автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование миграционных процессов в территориях

На правах рукописи

Васильева Татьяна Павловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИГРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ТЕРРИТОРИЯХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 Я ДПР 20:3

Пермь-2013

005057679

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Пермского государственного национального исследовательского университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Русаков Сергей Владимирович

Официальные оппоненты:

Шатров Анатолий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования в экономике Вятского государственного университета

Максимов Владимир Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем и математических методов в экономике Пермского государственного национального исследовательского университета

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова

Защита состоится «19» марта 2013 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд. 4236.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет».

Автореферат разослан «19» февраля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета: кандидат физико-математических наук

А.И. Швейкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Одним из существенных источников формирования структуры населения на территории является его миграция. Рациональное размещение населения способствует эффективному функционированию экономики, сглаживает региональные противоречия, устраняет внутреннюю социально-экономическую напряженность. Для любого цивилизованного государства важно, чтобы не происходила чрезмерная концентрация населения и экономики в одних регионах и запустение в других.

Имея сложную природу и многофакторную зависимость от всего комплекса условий, существующих на окружающей человека территории, миграция населения может быть квалифицирована как наиболее многоплановый и многосторонний социальный процесс.

Математическое моделирование миграции играет важную роль в изучении этого явления, так как позволяет исследовать и прогнозировать данный процесс в зависимости от влияния на него различных факторов, среди которых особое значение - и это признается всеми учеными, - имеют экономические факторы, такие как наличие рабочих мест, уровень заработной платы, жилищная обеспеченность и др. Также учитываются и случайные факторы, поскольку участниками миграционных процессов являются люди, обладающие собственными целями и интересами, предугадать которые невозможно.

За сравнительно небольшой исторический период, в который миграция населения изучалась, возникло достаточно большое количество научных подходов и теорий в изучении этого общественно-экономического явления. Математическому моделированию миграционных процессов в ходе развития территориальных образований посвящены, например, работы В.Б. Занга (1999), Г. Хаага, Т. Сигга (1996), Г. Хакена, Дж. Поргугали (1995), JI.A. Серкова (2008), которые основаны на синергетическом подходе. Работы В.И. Ресина, Ю.С. Попкова, C.B. Емельянова (2003-2004) посвящены вероятностному подходу в управлении развития территории и миграции населения в частности. В работах Дж. Ченга, И. Мэйсера (2002), Д. Варда, А. Мюррея (2003), М. Бэтти (1999), С. Манрубиа, Д. Занетг (1999) для моделирования распределения населения при развитии территории использован метод клеточных автоматов.

Существующие миграционные модели исследованы недостаточно и не имеют конкретных приложений в реальных условиях. Поэтому представляется актуальным развитие и модификация известных моделей с учетом различных факторов, влияющих на миграцию, и разработка на основе них собственных методик и приложений, позволяющих моделировать миграцию населения для регионов России.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка математического инструментария для исследования следующих миграционных процессов: миграционных потоков между крупными территориальными образованиями; миграции из "деревни" в "город" и перераспределение населения между малыми и большими городами (градоформирование); прием/отток трудоспособного населения в виду привлекательности или непривлекательности конкретного территориального образования. Поставленная в диссертации цель достигается путем решения следующих задач:

1. Разработка регрессионно-вероятностной модели миграционных потоков между федеральными округами России на основе статистической информации.

2. Исследование и модификация модели клеточного автомата, позволяющей обнаружить зависимость в распределении численности населения, соответствующую закону Ципфа.

3. Новая интерпретация детерминированной динамической модели и исследование на ее основе изменения численности населения с учетом экономических факторов территории, таких как объем продукции, выпускаемой на территории, и цена на первичном рынке жилья.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Регрессионно-вероятностная модель для прогнозирования миграционных потоков между федеральными округами РФ, построенная на основе реальных статистических данных.

