автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Разработка теории оперативного управления в стохастических системах и ее практическая реализация

Министерство образования Туркменистана _Туркменский политехнический институт_

г. --« На правах рукописи

1 | О

ЯЛКАПОВ ЖУМАГУЛЫ

УДК 658.012:519.715

Разработка теории оперативного управления в стохастических системах и ее практическая реализация

'пециальность 05.13.06 - Автоматизированные системы управления

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ашгабат -1996

Работа выполнена в Туркменском политехническом институте и физико-техническом институте АНТ

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Балакирев В. С.

доктор физико-математических наук, профессор Алимов Дж. К.

доктор технических наук, профессор Назаров П. А.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита состоится "_Х5_" 61 199 С г. в / часов на

заседании специализированного Совета Д2В.015 при Туркменском политехническом институте по адресу: 744025, Туркменистан,

Ашгабат, ул. Халмамедова Н., 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТПИ. Автореферат разослан " ^ " -' 11 ( ?с/*и1\99Сг.

Ученый секретарь

Специализированного Совета Мамадалиев И. X.

к. т. н., доцент

Общая характеристика работы.

Актуальность пробломьг.В современных условиях для решения многих научно-технических проблем,а также для управления производством широко применяются компьютеры.На основе их применения вырабатывают практические рекомендации для принятия решений управлением.

В настоящее время в таких областях,как массовое обслуживанне:справочное и сервисное службы,скороя помощь,больницы,городской транспорт,телефонная сеть, водо- и электроснабжение и т.д.-применение компьютеров в управлении становится очевидным фактом.Перечисленные объекты позволяют подчеркнуть их некоторые общие свойства и определить их как стохастическую систему.Поскольку входные потоки (параметры) или режимы их функционирования носят случайный характер.Компьютеры применяются для анализа ситуации,выработки управленческих решений режимами системы.Это особенно становится важным при оперативном управлении системой.Тем самым удается автоматизировать рекомендуемые решения для управления.Как известно АСУ имеет объект и орган управления.В качестве объекта управления системы служат их ресурсы (каналы,места для ожидания и т.д.) и их режимы.В качестве органа управления выступают администраторы или вычислительные машины.Поддержание режимов функционирования системы в пределах допустимых норм обеспечивается за счет управления отдельными элементами системы(ресурсами) или системой в целом (режимами).Нормальное функционирование системы выражается через их качественные показатели.Определение практических рекомендаций для принятия решений управления системой осуществляется на основе анализа функционирования системы.Для анализа функционирования системы составляют их математические модели.Удобным математическим аппаратом для описания стохастических систем являются марковкие и полумарковкие процессы (МП и ПМП).

Обычно оперативное управление осуществляют на "глазок".В результате неоправданно увеличиваются потери.В некоторых случаях оперативное управление осуществляют и на основе анализа числовых характеристик системы.Они зависят от процесса функционирования системы и вычисляются исходя из математического описания системы.Они дают наглядное представление о свойстве системы, например,такие величины,как: время ожидания сообщений в очереди,число пасса-жирои.переве.зелных за определенный интервал времени и т.д.

Эти величины являются случайными.При этом оценку эффективности системы относят к некоторому среднему ее поведению в данных условиях.Например такими средними характеристиками,как: среднее число пассажиров,среднее число обслуженных заявок или выражают свойства системы через вероятности соответствующих случайных событий.Например,вероятность потерь сообщений.Характер изменения числовых характеристик определяет основные направления в поиске свойства системы,которые обеспечивают ее оптимальность.

Однако вычисления дисперсий таких характеристик показывают насколько они более точны.Поэтому оперативное управление на основе средних может наносить большой экономический ущерб.В этом случае оперативное управление системой ставит проблему,решение которой связано с глубокой количественной оценкой поведения и свойства систем!,1.Это делает важным иычисление дисперсии оценок

характеристик.При этом анализ ситуации на основе средних и дисперсии их оценок на компьютере позволит органу управления осуществить такую оперативность управления,которая окажется своевременной,уменьшить неоправданные потери и поведет систему в нормальном режиме функционирования.Разработки методов вычисления дисперсий стохастических оценок также очень важны на современном уровне моделирования систем,описываемых МП и ПМП.На их основе можно сформулировать проверку статистических гипотез о достаточности данных или режимов функционирования при математическом описании объектов АСУ,СОИ (системы обработки информации) и других систем.Таким образом,на современном этапе дальнейшего развития АСУ,СОИ и т.д. возникла научно-техническая проблема создания и совершенствования теоретической и практической основы оперативного управления системой.

Актуальность решения этой проблемы обусловлена необходимостью повышения эффективности и совершенствования АСУ режимами производства и распределения ресурсов системы.Для практической реализации разработанных алгоритмов оперативного управления необходимо рассмотреть математические модели различных АСУ,СОИ и.т.д.,функционирующих в реальной ситуации. Целью р.чботы является разработка теории оперативного управления системой, описываемых марковскими и полумарковскими процессами с конечным множеством состояний при управлении ресурсами и режимами этих систем.

Для достижения указанной цели необходимо решение комплекса взаимосвязанных научных и практических задач:

-разработка асимтотических методов вычисления математических ожиданий (средних характеристик)определенных показателей и дисперсий их статистических оценок;

-предложение расчетных формул для получения численных значений характеристик и их анализ поведения (наглядных) в зависимости от изменения значений параметров системы;

-разработка алгоритмов управления ресурсами(мест для ожидания,обслуживающими приборами) и режимами системы.

Наряду с решением этих принципиальных задач в диссертации рассматриваются вопросы точности моделирования математических моделей и эффективности функционирования системы при различных значениях параметров,осуществляется пересчет многомерных массивов данных в одномерный для расчетных формул при их алгоритмической реализации на компьютере,обсуждаются практический опыт внедрения разработанных методов и моделей,формулируются некоторые направления будущих исследований.

Мсто.! 1.1 Iк:слслоиаIни!.В работе используются методы теории массового обслуживания,вычислительной математики и программирования,а также статистики СМО.

Нпучппи И'чнгш.ч лчсссрт.чнионной р.чботм определяется тем,что в ней впервые сформулированы и реализованы алгоритмы оперативного управления в стохастических системах,управление ресурсами(каналами обслуживания,местами для ожидания) и режимами работы в марковских и полумарковских системах (МС и ПМС).Методологическая новизна работы связана с использованием нового для теории систем обслуживания статистикой,что позволяет и облегчает осушествле-

ния в автоматизированных системах сложными производственно ■ техническими и экономическими системами.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты:

•метод асимтотнческого вычисления дисперсий статистических оценок характеристик МС и ПМС ;

-новый класс марковских моделей,таких как: системы с ожиданием и источниками повторных требований; однолинейной двухпотоковой системы с повторными требованиями и динамическим приоритетом; многолинейной системы с источником повторных сообщений и абсолютным приоритетом; многолинейные системы с абсолютным и относительным динамическим приоритетами;

- новый класс полумарковских систем,таких как функционирования энерго- и водораспределительной системы;

-определения и расчетные формулы множества характеристик (средних и дисперсий их статистических оценок) разработанных МС и ПМС для выбора из них наиболее приемлемой при управлении системой;

-системы уравнении,связывающих вероятности состояний и для математических ожиданий от линейных комбинаций "накопленных" случайных величин;

-алгоритмы выичления этих уравнений и характеристик на компьютерен также пересчет многомерных массивов данных в одномерный для удобства получения численных значений;

-эффективность функционирования систем в зависимости от интенсивности поступающих требований при различных значениях параметров системы;

-точность моделирования стохастических систем,описываемых марковскими процессами с конечным множеством состояний.

11р:п;тпч<чч::1я ценность работы.Проведенные в диссертации исследования и полученные результаты составляют теоретическую и алгоритмическую основу построения оперативного управления ресурсами и режимами эперго- и водораспределительных систем,систем!.! с ожиданием,много- и одноканальных систем с абсолютным,относительным и динамическим приоритетами.В частности предложенные алгоритмы оперативного управления реализованы в следующих системах: по оптимальному подключению блоков энергосистемы,™ определению времени управления режимами водного объекта;по определению количества мест для ожидания в перегруженном состоянии в предложенных системах,а также количества обслуживаемых приборов в этих системах для удовлетворения потребности качества обслуживания.Оперативное управление основысаетсяся на точном времени измерения характеристик с допустимой погрешностью.

