автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка методов исследования нечетких отображений на примере систем продукционного типа и интегро-дифференциальных уравнений с нечеткими коэффициентами

На правах рукописи

ТЕРНОВЫХ Ирина Ивановна

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ НА ПРИМЕРЕ СИСТЕМ ПРОДУКЦИОННОГО ТИПА И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕЧЕТКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2015

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет».

Научный руководитель Леденева Татьяна Михайловна, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», заведующая кафедрой вычислительной математики и прикладных информационных технологий

Официальные оппоненты: Большаков Александр Афанасьевич - доктор

технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)», профессор кафедры систем автоматизированного проектирования и управления

Семенов Михаил Евгеньевич - доктор физико-математических наук, профессор, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», профессор кафедры теоретической гидрометеорологии

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет»

Защита состоится 2 марта 2015 года в 1100 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» и на сайте www.vorstu.ru.

Автореферат разослан 30 декабря 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Барабанов Владимир Федорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одним из базовых понятий нечеткого моделирования является понятие нечеткой системы (НС). Промышленные приложения НС ориентированы на решение задач управления, прогнозировании, диагностики. принятия решений в условиях неопределенности.

Пусть Х- множество значении входной переменной, Y - множество значений выходной переменной; 3V.3, - семейства нечетких подмножеств множеств X и Y соответственно. Под нечеткой системой в широком смысле подразумевается система, па вход которой в общем случае поступает некоторое нечеткое множество U е 3, , а на выходе по определенным правилам формируется нечеткое множество V е 3, . Нечеткой системой в ужом смысле или формальной нечеткой системой называется выражение вида

U-R = V, (1)

где о - операция композиции, R - нечеткое отображение, которое может иметь достаточно сложную структуру, обусловленную его интерпретацией.

Условно можно выделить два основных класса НС: системы, в которых зависимость вход-выход описывается еслк-/ио-правилами - это НС продукционного типа, и системы с нечеткой спецификацией параметров, являющиеся обобщениями некоторых классических моделей, в которых параметры задаются в виде нечетких чисел. Интерпретация отображения Л в (1) задает НС с определенным набором свойств и порождает совокупность проблем, характерных для этого класса. НС продукционного типа, по сути, представляет собой модель вычислений, имеет определенную структуру и называется нечеткой моделью1. Если-то-правила - это способ представления знаний экспертов. Качество этих знаний, формально задаваемых нечетким отношением Л в (1), оказывает существенное влияние на свойства нечетких моделей (точность, интерпретируемость и др.). Приближенный характер параметров непрерывных и дискретных НС, соответствующий необходимости учитывать неопределенность при решении прикладных задач и базирующийся на теории нечетких множеств, как инструменте для формализации неопределенности, порождает ряд проблем, влияющих на качество решении, и обусловливающий развитие качественных и приближенных аналитических методов для исследования соответствующих моделей. Различные свойства НС исследовались в работах многих зарубежных ученых (M. Sugeno, К. Tanaka, A. Piegat, N. Sheel, L.X. Wang, A. Kania и др) и отечественных ученых (A.A. Усков, В.В. Круглов, Н.О. Седова, A.B. Язенин и др). Следует заметить, что возрастающая интенсивность приложений НС обусловливает необходимость развития существующих подходов к исследованию их свойств, а также разработки алгоритмов проверки этих свойств.

Диссертационная работа выполнена в рамках одного из основных научных направлений Воронежского государственного университета «Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычнс-

' Ik'iar Д. Нечеткое MiuL.iiipuiuiiMi: и >iip.iH.ictutc M: M1IIUM. Лтшригория шашш. 2UI I. 7*>И с.

3

лительной н прикладной математики п их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках».

Цель работы и задами исследования. Цель диссертации заключается в развитии методов исследования свойств формальных нечетких систем с использованием прннцппа декомпозиции (на примере систем продукционного гнпа и интегро-дифференциальных уравнений с нечеткими коэффициентами).

