автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка систем автоматизированного проектирования многослойных оболочечных конструкций на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния

На правах рукописи

МАЗИН АЛЕКСЕЙ ВИТАЛЬЕВИЧ

РАЗРАБОТКА СИСТЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2004

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова на кафедре математической кибернетики.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Угланов Алексей Владимирович

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Соловьев Михаил Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кубышкин Евгений Павлович

доктор технических наук, профессор Бытев Донат Олегович

Ведущая организация: ОАО «НИИШИНМАШ», г. Ярославль

Защита диссертации состоится « 2.» Апреля 2004 г. в часов на заседании диссертационного совета К 212.002.04 в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ярославского госу-. дарственного университета им. П.Г. Демидова.

Автореферат разослан уЛАЯ^зИоОЬ-- 2004 Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время в машиностроении и других отраслях промышленности широко внедряются системы автоматизированного проектирования; включающие универсальные программные комплексы конечно-элементного анализа - системы СAD FEM. Автоматизация проектирования на основе расчета напряженно-деформированного состояния изделия' особенно актуальна для сложных изделий, таких как многослойные резино-кордные оболочки, к которым относятся автомобильные шины.

Специалисты отечественных предприятий шинной промышленности с интересом смотрят на предложения ведущих зарубежных фирм -разработчиков универсальны х С AD FEM программных комплексов, занимающих лидирующее положение на м ировом рынке програм м ных продуктов данного класса. Существуют предложения и отечественных разработчиков универсальных програм м-ных ком плексов для решения задач инженерного анализа.

Вместе с тем для успешного внедрения универсальных программных ком плексов конечно-элементного анализа в системах автоматизации проектирования сложных многослойных резинокордных конструкций существует целый ряд нерешенных научных и технических проблем.

В о-первых, подготовка геом етрических м оделей таких конструкций непосредственно средствам и универсальных С AD FEM пакетов достаточно затруднительна, и в настоящее время занимает большую часть времени, затрачиваемого на решение задачи. Второй проблем ой является отсутствие общепринятых м етодик расчета упругих коэфф ициентов м ногослойных анизотропных материалов, что обусловлено чрезвычайной сложностью их м еханического поведения. Еще одной нерешенной проблем ой является отсутствие обоснованных ре-ком ендаций как по выбору численного алгоритм а решения нелинейных задач теории упругости для таких м атериалов,так и подбору настроечных парам етров алгоритм ов. Данное обстоятельство приводит к тому, что многие численные алгоритм ы, хорошо зарекомендовавшие себя при решении линейных задач, в данной ситуации оказываются неэффективны ми или вообще неработоспосо бными.

Эти, а также другие, не решенные проблем ы использования универсальных программных комплексов конечно-элементного анализа, и послужили обоснованием для настоящей работы.

Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы явилась разработка систем автоматизированного проектирования м ногослойных резинокордных оболочечных конструкций на базе использования универсальных программных комплексов ANSYS и LS-DYNA.

Для достижения поставленной цели в процессе выполнения диссертационной работы были решены следующие задачи:

созданы парам етрические м одели автом обильных шин, позволяющие полностью автом атиз ировать подготовку геометрической модели изделия и пере-

давать ее в программные пакеты ANSYS И LS-DYNA в формате ЮЕ8для последующего анализа;

• разработана методика расчета коэффициентов упругости м ногослойного анизотропного резинокордного материала при несовпадении осей локальной системы координат с осями упругой симметрии материала на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния его структурных элементов;

• предложена параметрическая модель линии профиля резинокордной оболочки, позволяющая решать задачу оптим изации форм ы профиля на основе анализа напряженно-деформированного состояния;

• решены задачи оптим изации конструкции радиальных шин в зоне борта при посадке на обод, позволяющие существенно повысить ходимость покрышки при станочных испытаниях;

• разработана м етодика расчета нагруз очных характеристик автом обильной шины при стандартных режимах нагружения на основе анализа напряженно-деформированного состояния трехмерной модели, позволяющая существенно сократить время конструкторской проработки изделия.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы:системногоаналюа;конечныхэлементов для решения задачтео-рииупругости;прямые и итерационные методы решения систем алгебраических уравнений с большим и м атрицам и; парам етризации геом етрических м оде-лей в инженерных программных пакетах; теоретической оценки упругих свойстврезинирезинокордныхкомпозитов;численные методы оптимизации; апостериорного планирования эксперимента; ортогонального разложения функции с использованием полиномов Лежандра; объектно-ориентированные методы для автоматизированной подготовки конструкторско-технологической документации.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней:

• В первые с использованием методологии системного анализа обоснована методика создания автоматизированных систем проектирования многослойных резинокордных оболочечных конструкций, начиная от выбора рациональных типов материалов, и кончая созданием конструкторской и технологической документации, на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния изделия;

• Определены направления выбора наиболее эффективных численных алгоритм ов решения нелинейных задач теории упругости для анизотропных материалов со сложными свойствами;

• Предложены математические модели для решения задач оптим изации формы профиля многослойной оболочки, подвергнутой внутреннем у давлению и контактной нагрузке.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что созданные в результате програм м ные продукты, внедренные на ОАО "Ярослав-

ский шинный завод" в системах автоматизации проектирования автомобильных шин позволили добиться существенного сокращения времени и затрат на подготовку проектов, за счет проведения вариантных расчетов и решения задач оп-тим изации повысить обоснованность вновь создаваем ых конструкций шин. В результате было достигнуто существенное повышение ходимости вновь созданных моделей шин, исключено появление дефектов, причины которых до внедрения данной работы не были установлены.

Апробация работы. Основные результаты исследований и отдельны е положения диссертационной работы доклада: вались и обсуждались на следующих симпозиумах и конференциях:

1. IV Международной конференции "Математическое моделирование физических, эконом ических,технических, социальных систем и процессов", Ульяновск, 10- 12 декабря 2001 г;

2. Второй м ежвузовской научно-технической конференции"Матем этическое образование и наука в инженерных и эконом ических вузах", Ярославль, ЯГТУ,20-21 декабря 2001 г;

3. Второй м еждународной конференции пользователей програм м ного обеспечения CAD FEM GmBH, Москва, апрель 2002 г;

4. Тринадцатом международном симпозиуме "Проблемы шин и резино-кордных композитов", Москва, НИИШП, 14- J8 октября 2002 г;

5. Международном форуме по проблемам науки,техники и образования, Москва, Академия наук о земле, 2002 г;

6. Международной научно-технической конф еренции "Полим ерные ком позиционные материалы и покрытия POLYMER 2002", Ярославль, ЯПУ, 2-5 декабря 2002 г;

7. Первой научно-технической конференции м олодежных разработок, Ярославль, ЯШЗ, 11 октября 2002 г;

8. Четырнадцатом международном симпозиуме "Проблемы шинирезино-кордных композитов", Москва, НИИШП, 20-24октября 2003 г.