Результаты исследований доведены до конкретных методик,алгоритмов и программ.На их основе разработаны схемная реализация оперативного управления системой.

Основные полученные результаты рассмотренных систем запрограммированы и регистрированы в Государственном Фонде алгоритмов и программ.

Реализация результатов работы.Результаты теоретических и прикладных исследований,проведенных в диссертации,экспериментально проверены и внедрены в ряде организаций.Разработана и внедрена методика определения необходимого количества компьютеров для сети передачи данных Туркменис-,лна.Другая мето-

дика реализована для определения дополнительного количества столов справок в Справочной службе 09 г.Ашгабата.Успешно реализовано оперативное управление энергосистемой на Мары'ГРЭС на основе точного измерения нагрузки.Все методику! основаны на результатах исследования по точности и длительности вычисления средних характеристик.

Методика определения качества обслуживания и пропускной способности многолинейной системы с абсолютным приоритетом использована в ЦНИИС.

Апппобания работы.Основные результаты диссертационной работы доложены на: научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава ТПИ 1990-1995 г.,постоянно действующем научном семинаре по технической кибернетике ФТИ АНТ,IV Всесоюзной школе семинаре по оптимальному управлению (г.Ашгабат,1991г.);Республиканская научно-техническая конференция ученых и специалистов (г.Ашгабат,1984,1986,1988,1990гг.),научных семинарах ИППИ и ИПУ АН СССР ( г.Москва,1982-1990гг.);научно-техническом совещании "Совершенствование средств в ЕАСС" (г.Таллин, 1982г.); научном семинаре по АСУ института кибернетики АН Узбекистана (г.Ташкент,1991г.),международной научно-методической конференции "Проблемы и перспективы развития нефти, газа,энергетики и химии в Туркменистане (г.Ашгабат, 1995г.). Публикании.По результатам вышеизложенных исследований опубликовано 19 работ с общим объемом 15 печатных листов,в которых нашли отражение основные результаты и положения диссертационного исследования. Объем и структура циессртапии.Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав,списка литературы с 95 наименованиями и четырех приложений. Каждая глава имеет введение и краткие выводы,что облегчает знакомство с работой.Общий объем диссертации состоит из 262 машинописных текстов,2 таблиц, 84 рисунков и 10 страниц приложений.В приложении приведены акты о внедрении результатов диссертационной работы.

Содержание работы.

По пчо.теччи основывается актуальность и необходимость проблемы оптимального управления в АСУ,СОИ,СРИ и в других технических системах,описываемых счетными (конечными) марковскими и полумарковскими процессами.

Управление.осуществляемое на более точных данных о показателях анализиру-мой системы составляет оперативное управление.Точность характеристик можно оценить вычислением их дисперсий.Приводится структура и делается краткое изложение результатов диссертации.

Пепппя глава диссертации содержит литературный обзор.Дана постановка проблемы,решенной в диссертации.Как следует из литературных источников по АСУ, оперативному управлению отводят особое внимание.Это связано с тем, что все более усложненность производственных процессов требует немедленного вмешательства в ход производства для устранения возникающих неполадок,нарушений режимов работы и т.д.Так как немедленное,точное управление может уменьшить размеры экономического ущерба.Для лучшего понимания функции оперативного управления,рассмотрим принцип функционирования АСУ,которая представлена в общем виде на рис.1.

л.

И"

Система -{энерго-,водоснабжеиие,городской пассажирский транспорт,телефонная сеть,больницы,справочные и сервисные службы и т.д.};

-входные параметры(поток заявок,режимы и т.д.); р -^5)...,?,\-возмущающие параметры (поломки,повторные сигналы); К-^!,...,^-выходные показатели {среднее число обслуженных заявок,среднее

время нахождения системы в нормальных условиях и т.д.}; V- {«¡и —«^управляющие сигналы {рекомендации,указания и т.д.}. Какой результат может оказать воздействие у на систему представлен на рис.2. Из характера стохастичности функционирования системы для более точного управления необходимы вычисления дисперсий оценок характеристик,выбираемых для оценки состояния системы.

Рис.2. Основные функции оперативного управления. Дается анализ работ по вычислению дисперсий статистических оценок характеристик систем,описываемых вероятностными моделями,приведенных в работах А.М.Андронова,В.В.Лнисимова,Б.В.Гнеденко,Г.П.Башарина,В.Бенеша,А.Деклю, И.НГКоваленко,В.С.Королюка,А.Костенко,Д.Г.Поляка,Д.С.Сильвестрова, А.Ф.Трубина.Е.И.Школьного и других.Почеркивается важность их исследований для управления и контроля в описываемых системах.Оперативное управление привело к разработке метода вычисления дисперсии статистических оценок характеристик систем,описываемых марковскими и полумарковскими процессами на основе процессов накопления.

Разработанный алгоритм удобен для алгоритмизации и составления программ на

компьютере.

Вторая гл.-ша диссертации посвящается методу вычисления дисперсий статистических оценок характеристик системы,описываемых марковскими и полумарковскими процессами (МП и ПМП). При амализе систем с помощью МП и ПМП используются функционалы накопления на вложенных марковских цепях.Они дают более детальную информацию о функционировании объектов АСУ,СОИ, СРИ и т.д.Накопленные случайные величины оценивают рассматриваемые параметры (характеристики системы).Для них установливается строгая состоятельность,асимтотическая несмещенность и нормальность.На основе таких свойств оценок выведены формулы вычисления их дисперсий.Системы описываемые конечными марковскими и Полумарковскими процессами имеют фиксированные значения параметров .которые определяют состояние системы.Совокупность возможных различных состояний системы называется фазовым пространством состояний (ФПС).Математические модели исследуемых систем АСУ.СОИ.СРИ содержат ФПС.ФПС математически описывается как измеримое фазовое пространство (X , cFjí^ ' ^ = О""1» '''' -пРостРанство точек, «Уу — алгебра подмножеств из .элементами которой будут наблюдаемые совокупности состояний. Требования измеримости не указаны,так как в качестве системы измеримых множеств выбирается борелевская G" алгебра подмножеств пространства¿Г^-С-алгебра содержит очень богатый запас множеств и в прикладном направлении это не столь важно.

Моменты изменения состояния системы обозначим через ¿с^.Они означают моменты перехода из одного состояния ФПС в другое.В эти моменты определяют вложенные марковские цепи.Основные характеристики МС иПМС определяем по этим вложенным цепям.В анализируемых системах С алгебра содержит все одноточечные множества и что Q

Если моменты использовать для описания изменения состояний вложенной марковской цепи,то для описания эволюции анализируемой системы достаточно изучение свойства функционалов накопления на этой цепи.Будем обозначать состояние системы в момент времени i. через Xt,т.е. X-t= Тогда через Р ¡^i/^t-Хе1) = kj будем обозначать вероятность перехода системы

из одного состояния х. в jq за один шаг.Функции вероятностей переходов обозначим через р (хС А}, АС-Х.-

При фиксированном * функция Р(х,Я) является вероятностной мерой на 5ГХ ; а при фиксированном А -измерима относительно д е X .При анализе объектов АСУ,СОИ,СРИ в основном используются в основном ступенчатые марковские и полумарковские процессы.

Процесс ^(t) называется ступенчатым,если существует множество элементарных исходов /VC3* .такое,что p(a)-d ,и для всех и) А траекторий ^(-I.lo) ,-t3i0 являются ступенчатыми функциями,т.е.функциями,для которых рекурентно построенные моменты скачков

<скчо> = U-^-t: ^Ф ^.ЪИ = о.

образуют строго монотонно возрастающую последовательность в том смысле,что для всех К= о, Í,. .. .¿-О.если только (.<00-

Тогда:

а)моменты скачков <"СК , к - о,{,... .представляют собой числовые неотрицательные случайные величины;

б)значения процесса ^(t) в моменты скачков - (.0 представляют собой случайные величины со значениями в X ;

в) <tv ->00 , К ->сО.

