автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка статистических методов решения интегральных уравнений теории упругости

Р^К^Г-ПЕГГ^Н^РГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

2.3 МАЙ та

На правах рухописи

АРсеньев днитрий Германович

Разработка статистических методов решения интегральных уравнений теории упругости

Специальность 05.13.16. применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург.' 1994

\

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор О. ю. Кульчицкий Официальные оппоненты: доктор Физ. -мат. наук.

прэФес.сор Г. л. Шевляков. СПбГТУ;

кандидат Физ. -нат. наук,

с. н. с. Н. А. Лавров,'

Иинститут проблен машиноведения РАН.

ведущая организация - предприятие АО "Спеинал".

Зашита состоится ^^1994 г. в 5^^часов на заседании специализированного совета Д 063.38.16 СПбГТУ По адресуй 95251. / Санкт-Петербург. Политехническая 29. корпус..-^

с диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

<?/ Л. I Автореферат'разослан ^З^" г.

ч

Ученый секретаре специализированного совета, канд. техн. наук I \

С. р. Репин

Обпая характеристика работы

Актуальность тени. совершенствование методов

проектирования и Расчета конструкций - важная составная часть научно-технического прогресса. Создание конкурентоспособной продукции невозможно без проведения точных расчетов и снижения необоснованно завышенных запасов прочности в конструкции.

это обстоятельство предъявляет повшенные требования к методам расчета напряженного состояния. выражающиеся, в частности, в максимальной автоматизации и возможности адаптации метода к решаемой задаче.

в связи с этим совершенствование расчетных методов определения напряженно-деФорнирозанного состояния

представляется актуальной задачей.

Цель работы состоит в изучении возможности использования и трансформирования полустатистического метода численного решения задач теории упругости, включая нестационарные задачи, а также в разработке алгоритмов метода и обоснованию их сходимости для этого класса задач с последяояшн использованием в инженерной практитке.

Научная новизна. Установлено, что полустатистическиЯ метод может быть распространен на решение интегральных уравнений первой и второй основной задач теории упругости и произведено обобщение метода на решение этого класса задач.

Построены формулы для определения плотности расположения узлов сетки как по критерию ¡.-оптимальности, так и по критерию минимакса.

. Для ряда классических пространственных областей методом потенциала построены аналитические решения непосредственно интегрального уравнения, причем для полого шара это сделано впервые.

Проведена оптимизация экспоненциального алгоритка численного интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений в смысле минимума затрат машинного времени.

Получена новая оценка погрешности приближенного способа вычисления матричной экспоненты. Показано ее преимупество по сравнению с имеющимися в литературе аналогами.

Разработан оптимизированный алгоритм приближенного реиения задачи Коши. Обоснованы его преимущества ло сравнению с имеющимися в литературе аналогами.

Достоверность результатов. полученных по программе, реализуюшея-разработанный метод, подтверждена

- на тестовых задачах - сравнением с аналитическим

- ~

решением;

- при расчете деталей трансмиссии - сравнением с аналогичными величинами, найденными экспериментально, а так же методом конечных элементов.

Практическая иенность. на базе полустатистического метода и предложенного алгоритма разработана программа для ЭВМ по определению напряженно-деформированного состояния деталей сложной Формы. Проведенные прочностные расчеты картеров бортовых редукторов позволили выявить участки. изменение геометрии которых приводит к наибольшему изменению податливости конструкции, что служит основой при выработке рекомендаций по снижению металлоемкости конструкции.

Публикации и апробация работы, основное содержание работы отражено в 5 печатных трудах.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре каФедры "Неханика и процессы управления" Санкт-Петербургского государственного технического

университета (Санкт-Петербург,. 1994). на IX Всесоюзном совешании "Нетоды нонте-карло в вычислительной математике и математической Физике" (Новосибирск. 1569).

Обьен работа, диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения и насчитывает 166 страниц, в том числе 1ча страниц основного текста. 1б рисунков и £ таблицы. Список литературы состоит из 73 наименований.

Содержание диссертации

Первая глава посвяшена изложений полустатистического метода, его особенностей, достоинств и недостатков в сравнении с другими методами. Рассмотрены вопросы сходимости метода и адаптивные свойства по выбору оптимальной структуры случайной сетки интегрирования.