Публикации. По тем е диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ в периодических изданиях и сборниках материалов научных конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 198 страниц машинописного текста, в том числе 58 рисунков, 11 таблиц, список использованной литературы из 125 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность тем ы диссертационной работы, формулируется ее цель, указываются научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается краткое содержание глав работы.

Первая глава диссертации посвящена анализу современного состояния численных методов для решения задач механикирезинокордных композитов. Описаны основы метода конечных элементов для решения задач теории упругости, представлен обзор прямых (различные варианты метода исключения Гаусса, м етод разреженных м атриц) и итерационных (наискорейшего спуска, сопряженных направлений, сопряженных градиентов) методов решения систем алгебраических уравнений. Дан широкий обз ор ком м ерческих программных продуктов конечно-элементного анализ а, представленных в настоящее время на рынке.

Проанализированы работы ведущих ученых в области применения численных методов для решения задач механики шин, рассмотрены достоинства и недостатки этих трудов. Применяемые методы расчета шин, основанные на теории многослойных оболочек (развитые в работах В Л. Бидермана,БЛ.Бу-хина, Э.Я. Левковской, И.К. Николаева, Э.И. Григолюка, А.Е Белкина, Э.И. Кваши и друг их) и использующие простые модели-балки, стержни, кольцо на упругом основании(О.Н. Мухин, В.Е Гуральник и другиеХ задачу определения концентрации напряжений в зонах геом етрической и механической неоднородности шин не решают.

Методы и средства электротензометрии, созданные для определения де-ф орм аций и напряжений шин (работы В Л. Бидерм ана, В Л. Пугина, В . П. Паче-ва, В .И. Новопольского, П.И. Алексеева, О .Б. Третьякова, С П. Захарова, И.В. Балабина, Э Л. Левковской, В. Керна, К. Гроша и других), позволяют определить деформ ации в отдельных точках свободной поверхности, деф орм ации и усилия в нитях корда и проволоки бортового кольца, напряжения и перемещения в контакте протектора с опорной поверхностью и борта с ободом. Однако для изучения напряжений во внутренних областях шины метод электротензометрии неэффективен.

Опыт же применения метода конечных элементов для расчета шин показывает принципиальную возможность учитывать местные напряжения в зонах возможных разрушений шин при оптимизации конструкции шины. Сложности построения и анализа подобных моделей пока не преодолены, что обуславливает большую важность продолжения и всестороннего углубления этой работы.

На основании проведенного анализа научной литературы сформулированы основные задачи исследования.

Вторая глава диссертации посвящена разработке структуры систем ы автоматизированного проектирования резинокордных конструкций в соответствии с м етодологией систем ного анализа. Сложность ее (системы)создания обусловлена трудностям и построения достоверных математических моделей отдельных явлений, процессов, сложностью вычислительного характера и неподготовленностью математического обеспечения ЭВМ. Система состоит из элементов различных уровней детализации, взаимосвязь между которыми определяется принятой иерархической структурой (рис. 1).

В качестве исходной информации на входе системы получаем техническое задание на проект. Первым модулем системы является подготовка геометрической модели покрышки. Для этих целей использованы средства автоматизации создания моделейшины в программном пакете SPRUTCAD. Второй неотъемлемой частью системы является база данных свойств материалов, состоя-

щая из двух составляющих: модуля расчета констант вязкоупругих свойств шинных резин и модуля расчета упругих констант анизотропных композитов. Реализация этой части работы привела к написанию большого количества вспомогательных программ на языках VisualBasic, Fortran, APDU Описанные выше модули являются основой для статического и динам ического анализа напряженно-деформированного состояния с помощью универсальных программных ком плексов ANSYS и LS-O YN А. Результат конечно-элементных расчетов анализируется в соответствии с техническим заданием на проект и, при необходим ости, проводится оптимизация параметров конструкции модели. На выходе система предоставляет автоматизированную подготовку конструктореко-технологической документации.

Модуль параметрического построения модели в системе SPRUTCAD дает возможность быстро подготовить геометрию изделия и менять размеры для перестройки модели на основе расчетов методом конечных элементов. Приэтом очевидна экономия рабочего времени и трудовых ресурсов.

При использовании пакетов AN S Y S H LSOYNA возникает задача по определению параметров упругих нелинейных свойств резин и резинокордных материалов, соответствующих конечным элементам, применяемым в пакетах.

В качестве матем этической основы для вычисления упругих констант резин в работе использована феноменологическая модель, основанная на принципах неравновесной термодинам ики, в которой высокоэластичность является естественным предельным случаем вязкоупругости при бесконечно медленном нагружении.

Вычисление эффективных констант резинокордных композитов в настоящей работе осуществлялось исходя из их определения, то есть путем усреднения ком понентов тензоров напряжений и деформаций, рассчитанных для ячеек композитов заданной структуры. Так, для композита с параллельно уложенным и волокнам и корда выражения м одуля упругости и коэффициента Пуассона в направлении, перпендикулярном оси армирования, имеют вид

1р

¡fab>,z)<fydz 00 lp

00_

'lp

oo

где О/ и -диагональные ком поненты тензоров напряжения и деформации соответственно, /, р -геометрические параметры ячейки периодичности композита.

Аналогичным образом вычислялись другие компоненты тензора коэффициента упругости. Для расчета с использованием языка APDL программного комплекса АК8У8создавалась параметрическая модель ячейки ком позита с граничными условиями, отвечающими различным видам нагружения, необходимым для вычисления компонентовтензораэффективныхупругихкоэффици-ентов. Вычисленные компоненты тензоров напряжения идеформации усреднялись по объему ячейки, а оценки упругих коэффициентов определялись как отношение соответствующего данному коэффициенту среднего компонента тензора напряжения к среднему компоненту тензора деформации.

При несовпадении осей локальной систем ы координат с осям и упругой симметрииматериала эффективные коэффициенты упругости пересчитываются в соответствии с правилам и преобразования декартовых тензоров по линейному закону

C'mnptj = amianjapkaqlCijkl ,

где Суы -ком поненты тензора эффективных коэффициентов упругости в системе координат, совпадающей с осями симметрии композита, -в локальной системе координат, определяемой с помощью матриц amnanjfapk'aql.

Так, при линейном преобразовании координат путем поворота координатной системы относительно оси на некоторый угол матрица такого преобразования имеет вид

cos(a) sir(a) О

А=

-sir(a) cos(a) О

.0 0 1.

Для этого случая получены явные выражения для эффективных коэффициентов упругости ортотропного ком позита в осях локальной систем ы координат конечного элемента.

Также в главе описана методика расчетов в универсальных конечно-элементных комплексах Л№У8 и Ь80УЫЛ, разработаны программные средства и описан процесс подготовки конструкторско-технологической докум ента-ции. В качестве примера на Рис. 2. приведены интерфейсы програм м ных ком -плексов в системе САПР 8РЯиТСЛО для автоматизированного создания геометрической модели шины и конструкторско-технологической документации.

