автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Разработка методов анализа макросистемных моделй миграционных процессов

^с- ^ На правах рукописи

«С ^

КИТАЕВ ОЛЕГ ВЛАДИМИРОВИЧ

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ АНАЛИЗА МАКРОСИСТЕМНЫХ МОДЕЛЕЙ МИГРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

05.13.10 - управление в социальных и экономических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1997

Диссертация выполнена в Институте Системного Анализа РАН

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Ю. С. Попков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

А.П.Афанасьев - кандидат технических наук П.В.Ивандиков

Ведущая организация: Институт Проблем Управления РАН

Защита состоится _1997 г. в ^^часов на заседании

диссертационного совета К 003.63.01 в Институте Системного Анализа РАН по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9, комУРб

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Системного Анализа РАН

Автореферат разослан Ур октября 1997 г. Ученый секретарь

диссертационного совета - доктор технических наук П.М. Хомяков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы обуславливается потребностями, возникшими в области регионального планирования в связи с развитием новых подходов к анализу эволюции пространственных систем. Концепции статистической физики и термодинамики предоставили теоретическую основу для новых подходов к анализу социально-экономических процессов в пространственных системах. Достижения математической науки и новые информационные технологии создали предпосылки для развития методов анализа математических свойств моделей миграционных процессов в рамках новых подходов.

Целыо работы является разработка методов анализа равновесных состояний и параметрических свойств макросистемных моделей с детерминированным воспроизведением и локально-термодинамическим распределением населения. Для достижения цели работы требуется решение следующих задач:

• Сравнительный анализ моделей миграционных процессов.

• Развитие аналитических и численных методов исследования равновесных состояний макросистемных моделей с линейной функцией воспроизведения и линейными ресурсными ограничениями.

• Разработка прикладного программного обеспечения для численного анализа параметрических свойств макросистемных моделей.

• Применение макросистемных моделей к анализу пространственной динамики населения реальных систем.

Научная новизна. Теоретическая значимость. Для макросистемных моделей с линейным воспроизведением и линейными ресурсными ограничениями:

• Разработан метод исследования асимптотической устойчивости нулевого равновесного состояния модели с постоянными параметрами;

построена область устойчивости нулевого равновесного состояния на плоскости биологических и механических параметров.

• Разработан метод исследования существования ненулевых равновесных состояний модели с переменными вероятностями выбора коммуникационных связей.

• Получены условия ограниченности двойственных переменных задачи математического программирования с энтропийной целевой функцией.

• Развита методика моделирования эволюции регионального населения при вариациях биологических и механических параметров моделей с постоянными и переменными параметрами.

Практическая значимость. В диссертации разработан программный пакет, ориентированный как на численный анализ равновесных состояний макросистемных моделей, так и на решение практических задач прогнозирования пространственно-временной эволюции населения на основе реальных данных. Программный пакет был использован для решения одной из таких задач, связанной с анализом динамики населения на провинциальном уровне в Нидерландах на временном интервале 19801992.

Обоснованность и достоверность теоретических результатов подтверждены численными экспериментами с тестовой моделью, описывающей динамику регионального населения.

Методы исследования. При формулировании макросистемных моделей и анализе их свойств использовались методы статистической физики и термодинамики, линейного и нелинейного функционального анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории оптимизации. При разработке прикладного программного пакета для анализа свойств моделей использовались методы структурного программирования системы для технических вычислений "МаЛаЬ".

Аппробация работы. Основные положения диссертации и материалы докладывались:

• на семинарах Института Системного Анализа РАН;

• в Международном Институте Гидравлики, Инфраструктуры, и Окружающей Среды (1НЕ), г. Делфт, Нидерланды, 1995 г.;

• на демографической конференции PANZ, г. Окленд, Новая Зеландия, 1997 г.;

• на семинаре Школы Экономики и Финансов, г. Веллингтон, Новая Зеландия, 1997 г.

Публикации.По результатам диссертационной работы опубликовано три печатные работы.

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, и приложения. Основная часть работы изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 72 рисунка и 12 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается проблематика в области моделирования миграционных процессов пространственных систем.

В первой главе "Анализ моделей миграционных процессов" вводится понятие миграционной системы, описываются основные процессы системы, предлагается обзор существующих моделей миграционных процессов, ставится исследовательская задача.

Миграционная система состоит из регионов (область, город, страна), внешней области, коммуникационной (транспортной) сети, населения, и экономики. Основными процессами являются биологические процессы натурального воспроизведения и механические процессы миграций населения.