2. Результаты параметрического исследования существующей модели клеточного автомата, выявившего возможные сценарии изменения численности населения территории и вероятности реализации этих сценариев.

3. Программный модуль, позволяющий выполнять имитационное моделирование мшрации населения в территориях с помощью модели клеточного автомата и анализировать результаты моделирования.

4. Бифуркационные диаграммы состояний системы, построенные по результатам расчетов детерминированной динамической модели, которые позволяют осуществлять прогноз состояния системы при изменении параметров задачи.

5. Методика оценки социально-экономического развития территории с помощью детерминированной динамической модели на основе реальных статистических данных.

Научная новизна работы состоит в том, что

1. Построена новая регресионно-вероятностная модель миграционных потоков между федеральными округами РФ на основе реальных статистических данных.

2. Разработан программный модуль, реализация которого позволяет выполнять имитационное моделирование развития городов на основе модели клеточного автомата и анализировать результаты, полученные в ходе моделирования.

3. В ходе детального параметрического исследования существующей модели клеточного автомата получены новые результаты: построена зависимость динамики численности населения от параметров модели; разработана методика решения обратной задачи, позволяющая по реальным данным процесса град сформирования оценить параметры модели клеточного автомата.

4. Предложена новая интерпретация детерминированной динамической модели. Проведено широкое параметрическое исследование, в результате которого построена бифуркационная диаграмма для ранее не рассматриваемого значения бифуркационного параметра, что позволило уточнить состояния системы, характерные для рассматриваемых процессов.

5. Построена методика оценки социально-экономического развития территории с помощью детерминированной динамической модели на основе реальных статистических данных.

Практическая значимость работы заключается в том, что в ходе исследования проблемы миграции населения с помощью различных подходов построена совокупность математических моделей и соответствующий программный комплекс, которые позволяют моделировать миграционные процессы, протекающие при образовании и развитии современной территории. А именно, регрессионно-вероятностная модель позволяет прогнозировать состояние миграционного процесса для федеральных округов страны. Программная реализация модели клеточного автомата позволяет проводить имитационное моделирование структуры населения любых территориальных образований, с учетом особенностей их географической границы. Результаты, полу-

ченные в рамках исследования вопроса с помощью детерминированной динамической модели, дают возможность прогнозировать динамику изменения численности населения регионов РФ в зависимости от экономических показателей данных регионов.

Личный вклад автора. Постановка задач и построение моделей принадлежат совместно автору и научному руководителю. Личный вклад автора состоит в исследовании предложенных моделей, программной реализации, анализе и содержательной интерпретации полученных результатов на основе реальных статистических данных.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: X Международной научно-технической конференции "Кибернетика и высокие технологии XXI века" (Воронеж, 2009); Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых "Современные проблемы математики и её прикладные аспекты" (Пермь, 2010); Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Актуальные проблемы механики, математики, информатики" (Пермь, 2010); XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2011). Полностью работа доложена и обсуждена на семинарах: Механико-математического факультета ПГНИУ (рук. О.Г. Пенский); Лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей ПГНИУ (рук. В.П. Максимов); Института механики сплошных сред РАН УО (рук. A.A. Роговой); кафедры Механики композиционных материалов и конструкций ПНИПУ (рук. Ю.В. Соколкин); кафедры Математического моделирования систем и процессов ПНИПУ (рук. П.В. Трусов).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 4 - в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций, получено свидетельство ИНИМ РАО ОФЭРНиО о регистрации электронного ресурса.

Достоверность результатов подтверждена сходимостью применяемых численных алгоритмов и удовлетворительным соответствием результатов, полученных при моделировании, реальным статистическим данным.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 118 страниц, включая 27 рисунков и 16 таблиц. Библиографический список включает 94 наименования.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору, д.ф.-м.н. C.B. Русакову и доценту, к.ф.-м.н. Б.И. Мызниковой за постоянную поддержку работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, представлены основные положения, выносимые на защиту, научная новизна полученных результатов, показана практическая значимость полученных результатов.

