автореферат диссертации по энергетическому, металлургическому и химическому машиностроению, 05.04.06, диссертация на тему:Разработка универсальной модели процессов переноса газа каналами ограниченной длины в условиях высокого вакуума

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена

Трудового Красного Знамени ■ государственный технический университет имени Н.Э.Баумана

РГ6 о* '

•' ' На правах рукописи

УДК 621.52

Макаров Констаигин Анатольевич

РАЗРАБОТКА УНИВЕРСАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ГАЗА КАНАЛАМИ 01ТАНИЧЕНН0Й ДЛИНЫ В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОГО ВАКУУМА

05.04.06. Вакуумная, компрессорная техника и ппевмосистемы

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

М-

Москва 1996

Работа выполнена в Московском ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственном Техническом Университете имени Н.Э.Баумана

доктор технических наук, профессор К.Е.Демихов

доктор технических наук, профессор С.Б.Свирщевский, кандидат технических наук , старший научный сотрудник В.И.Бойцов

Ведущая организация: НИИ вакуумной техники

им. С.А. Векшинского

Защита диссертации состоится " 4 " jdOAxH 1996г. в 7 Учас. на заседании специализированного Совета К.053.15.07 при Московском Государственном Техническом Университете имени Н.Э.Баумана по адресу: 10700SS, г.Москва, Лефортовская наб., д.1, ф-т "Энергомашиностроение"

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ.

Отзывы в двух экземплярах просим направлять но адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская улица, д. 5.

Автореферат разослан "37" 1996г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К.053.15.07

кандидат технических наук ---— В.Н.Козлов

Поди, к печати ll.09.9i Заказ /9} Объе* I п. ' Тир. 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Высокий уровень вакуумной техники, особенно п области сверхвысокого вакуума, является необходимым условием для удовлетворения постоянно возрастающих потребностей таких областей промышленного производства как микроэлектроника, атомная и аэрокосмическая техника, а также для решения важнейших научных проблем современной физики: исследование природы элементарных частиц, получение устойчивой реакции термоядерного синтеза и др. Развитие вакуумной техники выдвигает все более высокие требования к высоковакуумным средствам откачки. При сохранении тенденции к усложнению создаваемых систем повышается роль математического моделирования при решении задач оптимизации, рабочих и массогабаритных характеристик системы на стадии проектирования.

Задача оптимизации сложной высоковакуумной установки, состоящей из различных элементов, требует разработки единого подхода к описанию рабочих процессов в каждом отдельно\ элементе, основанного на обшей для них системе базовых теоретических положений, адекватной рассматриваемым процессам. Математические модели, создаваемые на основе такого подхода для применения в оптимизац. онных расчетах, должны отличаться универсальностью, высокой степенью физической строгости и математической корректности наряду с простотой и экономичностью расчетов.

Как правило, использование более строгих физических моделей влечет за собой усложнение используемого математического аппарата, и существенно затрудняет проведение практических расчетов, поэтому из-сстные в настоящее время в вакуумной технике модели не в прлной мере удовлетворяют перечисленным требованиям.

Цель работы

- Создание единой методологии моделирования рабочих процессов, пригодной для списания различных элементов проточной части системы откачки, основанной на простом классическом математическом аг: .арате дифференциальных уравнений, наполненных новым физическим содержанием, позволяющим учесть характерные особенности свободномолекулярного режима течения с/ткачиваемого газа.

- Создание на этой основе математических моделей основных элементов проточной части систем откачки.

- Проверка работоспособности моделей, построенных при использовании разработанного подхода, путем сравнения результатов . расчетов с экспериментальными данными и с результатами известных в вакуумной технике теорий. •

Научная новизна.

- Предложена модернизация уравнения типа Фоккера-Планка-Колмогорова (Ф1Ж), позволяющая корректно описывать процесс блуждания единственной частицы газа в канале ограниченной длины. Нелокальные эффекты, характерные для свободномолекуляргого режима течения, учитываются при этом с помощью членов - аналогов конвективного сноса и объемного поглощения, которые естественным образом появляются в уравнении типа ФПК вследствие ограниченности длины канала.

- Рассмотрены вопросы физической обоснованности разработанного подхода, в частности, предложен способ постановки граничных условий к модернизированному уравнению ФПК.

- Предложен способ описания общего случая взаимодействия элементов системы. В рамках более строгой модели, использующей основное кинетическое уравнение, получены результаты, подтверждающие правомерность использования основного уравнения вакуумной техники в форме, впервые предложенной С.Оугли.