Макросистемный подход к описанию миграционных процессов имеет следующие отличительные особенности:

г=> В макроскопической миграционной системе выделяются два уровня описания процессов:

• на микро-уровне рассматриваются индивидуальные стохастические процессы воспроизведения и миграций населения;

• на макро-уровне рассматриваются детерминированные переменные состояния системы в целом (региональное население, суммарные миграционные потоки).

=> Учитывается временная иерархия процессов: скорость биологических процессов воспроизведения значительно меньше скорости механических миграционных процессов.

=> Подход к моделированию основан использовании релаксационной гипотезы: время релаксации процесса миграций значительно меньше времени релаксации процесса воспроизведения.

В литературном обзоре моделей миграционных процессов основное

внимание было уделено динамическим моделям в рамках различных

подходов. Отметим следующее:

« модели миграционных процессов используют общую математическую основу для описания динамики регионального населения: систему нелинейных дифференциальных уравнений;

• основные отличия между моделями заключаются в описании взаимосвязи биологических (воспроизведение) и механических (миграция) процессов, а также в описании динамики миграционных потоков;

• макросистемные модели отличает учет временной иерархии биологических и механических процессов, и использование релаксационной гипотезы для построения связи между ними;

• в настоящее время существует потребность в обобщении математических свойств макросистемных моделей, разработке программных средств для анализа их свойств, а также тестирования моделей на реальных данных.

Вторая глава "Построение и анализ макросистемных моделей" посвящена разработке методов анализа равновесных состояний макросистемных моделей.

Общая макросистемная модель описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений . с правыми частями, определяемыми детерминированными функциями воспроизведения 71аселения и разницей между иммиграционными и эмиграционными потоками.

Согласно макросистемному подходу, миграционные потоки предполагаются в локально-стационарном состоянии с данным распределением экономических параметров регионов системы и внешней области. Локально-стационарные потоки определяются из условия максимума энтропийной функции системы при ограничениях на ресурсы, потребляемые в процессе миграций.

Общая макросистемная модель имеет вид: dx.(t) х-л

"ir = 0[*,(O] + XW*Ml->,[x(O]} , x,(t) > о,/ s/; (1)

jeJ

У, MO] = ArgMaÀ H(Y) = £ X y,i 1л + y Jy e Dr

[ ¡Ci jej Уij

Dr 2:0,0* (Л-)>0,teniez};

jeJ

(2)

где: .г,(/) = население региона /'; (р, [.г, (/)] = функция воспроизведения населения; уДх(0] = миграционный поток ¡' -» /; Я(Г)= энтропийная функция; ((,...) = функция расхода ресурса ¿-го типа на перемещение /-* /; {?,*(/,...) = функция запаса ресурса А-го типа на эмиграцию из ;; аь(1,...)= априорная вероятность выбора транспортной коммуникации ] населением региона /; О -емкость транспортных коммуникаций; (/,...) обозначает зависимость от времени и других параметров.

На основе общей модели формулируется модель с линейной функцией воспроизведения и линейными ресурсными ограничениями,

получаемая при следующих предположениях:

=> Функции воспроизведения населения линейные: <в>,[*/(0] = *л(0>« (к, = коэффициент воспроизведения населения региона г);

Суммарный эмиграционный поток из данного региона системы ограничен численностью мобильного населения (балансовый" 'тип ограничений): ХуДх(/)1 = а, х,(0, 0 < а, < 1,1 е I (а, = коэффициент мобильности населения);

=> Суммарный стоимостной расход на перемещение из региона г в у ограничен запасом стоимостного ресурса на эмиграцию из / (стоимостной тип ограничений)\

ХлЛ; [*(')]=<?,«,*, (Ое/ (с0 = средний удельный расход стоимостного

ресурса на перемещение г -> у; с, = средний запас стоимостного ресурса на эмиграцию из г).

=> Иммиграция из внешней области отсутствует• у„+м[х(/)]=0,г е/.

=5> Априорные вероятности выбора транспортных коммуникаций являются функциями численности населения регионов назначения; . 4,0) = а/ху) е 1= {1,2,...,«}; а„,,(х) = а„,(в,(л,),...,«„(*„)) , а„+1(х) = априорная вероятность выбора внешней области.