Глава 1. Математическое моделирование как эффективный инструмент фундаментальных и прикладных исследований миграции населения

В пункте 1.1 описывается проблема миграции населения и рассматриваются сложности, возникающие при ее исследовании. Проводится анализ факторов, влияющих на миграцию, по результатам которого выделили три основные группы факторов - экономические, географические и случайные факторы. Даются определения основных понятий, использующихся в диссертационной работе.

В пункте 1Л рассматриваются известные математические модели миграции населения, приводится их классификация по различным критериям. Дается аналитический обзор литературы, необходимой для понимания сущности и методов изучения миграционного процесса. Рассматриваются подходы, использующиеся в диссертационной работе для моделирования миграции населения. Приводится обзор исследований других авторов, выполненных с использованием данных подходов в изучении представленной темы.

Глава 2. Моделирование миграционных потоков с помощью вероятностного подхода

Пункт 2.1 содержит введение главы 2.

В пункте 2.2 дается постановка задачи. С принятыми нормами Госкомстатом (ГКС) ежегодно публикуются статистические данные по миграционным потокам между федеральными округами России: yn¡ - число жителей, переместившихся из округа с номером п в округ с номером j. При этом каждый у-ый округ принимает новых жителей в количестве

F¡=Yiy„,j'\.....N. (1)

Требуется на основе информации за несколько последних лет дать прогноз на год-два вперед. Воспользуемся следующей регрессионно-вероятностной моделью: для величин Fj будем строить уравнения регрессии, а для определения величин yn¡

воспользуемся вероятностным подходом. Полагая, что миграционный процесс имеет стохастическую природу, определим anj как вероятности перемещения жителя из п-

го округа в округ с номером }. Тогда, величину миграционного потока можно определить как

y*=a»jFj' (2)

Значения величин ап] определяются на основе имеющихся данных, далее, предполагая, что соответствующая матрица вероятностей слабо меняется год от года, можно используя спрогнозированные значения величин F¡, по формуле (2) пересчитать миграционные потоки ynj.

В пункте 23 производится моделирование процесса миграции населения между федеральными округами Российской Федерации.

Для прогнозирования общего числа прибывших F¡ в каждый федеральный округ используется приближение функцией второй степени. На основе данных Госкомстата по внутрироссийской миграции за период 2000 - 2008 г.г. для каждого федерального округа построена аппроксимирующая функция и оценена погрешность этого приближения. Построенные зависимости позволяют прогнозировать число прибывших жителей в каждый федеральный округ в целом.

Для детального исследования структуры прибывших сначала рассматривается период 2000 - 2004 г.г., на котором строится инструмент моделирования в виде матрицы вероятностей миграции населения между федеральными округами, а затем полученная матрица используется для прогнозирования миграции на следующем временном интервале 2005 - 2008 г.г. Аналогично строится матрица по данным 2005 -2008 г.г., которая может быть использована для прогнозирования в дальнейшем.

В табл. 1 по данным ГКС за 2000 год приведены данные внутрироссийской миграции по территориям прибытия (по столбцам) и выбытия (по строкам). В качестве

уп] используем значения данной таблицы, а в качестве ^ - общее число прибывших

в федеральный округ}, вычисленное путем суммирования значений по столбцам.

Таблица 1.

Внутрироссийская миграция по территориям прибытия и выбытия за 2000 г.

Ц.ф.о. С.-З.ф.о. Юж.ф.о. Пр.ф.о. Ур.ф.о. Сиб.ф.о. Д-ф-о.

