автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Разработка методов текущего обнаружения изменения свойств временных рядов для выявления системных связей и закономерностей развития процессов в социальных и экономических системах

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА

На правах рукописи

ГРЕБЕНЮК Елена Алексеевна

УДК 621.031; 681.513;658.314

Разработка методов текущего обнаружения изменения свойств временных рядов для выявления системных связей и закономерностей развития процессов в социальных и экономических системах

Специальность: 05.13.10 «Управление в социальных и экономических системах»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Институте проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Афанасьев В.Н., доктор технических наук, профессор Ириков В. А., доктор технических наук, профессор Соловьев М.М.,

Ведущая организация

Московский энергетический институт (МЭИ)

Защита состоится " -2/ " 2004 г. в часов на

заседании Диссертационного совета Д 002.226.02 Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института проблем управления им. В.А. Трапезникова

Автореферат разослан 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.226.02 к. т.н. /Лебедев В.Н./

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В работе рассматриваются методы анализа систем, описываемых последовательностями полученных во времени наблюдений, называемых временными рядами. За последние два десятка лет область приложения этих методов претерпела значительные изменения. Наряду с традиционными областями приложения, такими как техника, геофизика, геология, сейсмология, медицина в последнее время объектами исследования все чаще становятся процессы и явления, протекающие в экономике и обществе. Эти процессы в большинстве своем - нестационарные, имеют малое количество наблюдений, характеризуются наличием ряда циклов или этапов развития, на каждом из которых достаточно сильно изменяются закономерности их поведения.

Необходимым предварительным этапом решения задачи прогноза поведения систем, описываемых многокомпонентными случайными процессами, является анализ структуры процесса. Проведение анализа и прогноза предполагает наличие адекватной модели процесса. В системах, описываемых временными рядами, модель можно получить путем обработки результатов наблюдений за поведением системы. Большое число известных процессов хорошо описывается параметрическими моделями. Методология построения параметрических моделей в случае отсутствия изменений в интервале наблюдения достаточно хорошо проработана, как для стационарных, так и для нестационарных временных рядов.

Проблемы возникают при исследовании процессов с изменяющимися свойствами. Наличие изменений в интервале анализа затрудняет определение типа нестационарности процесса, проверку наличия взаимосвязей между его компонентами, процедуру построения адекватных моделей. Изменения свойств процесса в режиме получения новых наблюдений приводят к тому, что построенная модель становится неадекватной процессу, и, как следствие, к неверным результатам анализа и прогноза. Если изменения произошли, после того как модель построена и не обнаружены, то при прогнозировании будущих значений процесса возникают ошибки.

Поэтому при анализе по историческим данным очень важно учитывать изменения свойств процесса, а при получении новых наблюдений своевременно обнаруживать возникающие изменения. Огромное число работ, решающее проблему анализа нестационарных и стационарных процессов при наличии в них изменений свойств (структурных сдвигов), посвящено исследованию исторических данных и неприменимо в режиме получения текущих наблюдений. Большинство разработанных методов плохо работает на границах анализируемого интервала, то есть не обнаруживает недавних изменений. Методы текущего обнаружения интенсивно разрабатывались для стационарных процессов, и, практически, отсутствуют для нестационарных.

При анализе нестационарных процессов в режиме получения текущих наблюдений важно своевременно определять изменения:

- типа стационарности процесса,

параметров модели в рамках заданного типа стационарности,

- статистических взаимосвязей между анализируемым процессом и другими, описывающими поведение связанных с ним объектов.

Проверка адекватности модели в режиме получения текущих наблюдений и своевременное выявление отклонений позволяют прогнозировать развитие системы и предотвращать возможные кризисные и неблагоприятные ситуации. Поэтому развитие методов апостериорного и оперативного анализа временных рядов при наличии в них различных изменений является актуальной задачей.

В работе представлены методы текущего обнаружения изменений свойств для стационарных и нестационарных процессов и разработана методология анализа систем, описываемых случайными процессами при наличии в них различного вида изменений, позволяющая для широкого спектра процессов, происходящих в экономике и обществе, анализировать текущее состояние и предисторию,- обнаруживать их изменения и прогнозировать будущие состояния.

Цель работы состоит в разработке методологии и алгоритмов текущего мониторинга систем, описываемых временными рядами с изменяющимися свойствами. Предлагаемая методология включает следующие элементы:

- выделение однородных интервалов в процессе, то есть интервалов, в которых модель процесса (с постоянными параметрами) можно считать адекватной процессу; анализ типа процесса (тренд - стационарный, разностно-стационарный) внутри однородных интервалов; построение моделей процесса внутри однородных интервалов, исследование связей между отдельными компонентами процесса и построение моделей этих связей,

обнаружение отклонений от модели в режиме текущего наблюдения в процессах и связях между ними.

Объект исследования: Объектами исследования являются системы, описываемые стационарными и нестационарными временными рядами с изменениями свойств. К ним относятся, например:

-показатели социо - экономического развития региона, включающие данные о динамике изменения демографического состояния населения региона, заболеваемости, доходах, опросах общественного мнения, уровне преступности и пр.

макроэкономические показатели, характеризующие развитие экономики: ВВП, золотовалютные резервы, индекс инфляции, уровень безработицы, индекс заработной платы, прожиточный минимум, объемы экспорта и импорта, обменный курс рубля к доллару;

- показатели фондового, валютного и банковского секторов экономики: индекс акций, обменные курсы валют по отношению к национальной валюте, цена кредитов на межбанковском рынке и пр.

Используемые методы: применяется аппарат теории вероятности, математической статистики и случайных процессов. В основу алгоритмов текущего обнаружения положены методы последовательного анализа Вальда, для анализа нестационарных процессов используются методы коинтеграционного анализа в сочетании с алгоритмами текущего и апостериорного наблюдения:

Научная новизна.

1. В диссертации предложена методология текущего анализа систем, описываемых случайными процессами, в которых возникают изменения свойств. Методология включает:

процедуры определения типа процесса; рассматриваются процессы: стационарный относительно детерминированного

тренда (включая стационарный в случае отсутствия тренда) и разностно-стационарный или интегрированный;

- процедуры обнаружения наличия в процессах структурных изменений и выделения участков процесса, в которые его свойства можно считать неизменными;

процедуры обнаружения изменений в процессах и связях между ними в режиме поступления наблюдений.

2. Для решения задач обнаружения изменения свойств предложен комплекс алгоритмов:

текущего обнаружения изменений для процессов, распределенных по гиперболическому закону в условиях полной информации до и после изменения свойств;

- текущего обнаружения изменений для процессов, распределенных по гиперболическому закону при неизвестных параметрах до и после изменения свойств;

текущего обнаружения изменений среднего для процессов, - распределенных по нормальному закону при неизвестном среднем после изменения свойств;

текущего обнаружения изменений дисперсии для наблюдений, распределенных по нормальному закону при неизвестной дисперсии после изменения свойств;

текущего обнаружения изменений регрессионных связей для процессов, распределенных по нормальному закону; текущего обнаружения изменений многомерного сигнала на фоне помех;

текущего обнаружения изменений типа процесса: от стационарного относительно детерминированного тренда TS -процесса к разностно - стационарному DS - процессу, и наоборот.

3. Разработанная методология и алгоритмы применены для решения задач:

мониторинга за экологической обстановкой;

- анализа экономических индексов и прогноза кризисных ситуаций;

мониторинга за состоянием здоровья населения; прогноза скачков ценных бумаг на фондовом рынке.

Практическая ценность работы заключается в предлагаемой методологии анализа и разработанных алгоритмах

обработки результатов наблюдений за поведением сложных систем, позволяющих проанализировать текущее состояние системы, обнаружить предвестники кризисных ситуаций и обеспечить возможность своевременного принятия соответствующих решений. Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные алгоритмы и программы применены при разработке системы мониторинга социо - экономической неустойчивости больших городов, экспертно - статистической прогнозной системы планирования объемов выпуска продукции, системы мониторинга макроэкономических показателей и индексов фондового рынка.

Достоверность полученных результатов подтверждается данными имитационного моделирования и использования разработанных алгоритмов для решения ряда практических задач.

Основные положения, выносимые на защиту диссертации.

1. Методология анализа временных рядов наблюдений в реальном времени, включающая,

- анализ предистории процесса (определение типа процесса: тренд - стационарный, разностно -стационарный; проверка и обнаружение изменений свойств, проверка наличия коинтеграционных или корреляционных связей между рядами), настройку алгоритмов текущего обнаружения, обнаружение изменений свойств процесса в режиме получения текущих наблюдений в реальном времени.

2. Методы текущего обнаружения изменений свойств стационарных временных рядов, в том числе:

методы обнаружения изменений свойств временных рядов наблюдений для гиперболических законов распределения в условиях полной и неполной информации о параметрах распределения до и после изменения свойств;.

методы обнаружения изменений свойств временных рядов наблюдений для нормального закона распределения в условиях неполной информации о параметрах распределения после изменения свойств;.

методы обнаружения изменений свойств многомерных процессов;

3. Методы обнаружения изменений свойств нестационарных временных рядов в условиях полной и неполной информации о параметрах распределения.

4. Методы обнаружения изменения типа процесса: от стационарного к разностно стационарному и наоборот;

5. Методы обнаружения изменений свойств взаимосвязей между нестационарными процессами.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на: Международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики (ММ8ЕБ-2004, Москва, июнь 2004 г.), 2-ой Международной конференции по проблемам управления (Москва, июнь 2003), 3-ей Международной конференции "Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций" (СЛ8С2003, Москва, октябрь 2003), Международной конференции по проблемам управления (Москва, 1999), Международном симпозиуме "Рефлексивное управление** (Москва, 2000 г.), Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления " (81СРК0'2000, Москва, 26-28 сентября 2000 г., ИПУ РАН), Международной конференции "Параллельные вычисления и задачи управления11, (Москва, 2-4 октября 2001 г. ИПУ РАН), Всесоюзной конференции по Экологическому мониторингу (Москва, 21 августа, 1998 г.), Всесоюзной конференции по автоматизации проектирования систем планирования и управления, (Москва, 1987, 26-28 октября), Всесоюзной научно-технической конференции "Микропроцессорные комплексы для управления технологическими процессами", (Грозный, сентябрь, 1987).

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 29 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения, которое включает акты о внедрении и о практическом использовании результатов и выводов диссертации.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность работы, определяются цели и задачи исследования, научная новизна, практическая ценность, достоверность и обоснованность научных

положений, апробация и другие необходимые сведения, приводится краткое содержание глав диссертации.

В первой главе, диссертационной работы проведен анализ состояния исследований временных рядов, описывающих поведение процессов в социальных и экономических системах.

В разделе 1.1 выделены основные проблемы анализа процессов, описывающих развитие таких систем, определены необходимые основные этапы и приведен перечень типовых задач исследования.

В разделе 1.2 рассматриваются методы определения в процессе однородных интервалов, внутри которых процесс может быть описан моделью с постоянными коэффициентами, и оценивания их границ.

В разделе 1.3 приводится обзор методов определения типа процесса: тренд - стационарный, интегрированный порядка d и описываются известные подходы к определению класса процесса при наличии в них структурных сдвигов.

Процесс^ называется стационарным относительно детерминированного тренда f{t) ил и треш) - cm ацшшари ыму есл и процесс стационарный. Процесс, стационарный

относительно некоторого детерминированного трецда, называется TS процессом. Процессу называется стационарным, если f(t) ~ 0.

Нестационарный процесс называется интегрированным порядка d > 1,1(d), (DS - процессом), если его первые разности -процесс процесс, интегрированный порядка

стационарный процесс.

Пусть временной ряд наблюдений описывается моделью:

Л = (1)

где £, - гауссовский белый шум, pj - константы, f.I - константа,

определяющая величину и направление дрейфа. Модель (1) может быть преобразована к виду:

*

Ду, = м+аум + £ауАу(.у+£,

'I»

(2)

где <X = ^4Pj—\. Тип процесса определяется значениями параметра

ССесли СС < 0, то процесс имеет тип /(0), если СС — 0, то тип 7(1). Оценка регрессии в случае процессов /(1) имеет существенные

где - стандартное броуновское движение с непрерывным

временем. Предельное распределение (3) нестандартное, оно табулировано Дики и Фуллером. Так как статистические свойства точечных оценок коэффициентов регрессии различны, то по ним нельзя различать процессы 7(0) и 7(1). Для определения порядка интегрированности процесса разработано большое число критериев. Наиболее распространенным является набор критериев Дики -Фуллера, объединенных одной цдеей. Для модели (2) проверяется гипотеза Н0: а = 0 против гипотезы Н1: СС ^ 0. Если гипотеза Н0

отвергается, то процесс не может считаться нестационарным.

Основным недостатком критериев Дики - Фуллера, как и многих других подобных критериев, является невысокая мощность, зачастую приводящая к подтверждению нулевой гипотезы в тех случаях, когда она неверна. Мощность критериев уменьшается при наличии в процессах структурных сдвигов. Если при анализе процесса определяются моменты возникновения структурных изменений и выделяются интервалы, не содержащие изменений, то мощность критериев Дики - Фуллера повышается.

