздухе и других газах. / Верещагин И.П., Темников А.Г., Соколова М.В. и др. Заключительный отчет о НИР по гранту РФФИ № 99-02-17604 М.: МЭИ, 2001.

16. Bastien F., Marode Е. The determination of basic quantities during glow-to-arc transition in a positive point-to-plane discharge. // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.12, 1979, P. 249-263.

17. Gilber A., Bastien F. Fine structure of streamers. // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.22, 1989, P.1078-1082.

18. Creyghton Y.L.M. Pulsed positive corona discharges (Fundamental study and application to flue gas treatment). Ph.D.Thesis, Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 1994.

19. Won J Yi, Williams P.F. Experimental study of streamers in pure N2 and N2/02 mixtures and a «13 cm gap. // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.35,2002, P.205-218.

20. Meek J.M., Craggs J.D. Electrical Breakdown of Gases. John Willey and Sons. 1978.

21. Positive discharges in Air Gaps at Les Renardieres 1975. // Electra, 1977, № 53, P. 31.

22. Gao L., Akyuz M., Larson A. et al. Measurement of the positive streamer charge. // Proceedings of 11-th International Symposium on High Voltage Engineering, 1999. P. 3.35.S5-3.38.S5.

23. Gao L., Akyuz M., Larson A. et al. Measurement of the positive streamer charge. // J.Phys.D:Appl.Phys„ Vol.33, 2000, P.1861-1865.

24. Базелян Э.М., Ражанский И.М. Искровой разряд в воздухе. Новосибирск: Наука,1988.

25. Александров Д.С., Базелян Э.М., Бекжанов Б.И. // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1984, № 2, С. 120.

26. Anikin N.V., Pancheshnyi S.V., Starikovskia S.M., Starikovskii A.Yu. Breakdown development at high overvoltage: electric field, electronic levels excitation and electron density // J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 31, 1998, P. 826.

27. Park Y., Cones J. // J. of Research of Nat. Bureau of Standart. 1959, Vol. 56, P. 201.

28. Браго E.H., Стекольников И.С. // Известия АН СССР. Отд. техн. наук. 1958, №11.

29. Suzuki Т. Transition from primary streamer to the arc in positive point-to-plane corona. // J.Appl.Phys., Vol.42, 1971, P.3766-3777.

30. Blom P.P.M. High Power Pulsed Corona. Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 1997.

31. Sunka P., Babicky V., Clumpec M., Simek M. Positive Pulsed Corona Discharge in Coaxial Geometry // HAKONE V. International Symposium on High Pressure Low Temperature Plasma Chemistry. 1996. P. 304-309.

32. Morrow R. // Physical Review A, Vol. 32, 1985, p. 1799.

33. Верещагин И.П., Белогловский А.А., Винокуров В.Н. Математическая модель одиночного стримера для анализа процессов в стримерной короне. // Вестник МЭИ, №2, 2000, С.48-54.

34. Aleksandrov N.L., Bazelyan Е.М., Kochetov I.V. Simulation of active species production in a flue gas by a long positive streamer // International Symposium on High Pressure, Low Temperature Plasma Chemistry HAKONE VI, Cork, Ireland, 1998, pp. 235-239.

35. Aleksandrov N.L., Bazelyan E.M. Simulation of long-streamer propagation in air at atmospheric pressure. //J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.29, 1996, P.740-752.

36. Guo J.M., Wu J. Streamer Radius Model and Its Assessment Using Two-dimensional Models. // IEEE Transactions on Plasma Science, Vol. 24, 1996, P. 1348.

37. Guo J.M., Wu C.-H.J. Two-Dimensional Nonequilibrium Fluid Model for Streamers. // IEEE Transactions on Plasma Science, Vol. 21, No. 6, December 1993, P. 684-695.

38. Kulikovsky A.A. Two-dimensional modelling of positive streamer in N2 between parallel-plate electrodes. // J.Phys. D: Appl.Phys., Vol.28,1995, P.2483-2493.