Практическая ценность.

- Разработанный подход позволяет во многих случаях отказаться от сложных и дорогостоящих экспериментальных иссл тюваинй.

-Разработаны алгоритмы и программы расчета параметров течения разреженного газа в различных каналах ограниченной длины, используемых в вакуумных насосах и системах

-Получена общая форма основного уравнения вакуумной техники, частным случаем которой является соотношение С.Оутли, и обосновано ее применение для решения практических задач при создании с «временных вакуумных насосов и систем.

-Использование результирующих соотношгний для общей проводимости вакуумтй системы позволяет проектировать установки с улучшенными рабочими и массогабаритными характеристиками.

- Разработан алгоритм определения оптимальных параметров активных элементов вакуумных насосов. В результате решения задачи оптимизации геометрической формы сорбционного насоса цилиндрического типа полнены результаты, позволяющие в конфетном случае сократить массу используемого сорбента на 44% по сравнению с насосом традиционной формы.

Апробация работы ,

Основные положения работы обсуждались на II международной конференаии "Актуальные проблемы фундаментальных наук"(Москва 1994г.), на международной конференции "Вакуумная наука и техника" (Гурзуф 1994г.), на конференции, посвященной 165-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва 1995г.), на международном конгрессе молодых ученых "Молодежь и наука -третье тысячелетие" (Москва 1996г.).

Публикации

По результатам проведенных исследований опубликовано 4 печатных работы.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка лит ртгуры и приложи гия. По объему работа состоит из 134 страниц текста, 21 рисунка, 1 таблицы, библиография насчитывает 164 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследуемого вопроса, сформулированы цели и перечислены основные положения, выносимые автором на защиту.

В первой главе представлен обзор наиболее используемых в современной вакуумной технике моделей течения разреженного газа, проведен их сравнительный анализ с точки зрения соответствия требованиям модульного принципа при проектировании систем откачки.

Так, известные представления о течении разреженног, газа в каналах ограниченной длины М.Кнудсена, М.Смолуховского, гипотеза С.Дэшмана, результаты, работ С.Оутли, А.Макарова отличаются простотой математической

формулировки, приводят к качественно приемлемым результатам, но, вместе с тем, базируются на внутренне противоречивых физических предпосылках. Более глубокие представления теории П.Клаузинга приводят к математическим моделям высоковакуумных систем, затрудняющим многовариантные расчеты. К подобному результату приводят и безупречные по обоснованности методы статистического ■ моделирования (Монте-Карло), которые отличаются относительной простотой реализации вычислительного алгоритма на ЭВМ, но требуют больших затрат машинного времени.

Методы динамики разреженного газа, к которым относится прямое использование распределения молекул газа по скоростям и кинетического уравнения Больцмана, отличаются сложностью математического аппарата и трудностью реализации выч <1 лительной процедуры на ЭВМ.

Перечисленные основные методы к ьастоящему времени получили большое развитие, но, вместе с тем, работа по созданию единого теоретического подхода к описанию процесса переноса молекул .газа различными элементами системы, удобного для проведения оптимизационных расчетов, еще далека от завершения.

Таким образом, задачами настоящего исследования являются:

1 .Создание единой для наиболее распространенных типов модулей высоковакуумной системы откачки физически строгой и математически корректной теории, использующей традиционный математический аппарат дифференциальных уравнений, приспособленных для описания свободномолекулярного режима течения.

2.Создание на основе этой теории математических моделей различных элементов, образующих проточную часть вакуумной системы (отработка способов ее применения для реше! ия практических задач).

3.Разработка способа описания взаимодействия различных модулей высоковакуумной системы в рамках разработанной единой теории.

Вторая глава посвяшена разработке теоретических основ единого подхода к описанию течения разреженного газа в каналах ограниченной длины.

Основные допущения:

1 .В канале имеет место свободномолекулярный режим течения;

2.3акон, отражения молекул газа элеме! гом поверхности считается известным. В рассмотренных модельу I редполагалась полная

термическая аккомодация молекул со стенкой и использовался диффузный закон испускания в системе координат, связанной с испускающей площадкой.

3.3а характерное время X все молекулы, находящиеся в окрестности сечения х' на боковой поверхности канала покидают своп места, и с вероятностью К(х,Х:)сЫ '¿/с попадают на элементарную площадку в окрестности сечения X Вид функции К(х,х') определяется законом-испускания и геометрической формой поверхности канала.