1.4- »^а

(Ц <»'»«>^.Г«,'

и»-»».« »' т-

Иг*» »!•«.« «я » !■ I->и«идип ИГГ*»-

i ь ¿¿ш и */.ос*

«»-«¡г***

а)

Ш

ГТП

",''■-■•■■■■■■' ■',... ¿'..'„'Л1.,!■ . ,,

.,. . ,-У®.. ..... „

[паи'

мо

ш ' '.

б)

Пю. 2. Вид шгтерфейсов программных модулей в системе БРИиТСАО для создания параметрической модели шины (а) и автоматизированного создания конструкторско^гехнологической документации на шину (б).

ю

В третьей главе разработана методика расчета статического состояния шины на основе параметрического моделирования,позволяющая найтиопти-мальные конструктивные характеристики радиальной шины.Рассмотрены важные моменты выбора оптимальной расчетной схемы, разработаны средства автоматизации создания модели шины, описаны причины выбора типа иразмера конечно-элем ентной сетки. В качестве прим ера на Рис. 3. представлена расчетная схема распределения материалов в радиальной шине и соответствующая ей сетка конечных элементов. Уделено большое внимание исследованию скорости сходим ости различных алгоритм ов при расчете анизотропных ком поз итов и контактных задач, обоснован выбор способа решения систем линейных уравнений для данной задачи.

Р>!С.З. Расчетная схема распределения материалов в модели радиальной шины и соответствующая ей сетка конечных элементов

В четвертой главе проведено исследование напряженно-деформированного состояния шины с помощью программного комплекса АК8У8.

Разработаны методы оптимизации конструкции шины в зоне борта, получено оптим альное распределение контактных давлений м ежду шиной и ободом. Бортовая зона является одним из наиболее сложных конструктивных элементов автомобильной шины. Традиционные методики конструирования шин в зоне борта, основанные на приближенных расчетно-аналитических зависим остях, не обеспечивают оптимального решения задачи повышения долговечности. В этой связи достаточно часто встречающимся дефектом при стендовых испытаниях новых шинявляется разрушение покрышки в надбортовой области, возникающее из-за неправильнойконструкциибортовойзоны.Численныйанализ напряженно-деформированного состояния является наиболее надежным способом оценки степени нагруженности практически любого элемента шины с учетом реальных особенностей упругих свойств материалов.

В качестве объекта исследования в настоящей работе была выбрана опытная шина, сконструированная традиционным способом и показавшая пристен-

II

довых испытаниях тип дефекта -разрушение каркаса в надбортовой зоне. Проведенный с помощью ПК ЛКБУБ конечно-элементный анализ показал, что при посадке на обод и нагружении внутренним давлением распределение контактных давлений по подошве шины крайне неравном ерно. Очевидно, что это приводит к большим деформациям и биению в зоне заворотов каркаса и, следовательно, к преждевременному выходу покрышки из строя. Поэтому была поставлена задача добиться наиболее равномерного распределения контактных давлений в этой области путем изменения геометрических параметров. Решение данной проблемы привело к экстремальной задаче, в которой в качестве критерия оптимальности был принят минимум дисперсии распределения контактных давлений м ежду покрышкой и ободом. Так как кажды й результат расчета получается в виде численного массива контактных давлений и отсутствует аналитическое описание целевой функции, то было целесообразно использовать методы постановки оптим ального эксперим ента. В качестве такого метода был использован м етод Бокса - Уилсона.

По результатам, полученным на этапе проектирования, создана конструкторская документация на модификацию шины, имеющей более высокий показатель величины пробега на стендовых испытаниях по сравнению с прототипом. Ходимость шины, причиной выхода из строя которой был окружной разрыв в надбортовой зоне, при стендовых испытаниях возросла с 4480 км. до 9682 км., что на практике повлечет за собой существенное увеличение срока эксплуатации данной покрышки.

Предложены математические модели для решения задач оптимизации форм ы проф иля многослойной оболочки, подвергнутой внутреннем у давлению и контактной нагрузке. Причисленном расчете напряженно-деформированного состояния шины в рам ках достаточно сложных м оделей аналитическое описание кривой равновесного проф иля становится невоз м ожным. В этой связи возникает задача о выборе подходящей аппроксимирующей зависимости для линии профиля каркаса, так чтобы ее параметры можно было бы подвергнуть дальнейшему анализу для выяснения влияния условий нагружения. В работе предлагается использование для такой аппроксимации разложение по ортогональной системе полиномов Лежандра.

А О в

Рис. 4. Схема линии профиля каркаса

Линию профиля каркаса (Рис. 4.)удобно представить в виде функции в полярных координатах й(а,р). За центр систем ы координат принята точка О на осисимметрии покрышки, находящаяся на середине отрезка, соединяющего точку пересечения оси симметрии с линией профиля наружного слоя каркаса (Я)с точкой пересечения (Д^оси симметрии с перпендикуляром к ней из ближайшей точки профиля взонезаворота каркаса на бортовое кольцо(ОВ качестве расстояния ЯБ расчетах используется величина, норм ированная на стандартную полуширину профиля для шины данного типоразмера. Такая нормировка позволяет сопоставлять формы профилей шин разных типоразмеров. Далее аргум ент функции (т.е., угол «) необходим о также преобразовать к безразмерному виду: х = ——1,где <*С - максимальное значение угла, отвечающее

К в точке С. Таким образом, исследуется аппроксимирующая функция К{х,р), где б[-1,1].Для функции К{х,р) используется представление в виде отрезка-ряда разложения по полиномам Лежандра Рп{х)

*(*./>)= Ь„(р)Р„{х) , 0)

где Ро — 1 ,а для вычисления остальных многочленов Лежандра можно использовать формулу Родрига

При численных расчетах профиля шины результатом является дискретный набор точек линии профиля

1 й'

п\2" <1х

гС-'Г.

(2)

Щ = *,(*,.Р). где 1 = ^

В этом случае коэффициенты с„(р) функции, аппроксимирующей функцию (1) вычисляются методом наименьших квадратов:

-»min. (3)

Рассчитанные таким образом коэффициенты представляют собой проекции аппроксимации для R(x,p) на базисные векторы Pf) ортогонального базиса (к+1)- мерного пространства полиномов Лежандра. Построение таких разложений при нагружении шины позволяет проанализировать влияние условий нагружения на изм енение вектора профиля. Кроме того, можно сравнивать между собой профили различных шин путем сравнения соответствующих векторов линий профиля.

В работе задача была ограничена построением равновесного профиля шины, то есть профиль шины оптимизировался только на основании зависим ости от внутреннего давления. При заданных начальных условиях ся(0) функция

сп(р) однозначно определяется из соответствующих уравнении теории упругости Задячя м| п[лм|л'1;]пнн гЬмпуп/ гипмш] тгг. с гг:г\/кшгим nnna'JOM'ПИЙТИ КОН-

PN \2

станты достигает мини-

О

мума,где PN -номинальное давление в шине.

