автореферат диссертации по энергетике, 05.14.12, диссертация на тему:Разработка физико-математической модели ветвления стримера в воздушной среде

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИМПУЛЬСНЫЙ СТРИМЕРНЫЙ РАЗРЯД В ВОЗУХЕ: ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

1.1. Экспериментальные исследования стримерного разряда в воздухе.

1.1.1. Изучение отдельных стримеров.

1.1.2. Изучение ветвящихся стримеров.

1.2. Математическое моделирование стримерного разряда в воздухе

1.2.1. Математические модели одиночного стримера. 1.2.2. Математическое моделирование стримерной короны без учета ветвления стримеров.

1.2.3. Математическое моделирование ветвления стримеров.

1.3. Выводы.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРИМЕРА.

2.1. Элементарные процессы в электрическом разряде в воздухе и их учет в математической модели стримера.

2.2. Математическая модель одиночного стримера.

2.3. Тестирование математической модели стримера.

3. АНАЛИЗ УСЛОВИЙ ВЕТВЛЕНИЯ СТРИМЕРА.

3.1. Концепция ветвления.

3.2. Условия ветвления стримера.

3.3. Модель развития ветви стримера.

3.4. Анализ развития ветви стримера.

3.5. Выводы.

4. РАЗВИТИЕ СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ В % РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭЛЕКТРОНОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

ГОЛОВКИ СТРИМЕРА.

4.1. Математическая модель развития неоднородности в поле головки стримера.

4.2. Анализ развития неоднородности в поле головки стримера.

4.3. Выводы.

5. ВЕТВЛЕНИЕ СТРИМЕРОВ В КОАКСИАЛЬНОМ РЕАКТОРЕ

5.1. Условия развития стримеров в коаксиальном реакторе.

5.2. Математическая модель.

5.3. Анализ условий ветвления стримеров.

5.4. Достоверность результатов расчетов.

5.5. Методика математического моделирования ветвящегося

• стримера.

5.6. Выводы.

Стримерная корона является одной из важнейших стадий электрических разрядов в газовых промежутках с резконеоднородным полем.

Стримерная корона играет важнейшую роль в развитии лидерного разряда, в частности в развитии лидера молнии. В соответствии с современными представлениями разогрев головки лидера происходит за счет протекания через нее токов стримеров окружающей ее короны. Чем выше степень ветвления стримеров, чем больше их головок развивается в стримерной зоне, тем больше суммарный ток, протекающий через головку лидера, и тем интенсивнее происходит ее разогрев [1].

Стримерная корона используется в устройствах для очистки воздуха от оксидов азота и серы и органических газообразных примесей. Согласно имеющимся данным наработка активных частиц (радикалов), разрушающих вредные примеси, происходит в головке стримера и в прилегающей к ней области канала [2]. Следовательно, чем выше степень ветвления стримеров и, соответственно, больше их головок развивается в реакторе, тем большее количество радикалов будет наработано и тем эффективнее будет идти очистка воздуха.

Это определяет значимость экспериментального и теоретического исследования стримерной короны в целом, и в частности математического моделирования процесса ветвления стримеров.

Стримером называют тонкий плазменный канал, который быстро прорастает вследствие лавинообразного размножения электронов перед его передним концом. Часто, хотя и не всегда, он начинает расти от высоковольтного электрода с малым радиусом кривизны. Заряженные головка и прилежащая часть канала служат источником сильного ионизирующего поля перед головкой.

В реальных условиях стример крайне редко существует как одиночное образование. Многочисленные экспериментальные данные свидетельствуют о том, что при вспышке стримерной короны с положительного электрода образуется стримерная зона, представляющая собой совокупность совместно развивающихся разветвленных стримеров [3-9].