Последнее условие означает,что для каждого t>>0 число скачков случайного процесса на промежутке (°,tl , V(t) = Ц (кР < 00 ) ■ конечно с вероятностью единица.Кроме того,чтобы случайный процесс (-t) был непрерывен справа,необходимо и достаточно для всех к = о, 1,

Для практического осуществления управления в марковских и полумарковских процессах,обладающих свойствами а,б,в, рассматриваются векторы следующих видов: t

= (!) к и - I . (2)

которые являются функциональными аддитивного типа от основного процесса .описывающего функционирования MC и ПА\С.Величина K[t) интерпретируется как суммарное "накопление" (количество занятых элементов,число потерянных требований,количество обслуженных заявок,работы,доходов и т.д.), а величина «(.(-t) -как суммарное время,проведенным tj (t) в множестве В системы X в промежутке времени (ОД).Для исследуемой системы,удовлетворяющей условиям а,б,в выполняется соотношение

■4

MJL(0/fc J , npui-+co (3)

о

Так как процесс ^(,-Q,-fc.^ о обладает эргодическим свойством.Процесс накопления (1) представляет собой суммарное время,проведенное процессом ^ (t) в подмножестве 2> фазового пространства .Траектории с.п. с вероятностью 1 интегрируемы по Риману на каждом конечном промежутке.

В стохастических системах,обладающих свойством регулярности важную роль играет случайный функционал

06 = LH -И* : ±>0 , ff (-«О s ß . ) =о) (4)

Момент первого достижения области (разового пространства (3 С в результате скачка .Функционал Qq можно интерпретировать по разному в зависимости от выбранного показателя анализируемой системы.Например,это может означать длительность периода занятости приборов и т.д.Функционал -случайный,определенный на траекториях марковского и полумарковского процессов >l(.-t), t> О .Тогда траектории регулярных марковских и полумарков-

ских процессов можно представить по вложенным марковским цепям.

Цепь Маркова , к. = 0,1,... ^ определяется как вложенная цепь в основной процесс в моменты его скачков , к = о, 1,2, • ■ • > Пусть к-ое состояние ^(t) ;а ^^ -время нахождения ^(f) в состоянии Ifc-t т.е. время перехода ц (£) из состояния Хц-j, в состояние ; В -момент К -го перехода (скачка) кц-t) ; V(-b) = кил^к.^*1.)- число переходов (скачков) процесса за время -fc .В этом случае стохастическую систему,описываемую Hj(-t') ,-t ^ о можно представить следующим образом: в момент времени -Ь = о процесс находится в состоянии .В этом состоянии он проводит время ^ и в момент ^ переходит в состояние .Если ^ <-i и "X.-t^a X^-j .то переход будет осуществляться с вероятностью |Э .Таким образом обозначая через ^ время нахождения процесса ^(ty в состоянии и и при можно описать переходы из состояния в состояние

v^tfc) через вероятности .Процесс регулярный,т.е. выполняется

условие

А '• R = 00} ~ для всех i-^- А . (5)

Учитывая условие А,представим 0с. в следующем виде

^ + ^ + + > (6)

где Дл - к>1,2ксА)-момент первого попадания вложенной цепи (ХщУ

в область А.По функционалу (6) можно представить сумму случайных величин, определенных на ЦМ .накопленную до момента первого попадания ЦМ в область А.Это позволит определить значение гУ-С)и 2„(t) оценку величин (1) и (2) на полном периоде регенерации и для характеристик на вложенных марковских цепях.Составим стохастическое соотношение для изучения моментов от случайных функционалов в следующем виде

0а ~ XZ "Ь Ь + И Г ^ J) ( * + (7)

jco

Равенство (7) напишем в следующем виде

|.ч [ с вероятностью fj, J Q)

Ob = ) , _ (8)

( Vj4^ С ВеР0ЯТН0СТЬЮ Ру' , J S 6 .

где 0Ь — случайная величина с функцией распределения

X .- случайная величина с функцией распределения fc; ^ ■

Случайные величины и независимы.

Вычисляем моменты С -го порядка из (8)

М0'с4с) = Пи) + И Р.МбГш , ¿¿а. (п)

Если (}. мо!?ц)=о . а МвУЦ) = оо.

ч ч '

Тогда

Если

,1 € о ¿ь И

= о , то 4 и Рц ^ (С) = 0 , а /е) = со.

Выражение (10) представляет собой систему линейных неоднородных уравнений для моментов М( ) НО^ЧО-

В п.2.2 получены явные выражения для моментов функционала Пусть со пространство последовательностей

Если случайная последовательность со значениями в измеримом пространстве

о •• -

,то называют пространством случайной последовательности

Отображение { £. (<»} , ... , £к(.из4)} ■. . } ,

исходного пространства элементарных исходов на можно рассма-

тривать как случайную величину со значениями в измеримом пространстве

} ¿у о)) .Пусть теперь ^ (') -измеримая функция,действующая из £2.со в (которые называются функционалами).Тогда отображение =

— исходного пространства элементарных исходов на

числовую прямую представляет собой обычную числовую случайную величину. Такие случайные величины представляют собой случайные функционалы,определенных на траекториях случайной последовательности £ .Используя вышеизложенное,определим статистические оценки кц (-ь^ и для

векторов (1) и (2)

= (и) ^лСО = (12)

где ^д(^) I — процессы накопления от величин, определен-

ных па вложенных одношаговых цепях Маркова в подмножествах ДД,^ С Л на одном периоде регенерации. Выражение (11) используется для оценки дискретных случайных величин сто-

хаотических систем,например,для определения доли количества поступивших, потерянных требований.Выражения (12) используются для оценки непрерывных величин.например,средней длительности занятости приборов и т.д.Для регенерирующих систем можно указать монотонно неубывающую последовательность случайных моментов времени о <е£1 <, ... <.,., .представляющих собой моменты окончания некоторых естественным образом выделяемых "циклов обслуживания" - промежутков времени , ¿ = -1,2,...,

Введем следующие случайные векторы для регенерирующих систем:

со. = Бир" Ы^-^С^Л], 1 1с((с.,!Е;]

(13)

где — I -период регенерации;

^ -суммарное накопление в I -ом периоде регенерации; -накопленные величины в моменты Я1С ; -выброс процесса накопления в i -ом периоде регенерации. Для оперативного управления требуются данные об интересующих нас показателях системы.Эти данные можно представить по периодам регенерации.

В: ДО = + - ■ • + + № > (И)

где ^(-Ь)— тсх(К-сСк<ь) число периодов регенерации закончившихся до

момента времени -Ъ ; "./'(Чад,)- остаточное накопление системы от момента последнего перед •£ окончанием цикла обслуживания до момента -Ь .

Для исследуемых систем можно выбрать моменты так,чтобы р> (<:) —>-о.

В других случаях значение с.в. оценивается величиной 4

и стремится к нулю по вероятности или в среднем и не влияет на вид соответствующих предельных распределений.На основе таких выводов можно считать, что оценки (11) - (12) являются состоятельными,асимтотически несмещенными и нормально распределенными.

Строгая состоятельность оценок (11) - (12) является непосредственным следствием эргодической теоремы Биркофа-Хинчина.

Теорема 2.1. Если при выполнении условия для стационарного в строгом смысле и метрически транзитивном марковском и полумарковском процессах о оценки гу\[-ъ) и щя1±) для векторов К и ¿(±) соот-твенно являются строго состоятельными,т.е.

Р1

р ( еси, = =1.

Из (12) следует,что разность

(15)

Однако при некоторых случаях может существовать функция £j(t)-rcv при -¿-»-да такая,что случайная величина m ^ ПРИ "t-ьсо имеет

собственное предельное распределение.В этом случае функция определяет

порядок стремления ■[ 2£t)/fc - U) |j к нулю.Однако при условии

конечности дисперсий величин (11) и (12) и положительности средней случайной величины 2MI-Í можно положить Тогда выполняет! я

следующая. Теорема 2.2

р{¿ti^ (~~ = (17)

Теорема 2.2 устанавливает состоятельность оценок (11) - (12) в усиленной форме и дает представление о скорости сходимости оценок к истинному значению.

Лсимтотическая нормальность оценок (И) - (12) основывается на следующем утверждении. ,

Лемма 1.Пусть ^ • случайные величины из R .причем распределение вектора рк слабо сходится при h —со к распределению вектора Р

Пусть \ РП1 n^í.^ ,где РчТ матрица переходных вероятностей процесса '[({■). ■tso причем R,-*-P по вероятности.Тогда распределение векторов П,Яи слабо сходится при h-vcd к распределению . При этом справедлива

Теорема 2.3. ( (О \

Распределение вектора V? — слабо сходится при к нормаль-

ному распределению с вектором со средним значением 0 и ковариацией

_ М2£с.) coir[Z(«), 2(г)~] /МШ + + МН(0 М?(0 4W¥ mf+ "(fL), с, г = ô^i.