Для решения этой задачи реализована следующая итерационная процедура. Далее R°(x) = R(x,0).

В качестве нулевого приближения брали решение задачи (3)с заменой на Äo(*,) (Фу нкц ияиз в е с т н а: она получена для профиля шины по пресс-форме, построенного на основании теории монотропной оболочки). Далее производился расчет методом конечных элементов нагружения шины рабочим

внутренним давлением, и вычислялось разложение вектора проф иля

нагруженной шины:

Раз ница м ежду векторам и проф ил ей нагруженной и ненагруженной шины представляет собой вектор "нагружения11

M0(x) = R0^(x)-RS(x)= ,

где с°я(Ры) ис°(0) -соответственно коэффициенты разложений профилей не-нагруженной и нагружённой шины на первом шаге итерации. Цель итерационного процесса состояла в минимизации нормы вектора нагружения

при выполнении ограничений

Я{Ъ,ры)<>\,Щ\,р„)<,Н12В, (4)

где Н и В - соответственно высота и ширина профиля шины при давлении Рц (неравенства (4)есть ограничения геометрического характера).

На последующих шагах коэффициенты разложений профиля ненагружен-ной шины вычислялись по формуле

где с£ (рн) коэффициенты разложения профиля шины при рабочем давлении на предшествующем шаге итерации.

Итерационный процесс заканчивается по условию ¡ДЛу^^.где £ заданная величина, или при нарушении ограничений (4).

Практика показывает, что при описанном алгоритме норма вектора "на-гружения" быстро уменьшается в процессе итерации, что позволяет уже после первых шагов получить хорошую оценку равновесного профиля шины.

Получен вариант построения равновесного проф иля покрышки с использованием полиномов Лежандра, в котором значительно снижаются максимальные напряжения и деформации в корде каркаса при различных видах нагруже-ния . В эксплуатации это приводит к увеличению ходимости шин иуменьшению процента покрышек, вышедших из строя по причине разрыва каркаса в бортовой области.

В пятой главе рассмотрены вопросы численного моделирования упругих свойств шины с использованием программного комплекса Ь^-БУКА в трехмерной постановке, показана последовательность моделирования и основные моменты постановки задачи.

Получены такие характеристики шин, как вертикальная, боковая, продольная жёсткости. Найдены их зависим ости от перемещения сжимающей поверхности. Определены давления в пятне контакта при действии различных нагрузок. Получено напряжённо-деформированное состояние шины.

По изложенной методике были проведены расчеты, на основании которых созданы более 10 вариантов конструкторско-технологических документации на новые шины различных типоразмеров. Расчет позволил оценить внешний вид и габариты еще не существующих покрышек, провести сравнительный анализ качественных характеристик м оделей одной размерности и, в итоге, разработать

конструкции, обладающие большим запасом прочности и улучшенным и эксплуатационным и свойствам и по сравнению с первоначальны м и прототипам и.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В результате проведенной диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. Разработана методика создания автоматизированных систем проектирования многослойных резинокордных оболочечных конструкций, начиная от выбора рациональных типов материалов и кончая созданием конструкторской и технологической документации (на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния изделияХ

2. Разработаны методы параметрического моделирования рез инокордных конструкций, позволяющих полностью автоматизировать подготовку геом етри-ческой модели изделия и передавать ее в програм м ные пакеты А№У8 и БУКА в формате ЮЕ8 для последующего анализа;

3. Предложены математические модели нелинейных вязкоупругих свойств анизотропных резинокордных композитов, а также численные алгоритмы оценки их эффективных модулей упругости;

4. Разработана методика расчета коэффициентов упругости м ногослойного анизотропного резинокордного материала при несовпадении осей локальной систем ы координат с осям и упругой сим метрии материала на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния его структурных элементов;

5. Разработаны программные продукты на внутреннем языке програм много комплекса Л№У8 для автоматизированного расчета напряженно-деформированного состояния шин в осесимметричной постановке;

6. Проведены расчеты динамического поведения шин в трехмерной постановке с использованием явной схемы конечно-элементного анализа, позволяющие существенно сократить время конструкторской разработки изделия;

7. Определены направления выбора наиболее эффективных численных алгоритмов решения нелине иных задач теории упругости для анизотропных материалов со сложны ми свойствам и;

8. Проведена оптимизация конструкции радиальных шин в зоне борта при посадке на обод, позволяющая существенно повысить ходим ость покрышки при станочных испытаниях;

9. Создана параметрическая модель линии профиля резинокордной оболочки, позволяющая решать задачу оптимизации формы профиля на основе анализа напряженно-деформированного состояния;

10. Выданы рекомендации по усовершенствованию конструктивных параметров автом обильных шин, что привело к существенному увеличению их долговечности по результатам стендовых и эксплуатационных испытаний.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕДИССЕРТАЦИИ

1. М азин А. В. Прим енение метода конечных элементов дня анализа напряженно-деформируем ого состояния шин посредством программного комплекса "ANSYS 5.5" //М атем атика и м атем атическое образование. Теория и практика. Ярославль: ЯГТУ, 2001. Вып. 2. С. 121 -126.

2. М аз ин А. В., Соловьев М .Е Прим енение м етода конечных элементов для анализа напряженно-деформируем ого состояния шин посредством программного комплекса "ANSYS5.5" //Математическое моделирование физических,эко-номических,технических, социальных систем и процессов. Ульяновск, 2001. С. 113-115.

3. МазинА.В., Соловьев М.Е Вычисление оценок эффективных упругих м одулей рез инокордных ком позитов с использованием програм м ного ком плек-са ANSYS//Tpyflbi второй конференции пользователей програм много обеспечения CAD FEM GmBH. M: CAD FEM GmBH,2002. С. 194-198.

4. М азин А.В ..Соловьев М.Е, Капустин А.А Численный анализ напряженно-деформированного состояния легковой шины в зоне борта//13 симпозиум "Проблемы шин и рез инокордных ком поз итов". М: НИИШП, 2002. Т. 2. С. 2228.

5. Мазин А.В ..Соловьев М.Е, Капустин А.А. Численный анализ равновесной конф игурации радиальной шины при нагружении внутренним давлением // Труды международного форум а по проблемам науки, техники и образования/ под редакцией В .П. Савиных, В .В. В ишневского. М: Академ ия наук о земле, 2002. Т. 2, С. 114-115.

6. Мазин А.В ..Соловьев М.Е.Капустин А.А. Численная оценка эффективных упругих коэффициентов композиционных материалов с непрерывным и волокнам и//Труды международной научно-технической конференции "Полимерные композиционные материалы и покрытия POLYMER 2002". Ярославль: ЯГТУ, 2002. С. 131-133.

7. МазинА. В. Численны и анализ напряженно-деформированногосостояния легковой шины в зоне борта //Первая научно-техническая конференция молодежных разработок. Ярославль: ЯШЗ, 2002. С. 80 - 83.