С учетом сделанных предположений, получим следующую модель (для простоты положено х,(/) = *,;&, /Л = л;;>'Лх(01 = >'„(*)):

х; = (к,> л, > 0;г е/ = {1,2,...,«>,^ = {1,2,...,и + 1>; (3)

{ „ /,+1 0а Гх \

у1(х) = АГ§Мах\ Я(Г,х) = — + У, 1Г е °г М

[ м Уц

Ел = а,= с, > о,с, > 0, 0 < а < 1;г е/}•(4) ' >1

О < в/*,) < 1 \VGJ- + ..,«„(*„)) = 1;

Параметры модели имеют различную природу:

• демографические параметры, коэффициенты воспроизведения к, и мобильности а, населения;

• стоимостные параметры транспортной сети: обобщенные стоимостные расходы с0 на миграцию;

• стоимостные параметры, связанные с уровнем доходов населения: средние запасы с,, стоимостного ресурса на эмиграцию;

• экономические параметры регионов: априорные вероятности ад выбора коммуникационных связей населением.

В силу вогнутости энтропийной функции и линейности ресурсных ограничений, решение задачи максимизации энтропии единственно, если множество допустимых макросостояний, определяемое ресурсными ограничениями, непусто.

Лемма 1 (непустота допустимого множества). Пусть ytJ > О V / с/,у е./, и min{c.} < с, < max {е..} V i е / . (5)

J jeJ '

Тогда множество допустимых макросостояпий Dy * 0.

Решая задачу максимизации энтропии методом Лагранжа (вектор х(У) фиксирован), модель (3)-(4) преобразуется к виду:

„ о, (*/)"';* 00

= + ,i ei = {1,2,...,«};J = {1,2,...,« + 1}; (6)

«б j

w=0; ds =-c-;'e ^e J- (?)

jej

где m(x) = множители Лагранжа, ассоциируемые со стоимостной группой ограничений; множители ш(х) отражают влияние транспортных расходов на величину миграционных потоков.

Вычисления по модели требуют: 1) решение системы алгебраических уравнений относительно множителей Лагранжа, и 2) интегрирование уравнений динамики регионального населения.

Лемма 2 (общие условия разрешимости системы (7)).

Пусть выполнены условия Леммы 1, и

шах{а(х)} , min{a(>)}

/г // г v^-r>,0<v<l; (8)

minia,(л:,)} Л тах{а,(х\

j*Q J J JzQ J J

где

(9)

P,Q <z J ~ {1,2,..,n +1}; ?Пб = J V peP-.dip<G-,\/qeQ.dlq>0 Á = size P / size Q

<= max M };<T = rninR}. (10)

le/je? J leljnQ

Тогда, система (7) имеет единственное решение пГ(х) = {»¡,(х),...,т„(х)} e[v,l].

Анализ равновесных состояний модели (6)-(7)

Для упрощения анализа используются следующие предположения:

• количество регионов системы четно:

n = 2w,w=\X-W\ (11)

• коэффициенты воспроизведения и мобильности населения равны для всех регионов (население системы однородно по отношению к процессам воспроизведения и склонности к миграции):

кх = к2 =...= кп =к; а^а^ =...= а„ = а ; (12)

• матрица обобщенных транспортных расходов симметрична; расходы на миграцию в пределах регионов являются минимальными; расходы на эмиграцию во внешнюю область являются максимальными; элементы матрицы нормированы фактором c,„tl :

• ■ г г (13)

• запасы стоимостных ресурсов на миграцию ограничены снизу максимальными расходами на перемещение внутри системы, и сверху -расходами на перемещение во .внешнюю область:

тж{с!(}<с(. <clml,i el.

(14)

Переходя к временной шкале т = И{к-а), модель (6)-(7) примет вид-. X' = F(r,x,m(x))x , x={r1)...,x„}räO,r = a/(*-ar); (15)

K(r,x,m(x)) = dmg[t] + rP(x, m(x));

рп(х,ту{\У) ■■■ p,„(XytHj(x)) P(x,m(x)) = : '•. :

РА*>тМУ) ■■■ А» (*>"»;(*))

р,(х,т,(х)) = a,{x,)m; (x> + e-n(*K*" fr)] * 0 v U e 1

Равновесные состояния являются решениями системы K(r,x,m(x))x = о

Модель с постоянными параметрами

Рассмотрим случай постоянных вероятностей вида: a. = const, j sJ= {1,2,...,n +1}|

Лемма 3 (условия разрешимости системы (7)).

Пусть выполнены условия (П)-(14). Пусть также:

п

где </+ и с1~ определяются из (10).

Тогда:решение системы (7) ш' = {т1,...,т'„} е[у;1]; справедливы оценки: 0<v<m~ <т] <т* <1 , ге/, *

где

- ., * ^(у)(у-1).