Центральный ф. о. 20143 16578 20522 7873 8097 6359

Северо-Запад, ф. о. 31075 - 9262 13254 3870 3567 2405

Южный ф. о. 33262 10904 - 15829 12268 8253 5025

Приволжский ф. о. 33644 12461 13737 - 28899 8590 5020

Уральский ф. о. 14109 5258 11159 26852 - 9427 2215

Сибирский ф. о. 19754 6607 11523 13024 13624 - 11542

Дальневосточ. ф. о. 21641 6453 10663 10558 4087 15716 -

В результате по формулам (2) построена матрица вероятностей миграции населения между рассматриваемыми федеральными округами:

ґ 0.326 0.227 0.205 0.111 0.151 0.195"

0.202 - 0.127 0.132 0.055 0.066 0.074

0.217 0.176 - 0.158 0.174 0.154 0.154

0.219 0.202 0.188 - 0.409 0.160 0.154

0.092 0.085 0.153 0.268 - 0.176 0.068

0.129 0.107 0.158 0.130 0.193 - 0.354

ч0.141 0.104 0.146 0.106 0.058 0.293 /

Аналогичная матрица вероятностей построена и за остальные года рассматриваемого периода 2000-2004 г.г. Установлено, что значения элементов данной матрицы с течением времени изменяются незначительно, хотя сама численность мигрантов по федеральным округам с течением времени меняется существенно. По полученным данным построена усредненная матрица вероятностей аме_ч,.(200<(.2004) за анализируемый период 2000-2004 г.г. При этом средняя ошибка расхождения между реальными данными и данными, рассчитанными по построенной матрице, за период 2000 - 2004 г.г. составляет 3,2%.

Стабильность рассчитанных матриц на периоде 2000-2004 г.г. позволяет использовать усредненную матрицу а„ж сМ20т-2ш) Лля нахождения распределения миграции

населения в следующий временной период 2005 - 2008 г.г.

С её помощью можно решать следующие задачи:

Задача 1: По формуле (2), зная общее число прибывших в федеральный округ за любой следующий год, можно получить распределение миграционных потоков между всеми рассматриваемыми федеральными округами у„г То есть можем узнать,

из каких округов прибыло население. При этом, значение величины Р1 может быть спрогнозировано с помощью уравнения регрессии, построенного по известным данным.

Задача 2: Зная только общее число прибывших в федеральный округ, просуммировав рассчитанные в задаче 1 значения по строкам, сможем получить число выбывших из каждого округа.

Задача 3: Даже по неполным данным, если по одному из округов неизвестно число прибывших, число выбывших из этого региона вычислить по-прежнему возможно, используя данные по остальным федеральным округам.

В диссертационной работе представлено решение данных задач на примере прогнозирования миграции по округам РФ за 2005 г.

Далее рассматривается следующий временной интервал 2005 - 2008 г.г. и аналогично периоду 2000 - 2004 г.г. строится усредненная матрица вероятностей миграции населения по федеральным округам а^^^т-гом). Эта матрица может быть использована в дальнейшем для нахождения распределения миграции населения в федеральных округах по данным общего числа прибывших в округ.

В пункте 2.4 показано что соотношение (2), согласно которому находятся потоки миграции между федеральными округами РФ, является частным случаем решения задачи поиска стационарного состоянии миграционного процесса с помощью макро-системной концепции.

Для характеристики возможных состояний миграционного процесса вводится

на у .

функция энтропии Я(Г)= • При этом считается, что ресурсные возможно-

»-1/-1 ащ

ста приема новых жителей регионов ограничены, то есть миграционные потоки уп] должны удовлетворять следующим условиям:

ty„J¿FJ, (3)

л-1

где ^ - предельное количество населения, которое может принять регион ) .

Согласно макросистемной концепции, стационарное состояние У" (г) миграционного процесса, определяется следующей задачей максимизации энтропии:

УЧ') = агвтах{Я(Г)|Ге£>}, (4)

где V — допустимое множество, описанное выше неравенствами (3).

Далее найдено решение поставленной задачи (4), которая представляет собой оптимизационную задачу нелинейного программирования:

Ущ - а1ц > = (5)

5Х

Данное решение соответствует ситуации, когда каждый регион принимает из других регионов число жителей, равное предельной величине этого региона по прие-

N

му новых жителей: 2 у . = ./*). Таким образом, с помощью (5) можно найти распредели

N

ление населения по регионам согласно вероятностям. Причем так как =1,

и=1

] = 1,..., Ы, то формула (5) принимает вид (2).