8. Соловьев М.Е, Мазин А.В ..Капустин АЛ. Численная оценка эффекТив-ныхупругих коэффициентов ком поз иционных материалов с непрерывными волокнам и//Известия вузов: Химия и химическая технология. 2003. Т. 46, Вып. 3, С. 47-50.

9. Соловьев М.Е, Мазин А.В ..Угланов А.В. Построение равновесного проф иля каркаса радиальной шины с использованием м етода конечных элем ентов при нагружении ее внутренним давлением //Исимпозиум "Проблемы шини рез инокордных композитов". М: НИИШП, 2003. Т. 2. С. 159-167.

Si - 4235

Список используемых сокращений и терминов.

Введение.

1. Обзор литературы. Применение численных методов для решения задачи механики резинокордных композитов.

1.1. Метод конечных элементов для решения задач теории упругости.

1.1.1. Общая схема алгоритмов.

1.1.2. Формулировка метода конечных элементов в терминах теории упругости.

1.1.3. Типы конечных элементов и функции формы.

1.2. Обзор различных методов решения систем алгебраических уравнений в методе конечных элементов.

1.2.1. Прямые методы.

1.2.2. Итерационные методы.

1.2.2.1. Метод наискорейшего спуска.

1.2.2.2. Метод сопряженных направлений.

1.2.2.3. Сопряжение Грамма - Шмидта.

1.2.2.4. Метод сопряженных градиентов.

1.3. Обзор коммерческих программных продуктов конечно-элементного анализа.

1.4. Применение численных методов для решения задач механики шин.

1.5. Постановка цели и задачи исследования.

2. Разработка иерархической структуры автоматизированной системы проектирования автомобильных шин.

2.1. Создание средств автоматизации геометрии модели в программном пакете 8Р1ШТСАО.

2.2. Методика оценки равновесных констант упругих и вязкоупругих свойств шинных резин.

2.3. Разработка методики расчета упругих свойств резинокордных композитов.

2.3.1. Вычисление оценок эффективных упругих модулей резинокордных композитов с использованием программного комплекса ANS YS.

2.3.2. Методика теоретической оценки упругих характеристик композита с использованием пакета инженерного анализа ANSYS при несовпадении осей симметрии упругих свойств композита с осями системы координат.

2.4. Методика проведения расчетов в универсальном конечно-элементном пакете ANS YS.

2.4.1. Основные теоретические положения метода расчета.

2.4.2. Препроцессорная подготовка модели.

2.4.3. Получение решения.

2.4.4. Постпроцессорная обработка.

2.5. Методика проведения расчета с помощью решателя LS-DYNA.

2.6. Автоматизированная подготовка конструкторско технологической документации.

3. Разработка методики статического расчета шины на основе параметрического моделирования.

3.1. Выбор оптимальной расчетной схемы.

3.2. Задание областей.

3.3. Выбор типа конечных элементов.

3.4. Построение конечно-элементной сетки.

3.5. Задание контактных элементов (КТЭ).

В настоящее время в машиностроении и других отраслях промышленности широко внедряются системы автоматизированного проектирования, включающие универсальные программные комплексы конечно-элементного анализа - системы CAD FEM. Автоматизация проектирования на основе расчета напряженно-деформированного состояния изделия особенно актуальна для сложных изделий, таких как многослойные резинокордные оболочки, к которым относятся автомобильные шины.

Специалисты отечественных предприятий шинной промышленности с интересом смотрят на предложения ведущих зарубежных фирм разработчиков универсальных CAD FEM программных комплексов, занимающих лидирующее положение на мировом рынке программных продуктов данного класса. Существуют предложения и отечественных разработчиков универсальных программных комплексов для решения задач инженерного анализа.

Вместе с тем для успешного внедрения универсальных программных комплексов конечно-элементного анализа в системах автоматизации проектирования сложных многослойных резинокордных конструкций существует целый ряд не решенных научных и технических проблем.

Во-первых, подготовка геометрических моделей таких конструкций непосредственно средствами универсальных CAD FEM пакетов достаточно затруднительна, и в настоящее время занимает большую часть времени, затрачиваемого на вычисления. Второй проблемой является отсутствие общепринятых методик расчета упругих коэффициентов анизотропных многослойных материалов, что обусловлено чрезвычайной сложностью их механического поведения. Еще одной не решенной проблемой является отсутствие обоснованных рекомендаций как по выбору численного алгоритма решения нелинейных задач теории упругости для таких материалов, так и подбору настроечных параметров алгоритмов. Данное обстоятельство приводит к тому, что многие численные алгоритмы, хорошо зарекомендовавшие себя при решении линейных задач, в данной ситуации оказываются не эффективными или вообще не работоспособными.

Эти, а также другие, не решенные проблемы использования универсальных программных комплексов конечно-элементного анализа, и послужили обоснованием для постановки настоящей работы, целью которой явилась разработка систем автоматизированного проектирования многослойных резинокордных оболочечных конструкций на базе использования универсальных программных комплексов АЫБУБ и ЬБ-ОУЫА.

Для достижения поставленной цели в процессе выполнения диссертационной работы были решены следующие задачи: созданы параметрические модели автомобильных шин, позволяющие полностью автоматизировать подготовку геометрической модели изделия и передавать ее в программные пакеты А^УБ и ЬЗ-ОУЫА в формате ЮЕБ для последующего анализа; предложена методика оценки равновесных констант упругих и вязкоупругих свойств шинных резин; разработана, методика расчета коэффициентов упругости многослойного анизотропного резинокордного материала при несовпадении осей локальной системы координат с осями упругой симметрии материала на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния его структурных элементов; предложена параметрическая модель линии профиля резинокордной оболочки, позволяющая решать задачу оптимизации формы профиля на основе анализа напряженно-деформированного состояния; решены задачи оптимизации конструкции радиальных шин в зоне борта при посадке на обод, позволяющие существенно повысить ходимость покрышки при станочных испытаниях; разработана методика расчета нагрузочных характеристик автомобильной шины при стандартных режимах нагружения на основе анализа напряженно-деформированного состояния трехмерной модели, позволяющая существенно сократить время конструкторской проработки изделия.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней: впервые с использованием методологии системного анализа обоснована методика создания автоматизированных систем проектирования многослойных резинокордных оболочечных конструкций, начиная от выбора рациональных типов материалов и кончая созданием конструкторской и технологической документации, на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния изделия; определены направления выбора наиболее эффективных численных алгоритмов решения нелинейных задач теории упругости для анизотропных материалов со сложными свойствами; предложены математические модели для решения задач оптимизации формы профиля многослойной оболочки, подвергнутой внутреннему давлению и контактной нагрузке.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что созданные в результате программные продукты, внедренные на ОАО "Ярославский шинный завод" в системах автоматизации проектирования автомобильных шин позволили добиться существенного сокращения времени и затрат на подготовку проектов, за счет проведения вариантных расчетов и решения задач оптимизации повысить обоснованность вновь создаваемых конструкций шин. В результате было достигнуто существенное повышение ходимости вновь созданных моделей шин, исключено появление дефектов, причины которых до внедрения данной работы не были установлены.