Из условия леммы следует,что

t M7f«3 UJ'

гденгй,мг(е) математическое ожидание величины 2{С.) ,~Z(o) ,

2С°) -вектор накопления за один период регенерации, вектор

накопления .соответствующим состоянию ^ £

Вычисление дисперсий оценок (11) и (12) производим в следующем порядке. Правую часть выражения (11) можно представить X /(у+У ) .Тогда разлагая его в ряд Тейлора в окрестности точки ( Y-- M~l(e) IНЪ{о) ,¡¡~ Mf^'-J/Aff^j) и пренебрегая членами выше второго порядка,получим формулу для вычислении дисперсий оценки (11).

+ + М^е)]'' -+ о(ц-ь~). (20)

Для вычисления дисперсий оценок (12), положим е.= К в формуле (18) и получим:

= ± {ф2Й-2М2(е)согг[?(е),г(о)]/мгИ-

1 +

(мг(е>)г:Ь2(о>/(мг («>)*} /М?(о) +оЦ(±)

(21)

Формулы (20) и (21) перепишем в следующем виде

(22)

Применяя известную формулу

сои-[?(«), г(*)] = М [г(е>, 1 - м Ш И1 (°), т)

получим из (20) выражение для с( 1

И 2 (о)

где , + к = . -' 1

Тогда

4== И

(24)

(25)

Из (21) следует,что выражение в фигурных скобках означает с/^ .которое можно написать в следующем виде

4= (ад

Правильность выражения (25) и (26) можно проверить,раскрывая скобки. Известно также,что характеристику ситемы можно представить в следующем виде

Кз. = Мъ{1) / Н-Цо) . (27)

Тогда

■Л ^ М Г-з/р1!- V. / М п(гЛ

(28)

4-М [НО - Кг г(о)]2"/ М?(о).

Из формул (28) и (25) следует,что их можно написать как одну формулу в следующем виде

с(с = & М & ч (е) - Ч г (к.)]2/ М?(р),

^ ( ^если 1 = 1 , ы Г

(. 1 если с -2 , I (_

И1

_ ( К^ссли С~1, к*Д)еслн с =-2.

[-к^ если 1--1, ^ если С — 2 .

(30)

Определим теперь уравнения для выражений п квадратных скобках (29). Из формулы (10) следует,что

где С = 1,4- -целые числа, -начальное состояние регенерирующего процесса ;

1, если = I = и ,41, < ..., ц ииаге. 8сс0-о.

По другому процесс у^ (*) за один шаг переходит в состояние (,„ из состояния I .тогда 1 ,а если такого перехода нет,то ® ■ Положив С = 1 и применяя формулу полного математическога-ожидания к (30), получим

и и

Моо-И МиО£Мш + II а Ч(0,<Ц<311>

11 0 с-*- <•-' е.~о,п 1 •

Из формулы (20) и (21) видно,что требуются вычисления вторых моментов от и смещенных моментов (с) .Для этого положим С = 2 в

формуле (30).Известно,также что ~ .тогда

+ (32)

Учитывая,что случайные величины ; Нсу (О взаимно независимы и,

применяя к (32) формулу полного математического ожидания,получим

Математическое ожидание от смещенных моментов (е*>

вычислим из (30) при с=1 и ¿.-К.Тогда умножая два выражения подобных

(30) и,применяя к нему формулу математического ожидания,получим

= 5 +

(35)'

Как видно из (35),что величины условные.Тогда можно представить

их безусловные величины в следующем виде

= = (36)

Моменты от величины -£•(€) будут иметь следующие значения: J

(37)

И|-(0 = XI р М (е). (38)

Подставляя вместо в формуле (36) и умножая $ "^'(Н) и,применяя

к нему формулу полного математического ожидания полупим смешанные моменты в следующем виде:

м (е) {■ ск^ = £ Рч М Се) . (39)

Тем самым мы получаем явные выражения для формулы (10),которые являются системами из линейных неоднородных уравнений.

Если в системах уравнений (31),(33),(35) исключить уравнения,соответствующие регенерирующему состоянию ¿—Со ,то полученные системы из 4-1 уравнений и VI—1 неизвестных,имеют единственные решения.Из свойств регулярности МП и ПМП >1 (<=), о следует,что моменты от являются конечными.

Из системы уравнений (31),(33) и (35) следует,что матрицы коэффициентов этих уравнений совпадают с матрицей переходных вероятностей марковской цепи

X , С — 0,1,... .Если в этой матрице исключим К-ю строку и "К -й столбец, то получим матрицу переходных вероятностей,соответствующих марковской цепи 1(Сс),в которой К -ое состояние соответствует регенерирующему состоянию.Поэтому в системах уравнений (31),(33) и (35) не будут уравнения,соответствующие регенерирующему состоянию и они имеют единственные решения. Из формул (20) и (27) видно,что нужно вычислить линейную комбинацию от случайных величин (с) , с) 1 ■

Для этого сначала умножаем (31) на ,а потом подставляем вместо С. — К и умножаем на Ы .Далее вычитаем из полученного первого уравнения второе и,применяя к нему формулу полного математического ожидания,получим

М ^дсо -иг^Ц- ¿; Р и [5 - иг.чй| =

(40)

- 5 м 1^ .(0 , 1 = 1,п , кфе

* о

где Б и V/ -произвольные действительные числа.

Подобным же образом вычислим математическое ожидание от

которое имеет следующий вид ' 3

+ 2 i PJi-Sa.)M [sf, (с) - [SZJO-U?^ +

^ L (in

с-<

Правая часть в (41) представляет числитель (29).Учитывая следующие известные равенства для стационарных цепей Маркова

fy - > KRj

перепишем выражение (29) в следующем виде

Get i]

Л г )

где

' К = (43)

М^, = MLScZ^/^-UJcZ^CK)"]

При C-i в выражении M-ffC и М (4¡Cf, К-" О ■ Остальные переменные определены в (29),а значение определяется из

вероятностных уравнений,связывающих состояние системы.

Все эти полученные результаты новы и удобны в алгоритмической реализации

на компьютере.Результаты этих теоретических исследований доложены в | 1 |.

[ 13 1,116,19].

Конкретный вид этих формул для стохастической системы будет зависеть от функционирования системы (т.е. от описания системы марковскими или полумарковскими процессами).

li третьей г.чаче диссертации рассмотрены математические модели стохастических систем.Они отличаются от ранее известных и более конкретно описывают реальные случаи функционирования АСУ,СОИ и других систем.

Главным показателем энергосистемы является вырабатываемая электроэнергия Как известно изменение потребляемой энергии можно изобразить графически в зависимости от времени.Из графика изменения нагрузки следует,что оно носит случайный характер.В этом случае возникает вопрос каким образом вовремя фиксировать отклонение нагрузки от ее истинного потребления.Так как пункт управления не всегда успевает вовремя следить за изменением нагрузки.В этом случае для лучшего решения вопроса управления режимами электроэнергии является

математичсекая модель.Анализ изменения нагрузки показал,что можно выделить пять состояний системы образующих полную группу несовместимых событий. Состояние .характеризующееся тем,что в рассматриваемый момент времени

■Ь в системе отсутствуют изменения параметрических режимов и аварийный режим,т.е. энергосистема в этот момент функционирует нормально;состояние >0 характеризующееся тем,что в момент времени диспетчерский

пункт занят компенсацией изменений параметрического режима в течение времени и аварийная ситуация не возникает в энергосистеме;состояние б^), характеризующееся тем,что в момент времени -Ь произошло изменение нагрузки как излишнее,но это не приводит к аварийному состоянию системы;состояние ¿¿(-О) , характеризующееся тем,что в момент времени происходит изменение

нагрузки как дефицит в электроэнергии и это может привести к аварийному состоянию энергосистемы; состояние .характеризующееся тем,что в момент

времени Ь энергосистема имеет аварийный режим.