Это делает стримерную корону исключительно сложным явлением. При ее исследовании возможности эксперимента ограничены и сводятся к изучению структуры короны, регистрации тока разряда и напряжения на разрядном промежутке, а также излучения отдельных стримеров и стримерной короны. Используя измеренные значения тока стримеров, оказывается возможным оценить среднее значение концентрации электронов в канале [10] и линейной плотности избыточного заряда в канале [11], [12]. На основании данных об излучении стримеров оказывается возможным оценить радиус стримеров [13], [14] и скорость их распространения [14], [15].

На этом, к сожалению, возможности экспериментального исследования стримерного разряда исчерпываются: определить опытным путем распределения напряженности электрического поля и концентраций заряженных частиц в стримерном канале оказывается практически невозможным. В то же время эти данные необходимы, например, при оптимизации конструкции и режимов эксплуатации устройств для очистки топочных газов ТЭС от оксидов азота и серы и других установок. Для определения этих параметров приходится прибегать к численному моделированию разрядных процессов.

Математическим моделированием одиночного стримера занимались многие авторы [17-33]. В результате многолетних исследований были разработаны две группы математических моделей. Первая - это так называемые 1,5-мерные модели, иногда называемые также одномерными [17-22]. В них радиус стримера полагается фиксированным и предполагается, что параметры стримера (напряженность электрического поля, концентрации заряженных частиц) в его поперечном сечении остаются постоянными, а их изменение происходит только в направлении распространения стримера. Вторая группа математических моделей - это двумерные модели, в которых изменение параметров происходит как в направлении распространения стримера, так и в поперечном направлении [23

32]. Известна также промежуточная модель [33], основанная на 1,5-мерной модели, в которой предпринимается попытка учесть ионизационное расширение канала стримера в радиальном электрическом поле.

Следует отметить, что совпадение результатов расчетов, полученных с использованием 1,5-мерных и двумерных моделей наблюдается в том случае, если радиус стримера в 1,5-мерной модели задается в соответствии со значением, полученным в двумерной модели, или с экспериментальными данными [26]. В противном случае наблюдаются значительные расхождения результатов. Однако из-за исключительно жестких требований, предъявляемых двумерными моделями к быстродействию используемого компьютера, область их применения ограничивается расчетом стримеров длиной не более нескольких сантиметров. При расчете более длинных стримеров, а также при моделировании стримерной короны в настоящее время используются исключительно 1,5-мерные модели.

Математическое моделирование стримерной короны в силу ее трехмерного характера является задачей более сложной, чем моделирование одиночного стримера. Поэтому в настоящее время отсутствуют модели короны, учитывающие одновременно параллельное развитие стримеров с электрода и их ветвление. Известны лишь работы, учитывающие только параллельное развитие [34], [35], а также работы, в которых делаются попытки отыскать пути к построению модели ветвления отдельного стримера [37-40]. Однако ни в одной из этих работ не удалось создать реально функционирующую модель ветвления.

Таким образом, законченной математической модели стримера, учитывающей его ветвление, в настоящее время не существует. Поэтому целью данной работы было избрано построение такой модели.

В результате проведенных исследований были получены следующие результаты.

Выполненный обзор результатов экспериментальных исследований нано-секундного импульсного стримерного разряда показал, что при вспышке стримерной короны с положительного электрода образуется стримерная зона, представляющая собой совокупность совместно развивающихся разветвленных стримеров. Наблюдается взаимодействие стримеров в стримерной зоне за счет их электрических полей, которое проявляется, например, в расталкивании ветвей стримера. Выявлены характерные значения основных параметров стримеров и стримерной короны (радиус стримера, концентрация электронов и плотность избыточного положительного заряда в его канале, скорость стримера, расстояние между соседними ветвями одного и того же стримера).

Выполнен обзор известных математических моделей отдельных стримеров и стримерной короны. Сопоставлены возможности 1,5-мерных и 2-мерных моделей. Показано, что в силу своей экономичности в наибольшей степени пригодна для моделирования процессов в стримерной короне 1,5-мерная модель. Условием ее применимости является корректный выбор значения радиуса стримера на основе опытных данных. Рассмотрены известные попытки построения математических моделей ветвления стримера. Показано, что в настоящий момент полная модель ветвления, способная описать основные черты стримерной короны, отсутствует.