Для достижения цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Анализ существующих подходов к исследованию свойств формальных НС. принадлежащих различным классам.

2. Исследование свойств НС продукционного типа, влияющих на качество аппроксимации.

3. Разработка подходов к исследованию устойчивости непрерывных динамических НС с применением технологии нечеткого моделирования.

4. Разработка программного комплекса п проведение вычислительных экспериментов.

Методы исследования. Теоретическую базу диссертационного исследования составляют теория нечеткого моделирования, включая теорию нечетких множеств и нечеткую логику, а также функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, классическая теория устойчивости. При разработке программного комплекса использовались современные методы и технологии программирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 3 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования для использования на предварительном этапе математического моделирования», п. 5 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», п. 6 «Комплексное исследование научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- комплекс алгоритмов для исследования свойства согласованности моделей вычислений в форме НС продукционного типа с различными видами правил, отличительной особенностью которого является поэтапная проверка условий, обеспечивающих вложенность множеств согласованности, что позволяет обосновать требования к качеству аппроксимации в рамках нечеткого моделирования;

- обобщенное понятие плотности нечеткого множества, учитывающее носитель и форму функции принадлежности и позволяющее обеспечить гибкость при построении моделей, использующих интегральные характеристики нечеткого множества;

- способ исследования дискретной динамической НС, отличающийся использованием приращения плотности степеней нечеткого отношения и позволяющий определить состояние системы в дискретные моменты времени на основе приближенной информации:

- аналитический метод решения ннтегро-дифференциального уравнения с нечеткими коэффициентами, отличающийся использованием принципа декомпозиции (основного принципа нечеткого моделирования) и позволяющий исследовать различные типы устойчивости решений на основе нечеткого аналога функции Ляпунова;

- структура программного комплекса для исследования НС продукционного типа, отличающаяся использованием архитектурного шаблона MVVM, на основе которого разработаны модель входных данных, модель выходных данных и модель представления, функциональное наполнение которой определяется алгоритмами предварительного анализа НС для обнаружения свойства хорошего отображения и выявления типа согласованности.

Практическая значимость и внедрение результатов работы. Прежде всего, проведенные исследования имеют большое значение для продукционных систем с различными видами правил, которые формируются с участием эксперта и отражают его опыт. Наличие свойства согласованности позволяет судить о качестве базы знаний, а, следовательно, обеспечивает эффективность функционирования экспертных систем, ядром которых являются НС продукционного типа. Способ исследования дискретных динамических НС, основанный на понятии плотности и представляющий собой альтернативу методам исследования устойчивости, отличается простотой реализации и может быть использован на этапе предварительного анализа результатов моделирования, полученных на основе приближенной информации.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» при чтении спецкурсов, выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях: Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2011); Всероссийская молодежная научная школа «Инженерия знаний. Представление знаний: состояние и перспективы» (Воронеж, 2012), Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2012-2013), Всероссийская научно-техническая конференция «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (Тула, 2013), VIII Международная научно-практическая конференция «Aktualni Vymo2enosti VSdy - 2012» (Прага, 2012), V Международная практическая конференция «European Science and Technology» (Мюнхен, 2013), ежегодные научные конференции Воронежского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат в fl] - алгоритм для выявления свойства хорошего отображения.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения. трех глав, заключения, списка использованных источников, включающего 101 наименование. Основная часть работы изложена на 141 странице и содержит 24 рисунка и 3 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы диссертационного исследования и соответствие паспорту специальности, определяются новнзна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе вводятся основные понятия нечеткого моделирования и типы НС. В НС продукционного типа зависимость «вход-выход» описывается с помощью следующих продукционных правил: простое правило R = (if Athen В) = (А—> В), (2)

составное правто R = ((// A, then B,)or ...or (if As then Я,)) =

= (/!,->ZJ,)v...vU->£,), (3)

альтернативное правило R = (if A then В else С) = (А -> В) v (-Л -> С), (4) где А е 3Л е 3(. (/' = В,Се 3, ,Bt е 3, (/ = 1,я); символы обозна-

чают логические операции отрицания, дизъюнкции и импликации.