Проверке гипотезы единичного корня при наличии изменений в процессе посвящено большое количество работ. Наиболее известной из них является процедура Перрона, которая проверяет набор гипотез принадлежности ряда классу Б8 -

(3)

процессов против альтернативной гипотезы TS процесса с ломаным трендом.

В разделе 1.4 проведен анализ методов проверки существования и построения связей между нестационарными временными рядами 7(1), интегрированными первого порядка. Известно, что стандартная методика построения регрессионных моделей, примененная к нестационарным рядам, может привести к построению ложной регрессии. Однако если наблюдаемые ряды принадлежат к классу DS процессов, то при определенных условиях между ними может существовать связь, проявляющаяся в том, что линейная комбинация таких рядов - стационарна. Это явление было обнаружено Грейнджером, который назвал его коинтеграцией.

- Определение. Если линейная комбинация случайных процессов интегрированных порядка й является интегрированным процессом порядка й-1, то эти процессы называют коинтегрированными, а вектор коэффициентов линейной комбинации - коинтегрирующим вектором.

Основополагающий результат Грейнджера состоит в том, что в случае коинтегрированности 7(1) рядов у, И Х( существуют векторное представление:

.И О

У-1 4-0

и представление в форме модели коррекции ошибок (МКО):

00 00

Л*, = А

м

*»о

(4)

АУ, = Мг +«2^-1

]-\ к-о

где 2, - у,- рх, - Е(у, - /к,) ~ 7(0) - стационарный рад с нулевым математическим ожиданием, и а?+а%> 0. Если векторный рад (х, ,у,)Т~ /(1) и порождается МКО, то рады х, и у,

коинтегрировашше, так как в эхом случае все составляющие МКО, кроме ряда стационарны. Следовательно, и ряд

стационарен.

Таким образом, если хп у, ~/(1) и коинтегркрованые, то

имеется долговременная связь, отражаемая уравнением у, г=а+рд:,

где «=£(>>,-/?*,), и краткосрочная динамика, отражаемая в модели (4), причем обе модели согласуются друг с другом.

Наличие структурных изменений в процессах приводит к возникновению следующих проблем:

- уменьшается мощность тестов на наличие единичного корня;

- структурные изменения сопровождаются изменением характера связей между процессами.

Для решения пергой проблемы разработан ряд методов проверки гипотезы единичного корня и коинтеграционных связей при наличии структурных изменений. Однако предлагаемые методы не являются методами обнаружения структурных изменений в темпе их появления. Поскольку структурные изменения в одном или нескольких коннтегрировакных процессах нарушают коинтеграционные связи и могут служить причиной изменений в других составляющих коинтеграции, то своевременное обнаружение таких изменений является важной задачей.

В разделе 1.5 приводится аналитический обзор существующих методов обнаружения изменений в процессе в режиме получения текущих наблюдений и описывается класс алгоритмов, положенных в основу разработанных алгоритмов обнаружения.

Постановка задачи обнаружения. Рассматривается случайная последовательность независимых переменных

одинаково распределены с функцией распределения а одинаково распределены

с функцией распределения параметры распределения в^вз известны до и после изменения свойств. Требуется обнаружить факт изменения свойств последовательности в режиме получения текущих наблюдений и определить момент изменения

Алгоритм обнаружения представляет собой последовательную процедуру проверки гипотез, в каждый момент времени /проверяется гипотеза #0:

«плотность распределения процесса Д »,

против альтернативной гипотезы Нх:

«плотность распределения процесса равна Д ».

Для оценки качества алгоритма обнгруясения используются характеристики:

среднее время медду лохшыни тревогами

¿=£0(т|т<О;

среднее время задержки в обнаружении г* |где Е,(') - математическое ожидание

величины при выполнении гипотезы - момент принятия гипотезы Н\. - • •

В условиях точно известных параметров 01 и 02 до и после изменения свойств и неизвестного момента изменения *в,Пейджем был разработан алгоритм кумулятивных сумм, получивший название Си8иМ. Момент остановки (принятия. гипотезы - Н{) определяется по формуле:

|г£1:я=тахД][ (5)

где где

- порог алгоритма.

« /е,(Х,У

В случае семейства экспоненциальных распределений решающая функция g допускает рекуррентное представление:

Оптимальные свойства алгоритма Пейдзха были доказаны Лорденом (в асимптотической постановке) и Мустакидисом и Ритовым (в не асимптотической формулировке). Средняя задержка в

обнаружении выражением:

для

оптимального алгоритма определяется

1п1

(6)

где Ь - среднее время между ложными тревогами, К{02»О1) информация Кульбака - Лейблера, определяемая выражением

Дальнейшие усовершенствования алгоритма шли в следующих направлениях:

- усложнение " модели исходного процесса, увеличение размерности задачи;

- ослабление ограничений на информацию о параметрах модели до и после их изменения (известны направление изменения, область, внутри которой параметры изменяются, распределение момента изменения свойств и т.п.);

- анализ изменений процессов, распределенных в соответствии с распределениями, отличными от семейства экспоненциальных распределений.

Во второй главе рассматриваются разработанные алгоритмы обнаружения изменения свойств процессов в режиме получения текущих наблюдений.

В разделе 2.1 рассматривается алгоритм последовательного обнаружения разладки в случае полностью известных параметров распределения до и после их изменения для процессов, распределенных в соответствии с гиперболическим распределением. Гиперболическое распределение лучше описывает финансовые потоки, чем нормальное распределение. Это распределение впервые рассмотрено в 1977 году Барндорфф-Нильсеном. Функция плотности гиперболического распределения зависит от четырех параметров:

где

и = (<ру)^, а>~1 - (р'1 +у~1} К1 (л) - модифицированная функция Бесселя третьего рода с индексом 1:

О

х

-х

ЛГ-> 00

I </5? '

Пусть в соответствии с гипотезой Я0 последовательность распределена до момента по закону (7) с параметрами ={^,,^,//,,5}, а после момента (0 по закону (7) с

параметрами в2 = {<р2 = + Д<р,у2 = ух + Ду,^ = А + » та* как распределение (7) инвариантно относительно преобразования сдвига, то без ограничения общности параметр //, полагается равным нулю, следовательно р2 — &М ■

В работе показано, что

1) для алгоритма обнаружения (5) в случае гиперболических распределений логарифм отношения правдоподобия плотностей распределения до и после изменения свойств аппроксимируется выражением:

1п

(1

1п-г+у2Иг - Ау^.если £ > Д/* Ч

С

^ТГ - А^.еслиО £6 £ Д//

С

<0

Ч

где С,-1п . / = 1,2.

2) запаздывание (6) алгоритма, вычисляется с использованием формулы

Ч ?>2 уг <рг ъ

для расчета информации Кульбака.

В разделе 2.2 рассматриваются алгоритмы последовательного обнаружения, разработанные дня случая, когда параметры после изменения неизвестны, для процессов, распределенных по нормальному закону. Условие о точно известных параметрах после момента обнаружения является слишком жестким. Ясно, что, например, для экономических индексов можно в лучшем случае высказать только предположение об увеличении, либо уменьшении параметров. В случае неизвестных параметров после обнаружения Валъдом было предложено два подхода к решению этой проемы Имтый здедючается в замене

отношения правдоподобия А'к = —¡—г на «взвешенное»

1-к

правдоподобие

где Р(в2) - плотность распределения параметра в2. Второй подход заключается в замена параметра в2 его значением, доставляющим максимум функции правдоподобия

Модифицированные алгоритмы были исследованы Никифоровым и Сигмундом. Качество обоих алгоритмов, практически одинаковое, оно снижается относительно алгоритма (5) за счет недостоверности информации: оценка запаздывания в обнаружении увеличивается. Для реализации первого ш них требуется вычисление интеграла вида (9), что не всегда является простой задачей, для реализации второго необходимо выполнение большого объема вычислений.

(8)

(10)

Для процессов, распределенных по нормальному закону, были разработаны алгоритмы:

- обнаружения изменения среднего процесса с параметрами 0Х = (ти,,б) до изменения и 02=(/я^,<?) - после изменения,

щ < т < щ, т - граничное значение параметра, выход за

которое нужно обнаруживать, параметр щ - неизвестен;

- обнаружения изменения дисперсии процесса с параметрам»

л» 0т

вх = (/я.ф) до изменения, с параметрами в2 - (т,д2) - после изменения, 5Х < 6 < 62, 5 - заданное граничное значение параметра, выход за которое нудою обнаруживать, параметр дг -неизвестен.

Основная идея этих алгоршмов близка к идее алгоритма (10), но реализация значительно проще. Используемые обозначения:

9 = (т,б) - граничное значение параметра 0;

в = (т,8) - граничное значение параметра в.

Алгоритм обнаружения изменения среднего имеет вид:

где

1 ]

ения изменения дне 1 }

(И)

(12)

Алгорти обнаружения изменения дисперсии имеет вид:

(11а)

где

(12а)

им

В работе проведаю сравнение качества алгоритмов (11),(12) и (11а),(12а) с алгоритмом (5),(6). Для алгоритма (5) параметры 01 и

О2(02) известны точно и для заданных а и Р выбран порог А, такой, что от =(Д{ £ А), /? = ^ (Д![ <, 0). Выбор порога

однозначно определяет уровень ложных тревог и среднюю задержку в обнаружении для алгоритма (5). Для заданного уровня ложных тревог (г < со) й а —171 средняя задержка в обнаружении

является оптимальной и стремится при Ь оо к выражению в правой части формулы (6).

Для сравнения алгоритмов была проведена оценка изменения уровня ложных тревог и средней задержки в обнаружении в случаях (11), (12) и (11а), (12а). Оценка качества алгоритмов определяется следующей Теоремой.^

Теорема. Пусть - последовательность

независимых величин, распределенных по нормальному закону с параметрами 01~{п\,дх) до момента включительно и

02=(т2,51)ф2=(т1,82)) после момента /а, гдет2 ид2 -неизвестные значения параметров, т ид - их граничные значения, причем пц > т{32 >3). Тогда

1) для алгоритмов (И), (12) и (11а), (12а) средняя задержка в обнаружении стремится к нулю при разнице между фактическими и граничными значениями параметров Ая1 = т2—т—>оо и

Дг = 52 —5 —> оо, соответственно;

2) для алгоритмов (11), (12) и (11 а), (12а) средняя задержка в обнаружении стремится к средней задержке для алгоритма (5),(б) с точно известными параметрами после обнаружения при разнице мео/сду фактическими и граничными значениями параметров

А1Я = т2-т—>0 и соответственно.

В разделе 23 для процессов, распределенных по гиперболическому закону, был разработан алгоритм последовательного обнаружения в случае неизвестных параметров после изменения. Алгоритм осуществляет последовательную проверку гипотезы

ЯО:(0О= &о,ГоЛ,Н>})

против гипотезы

Я, :(8€П, =^б,ф,у,ц;:8 = 80,ф>ф0,у<у0,ц>ц0},

или против гипотезы

Как следует из анализа свойств гиперболического распределения, приведенного в разделе 4.2, эти области определяют процессы с восходящим и нисходящим тревдом.

При выводе была использована основная идея алгоритма (9),

- VI

заключающаяся в замене отношения правдоподобия > 1п—!-

ь* /<?„(£,)

на "взвешенное" с помощью весовой функции яС^) ^ О, удовлетворяющей условию

/-* /б0)

где интегрирование выполняется по прямоугольной области либо&2. Рассматривались гипотезы:

#,(0 е = : д = 50><р > <р0,у < у0,м > ¿/0}),

Н2(в 6Й2 = №,<р,у,м)' 8 = 60,(р < <р0,у > /„,// < МоЬ. Н0{в0={ра,у0,60^0})-

Показано, что решающее правило принятия сложной гипотезы Н, против гипотезы Н0 имеет вид:

гя (13)

I 1-к

решающее правило принятия сложной гипотезы Н2 против гипотезы Н0 имеет вид:

г. = 1п£{/> 1:тах| > А,. (14)

\SkSt

1-к

/еД,;

Величина Л'4| = тах- . выражениями

<¿9, / — определяется

> ДЦ/

1&

Р;;,если Р^.если Р3,,сспи в случае проверю» гипотезы Н1,

-Р22,если £,>0 - Р}2, если Дц2 в случае проверки гипотезы Я 2.

Ру, - определяется по формулам:

I*

^ = - - .

Р3, = -Д/^Оу - - М + Го)+У - Г, (Го

/ = 1,2. Здесь Р{ < О, Р2 > 0, а знак Р3 - не определен, то есть в области < < щ гипотезы не разделяются. Отсюда следует, что математическое ожидание величины Л!к1 >0 при выполнении гипотезы //1; и математическое ожидание величины А'к2 <0 при выполнении гипотезы Н2.

В разделе 2.4 описывается разработанный алгоритм обнаружения изменения свойств и оценивания момента этого изменения для многомерных процессов в случае неизвестных

параметров процесса после изменения свойств. Задача обнаружения решается совместно с задачей оценивания.