в работах Кульчицкого о. ю. и Иванова в. н. предложен способ решения интегральных уравнений смешанного типа, содержащий детерминированные и статистические операции и потому называемый полустатистическим, как в детерминированные методах, задача сводится к решению алгебраической систень уравнений, однако, приближенная замена интеграла конечног суммой производится в соответствии с методой монте-Карло. Подобный подход позволяет добиться целого ряда алгоритмически! преимуществ, предлагаемый метод в своей алгоритмической часта слабо чувствителен к спектральным свойствам ядра и допускаем рекуррентное уточнение решения с контролем точности в процесс« вычислений, а также автоматический выбор рационально!

- } -

плотности распределения точек сетки на области интегрирования на основании предварительных оценок решения.

Пусть задано ограниченное замкнутое множество Замерного евклидова пространства . . рассмотрим интегральное уравнение Фредгольна второго рода

с ЯДРОН

и /Ф^^г^) , X некоторое действительное число, такое, что уравнение (1.1) имеет в Lí (Я) единственное решение ¥ Ос)

Предположим сначала, что решение УС*} уравнения (1.1) известно и задана совокупность статистически независимых случайных векторов К, ^ В*-* *

называемых в дальнейшем случайной сеткой интегрирования и имевших плотность распределения рСх) : О щ>н

Тогда в результате применения простейшего варианта метода Монте-Карло для вычисления интегралов уравнение (1.1)

запишется в виде,

- '

а при ХаХ- > с* А/ - в виде

где <5г) - случайная погрешность вычисления интеграла по А/ реализациям! - единичная матрица размера

МхлХ :

мм,;;,; ,

(1.3)

При достаточно общих предположениях о функциях и'

У (у) погрешность по своему построению является

несмешенной с дисперсией, стремящейся к нулю при Л'-» . в

- ч - ~

связи с этим следует ожидать, что величины У? . полученные из системы уравнений

где

будут и некотором смысле близки к причем решение уравнения и. 1) при любом X б'З) может быть оценено с помопью у. по формуле

ад ? + (17)

Выражение для точного решения получается при

подстановке в ¡1.3) значения У ¿О • найденных из системы

Таким образом, задача приближенного решения интегрального уравнения (1.1) с заданной свелась к решению системы

линейных алгебраических уравнений (1.6) . а задача приближенного обращения интегрального оператора, соответствующего уравнению (1.1). - к обращению матрита

- — к,

Описанный способ приближенного обращения интегральных операторов имеет хорошо известные детерминированные прототипы, строящиеся на базе квадратурных формул. Однако при использовании мощных вычислительных машин предлагаемый метод имеет существенные алгоритмические преимуше~тва, заключающиеся в возможности:

1) автоматизировать процесс расстановки узлов сетки интегрирования;

2) сочетать постепенное . наращивание объема сетки с рекуррентным обращением матрицы ;

3) контролировать точность приближенного решения в процессе рекуррентного обращения и вырабатывать правила остановки вычислительного процесса;

4) оптимизировать структуру сетки петем рационального выбора функции р(>0 по предварительным онгнкам решения.

В главе рассмотрены вышеперечисленные возможности, такхе приведены условия сходимости метода. Глава заканчивается описанием специфических способов применения метода дл? интегральных уравнений со слабой особенностью. Установлено,

что для применимости полустатистического негода необходимо, чтобы ядро соответствующего интегрального уравнения должно иметь слаб/» особенность (порядка^ ).

Во второй главе исследована возможность применения полустатастического метода для решения первой основной задачи теории упругости. В инвариантной Форме получены соответствующие интегральные уравнения. Для ряда классических областей (шар. полый шар, пространство с шаровой полость») построены аналитические решения непосредственно для интегрального уравнения, Получены Формулы для оптимальной плотности распределения узлов случайной сетки. численным моделированием проиллюстрированы возможности метода.

Рассмотрим класс интегральных уравнений, соответствующих 1-й основной задаче теории упругости. Можно показать, что проблема решения 1-й основной задачи сводится к решению регулярного интегрального уравнения

и вычислению потенпиала

Здесь £>=-/ для 1-й внутренней задачи и %-0 для 1-й внешней ! 3 •) /

= гЯ^Ъ 4 2

- псевдосиловой тензор; 0 - замкнутая поверхность

Ляпунова, ограничивающая обьем V ; точки /5, ? -

точка наблюдения, принадлежащая 0 или V , причем при выходе точки Р на поверхность Р» Р*. г Ц - заданный вектор. —, Ц. - искомые функции. д 4

Благодаря тому, что производная по нормали ¡щ- £ в псевдосиловом тензоре выделяется в "чистом" виде, его

особенность при 0 имеет порядок ^ д

Следовательно, соответствующие интегральные уравнения являются регулярными со. слабой особенностью и к ним применим полустатистический метод..