В НС продукционного типа R - нечеткое отношение, которое формально представляет правило или совокупность (базу) правил; ° - операция композиции. Например, для простого правила (2) выражение (1) примет вид

U>{A^B) = V, (5)

где нечеткое множество V (как значение выходной переменной НС) определяется на основе алгоритма логического вывода.

Известно, что на вычислительном уровне НС продукционного типа можно рассматривать как гибкую математическую структуру, которая способна аппроксимировать сложные зависимости с высокой точностью. Этот факт обусловливает актуальность исследования таких свойств нечеткого отношения R, которые обеспечивают хорошее качество аппроксимации.

Также в данной главе анализируются подходы к исследованию устойчивости непрерывных НС, что представляет собой важнейшую научную и техническую проблему. Определены недостатки существующих подходов или незавершенность исследований. На этой основе определены цель и задачи исследования.

Вторая глава посвящена исследованию НС продукционного типа и дискретных НС. которые представляются па основе (1). НС продукционного типа -тго модель вычислений, основным компонентом которой является механизм

(алгоритм) логического вывода, который вычисляет значение выходной переменной для заданного значения входной переменной. Каждое ¿слн-шо-правнло определяет важную типовую особенность поведения НС, формируя совокупность опорных точек в пространстве X *.Y, геометрически образующих каркас, на который «натягивается» поверхность, соответствующая нечеткой модели. Если значение входной переменной в точности соответствует значению переменной, представленной в условии какого-то правила, то на выходе формируется значение, совпадающее со значением переменной в заключении этого правила. Иначе для заданного значения входной переменной U происходит одновременная активизация всех правил в базе правил, и, таким образом, в вычислении выходного значения V принимают участие все правила, а, следовательно. полученное значение может сильно отличаться от «правильного» значения, которое определяется правилом с максимальным значением истинности условия. Таким образом, во множестве Y можно выделить множество выходов F(K), которые обусловлены «правильной» реакцией НС. Множество ^(К) назовем множеством допустимых выходов.

НС вида (1), в котором R определяется правилами (2)-(4), назовем согласованной относительно Л, если для заданного значения входной переменной U значение выходной переменной V принадлежит допустимому множеству выходов F(Y)cz 3,. .

Возникает следующая задача: пусть для НС продукционного типа задано множество F(X)c3, , требуется во множестве входов 3Л. определить такое подмножество X, что для всякого t/eX с функцией принадлежности fiv{x) выход V с функцией принадлежности И\ {у) принадлежит F(Y).

Подмножество X с 3 Y назовем множеством согласованности.

Понятие согласованности связано с понятиями хорошего отображения, введенного A.A. Kania2. В диссертации рассмотрены необходимые и достаточные условия, которые обусловливают свойство хорошего отображения для различных типов правил.

Пусть R - простое правило, А е 3 v, В е 3, . НС (1) обладает свойством а -согласованности относительно некоторого семейства Xc3v и множества допустимых выходов F(Y) с Y, если для каждого входного нечеткого множества t/e3v выходное нечеткое множество V = UoR таково, что для всякого у &Y - F(Y) выполнено ;/,(>)< а.

Утверждение 1. HC (I) с простым правилом R обладает свойством а-пороговой согласованности по отношению к семейству ХсЗЛ., если (1) является а-согласованной относительно X и H/iur J//, н (> )} < max^ft, „ (j)}.

~ Küniü .A.A. ()n Suhilily ul Formal I lu/incss S>stcm Information Scicnces. -1480. №22,- P. 51-68

Утверждение 2. НС (1) обладает свойством а-Р-пороговой согласованности относительно семейства N тогда и только тогда, когла (1) обладает свойством а-Р-пороговой согласованности относительно семейства X п И1ЛГ „ (г) > Р >п.