4.В объемах, граничащих с рассматриваемым каналом, газ находится в состоянии термодинамического равновесия. Это дает возможность считать входное отверстие канала поверхностью, испускающей молекулы в соответствии с диффузным законом. В соответствии с этим

допущением определяется величина /(х)(1(Т - вероятность нахождения

на элементарной площа/ се (1(Т в окрестности сечения X молекулы, влетающей в канал через начальное сечение.

5.Молекулы, покидающие канал через начальное или конечное сечения, в дальнейшем процессе н • участвуют (кроме специально оговоренных случаев).

На основе перечисленных допущений можно записать основное кинетическое урагнение как уравнение баланса поверхностной плотности

молекул (плотности вероятности нахождения молекулы) откачиваемого газа V

на элементарной площадке (1(.7в окрестности сечения X.

= \к(х,х')у(х,,0(к',

о

с начальным условием 0) ~/(х) ,где Ь - длина канала.

Если разложить искомую функцию в ряд Тейлора в окрестности точки X и ограничиться первыми тремя членами разложения, можно пгтучить модернизированное дифференциальное уравнение типа Т>оккера-Планка-Колмогорова (ФПК). *

ду .ду . д'у Лс ах

где

дг (х) - т

\-\К(х,х')£Ы'

с

ь

V (х)=-т'х ¡(х'-х)К(х,х')с1х'

о

д - г-1 $х,~*)г-к(х,х,)<ь'

о

Как следует из рассмотрения физического смысла полученных выражении, величина £) описывает среднеквадратичное смещение молекулы вдоль оси X за единицу времени, а V - среднее смещение. То есть, величины О и V можно считать, соответственно, коэффициентом диффузии и конвективного сноса, как их принято вводить в теории случайного блуждания. С помощью коэффициента

объемного поглощения (X учитывается возможность молекулы покинуть канал через начальное или конечное сечение.

Слагаемые - аналоги кьнгзктивного сноса и объемного поглощения -появляются в модернизированном уравнении ФПК вследствие ограниченности канала как проявление влияния границ непосредственно на г.сю область течения. В традиционных локальных моделях обычно делается предположение о малости относительного смещения молекулы за один акт блуждания. В рассмотренной модели, если устремить границы канала соответственно в +оои

в -оо , то У—О, ИХ—О. Последнее следует из условия

+00

нормировки: х,х' )(1х' — 1, физический смысл которого состоит в том,

-со

что за единичный акт блуждания молекула не может покинуть бесконечно длинный канал.

В настоящей работе предложен новый ф> зигзски обоснованный способ постановки граничных условий к модерниз» роваиному 'уравнению ФПК.

Традиционный способ описания рЗсоккгно погашающих экранов заключаете* в постановке однородных граничных условий i рола.

В предлагаемой постановке задачи из формы записи коэффициентов V к D следует, что они описывают пгрераспредел??:кг поверхностной плотное!» молекул только, в конечных пределах (0,L). Tsuaim образом, представляете.! физически обоснованной постановка однородных граничных условий 111 рола:

'(G(0,t)=0 ( ¿rj \ dv

Irv/ п,Где G(x.t)^\V(x}+—(x)Ux,t)-D(x)--(xJI \y(L,t)-\J у nx J ox

- поток поверхностной плотности молекул газа через сечение Л. Вылет молеку;

онисиьрется с помощью объемного поглощения (X

Вырахекие для коэффициента Кгяузччга (канат конечной длимк) получено в диссертационной работе.

На рис.1 приведены результата расчетов коэффициента Клаузинга автором в сравнении с результатами известных численных и физических экспериментов. На рис.2 приведены аналогиччые результаты для текущего распределения поверхностной плотности молекул по длине мима. Легко видеть, что предложенный способ постановки граничных условий дает значения, наиболее близкие к решению исход! ого основного кинетического уравнения. В результате решения модернизированного уравнения ФПК с граничными условиями III рода получаете* зависимость, наиболее близкая к зависимости, полученной в рамках достаточно строгой модели П.Клаузинга. Рассматриваемые результаты особенно близки для каналов налой и средней . относительной длины. При L/d< 1.5 рэсхожденкс не превышает 5%. Анализ приведенных зависимостей позволяет сделать заключение о том, что разработанный подход позволяет создавать расчетные модели на базе относительно простого математического аппарата дифференциальных уравнений, приводящие к результатам, хорошо совпадающим с экспериментальными данными и с результатами более строгих теорий.