т =тт{т,} =- ;т =тах{пг,} = у--

уеУ jeJ

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

В случае постоянных вероятностей, динамика населения описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

= (22)

Р = \Р.

а.гпА

(23)

Система имеет единственное состояние равновесия х" = 0, если с!сг У(г) * 0.

ОС >/< (25)

Теорема 1 (асимптотическая устойчивость нулевого равновесия).

Пусть выполнены условия леЛшы 3 и (25). Пусть также:

с?с™ +

(31)

т+ тг ап ,„ —мг + а„ —-^г £ 1 - к / а;

тг

т.

(32)

где:

с!" = шга {с-,,}; с!1' = тах {с>;};с( )= шт {с,,};сг)= тах {с„.}

!<|,У<<и// * И^Л • ><¡/30.5» " * 1<И05я

тт {с;,}; с!3) = тах (с„};с(4)= тш {c„};c<',, = тах {с,,.}

lSjiQ.Sn

0.5н + 1<»</1 4 У

(33)

т. ,/я+ определяются из (19).

Тогда нулевое равновесное состояние системы (22)-(23) асимптотически устойчиво.

При выполнении условий теоремы население будет эмигрировать во внешнюю область при любом начальном распределении.

Анализ модели с переменными вероятностями

Будем рассматривать случай, когда:

• Вероятности выбора межрегиональных транспортных коммуникаций определяются следующими логистическими зависимостями (рис.2):

и

= 0<х1 > 0,/е/= {1,2,...,«}; ' - (34)

где Е = "емкость" региона: ограничивает максимально возможное количество населения, вследствие жилищных или иных ограничений. • Вероятность выбора внешней области является функцией вероятностей выбора межрегиональных коммуникаций (рис.2):

«.♦.00 = 1 -¿в/*,). (35)

>1

Нормировочный коэффициент ц выбирается из условия я(0.5£)л < 0.5, обеспечивающим неотрицательность вероятности (35).

Рассмотрим конусный отрезок (рис.2): х б(г_;х+);х. =05Е;х. < Е. (36)

Вероятности (34),(35) непрерывны на множестве (36); справедливы оценки:

а{:О < а,(х,) < а(х_) , / е /,х е (38)

Лемма 4 (условияразрешилюсти системы (7)).

Пусть хе(х_;х() и выполнены условия (11)-(14),(34),(35). Пусть также:

< ! < о < V < 1,

а„+1(х_) и а„+1(х+)

(39)

где определяготся(Ю).

Тогда: решение системы (7) лг*(х) еОД]\/1 е/; функции т'=т,(х) дифференцируемо зависят от х е(х_;х+); справедливы оценки: О < V < т_(х+) 2 иг,*(х) <т+(л:_) < 1, (40)

где:

т_(х+) = тЫ-—-—-; отДж_) = 1мхЬ- -(41)

= £в(х_Цу'' -м^^-К^У'"'; / е/; >1

>1

(42)

Предполагая (25), равновесные решения модели с переменными вероятностями определяются из системы:

х= Я(г,х,т(х))х, хе(0;£},г =а/(«-£)>1, (43)

Л[г,х,т(х)] = г

&Дх,т(х)) = —

Л,,(х,т(х)) ••'• 6,„(х,ш(х)) А„,(х,т(х)) ••- Ьт (х, т(х))

(44)

Тривиальные равновесные решения х' = 0 (нулевое население регионов) и х' =Е (численность населения равна емкости регионов) очевидны.

Теорема 2 (условия существования ненулевых равновесных состояний).

Пусть выполнены условия леммы 4, и "СО . "О-У*- , 1 . , ...

—у—>-<—<-7->«(*-)' (45)

/ х+ т 1х_

а(х_) < (Ггп)Л\ (46)

где:

, К(*-)Г . - , , , , Г/ПЛ

1 = - , ; с. =1мп{сл},с, =тах{с };. (47)

определяются (40).

Тогда система (43)-(44) имеет решение х' е(х_,х(.).

Ненулевое равновесное состояние означает, что в системе наблюдается баланс между процессами воспроизведения и эмиграции населения во внешнюю область.