Для нахождения множества согласованности - семейства X нечетких входов, обеспечивающих получение выходного значения во множестве /■"(К), разработаны следующие алгоритмы.

Алгоритм для определения а-согласованности ¡1С с простым правилом Я

1. Задать множество ^"(У) и я е(0,/].

2. Проверить: обладает ли отношение /? свойством хорошего отображения: если «нет», то НС не обладает свойством согласованности, иначе перейти к следующему шагу.

3. Если для каждого V, еК-/г(К) выполняется /(„(;,)<а, то Х=3Л., иначе положить

/(, (.г() < а, типе I

Алгоритм для определения различных типов согласованности НС с составным или альтернативным правилами Л

1. Задать /""(К) и а,р&(0,1\, р>а.

2. Если Л удовлетворяет свойству хорошего отображения, то продолжить, иначе НС не обладает свойством согласованности.

3. Проверить:

3.1) если для каждого р&{1.....и некоторых уеК-/7(К)

р„г(у)>0,то N„=0;

3.2) если для каждого _ууеК-/г(К) выполнено /<„ < а, то (1) «-согласованная и Х„ = 3Л.;

3.3) если существуют индексы /е{/,....л}, такие что для ^еК-/г(К) имеет место цп (у)>а и при этом тах{ц, (,г)}<я, то

(1) я-согласованная относительно множества

шах |//, (.г)| < а, где к - такие индексы, что существует V 6 К - ^(К).

(Ья которого ( г) > я: шах {/(, ( г)' > я <)1Я кчжОого итк'ксп I. такогочто&т нового

V е V - ) «ми»ишстси тах {/(„ (г)} > а.

X.. =

и-.

4. Проверить: если (I) а-согласованная для некоторых элементов с индексом р е (/......у} и выполнено неравенство

пик /<я (у) < шах /л„ (у),

то она обладает свойством а-пороговой согласованности, при этом соответствующее множество Ñ( определяется следующим образом:

тих '//, (д ) j < а Оля кчмсОого индекса к. такого. что

существует у е У — F(Y}, Оля которого ( у) > а; тих ¡//( (.v)j > а. Оля кижоого инОекса 1, такого что/1я ( у) á О

Оля любого у б Y - F(Y) и mea {//д (^)j > а.

U :

5. Проверить: если (1) обладает свойством а-пороговой согласованности относительно семейства N„ и выполнено условие war (.v)|>/?>a, то (1)

обладает свойством (ы-Р)-пороговой согласованности и соответствующее множество X определяется следующим образом:

(■{я, (х)} < а 01 я каждого индекса к, тикого, что

существует yeY - F(Y), Оля которого fiu (}') > a; max {/;, (л)} > а дли кижоого индекса 1, такого что (у ) < О

ом любого у е Y - F(Y)u max^Цц (j')j > /?.

К-, =

U :

тих {

16 Л

Таким образом, в диссертации разработаны алгоритмы, позволяющие определить для НС множество нечетких значений входов, обеспечивающих получение допустимых выходов. Значения входов, не принадлежащие найденным множествам, увеличивают погрешность аппроксимации. Если множество S является пустым, то это означает, что база правил построена неверно. Предложенные алгоритмы могут быть использованы для тестирования базы правил при разработке НС различного назначения.

Эффективность разработанных алгоритмов заключается в том, что в них предусмотрена поэтапная проверка условий, обеспечивающая вложенность определяемых множеств согласованности, что позволяет сократить время работы алгоритма при его программной реализации. Каждый этап направлен на выявление только одного типа согласованности, причем если согласованность данного типа не выявлена, то следующий этап не выполняется. Предложенные алгоритмы реализованы в программном комплексе «FuzzyS», который разработан в среде Microsoft Visual Studio 2013 Express на языке программирования Ctt с использованием архитектурного шаблона MVVM и передовой технологии связывания данных «Data Binding». В структуру программного комплекса в соответствии с шаблоном MVVM входят модель входных данных, модель выход-

ных данных и модель представления, преобразующая входные данные в выходные в соответствии с алгоритмами (рис. 1). Состав программных модулей и классов приведен в диссертационной работе.