Предложенный в работе способ постанови! удобен еще и т<»м, что позволяет, не меняя граничных условий, сгснсысать конечную область течения и с "эластичными" и с "отражающими'' экранами на границах. Влияни? физических условии на границе какала сказывается непосредственно на

коэффициентах модернизированного уравнения ФПК. На практике такой подход позволяет с максимальной точностью описывать течения газа в элементах сложной вакуумной системы изолированно друг от друга, что является необходимым при структурной оптимизации.

Рассмотрена модель, учитывающая различное время перелета молекул, имеющих разную скорость. На ее основе получена количественная оценка характерного осредненного времени перелета молекул Г.

Введена классификация, положенная в основу построения комплекса расчетных моделей элементов вакуумных систем.

Третья глава посвящена описанию примеров создания расчетных моделей элементов вакуумных систем с использованием модернизированных уравнений ФПК.

Рассмотрены модели круглого' цилиндрического и щелевого каналов с пассивными стенками и абсолютно поглощающими торцами. Предложен метод расчета степени поглощения молекул сорбирующими или конденсирующими стенками канала. Как примеры приведены расчетные модели вакуумных ловушек различной геометрической формы.

В качестве канала с поглощающим торцем и пассивными стенками рассмотрена модель сорбционного насоса. При этом величина К(х,х') состоит из двух слагаемых, одно из которых описывает переход молекулы с одной элементарной площадки на другую непосредственно, а второе - после отражения от частично поглощающего торца. Таким образом, влияние условий на границе канала сказывается непосредственно на виде выражений для коэффициентов модернизированного уравнения ФПК, что позволяет учесть нелокальность свободномолекулярного режима течения.

Для каналов., образованных поверхностями, ь ^эквивалентными с точки зрения вероятности попадания на них молекул откачиваемого газа вследствие особенностей их геометрической формы или взаимного перемещения, которое учитывается при записи закона испускания молекулы элементом поверхности, система модернизированных уравнений ФПК имеет вид:

[ ду, дг 1 о ^ V дг1 11 дух -Уп ¿>У2 д2

ду2 д1 -я 21 дгг -аиу,-а12у2 1 О 22 21 дУ, д2 У22 ду2 дт.

-а21у,-а22у2

где:

а/г) = т-1(\-(\-у,(2))\Ки(212')сЬ'),

о

а0(2) =-т-х(\-у{г)) 1кв(2,2')<Ь' при I*],

о

=-Г VI-Г,(2)))(2'-2)К0(2,2')сЬ',

О

Э,/2) = Г-Х(\-у,(2))

О 1

где Ку - плотность вероятности перехода частицы с поверхности ] на

поверхность /. ~ вероятность поглощения молекулы ¡о'и поверхностью. Начальные условия имеют вид:

Ы2,0)=(\-Г1(2))Кк(2) . \у2(2,0)=(\- У2(2))Кк(2)

В качестве примеров таких каналов в работе рассмотрены модели активных элементов турбомолекулярного, молекулярного и диффузионного насосов. В модели турбомолекулярного насоса входное сечение рассматривается как движущаяся поверхность, ' диффузно испускающая молекулы' в связанной с ней системе отсчета. При переходе в систему отсчета, связанную с каналом, закон испускания принимает вид, отличный от известного кнудсеновского закона, что позволяет учесть разную вероятность попадания

молекул на лопатки вследствие вращения ротора К20. Поглощение на

лопатках отсутствует Y¡~Y2=0. Молекулы могут п-телетгль только с одной

поверхности на другую К\ i = К22=0.

В модели молекулярного насоса поверхности расположены равнозначно с точки зрения вероятности попадания на них молекул откачиваемого газа

К}о=К2о, но вследствие того, что первая поверхность движется, -Поглсщгьке на лопатках отсутствует //=/2=0. Молекула могут перелетать только с одной поверхности на другую К\\~ К22=0.

В модели диффузионного насоса граница ртруи представлена как движущаяся и одновременно поглощающая поверхность 0 , Так

как струя занимает не весь объем проточной полости, ■ молекулы могут перелетать с одной площадки поверхности стенки корпуса на другую /С22Л (при записи выражений Ку учтено явление затенения поверхностей).