Экспериментальный анализ

Для проверки полученных выше результатов, а также исследования влияния вариаций биологических и механических параметров на эволюцию регионального населения, был проведен ряд численных экспериментов для следующих исходных данных:

• количество регионов системы: н-4 (внешняя область имеет номер]=5);

• емкости регионов системы: Е, = Ег =■••= Е„ = 100;

• обобщенные транспортные расходы С':

"0.05 0.25 0.15 0.20 1]

С" =

0.25 0.05 0.20 0.25 1 0.15 0.20 0.05 0.25 1 0.20 0.25 0.25 0.05 1

в региональные запасы стоимостного ресурса: с = [0.33 0.35 0.33 0.35].

Построение области устойчивости нулевого равновесия

Устойчивость нулевого равновесного состояния модели ,с постоянными параметрами определяется выбором коэффициентов воспроизведения и мобильности населения. Варьируя значения коэффициентов, можно определить область устойчивости нулевого равновесия (рис.3). Если значения коэффициентов принадлежат данной области, то для любого начального распределения населения будет наблюдаться полная эмиграция во внешнюю область. В приложениях важно знать "критические" значения коэффициентов, при вариациях которых происходит либо эмиграция, либо неограниченный рост населения.

Фазовые портреты эволюции регионального населения

Для демонстрации эволюционных траекторий используется фазовая плоскость переменных состояния первых двух регионов *, -х2 (фазовые траектории аналогичны для остальных двух регионов). Фазовые траектории зависят от спецификации коэффициентов воспроизведения и мобильности населения (параметр г = а / (а - к) в (43)).

В модели с постоянными параметрами возможна либо полная эмиграция населения во внешнюю область, либо неограниченный рост населения в регионах. На рис.4 ■ показаны интегральные кривые, соотвествующие случаю нулевого равновесия: эмиграция населения во внешнюю область происходит для любого начального распределения населения. Увеличение коэффициента воспроизведения приводит к исчезновению нулевого равновесия и неограниченному росту регионального населения (рис.5).

В модели с переменными вероятностями возможно существование как нулевого, так и ненулевых равновесных состояний. На рис.6 приведены интегральные кривые системы для случая нулевого равновесного состояния. Население полностью эмигрирует во внешнюю область при

любом начальном распределении. Увеличение коэффициента воспроизведения приводит (рис.7) к существованию трех равновесных состояний:

• нулевое (устойчивое): численность населения меньше половины емкости регионов (х < Е/2);

• ненулевое (неустойчивое): численность населения равна половине емкости (х = £/2);

• ненулевое (устойчивое): численность населения больше половины, но не , превышает емкость (£/2<х<£).

Дальнейшее увеличение коэффициента воспроизведения приводит (рис.8) к исчезновению всех равновесных состояний, и росту населения, ограниченному только емкостями регионов.

В третьей главе "Прикладной программный пакет для анализа макросистемных моделей" описывается разработанный программный пакет. Основу пакета составляют пять взаимосвязанных модулей: => модуль Динамика Населения содержит:

• модель с постоянными параметрами, и

« модель с переменными коэффициентами воспроизведения и мобильности населения. Модели используются для анализа динамики населения реальных систем. => модуль Параметрический Анализ содержит:

• модель с постоянными параметрами, и

• модель с переменными вероятностями выбора транспортных коммуникаций.

Модели используются для анализа их параметрических свойств (влияние вариаций параметров на динамику переменных состояния). => модуль База Данных содержит исходные данные для расчетов по моделям модулей Динамика Населения и Параметрический Анализ.

=> модуль Результаты Расчетов предназначен для графической и статистической обработки результатов расчетов по моделям модулей Динамика Населения и Параметрический Анализ. => модуль Интерфейс Пользователя служит для организации взаимодействия пользователя с модулями пакета.

Программный пакет реализован на языке программирования системы "Ма^аЬ".

В четвертой главе "Применение моделей к анализу динамики населения (на примере Нидерландов)" модели:

• с постоянными параметрами, и

• переменными коэффициентами воспроизведения и мобильности населения

были применены к анализу пространственно-временной эволюции населения Нидерландов. Модель с постоянными параметрами отличает простота оценки параметров; модель использовалась для прогнозирования эволюции населения. В модели с переменными коэффициентами параметры оценивались в каждом году в течение временного интервала моделирования; основное внимание уделялось оценке эффекта учета реальных данных на результаты расчетов. При оценке параметров моделей использовались данные Статистического Бюро Нидерландов.

Для каждой модели было проведено три численных эксперимента: 1980-1986 (базовый год 1980); 1986-1992 (1986); 1980-1992 (1980).