Первая глава диссертационной работы посвящена анализу современного состояния численных методов для решения задач механики резинокордных композитов. Описаны основы метода конечных элементов для решения задач теории упругости, представлен обзор различных методов решения систем алгебраических уравнений в данном методе. Дан широкий обзор коммерческих программных продуктов конечно-элементного анализа, представленных в настоящее время на рынке, проанализированы работы ведущих ученых в области применения численных методов для решения задач механики шин, рассмотрены достоинства и недостатки этих трудов. Сформулированы цели и задачи исследования.

Во второй главе диссертации разработана система автоматизированного проектирования резинокордных конструкций в соответствии с методологией системного анализа. Описана методика расчетов в универсальных конечно-элементных комплексах ANSYS и LS-DYNA. Представлена методика оценки равновесных констант упругих и вязкоупругих свойств шинных резин, проведено вычисление оценок эффективных упругих модулей резинокордных композитов с использованием программного комплекса ANS YS, разработана методика теоретической оценки упругих характеристик композита при несовпадении осей симметрии упругих свойств композита с осями системы координат.

В третьей главе разработана методика статического расчета шины на основе параметрического моделирования, позволяющая найти оптимальные конструктивные характеристики практически в любой радиальной шине. Рассмотрены важные моменты выбора оптимальной расчетной схемы, разработаны средства автоматизации создания модели шины, описаны причины выбора типа и размера конечно-элементной сетки. Уделено большое внимание исследованию скорости сходимости различных алгоритмов при расчете анизотропных композитов и контактных задач, обоснован выбор способа решения систем линейных уравнений для данной задачи.

В четвертой главе проведено исследование напряженно-деформированного состояния шины с использованием программного комплекса Разработаны методы оптимизации конструкции шины в зоне борта, получено оптимальное распределение контактных давлений между шиной и ободом, что привело к созданию модификации шины, имеющей более высокий показатель величины пробега на стендовых испытаниях, по сравнению с прототипом. Предложены математические модели для решения задач оптимизации формы профиля многослойной оболочки, подвергнутой внутреннему давлению и контактной нагрузке. Получен вариант построения равновесного профиля покрышки с использованием полиномов Лежандра, в котором значительно снижаются максимальные напряжения и деформации в корде каркаса при различных видах нагружения. В эксплуатации это приводит к увеличению ходимости шин и уменьшению процента покрышек, вышедших из строя по причине разрыва каркаса в бортовой области.

В пятой главе рассмотрены вопросы численного моделирования упругих свойств шины с использованием программного комплекса ЬБ-ОУТЧА в трехмерной постановке. Получены такие характеристики шин, как вертикальная, боковая, продольная жёсткости. Определены давления в пятне контакта при действии различных нагрузок. Получено напряжённо -деформированное состояние шины. Расчет позволяет оценить внешний вид и габариты еще не существующих покрышек, провести сравнительный анализ качественных характеристик моделей одной размерности и, в итоге, разработать конструкцию, обладающую наибольшим запасом прочности, по сравнению с первоначальным прототипом.

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в [1-9] и были доложены на конференциях:

1. IV Международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов", Ульяновск, 10-12 декабря 2001 г.

2. Вторая межвузовская научно-техническая конференция "Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах", Ярославль, ЯГТУ, 20-21 декабря 2001 г.

3. Вторая международная конференция пользователей программного обеспечения CAD FEM GmBH, Москва, апрель 2002г.

4. Тринадцатый международный симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов", Москва, НИИ!ПИ, 14-18 октября 2002 г.

5. Международный форум по проблемам науки, техники и образования, Москва, Академия наук о земле, 2002 г.

6. Международная научно-техническая конференция "Полимерные композиционные материалы и покрытия POLYMER 2002", Ярославль, ЯГТУ, 2-5 декабря 2002г.

7. Первая научно-техническая конференция молодежных разработок, Ярославль, ЯШЗ, 11 октября 2002г.

8. Четырнадцатый международный симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов", Москва, НИИШП, 20-24 октября 2003 г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. Разработана методика создания автоматизированных систем проектирования многослойных резинокордных оболочечных конструкций, начиная от выбора рациональных типов материалов и кончая созданием конструкторской и технологической документации, на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния изделия;

2. Разработаны методы параметрического моделирования резинокордных конструкций, позволяющих полностью автоматизировать подготовку геометрической модели изделия и передавать ее в программные пакеты ANSYS и LS-DYNA в формате IGES для последующего анализа;

3. Предложена методика расчета упругих и вязкоупругих свойств шинных резин;

4. Предложены математические модели нелинейных вязкоупругих свойств анизотропных резинокордных композитов, а также численные алгоритмы оценки их эффективных модулей упругости;

5. Разработана методика расчета коэффициентов упругости многослойного анизотропного резинокордного материала при несовпадении осей локальной системы координат с осями упругой симметрии материала на основе численного анализа напряженно-деформированного состояния его структурных элементов;

6. Разработаны программные продукты на внутреннем языке программного комплекса ANSYS для автоматизированного расчета напряженно-деформированного состояния шин в осесимметричной постановке;

7. Проведены расчеты динамического поведения шин в трехмерной постановке с использованием явной схемы конечно-элементного анализа, позволяющие существенно сократить время конструкторской проработки изделия;

8. Определены направления выбора наиболее эффективных численных алгоритмов решения нелинейных задач теории упругости для анизотропных материалов со сложными свойствами;

9. Проведена оптимизация конструкции радиальных шин в зоне борта при посадке на обод, позволяющая существенно повысить ходимость покрышки при станочных испытаниях;

10. Создана параметрическая модель линии профиля резинокордной оболочки, позволяющая решать задачу оптимизации формы профиля на основе анализа напряженно-деформированного состояния;

11. Выданы рекомендации по усовершенствованию конструктивных параметров автомобильных шин, что привело к существенному увеличению их долговечности по результатам стендовых и эксплуатационных испытаний.

1. Мазин A.B. Применение метода конечных элементов для анализа напряженно-деформируемого состояния шин посредством программного комплекса "ANS YS 5.5" // Математика и математическое образование. Теория и практика. Ярославль: ЯГТУ,2001. Вып. 2. С. 121-126.

2. Мазин A.B., Соловьев M.E., Капустин A.A. Численный анализ напряженно-деформированного состояния легковой шины в зоне борта. // 13 симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов". М: НИИШП, 2002. Т.2. С. 22-28.

3. Мазин A.B. Численный анализ напряженно-деформированного состояния легковой шины в зоне борта. // Первая научно-техническая конференции молодежных разработок. Ярославль: ЯШЗ, 2002. С. 80-83.