К основным функциональным возможностям программного комплекса относятся следующие: построение матриц нечетких отношений с учетом типа продукционного правила и различного представления импликаций: предварительный анализ НС на свойство хорошего отображения; выявление типа согласованности для НС продукционного типа: построение множеств согласованности N для заданного множества ^(К). Разработанный программный комплекс использовался для проведения вычислительного эксперимента, в рамках которого исследовались различные типы продукционных правил для нескольких вариантов задания отношения Л в алгоритме логического вывода.

Во второй главе также рассматриваются динамические дискретные НС. основанные на модели (I) и имеющие вид

Хк..1 = Хк Л. (6)

где ^ = [0}иК[, Хк.Хкч - нечеткие состояния, характеризующиеся функциями принадлежности : X —>["./] соответственно: ° - операция компози-

ции, Л - нечеткое отношение с функцией принадлежности /лн : .V"' ко-

торое определяет переход из состояния .V, в состояние Хк_, и в частном случае может формироваться на основе экспертных знании в виде еслн-то-правил, т.е. НС (6) может быть реализована как НС продукционного типа. Поскольку операция ° ассоциативна, то (6) примет вид

(7)

где Як - степень нечеткого отношения, вычисленная на основе макснминной композиции,

В диссертации предложен подход для исследования состояний НС (6) на основе понятия плотности нечеткого множества, под которой в дискретном случае подразумевается число

"(*)

/>( Л) =!>,//,(.V,), (8)

1=1

где А - некоторое нечеткое множество с конечным или счетным носителем. В диссертации предложено обобщение формулы (8) в виде

= (9)

II

где ^'(.т ) = - вес .г, е Л\ так что = /: функция / . [О./] ->[0./]

I I

отражает вес каждого значения //, (г,).

И)

Ввод исходной информации

Рисунок I - Преобразование данных в модели представления. построенной с помощью архитектурного шаблона МУУМ

I I

Различные варианты задания функций / и IV, приведенные в диссертации. позволяют получить интегральные характеристики, которые учитывают особенности функции принадлежности и носителя. Например, если необходимо в большей степени учитывать те точки носителя, которые расположены близко к точке максимума функции принадлежности, то им следует назначить большие веса. В диссертации выявлены свойства плотности р(А) (монотонность, аддитивность), получены оценки для плотности объединения и пересечения множеств, а также формула для плотности а -среза. Понятие плотности имеет место и для нечеткого отношения.

Вычисляя плотность для левой и правой частей выражения (7)

p(Xt) = p(XB*Rk), (10)

получим ее приращение при переходе из состояния Хк_, в Хк

£ip(R,k) = p{Xk)-p{Xk_l) = p(Xn^Rk)-p(Xll^Rk-1). Показано, что приращение плотности не зависит от Х0 и

= (11) В диссертации предложен способ для анализа состояний дискретной НС на основе приращения плотности &.p(R,k):

1 ) НС (7) устойчива, если для любого к е N выполняется условие ù.p(R,k)<0;

2) если существует такое К, что при к > К ù>p(R,k + /) = 0, то система (7) устойчива и X' = ХК - состояние равновесия;

3) если существует К, такое что при к> К выполняются равенства R2m _ д.ч-1 и _ R.'k-I то система (g) периодическая;

4) если найдется такой индекс к, что выполнено дp(R,k)>0, то НС (7) неустойчива.

Таким образом, предложенный подход к анализу состояний дискретной динамической НС за счет использования понятия плотности отличается простотой реализации и может применяться для исследования систем, модель которых строится на основе приближенной информации или опыта эксперта.