Состояние 2±[-Ь,к) соответствует полупрямой о$Х<ео ,а остальные-изолированным точкам в пространстве состояний.Обозначим через £({.), Р1

"Соответствующие вероятности состояний.Интенсивность появления излишков электроэнергии обозначим через "Д (£) .интенсивность возникновения дифицита - через , 2Г -среднее от интенсивности возникновения аварийной ситуации. 7\ и •. Н -также среднее от и ^(Ь) соответственно. Обозначим [Р (>,+&■ О -Р^ДДл-Р^вероятность установления процесса нормализации, \t-FU+¿-+^3/171-- РиЯ - вероятность неустановления процесса нормализации.Учитывая начальные = = &, (р) - (в) =1 и" граничное (5 (¿,»0 /С1 - РЫ1 условия и введя обозначения = = (-¿I /С 1. - Р ^ > .получим интерго-дифференциальные уравнения следующего вида

dt

<ъ-Ь ъ у. ' Г

<Ъ-Ь 7>

diji-t) и-ъ

(44)

= jh -t/Oft^,

(Âi- у

г ùW)^ + И R^l • dt &

Решения системы уравнений (44) получили в преобразованиях Лапласа.В результате,вероятности состояний принимают следующие значения

№ ~ [Ï +Л +JH - F Ч5 +

(45)

= /1 [с ? + д ^ Н ? - !Ч))р Чу <^ 1(46)

Среднее время функционирования энергосистемы в соответствующих состояниях имеют следующие значения

То = ^ - - I+&+л»(,8)

т.ь 71 [(т +7^(7 Зч ~ + Л)]"1 из)

Т3 - ^ [<.•*■й + л - Р* с V+(50)

Обозначим через Кч -коэффициент,означающий долю нормального функционирования энергосистемы в следующем виде — ¿¿^ /-к .Сходимость правой части к левой понимается с вероятностью единица.Формула дисперсий этой оценки получается из формулы (42) в следующем виде

¿^гггрюс^-^К'г, (51)

где и - м (с^е^ - 2 с» О^) ,

В п.3.3.2. описана математическая модель функционирования водораспределительной системы.В настоящее время потребление и отпускание воды становится задачей государственной важности.Так как дефицит в ней или излишки ее потребления может привести к огромным экономическим последствиям.Поэтому рассмотрение модели такой системы намного упрощает задачу управления подоопускае-мой системы.Однако управление в такой системе может быть более аффективным,если используются цифровые средства измерения объема отпускаемой воды (это доли минуты).Так как измерение трудоемкое,сложное мероприятие,» начальный момент устанавливается определенный объем отпускаемой воды и через некоторое время этот режим нарушается.Требуется устанавливать такие периоды измерения,чтобы потери от излишнего отпускания воды были минимальными.

Пусть нормальный режим русла канала имеет времл,являющееся случайной величиной ^ с функцией распределения = р ^ ^ СК^ Время

рассогласованного режима также является случайной величиной с функцией

распределения Р .Длительность измерения также

является случайной величиной с функцией распределения ф (л) = р ^ ^ <!<■}. В результате измерения рассогласованный режим обнаруживается и устраняется с вероятностью единица.Для описания состояний системы ведем случайный процесс .принимающий следующие значения:

Хо .при -Ь < ,если в момент -^ц

был установлен нормальный режим и на — \ интервале .•Ь-.') не было рассогласования.

,при 6 Ь ,если в момент

Х^был установлен нормальный режим и на интервале было рассогласование.

Значение процесса в моменты -к^.,,, -¿к,... .образуют цепь Маркова.

Тогда учитывая произвольный закон распределения нахождения системы в этих состояниях можно считать ,что случайный процесс является полумарков-

ским с конечным множеством состояний.Стационарные переходные вероятности определяются из следующего равенства

Р.. ) ^ = . (52)

Переход из состояния Хо в состояние может быть осуществлен тогда и только тогда,когда между двумя моментами измерения не было рассогласования. Вероятность этого перехода равна

(53)

Переход из состояния Xi в состояние )Со может быть осуществлен тогда и только тогда,когда рассогласованность обнаружена и с вероятностью единица установлен нормальный режим работы.Переход из состояния Хо в состояние Х^ может быть осуществлен тогда и только тогда,когда происходит рассогласование до момента измерения и вероятность такого события равна, =

= ^ FlK) G-Oc) ¿фCP-) .Стационарные вероятности состояний определяются из . следующих равенств

р. - Р-Ро + , R-^Q+PuR. (54)

Учитывая условия Р ■= i f^ — О , получим

R = , & ^U+4/p.J1. (55)

Вводим коэффициент IAK-l/ГЧХ .определяющий долю времени,которую

система проводит в состоянии Х^ . М)С -среднее время регенерации.Статисти-ческая оценка для К имеет вид — "2(.t)/"fc , где "iljd -длитель-

ность пребывания в состоянии Xi .процесса >C(jt> за время наблюдения -Ь Оценка "frit) является асимтотически несмещенной,сторого состоятельной и нормально распределенной величиной.

Формула вычисления для оценки получается из (42) и имеет видий^-^+К'/

М5,„ = М^У-к^и],

Н К (Л- = 14 - ^ МЫ ■

МК^-М.О. длительности пребывания процесса хН) в состоянии длительности периода регенерации.

В п.3.3.3. приведено описание системы с ожиданием и повторными требованиями.

Рассмотрение такой модели привело многие случаи работы таких систем,как: сервисные и справочные службы,системы обслуживания (транспортная и телефонная сеть) и т.д.В этих системах входные данные (интенсивность поступления требований) меняются во времени.Для удовлетворения качества обслуживания к норме необходимо увеличивать места для ожидания или количество обслуживающих приборов.Для точного управления этими ресурсами необходимы более точные данные о характеристиках системы.Рассматриваемая система функционирует следующим образом.На систему,состоящей из Ц" -обслуживающих приборов и VI мест для ожидания,поступает пуассоновский поток первичных вызовов интенсивности' Д .Если в момент прихода вызова этого потока имеется свободный канал.то он занимает его на время обслужнвания.распределенное по экспоненциальному закону со средним значением,равным единице.Если свободного канала пет,то вызов занимает одно место для ожидания,если таковое имеется.Если же свободных мест для ожидания нет,то вызов с вероятностью Н*. .образует один источник повторных вызовов (ИПВ),а с вероятностью 1_-И1 теряется окончательно и не возобновляется.Число ИПВ может быть,равно 11 ^ ^ оо .Каждый ИПВ посылает пуассонновский поток повторных вызовов интенсивности Если в момент прихода повторного вызова имеется свободный канал.то он занимается этим вызовом на время обслуживания,распределенное по экспоненциальному закону со средним значением .равным единице.Занятие канала повторным вызовом сопровождается мгновенной ликвидацией одного ИПВ.Если же все V каналы заняты,то повторный вызов (при наличии свободного места) занимает одно место для ожидания,при этом ликвидируется один ИПВ.Если же все у\ места заняты, то повторный вызов с вероятностью Но будет повторяться,а с вероятностью

1-Яг теряется окончательно,при этом ликвидируется одни ИПВ. Ожидание первичного или повторного вызова в очерепи предполагается ограниченным временем,распределенным по экспоненциальному закону со среднем значением

.По истечении этого времени вызов (первичный или повторный).не дожидаясь обслуживания,освобождает место для ожидания и с вероятностью Н образует один ИПВ,а с вероятностью 1.-Н теряется окончательно и не возобновляется.Выбор первичного или повторного вызова из очереди на обслуживание случаен и производится без задержки.Потоки каждого ИПВ и поток первичных вызовов независимы.Независимы между собой и длительности обслуживания вызовов.Из-за таких свойств параметров системы,ее можно описать марковским процессом .определенном в фазовом пространстве состояний

Сц^ .где ^^.«-^-обшее число занятых каналов и мест для ожидания, а ^ — — число ИПВ.Вероятность состоянии систем;.: обозначим через

-Система уравнений для стационарных вероятностей состояний

имеет вид:

["¡\Н1+^ (.¿-Н^ +1Г+^)а] р(/и1{р = Л РИ-^) + ^О^РС^, ^ +

Вероятности Р(С^)не имеющие смысла в (57) равны нулю.Общее число уравнений, равно(?ч1|)(п,н) .Такое большое количество уравнений лучше всего решать методом последовательного приближения Зейделя.где точность решения равнялась 10"с .Приводятся определения множества средних характеристик (23).Но из-за ограниченности объема автореферата приводим формулы следующих характеристик,которые нужны при управлении ресурсами системы

Р=£РКЛ , т^и+к.

, ч ./мп, (58)

рМ — " ■ ----

'о

1=в и,

у ^ "2Г 21 тсиСчтг) РСц^ .