39. Babaeva N.Yu., Naidis G.B. Two-dimensional modelling of positive streamer dynamics in non-uniform electric fields in air. // J.Phys.DrAppl.Phys., Vol.29, 1996, P.2423-2431.

40. Naidis G.B. Simulation of streamer-to-spark transition in short non-uniform air gaps. // J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 32, 1999, P. 2649.

41. Serdyuk Yu. V., Gubanski S.M. Discharge propagation in a weak homogeneous electric field. // Proceedings of the XIII International Conference on Gas Discharges and their Applications, Glasgow, 3-8 September 2000, P. 485-488.

42. Kulikovsky A.A. Positive streamer in a weak field in air: a mooving avalanche-to-streamer transition. // Phys. Rev. E., Vol. 57, 1998, P. 7066.

43. Kulikovsky A.A. The role of photoionization in positive streamer dynamics. // J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 33, 2000, P.1514.

44. Pancheshnyi S.V., Starikovskia S.M., Starikovskii A.Yu. Role of photoionization processes in propagation of cathode-directed streamer. // J. Phys. D: Appl. Phys., Vol.34, 2001, P.105-115.

45. Kulikovsky A.A. Three-dimensional simulation of a positive streamer in air near curved anode. // Phys. Let. A., Vol. 245,1998, P. 445.

46. Райзер Ю.П., Симаков A.H. Чем определяются радиус и максимальное поле у головки длинного стримера. // Физика плазмы, том 24, 1998, № 8, С. 754-760.

47. Верещагин И.П., Белогловский А.А., Винокуров В.Н. Численное моделирование стримерной короны: параметры стримеров и структура электрического поля в сферической стримерной зоне. // Вестник МЭИ, 1999, № 1, С.48-54.

48. Верещагин И.П., Белогловский А.А., Михеев А.Г. Математический анализ условий ветвления стримеров в стримерной короне. // Вестник МЭИ, 2001, № 1. С. 16-25.

49. Gallimberty I. The mechanism of long spark formation. // Journ. de Physique C7. 1979, №7, T40, P. 193-250.

50. Ruhling F., Heilbronner F., Diaz R.R. Ion density influence on impulse first corona in inhomogeneous fields. // 10-th Int. Symp. on High-Voltage Engineering. Montreal, Quebec, Canada, 25-29 August 1997. Proceedings.

51. Diaz R.R., Tagashira R., Ruhling F., Heilbronner F. The impulse corona inception in inhomogeneous fields: a model. // 10-th Int. Symp. on High-Voltage Engineering. Montreal, Quebec, Canada, 25-29 August 1997. Proceedings.

52. Vereshchagin I.P., Beloglovsky A.A., Vinokurov V.N., Sokolova M.V. A model of impulse streamer corona formation // 11-th Int. Symp. on High-Voltage Engineering. London, UK, 23-27 August 1999. Proceedings. Vol. 3. P. 3.248.P3-3.251.P3.

53. Badaloni S., Gallimberty I. Montecarlo Simulation of Streamer Branching. // XIICPIG, Prague, 1973, Rep. № 3.2.35.

54. Geary J.M., Penny G.W. Charged-sheath model of cathode-directed streamer propagation. // Physical Review A, Vol. 17, № 4, P. 1483-1489.

55. Соколова M.B., Темников А.Г. Физические предпосылки модели ветвления положительного стримера в воздухе. // Вестник МЭИ, № 4,1998, С.34-40.

56. Темников А.Г., Соколова М.В. Расчет процесса ветвления положительного стримера в воздухе. // Вестник МЭИ, № 5, 1998, С.119-123.

57. Pancheshnyi S.Y., Starikovskii A.Yu. Comments on "The role of photoionization in positive streamer dynamics". // J. Phys. D: Appl. Phys., Vol.34, 2001, P.248-250.

58. Михеев А.Г. Разработка физико-математической модели ветвления стримера в воздушной среде. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. -Москва, МЭИ (ТУ), 2000

59. Верещагин И.П., Белогловский А.А., Михеев А.Г., Белоусов С.В. О моделировании ветвления стримера // Известия академии наук. Энергетика. № 1, 2002, С. 112-125.