Формулы для оптимальной плотности..

рассмотрим для определенности интегральное уравнение для Х-ой внутренней задачи, записанное в виде

- ±(ю - {ъ) <г> 1'

в результате применения формул метода нонте-карло к вычислению интеграла, входяшего в (2. и. это уравнение примет вид:

- ¿¿Щ) &21

где - плотность распределения случайных узлов 0} сетки интегрирования. Обозначим случайную величину

V ( т.-)к^У Ш

Тогда уровень статистической погрешности от замены интеграла

щ - ф • (ш -1 (?> )уов (2

его приближенным значением (2.3). а следовательно. и статистическую погрешность решения уравнения (2.1), возникающую при такой замене, можно характеризовать величиной дисперсии оценки Т/ра) При этом

= Ш)

.¡¡¡ШММШ-АА'Ш* -

Рассмотрим задачу выбора оптимальной плотности Р/Р^ в смысле минимума некоторого функционала'?' :

= ^ ячъ(р^ ?)). <2. о

Введем в рассмотрение величину "о

За критерий оптимальности выберем критерий взвешенной суммы дисперсий:

(2. 8)

гле / = -е е

Ь Ас . (2.9)

этот критерий также носит название Ь-оптикальности. Тогда инеем

/ 1 Ш) : 1 «'

Теорема. Оптимальная плотность в смысле

минимума функционала (2.10) (Ь-оятимальная плотность) для задачи вычисления интеграла Х/Р») методом Ионте-Карло имеет вид:

и®-сЧ-0.,Ыт-шж. \ (г,1П

где С. - нормировочный множитель. Соответствующее оптимальной плотности минимальное значение функционала равно

?Ъ) - {¡лт-ш? % он -0, апт-т^ -

Замечание. При численных расчетах интегралы входящие в (2.11). (2.12) велесообразно вычислять методом Нонте-Карло. причем на той же выборке, что и при нахождении

т)-

при численном решении в качестве тестовых рассматривались задачи для шара, пространства с паровой полость», полого шара, для которых были построены аналитические решения для плотности потенциала, то есть непосредственно для решения соответствушего интегрального уравнения. Для примера приведем аналитическое решение задачи для полого шара.

Рассмотрим полыя шар. ограниченный сферами Ч и • радиуса и <?•>_ соответственно, ^ •

Будем считать, что на поверхностях 0( и заданы равномерные радиальные перемещения :

(н, 13)

Определим поле перемещения ¡¿С?) в полон таре. Решение будем искать в виде второго потенциала упругости II рода, учитывая, что поверхность 0 в рассматриваемой задаче складывается из двух сферических поверхностей 0( к :

причем в. интеграле по С, в выражение для входит

внешняя нормаль к сфере 0/ в точке . а в

интеграле по - внешняя нормаль ^¿^ к в точке .

Тогда плотности потенциалов , интегральных

уравнений

О, / * 1

определяются следующими Формулами :

-,(Рв/" мшТоГэГ) -г(е,) - <

(г. 15)

(2. 16)

Подставив найденные плотности ^ и в потенциал

(2.14). получим известное поле перемещений ^ (?) * полой шаре:

- ч, ■ «I V

При численном моделировании а качестве тестовой сила рассмотрена 1-я основная задача для шара под действием равномерного давления. предполагалось, что упругий шар подвержен радиально-симметричной деформации и на его поверхности задано постоянное радиальное перемещение

-'»г«, > , (2.18)

где - радиус шара. Согласно вышеизложенному решение

этой задачи сводится к вычислению потенциала

плотность которого определяется из интегрального уравнения (2. 1) При тестировании программы задавалось

и использовался закон равномерного распределения узлов случайной сетки интегрирования

* = ^ (2. 21) Результаты численного моделирования сравнивались с построенным точным аналитическим решением рассматриваемой задачи, которое при заданных параметрах (2.20) принимает вид

, (ЗСО

' (2.22)

, о.