Результаты расчетов, в виде абсолютных процентных ошибок между модельными и реальными данными, приведены в таблицах 1-4. Для сравнения результатов расчетов по моделям использовался критерий минимальной суммарной ошибки между расчетными и модельными

12 Т

данными: / = ,где = абсолютная процентная ошибка.

'"1 ./-'и

Результаты вычислений по критерию приведены в таблицах 7,8; последняя строка каждой из таблиц относится к процентной разности между значениями критерия для моделей с постоянными параметрами (модель 1) и переменными коэффициентами (модель 2).

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

=> Первая группа результатов относится к исследованию равновесных состояний моделей с постояными и переменными параметрами. В модели с постоянными параметрами возможно существование единственного асимптотически устойчивого нулевого равновесного состояния, означающего полную эмиграцию регионального населения во внешнюю область.

• получены условия асимптотической устойчивости нулевого равновесия;

• получена область устойчивости нулевого равновесия на плоскости коэффициентов воспроизведения и мобильности населения;

• получены фазовые портреты эволюции регионального населения при вариациях коэффициентов воспроизводства и мобильности населения.

В модели с переменными вероятностями выбора коммуникационных связей возможно существование как нулевого, так и ненулевых равновесных состояний.

• доказана теорема об условиях существования ненулевых равновесных состояний;

• исследованы бифуркации равновесных состояний при вариациях коэффициентов воспроизводства и мобильности населения.

=> Вторая группа результатов относится к разработке прикладного программного пакета для численного анализа макросистемных моделей. Пакет позволяет производить:

• анализ параметрических свойств моделей с постоянными параметрами, и переменными вероятностями выбора транспортных коммуникаций;

• расчеты динамики населения реальных систем произвольной размерности с помощью моделей с постоянными параметрами, и переменными коэффициентами воспроизведения и мобильности населения.

Третья группа результатов относится к приложению моделей для анализа пространственно-временной эволюции населения Нидерландов. В задаче прогнозирования динамики населения (модель с постоянными параметрами) средние (абсолютные) ошибки не превысили 4%. В модели с переменными коэффициентами воспроизводства и мобильности реальные данные использовались при оценке параметров в процессе расчетов для улучшения результатов. Средние ошибки в данном случае не превысили 4% для интервала 1980-1986, 1% для 1986-1992, 7% для 1980-1992. Модель с переменными коэффициентами позволила существенно улучшить результаты расчетов, исходя из критерия минимума суммарной ошибки.

Основные публикации по теме диссертационной работы:

1. Китаев О.В. Равновесные состояния одного вида динамических макросистем с самовоспроизведением // Автоматика и Телемеханика, № 4,1996, с. 117-129.

2. Kitaev O.V. Macrosystem models of population dynamics: an application for The Netherlands // In "Dynamics of Nonhomogeneous Systems"// Moscow: USSR, 1997, /9-30

3. van Wissen L., Kitaev O.V. SPOR: Special Onderwijs Regionaal. Deel 2: Handleiding SPOR // Final report: Netherlands Interdisciplinary Demographic Institute (NIDI), 1996, - 36 p.

Рис 3 Рис 4. к = 0.05; а = 05.

Рис 5. к = 0.15;« = 0.5. Рис 6. к = 0.05;а = 0.5

Рис 7. А = 0.107;а = 05. Рис. 8. * = 0.15;а = 05.

гров! пров2 /ровЗ лрт4 провЬ лровб 1 и»7 щ юв8 пров9 прое]0 прав И гров 12 аграа

т ош ТШ) 0.00 ш иш 0.00 0.Ш ООО аш ОЯТ аис 0.00'

1981 0.Ш 0.02 0.02 0.02 002 0.03 0.01 0.02 0.02 ао1 аи 0.02

1982 0.02 0.22 0.16 0.11 ао8 0.01 о.1б: аи ¡- 0.22 0.13 0.02 4.61 0.03

1983 0.03 0.49 0.55 0.30 0.25 0.18 023 0.09 0.63 0.44 0.06 5.99 016

1984 0.31 0.90 а» 0.59 0.39 0.30 а« 0.15 1.18 0.71 0.14 6.16 0.77

1985 0.72 1.56 0.72 0.92 0.49 азэ 0.06 027 1.87 0.93 026 6.32 034

1986 1.30 222 а&о 128 0.49 0.38 048 (МО 252 1.10 0.36 422 азэ

дждее мсхшм ■ о:зз 1.30 О.Л 222 0.40 0.80 0.45 1.28 0.25 0.49 0.1Н 0.39 0.16 0.43 0.15 0.40 252 1.10 (Ш азе ¡1У0 6.32 0.17 0.39