60. Ретер Г. Электронные лавины и пробой в газах. М.: Мир, 1968.

61. Попов Н.А. О фрактальной размерности системы ветвящихся стримерных каналов коронного разряда.

62. Karpov D.I., Kupershtokh A.L. Models of Streamer Growth with "Physical" Time and Fractal Characteristics of Streamer Structures. // 1998 IEEE Int. Symp. on Electrical Insulation, 710 June 1998, Washington, DC, USA. Vol. 2, P. 607-610.

63. Физико-математические основы техники и электрофизики высоких напряжений / Базуткин В.В., Колечицкий Е.С., Мирзабекян Г.З. и др. М.: Энергоатомиздат, 1995.

64. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

65. Головин Г.Т. Расчет электрического поля в промежутке острие-плоскость. // В сб.: Вычислительные методы и программирование, вып. XXIII. М.: Издательство МГУ, 1974. С.151-158.

66. Kunhardt Е.Е., Williams P.F. Direct solution of Poisson's equation in cylindrically symmetric geometry. // Journal of Computational Physics. 1985. Vol. 57. P. 403.

67. D.F. Martin, K.L. Cartwright. Solving Poisson's Equation Using Adaptive Mesh Refinement. Technical Report UCB/ERL M96/66, Electronics Research Laboratory Memorandum, University of California, Berkeley, October 1996.

68. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986.

69. Жаров М.И., Плис А.И. Вариационно-разностные методы решения задач математической физики. Издательство МЭИ, 1985.

70. Georghiou G.E., Morrow R., Metaxas A.C. Two-dimensional simulation of streamers using the FE-FCT algorithm. // J. Phys. D: Appl. Phys., Vol.33,2000, P. L27-L32.

71. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: АН СССР, 1948.

72. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978.

73. Колечицкий Е.С. Применение метода интегральных уравнений для расчета потенциальных полей. М.: Издательство МЭИ, 1998.

74. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн M.JL, Тиходеев Н.Н. Методы расчета электростатических полей. М.: Издательство "Высшая школа", 1963.

75. Steinbigler Н. Anfangsfeldstarken und Ausnutzenfaktoren Rotationssymmrtrischer Electrodenanordnungen in Luft. Technische Hochschule Munchen, 1969.

76. Верещагин И.П., Бобиков В.Е. Выбор параметров при расчете электрических полей методом эквивалентных зарядов. // Электричество. 1988, № 1. С. 38-44.

77. Кривов С.А., Морозов B.C. Модифицированный метод эквивалентных зарядов расчета плоскопараллельных полей. //Известия РАН. Энергетика. 1993, № 1, С.139-145.

78. Davies М., Jones J.E. Errors in laplacian field computations using charge simulation and finite element methods.

79. Бобиков B.E., Верещагин И.П., Коптев A.C., Тихомиров С.В. Сравнительный анализ численных методов расчета электрических полей. // В сб.: Научные труды МЭИ, вып. 69. М.: Издательство МЭИ, 1985. С. 60-65.

80. Белогловский А.А. Разработка метода расчета электрического поля коронного разряда в системах электродов сложной конфигурации. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М.: МЭИ, 1993.

81. ELCUT: Новый подход к моделированию полей. Сервер поддержки программы ELCUT. Санкт-Петербург: Компания ТОР, 2002. (http://www.tor.ru/elcut/).

82. Белогловский А.А., Алексанов А.К., Винокуров В.Н., Черненский Л.Л. Основы методов расчета электрических полей. Компьютерный учебный курс. М.: МЭИ, 2000. (http://fee.mpei.ac.ru/efield/textbookl/).

83. Верещагин И.П., Белогловский А.А. Расчет поля коронного разряда в системах с нецилиндрическими электродами. // Известия Академии наук. Энергетика. 1993, № 4, С.7-16.