(2.33)

основные результата численного моделирования : Число генерируемых по закону равномерного распределения (2.21) случайных точек £?{ на поверхности сферы принималось А/- 5~0 . В результате решения_систёмы алгебраических уравнений был получен нассив опенок у для трех компонент вектора %((}) в 50 узлах случайной сетки._ для опенки точности полученного результата найденный массив у рассматривался как р/ реализаций случайной векторной величины, по который выли вычислены математические ожидания М и дисперсии 2) для каждой компоненты плотности :

3.5144 Д, - 0.0388

1 0.15*6 XV 5 0,0346 (2.24)

М = 0,0015 0,0369 ,

здесь % Уф - проекции вектора плотности Ш на подвижные координатные оси с направляющими ортами ^ . Сравнив численно полученные опенки (г.24) с аналитическим решением (2.22), можно сделать вывод, что когда число узлов равномерной сетки интегрирования И/ = , относительная погрешность решения интегрального уравнения, например, по Ух. не превышает 4.1*. При этом относительная статистическая погрешность, оцениваемая по дисперсии, составляет не более 5,вх, отметим, что для дальнейшего уменьшения погрешности вычисления плотности У? можно либо увеличивать число . генерируемых точек Л/ • либо последовательно оптимизировать их распределение путем рационального выбора функции в/о) •

для исследования эффективности определения оптимальной плотности расположения случайных узлов сетки была рассмотрена задача о шаре с перенешенияки, заданными по малому участку боковой поверхности, в качестве первого приближения выбиралась равномерная плотность распределения, в результате решения задачи была получена новая плотность. которая аппроксимировалась кусочно-линейной функцией, вторичное решение задачи с найденной плотность» привело к уменьшению функционала (2.1г> на 35*. Повторение описанного процесса позволило снизить функционал (г. 12) еие на 2.1*. что говорит о достаточно быстром процессе сходимости Формирования

оптимальной сетки интегрирования. Расчеты производились в. предположении равнозначности компонент вектора % . т. е. тензор С принимался равным единичному:

Третья глава посвяшена тем же проблемам распространения полустатистического метода, но в отличие от второй главы, применительно ко второй основной задаче теории упругости. Проведен расчет картеров бортовых редукторов и сопоставление с аналогичными результатами. полученными методом конечных элементов (НКЭ).

фундаментальное решение ш рода (по терминологии в. д. купрадэе) представляется суперпозицией двуу декартовых матриц. пропорциональных соответственно матрице

кельвина-сомильяна II ГЦ и некоторой матрице|| 2.11, элементы которой выражаются через различные производные потенциала Я^ = здесь это решение называется тензором Вейля и

записывается в следующей Форне: 4

эта неразвернутая Форма записи тензора Вейля предпочтительна при инвариантных операциях над ними.

Соответствующей тензору вейля силовой тензор § строится по Формуле % ,/ п/

-(*{)*«}-к . (3,г' Тензор 0 м) определяет вектор напряжения на площадке с норналыо в полупространстве ЪъО и Формально, так

же, как и существует всюду в пространстве, кроме

точек оси £ £ д . в обшем случае при использовании вместо ^ обобшенного потенциала^*" где внешняя

нормаль к замкнутой поверхности 0 • можно ввести обобщенный силовой тензор С? , вычисляемый по формуле <3.2) с

заменой Фч наЯ??*'. }

Для исследования особенности 5 Ш,М) для поверхности О с непрерывной нормалью можно воспользоваться

разложением нормали {2-й в ряд Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа

—" —4 — * ■> " * .(3.3)

где УРн' - тензор кривизны ; М, М £ О , в результате

- 11 -

приходим к представлению в следующей форме:

гле ^ и В - ограниченные тензоры. щ

Из (3.4) следует, что обобщенный силовой тензор С] (л/М) при л/* м содержит не только нормальную производную

"й. . но и слагаемые меньшего порядка, в отличие от тензора псевдонапряжений СлС^• 8 мотором указанная производная - единственная.

Таким образом. для второй основной задачи теории упругости построены потенциалы, пригодные для применения полустатистического метода, т. к. их ядрй обладают слабой особенность».

Для численного моделирования была выбрана задача о напряженно-деформированном состоянии картеров бортовых редукторов.

В качестве расчетной модели задачи о картере можно принять задачу об изгибе трубы с заделанным основанием.

Силовые граничные условия включают в себя радиальные усилия, распределенные по полосе на внутренней части горловины картера, а также усилия в заделке, определяемые стандартными методами сопротивления материалов.

для оценки податливости и прочности характеристик проведено расчетное исследование картеров бортовых редукторов двух гусеничных машин.