Третья глава посвящена исследованию непрерывных динамических НС, в основу которого положены работы M. de Glas3 по устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с нечеткими коэффициентами. В диссертационной работе данный подход обобщен на случай обыкновенных дифференциальных уравнений с нечеткими коэффициентами, а затем адаптирован для исследования устойчивости по Ляпунову непрерывной НС, в которой отображение «вход-выход» задается интегро-дифференциальным уравнением с нечеткими коэффициентами.

'(¡la» M. I hcur> ol'l'uz7> syMcms M. de Glas ■ Fuzzy Sels ami S) sien». - ГШ. № 10. • P. 65-77.

Пусть X - множество состояний системы. Рх, 3 v - семейство четких и нечетких подмножеств множества X соответственно. Динамическое поведение непрерывной НС определяется уравнением вида

x'(l) = x(t)^R, (12)

где х (i)ej( - нечеткое состояние системы в момент времени I. R - нечеткое отношение на множестве X с функцией принадлежности ¿1я(х,у). определяющее переход в следующее состояние.

К системе (12) применим принцип декомпозиции. Пусть ere(0,1]. Rn- а-срез отношения R. Для каждого и е X множество образов обозначим Ra (и) = {ire X : (//,"') е R„}. В предположении, что данное множество компактное и Ra удовлетворяет условию Липшица НС (12) для каждого a s (0,1] в аналогичном модели (1) виде

*«(') = *Д*Д')). (13)

где xa(t) - а-срез нечеткого множества дг(/).

Пусть дг" — начальное состояние системы, тогда для каждого а существует отображение fa'-PY -> PY, такое что (13) переписывается в виде

/.(*:.')=*«(')■ (|4>

Обобщая для всех а выражение (14) и положив /(*°i') = U/„(-*v),/),

а

.т(/) = и*а (0' получим эволюционное уравнение системы (13)

а

f{x\t) = x{t). (15)

Для построения области устойчивости непрерывной НС вида (13) с коэффициентами в форме нечетких чисел предложен метод, идея которого заключается в следующем. Для заданной НС строится а-срез (14), что приводит к тому, что коэффициенты становятся интервальными; далее находится область устойчивости для обычных систем с коэффициентами, которые соответствуют границам, а затем конструируется область устойчивости для НС (13).

В диссертации приводятся понятия, характеризующие асимптотическое поведение НС (предельное множество, а-предельное множество, а-оболочка, точка равновесия).

Пусть V:X—> К непрерывная функция в пространстве X, тогда производная по траектории DV{u) для каждого а е (0,!] и и е А' определяется следующим образом:

(") = lim -Л±и±—И-(|6)

Подмножество McJ является а-устойчивым для НС (14), если для любого £ > 0 существует такое 5 = 5(£), что для любого и е В(Мл5) имеет место

/,(«,i)cfi(W,£) (17)

для любого / (здесь B(M.ô) = {.y е X :р(х,М)< ¿}, р - метрика в .V).

Для данного определения устойчивости непрерывной НС доказано следующее утверждение 3: Пусть M с X. Если существует такая полунепрерывная снизу функция К. Л/—>]R, для которой выполняются условия: а) V - положительно определённая в Л/, b) FeNcA/, с) sup DnV(u) <0 для всех ueN,

тогда множество M является а-устойчивым.

Аналогичное утверждение имеет место для асимптотической а-устойчивости.

В качестве примера в данной главе рассматривается интегро-дифференциальное уравнение с нечеткими коэффициентами вида

*(/) = £,*(/) + £, о Jè(s).v(i)a!i + £-j, (18)

о

где £n£2,£j,a - нечёткие числа, b(t) - кусочно-непрерывная функция.

Нечеткое треугольное число А = (а,1,г) с модальным значением а, левым / и правым г коэффициентами нечеткости представимо в виде совокупности а-срезов {(«.А)}„е((и]. где Аа =[а-/(1-а),а + г(1-а)].