Таблица 1. Модель с постоянными параметрами

гров1 юв2 гровЗ пров4 цюв5 оовб прав? оов8 пров9 гров 10 прав 11 гров 12 трат

■ "ш ш от ОЛЮ аш 0.Ш и.ии ^гаг аио аш О.Ш аш ОЛЮ ■ 0.00"

1381 ш аог 0.02 0.02 0.02 0.03 ао1 0.02 аог 0.02 0.01 ао1 0.02

1982 0.С2 0.18 0.16 0.07 0.03 аог а05 0.09 016 а13 0.07 4.17 0.00

1983 0.06 0.39 0.45 0.24 0.05 0.09 0.05 а1з 0.53 0.34 аоз ш 0.04

1984 0.15 072 0.41 0.51 0.02 020 0.31 0.26 095 044 0.00 488 0.04

1985 0.33 1.28 0.46 абэ 0.08 0.35 0.53 аз? 1.45 0.49 007 6.07 аоз

1986 0.59 1.80 а40 0.83 0.26 О.ЗЙ ом 0.44 1.92 0.46 а ю 4.86 0.01

среднее максим """0.47" 0.59 Ш 1.80 0.27 0.46 0.34 0.83 0.0Й 0.26 0.14 азе 0.Ш 0.94 (Ш 0.44 ш 1.92 (12 0.49 ш аю З.Щ 6.07 0,02 0.04

Таблица 2. Модель с переменными коэффициентами

прев1 пров2 провЗ пров4 гров5 провб гровТ роев пров9 гров 10 провИ гров 12 сп-раа

ш и.со 0.00 и.ии ш ОД) НОи ш аш (Ш) 0.00 ООО иш О.оо

1987 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.01 0.00 0.01 001 0.26 0.01

1988 0.05 0.17 0.16 0.12 0.04 0.13 0.19 0.06 0.07 аоэ 0.04 аш 0.08

1989 0.12 0.37 0.22 0.17 аоз 0.24 024 0.07 016 0.15 006 0.46 0.10

1990 0.22 0.62 0.20 0.16 0.17 0.36 019 0.03 0.26 021 0.08 1.33 0.03

1991 0.05 0.80 027 0.15 0.18 0.43 0.27 0.01 0.63 0.33 0.12 2-71 0.14

1992 0.08 0.83 020 0.15 0.25 0.43 0.42 0.04 0.97 0.33 0.12 4.64 020

среднее мжсии "0.03 022 '0.40 0.83 027 0.11 0.17 0.1(1 025 0.23 0.43 0.19 042 0.03 ао7 0.30 097 "0.15 0.33 0.Ш 012 1.36 4.64 ""0.0Э 0.20

Таблица 3. Модель с постоянными параметрами

гров 1 грив 2 провЗ пров4 пров5 гров 6 гров? уроа8 гров 9 гров 10 аров 11 гров 12 спрею

" "Ш "0.Ы) О.СО 0.00 0.00 Ж о.оо 0.00 0.00 аш 0.00 аоо 0.00 аоо

1987 0.01 оли 001 0.01 0.02 0.03 0.02 0.01 0.00 0.01 0.01 0.26 0.01

1988 0.СИ 0.14 0.09 0.07 0.05 0.03 О08 0.03 0.09 0.05 0.03 020 0.04

1989 0.11 027 0.16 0.13 0.00 0.14 0.05 0.02 021 0.12 0.06 0.07 0.05

1990 021 0.41 023 0.19 а14 022 0.08 0.03 0.34 020 0.08 0.52 0.03

1991 0.43 0.44 0.30 023 026 023 0.14 0.13 0.62 024 0.13 1.04 0.01

.1992 067 0.38 0.31 027 азэ 0.19 0.18 021 а8б 0.19 022 245 ао1

среднее макам 0.21 0.67 ОМ 0.44 0.1б 0.31 0.13 027 01)2 0.39 ■0.13 023 Ш 0.18 ~о.ое 0.21 ' 0.3!» 0.86 "0.1Г 0.24 Ш 022 0.55 245 " Ш ■■ 0.05

Таблица 4. Модель с переменными коэффициентами

трое! лров2 гровЗ щж4 пров5 провб чров 7 трое 8 гров9 пров 10 пров 11 пров 12 трапа

1980 0.00 0.00 ш ' 0.00 0.00 0.Ш 0.00 и.ио ' 0.00 0.00 0.00 0.1Ю 0.00 ■

1981 0.01 0.02 0.02 0.02 0.02 0.03 0.01 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.02