4. Соловьев М.Е., Мазин A.B., Капустин A.A. Численная оценка эффективных упругих коэффициентов композиционных материалов с непрерывными волокнами // Известия вузов: Химия и химическая технология. 2003. Т. 46. Вып. 3. С.47-50.

5. Синицин А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1978.-231 с.

6. Stifness and deflection analysis of complex structures / Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. J. -J. // Aeronaut Sei., 1956. v.23. N 9. P. 805824.

7. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. M.: Мир, 1975. -541с.

8. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.-464с.

9. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. 344с.

10. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 129с.

11. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349с.

12. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов: от интуиции к общности: Сб. переводов "Механика". М.: Мир, 1970. № 6. С. 90-103.

13. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Вайнберг Д. В., Городецкий А. С., Киричевский В. В., Сахаров А. С. М.: Прикл. Механика, 1972. Т. 8. № 8. С. 3-28.

14. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. -535 с.

15. Марчук Г.И., Агошков В.И., Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с.

16. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

18. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

19. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979.-560 с.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

21. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

22. Победря Б.Е., Георгиевский Д. В. Лекции по теории упругости. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 208 с.

23. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. 366 с.

24. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

25. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: ИЛ, 1968. 240с.

26. Jenkins W.M. Matrix and Digital Computer Methods in Structural Analysis. London: McGraw-Hill, 1969. 423 p.

27. Cheng R.T. On the accuracy of certain С continuous finite element representations. // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1974. v.8. N3. P. 649-657.

28. Вульфович НА., Зарубаев В.П., Корнеев В.Г. Решение тестовых задач теории упругости методом конечных элементов высоких порядков точности. // Числ. Методы решения задач теории упругости и пластичности. 4.1. Новосибирск: СО АН СССР, 1978. С. 33-52.

29. Корнеев В.Г. Оценки обусловленности для схем метода конечных элементов: Труды 3-й Всес. конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. 4.2. Новосибирск: СО АН СССР, 1974. С. 13-27.

30. Айронс М.Р. Инженерные приложения численного интегрирования в методах жесткостей. // Ракетн. Техн. И косм., 1966. №11. С. 216-219.

31. Ergatoudis I., Irons В., Zienkiewicz О. Cuwed, isoparametric quadrilateral elements for finite element analysis. // Int. J. Solids and Structures, 1968. v.4. Nl.P. 31-42.

32. Iso-parametric and associated element families for two- and three-dimensional analysis / Zienkewicz O.C., Irons B.M., Ergatoudis J., Ahmad S., Scott F.C. // In: Finite element method in stress analysis, ch. 13. Trondheim: Tapir, 1969. P. 162-167.

33. Taylor R.L. On completeness of shape functions for finite element analysis. // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1972. v.4. N1. P. 17-22.

34. Fried I. Accuracy and condition of curved (isoparametric) finite elements. // J. Sound Vibr., 1973. V.31.N3. P. 345-355.

35. Fried I. Numerical integration in finite element method. // Comput. And Struct., 1974. v.4. N5. P. 921-932.

36. Barlow J. Optimal stress locations in finite element models. // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1976. v.10. N2. P. 243-251.

37. Newton R.E. Degeneration of brick-type isoparametric elements. // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1973. v.7. N4. P. 579-581.

38. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. 166с.

39. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001, 575с.

40. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1999, 548с.

41. Cantin G. An equation solver of very large capacity. // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1971. v.3. N3. P. 379-388.

42. Felippa C.A. Solution of linear equations with skyline-tored symmetric matrix. // Comput. And Struct., 1975. v.5. N1. P. 13-29.

43. Белявский Е.И., Клемперт Ю.З. Статический анализ упругих стержневых систем произвольного вида. В сб.: Алгоритмы и алгоритмические языки. М.: ВЦ АН СССР, 1969. Вып. 4. С. 95-113.

44. Segul W.T. Computer programs for the solution of linear algebraic equations. // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1973. v.7. N4. P. 479-490.

45. Wilson E.L., Bathe K.J., Doherty W.P. Direct solution of large systems of linear equations. // Comput. And Struct., 1974. v.4. N2. P. 363-372.

46. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. 189 с.

47. Е. Schmidt, Title unknown // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1908,-P. 53-77

48. Fox L., Huskey H.D., Wilkinson J.H. Notes on the Solution of Algebraic Linear Simultaneous Equations // Quartely Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1948. P. 149-173.

49. Magnus R. Hestenes Iterative Methods for Solving Linear Equations // Journal of Optimization Theory and Applications, 1973. N4. P. 323-334, Originally published in 1951 as NAML Report No. 52-9, National Bureau of Standards, D.C.

50. Eduard Stiefel Uber einige Methoden der Relaxationsrechnung // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik, 1952.'No.-1. P. 1-33.

51. Magnus R. Hestenes and Eduard Stiefel Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems // Journal of Research of the National Bureau of Standards, 1952, P. 409-436

52. Shmuel Kaniel, Estimates for Some Computational Techniques in Linear Algebra // Mathematics of Computation, 1966, P. 369-378

53. A. van der Sluis and H.A. van der Vorst The Rate of Convergence of Conjugate Gradients // Numerische Mathematik, 1986. No. 5, p. 543-560.

54. John K. Reid On the Method of Conjugate Gradients for the Solution of Large Sparse Systems of Linear Equations. London and New York: Academic Press, 1971, -P. 231-254.

55. R. Fletcher and C.M. Reeves Function Minimization by Conjugate Gradients//Computer Journal, 1964,-P. 149-154

56. W.C. Davidon Variable Metric Method for Minimization // Tech. Report ANL-5990, Argonne, Illinois: Argonne National Laboratory, 1959.- 117p.

57. R. Fletcher and M.J.D. Powell A Rapidly Convergent Descent Method for Minimization // Computer Journal, 1963, P. 163-168

58. James W. Daniel Convergence of the Conjugate Gradient Method with Computationally Convenient Modifications // Numerische Mathematik, 1967,-P. 125-131.

59. Jean Charles Gilbert and Jorge Nocedal Global Convergence Properties of Conjugate Gradient Methods for Optimization // SIAM Journal on Optimization, 1992. No.l. P. 21-42.

60. Gene H. Golub and Dianne Р. O'Leary Some History of the Gonjugate Gradient and Lanczos Algorithms: 1948-1976 // SIAM Review, 1989. No.l, P. 50-102.

61. О. Зенкевич, И. Чанг Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред М: Недра, 1974,-240с.

62. К.Н. Жеков Современные системы автоматизации инженерных расчетов. // Автоматизация проектирования. М: Открытые системы, N1, 1999г.

63. Руководство пользователя ANS YS 5.0. / под редакцией Б.Г. Рубцова. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1997г. -48с.

64. ANS YS: Возможности программы. / под редакцией Б.Г. Рубцова. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1997г. 60с.