Глава 3. Метод клеточных автоматов для моделирования распределения населения в процессе развития территории

В пункте 3.1 приводится информация о клеточных автоматах, их специфике, правилах функционирования и использовании в различных сферах человеческой деятельности. Для отработки техники моделирования с помощью клеточных автоматов было решено несколько упрощенных модельных задач.

В пуню-е 3.2 рассмотрен закон Ципфа и его прикладное значение. Города во всем мире, несмотря на имеющиеся различия, демонстрируют общие черты, которые можно объяснить существованием единых, универсальных законов городского роста и структурной организации. Один из них — закон Ципфа, который утверждает, что

существует степенная зависимость вида /(п) к п~г между численностью городского населения п и долей Дп) таких городов в общем их списке, причем, г « 2.

Рис. 1. Графики распределения населения городов Юж. Европы, Швейцарии и РФ в логарифмическом масштабе по обеим осям. Прямые линии имеют коэффициент наклона -2.

Рассмотрено распределение населения городов РФ по данным Госкомстата на 1 января 2010 года. Приближение методом наименьших квадратов показывает, что для распределения городов РФ г = 1.9. Полученные данные для РФ были сравнены с уже известными распределениями численности городов других стран мира. На рис. 1 продемонстрированы графики распределения в логарифмическом масштабе по обеим осям для 100 крупнейших городов мира, 1300 административных делений Швейцарии и 10 стран Южной Европы. Для наглядности на график также добавлены прямые линии с коэффициентом наклона -2. Видим, что показатель г зависимости /(п) а--п'г чрезвычайно однороден га2, что говорит о схожих тенденциях в процессе градо-формирования. Как свидетельствуют результаты выполненного сопоставления, представленные на рисунке, данная степенная зависимость справедлива на протяжении нескольких десятилетий, несмотря на существующие различия в демографических, социальных и экономических условиях развития.

В пункте 3.3 приводится описание модели клеточного автомата. Рассматривается модель клеточного автомата, динамика которой строится на основе двух процессов - реакции и распространения (диффузии). Данная модель была введена Б.С.МапгиЫа и О.Н.гапейе. Эта модель дискретна по времени и рассматривается в пространстве квадратной решетки размера ЬхЬ. Каждая ячейка решетки в,}) в момент времени I представляет собой величину населения т(1,], ¡) в условных единицах. В качесгве начального состояния будем рассматривать однородное распределение по всем ячейкам области, в нашем случае полагалось т(г, ], 0)=1 для всех ячеек (г, ]). Один временной шаг модели состоит из двух этапов: Распространение.

Процесс распространения описывается следующим уравнением:

т{1,I+ М2) = (\ --а)т(1,],()+—(т{г -\,j,t) + m(i + \,j,t)+m(iJ-l,t)+т(/,} + 1,г)), (6)

где 0 < а < 1.

Здесь на каждом временном шаге ячейка теряет часть своего содержания а, которое равномерно распределяется между четырьмя ее соседними ячейками. Если текущая клетка находится на границе области, то её соседней является соответствующая клетка на противоположной стороне квадрата. Таким образом, реализуется замы-

кание расчетной области. Основной смысл этого процесса заключается в миграции населения из высоко заселенных участков в низко заселенные, тогда как в участках с умеренной численностью населения значение т остается практически неизменным.

Реакция.

Далее, к процессу распространения добавляется процесс реакции, который описывается уравнением:

т(и.' + 1) = р_1т(/,у,г+1/2) С вероятностью/),

т{ 1,/,<+1)=0 с вероятностью (1-р), (7)

где К 1+1/2< /+7, 0<р<1.