(59)

(60)

М^С^/Ч (61)

где -вероятность потерь вывозов по времени, коэффициент потерь вызо-

вов, -обслуженная нагрузка или среднее число занятых каналов, -среднее число повторных вызовов на один первичный, -среднее время ожидания

вызовов в очереди, 3 -среднее число ИПВ, Ь -общий поток (первичных и повторных).Для оперативного управления ресурсами системы необходимо вычислить дисперсию оценки и ^ .Так как они являются основными показателями системы.Для вычисления их дисперсий необходимо рассмотреть статистические оценки.Для и ^ вид статистической оценки получается из (12) в следующем виде при , \ - подмножества соответствующие занятому состоянию всех Н мест для ожидания,при С = подмножество,соответствующее занятости каналов.Для оценки используем выражение (11) в следующем виде тЛ-ь)-^ -2, ■ где С- К .подмножество,соответствующее,что имеется хотя бы одно свободное место для ожидания.Введем следующие векторы (е)| 1) и = ^^(е-^ , С. = • -означает длительность пребывания процесса ^(ь) в состоянии и при условии,что он переходит в состояние ^ за один шаг. Процесс является марковским.Вектор соответствует накопленным величинам ^ за время перехода цУ} в регенерирующее состояние.Регенерирующее состояние -это когда система пуста,т.е. —О .В силу марковости

процесса величина не зависит от | и имеет экспоненциальное распределение со следующим параметром

"Ас + 1=0^ ,

(62)

-означает длительность одношагового пребывания процесса в состоянии

3, ■=^С.-11ч,^?оТ>равеН| = ^ ' ^ ~ означает загруженность

каналов и равен щСн (л,!^ 03,шчает число потерянных

вызовов в состоянии ВСХ, Ьт; 5¡-1,Л"141^"!!' означает число принятых

вызовов (первичных и повторных) системой в состоянии ВСХ, ^ й=о,«1-1,^°з Безусловные величины ( Ч, — определяются через условные в

следующем виде ^ — '21 "д-е "¿¿¿¿с) -Математические ожидания от равны

= ^е.МЬ.фД, (63)

М ^ _ I если и-- О«.^'>,0,

I. О ,в остальных случаях.

(65)

М^с.) = нин1цгг)Мад,при Ке & = Цч^) [ ~0',И (66)

V

М^)1"если <¡'4 (б7)

О ,в остальных случаях.

М 7 ,и\- 1 М^,если К£В = СЬ-^Ь^О)-П. - < и (68)

^ О ,в остальных случаях. Формула вычисления дисперсий оценки р^ и ^ получаем из (42) в следующем виде = + о[Чь) ,

Формула вычисления дисперсий оценки получаем из (42) в следующем

виде -ог^ь) = + о (1/4,) ,

ГДС I и т

-интенсивность перехода процесса ^[-ь) из состояния в состояние Рй) -стационарные вероятности состояний,

О- -счетное множество состояний .

Математические ожидания М^г^С) - в (69) и (70) опре-

деляются из решения следующих систем уравнений

хоо -51 =71км[ш*у- (71)

е,е& -1 '

где 2,= 1,К=Г|, у , - 1- РгЫ) , гфС.

Правые части (71) принимают следующие значения = для оценки ^

А(2,о) = тёи ~ $ ~ Для оценки у, А(з,Ч) =(1-Ргм)1а для оценки (эМ Система уравнений (71) в более конкретном виде имеет

ПАН, ч-^и-н^ ХК^^хКзн^^-н^хК^

[Цчи, (1-Н0 +ТГ-^н]хКи.) П-1)

- УН (1-н) ^И,«!,") -Л-Ск,^ . > к^е.

Системы уравнений (57) и (72) решены методом последовательных приближений Зейделя и получены числовые значения множества характеристик.Из-за ограниченности объема автореферета они не приведены.

В п.3.3.4. рассмотрена математическая модель однолинейной двухпотоковой системы с повторным вызовом и относительным динамическим приоритетом. Такие системы на практике встречаются в сети (центре) обработки и передачи данных,сервисных службахдехнологических линиях и т.д. На систему с накопителями (регистрами),имеющие емкости , поступают пуассоновские потоки первичных вызовов с интенсивностями Если в момент поступления вызова любого потока канал свободен,то он занимается этим вызовом на время,распределенное по показательному закону с параметром а., г.-1,5 .После окончания обслуживания вызов 1- -го потока освобождает канал и он с вероятностью Ие,- , образует один

источник повторных вызовов (ИПВ) в С, -й группе источников,а с вероятностью 1-Й е. , е, - уходит из системы. Если поступивший в систему первичных вызовов £_ -го потока застает канал

занятым(вызовом первого или второго потока),то он занимает одно свободное место для ожидали» в t -ом накопителе.Длительность ожидания вызова в (L-om накопителе ограничена случайной величиной,распределенной по показательному закону с параметром 1,2. .После окончания максимального времени

ожидания вызовов из С. -го накопителя освобождает ы^сто и с вероятностью цЮ ) е.— i,образует один ИПВ (в 2.-ой группе),а с вероятностью

^ _ цй покидает систему.Если в момент поступления первичного вызова С. -го потока £.-й накопитель полностью занят,то он с вероятностью Н^ повторяется,а с вероятностью l-H^ уходит из системы и не возобновляется. Каждый ИПВ С. -й группы посылает повторные вызовы через независимые и экспоненциально распределенные интервалы времени с параметром J4«., ¿>2-Алгоритм обслуживания (занятия и освобождения линий или мест для ожидания) повторного вызова С. -го потока совпадает с соответствующим алгоритмом обслуживания первичного вызова -го потока.Однако вероятность повторения для повторного вызова будет .Кроме того,если повторный вызов от ИПВ

2. -й группы занимает канал или место для ожидания,то число ИПВ в этой группе уменьшается на единицу.

Выбор вызова на обслуживание из очереди в момент освобождения канала приоритетный: если в обоих накопителях имеется хотя бы по одному вызову,то вызов с вероятностью Ъ выбирается из первого,а с вероятностью из

второго накопителя.

Параметры этой системы ( Л, J-Ц V ) имеют показательное распределение и взаимонезависимы.Поэтому функционирование системы описываем марковским процессом , tVO .определенным в пространстве состояний^^^к^^е*^ t_~0 ,канал свободен, С-уЕ канал занят вызовами 2.-го С-1Д потока,

— 0|,V 1 £.= 1,2. число занятых мест для ожидания в С.-ом накопителе, = О)N't- число ИПВ в (L -й группе. Составлена система уравнений,связывающих вероятности состояний в стационарном режиме работы системы.Даны определения множества характеристик и их статистических оценок.Они даны как для обеих потоков,так и совместного.Для осуществления оперативного управления системой получены значения дисперсий статистических оценок характеристик.Более подробно показан алгоритм составления уравнения для математических ожидании М Получены конкретные значения векторов le.), , и т.д.Система уравнений равновесия и математических ожиданий для накопленных случайных величин решены методом последовательных приближений Зейделя.Построены графики,показывающие поведения характеристик и дисперсий их оценок в зависимости от \ и при различных значениях других параметров системы. Они очень важны также при статистическом моделировании.

В п.3.3.5. описывается математическая модель многолинейной двухпотоковой сис темы с абсолютным приоритетом и повторными вызовами.В связи с интенсивностью внедрения компьютерных сетей возник вопрос рассмотрения такой модели Пусть имеется система с обслуживающими приборами и поступают два

пуассоновских потока: первичных вызовов интенсивности и сообщений интенсивности .Вызовы (первого потока) обслуживаются по абсолютному приоритету перед сообщениями.Вызовы и сообщения занимают по одному обслу-

живаюшему прибору на время,распределенному по экспоненциальному закону с-параметром / е = , соответственно.

Если в момент поступления первичного вызова все V приборы заняты вызовами или сообщениями,то поступивший вызов прерывает обслуживание одного сообщения и занимает обслуживающий прибор.Сообщения с прерванным обслуживанием занимает одно свободное место в накопителе емкости Пг. .Если накопитель занять,то это сообщение теряется.Если в момент поступления первичного вызова первого потока все "ХГ приборы заняты только вызовами,то он с.вероятностью Ч). образует один источник повторных вызовов(ИПВ),а с вероятностью!-^ уходит из системы.От каждого ИПВ поступают повторные вызовы через независимые и экспоненциально распределенные длительности времени с параметром ^ . Алгоритм обслуживания повторного вызова отличает алгоритм обслуживания первичного вызова лишь тем,что потерянный повторный вызов с вероятностью Н^ повторяется,а с вероятностью 1-Нг теряется окончательно (при этом ликвидируется один ИПВ).