Разработана практическая реализация 1,5-мерной математической модели одиночного стримера. Результаты проведенных расчетов подтверждают высокую точность разработанной 1,5-мерной математической модели стримера при условии корректного выбора одного из основных ее параметров - радиуса стримера.

Предложена концепция ветвления стримера, основным принципиальным моментом которой является то, что процесс начинается с появления неоднородности в пространственном распределении концентрации заряженных частиц, которая затем развивается в поле головки и канала стримера.

Разработана математическая модель развития случайной начальной неоднородности в распределении электронов вблизи головки стримера в сильном электрическом поле головки и канала. Показано следующее. Развитие начальной неоднородности приводит к возникновению образования, являющегося переходной лавиной с суммарным числом электронов 106 и более, и электрическим полем, напряженность которого сопоставима с напряженностью поля в головке первичного стримера. Выявлено условие его возникновения, заключающееся в том, что угол между осью первичного стримера и силовой линией, вдоль которой развивается начальная неоднородность не превышает 35°-40°.

Разработана математическая модель развития ветви из начальной неоднородности в распределении заряженных частиц. Для расчета движения самого первичного стримера и ветви, развивающейся из неоднородности, используется 1,5-мерная модель стримера с фиксированным радиусом. Ветвь распространяется вдоль силовой линии суммарного поля, созданного зарядами электрода, первичного стримера и ветви и окружающих стримеров короны. Показано, что наибольшую скорость развития имеют ветви, формирующиеся в сильном поле вокруг головки стримера (но не в поле канала).

На основе разработанной модели развития ветви стримера из случайной начальной неоднородности в распределении заряженных частиц, предложена математическая модель стримерной короны, в которой учитывается как параллельное развитие первичных стримеров с коронирующего электрода, так и их многократное ветвление. Модель была реализована в системе электродов «коаксиальные цилиндры».

Разработана программа расчета стримерной короны в коаксиальном реакторе для очистки воздуха от оксидов азоты и серы и других вредных газообразных примесей. В программе учитывается как параллельное развитие первичных стримеров с коронирующего электрода, так и их многократное ветвление. Проведены расчеты развития разряда в сантиметровых промежутках при средней напряженности электрического поля 5-15 кВ/см, что характерно для устройств очистки воздуха.

Расчеты показали, что условия для начала процесса ветвления наиболее благоприятны в тот момент, когда напряженность в головке первичного стримера максимальна, т.е. вблизи коронирующего электрода. При этом достигаются наибольшие значения напряженности поля в головке ветви, и, соответственно, ее скорости.

Расчеты показали, что с уменьшением начального расстояния между первичными стримерами уменьшается скорость распространения первичного стримера и его ветвей, причем скорость развития ветвей уменьшается в большей степени, чем скорость первичного стримера. При начальном расстоянии между соседними стримерами 0,2-^0,3 см скорость распространения ветвей на порядок меньше скорости первичных стримеров. Такой результат полностью соответствует опытным данным, согласно которым при расстоянии между соседними первичными стримерами 0,2-^0,3 см стримеры почти не ветвятся.

На основании проведенных расчетов определено наиболее вероятное значение расстояния между соседними ветвями на одном и том же первичном стримере, равное 0,3-И),4 см, причем оно слабо зависит от начального расстояния между первичными стримерами. Найденное расстояние между соседними ветвями одного и того же стримера хорошо соответствует результатам электрографических исследований.