Постановка задачи. Рассматривается последовательность наблюдений, содержащая момент возникновения полезного сигнала на фоне помех:

У' ~ \х,Н + V,, если/ £ /а , (15)

где У, - многокомпонентная запись сигнала, Н е Л" - неизвестный вектор направления распространения сигнала, удовлетворяющий условию - скалярный процесс с неизвестными

характеристиками, моделирующий сигнал, V, 6 Я" - случайный

векторный процесс, который описывается гауссовской моделью авторегрессии:

(16а)

или

где - коэффициенты авторегрессии, Д - диагональные матрицы авторегрессии, - случайный процесс, распределенный по

закону - ковариационная матрица

помехи 1/,. Требуется по наблюдениям ,

удовлетворяющим условиям (15), (16а) или (15), (16Ь): обнаружить изменение свойств процесса; оценить момент вступления сигнала

оценить параметры

Алгоритм решения. Оценивание момента вступления сигнала при неизвестных его параметрах дает менее точную оценку, чем оценивание при известных параметрах. В ряде практических задач знание точного момента появления сигнала является существенным, поэтому процедура оценивания момента появления сигнала и его параметров включает следующие алгоритмы:

21

алгоритм обнаружения момента появления сигнала по текущим наблюдениям в условиях, когда не известны его параметры Я и

алгоритм оценивания параметров сигнала Н И Х1;

алгоритм апостериорного оценивания момента появления

сигнала после получения оценок параметров Них,.

Алгоритм оценки момента появления сигнала по текущим наблюдениям включает следующие шаги:

1. Преобразование исходной последовательности (15) с помощью операций выбеливания и декорреляции к виду:

ЯГ1и„еСЛИ р+\-1,

'. " (17)

Г'хЯ+Д-

если

где

Х1 — X, — ^0С,Х,_1 - для модели (16а) и ы

Х( = Х,Е— ^Г^А^^ - для модели (16Ь), E - единичная матрица,

М

г = р, если tZta+p, r = t-ta+1, если /я < / < +/>.

2. Оценивание преобразованной последовательности в режиме получения текущих наблюдений. Построение оценки для последовательности (17) основано на использовании того факта, что

оценка вектора Я'1Н в модели (17) представляет собой

ЛГ

соответствующий максимальному собственному значению, отличающемуся от единицы, в то время как до момента вступления сигнала все собственные значения равны единице. Это следует из Теоремы.

Теорема. Оценка вектора

ягхн

в модели (17)

представляетсобойсобственныйвекторковариационнойматрицы £ % — ^ > соответствующий максимальному собственному

п N

значениюА„ =1 + у^Ь?, где^х^ — у для модели (16а), ы м,

н -ы

Л„ = 1 + Ь?у,, где ^х^ = ук,к- 1,2.....п для модели (16Ъ),

ы <-/,

Ь, - координаты вектора В = Я~1Н, остальные собственные значения равны: Л1=Л2 = ...=: Л^ -1.

3. Оперативное обнаружение изменения свойств оцениваемой последовательности. Как следует из предыдущего пункта, задача обнаружения изменений сводится к задаче обнаружения изменения собственных значений матрицы

- ^Г , для ее решения построен алгоритм обнаружения

изменений собственных значений. Алгоритм основан на проверке гипотезы (?0:

N __

- "все собственные числа матрицы = , равны 1", против гипотезы :

- "одно из собственных чисел больше или равно 1 + а, где

, а > 1

В работе получен алгоритм обнаружения увеличения собственных значений матрицы, основанный на использовании распределения суммы собственных значений выборочной ковариационной матрицы:

/(Л,+...+Л^*(1/2^Г/^ехр(-1(Л1+...+ Ля

где /Ид = А^ + •.. "Ь АЙ

- сумма фактических собственных

значений, ^(Л^2) - многочлен от Л^2, N - объем выборки, п -размерность матрицы. Алгоритм последовательного обнаружения изменения свойств ковариационной матрицы имеет вид:

/а =шф^1:тах '+...Л'й-«-йг/2)>А-,(18)

I 1£л*5/ Ыт

где = \,.,.,П - собственные корни выборочной

ковариационной матрицы, рассчитанные в момент времени * = /.

Оценивание параметровсигналОН. и X,. В качестве оценок

параметров сигнала используется оценка максимального правдоподобия для вектора Я, которая» как показано в работе, является собственным вектором ковариационной матрицы

= , соответствующем максимальному собственному

значению. Оценка X, находится из уравнения:

Алгоритм апостериорной оценки момента вступления сигнала. Задача апостериорного обнаружения изменения свойств сигнала для случайной независимой последовательности с известными параметрами распределения до и после изменения свойств была поставлена и решена Пейджем. Рассмотрим задачу апостериорного обнаружения: дня моделей (13),(16а) н (15),(16Ь), требуется оценить момент после получения N наблюдений, где

/в < N. Вычислим логарифмическую функцию максимального правдоподобия последовательности , используя

полученные оценки параметров Н ИХ,. Момент /в находим посредством полного перебора как решение задачи

оценки параметров

В разделе 2.5 разработан алгоритм последовательного обнаружения изменения корреляционных связей двух процессов.

Рассмотрены два стационарных случайных процесса Х1 и у,. Предполагается, что до некоторого момента времени процессы не коррелированы, а с момента времени /в связаны линейной зависимостью:

У, =ах,+е„

где - случайный процесс, распределенный по

,t - случайный процесс, распределенный нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией. Пусть ^ - коэффициент корреляции

процессов Xt W У/.

Обнаружение возникновения корреляционных связей основано на проверке гипотезы Н0 : £ = в0 — 0 против гипотезы

Я,: <?,>£>0.

Логарифм отношения правдоподобия для распределения выборочного коэффициента корреляции имеет вцд:

A to

,1+С^

(1-р2)20-W 2

In-

U 2 2

где

J\ \ ill

- гипергеометрическая функция

2 2 2у

В работе построен алгоритм текущего обнаружения, изменения коэффициента корреляции в скользящем окне и показано,

что

Ln

/е, (г)

определяется выражением (20), для которого

получены необходимые аппроксимации.

Обнаружение исчезновения корреляционных связей

основано на проверке гипотезы: //0: > 80 против гипотезы АГ,: в скользящем окне.

В i третьей главе рассматриваются алгоритмы текущего обнаружения изменений свойств DS- процессов и корреляционных связей между ними, проводится анализ типов изменений и влияния изменений свойств отдельных процессов на корреляционные связи.

В разделе 3.1 предложены модели структурных изменений свойств нестационарных процессов и исследованы возможности применения для их обнаружения разработанных и описанных в главе 2 алгоритмов оперативного обнаружения.

Исходный процесс описывается моделью вида (1) и преобразован к виду (2). Рассмотрены следующие типы изменений в компонент процесса:

а) изменение стохастического трецда: к

/»1

(21)

м

где

д\е))*8\е*), (21а)

- дисперсия процесса у, до изменения (/=1) и после

изменения (/=2), соответственно, б) изменение дрейфа: к

А+ЕР/У'Ч + е> >если '<'*> У,=\ У? (22)

М

Для решения задачи обнаружения изменений анализируются свойства дисперсии процесса Ау, и статистик

Тх = Ау,Ау,_и...,Тк = Ау,Ау,_к. В работе показано, что

- для процесса (1) при наличии изменений (21), (21а) или (22) математическое ожидание статистик постоянно» а

математическое ожидание статистики Тк равно нулю; ряд разностей Ду, представляющий собой стационарный процесс, в случае изменения стохастического трецда (21), (21а) после момента изменяет дисперсию, а в случае изменения

дрейфа изменяет среднее;

Алгоритм обнаружения изменения стохастического тренда включает.

-. проверку изменения дисперсии процесса Ау1 С помощью алгоритма обнаружения изменения дисперсии (11а), (12а);

- проверку свойств статистик на отсутствие

изменений с помощью алгоритма обнаружения изменения среднего (11), (12);

проверку равенства нулю математического ожидания статистики

Алгоритм обнаружения изменения стохастического тренда включает:

проверку изменения среднего процесса ДугС помощью алгоритма обнаружения изменения дисперсии (11), (12); проверку свойств статистик на отсутствие

изменений с помощью алгоритма обнаружения изменения среднего (11), (12);

проверку равенства нулю математического ожидания статистики

В разделе 3.2 рассмотрен алгоритм обнаружения изменений типа процесса: от тренд- стационарного к разностно -стационарному и от разностно - стационарного к тренд-стационарному. Пусть временной ряд наблюдений^,,^2,...,^,..., описывается моделью:

к

где определены как в уравнении (1),

М

У-1

Стандартными преобразованиями процесс (23) может быть приведен к виду:

о (24)

+ц?,,если Й„

где 0 < О < 1, - стационарный процесс.

Требуется построить алгоритм обнаружения изменений свойств процесса в режиме получения текущих наблюдений.

Для решения.задачи обнаружения изменений исследуются свойства дисперсии процессов уп&у1и статистики Т^ — Д^Ду,^. В работе показано, что после изменения свойств: 1. дисперсия процесса у1 ограничена сверху величиной

\

1

1

1

Д=Уаг( а.) -+-=-+...+- *

где - дисперсия процесса

2. дисперсия процесса стремится к величине

3. математическое ожидание статистики ограничено сверху выражением:

м

-и

Уаг{щ).

Алгоритм обнаружения изменений, описываемых моделью (24) представляет собой алгоритм кумулятивных сумм для текущего обнаружения одновременного изменения следующих параметров: - дисперсии процесса у( .(уменьшения до величины );

дисперсии процесса Ду( (увеличения до величины Р2)\

математического ожидания статистики (уменьшения до

величины А/).

Если временной ряд наблюдений у1г у,

описывается моделью

(25)

которая стандартными преобразованиями преобразуется к

виду:

то алгоритм обнаружения изменения свойств представляет собой алгоритм кумулятивных сумм для текущего обнаружения одновременного изменения следующих параметров:

дисперсии процесса у, (увеличения сверх величины Рх)\

дисперсии процесса Ду, (уменьшения до величины.

математического ожидания статистики (увеличения до нуля).

В разделе 3.3 исследовано влияние структурных изменений в нестационарных процессах на коинтеграционные связи и

разработаны алгоритмы оперативного обнаружения изменения коинтеграционных связей.

Рассматривается система, поведение которой описывается случайной векторной последовательностью временных рядов:

где вектор размерности каждая компонента

которого представляет собой процесс типа 1(0) либо 1(1), Gt

гауссовский белый шум, П(г) = / — ^П^' - матричный полином,

имеющий к <П единичных корней.

Пусть в компонентах в неизвестный момент времени

возникает изменение свойств, которое может быть описано

одной из моделей вида (21), (22), (23) или (25).

Показано, что структурные изменения в одном или нескольких рядах приводят к следующим последствиям:

1)В случае изменения стохастического тренда одного из рядов происходит:

- изменение дисперсии ряда разностей;

- изменение порядка интегрированности линейной комбинации этих рядов и увеличение ее дисперсии.

2)В случае изменения стохастического тренда обоих рядов может произойти одно из следующих событий:

- изменение дисперсии ряда разностей у обоих рядов с изменением порядка интегрированности линейной комбинации этих рядов и увеличением ее дисперсии;

- изменение дисперсии ряда разностей у обоих рядов с сохранением порядка интегрированности линейной комбинации этих рядов.

3)В случае изменения дрейфа одного го рядов происходит:

- изменение среднего ряда разностей;

- изменение порядка интегрированности линейной комбинации этих рядов и увеличение ее среднего.

4)В случае изменения дрейфа обоих рядов может произойти одно из следующих событий:

изменение среднего ряда разностей у обоих рядов с изменением порядка интегрированное™ линейной комбинации этих рядов и увеличением ее среднего; изменение среднего ряда разностей у обоих рядов с сохранением порядка интегрированности линейной комбинации этих рядов.

5)В случае изменения характера нестационарности одного из рядов нарушаются имеющиеся коинтеграционные и корреляционные связи.

6)В случае изменения характера нестационарности обоих рядов имеющиеся коинтеграционные или корреляционные связи могут, как сохраняться, так и изменяться.

Для каждого из рассмотренных выше случаев структурных изменений временных рядов построены алгоритмы проверки свойств коинтеграционных связей в режиме получения наблюдений.

При возникновении структурных изменений в одном из рядов коинтеграционная связь нарушается всегда, в случае изменений в двух или нескольких рядах связь может либо сохраниться, либо нарушиться. Сохранение коинтеграционной связи означает, что система приходит в состояние равновесия после произошедших в ней изменений. Нарушение связей может привести к разрушению системы или к серьезным изменениям в ней. Поэтому оперативное обнаружение изменения свойств связей между процессами позволяет оценить и спрогнозировать будущие состояния системы.

В разделе 3.4. приводятся результаты экспериментального исследования полученных алгоритмов.

В четвертой главе диссертации предлагается методология анализа временных рядов наблюдений, описывающих поведение объекта в реальном времени, предназначенная для целей мониторинга и прогноза; рассматриваются результаты экспериментальных исследований индексов фондового рынка и макроэкономических показателей, описываемых временными рядами при наличии в них структурных изменений, с применением разработанной методологии и алгоритмов.

Методология включает:

- анализ предистории процесса (определение типа процесса: тренд - стационарный, разностно - стационарный; обнаружение

Методология включает.