65. ANS YS: Твердотельное моделирование и построение сетки, версия 5.3 / под редакцией Б.Г. Рубцова. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1998г. -138с.

66. Теоретическое руководство ANSYS 5.3 / под редакцией Б.Г. Рубцова, И.Р. Идрисовой. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1998г. 117с.

67. ANSYS: Нелинейный прочностной анализ / под редакцией Б.Г. Рубцова. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1998г.-22с.

68. Тепловой анализ ANSYS 5.0 / под редакцией Б.Г. Рубцова. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1997г.- 156с.

69. Динамика ANSYS 5.0 / под редакцией Б.Г. Рубцова. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1997г.- 106с.

70. Сборник учебных примеров по программному обеспечению CADFEM GmbH / под редакцией Б.Г. Рубцова. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1998г.- 125с.

71. LS-DYNA USER'S MANUAL, Version 940, Livermore Software Technology Corporation, 1997.

72. Шипов Д.Н. ADAMS/Car, руководство по использованию шаблонов (обучающее руководство). Нижний Новгород: CAD-FEM, 2001. 45 е.: ил.

73. Поляков К.А. Использование первичных элементов пакета ADAMS для создания виртуальных моделей. Самара: СамГУ, 2000. 91 с.: ил.

74. Шипов Д.Н. Начальные шаги работы с ADAMS/View (обучающее руководство, в режиме шаг за шагом). Нижний Новгород: CAD-FEM, 2001.-58 е.: ил.

75. MSC/NASTRAN V69 Documentation, The MacNeal-Schwendler Corporation, 1996.

76. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows M: DMK Press, 2003, 448c.

77. ABAQUS Documentation, Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc., 1999

78. Мухин O.H. Расчеты на прочность. // Сб. M.: Машиностроение, 1971. Вып. 15.-С. 58-87

79. Mukhin O.N. // Prostor Expo. TRI. 1996. N 10. P. 14-53

80. Mukhin O.N. // Prostor Expo. TRI. 1992. N 4. P. 15-74

81. Mukhin O.N. // Prostor Expo. TRI. 1994. N 1. P. 39-116

82. Гуральник B.E. Расчетное и экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния каркаса и боковины радиальных шин: Дис. . канд. Техн. Наук. М.: НИИШП, 1984. 195с.

83. Белкин А.Е. Разработка системы моделей и методов расчета напряженно-деформированного и теплового состояний автомобильных радиальных шин: Дис. .д-ратехн. Наук. М.: МГТУ, 1998. 284с.

84. Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств: Сб. Тр. М.: НИИШП, 1974. -274с.

85. Николаев И.К. Механика пневматических шин: Сб. тр. М.: НИИШП, 1976.-С. 5-36

86. Бидерман В.Л., Левковская Э.Я. К расчету радиальных и опоясанных диагональных шин: Сборник трудов НИИШП Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. М: НИИШП, 1974. с.7-11

87. Мухин О.Н. Расчет прогиба радиальной шины с учетом меридиональной кривизны беговой дорожки: Сборник трудов НИИШП Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. М: НИИШП, 1974.-с. 12-25

88. Соколов С. Л., Ненахов А.Б. // 6 симп. "Проблемы шин и резинокордных композитов. Математические методы в механике, конструировании и технологии". М: НИИШП. 1995. С. 239-243.

89. Соколов С.Л., Ненахов А.Б. // Каучук и резина. 1997. №2. С. 29-32

90. Ненахов А.Б., Соколов С.Л., Марченко С.И., Соколова Н.В. // 8 симп. "Проблемы шин и резинокордных композитов. Дорога, шина, автомобиль" М.: НИИШП. 1997. С. 284-293.

91. Соколов С.Л., Ненахов А.Б., Марченко С.И. и др. // 9 симп. "Проблемы шин и резинокордных композитов. Надежность, стабильность -качество". М.: НИИШП. 1998. С. 336-346

92. Марченко С.И., Соколов С.Л., Ненахов А.Б., Свинов В.М // 10 симп. "Проблемы шин и резинокордных композитов. Десятый юбилейный симпозиум". М.: НИИШП. 1999.-С. 165-171

93. Nenahov A.B., Sokolov S.L., Marchenko S.I. et al'// Proc. 18 Meet. Of the Tire Society at the Univ. of Acron. Akron, Ohio, 1999.

94. Gall R., Tobaddor F., Robbins D. et al. // Tire Sci. Technol. 1995. V.23. N.3. -P. 175-188

95. Ebbort T.G., Hohman R.L., Jeusette J.-P. et al. // Tire Sci. Technol. 1999. V.27.N.1. -P. 2-21

96. Шешенин C.B., Маргарян C.A. Численное моделирование контактного взаимодействия шины с дорогой // И симп. "Проблемы шин и резинокордных композитов". М: НИИШП, 2000, с. 211-217

97. Победря Б.Е., Шешенин C.B., Маргарян С.А. Трехмерное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин. // 8 и 9 симпозиумы "Проблемы шин и резинокордных композитов". М: НИИШП, 1997, с. 320-326, 1998, - с. 290-294

98. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: издательство МГУ, 1984.-336с.

99. Фомичев Ю.И., Черняга И.М., Карташов Н.С. Применение метода конечных элементов к анализу напряженно-деформированного состояния радиальной шины. // 11 симп. "Проблемы шин и резинокордных композитов". М: НИИШП, 2000, с. 191-200

100. Грибанов В.Ф., Фомичев Ю.И. и др. Прочность, устойчивость и колебания термонапряженных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1990. -368с.

101. Композиционные материалы: Справочник / Васильев В.В., Протасов В.Д., Болотин В.В.; под общей ред. Васильева В.В., Тарнопольского Ю.М. М.: Машиностроение, 1990.- 512с.

102. Алфутов H.A.,Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984,-264с.

103. Кафаров В.В., Ветохин В.Н. Основы построения операционных систем в химической технологии. М: Наука, 1980, 428с.

104. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление / Под ред. И.П. Мухленова. JI: Химия, 1986. 424с.

105. Кафаров В.В., Дорохов И.Н. Системный анализ процессов химической технологии. Основы стратегии. М: Наука, 1976, 500с.

106. Мамиконов А.Г. Методы разработки автоматизированных систем управления. М: Энергия, 1973, 335с.

107. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига.: Зинатне, 1978. 192 с

108. Композиционные материалы волокнистого строения / Под ред. И.Н. Францевича и Д.М. Карпиноса. Киев.: Наукова Думка, 1970. 403 с.

109. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 с.

110. Лепетов В.А., Юрцев Л.Н. Расчеты и конструирование резиновых изделий. 3.-е из. Л.: Химия, 1987. 408 с.

111. Бухин Б.Л. Введение в механику пневматических шин. М.: Химия, 1988.- 224 с.

112. Патент Германии DE 3411909. Опубл. 11.10.84

113. Патент США 5025844. Опубл. 25.06.91

114. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. 608 с.