1982 0.02 0.22 0.16 0.11 0.08 0.01 0.16 0.11 0.22 0.13 0.02 4.61 0.03

1983 0.03 0.49 0.55 0.30 0.25 0.16 0.23 0.09 0.63 0.44 0.06 5.89 0.16

1984 0.31 0.90 0.59 0.59 0.39 0.30 0.16 0.15 1.18 0.71 0.14 6.16 0.27

1985 0.72 1.56 0.72 0.92 0.49 0.39 0.06 0.27 1.87 0.93 0.26 6.32 0.34

1986 1.30 222 0.80 1.28 0.49 0.33 0.48 0.40 252 1.10 0.36 4.22 0.39

19 87 203 281 1.01 1.48 0,56 0.24 0.83 0.59 3.39 1.18 0.41 3.11 0.41

1988 278 155 1.09 1.59 0.63 О.СИ 1.32 0.81 4.16 1.19 0.43 246 0.37

1989 3.56 4.36 1.25 1.75 0,77 0.17 1.69 0.58 4.91 1.21 0.46 224 0.37

1990 4.35 5.18 1.50 1.97 1.00 0.38 1.94 1.11 5.62 1.24 0.49 237 0.42

1991 4.86 5.92 1.66 218 1.09 0.55 231 1.24 6.04 1.20 0.51 3.06 0.39

1992 5.38 6.50 1.96 239 1.24 0.84 274 1.42 6.46 1.29 0.56 4.33 0.36

среднее максим 3.46 5.38 4.35 6.50 153 1.96 1.60 239 0.13 1.24 0.34 0.64 1.61 274 0.53 1.42 4.73 6.46 1.20 1.29 0.48 0.55 3.11 4.33 0.39 ' 0.42

Таблица 5. Модель с постоянными параметрами

пров1 щхм2 провЗ пров4 провЗ пров 6 1ухх 7 тз8 гух)в9 пров 10 пров 11 пров 12 спраи

1Ш> О.Ш 0.00 аоо 0.00 0.00 от оло 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00 "0.00"

1981 0.01 0.02 0.02 0.02 0.02 0.03 0.01 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.02

1982 0.02 0.18 0.16 0.07 0.03 0.02 0.05 0.09 0.16 0.13 0.07 4.17 0.00

1983 0.06 0.39 0.45 0.24 0.05 0.09 0.05 0.18 0.53 0.34 0.03 4.72 0.04

1984 0.15 0.72 041 0.51 0.02 0.20 0.31 0.26 0.95 0.44 0.00 4.88 0.04

1985 0.33 1.28 0.46 0.69 0.08 аз5 0.5В 0.37 1.45 0.49 0.07 6.07 0.03

1988 0.59 1.80 0.40 0.83 0.26 0.36 0.94 0.44 1.92 0.46 0.10 4.86 0Д1

1987 1.02 224 0.36 0.96 0.42 0.31 1.23 0.52 244 0.31 0.07 5.37 0.07

1588 1.39 282 0.25 1.03 0.59 0.23 1.54 0.59 285 0.13 0.08 6.09 0.15

1989 1.73 3,39 0.14 1.10 0.68 0.13 1.75 0.63 3.24 0.06 0.09 6.92 0.20

1990 204 3.95 0.05 1.17 0.67 0.01 1.87 0.64 3.60 0.27 0.09 7.83 0.23

1991 218 439 0.04 1.24 0.67 0.03 203 0.59 3.75 0.43 0.11 В.72 0.26

1992 230 4.71 0.07 1.32 0.65 0.03 219 0.56 3.93 0.49 0.18 10.37 0.29

среднее лтсии Ш 230 3.33 4.71 0.19 0.40 1.09 1.32 0.56 0.68 0.16 0.36 1.65 219 0.57 0.64 3.10 3.93 0.31 0.49 0.10 0.18 7.1Й 10.37 0.17 0.29

Таблица 6. Модель с переменными коэффициентами

Провинциальное население

Эксперимент 1 Эксперимент 2 Эксперимент 3

Модель 1 56.37 22.15 169.24

Модель 2 46.53 15.83 138.83

% разница 18.33 Щ.5Й 17.9/

Таблица 7

Полное население страны

Эксперимент 1 Эксперимент 2 Эксперимент 3

Модель 1 1.21 0.61 3.53

Модель 2 0.14 0.15 1.35

% разница УВ.43 75.41 61.76

Таблица 8