- анализ предистории процесса (определение типа процесса: тренд - стационарный, разностно - стационарный; обнаружение изменений свойств, проверку наличия коинтеграционных или корреляционных связей между рядами),

- настройку алгоритмов текущего обнаружения,

- обнаружение изменений свойств процесса в режиме получения текущих наблюдений в реальном времени.

Рассматривается система, поведение которой описывается случайной векторной последовательностью наблюдений:

У},!^,...^ , где У, = (Уи>У21>'"Ур1)Т>

причем последовательность удовлетворяет следующим условиям:

1) Компоненты вектора У, описываются моделями вида:

(26)

где - гауссовский белый шум, рц - константы,

- константа, определяющая величину и направление дрейфа, £=1,2у...р; модель (26) может быть преобразована к виду

Ауа =ц+ а{уиА + +Еи = М, + а<У,,-х + Ни,

где Ци = У, аиАуи_, + £ц - стационарный процесс.

2) Существует постоянная р*р матрица С такая, что процесс

СУ, (27)

стационарный.

3)в некоторые неизвестные моменты времени в к 5з р компонентах процесса У{ возникают изменения следующих типов:

а) изменение стохастического трецда (21)- (21а);

б) изменение дрейфа (22);

с) изменение коэффициентов р}, приводящее к изменению

типа нестационарности процесса(23) или (25).

Требуется в каждый момент времени / при получении нового наблюдения оценивать состояние последовательности

У,, У2, •.. , У, +1,...: определять адекватность моделей (26) - (27)

компонентам процесса и связям между ними.

Основные шаги:

Анализ предыстории.

Для каждой компоненты вектора У, выполняется:

1.1. Определение типа, к которому принадлежит рассматриваемый процесс: стационарный относительно детерминированного тренда или интегрированный первого порядка.

Тип процесса является важным фактором, позволяющим диагностировать последствия внешних воздействий на процесс. При возникновении внешних импульсов процессы разных типов ведут себя по-разному: реакция стационарных процессов быстро затухает, нестационарных - оказывает длительное воздействие.

1.2. Обнаружение структурных сдвигов в процессе, выделение интервалов, в которых отсутствуют изменения свойств процесса.

1.3. Проверка класса процесса в каждом из выделенных интервалов (возвращение к шагу 1.1) и построение моделей в рассматриваемых интервалах.

Структурными сдвигами мы будем называть изменения свойств процессов, отражающиеся в изменениях коэффициентов модели процесса. В результате структурных сдвигов могут изменяться: тип процесса, среднее значение процесса или его разностей, дисперсия процесса или его разностей, наклон тренда процесса и пр. При наличии структурных сдвигов в процессе усложняется процедура проверки критериев, предназначенных для определения типа процесса, изменяется параметрическая модель системы.

Для всех компонент вектора в выделенном интервале выполняется:

1.4. Проверка наличия связей (корреляционных между стационарными компонентами и коинтеграционных между

нестационарными, интегрированными одного порядка) между компонентами процесса и построение моделей связей.

Наличие статистических взаимосвязей между компонентами процесса является одним из важных факторов, определяющих его поведение: неизменность связей поддерживает устойчивость системы, нарушение связей может существенно изменить поведение процесса.

Настройка алгоритмовтекущего обнаруженияна границах рассматриваемыхинтервалов.

2.1. Настройка алгоритмов, обнаруживающих изменения типа нестационарности в компонентах процесса;

2.2. Настройка алгоритмов, обнаруживающих структурные изменения в процессах.

2.3. Настройка алгоритмов, обнаруживающих изменения среднего в компонентах процесса;

2.4.Настройка алгоритмов, обнаруживающих изменения дисперсии в компонентах процесса.

2.5. Настройка алгоритмов, обнаруживающих изменения корреляционных связей (для стационарных процессов).

2.6. Настройка алгоритмов, обнаруживающих изменения коинтеграционных связей (при наличии коинтеграции для нестационарных процессов).

Анализ процессов в режиме поступления текущих наблюдении.

Для всех компонент и построенных моделей связей выполняется:

3.1 Анализ вновь полученного наблюдения с помощью алгоритмов текущего обнаружения.

3.2 Анализ результатов в случае обнаружения изменений.

3.3 Построение новой модели.

Своевременное обнаружение изменения свойств отдельных компонент системы и связей между ними позволит заранее определить спектр возможных последствий этих изменений и предсказать поведение процесса.

В разделе 4.2 исследуются свойства гиперболического распределения и возможности применения его для описания и анализа финансовых потоков.

Отклонение моделей финансовых потоков от нормальности отмечалось еще в шестидесятых годах Мандельбротом, что привело его к идее использования для их описания устойчивых распределений или распределений Парето. Практическое использование распределений Парето затрудняется тем обстоятельством, что за исключением четырех случаев, определяемых значениями их параметров, они не имеют функции плотности и описываются характеристическими функциями. Гиперболическое распределение свободно от этого недостатка и, как и распределения Парето, обладает пикообразной формой в окрестности среднего значения и имеет более «тяжелые хвосты», по сравнению с нормальным распределением.

В работе проведено исследование возможностей гиперболического распределения для описания финансовых потоков и показано, что

- параметры ф и у гиперболического распределения, аппроксимирующего финансовые потоки с восходящим трендом удовлетворяют условию

- параметры ф и у гиперболического распределения, аппроксимирующего финансовые потоки с нисходящим трендом удовлетворяют условию ф <у.

Рассматривался случайный процесс У^,!^»-»«^/+!»•••»

исходные значения которого преобразованы к виду У -У

(28)

* ы

где ^,^,...,4, описываются распределением (7)-(7а).

Показано, что если параметры распределения процесса .....лежат в области

Ц = : 8 = ¿о><Р > <Ро>Г <Г0,М> Мо), (29)

то в процессе УГУ2,...У,,... имеется восходящий тренд, если параметры распределения .....лежат в области Пг

= Г,//): 8 = 8й,<р <<р0,г> П,М < Мъ }. (30)

то в процессе имеется нисходящий тренд, где

<р0 = у0. Результат выводится из Теоремы:

Теорема. Если для функций распределения (7) - (7а) с параметрами в0 = (£0,//0 = 0,<р0,у0 = <р0) и б, е Ц, где О, удовлетворяет (29), выполняется равенство ^(«!> = ре>ъК) >тоа1 * ао<

и наоборот, если е 02, где С12 удовлетворяет (30), то из условия

^ = рв, (ао)> следует а, £а0,

для любых а, где ^ - интегральная функция распределения плотности Д./-0Д.

В работе приведены результаты анализа распределений большого числа реальных акций и индексов фондового рынка. При выполнении анализа исходные наблюдения были преобразованы по формуле (28), каждый рассматриваемый ряд был проверен на наличие структурных изменений, и разбит на интервалы, внутри которых изменения отсутствуют. Внутри интервала строились эмпирические распределения: нормальное и гиперболическое. Проведенный анализ показал, что

1. при использовании гиперболического распределения величину можно считать достаточно малой для того, чтобы полагать

2. гиперболическое распределение позволяет лучше аппроксимировать экономические индексы, чем нормальное, среднеквадратичная ошибка аппроксимации процесса гиперболическим распределением в среднем в 5 раз меньше чем среднеквадратичная ошибка аппроксимации его нормальным распределением;

3. если исходный процесс У, имеет восходящий тренд, то параметры удовлетворяют условию чем больше

тем выше скорость убывания "хвоста" при X —> —оО - слабое движение вниз и сильное - вверх;

4. если исходный процесс К, имеет нисходящий тренд, то параметры ф и у удовлетворяют условию ф < у, чем больше тем выше скорость убывания "хвоста" при - слабое движение вверх и сильное - вниз;

5. величина р. составляет в среднем 5*10Е-4 при изменении

в диапазоне [-0,05;0,05].

Фрагмент результатов испытаний приведен в Таблице 1.

Таблица 1

Название акции Тренд ф Y Точность аппрокси мации Сравнение точности с нормальным

Cent вверх 62,7 39,7 5,2% 3,25

Cent вниз 46 50 3,8% 19,9

Anrtd вверх 25 19 5,8% 9,22

Amid вниз 32,2 35 4% 3,72

Amgn вверх 66,8 60 3,45% 1,85

Amgn вниз 13,7 14,7 8,15% 2,52

DM вверх 335 245 7,59% 3,78

DM вниз 204 276 7,46% 4,21

Rts вверх 117 67 6,08 2,9

Rts вниз 66 68 4,75% 2Т8

В последнем столбце представлена величина отношения погрешности аппроксимации нормальным распределением к погрешности аппроксимации гиперболическим распределением.

В разделе 4.3 описано применение разработанной методологии для анализа индексов латиноамериканского, российского и американского фондового рынков. Предметом исследования является построение моделей, описывающих поведение рядов, проверка наличия связей между отдельными секторами мирового рынка и построение моделей этих связей.

Исследованию поведения фондового рынка с применением эконометрических методов посвящено большое число работ, но все они, преимущественно, ориентированы на анализ исторических данных. Методология и алгоритмы, предлагаемые в диссертации,

позволяют рассматривать рынок в реальном времени, осуществлять мониторинг поведения рынка и долгосрочный прогноз его поведения.

Период анализа: январь 1995 года - апрель 2004 года.

Данные для анализа:

- Индекс российской фондовой биржи (Россия); ЯТ81;

- Биржевой индекс Доу Джонс Индастриал (США), Ш1;

- Мервал - индекс фондовой биржи Буэнос-Айреса (Аргентина) МЕЯУ;

- Бовеспа - ицдекс фондовой биржи Сан-Паоло (Бразилия)

ВУ8Р;

- Индекс фондовой биржи Мексики МХХ.

В качестве периода для анализа исторических данных рассматривается период: январь 1995 года - февраль 2002 - го. Результаты анализа исторических данных, полученные в диссертации, сравниваются с результатами, полученными в других работах, где анализ проводился по историческим данным с января 1995 года по февраль 2002-го.

В рассматриваемом интервале проверялось наличие разрывов, определялись интервалы однородности отдельных индексов, наличие коинтеграционных связей между индексами и настройка алгоритмов текущего обнаружения коинтеграционных связей.

По построенным моделям выполнялась настройка алгоритмов текущего обнаружения разрывов и выбор порогов.

В период с февраля 2002 по апрель 2004 анализ рынка проводился с использованием алгоритмов текущего обнаружения: в каждый момент времени считались известными только данные за период времени [01.01. 1995, 1], где t - временная точка в интервале [01.02.2002-28.04.2004].

После обнаружения изменений свойств из набора моделей, построенных по историческим данным, выбиралась наиболее подходящая модель, которая уточнялась в процессе получения новых наблюдений. Процесс обнаружения изменений в режиме получения наблюдений возобновлялся после построения адекватной модели.

В результате проведенных исследований обнаружилось:

- существование коингеграционных связей между всеми индексами до начала азиатского кризиса в октябре 1997 года;

- нарушение коинтеграционных связей между индексами латиноамериканских рынков и индексом Доу Джонс Индастриал и между индексами RTSI и индексом Доу Джонс Индастриал после октября 1997 года;

- изменение моделей коинтеграционных связей между индексами латиноамериканских рынков и индексом RTSI в период с октября 1997 года по август 1998 года.

Анализ рынка в режиме имитации получения текущих наблюдений показал, что, начиная с конца 2002 года, между индексами латиноамериканских фондовых рынков и индексом RTSI существуют долговременные кошггеграционные связи. Существования коинтеграционных связей между индексом Доу Джонс Индастриал и другими исследуемыми индексами не обнаружено.

В пятой главе рассматриваются результаты практического использования разработанных алгоритмов.

В разделе 5.1 рассмотрено применение разработанных методов исследования нестационарных процессов для прогноза кризисных событий Российской экономики по результатам анализа экономических индексов в период с 1995 по 2002 с год. Период с 1995г. по август 1998 года характеризуется неустойчивостью политических и экономических процессов в России. За это время на российских финансовых рынках неоднократно возникали кризисные ситуации, кульминацией которых послужил кризис 1998 г.

По оценкам экспертов за рассматриваемый период произошли следующие кризисные события:

банковский кризис ликвидности (25 августа 1995 г.); социо - экономический кризис доверия правительству накануне президентских выборов (3 июня - 16 июля 1996 г.); - обвал фондового рынка (24 октября 1997 г.);

кризис 17 августа 1998 г., явившийся одновременно валютным, банковским, инвестиционным и кризисом внешнего долга.

Для анализа ситуации использовались следующие данные:

- российские биржевые индексы АК&М (АКМ) и РТС

(кга);

- недельная средневзвешенная доходность ГКО (GKO);

обменный курс рубля к доллару (USD);

однодневные объявленные ставки по размещению

кредитов (MIBOR1);

месячные объявленные ставки по размещению кредитов (MIBOR30).

Анализ индексов проводился в соответствии с методологией, разработанной в диссертации и изложенной в разделе 4.1 главы 4:

проверялось наличие структурных сдвигов в рассматриваемых рядах и выделялся начальный участок процесса, не содержащий структурных изменений;

- для каждого ряда на выделенном участке определялся тип процесса, затем строилась его модель;

- проверялось наличие коинтеграционных связей в рассматриваемых рядах;

- в режиме текущего наблюдения определялись моменты изменения этих связей и моменты возникновения структурных сдвигов;

- в случае обнаружения изменений проводился анализ ситуации, и через некоторое время строилась новая модель.