5.6. Выводы

Базируясь на модели ветвления стримера, в основе которой лежит предположение о том, что ветвь формируется из начальной неоднородности в распределении плотности электронов, которая развивается в сильном электрическом поле головки и канала стримера, автор предложил математическую модель стримерной короны, в которой учитывается как параллельное развитие стримеров с коронирующего электрода, так и их многократное ветвление. Модель была реализована в системе электродов «коаксиальные цилиндры». Анализ начальных этапов формирования стримерной короны в рамках предложенной модели привел к следующим выводам:

Развитие ветвей с боковой поверхности стримеров в стримерной короне затруднено и, следовательно, ветвление в большинстве случаев должно происходить с головки первичного стримера. В частности скорость распространения ветви, возникшей на боковой поверхности первичного стримера, в 1,5-2 раза ниже скорости ветви, развивающейся с головки. На предположении о таком ходе процесса ветвления базируются следующие выводы.

Условия для начала процесса ветвления наиболее благоприятны в тот момент, когда напряженность в головке первичного стримера максимальна, т.е. вблизи коронирующего электрода. При этом достигаются наибольшие значения напряженности поля в головке ветви, и, соответственно ее скорости.

С уменьшением начального расстояния между первичными стримерами уменьшается скорость распространения первичного стримера и его ветвей, причем скорость развития ветвей уменьшается в большей степени, чем скорость первичного стримера. При начальном межстримерном расстоянии 0,2-Ю,3 см практически происходит «остановка» ветвей, т.е. их скорость оказывается на порядок меньше скорости первичных стримеров. Напротив, при начальном межстримерном расстоянии 0,5 см и более скорость первичного стримера не более чем в 2 раза превышает скорость ветвей. Такой результат объясняет опытные данные [14], согласно которым при расстоянии между соседними первичными стримерами в короне 0,2-Ю,3 см наблюдается очень низкая интенсивность ветвления.

Наиболее вероятное значение расстояния между соседними ветвями на одном и том же первичном стримере находится в пределах 0,3-Ю,4 см, причем оно практически не зависит от начального расстояния между первичными стримерами. Уменьшение расстояния по сравнению с указанным значением приводит к значительному уменьшению скорости их распространения и, следовательно, к более существенному отставанию от первичного стримера. Найденное расстояние между соседними ветвями одного и того же стримера хорошо соответствует результатам электрографических исследований [9].

На основании проведенных исследований предложена общая методика математического моделирования ветвящегося стримера, которая основана на предположении, что ветвление начинается в тот момент, когда складываются для наиболее интенсивного развития ветви, т.е. когда поле, в котором она развивается максимально, а экранирующий эффект соседних ветвей минимален.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных в данной работе исследований получены следующие основные результаты.

Выполненный обзор результатов экспериментальных исследований нано-секундного импульсного стримерного разряда позволил выявить значения основных параметров стримера и его ветвей, характерных для разряда в сантиметровых промежутках при средней напряженности электрического поля 5-15 кВ/см, что характерно для устройств очистки воздуха от оксидов азота и серы и других вредных примесей. К таким параметрам относятся радиус стримера, концентрация электронов и плотность избыточного положительного заряда в его канале, скорость стримера, расстояние между соседними ветвями одного и того же стримера. Показано, что при вспышке стримерной короны с положительного электрода образуется стримерная зона, представляющая собой совокупность совместно развивающихся разветвленных стримеров, причем с одним стримером, стартовавшим с коронирующего электрода, может быть связано несколько десятков ветвей. Наблюдается взаимодействие стримеров в стримерной зоне за счет их электрических полей, которое проявляется, например, в расталкивании ветвей стримера, благодаря которому в периферийной части стримерной зоны ветви могут двигаться поперек силовых линий «геометрического поля», созданного зарядом электродов.