84. Davies A.J., Evans C.J., Llewellyn-Jones F. Electrical breakdown of gases: the spatio-temporal growth of ionization in fields distorted by space charge // Proc. Roy. Soc. 1964, Part A, Vol. 281, P. 164-183.

85. Юргеленас Ю.В. Алгоритм расчета динамики заряженных частиц в диффузионно-дрейфовой модели стримера. // Физико-технические проблемы передачи электрической энергии: Сб. научн. ст. Вып. 1. / Под ред. А.Ф.Дьякова. М.: Издательство МЭИ, 1998. С. 121-160.

86. Morrow R. Numerical solution of hyperbolic equations for electric drift in strongly non-uniform electric field // J. Сотр. Phys. 1981, Vol. 43, № 1, P. 1-15.

87. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport. III. Minimal-error FCT algorithms // J. Сотр. Phys. 1976, Vol. 20, № 4, P. 397-431.

88. Morrow R., Cram L.E. Flux-corrected transport on a non-uniform mesh in plasma boundary problems. Computational Techniques & Applications: CTAC-83. Ed. J. Noye & C. Fletcher. Elsevier Science Publishers B.V. Holland. 1984, P. 719-729.

89. Morrow R., Cram L.E. Flux-corrected transport and diffusion on a non-uniform mesh // J. Сотр. Phys. 1985, Vol. 57, № 1, P. 129-136.

90. Kunhardt E.E., Wu C.-H. Towards a more accurate flux-corrected transport algorithm //J. Сотр. Phys. 1987, Vol. 68, № 1, P. 127-150.

91. Salari K., Stainberg S. Flux-corrected transport in a moving grid. // J. Сотр. Phys. 1994, Vol. 111, № 1, P. 24-32.

92. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных уравнений гидродинамики // Математический сборник 1959. Т. 47, Вып. 3, С. 271-306.

93. Van Leer В. Towards the ultimate conservative difference scheme. IV. A new approach to numerical conversion // J. Сотр. Phys. 1977, Vol. 23, № 2, P. 276-299.

94. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second order sequel to Godunov's method // J. Сотр. Phys. 1979, Vol. 32, № 1, P. 101-136.

95. Courant R, Isaakcon E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Comm. Pure Appl. Math. 1952, Vol. 5, № 3, P. 243-255.

96. Dutton J. A Survey of Electron Swarm Data. // J. Phys. Chem. Data. 1975, Vol. 4, № 3, P. 577-878.

97. An Annotated Compilation and Appraisal of Electron Swarm Data in Electronegative Gases / J.W. Gallagher, E.C. Beaty, J. Dutton, L.C. Pitchford // J. Phys. Ref. Data. 1983, Vol. 12, № 1.

98. Мак-Даниэль И. Процессы столкновений в ионизированных газах. М.: Мир,1967.

99. Verhaart H.F.A. Avalanches in insulating gases. Ph.D.Thesis, Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 1982.

100. Wagner K.H. Ionization, electron-attachment, -detachment, and charge-transfer in oxygen and air. Zeitung fur Physik, 241, P. 258-270.

101. Gallimberti I. Impulse Corona Simulation for Flue Gas Treatment // Pure & Appl. Chem. 1988, Vol. 60, № 5, P. 663-674.

102. Железняк М.Б., Мнацаканян A.X. Сизых С.В. Фотоионизация смесей азота и кислорода излучением газового разряда. //ТВТ, 1982, том 20, i3.

103. Сергеев Ю.Г. Учет фотоионизации при математическом моделировании газового разряда. М.: Издательство МЭИ, 1996.

104. Пашинин И.В. Анализ алгоритмов расчета динамики электронов в диффузионно-дрейфовой модели стримера. // Выпускная работа по направлению подготовки бакалавров техники и технологий «Электроэнергетика» -М.: МЭИ, 2002.

105. Физические основы электрического пробоя газов / А.Ф. Дьяков, Ю.К. Бобров, А.В. Сорокин, Ю.В. Юргеленас; Под. ред. А.Ф. Дьякова. -М.: Издательство МЭИ, 1999.