В результате анализа реальных индексов были выявлены нарушения и изменения коинтеграционных связей, изменения в типах стационарности процессов и в их параметрах. Анализ индексов в режиме имитации получения и обработки текущих наблюдений обнаружил изменения свойств процессов, которые предшествовали кризисным событиям и отсутствовали после августа 1998 года. Наблюдаемые изменения могут служить предвестниками возникновения кризисных событий и имеют следующую интерпретацию:

1 предвестником всех экономических кризисов является удорожание рублевых кредитов относительно доходности ГКО;

2)резкий рост доходности ГКО относительно кредитов накануне выборов в 1996 году свидетельствует недоверии к государственным бумагам;

Занижение роста индекса RTSI относительно АКМ указывает на отток зарубежных инвесторов с российского фондового рынка;

4)удорожание краткосрочных кредитов относительно долгосрочных указывает на дефицит рублей.

Полученные результаты показывают эффективность разработанной методики для анализа индексов финансового рынка» описываемых нестационарными временными рядами.

В разделе 5.2 рассматривается задача экологического мониторинга выбросов сточных вод обогатительных заводов, мониторинг включает контроль выхода допустимого содержания загрязнений за норму и обнаружение состояний процесса, в которых концентрация загрязняющих веществ может превысить допустимую при отсутствии корректирующих мер.

Одним из важных параметров, служащих для оценивания качества очистки сточных вод является способность сточной воды поглощать кислород. Для оценки качества используется результат анализа за 5 дней (ВОБ5). На значения параметра накладывается ряд ограничений. Управление процессом очистки осложняется тем, что свойства процесса недостаточно хорошо изучены, химический анализ дает результаты только через неделю после взятия пробы, эффект от изменения управляющих воздействий проявляется с запаздыванием, фактический выход параметра за допустимые границы может надолго вывести процесс из управляемого состояния.

Вследствие описанных выше особенностей требования к контролю за состоянием процесса ужесточаются, поэтому для управления процессом очистки была разработана специальная система контроля, основными функциями которой являются:

1) Построение модели выходного процесса для прогнозирования будущих значений контролируемых параметров и оценивания возможности выхода их за допустимые пределы.

2) Обнаружение изменений свойств процесса и анализ характера этих изменений для предупреждения выхода контролируемого параметра за допустимые границы.

Анализ исходных данных показал, что исходные ряды являются нестационарными и интегрированными, поэтому для описания динамики ВОБ5 использовалась модель проинтегрированной авторегрессии (АРП):

(31)

где - последовательность наблюдений

величин загрязнителей. ,

А?-(\ — 1Г1)'1, Vх - оператор сдвига: иХу,—у,_,, а, последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин, причем Е(а,) — О, Е(а^) = 02д. Когда с/ = 0, то исходный процесс стационарен.

Прогноз у1+к значения у, при к ^ 1 в текущий момент времени t вычислялся по модели (31). Этот прогноз является прогнозом с минимальной среднеквадратичной ошибкой в момент ? с упреждением к, он представляет собой условное математическое ожидание унк при условии, что все у1 до момента t известны.

Проверка наличия отклонений процесса от модели выполнялась алгоритмом кумулятивных сумм, проверялись отклонения среднего и дисперсии модели остатков.

Основные шаги процесса мониторинга:

1. Построение модели

2. Вычисление остатков от модели и проверка наличия отклонений процесса от модели: если процесс изменился, то раздается "звонок", сообщающий, что процесс уже не соответствует имеющейся модели н выполняется переход к шагу 5, иначе к шагу 3.

3. Вычисление прогноза по модели и сравнение прогнозного значения с допустимыми пределами: если прогноз по построенной модели указывает на плохое качество процесса очистки, то дается команда о коррекции процесса очистки осуществляется переход к шагу 5, иначе - к шагу 4.

4. Получение очередного наблюдения и переход к шагу 2.

5. Анализ обнаруженных отклонений и принятие решения

- о перенастройке модели - переход к шагу 1, либо

- о выдаче сигнала оператору о переналадке процесса с последующей перенастройкой модели переход к шагу 6.

6. Коррекция процесса очистки, переход к шагу 1.

Такая система контроля позволяет обнаружить изменения в процессе до того момента, когда они приведут к возникновению аварийных ситуаций.

Наличие несоответствия модели анализируемому участку процесса может указывать

- на непригодность использования модели для прогноза,

- на возможность нарушения технологических ограничений.

Мониторинг процесса по разработанной схеме позволяет осуществить стабилизацию процесса гораздо быстрее и на 70% . сократить число выходов процесса за допустимые границы, чем при стандартном способе контроля по превышению "контрольных пределов".

В разделе 5.3 рассматривается задача прогноза, «скачков» курса рубля к доллару США. Скачками курса считаются такие изменения, когда текущее его значение превышает предыдущее не менее, чем на 7%. Для анализа ряда и8Б(0 (курс рубля к доллару США) применялся алгоритм, основанный на процедуре обнаружения изменения свойств временных рядов. Период анализа: 1.07.1992 по 13.06.2002.

Проверка алгоритма показала его хорошую работоспособность: общее число пропущенных скачков составляет 15,4% от всех скачков, а общее время продолжительности тревоги и время ложных тревог составляет 6,7% и 1,7% от всего времени прогноза, причем пропуски цели соответствуют скачкам, не превышающим 11%.

Предложенный подход предназначен для прогнозирования резких изменений свойств процессов с малым числом наблюдений. Алгоритм сохраняет работоспособность в широком диапазоне изменения настроечных параметров, вариация которых позволяет сместить вероятность его ошибок либо в сторону уменьшения ложных тревог, либо в сторону уменьшения числа пропущенных объектов, в зависимости от того, какая ошибка наименее желательна.

В разделе 5.4 рассматривается задача анализа заболеваемости в Москве по данным о вызовах скорой помощи. Она является частью задачи разработки системы мониторинга социо -экономической неустойчивости больших городов. Назначение такого мониторинга - диагностировать периоды неустойчивого функционирования города, выяснять возможные причины, формы и сценарии развития этой неустойчивости, а также направления борьбы с ними.

Одной из составляющих разрабатываемой концепции мониторинга являлся формальный анализ аномалий нескольких информативных временных рядов (активизация и другие отклонения поведения от тренда, кластеризация актов нестабильности,

раскорреящия или разладка и т.д.), описывающих основные стороны функционирования города, в частности, состояние и динамику здоровья населения.

Цели анализа:

- выявление идентичности и различий динамики заболеваемости по различным диагнозам, обнаружение кратковременных (от 2-3 дней до 2 недель) "всплесков" заболеваемости;

- анализ связей этих изменений с вариациями температуры, давления магнитной и солнечной активности.

Использовались следующие данные:

- ежедневное число вызовов скорой помощи;

- индексы геомагнитной активности и интенсивности солнечного излучения (суммарный дневной индекс геомагнитной активности и средняя амплитуда геомагнитной активности; усредненная характеристика солнечной активности; число солнечных пятен, интенсивность солнечного радиационного излучения).

Период анализа: 1.01.95 - 30.6.98:

Для рассматриваемых этих временных рядов определялись устойчивые циклы и выбирались статистики, таким образом, чтобы их возможные изменения соответствовали изменениям исходного процесса. В соответствии с найденными циклами выбирался порядок конечных кумулятивных сумм от найденных статистик, строились решающие функции и рассчитывались их параметры. Определялись моменты выхода за порог по каждому диагнозу в отдельности и моменты выхода за порог одновременно по нескольким диагнозам. Использование алгоритма конечных кумулятивных сумм позволило выделить кратковременные (недельные вспышки) заболеваемости и группу диагнозов, по которым они наблюдались. Помимо после праздничных дней и осенних эпидемий, увеличение заболеваемости сопровождалось увеличением магнитной и солнечной активности, а также сутствовало таким событиям как банковский кризис в августе 1995 года доллара и выборы президента в июне 1996 года.

В Заключении сформулированы выводы и основные результаты работы.

Заключение.

Основные результаты работы:

Предложен новый подход и разработана методология анализа процессов с изменяющимися свойствами в интервале анализа в режиме получения текущих наблюдений для систем, описываемых стационарными и нестационарными временными рядами. Разработана методология обнаружения изменений свойств систем в режиме получения текущих наблюдений, включающая совместный анализ изменений в компонентах процесса и в связях между компонентами и основанная на проверке согласованности изменений в компонентах и связях. Разработанная методология применена для решения ряда практических задач, ее эффективность подтверждается результатами

моделирования и анализа реальных рядов наблюдений. Проведен теоретический анализ свойств гиперболического распределения и выполнено экспериментальное исследование динамики изменения цен акций на фондовом рынке; показано, что гиперболическое распределение лучше описывает финансовые индексы, чем нормальное. Разработаны методы текущего обнаружения изменений свойств процессов, описываемых гиперболическим распределением в условиях полной и неполной информации о параметрах распределения после изменения свойств.

Разработаны методы текущего обнаружения изменений свойств процессов для семейства экспоненциальных распределений в условиях неполной информации о параметрах процесса после их изменения. Разработаны методы обнаружения изменений свойств коэффициента корреляции для стационарных процессов. Решена задача совместного обнаружения и оценивания параметров многомерного сигнала, возникающего на фоне помех.

Разработаны методы текущего обнаружения изменений типа процесса от разностно - стационарного к стационарному относительно детерминированного тренда, и наоборот.

Исследовано влияние изменений в нестационарных процессах на коинтеграционные связи между ними. Разработаны методы текущего обнаружения изменений свойств нестационарных процессов: параметров моделей процессов компонент процессов и коинтеграционных связей между ними.

Разработанные алгоритмы и программы использованы для решения ряда прикладных задач анализа и прогноза развития процессов в социальных и экономических системах в режиме получения текущих наблюдений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Е.А. Гребенюк, Мониторинг нестационарных процессов: анализ и исследование изменения свойств стационарности //Проблемы управления^ 2004, стр. 15-20.

2. Е.А. Гребенюк, Управление развитием предприятий -участников фондового рынка с учетом прогноза его поведения// Датчики и системы, 7, 2004, стр. 47-51.

3. Гребенюк Е. А., Обнаружение изменений свойств нестационарных случайных процессов // Автоматика и телемеханика, 2003, 12, стр. 44-59.

4. Е.А. Гребенюк, Анализ и оперативная диагностика систем, описываемых нестационарными случайными процессами //Проблемы управления, 2003,4, стр 23-29.

5. Гребенюк. Е. А., Оценивание параметров и момента вступления сигнала на фоне цветных шумов // Автоматика и телемеханика, 6,2003, стр 65-76.

6. Алексейчук А. Е. Б Гребенюк Е. А., Ицкович Э. Л. Современные интегрированные АСУП: их выбор для конкретных предприятий// Промышленные АСУ и контроллеры, 2003, 6, стр 14-19.

7. Алексейчук А. Е., Гребенюк Е. А., Ицкович Э. Л., Автоматизация бизнес - процессов на предприятиях// Автоматизация в промышленности, 2003, 6, стр 10- 15.

8. Гребенюк Е. А., Методы последовательной проверки гипотез в задачах анализа случайных процессов при наличии в них структурных изменений // Автоматика и телемеханика, 2001, 12, стр 58-69.

9. Гребенюк Е.А., Кузнецов И.В., Применение методов последовательного анализа для прогнозирования резких скачков случайных временных рядов// Автоматика и телемеханика, 11, 1997, 11, стр 65-76.

10. Ицкович Э.Л., Гребенюк Е. А., Разработка автоматизированной системы экологической защиты региона от промышленных выбросов// Приборы и системы управления, 1994, 9, стр 9-15.

11. Е.А. Гребенюк, М.Г. Логунов, И.В. Никифоров, Системы управления испытаниями на широкополосную случайную вибрацию (ШСВ): два подхода к синтезу алгоритмов// Автоматика и телемеханика, 1995, 1, стр 7 - 28.

12. Е.А. Гребенюк, Об ошибке управления, возникающей при неконтролируемом изменении параметров объекта в оптимальной стохастической системе управления с ограничениями// Автоматика и телемеханика, 1986, 5. стр 118127.

13. Kuznetsov I., Grebenuk E., Muratov D. About forecasting of crisis events.// Труды международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики». Москва, 2004, стр 174-177.

14. Е.А. Гребенюк, Анализ и оперативная диагностика систем, описываемых нестационарными случайными процессами, применение разработанных алгоритмов для прогноза кризисных событий в Российской экономике, II Международная конференция по проблемам управления (17 июня - 19 июня 2003 года). Тезисы докладов.

15. Е.А. Гребенюк, Применение когнитивного подхода, использующего статистические алгоритмы обработки нестационарных процессов, для анализа и прогноза развития кризисных ситуаций в экономике// Труды Ш-ей Международной

конференции "Кошигивный анализ и управление развитием ситуаций", октябрь, 2003 г.

16. Е .А . Гребенюк , И . В . Кузнецов , Прогноз некоторых кризисов России по экономическим индексам, Труды Международной конференции "Параллельные вычисления и задачи управления " (РАСО'2001). Москва , 2-4 октября 2001 г . Институт проблем управления им . В .А .Трапезникова РАН . -М . Институт проблем управления им В .А .Трапезникова РАН , 2001.1522с. ISBN 5-201-09559-3.