При заданном ае(0,7] коэффициенты в (18) представляют собой а-срезы соответствующих нечетких чисел, т.е. имеют интервальное представление, так что на границах нужно решать интегро-дифференциальные уравнения вида ( 18), но уже с обычными коэффициентами.

В диссертации рассматривается более общая по отношению к ( 18) задача

'о

*('о) = *о>

где K(i,s) = a(t)b(s) - непрерывная функция на ['0>'i]x['o>'i]; ,

с,(/),е3(/) -кусочно-непрерывныефункции на [/„,/,]; *:[/„,/,]-»!]£.

Для задачи (19) получено решение, а на его основе и решение четкого варианта (18) с начальным условием x(t0) = x0 вида

x(t)= х0 ec,tA + х0В + Ce*2' +D, (20)

где A,B,C,D - константы, определение которых дано в диссертации.

Рассмотрим пример. Пусть в (18) нечеткие числа £t,£2,£},a задаются треугольными функциями принадлежности, а-срезы которых имеют вид

(*,)я=(*з)и=0,005[-3 + а,-1-ог], (е2)а =0,005[1 +а,3-а], (21)

(«)м =(с)„ =0,5[1+ог,3-а], (б(/))ц =[е"МаV'5" ■'■"']. (22)

Для уравнения (18) а -срез (14) имеет вид

хпе

■^а ' л0На -(о+ 1)0,005/

л 5 , Я -(«+1)0.005/ р:

соответствующий а-срез решения [д^ (г).х0 (/)] определен через «-срезы коэффициентов (21 )-(22), а нечеткое решение имеет вид х

С использованием алгоритма, предложенного в диссертации, исследуется устойчивость данного решения. Предложен нечеткий аналог функции Ляпунова

= где р - функция расстояния. [л^.А^ - промежуток, со-

держащий носитель, а следовательно, и а-срез IV,1 при любом а е[0,/]. Показано. что функция У (и) удовлетворяет утверждению 3, а любое множество, содержащееся в носителе [0,6626; 5,9637], является а-устойчивым. На рис. 2 изображена а-оболочка, содержащая все решения (18).

Рисунок 2 - Графическое представление оболочки решений

На рис. 3 представлены множества решений (18) для а = 0 и а = 0,95 соответственно. С увеличением а нечеткие решения оказываются вложенными и представляют собой устойчивые множества. При а = 0,95 множество решений /а(и,1) а-устойчиво и асимптотически а-устойчиво, кроме того, имеется а -точка равновесия

и, е

.2 101(1+«) , .2 101(3-«)

0.0025(1 + я) +—---¿.0.0025(3-«)" +—*--

1 ' 51 3-я * ' 51 1 + «

а) б)

Рисунок 3 - Множество решений интегро-днфференциального уравнения с коэффициентами в форме нечетких треугольных чисел при « = 0 (а) и а = 0.95(5)

Таким образом, принцип декомпозиции позволяет непрерывную НС в виде ннтегро-дифференциального уравнения с нечеткими коэффициентами представить в виде совокупности уравнений, коэффициенты которых являются а-срезами соответствующих нечетких коэффициентов, а это делает возможным использование классических методов анализа устойчивости решений на границах а-срезов. Рассмотренные примеры продемонстрировали соответствие теоретическим положениям диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследованы существующие подходы к анализу свойств дискретных и непрерывных НС, определены их недостатки или незавершенность исследований, что позволило сформулировать цель и задачи исследования.

2. Предложен подход к исследованию НС продукционного типа и на этой основе разработан комплекс алгоритмов, позволяющих поэтапно определять различные типы согласованности заданной НС, которые могут быть использованы для оценки качества и адекватности базы знаний экспертных систем, построенных на базе НС продукционного типа.