Данный процесс является обобщением модели перемежаемости, введенной Зельдовичем. Зельдович доказывал появление структурности в случайных средах, указывая, что случайность является основным механизмом возникновения структуры. При действии событий, определяемых нами как реакции - в некоторые моменты времени величина населения начинает резко отклоняться от среднего значения. Эти отклонения появляются там, где накапливаются благоприятные условия для развития городов, тогда как в оставшихся участках, чье число растет со временем, население быстро уменьшается.

Интерпретируя параметры модели, можно сказать, что они описывают различные социально-экономические условия территорий. Области, характеризующиеся значениями параметра р, близкими к 1, и значениями параметра а, близкими к 0, соответствуют городам с длительной историей и устоявшимися традициями - например, в странах Западной Европы. Города, находящиеся в процессе формирования, характеризуются низкими значениями параметра р и высокими значениями параметра а - например, в странах Африки.

В пункте 3.4 описана разработанная компьютерная технология дискретного моделирования процесса развития территории.

Введем следующее определение: городом будем называть большую группу связанных густозаселенных ячеек. Для определения числа городов, полученных в ходе имитационного моделирования, применялся кластерный анализ. Разработанный метод представляет собой иерархическую процедуру, суть которой заключается в последовательном присоединении ячеек с максимальным значением численности населения к наиболее схожим кластерам, где в качестве меры сходства используется евклидово расстояние.

Описанная выше модель клеточного автомата и процедура кластеризации реализованы в виде программы, с помощью которой выполнено имитационное моделирование развития территории при различных значениях параметров модели, в различных пространственных масштабах и на различных интервалах времени. На рис. 2 представлено несколько полученных вариантов развития территории. Рисунки иллюстрируют распределение численности населения при различных значениях параметров модели. Основная часть населения сосредоточена в более темных по цвету областях. Эта части могут быть интерпретированы как зарождающиеся города, к которым стремится остальное население области.

Программа позволяет произвести анализ распределения численности населения, полученного в ходе моделирования. По результатам данного анализа было установлено, что полученные в ходе компьютерного моделирования распределения также соответствуют рассматриваемой степенной зависимости с показателем степени -2. С помощью критерия однородности х1 была доказана гипотеза о том, что при опреде-

Также в диссертационной работе построены графики зависимости прироста общей численности населения территории от параметров модели а и р и графики зависимости вероятности возрастания численности населения с течением времени от значения параметра р.

В пункте 3.6 рассматривается модификация модели клеточного автомата, в которой различным участкам решетки могут соответствовать различные значения параметра р. В итоге было показано, что количество испытаний, в которых «выживает» ячейка из области с высокими значениями р, выше, чем у соседней ячейки из области с низкими значениями р. При этом было установлено, что вероятность «выживания» населения (сохранения ненулевого значения численности населения) также зависит от конфигурации области, в которой принимаются высокие значения параметра р. Таким образом, оперируя факторами, влияющими на миграцию, и методом клеточных автоматов, можно представить карту местности в виде решетки и заполнить ее соответствующими вероятностями для каждого участка, что позволит наблюдать за работой клеточного автомата с привязкой к реальной местности.

Глава 4. Моделирование миграционного процесса на основе детерминированного подхода

Пункт 4.1 содержит введение главы 4.

В пункте 4.2 содержится постановка задачи и описание математической модели. Эта модель позволяет учитывать дополнительные факторы для исследования динамики численности населения, которые описывают экономические перспективы развития территориального образования. Характеристики системы выражаются тремя переменными: Х(1) - объем выпуска продукции и услуг, производимых на конкретной территории; г(!) - численность населения территории; г (г) — средние цены на первичном рынке жилья. Развитие территории описывается динамической моделью:

¿х

--о,(о2Г-а,Х),

их

<*Г /оч

— = с,(с2 х - С3 Г) - с/г, (8)

¿г

--л-ху-а^г,

<1 г

где а.,с],с!11 >0. Данная модель содержит девять параметров.