17. Гребенюк ЕА., Тахтамышев М. Г., Мамиконова О. А., Применение методов факторного анализа для классификации и сравнительной оценки финансового состояния предприятий, Сб. научных трудов, МИФИ - 2001, т. 6.

18. Гребенюк Е.А., Корноушенко Е.К., Максимов В.И. Когнитивно-рефлексивный анализ на фондовом рынке // Международный симпозиум "Рефлексивное управление" (Москва, 2000 г.): тез. докладов. М.: Институт психологии РАН, 2000. с. 83-85.

19. Е. А. Гребенюк, Методы статистической проверки гипотез в задачах анализа сложных динамических многокомпонентных объектов с неопределенной структурой / Труды Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления " (SICPR0*2000). Москва , 26-28 сентября 2000 г. Институт проблем управления им . В .А Трапезникова РАН. -М . Институт проблем управления им . В .А .Трапезникова РАН , 2000. 2543 с.958-967с. ISBN 5-201-09559-3.

20. Гребенюк Е. А. Системы управления трейдом : применение алгоритмов разладки временных рядов для обнаружения поворотных точек//Труды семинара "Информационно-аналитическая работа в коммерческом банке в современных условиях", Научно-технический центр ассоциации российских банков, март, 1999 г, стр. 103-113.

21. Гребенюк Е. А. Модели эволюции финансовых индексов: выделение предвестников кризисных ситуаций и прогноз// Труды семинара "Информационно-аналитическая работа в коммерческом банке в современных условиях", Научно-технический центр ассоциации российских банков, март, 1999 г., стр. 114-125.

22. Гребенюк Е. А. Обнаружение разладки временных рядов в модели эволюции финансовых индексов// Тезисы докладов Международной конференции по проблемам управления, Москва, 1999,т.3,стр.357-359..

23. Гребенюк Е. А. Модели эволюции финансовых индексов: использование алгоритмов обнаружения разладки временных рядов для прогноза// Избранные труды Международной конференции по проблемам управления, 29.06-2-.07, 1999, стр. 134-143..

24. Генкин АЛ., .Гребенюк ЕА, Григорян А.К., Мандель А.С., Токмакова А.Б. Программный комплекс «ЭКСПРО» для решения задачи прогнозирования на базе метода аналогов и методов статистической обработки. Международная конференция по проблемам управления (29 июня - 2 июля 1999 года). Тезисы докладов в трех томах. Том 2. М.: Фонд «Проблемы управления», 1999, стр.274-275.

25. Максимов В. И., Гребенюк Е. А., Корноушенко Е. И., Фундаментальный анализ: интеграция двух подходов// Банковские технологии, 9,1999,34-37.

26. Гребенюк Е. А. Эффективные стратегии инвестора на фондовом рынке: игра в период торговой сессии/ЛГруды семинара "Информационно-аналитическая работа в коммерческом банке в современных условиях", Научно-технический центр ассоциации российских банков, март,. 1998 г., стр. 64-75.

27. Е.А. Гребенюк, Автоматизированный синтез алгоритмов управления процессами непрерывного и периодического типа // Тезисы докладов Всесоюзной конференции по автоматизации проектирования систем планирования и управления, 1987, 26-28 октября, 131.

28. Гребенюк Е.А., Лубенцов В.Ф., Автоматизированное проектирование алгоритмов управления технологическими процессами с применением АРМ. Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Микропроцессорные комплексы для управления технологическими процессами", Грозный, 1987, стр 33.

29. Гребенюк Е.А. Адаптивный алгоритм выбора программ обработки данных при случайном потоке заявок. Тезисы

Всесоюзного семинара по методам синтеза типовых модульных систем обработки данных. М., 1981, стр 11-12, ИПУ.

Зак. 70. Тираж 100 ИПУ

- 1 61 70

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗА МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ СЛУЧАЙНЫМИ ВРЕМЕННЫМИ

РЯДАМИ ПРИ НАЛИЧИИ В НИХ ИЗМЕНЕНИЙ СВОЙСТВ.

1.1. ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ В СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

1.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ ИНТЕРВАЛОВ В ПРОЦЕССЕ И ОЦЕНИВАНИЕ ГРАНИЦ ИНТЕРВАЛА.

1.3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТИПА ПРОЦЕССА: СТАЦИОНАРНЫЙ, ТРЕНД - СТАЦИОНАРНЫЙ, ИНТЕГРИРОВАННЫЙ ПОРЯДКА D.

1.4. КОИНТЕГРАЦИОННЫЕ СВЯЗИ В ПРОЦЕССАХ ПРИ НАЛИЧИИ В НИХ СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ

1.5. МЕТОДЫ ТЕКУЩЕГО ОБНАРУЖЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ПРОЦЕССОВ.

1.6. ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ.

2.1. АЛГОРИТМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДО И ПОСЛЕ ИХ ИЗМЕНЕНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ В СООТВЕТСТВИИ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ.

2.2. АЛГОРИТМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСЛЕ ИХ ИЗМЕНЕНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ.

2.3. АЛГОРИТМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСЛЕ ИХ ИЗМЕНЕНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМУ ЗАКОНУ.

2.4. АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ И ОЦЕНИВАНИЯ МОМЕНТА ЭТОГО ИЗМЕНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА ПОСЛЕ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ.

2.5. АЛГОРИТМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ ДВУХ ПРОЦЕССОВ.

2.6. ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ.

3.1 МОДЕЛИ СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ СВОЙСТВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ЭТИХ ИЗМЕНЕНИЙ.

3.2 АЛГОРИТМ ОПЕРАТИВНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЙ ТИПА

ПРОЦЕССА

3. 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССАХ НА КОИНТЕГРАЦИОННЫЕ СВЯЗИ И АЛГОРИТМЫ ОПЕРАТИВНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ КОИНТЕГРАЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ.

3.4 РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ АЛГОРИТМОВ.

3.5 ВЫВОДЫ.

Актуальность работы. В работе рассматриваются методы анализа систем, описываемых последовательностями полученных во времени наблюдений, называемых временными рядами. За последние два десятка лет область приложения этих методов претерпела значительные изменения. Наряду с традиционными областями приложения, такими как техника, геофизика, геология, сейсмология, медицина в последнее время объектами исследования все чаще становятся процессы и явления, протекающие в экономике и обществе. Эти процессы в большинстве своем - нестационарные, имеют малое количество наблюдений, характеризуются наличием ряда циклов или этапов развития, на каждом из которых достаточно сильно изменяются закономерности их поведения.

Необходимым предварительным этапом решения задачи прогнозг. поведения систем, описываемых случайными многокомпонентными процессами, является анализ структуры процесса. Проведение анализа и прогноза предполагает наличие адекватной модели процесса. В системах, описываемых временными рядами, модель можно получить путем обработки результатов наблюдений за поведением системы. Большое число известных процессов хорошо описывается параметрическими моделями. Методология построения параметрических моделей в случае отсутствия изменений в интервале наблюдения достаточно хорошо проработана, как для стационарных, так и для нестационарных временных рядов.

Проблемы возникают при построении моделей процесса в интервале, содержащем изменения его свойств. Наличие изменений процесса в интервале построения модели приводит к ошибкам модели и, как следствие, к неверным результатам анализа и прогноза. Поэтому в процессе построения модели очень важно выделять участки временного ряда, на которых эта модель неизменна.

В силу большого числа причин, влияющих на процесс, многие существенные изменения динамики его измеряемых количественных показателей замаскированы, скрыты большим количеством случайных факторов и проявятся только через некоторое время. Своевременное обнаружение изменений свойств процессов позволяет выявить скрытые нарушения, которые происходят в наблюдаемом объекте или явлении и предпринять необходимые действия.

Изменения могут возникать в произвольные неизвестные заранее моменты времени под влиянием факторов внешней среды и не приводить к необратимым изменениям в процессе, после окончания воздействия внешних факторов процесс возвращается в исходное состояние. Другой вид изменений, которые могут привести к непредсказуемым и даже катастрофическим последствиям, приводит к новой стадии развития процесса, и после окончания воздействия причин, послуживших источником этих изменений, процесс переходит в новое качественное состояние. Примерами изменений первого типа могут служить кратковременные "скачки" и "падения" цен акций, облигаций, фьючерсов на финансовых рынках. Среди изменений второго типа особо важную роль играют изменения, приводящие к катастрофическим последствиям. Например, экологические катастрофы, кризисы финансового рынка, инфаркты у больного ишемической болезнью. Анализ динамики отдельного ряда далеко не всегда дает возможность определить в оперативном режиме, какой вид изменений происходит: кратковременные отклонения или необратимые существенные изменения.

Одним из важных факторов, определяющих поведение процесса, является наличие статистических взаимосвязей между этим процессом и другими описывающими поведение связанных с ним объектов. Неизменность связей поддерживает устойчивость системы, нарушение связей может существенно изменить поведение процесса. Можно предположить, что чаще всего при сохранении долговременных связей, изменения, происходящие в процессе, принадлежат к первому типу, при нарушении - ко второму. Хотя точный ответ на этот вопрос может быть получен только при анализе содержательной постановки задачи, очевидно, что анализ динамики связей является важным элементом анализа поведения системы, описываемой временными рядами.

Если изменения произошли, после того как модель построена и не обнаружены, то при прогнозировании будущих значений процесса возникают ошибки. Поэтому после получения адекватной модели необходимо проверять, сохраняет ли она адекватность.

Проверка адекватности модели в режиме получения текущих наблюдений и своевременное выявление отклонений позволяет прогнозировать развитие системы и предотвращать возможные кризисные и неблагоприятные ситуации. Поэтому развитие методов апостериорного и оперативного анализа временных рядов при наличии в них различного типа изменений является актуальной задачей.

В работе представлены методы обнаружения и разработана методология анализа систем, описываемых случайными процессами при наличии в них различного вида изменений свойств, позволяющая для широкого спектра процессов: технологических, природных, процессов, происходящих в экономике и обществе, анализировать текущее состояние и предисторию, обнаруживать их изменения и прогнозировать будущие состояния.

Цель работы состоит в разработке методологии и алгоритмов текущего мониторинга систем, описываемых временными рядами с изменяющимися свойствами. Предлагаемая методология включает следующие элементы: выделение однородных интервалов в процессе, то есть интервалов, в которых модель процесса (с постоянными параметрами) можно считать адекватной процессу; анализ типа процесса (тренд - стационарный, разностно-стационарный) внутри однородных интервалов; построение моделей процесса внутри однородных интервалов, исследование связей между отдельными компонентами процесса и построение моделей этих связей, обнаружение отклонений от модели в режиме текущего наблюдения в процессах и связях между ними.

Объект исследования: Объектами исследования являются системы, описываемые стационарными и нестационарными временными рядами с изменениями свойств. К ним относятся, например:

- показатели социо -экономического развития региона, включающие данные о динамике изменения демографического состояния населения региона, заболеваемости, доходах, опросах общественного мнения, уровне преступности и пр. макроэкономические показатели, характеризующие развитие экономики: ВВП, золотовалютные резервы, индекс инфляции, уровень безработицы, индекс заработной платы, прожиточный минимум, объемы экспорта и импорта, обменный курс рубля к доллару;

- показатели фондового, валютного и банковского секторов экономики: индекс акций, обменные курсы валют по отношению к национальной валюте, цена кредитов на межбанковском рынке и пр.

Используемые методы: применяется аппарат теории вероятности, математической статистики и случайных процессов. В основу алгоритмов текущего обнаружения положены методы последовательного анализа Вальда, для анализа нестационарных процессов используются методы коинтеграционного анализа в сочетании с алгоритмами текущего и апостериорного наблюдения.

Научная новизна.

1. В диссертации предложена методология текущего анализа систем, описываемых случайными процессами, в которых возникают изменения свойств. Методология включает: процедуры определения типа процесса; рассматриваются процессы: стационарный относительно детерминированного тренда (включая стационарный в случае отсутствия тренда) и разностно-стационарный или интегрированный; процедуры обнаружения наличия в процессах структурных, изменений и выделения участков процесса, в которые его свойства можно считать неизменными; процедуры обнаружения изменений в процессах и связях между ними в режиме поступления наблюдений.

2. Для решения задач обнаружения изменения свойств предложен комплекс алгоритмов: текущего обнаружения изменений для процессов, распределенных по гиперболическому закону в условиях полной информации до и после изменения свойств; текущего обнаружения изменений для процессов, распределенных по гиперболическому закону при неизвестных параметрах до и после изменения свойств; текущего обнаружения изменений среднего для процессов, распределенных по нормальному закону при неизвестном среднем после изменения свойств; текущего обнаружения изменений дисперсии для наблюдений, распределенных по нормальному закону при неизвестной дисперсии после изменения свойств; текущего обнаружения изменений регрессионных связей для процессов, распределенных по нормальному закону; текущего обнаружения изменений многомерного сигнала на фоне помех; текущего обнаружения изменений типа процесса: от стационарного относительно детерминированного тренда TS - процесса к разностно -стационарному DS - процессу, и наоборот.