Отличия результатов оценки перемещений, вычисленных полустатистическим методом, от экспериментальных данных не • превышает а от результатов, полученных МКЭ -ей, что

говорит о достаточной точности предлагаемого метода, достигнутой на юоо узлах. Плотность распределения узлов сетки задавалась неравномерной со сгушением в зоне горловины картера.

Максимальное усилие, нагружавшее подшипниковый узел этого картера со-тавляет 350 кн. При этом смешение горловины картера равно о.ггмм, а соответствующий этому смешению перекос зубчатых колес - 3'.

Анализ напряженного состояния картера показал, что наибольшие напряжения возникают в сечении 3 на наружной стороне картера. Отличия в величинах напряжений, полученных МКЭ и полустатистическим методом, не превысили И*.

С целью уменьшения величины . деформаций картера исследовался вопрос о влиянии толщины стенок картера на его податливость, при этом учитывалось, что результат следовало

- 12 -

получить с незначительным приростом массы.

В итоге были выделены участки картера, увеличение толшины которых приводит к наибольшему снижении податливости картера. Эти результаты необходимо учитывать при назначении мероприятий, направленных на снижение податливости картеров.

В четвертой главе рассмотрен новый метод решения интегральных уравнении для нестационарных задач, предложенный Кульчицким о. Ю. особое внимание уделено наиболее критичной части обшего алгоритма: метода интегрирования жестких систем линейных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим вторую внутренюю задачу нестационарных колебаний. Пусть нагрузка является произвольной функцией времени £{¿,N1). в соответствии с методани потенпиала будем разыскивать вектор перемещений в виде

Ч а А) -- ») • ^/И И' < ^ (4. 1)

где !//£, Н, а/,) - динамический аналог тензора кельвина-сомильяна. Тогда для плотности потенпиала О С7, М) получаем следующее интегральное уравнение

где - силовой тензор.

Применим к (4.2) преобразование Лапласа, обозначив изображения соответственно через &(Р,Ыс), ^/¡ЩМ,),

в дальнейшем- для упрощения записи Зудем опускать знаки векторных и тензорных величин у изображений. с учетом введенных обозначений получим

а (р, н,) =/Ф(г, н,К)а (г,м)о(Ом V '//¿V.

(4. 3)

Допустим, что функции Н*) и Р(р,М<) имеют следующую

структуру , л у . ' \ л ' '

где » г - ■ . о

- 13 -

причем корт р уравнения А{[>)-0 таков и. что

Рс £ 0 11 —" ~ ^ прн с -* '

В справедливости сделанных предположений для уравнения теории упругости можно Убедиться непосредственной проверкой.

С учетом сделанных допущений, возвращаясь от уравнения а изображениях (1. 3) к уравнению в оригиналах, получим

где 3) - оператор дифференцирования по / . .

Допустим, что моделировать решение 0.СМу необходимо с пагом А по времени "Ь . Тогда все моды колебаний, для которых

> д .т.е. для 7~< ¡7 Т)

-к

затухают на иаге интегрирования в « раз (при К =з более чем в го раз).

Поэтому полином может бить усечен до степени *Ъ .

-Оер. К

после отбрасывания всех корней, для которых ^11 • Д .

Соответственно полигоны и тоже

необходимо усечь до (/?-/)-го порядка по такому же принципу. Тогда вместо (4,6) буден иметь следующее уравнение:

Введем вектор Фазовых координат системы тогда (Ч.8) запишется в виде системы

= ('н- е. х ^ л/*, к; + (4.9)

где

и С - векторы коэффициентов В и С . Систему интегро-диФФеренциалышх уравнения (4.9)

аппроксимируем ." системой дифференяиалышх уравнений, осуществляя приближенную замену интеграла в (4.9) по Формулам метода Нонте-карло:

где М; - случайные точки.

Построенная система <4.10) обладает очень большой размерностью Лл'У , которую целесообразно сократить с поношью специального метода сокращения размерности жестик систем, предложенного о. ю. Кульчинкии и Гиндиным и. б,

Идея этого . метода состоит в следующей. Системы дифференциальных уравнений высокого порядка обладают, как правило. большим спектральным радиусом. Пойятно, что на различных интервалах времени все собственные значения не являются между собой равноправными и поэтому весь спектр по величинам вещественных частей Формально разделяется на две части. Каждая :из частей определяет решение системы на соответствушен ей интервале.