В четвертой главе разработан способ описания пзаимного влияния модулей в системе в рамках предложенного теоретического подхода и рассмотрено его физическое обоснование. Влияние остальных элементов системы на течение в рассматриваемом модуле проявляет* ч в том, что молекула, покидающая модуль через начальное сечение а или конечное * сечение Ь, имеет возможность вернуться. Общая безразмерная ьроводимость системы, состоящей из двух модулей, в направлении а—Й) с учетом многократного перехода части молекул из одного модуля в другой

W W *

определяется соотношением: Wabr =-————, а вероятность возврата

1 "" ^ábl^bal

W W W'

■ молекулы через сечение fl: W ^ = W^ +~fb\хJ? f , где IVаЫ -

ч 1 оЛ2 bul

; вероятность прохождения молекулой отдельно взятого /-го модуля в прямом ] направлении, и W¡^¡ - в обратном, a W'abi и W'tai - вероятности возврата ! молекулы, влетевшей в канал, соответственно через сечение а и Ь.

Если рассматривать частный случай двух каналов с негюглощающнми стенками и с одинаковой вероятностью прохождения молекулы в одном и в'

другом направлений то из приведенных аыражгм-й

пол>чить форму безразмерного основного уравнения вакуумной гс*"'..*г.'1, впервые предложенную С.Оутли:

IV £ IV. + IV 2

Приведенные выше зависимости описывают более общий случай каиалиа гз позволяют учесть ¡как особенности геометрической формы канала, пи я возможность поглощения на стенках.

При заводе этих соотношений поверхности торцевых л и Л

рассматриваются как частично поглощающие экраны с вероягчогтгю поглощения Уь~ 1 где \Уаы; - вероятность возврата молгку.чы,'

влетающей через начальное сечение в систему модулей. присоединчпгу.з ыелм начрлс.! а к выходному сечению рассматриваемого модуля Ь, уа-1-¡V где IV - вероятность возврата молехулы, влетающей чер> конечное сет. в другую систему модулей, которая присоединена своим концом Ь к «¡о ни .чу сечению рассматриваемого модуля а.

Для того, чтобы описать процесс течения разреженного газа в отдельном модуле с учетом влияния остальных, в разработанном подхода записываете» сначала основное кинетическое уравнение, в интегральное ядро К(х,х') ■которого входят члены, учитывающие многократное отражение и частичное поглощение молекул торцами а и Ь . Из основного кинетического зравненкя выводится модернизированное уравнение ФПК. С его помощью, а также с помощью основного диетического уравнения, для частного случая системы, состоящей из круглого цилиндрического канала дайной Ь и радиуса Г и насоса с безразмерной быстротой действия Б—0.5, получены значения эффективной быстроты откачки.

Из анализа результатов можно заключить, что при традиционном использовании основного уравнения вакуумной техники величина эффективной быстроты откачки занижалась. Для коротких патрубков результаты блинки

п

вследствие относительно большой вероятности пролета молекулы через патрубок без столкновения со стенками.

Уг Проводимость Эффективна« быстрота откачки

изолированного патрубка (безразмерная)

данные данные основное данные метод

П.Ю.ауэинга автора уравнение вак. техннкн автора С.Оутли

0.2 0.909 0.909 0.323 0.476 0.476

0.5 0.801 0.801 0.308 0.441 0.445

1.0 0.672 0.672 0.287 0.387 0.402

5.0 0.315 0.308 0.190 0.224 0.235

10.0 0.197 0.185 0.135 0.148 0.156

Для патрубков с Ь/г> 10 расхождение в ре?ультатах не превышает 6% так как на больших длинах влияние переотражения сказывается меньше. Для патрубков средней и короткой длины (0,1<Ь/г<10) разница достигает 70%. Этот результат имеет большое практическое значение, так как наиболее часто встречающиеся б технических системах патрубки рме!тт величину относительной длины, лежащую в этом диапазоне.

Таким образом, на основе интегродифференциалмюго основного' кинетического уравнения впервые строго показано, что в основном уравнении вакуумной техники должно использоваться значение проводимости патрубка в системе, а не отдельно взятого, изолированного патрубка. Если в расчетах используется значение проводимости отдельно взятого изолированного патрубка, то основное уравнение вакуумной техники должно быть записано в форме, предложенной в работе, частным случаем которой является соотношение С.Оутли, в противном случае эффективная быстрота действия системы откачки оказывается заниженной.

В приложении приведена методика оптимизационного расчета эффективной быстроты действия сорбционного насоса с помощью разработанного единого теоретического подхода к моделированию элементов высоковакуумных систем. В результате решения задачи оптимизации геометрической формы сорбционного насоса цилиндрического типа получены результаты, позволяющие в конкретном случае сократить массу используемого сорбента на 44% по сравнению с насосом традиционной формы.