Обзор работ, посвященных математическому моделированию импульсного стримерного разряда, показал, что глубже всего проработана задача о распространение одиночного стримера. Оно описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, которая включает в себя уравнения неразрывности потока частиц относительно концентраций электронов, положительных и отрицательных ионов, а также уравнение Пуассона относительно напряженности поля. Известны два приближения, в которых удается получить ее решение. Они различаются заложенными в них предположениями о характере распределения заряженных частиц в стримере. В 1,5-мерной модели предполагается, что стример имеет фиксированный радиус. Все параметры (концентрации заряженных частиц, напряженность электрического поля) в поперечном сечении стримера постоянны и принимаются равными значениям, вычисленным на его оси. В 2-мерной модели все параметры стримера изменяются как в направлении его распространения, так и в поперечном сечении. Радиус стримера получается как результат расчета. Показано, что, что 1,5-мерная модель стримера применима, если выполняются два условия. Во-первых, необходимо корректно выбрать значение радиуса стримера. Это может быть сделано на основании экспериментальных данных или расчетов по 2-мерной модели. Во-вторых, анализируется развитие сформировавшегося стримера, скорость и максимальная напряженность поля в котором достигли максимальных значений. Начальный этап формирования стримера корректно описывается только 2-мерной моделью, поскольку он сопровождается расширением канала стримера. Вместе с тем, использование 1,5-мерной модели дает значительный выигрыш во времени счета. Поэтому именно она применяется при математическом моделировании стримерной короны.

Число работ, посвященных математическому моделированию ветвления, крайне ограничено, причем удовлетворительного решения этой проблемы не найдено ни в одной из них. Тем не менее, в них предложены два объяснения причины возникновения ветвей. В качестве первой причины возникновения ветви предлагается развитие начальной неоднородности в распределении концентрации электронов в сильном поле головки первичного стримера. Второй причиной может явиться развитие начальной неоднородности в распределении заряженных частиц в канале (или вблизи канала) первичного стримера в суммарном поле канала и головки.

Отсюда возникает идея концепции ветвления стримера, основным принципиальным моментом которой является то, что процесс начинается с появления неоднородности в пространственном распределении концентрации заряженных частиц, которая затем развивается в поле головки и канала стримера.

Автором разработана практическая реализация 1,5-мерной математической модели одиночного стримера. Результаты проведенных расчетов подтверждают высокую точность разработанной 1,5-мерной математической модели стримера при условии корректного выбора одного из основных ее параметров - радиуса стримера.

Автором предложена математическая модель развития ветви из начальной неоднородности в распределении заряженных частиц. Для расчета движения самого первичного стримера и ветви, развивающейся из неоднородности, используется 1,5-мерная модель стримера с фиксированным радиусом. Ветвь распространяется вдоль силовой линии суммарного поля, созданного зарядами электрода, первичного стримера и ветви и окружающих стримеров короны. С течением времени направление силовой линии корректируется в связи с перемещением головок (как ее собственной, так и первичного стримера).

Показано, что формирующаяся из неоднородности ветвь отстает в своем движении в межэлектродном пространстве от первичного стримера, поскольку за время ее формирования она практически не смещается от начального положения. Время формирования ветви, и, следовательно, ее отставание от первичного стримера, определяется максимальной напряженностью электрического поля, в котором происходит этот процесс, и скоростью его изменения.

Показано, что при характерных значениях скорости стримера у5=(1-4)-108 см/с отставание только что сформировавшейся из начальной неоднородности ветви от головки первичного стримера может колебаться от 0,02-0,03 см до 0,1-0,5 см. Нижней границе этого диапазона соответствует формирование ветви в поле с напряженностью не менее 150 кВ/см, а верхней - менее 100 кВ/см.

Наибольшие значения напряженности электрического поля, в котором развивается неоднородность, достигаются вблизи головки стримера (150-250 кВ/см). Поле вокруг канала значительно слабее, и его напряженность в большинстве случаев не превышает 100-150 кВ/см. Однако и скорость спада напряженности поля вблизи канала меньше, чем вблизи головки. Поэтому ветвь, возникшая на боковой поверхности одиночного стримера, может развиваться приблизительно с такой же скоростью, что и ветвь возникшая на его головке. Однако время, которое требуется ветви, возникшей на боковой поверхности одиночного стримера, чтобы достичь максимальной скорости в четыре-шесть раз превышает время, которое требуется для этого ветви, возникшей на головке. Вместе с тем следует учитывать, что более корректным является анализ ветвления стримера, развивающегося в стримерной зоне. Дополнительно эта задача была рассмотрена в пятой главе данной работы.