3. Разработанная методология и алгоритмы применены для решения задач: мониторинга за экологической обстановкой; анализа экономических индексов и прогноза кризисных ситуаций; мониторинга за состоянием здоровья населения; прогноза скачков ценных бумаг на фондовом рынке.

Практическая ценность работы заключается в предлагаемой методологии анализа и разработанных алгоритмах обработки результатов наблюдений за поведением сложных систем, позволяющих проанализировать текущее состояние системы, обнаружить предвестники кризисных ситуаций и обеспечить возможность своевременного принятия соответствующих решений.

Реализация и внедрение результатов работы.

Разработанные алгоритмы и программы применены при разработке системы мониторинга социо - экономической неустойчивости больших городов, экспертно - статистической прогнозной системы планирования объемов выпуска продукции, системы мониторинга макроэкономических показателей и индексов фондового рынка.

Достоверность полученных результатов подтверждается данными имитационного моделирования и использования разработанных алгоритмов для решения ряда практических задач.

Основные положения, выносимые на защиту диссертации.

1. Методология анализа временных рядов наблюдений в реальном времени, включающая, анализ предистории процесса (определение типа процесса: тренд — стационарный, разностно - стационарный; проверка и обнаружение изменений свойств, проверка наличия коинтеграционных или корреляционных связей между рядами), настройку алгоритмов текущего обнаружения, обнаружение изменений свойств процесса в режиме получения текущих наблюдений в реальном времени.

2. Методы текущего обнаружения изменений свойств стационарных временных рядов, в том числе: методы обнаружения изменений свойств временных рядов наблюдений для гиперболических законов распределения в условиях полной и неполной информации о параметрах распределения до и после изменения свойств;. методы обнаружения изменений свойств временных рядов наблюдений для нормального закона распределения в условиях неполной информации о параметрах распределения после изменения свойств;. методы обнаружения изменений свойств многомерных процессов; методы обнаружения изменений корреляционных связей между двумя процессами.

3. Методы обнаружения изменений свойств нестационарных временных рядов в условиях полной и неполной информации о параметрах распределения.

4. Методы обнаружения изменения типа процесса: от стационарного it разностно стационарному и наоборот;

5. Методы обнаружения изменений свойств взаимосвязей между нестационарными процессами.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на: Международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2004, Москва, июнь 2004 г.), 2-ой Международной конференции по проблемам управления (Москва, июнь 2003), 3-ей Международной конференции "Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций" (CASC'2003, Москва, октябрь 2003), Международной конференции по проблемам управления (Москва, 1999), Международном симпозиуме "Рефлексивное управление" (Москва, 2000 г.), Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления " (SICPRO'2000, Москва , 26-28 сентября 2000 г., ИЛУ РАН), Международной конференции "Параллельные вычисления и задачи управления", (Москва, 2-4 октября 2001 г. ИПУ РАН), Всесоюзной конференции по Экологическому мониторингу (Москва, август, 1998 г.), Всесоюзной конференции по автоматизации проектирования систем планирования и управления, (Москва, 1987, 26-28 октября), Всесоюзной научно-технической конференции "Микропроцессорные комплексы для управления технологическими процессами", (Грозный, сентябрь, 1987).

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 29 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения, которое включает акты о внедрении и о практическом использовании результатов и выводов диссертации.

Основные результаты работы:

- Предложен новый подход и разработана методология анализа процессов с изменяющимися свойствами в интервале анализа в режиме получения текущих наблюдений для систем, описываемых стационарными и нестационарными временными рядами.

- Разработана методология обнаружения изменений свойств систем в режиме получения текущих наблюдений, включающая совместный анализ изменений в компонентах процесса и в связях между компонентами и основанная на проверке согласованности изменений в компонентах и связях. Разработанная методология применена для решения ряда практических задач, ее эффективность подтверждается результатами моделирования и анализа реальных рядов наблюдений.

- Проведен теоретический анализ свойств гиперболического распределения и выполнено экспериментальное исследование динамики изменения цен акций на фондовом рынке; показано, что гиперболическое распределение лучше описывает финансовые индексы, чем нормальное.

- Разработаны методы текущего обнаружения изменений свойств процессов, описываемых гиперболическим распределением в условиях полной и неполной информации о параметрах распределения после изменения свойств.

- Разработаны методы текущего обнаружения изменений свойств процессов для семейства экспоненциальных распределений в условиях неполной информации о параметрах процесса после их изменения.

- Разработаны методы обнаружения изменений свойств коэффициента корреляции для стационарных процессов.

Решена задача совместного обнаружения и оценивания параметров многомерного сигнала, возникающего на фоне помех. Разработаны методы текущего обнаружения изменений типа процесса от разностно - стационарного к стационарному относительно детерминированного тренда, и наоборот.

Исследовано влияние изменений в нестационарных процессах на коинтеграционные связи между ними.

Разработаны методы текущего обнаружения изменений свойств нестационарных процессов: параметров моделей процессов компонент процессов и коинтеграционных связей между ними. Разработанные алгоритмы и программы использованы для решения ряда прикладных задач анализа и прогноза развития процессов в социальных и экономических системах в режиме получения текущих наблюдений.

Заключение

1. Granger, C.W.J., "Developments in the Study of Cointegrated Variables", Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 48, 1986, pp. 213-228.

2. Granger, C. W. J. and Newbold, P., Spurious regressions in econometrics// Journal of Econometrics, 1974, 2: 111-120.

3. Phillips, P.C.B. (1986). Understanding Spurious Regressions in Econometrics, Journal of Econometrics 33: 311-40.

4. W. Hardle, T. Kleinow G. Stahl, Applied Quantitative Finance, 2002, Springer-Verlag, 401 p

5. Боровков А.А. Математическая статистика. M.: Наука, 1984. 472 с.

6. Уилкс С. Математическая статистика М.: Наука, 1967. 632 с.

7. Hansen В.Е. Tests for parameter instability in with regression with 1(1) processes//Journal of business and economic statistics, 1992, 10, 321 —335.

8. Andrews, D.W.K. "Tests for Parameter Instability and Structural Change with Unknown Change Point"//Econometrica, 1993, 821-856.

9. Andrews, D. W. K. and Ploberger, W. (1994), "Optimal Tests When a Nuisance Parameter is Present Only Under the Alternative," Econometrica, 62, 1383-1414.

10. Chow G.C., "Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions"//Econometrica, 1960, 28, 59 1-605.

11. Chow G. C., A comparison of the information and posterior probability criteria for model selection. //Journal of Econometrics, 16:21-33, 1981.

12. Quandt, R.E. "Tests of the Hypothesis that a Linear Regression System Obeys Two Separate Regimes"// Journal of the American Statistical Association, 1960, 55, 324-330.

13. Davies, R.B. "Hypothesis Testing When a Nuisance Parameter is Present only Under the Alternative"// Biometrika, 1977, 64, 247-254.

14. Kim, H.-J. and D. Siegmund "The Likelihood Ratio Test for a Change-Point in Simple Linear Regression"// Biometrika, 1989, 76(3), 409-23.

15. Bai J. 1994, Least Squares Estimation of a Shift in Linear Proceses// Journal of Time Series AnaLysis, 15:5, 453-472

16. Bai, J.: "Estimating multiple breaks one at a time," //Econometric Theory, 1997,13,551- 563.

17. Lepski, O. One problem of adaptive estimation in gaussian white noise // Theory Probab. Appl, 1990, 35: 459-470.

18. Lepski, O. and Spokoiny, V. Optimal pointwise adaptive methods in nonparametric estimation//Annals of Statistics 1997, 25: 2512-2546.

19. Liptser, R. and Spokoiny, V. Deviation probability bound for martingales with applications to statistical estimation // Stat. & Prob. Letter, 1999, 46: 347-357.

20. Kuan, C.-M. and Hornik, K. (1995),"The Generalized Fluctuation Test: A Unifying View,"Econometric Reviews, 14, 135-161.

21. Brown, R.L., J. Durbin and J.M. Evans "Techniques for Testing the Constancy of Regression Relationships over Time with Comments"// Journal of the Royal Statistical Society, 1975, Series B, 37, 1499192.

22. Ploberger, W. and Kramer, W., "The CUSUM Test With OLS Residuals"// Econometrica, 1992, 60, 271 286

23. Chu, C.S.J., K. Hornik, C.M. Kuan , MOSUM tests for parameter constancy //Biometrika, 1995, 82, 603-617.

24. Ploberger, W., Kramer, W., and Kontrus, K. (1989), "A New Test for Structural Stability in the Linear Regression Model," Journal of Econometrics,i40,307-318.

25. Chu, C.S.J., K. Hornik, C.M. Kuan , The moving-estimates test for parameter stability, Econometric Theory, 1995, 11, 699-720.

26. Billingsley, P. (1968). Weak Convergence of Probability Measures, New York, Wiley.

27. Karatzas, I. and S.E. Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. New York, Springer Verlag.

28. Inclan, C. and G.C. Tiao (1994): "Use of Cumulative Sums of Squares for Retrospective Detection of Changes of Variance".// Journal of the American Statistical Association, 89: 913-923.

29. Kramer W, Ploberger W, Alt R (1988) Testing for structural change in dynamic regression models. Econometrica 56:1355±1369

30. Tran K.C., Testing for structural change in the dynamic adjustment model with autoregressive errors// Empirical economics, 1999, 24, 61-76.

31. Ширяев А. Вероятность, Наука, 1980

32. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов, Экономический журнал ВШЭ, 2002, №2, 251 273.

33. Chan К.Н, J.C.Hayya, J.K.Ord (1977) "A Note on Trend Removal Methods: The Case of polynomial versus vatiate differencing", Econometrica, 45, 737-744.

34. Nelson C.R., H. Kang (1981) "Spurious Periodicity in Inappropriately Detrended Time Series", Journal of Monetary Economics, 10, 139-162.

35. E. Slutsky (1927) "The Summation of Random Causes as the Source of Cyclical Processes", as reprinted in 1937, Econometrica, Vol. 4, p. 105-46.

36. Nelson, C.R. and H. Kang. " Pitfalls in the Use of Time as an Explanatory Variable in Regression," Journal of Business & Economic Statistics, Vol. 2 (1984): 73-81.

37. J.H. Stock, "Unit roots, structural breaks and trends", Handbook of econometrics, volume IV, 1994, pp2740-2841.

38. Mann H.B., A. Wald (1943) "On Stochastic Limit and Order Relationships", Annalsof Mathematical Statistics, 14, 217-277.

39. Hamilton, James D. (1994) Time Series Analysis, Princeton University Press, Prinseton.

40. Dickey D.A., W.A. Fuller, "Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root", Journal of the American Statistical Association, 1979, 74, 427-431.

41. Dickey, D.A., W.A. Fuller "Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series With a Unit Root", Econometrica, 1981, 49, 1057-1072.

42. Dolado H., T. Jenkinson, S. Sosvilla-Rivero (1990) "Cointegration and Unit Roots", Journal of Economic Surveys, 4, 243-273.

43. Patterson K. (2000) An Introduction to Applied Econometrics: A Time Series Approach. New York: St's Martin Press.

44. Phillips P.C.B., P. Perron (1987) "Testing for a Unit Root in Time Series Regression," Biometrika, 75, 335-346.

45. Newey W., K. West (1987) "A Simple Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix," Econometrica, 55, 703-708

46. Phillips P.C.B. (1987) "Time Series Regression with a Unit Root", Econometrica, 55, 277-301.

47. Fuller W.A. (1996) Introduction to Statistical Time Series, 2nd Ed, Wiley, New York

48. MacKinnon, J.G. "Critical Values for Cointegration Tests," . //Глава 13 в . Longrun Economic Relationships: Readings in Cointegration, edited by R.F.Engle and C.W.J. Granger, 1991, Oxford University Press.

49. J. G. MacKinnon, "Approximate asymptotic distribution functions for unit-root and cointegration tests,"//Journal of Business and Economic Statistics, 12, 1994, 167-176.

50. N. R. Ericsson and J. G. MacKinnon, "Distributions of error correction tests for cointegration,"// Econometrics Journal, 5, 2002, 185-318

51. Kwiatkowski D., P.C.B. Phillips, P. Schmidt, Y. Shin (1992) "Testing of the Null Hypothesis of Stationary against the Alternative of a Unit Root", Journal of Econometrics, 54, 159-178.

52. Elliott G., T.J. Rothenberg, J.H. Stock "Efficient Tests for an Autoregressive Unit Root"// Econometrica, 1996, 64, 813-836

53. Perron, P. The Great Crash, The Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis//Econometrica, 1989, 57, 1361-1401.

54. Perron, P. and T. Vogelsang. Nonstationarity and level shifts with an application to purchasing power parity// Journal of Business and Economic Statistics, 1992, 10:3,301-320.

55. Perron P. (1988) " Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Furter Evidence from a New Approach"// Jounal of Economic Dynamic and Control, 12, 297-332.

56. Perron P. "Testing for a Random Walk: A Simulation Experiment When the Sampling Interval Is Varied"// Advances in Econometrics and Modelling (edv. B.Ray), 1989, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht and Boston.

57. Zivot E., Andrews D.W.K. "Further Evidence on the Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis"// Journal of Business and Economic Statistics, 1992, 10, 251-270.