Основные выводы и итоги работы

1.Разработан единый теоретический подход к построению моделей течтияя разреженного газа в каналах ограниченной длины с подвижный^ и неподвижными, поглощающим», и отражающими стенками. В оси-ояу теоретического подхода положено модифицированное в настоящей тг.'>\ггг уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, учитывающее • существгъ^о нелокальный характер свободномолекулярного течения газа в каналах ограниченной длины. При этом модели, создаваемые на доносе разработанного подхода, свободны от внутреннего противоречия га.ч-.-стксм модели М.Кнудсена.

2.Разработан физически обоснованный способ постановки граничных услсанй & модифицированному уравнению Фоккера-Планка-Колчогорсга, позво.|1яющий корректно описывать течение в канале конечной длнлч с частично поглощающими и отражающими торцами. На практике этот способ позволяет с максимальной точностью рассматривать элементы сложной вакуумной системы изолированно друг от друга, что пределамется удобы»м при оптимизации высоковахуумной системч.

3.На основе разработанного теоретического подхода созданы модели различных типов элементов высоковакуумных систем, в том числе: модели каналоз различной геометрии, модели ловушек как каналов с сорбирующими стенками, сорбционного насоса, элементарной ячейки молекулярного и турбомолекулярного насоса, протонной части диффузионного насоса.

4.Разработан способ определения общей проводимости системы, состоящей из произвольного числа модулей с учетом их взаимного влияния. Способ отличается относительной простотой, экономичностью и может быть

. использован в задачах оптимизации.

5. В рамках разработанного теоретического подхода описано течение разреженного газа через отдельный модуль, находящийся в системе. Исследовано влияние остальных элементов системы на характер процесса в модуле, описано изменение проводимости модуля в зависимости от его места в системе.

6.На основе интегродифференциалыюго основного кинетического уравнения впервые строго показано, что в основном уравнении вакуумной техники должно использоваться значение проводимости патрубка в системе, а не

отдельно взятого, изолированного патрубка. Если в расчетах используется значение проводимости отдельно взятого, изолированного патрубка, то основное уравнение вакуумной техники должно быть записано г форме, частным случаем которой является соотношение С.Оутл»'.

Проведеное сравнение результатов расчетов отдельных модулей с экспериментальными данными и результатами известных теорий подтвердило работоспособность разработанного теоретического подхода.

Публикации по теме диссертации:

1 .К.А.Макаров, А.М.Макаров, Л.А.Лунйва. К проблеме локальности в 1 сори*г броуновского движения // Тр. Второй междунар. конф. "Актуальные проблемы фундаментальных наук". - МГТУ им. Н.Э.Баумана. - М.1П94. - Т.З. -С.153.

2.К.А.Макаров, Д.В.Макаров. Расчёт элементов вакуумных систем на основе кинетических уравнений // Тр. междунар. конф. "Вакуумная наука и техника". - Гурзуф. - 1994. - С.60

3 .К.А.Макаров, А.М.Макаров. Проблема локальности при описании течения разреженного газа // Тр. конф "165 лет МГТУ". - МГТУ им Н.Э.Баумана. - М. - 1995. - Т.2.- С. 166.

4.К.А.Макаров. Проблема нелокального описания свободнэмо-лекулярного течения газа в каналах ограниченной длины // Тр. междунар. конгресс "Молодежь и наука - третье тысячелетие". - М. - 1996. Т.2.- С.84.

w

V ^ f 2 4

1

/ • 3 ->

•

0.05 ш 2.5

Рис.1

Зависимость коэффициента Клаузинга от отношения длины к диаметру для круглого цилиндрического канала. Результаты получены: В рамках разработанного подхода

1. с помощью модернизированного уравнения ФПК с граничными условиями I рода

2. с помощью модернизированного уравнения ФПК с граничными ' условиями III рода

3. путем решения основного кинетического уравнения а также уравнения Клаузинга.

4. В рамках модели М.Кнуд^ена. Экспериментальные данные

щ C.W.Oatley

0 D.H.Davis,Levenson L L., N Milleron у L.M.Lund, A S Berman

■ у/Ц)

Рис.2.

Изменение со временем распределение плотности вероятности обнаружения молекулы по длине канала

1. Решение основного кинетического уравнения

2. Уравнение ФПК с граничными условиями Ш рода

3. Уравнение ФПК с граничными условиями I рода

4. Уравнение ФПК с граничными условиями, полученгыми с помощью преобразований Лапласа