Была предложена математическая модель развития случайной начальной неоднородности в сильном электрическом поле головки стримера. На основе этой модели был проведен численный эксперимент, целью которого было выяснить: возможно ли развитие случайной неоднородности, возникшей перед головкой первичного стримера, с начальным числом электронов порядка нескольких десятков; каковы параметры возникающего из нее образования; каковы условия, при которых такая случайная неоднородность могла бы положить начало ветви стримера. Проведенные расчеты показали следующее. Число электронов, накопившихся в неоднородности в ходе ее развития в поле головки первичного стримера, слабо зависит от их числа в случайной начальной неоднородности, если последнее лежит в диапазоне 10-100. Развитие начальной неоднородности в распределении электронов приводит к возникновению образования, по сути дела являющегося переходной лавиной с суммарным числом электронов 106 и более, и электрическим полем, напряженность которого сопоставима с напряженностью поля в головке первичного стримера. Условие возникновения такого образования заключается в том, что угол между осью первичного стримера и силовой линией, вдоль которой развивается начальная неоднородность не превышает 35°-40°. В противном случае неоднородность приближается к боковой поверхности головки первичного стримера, где напряженность электрического поля недостаточна для того, чтобы в неоднородности накопилось более 105 электронов. В случае выполнения указанного условия избыточный положительный заряд неоднородности создает в головке первичного стримера узкую область усиленного поля, направление которой не совпадает с осью первичного стримера. В этой узкой области создаются условия для интенсивной ударной ионизации, что в дальнейшем приведет к возникновению ветви.

Базируясь на разработанной модели развития ветви стримера из случайной начальной неоднородности в распределении заряженных частиц, автор предложил математическую модель стримерной короны, в которой учитывается как параллельное развитие первичных стримеров с коронирующего электрода, так и их многократное ветвление. Модель была реализована в системе электродов «коаксиальные цилиндры». Анализ начальных этапов формирования стримерной короны в рамках предложенной модели привел к следующим выводам.

Условия для начала процесса ветвления наиболее благоприятны в тот момент, когда напряженность в головке первичного стримера максимальна, т.е. вблизи коронирующего электрода. При этом достигаются наибольшие значения напряженности поля в головке ветви, и, соответственно ее скорости.

С уменьшением начального расстояния между первичными стримерами уменьшается скорость распространения первичного стримера и его ветвей, причем скорость развития ветвей уменьшается в большей степени, чем скорость первичного стримера. При начальном межстримерном расстоянии 0,2+0,3 см практически происходит «остановка» ветвей, т.е. их скорость оказывается на порядок меньше скорости первичных стримеров. Напротив, при начальном межстримерном расстоянии 0,5 см и более скорость первичного стримера не более чем в 2 раза превышает скорость ветвей. Такой результат объясняет опытные данные, согласно которым при расстоянии между соседними первичными стримерами в короне 0,2+0,3 см наблюдается очень низкая интенсивность ветвления.

Наиболее вероятное значение расстояния между соседними ветвями на одном и том же первичном стримере находится в пределах 0,3+0,4 см, причем оно практически не зависит от начального расстояния между первичными стримерами. Уменьшение расстояния по сравнению с указанным значением приводит к значительному уменьшению скорости их распространения и, следовательно, к более существенному отставанию от первичного стримера. Найденное расстояние между соседними ветвями одного и того же стримера хорошо соответствует результатам электрографических исследований.

На основании проведенных исследований предложена общая методика математического моделирования ветвящегося стримера, которая основана на предположении, что ветвление начинается в тот момент, когда складываются для наиболее интенсивного развития ветви, т.е. когда поле, в котором она развивается максимально, а экранирующий эффект соседних ветвей минимален.

1. Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Искровой разряд. М.: Издательство МФТИ, 1997.

2. Соколова М.В., Темников А.Г., Анашкина О.В. Некоторые возможности комплексного метода экспериментального исследования импульсной наносекундной короны в воздухе. // Вестник МЭИ, 2000, №2, С.27-34.

3. Щ Bastien F., Marode E. The determination of basic quantities during glow-to-arc transition in a positive point-to-plane discharge. // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.12, 1979, pp. 249-263.

4. ИИ1 Gao L., Akyuz M., Larson A. et al. Measurement of the positive streamer charge. // Proceedings of 11-th International Symposium on High Voltage Engineering, 1999. pp. 3.35.S5-3.38.S5.

5. Ж Suzuki T. Transition from primary streamer to the arc in positive point-to-plane corona. //J.Appl.Phys., Vol.42, 1971, pp.3766-3777.

6. Я Gilber A., Bastien F. Fine structure of streamers. // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.22, 1989, pp.1078-1082.

7. Wk Creyghton Y.L.M. Pulsed positive corona discharges (Fundamental study and application to flue gas treatment). Ph.D.Thesis, Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 1994.

8. Blom P.P.M. High Power Pulsed Corona. Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 1997.

9. Физические основы электрического пробоя газов / А.Ф.Дьяков, Ю.К. Бобров, А.В.Сорокин, Ю.В.Юргеленас; Под. ред. А.Ф.Дьякова. М.: Издательство МЭИ, 1999.

10. И Morrow R. // Physical Review A, Vol. 32, 1985, p. 1799.

11. И Верещагин И.П., Белогловский A.A., Винокуров В.Н. Математическая модель одиночного стримера для анализа процессов в стримерной короне. // Вестник МЭИ, 2000, №2.

12. Wang М.С., Kunhardt Е.Е. Streamer dynamics. // Physical Review A. Vol. 42, No 4, 1990, pp.2366-2373.

13. Guo J.-M., Wu C.-H.J. Two-Dimensional Nonequilibrium Fluid Model for Streamers. // IEEE Transactions on Plasma Science, Vol. 21, No. 6, December 1993, pp. 684-695.

14. Kulikovsky A.A. Two-dimensional modelling of positive streamer in N2 between parallel-plate electrodes. // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.28, 1995, pp.2483-2493.

15. Si Naidis G.B. On streamer interaction in a pulsed positive corona discharge. // J.Phys.D:Appl.Phys., Vol.29, 1996, pp.779-783.

16. Верещагин И.П., Белогловский A.A., Винокуров B.H. Численное моделирование стримерной короны: параметры стримеров и структура электрического поля в сферической стримерной зоне. // Вестник МЭИ, 1999, №1, С.48-54.

17. В Badaloni S., Gallimberty I. Montecarlo Simulation of Streamer Branching. // XIICPIG, Prague, 1973, Rep. №3.2.35.

18. Geary J.M., Penny G.W. Charged-sheath model of cathode-directed streamer propagation. // Physical Review A, Vol. 17, No. 4, pp. 1483-1489.

19. Щ Железняк М.Б., Мнацаканян А.Х. Сизых С.В. Фотоионизация смесей азота и кислорода излучением газового разряда. // ТВТ, 1982, том 20, №3.

20. Ц Сергеев Ю.Г. Электрические разряды в газах при постоянном напряжении. М.: Издательство МЭИ, 1983.

21. Vereshchagin I.P., Beloglovsky А.А., Vinokurov V.N., Sokolova M.V. A model of impulse streamer corona formation. // Eleventh International Symposium on

22. High-Voltage Engineering ISH-99. London, UK, 23-27 August 1999. Proceedings. Vol. 3. pp. 3.248.P3 3.251.P3

23. Mi Бронштейн И.Н., Семендяев K.A. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986.