3. С использованием современных технологий программирования разработан программный комплекс для анализа НС продукционного типа, отличительной особенностью которого является возможность актуализации того функционала, который определяются моделью данных.

4. В рамках проведенного вычислительного эксперимента установлено соответствие полученных и теоретических результатов исследования НС продукционного типа, а также показана вложенность множеств согласованности по степеням а.

5. Введено обобщенное понятие плотности нечеткого множества и разработан способ для определения состояния динамической дискретной НС (устой-

чивость. неустойчивость, периодичность), который отличается простотой реализации и может быть использован на этапе предварительного анализа моделей систем управления.

6. Разработан алгоритм определения устойчивости решений обыкновенного дифференциального уравнения с нечеткими коэффициентами, который был адаптирован для исследования устойчивости НС. заданной интегро-дифференциальным уравнением с нечеткими коэффициентами. Разработан метод для нахождения решения этого уравнения, найден нечеткий аналог функции Ляпунова.

Публикации по теме диссертации:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Терновых, И.И. Об устойчивости одной нечеткой системы [Текст] / И.И. Терновых, Т.М. Леденева // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9,- №4. - С. 103-107.

2. Терновых, И.И. Об устойчивости непрерывных нечетких систем [Текст] / И.И. Терновых // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер. Математика, Физика. - 2013. - №26 (169). - Вып. 33. — С. 43-50.

3. Терновых, И.И. Об устойчивости непрерывных нечетких систем [Текст] / И.И. Терновых // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. - 2013. - №2. - С. 48-52.

Статьи и материалы конференций

4. Бозюкова (Терновых), И. И. Исследование уравнения развития производственного предприятия [Текст] / И. И. Бозюкова // Черноземный альманах научных исследований. Сер. Прикладная информатика и математика. — 2007. -№2(6). - С. 32-39.

5. Терновых, И.И. Исследование устойчивости решений нечеткой динамической системы методом функций Ляпунова [Текст] / И.И. Терновых // Труды молодых ученых. - Воронеж: ИПЦ ВГУ , 2011. - Вып. 1-2,- С. 14-17.

6. Терновых, И.И. Свойство хорошего отображения : [Электронный ресурс] / И.И. Терновых // Междунар. науч.-исслед. журн. - Режим доступа: http://research-joumal.org/featured/economics/svojstvo-xoroshego-otobrazheniya (дата обращения: 13.03.2012).

7. Терновых, И.И. Устойчивость решений нечеткой динамической системы. Плотность нечеткого множества и устойчивость [Электронный ресурс] / И.И. Терновых // Materiály VIII mezinárodní védecko - praktická Konlerence «aktuální vymozenosti Védv - 2012» 27 Cervna - 05 Cervencü 2012 roku Oil 19

Matematika.- Praha: «Education and Science», 2012. - P. 26-30. — Режим доступа: http://www.ru.snauka.com/19 and 2012 / Mathematics /4 113288.doc.htm.

8. Терновых, И. И. Теорема об устойчивости нечеткого множества [Электронный ресурс] / И.И. Терновых // Междунар. науч.-исслед. журн. - 2013. -jN's9 (16). - 4.1. - С. 38-40. - Режим доступа: http://research-ioumal.org/wp-content/uploads/2013/10/9-1 -16.pdf.

9. Терновых, И.И. Устойчивость непрерывных нечетких систем в смысле Ляпунова [Текст] / И.И. Терновых // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2013): сб. тр. 6 Междунар. конф., - Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2013.- С. 242-244.

10. Temovykh, I.I. A-Equilibrium point of fuzzy system [Электронный ресурс] / Temovykh I.I. // European Science and Technology. Materials of the V international research and practice conference Vol. I October 3rd - 4th, 2013. - Munich: «Vela Verlag Waldkraiburg», 2013. - Vol. I. - Pp. 292-294. - Режим доступа: http://sciencic.com/archive.php.

Подписано в печать 24.12.2014. Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказа №283 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп., 14

15--2772

2014270592