Если в момент поступлении сообщения все ХГ приборы заняты.то оно занимает одно свободное место в накопителе.Если свободных мест нет для ожидания, то это сообщение теряется окончательно.

Вызов после освобождения прибора с вероятностью не удовлетворен обслуживанием.В этом случае он с вероятностью Н образует ИПВ,а с вероятностью 1-Ц уходит из системы.Если сообщение после освобождения прибора не удовлетворительно обслужено,то оно с вероятностью (^ становится на ожидание. Основные параметры системы имеют показательное распределение.Для вывода расчетных показателей системы она описывается марковским процессом ^И^^-О с множеством состояний (.ц, 1г, Кг.) ,где с о,1Г — число обслуживающих приборов,занятых вызовами, 1г — о, 1Г-С! -число обслуживающих приборов,занятых сообщениями, к.1_ о, И*. -число ИПВ, К^ = о, пг — число мест для ожидания,занятых в накопителе.Даны определения средних характеристик и их статистических оценок.Составлены системы уравнений для стационарных вероятностей состояний марковского процесса .Получены

численные значения характеристик и построены графики для различных значений параметров системы.Определены компоненты вектора ¡^(е.-), С- (л!,^.,^!, > ¿ = V, ^ .Определены математические ожидания от условных и

безусловных величин ^ , Т^ СО , .Составлена система

линейных неоднородных уравнений для математических ожиданий М^^Р-УЫ;?^)]. Составлена программа на компьютере для вычисления численных значений характеристик и дисперсий их оценок.Выявлены закономерности их изменения при различных значениях параметров системы.Изменения таких значений р и о! приведены на рис.3.

В п.3.3.6 приведены описания двух моделей приоритетных систем.Эти системы имеют 1Г каналов обслуживания и два накопителя ограниченной емкости

1,2. .В каждую систему поступают пуассоновские потоки вызовов с интенсивностями 'Де. ) — V2- .Алгоритм обслуживания вызовов в первой модели следующий.Вызов е. - го потока,поступивший в момент наличия свободных каналов,занимает один из них в произвольном порядке на время,распредслен-

мое по экспоненциальному закону с параметром Не., .Если же в момент

поступления вызова Ч. -го потока свободного канала нет,то вызов становится на ожидание,если имеется хотя бы одно свободное место для ожидания п

(I -ом накопителе.Если в момент поступления вызова -го потока все места в С, -ом накопителе заняты,то поступивший вызов теряется необслуженным. Время ожидания вызовов в каждом накопителе ограничено случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром е.— 1,2 По истечении этого времени вызов покидает систему и не возобновляется.

Если в накопителях имеется хотя бы по одному вызову,то в момент освобождения линии вызовом любого потока выбор вызова на обслуживание из очереди приоритетный: с вероятностью 7Г вызов выбирается на обслуживание из первого накопителя,,-] с вероятностью 1—У из второго накопителя.В частности, когда X - 1 ,то вызовы первого потока имеют относительный приоритет перед вызовами второго патока.

Если в одном из накопителен нет вызовов,то в момент освобождения канала вызов на обслуживание из непустого накопителя выбирается с вероятностью единица. Как следует из описания модели,что ее функционирование можно описать марковским процессом ^[У) , Ъ ^ О ,с конечным множеством состояний С<1> 1,1 ^тК«.-) 'где I ~ 0-общее число занятых каналов вызовами первого или второго потоков, о,^ - число занятых каналов с вызовами первого потока, К{_=о,Ис.-число занятых мест для ожидания в О, -ом накопителе.

Даны определения средних характеристик (вероятности потерь и коэффициента потерянных вызовов обеих потоков,среднее число занятых каналов вызовами обеих потоков и других) и их статистических оценок Составлены системы линейных уравнений для стационарных вероятностных состояний процесса ,

математических ожиданий накопленных случайных величин.Эти уравнения решены методом последовательных приближений на компьютере.По составленной программе получены численные значения характеристик и дисперсий их статистических оценок.Проанализированы эти значения и выявлены интересные закономерности их изменения при различных значениях параметров системы.Для них построены графики,изменяющиеся в зависимости от изменения 71 Во второй модели системы вызовы первого потока имеют абсолютный приоритет в обслуживании.Функниониронание этой системы отличается от функционирования первой системы этого параграфа тем,что каждый вызов первого потока,поступивший в момент занятости псех 1Г каналов,прерывает с вероятностью единица обслуживание вызоза второго потока и занимает канал на обслуживание.Вытесненный вызов занимает одно свободное место во втором накопителе. Если во втором накопителе нет свободных мест для ожидания,то вызов теряется. Функционирование этой системы как н первой описывается марковским процессом У|[-1) с конечным множеством состояний (.¿'Ч V.,, .значения которых приведены выше,но при С ~ 0,1Ы > У^-О состояния для МП не существует. Даны определения средних характеристик и их статистических оценок.Составленные системы уравнений статистического равновесия и для математических ожиданий запрограммированы.Получены числешые значения характеристик (средних и их дисперсий оценок).Выявлены закономерности их изменения при

различных значениях параметров системы.Полученные результаты использованы в ЦНИИС для определения качества обслуживания вызовов и пропускной способности пучков соединительных линий в сети связи.

Расчетные данные показали,что они очень важны для оперативного управления системой.С этой точки зрения необходимо показать их применимость в принятии решения для оперативного управления.Алгоритм решения этих задач реализован на компьютере и в виде блок - схемы представлены на рис.4.

Рис.4 Блок-схема решения задачи ОУ

Полученные результаты этой главы новы и опубликованы в [3-6,11,12, Четвертая глава посвящена практическим вопросам реализации оперативного управления в описанных системах главы 3 Сущность оперативного управления согласно рис.1 и рис.2 состоит в том,чтобы вовремя устанавливать качество обслуживании к норме.Для приведения их в норму требуется устанавливать дополнительные места для ожидания или количества обслуживающих приборов. При этом требуется точное измерение значений характеристик.Полученные теоретические результаты главы 2 и практически реализуемые алгоритмы главы 3 позволяют определить значения исследуемых характеристик с наибольшей абсолютной или относительной — погрешностью их измерения. Доверительный интервал для значений статистической оценки ^(Л) при ^со

,где 1-0. — лвухстороннин квантиль

имеет вид \Се.± Ее,- к^ 1 \ /5Г7Г нормального распределения N1®. О .Для заданной величины абсолютной или относительной погрешности и достоверности с1 длительность

измерения характеристики Ке определяется из равенства

Р

Ь&М-Ъ!

^ <

м-

л.

(73)

Р ^ 1т); ю - к'с| < К^Ф = ^

обозначая через — Ц^

получим

К,

Тс - ~

(74)

Значения и ^определяем из полученных численных характеристик систем, описанных в главе 3.

Формулу ( можно использовать и для определения длительности статистического моделирования системы.Для модели п.3.3.-! - п.3.3.6 число событий необходимых для оценки точности моделирования таких систем приведены на рис.5-8.

о,05 о,1 о,15

Рис.5.Число событий N для моделирования системы п.3.3.4

од о,? о,ъ о,ч о,ь о,С, Рис.б. Число событий N дл:' моделирования системы п.З 3.5

3

г [О5

для моделирования системы п.3.3.6.1

для моделирования системы п.3.3.6.2

Ч

Показана реализация алгоритма оперативного управления такими ресурсами,как: емкостями накопителей в перегруженной системе,описанной в п.3.3.4;количеством обслуживающих приборов в перегруженной системе.описанной в п.3.3.6. При этом оперативное управление основано на анализе точности измерения таких характеристик ,как: вероятность потерь,коэффициента потерянных вызовов и обслуженной нагрузки с допустимой погрешностью их измерения.Методики,полученные в этой главе внедрены для определения режимов наилучшего функционирования водораспределительной системы,дополнительных мест для ожидания в справочно-информационном узле 09 г.Ашгабате,количества компьютеров в сети передачи данных Туркменистана.