58. Perron, Pierre. Further Evidence on Breaking Trend Functions in Macroeconomic Variables // Journal of Econometrics, 1997, 80, 355-385.

59. Nelson C.R., C.I. Plosser /'Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series"// Jornal of Monetary Economics, 1982, 10, 139-162.

60. Granger C.W.J. Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric Model Specification//Journal of Econometrics. 1981. Vol. 16. 1. p. 121-130.

61. Granger C.W.J., UCSD Discussion Paper, 1983, 83-13a.

62. Engle R.F., C.W.J. Granger, "Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing"// Econometrica, 1987, 55, 251-276.

63. Johansen S., "Statistical Analysis of Cointegration Vectors"// Journal of Economic Dynamics and Control, 1988, 12, 231-254.

64. Johansen S. "Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models" // Econometrica, 1991, 59, 15511580.

65. Phillips,Peter C.B.(1991).Optimal inference in cointegrated systems // Econometrica, 1991, 59 283 -306.

66. Phillips,Peter C.B.,&Sam Ouliaris (1988).Testing for cointegration using principal components methods //Journal of Economic Dynamics and Control, 1988, 12 205-230.

67. Phillips,Peter C.B.,&Sam Ouliaris Asymptotic properties of residual based tests for cointegration//Econometrica, 1990, 58 165-193.

68. Phillips,Peter C.B.,&Steven N.Durlauf Multiple time series regression with integrated processes // Review of Economic Studies. 1986, 53 473 -495.

69. Sims, C. A., 'Macroeconomics and Reality'// Econometrica, 1980, 48, pp. 1-48.

70. Lutkepohl, Helmut. Introduction to Multiple Time Series Analysis, 1993, second edition. Berlin: Springer-Verlag.

71. Gregory A.W., Hansen B.E. Residual-based tests for cointegration in models with regime shifts// Journal of econometrics, 1996, 70, 99 126.

72. Shiryayev, A. N. Optimal Stopping Rules, 1978, Springer, New York.

73. A. Wald. Sequential Analysis. John Wiley and Sons, New York, 1947.

74. Page E.S. Continuous insrection schemes // Biometrika, 1954, vol.41, pp.100-115.

75. Lorden, G. Procedures for reacting to a change in distribution // Ann. Math. Stat., 1971, 42, 1897-1908.

76. Moustakides, G. V. Optimal stopping times for detecting changes in distributions//Ann. Statist., 1986, 14, 1379-1387.

77. Ritov, Y., Decision theoretic optimality of the CUSUM procedure // Ann. Satist, 1990, 18, 1464-1469.

78. Никифоров И.В. Об оптимальности первого порядка алгоритма обнаружения разладки в векторном случае // Автоматика и телемеханика, 1994, 1, С. 87-104.

79. Никифоров И.В. Модификация и исследование процедуры кумулятивных сумм // Автоматика и телемеханика, 1980, 8, С. 74-80.

80. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов:. М.: Наука, 1983.

81. Nikiforov I.V. Sequential optimal detection and isolation of faults in systems with random disturbances in Proceedings of American Control Conference, June 29-July 1994, Vol2, 1853-1857

82. Гребенюк E. А., Методы последовательной проверки гипотез в задачах анализа случайных процессов при наличии в них структурных изменений // Автоматика и телемеханика, 2001, 12, стр 58-69.

83. Гребенюк Е. А. Обнаружение разладки временных рядов в модели эволюции финансовых индексов// Тезисы докладов Международной конференции по проблемам управления, Москва, 1999,т.З, стр.357-359.

84. Гребенюк Е. А. Модели эволюции финансовых индексов: использование алгоритмов обнаружения разладки временных рядов для прогноза// Избранные труды Международной конференции по проблемам управления, 29.06-2-.07, 1999, стр. 134- 143.

85. Basseville М., Nikiforov I.V. Detection of abrupt changes theory and application: New Jersey: Prentice Hall in Information and System Sciences, 1993.

86. C.-S. J. Chu, M. Stinchcombe, and H. White. Monitoring structural change. Econometrica, 64 (5): 1045-1065, 1996.

87. F. Leisch, K. Hornik, and C.-M. Kuan. Monitoring structural changes with the generalized uctuation test. Econometric Theory, 16:835- 854, 2000.

88. Barndorff-Nielsen O.E. Hiperbolic distributions and distributions on hyperbolae. Scand,. J. Statist.,. 1978, v5, p. 151-157.

89. Eberlein E., Keller U., Hyperbolic Distributions in Finance. Preprint. Freiburg: Universitat Freiburg, October, 1994.

90. Eberlein, E. and K. Prause The generalized hyperbolic model: financial derivatives and risk measures. In Mathematical Finance Bachelier Congress 2000, 2002, pp. 245-267.

91. Eberlein, E. and E. A. v. Hammerstein Generalized hyperbolic and inverse Gaussian distributions: Limiting cases and approximation of processes//2002, Preprint University of Freiburg.

92. Eberlein, E. and S. Raible (1999). Term structure models driven by general L'evy processes. Mathematical Finance 9, 31 53.

93. Barndorff-Nielsen O.E. Exponentially decreasing distributions for the logarithm particle size. Proc. Roy. Soc. London, 1977, vA353, p.401-419.

94. D. Siegmund. Sequential Analysis. Tests and Confidence Intervals. Springer-Verlag, New York, 1985

95. Гребенюк E. А., Обнаружение изменений свойств нестационарных случайных процессов// Автоматика и телемеханика, 2003, 12, стр 25-41.

96. Е.А. Гребенюк, Анализ и оперативная диагностика систем, описываемых нестационарными случайными процессами/ЛПроблемы управления, 2003, 4, стр 23-29.

97. Ширяев А.Н. Модели эволюции финансовых индексов// Обозрениеприкладной и промышленной математики, 1995, 2., N4, 526555.

98. Гребенюк. Е. А., Оценивание параметров и момента вступления сигнала на фоне цветных шумов // Автоматика и телемеханика, 6, 2003, стр 65-76.

99. Мэйндоналд Дж. Вычислительные алгоритмы в прикладной статистике. Перев. с английского. Серия: Математико-статистические методы за рубежом. М. Финансы и статистика 1988г. 350 с (Холецкий)

100. Архаров П.В. О предельных теоремах для характеристических корней выборочных ковариационных матриц при больших размерностях. Сборник "Статистические методы классификации", вып.З, МГУ, 1972.

101. Page Е. S. Continuous inspection schemes, // Biometrika 1954. V.41., 2, pp. 248-252.

102. P. 100-115.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.

103. Ф.Олвер. Асимптотика и специальные функции, М., Наука, 1990.

104. Н.Н.Лебедев. Специальные функции и их приложения. Физматгиз, Москва, Ленинград, 1963

105. Bevington, P. R. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. New York: McGraw-Hill, 1969.

106. Е.А. Гребенюк, Мониторинг нестационарных процессов: анализ и исследование изменения свойств стационарности //Проблемы управления^, 2004, стр 15-20.

107. Бокс Дж, Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление, 1974

108. Watson М. W. Vector Avtoregression and Cointegration // Handbook of Economet-rics. 1994. Vol. 4. Amsterdam: North-Holland, p. 2844-2915.

109. Engle R.F., C.W.J. Granger (1991) "Cointegrated Economic Time Series: An Overview with New Results", in R.F. Engle and C.W.J. Granger ,, (eds.), Long-Run EconomicRelationships, Readings in Cointegration, Oxford University Press, 237-266.

110. Hatanaka M. (1996) Time Series-Based Econometrics: Unit Roots and Cointegration, Oxford University Press.

111. Maddala G.S., In-Moo Kim «Unit Roots, Cointegration, and Structural Change», .1998, Cambridge University Press, Cambridge.

112. Said E., D.A. Dickey (1984) "Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving Average Models of Unknown Order," Biometrika, 71, 599-607.

113. Diebold F.X. Nerlov M. Unit roots in economic time series: a selective survey// Rhodes G.F. Fomby T.B. (edv.) Advances in econometrics, vol.8, Greenwich CT:GAI Press, 1990 3-69.

114. Shwert G.W., Effects of model specification on tests for unit roots in autoregressive moving average models with unknown order// Journal ofmonetary economics, 1987, vol. 20, p 73-105.

115. Носко. В.П. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов, Москва, 2002 г

116. Akaike "Information Theory and an Extension of the Maximum Likelihood Principle"// Petrov B.N. and Csaki F. (Eds), Proceedings, 2nd International Symposium on Information Theory, 1973267-281, Akademia Kiado, Budapest.

117. Schwarz G. "Estimating the Dimension of a Model"// The Annals of Statistics, 1978, 16, 461-464.

118. Hannan E J and Quinn В G. The determination of the order of an autoregression // Journal of the Royal Statistical Society B, 41(2): 190-195, 1979.

119. Sims C.A., J.H. Stock, M.W. Watson (1990) "Inference in Linear Time Series Models with Some Unit Roots", Econometrica 58, 113-144.

120. Godfrey, L.G. Misspecification Tests in Econometrics: The Lagrange Multiplier Principle and Other Approaches. Cambridge University Press, 1988.

121. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983, 199 с.

122. Goel A.L., Wu S.M. Determination of A.R.L. and a contour nomogram for cusum charts to control normal mean // Technometrics, 1971, v. 13, N.2, May, p.221-230.

123. Mandelbrot B.B., The variation of certain speculative prices. J. Business, 1963, v. 34, p. 394-419.

124. Fama E. F. The behavior of stock market prices. J. Business, 1965, v. 36, p. 420-429.

125. Золотарев B.M. Одномерные устойчивые распределения M. Наука, 1983

126. J L. F-S Simon Sosvilla-Rivero, Modelling the linkages between US and Latin American stock markets// DOCUMENTO DE TRABAJO 2002-14, June 2002 p 1-25.

127. Алексейчук А. Е. Б Гребенюк Е. А., Ицкович Э. Л. Современные интегрированные АСУП: их выбор для конкретных предприятий// Промышленные АСУ и контроллеры, 2003, 6, стр 14- 19.

128. Алексейчук А. Е., Гребенюк Е. А., Ицкович Э. Л., Автоматизация бизнес процессов на предприятиях// Автоматизация в промышленности, 2003, 6, стр 10- 15.

129. Гребенюк Е.А., Тахтамышев М. Г., Мамиконова О. А., Применение методов факторного анализа для классификации и сравнительной оценки финансового состояния предприятий, Сб. научных трудов, МИФИ -2001, т. 6.

130. Гребенюк Е.А., Кузнецов И.В., Применение методов последовательного анализа для прогнозирования резких скачков случайных временных рядов// Автоматика и телемеханика, 11, 1997, 11, стр 65-76.

131. Kuznetsov I., Grebenuk Е., Muratov D. About forecasting of crisis events.// Труды международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики». Москва, 2004, стр 174-177.

132. Илларионов А. Как был организован российский кризис, Вопросы экономики, 11,1998, 20 35.

133. J.W.Pratt, Statistical and mathematical aspects of pollution problems, Marcel le Dekker, New York, 1974.

134. F.C. and Tsokos, C.P., "Time series analysis of water pollution data", Biometrics, 27,4,1971, pp 1017-1034.

135. D.Hsy,J.S.Hunter, "Time series analysis and forecasting for air pollution concentrations with seasonal variations", Proceedings of enviromental modelling and simulation, april, 1976, Cincinnati,Ohio.

136. P.M. Berthouex, and W.G. Hunter, " A preliminary analysis of treatment plant monitoring programms", Journal of water pollution control federation, august 1975, 47, 8, pp 2143-2156.

137. Ицкович Э.Л., Гребенюк Б. А., Разработка автоматизированной системы экологической защиты региона от промышленных выбросов// Приборы и системы управления, 1994 , 9, стр 9-15.

138. Е.А. Гребенюк, Автоматизированный синтез алгоритмов управления процессами непрерывного и периодического типа // Тезисы докладов Всесоюзной конференции по автоматизации проектирования систем планирования и управления, 1987, 26-28 октября, 131.

139. A.M. Walker, Large-sample estimation of parameters for autoregressive processes with moving average residuals, Biometrika, 1962, 49, 1, 117-131.

140. M.Casini Schaerf, Estimation of the со variance and autoregressive structure of a stationary time series, 1964, Technical report, Stanford University, Calif.

141. Е.А. Гребенюк, М.Г. Логунов, И.В. Никифоров, Системы управления испытаниями на широкополосную случайную вибрацию (ШСВ): два подхода к синтезу алгоритмов// Автоматика и телемеханика, 1995, 1, стр 7-28.

142. Е.А. Гребенюк, Управление развитием предприятий участников фондового рынка с учетом прогноза его поведения// Датчики и системы, 7, 2004, стр. 47-51.

143. Гребенюк Е.А., Корноушенко Е.К., Максимов В.И. Когнитивно-рефлексивный анализ на фондовом рынке // Международный симпозиум "Рефлексивное управление" (Москва, 2000 г.): тез. докладов. М.: Институт психологии РАН, 2000. с. 83-85.

144. Максимов В. И., Гребенюк Е. А., Корноушенко Е. И., Фундаментальный анализ: интеграция двух подходов// Банковские технологии, 9, 1999, 34-37.

145. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды, "Наука", М., 1976.