Первая часть. с достаточно малыми вешественныни отрицательными частями оказывает влияние на решение лишь на сравнительно узком интервале вблизи начального положения системы (участке пограничного слоя). . фазовая траектория на этом участке быстро сходится к подпространству меньшей размерности, натянутому на базис из собственных и присоединенных к ним векторов, соответствующих второй части спектра. Вне пограничного слоя решение почти - полностью принадлежит рассматриваемому подпространству. Движение Фазовой точки в нем описывается системой более низкого порядка. Такие свойства и сами системы называются жесткими.

Предлагаемый нетод основывается на отбрасывании собственных значений матрицы системы, имеющих малые (отрицательные) вещественные части. Эти собственные значения определяют быстро' затухающие составляющие решения, существенные только на участке погранслоя и практически равные нулю вне его.

в результате исходная задача свелась к решению системы линейных дифференциальных уравнений невысокого порядка : с постоянными коэффициентами вида

где А - неизвестный вектор. А я 3 - постоянные матрицы.

Поскольку от эффективного решения системы (4.11) в Значительной степени зависит эффективность решения всей проблемы в целом и кроне того, к системе (4. 11) сводится, ¡большое количество других разнообразных задач, т® все дальнейшее исследование в главе 4 посвящено этой проблеме.

Проведенное исследование и последующее численное моделирование показало. что практическое использование предложенного в работе алгоритма позволяет в десятки и сотни раз сократить затраты машинного времени на численное интегрирование жестких систем дифференциальных уравнений типа (4. Ш по сравнению с методом Рунге-Кутта и в несколько раз по сравнению с методами, изложенными в работах Ю. В.ракитского.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

1. Установлено, что полустатистическии метод может быть распространен на решение интегральных уравнений первой и второй основной задачи теории упругости. и произведено обобшение метода на решение нового класса задач,

2. На численных примерах исследованы вопросы практической сходимости метода,

3. построены формулы для определения плотности расположения узлов сетки как по критерию Ь-оптимальности, так и по критерию минимакса.

4. для ряда классических пространственных областей методом потенциала построены аналитические решения непосредственно интегрального уравнения, причем для полого шара это сделано впервые,

5. численным экспериментом проиллюстрировано использование полустатистического метода в задачах статической теории упругости, провесе оптимизации сетки интегрирования при этом является быстро сходящимся (2-3 итерации). Расчет картеров бортовых редукторов в сопоставлении с аналогичными расчетами, выполненных НКЭ. показал, что различия не превышают

8-1ix.

6. Проведена оптимизация алгоритма вычисления матричной экспоненты численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в смысле нинимума затрат машинного времени. Результаты использованы при создании нового метода численного решения интегральных уравнения для нестационарных задач.

7. разработан оптимизированный алгоритм приближенного решения задачи Коти. Обоснованы его преимущества по сравнению с имеющимися в литературе аналогами. .. .

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях.

1. Арсеньев Д. Г,. Иванов В. Н..: Кульчицкий .0, Ю.

Полустатистический метод численного ! решения интегральных

уравнения, Доклад на IX Всесоюзной совещании " Методы Монте-Карло в вычислительной математике и метематической ФИЗИКе". НОВОСИбНРСК. 1969. С. 109-112.

2. Арсеньев Л. Г.. Иванов в. В.. Яугонен В. И. Об одном численном нетоде определения локальных температур в задачах теплопроводности. Деп. в ВИНИТИ, N 5401-ват, 1987. 31С.

3. Арсеньев Д. Г.. Иванов в. н. Решение интегральных уравнений первой основной задачи теории упругрсти полустатистическим методой. Деп. в ВИНИТИ, N 66М-В86, 1986, 52с.

4. Арсеньев Д. Г.. Кульчицкий 0. Ю. Оптимизация алгоритмов численного интегрирования жестких линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Деп. В ВИНИТИ. Н 732-В86, 1986, 33с.

5. Арсеньев Д. Г.. кульчинкий о. Ю. оптимизация вычислительной процедуры перехода от непрерывных линейных моделей системы управления к дискрет!им. в сб. "Математические методы в задачах управления и обработки данных* . Рязань. 1966, с. 9-13.

Лодолспно к почет:: "¿2."

:.окпа г 05

_С<\ Т;гра:к 100 гг.з. Гссплапго

Ояшсгтю "а т: ЯЙТЛ/

С.-Гтгс„:^;/?г, ¡¡а.тгг«жзчзоди ул.,20