Полученные результаты могут быть использованы для задач контроля и управления качеством обслуживания и пропускной способности многих других реальных систем,модели которых исследованы в третьей главе диссертации.Далее в этой главе приводится определение эффективности прибыли функционирования системы с ожиданием при различных значениях параметров системы.Показывается как влияет настойчивость абонента на эффективность работы,которая представлена на

Для кривой 1 представлены значения набора параметров,а для остальных кривых представлены только те значения параметров,которые отличаются от указанных для кривой 1: Н^ Нг_= К = *> ? ,»1=3^=3.2. Н,-Нз.-Н=0, 3. К= оЛ 4. >1 - Ц , 5, Ь =У-3.5. М-5.

б- Нс^Н^о,»), 7. )Ч -(О.' ^=1-1 и = 3-

При уменьшении или увеличении поступающей нагрузки Я прибыль резко уменьшается (кривая 1.).Если же абонет не абсолютно настойчив (кривые 2-6,8), но имеет ту же самую интенсивность повторения ^1=5 ,что и в случае абсолютно настойчивого абонента,то можно получить большую прибыль,но только в области больших вероятностей потерь.Практическое совпадение кривых 3 - 6 и 8 указывает на устойчивость 1\1 к изменению параметров,соответствующих этим кривым.Однако увеличение интенсивности повторения уже в два раза существенно снижает величину прибыли. Ъ ¿,1о1-

В приложении диссертации приводятся документы,подтверждающие внедрение результатов работы.

Основные результаты и пынодм.

Разработаны теоретические положения оперативного управления в стохастических системах,включающие в себя анализ и оптимизации функционирования систем и практические алгоритмы их осуществления прг. управлении режимами и ресурсами этих систем.Совокупность решения этих вопросов внесли существенное значение в развитие перспективного направления в теории управления.

Решенные в диссертации научные и практические проблемы имеют большое народнохозяйственное значение как теоретическое и методологическая основа созда ния АСУ управления режимами и ресурсами в крупномасштабных производствах, системах снабжения и обслуживания.

Основные полученные в диссертации оригинальные научные и практические результаты состоят в следующем:

1.На основе анализа отечественных и зарубежных исследований по теории оперативного управления и изучения содержательных постановок задач в области управления основанных на вычислении средних характеристик сформулирован новый подход в управлении стохастических систем,а именно метод вычисления дисперсий статистических оценок для < редних характеристик.Для алгоритмической реализации полученных результатов эти системы описываются марковскими и полумарковскими процессами с конечным множеством состояний.При этом доказаны,что статистические оценки являются асимтотически несмещенными,строго состоятельными и асимтотически нормально распределенными.Они удовлетворяют математическим ожиданиям от соответствующих характеристик при достаточно большом времени наблюдения.

2.Предложены новые математические модели функционирования автоматизированных систем управления,систем распределения и обработки информации.Эти модели отличаются от ранее известных тег,:,что учтены такие параметры,как: источник повторения требований,надежность обслужипающ-то устройства и т.д.,которые имеют место в реальной ситуации.Этим были даны ответы на вопросы,охватывающие широкий диапазон качественного исследования технических,биологических

и социальных систем.

.'¡.Составлены системы уравнений,связывающих вероятности состояний и для математических ожиданий от "накопленных" случайных величин в стационарном режиме функционирования системы.Даны определения средних характеристик и дисперсий их статистических оценок.Составлены алгоритмы их решения на компьютере и получены их численные значения.

4.На основе численных исследований построены закономерности изменения характеристик (средних и их дисперсий оценок) в зависимости от изменений интенсивности поступающих требований при различных значениях параметров систем.Это позволяет выбрать какая характеристика является наиболее подходящей для оценки функционирования системы.Тем самым положены основы оперативного управления системой.

5.Теоретические и практические исследования характеристик систем позволили: разработать методы оперативного управления в стохастических системах в частности:

-разработать методики управления количеством мест для ожидания и числа линий в перегруженных системах с учетом точности измерений вероятности потерь и коэффициента потерянных вызовов;

-внедрить методику для определения дополнительного числа мест для ожидания в справочном узле 09 г.Ашгабате,а также использовать методику для определения дополнительного количества компьютеров в системе, обработки информации; -оптимального варианта функционирования водораспределительной системы; -использовать в ЦНИИС результаты исследований средних характеристик многолинейного пучка с абсолютным приоритетом для определения качества обслуживания абонентов и пропускной способности пучков линий в международной телефонной сети.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах:

1.Харкевич А.Д.,Школьный Е.И.,Ялкапов Ж. О проблеме измерения функции настойчивости абонента в сетях с коммутацией каналов. В кн.Информационные сети и Автоматическая коммутация. М.: Наука,1981.с.101 - 102.

2.Ялкапов Ж.Стоимостная оптимизация вызовов в сетях коммутации каналов с повторными вызовами, там же,с.102 - 103.

3.Ялкапов Ж.Некоторые вероятностные характеристики полнодоступного пучка с повторными вызовами.Тезнсы докладов.Научно-техническая конференция,посвященная дню Радио.Москва, 1981 .с. 66 - 67.

4.Школьный Е.И.,Ялкапов Ж. Система с повторными вызовами и динамическим приоритетом. Всесоюзное научно-техническое совещание и совершенствование средств "Автоматической коммутации в ЕАСС".М.:Радио и связь, 1982,с.40 - 41.

5.Школьный Е.И.,Ялкапов Ж. Система с ожиданиями и повторными вызовами. В кн.: Модели систем распределения информации.М.,Наука,1982. с.23 - 37.

6.Школьный Е.И.,Ялкапов Ж. Двухпотоковая система с повторными вызовами и динамическим приоритетом. В кн.:Системы управления информационных сетей. М..Наука, 1983,с 90 - 106.

7.Ялкапов Ж. О длительности измерения характеристик двухпотоковой системы

с абсолютным приоритетом.Тезисы докладов IX -научно-техническая конференция,

посвященная дню Радио.М,1983,с. 81 - 82.

8Ялкапов Ж Точность измерения характеристик п дпухпотоконой системе с динамическими приоритетами.Тезисы докладов XXXIII Всесоюзная научная сессия,посвященная дню Радио.М.: 1983,с. 891- 82.

О.Ялклпоп Ж. Средние характеристики и дисперсий их оценок для многолинейной системы с приоритетами. Тезисы докладов VI научно-практическая конференция Туркменистана.Ашхабад, 1984,с. 111-112.

Ю.Ялкапов Ж. Оценки параметров двухпотоковой системы с динамическим приоритетом. В кн.: Анализ сложных систем. М.,Наука,1984,с. 17-20.

11.Ялкапов Ж.Исследование многолинейной двухпотоковой системы с абсолютным приоритетом и повторными вызовами.Тезисы докладов VII Республиканская научно-практическая конференция.Ашхабад,1984,с.14! - 142.

12.Школьный Е.И.,Ялкапоа Ж. Вычисление дисперсий статистических оценок вероятностных характеристик многолинейной системы с приоритетами.Информационный бюллетень ГосФОНД .Алгоритмы и программы.1984,Л1>1. -32с..

13.Ялкапов Ж.,Ханалиев X.,Перспективы функционирования средств связи и ЭВМ Ашхабад, 1985, -56 с.

14.Школьный Е.И.,Ялкапов Ж. Расчет вероятностных характеристик и дисперсий их статистических оценок однолинейной двухпотоковой системы с динамическим приоритетом и повторными вызовами.Информационный бюллетень ГосФОНД Алгоритмы и программы, 1986,с. 461 - 462.

15.Ялкапов Ж. Дисперсия статистической оценки среднего времени ожидания в системе vi/\T .В кн.: Научно-технический прогресс и общество.Ашгабат, 19S6.c. 461 - 462.

16.Ялкапов Ж. О вычислимости функций.Труды Всесоюзной школы-семинара по оптимальному управлению и дифференциальным уравнениям.Ашгабат,1991,с. 60.

17.Суханов С.С.,Ялкапов Ж.,Ялкапов П. Математическая модель рационального подключения нагрузок к энергоблокам электростанции.ХХ1Х научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава ТПИ.,Ашгабат, 1994,с. 15

18.Суханов С.С.,Ялкапов Ж.,Ялкапов Г1. Рациональное подключение нагрузок блоков к электростанции.Тезисы докладов.Международная научно-методическая конференция.Ашгабат,1995,с 101 - 102.

19 Ялкапов Ж. Оперативное управление в стохастических системах. Там же. с. 108 - 109.

Зависимость характеристик р и дисперсий их статистических оценок Л от

о,ч од

ИЗЫВНЙНИсг