Коэффициент а2 характеризует номинированный на душу населения спрос на продукцию, производимую на рассматриваемой территории. Параметр а3 интерпретируется как уровень предложения продукции внутри территории. Следовательно, а2 у — общий спрос жителей на выпускаемую продукцию, аъ х — общий поток произведенной продукции на рынок рассматриваемой территории. Таким образом, первое уравнение системы показывает, что скорость изменения производства продукции пропорциональна избытку спроса над предложением. Параметр о, имеет смысл скорости установления.

Второе уравнение модели описывает изменение численности населения территории. Коэффициент с2 интерпретируется как спрос на труд со стороны фирм для производства единицы продукции. Следовательно, с2 х - это общий спрос на данный

Методика включает в себя расчеты на основе реальных статистических данных, зафиксированных ГКС для регионов России за рассматриваемый период, и содержит следующие этапы:

1. Вычисление производных в уравнениях модели (8).

2. Расчет коэффициентов модели (8) за каждый год рассматриваемого периода.

3. Нахождение итоговых коэффициентов модели (8), определяющих динамику развития региона на всем анализируемом интервале

4. Анализ построенной модели, включающий в себя сравнение полученных результатов с реальными данными.

Описанная методика была применена к моделированию ситуации, характерной для социально-экономического развития ряда регионов страны - Пермского края, Московской обл. и Тюменской обл. за период 2004 - 2008 г.г. По результатам выполненного моделирования показано, что предлагаемая модель и её интерпретация, включающая разработанную методику определения коэффициентов, являются адекватными и хорошо воспроизводят реальные процессы в социально-экономическом развитии любого региона России и может быть использована для дальнейшего прогнозирования.

В заключении формулируются основные научные результаты выполненных исследований:

1. Предложена регрессионно-вероятностная модель, основанная на реальных статистических данных, с помощью которой возможно прогнозирование распределения миграционных потоков по федеральным округам РФ. Показано, что построенная модель может быть получена в рамках макросистемной концепции.

2. Разработан программный модуль, который позволяет выполнять имитационное моделирование развития территорий на основе модели клеточного автомата и выполнять анализ распределения численности населения, полученного по результатам компьютерного моделирования.

3. Получены новые результаты в рамках модели клеточного автомата, в числе которых: построенная зависимость динамики численности населения от параметров модели; разработанная методика решения обратной задачи, позволяющая по реальным данным процесса градоформирования оценить параметры модели клеточного автомата; выполненная модификация рассматриваемой модели клеточного автомата, позволяющая учитывать ограничения вдоль границ и внутри моделируемой территории. На основе статистических данных построено распределение численности населения городов РФ и установлено его соответствие закону Ципфа.

4. Предложена новая интерпретация для переменных модели Лоренца, учитывающая зависимость изменения населения территории от ВВП, производимого в ней, и стоимости жилья. В широком диапазоне значений безразмерных параметров проведен качественный и количественный анализ, определены типы особых точек и построены границы бифуркаций решений.

5. Разработана методика оценки социально-экономического развития территории с помощью детерминированной динамической модели на основе реальных статистических данных. Выполнена подобная оценка для Пермского края, Московской и Тюменской областей за 2004 - 2008 г.г.

Таким образом, совокупность предложенных моделей позволяет решать три различные задачи, связанные с миграцией населения: регресионно-вероятностная модель — статистический анализ миграционных потоков между крупными территориальными образованиями; модель клеточных автоматов - миграции из "деревни" в "город" и пе-

15

Въезд иностранных граждан на территорию РФ по целя*

Страны Цели поездки 2010г. 2011г. Измененг иностраг въехавших По ср аналогичн 2011

Австралия Всего 30 584 34 868

Туризм 21 167 24 775

Служебная 5 204 5 646

Австрия Всего 67 606 70 388

Туризм 28 290 28 034

Служебная 26 872 29 103

Болгария Всего 38 446 42 031

Туризм 6 004 6 800

Служебная 13 545 14 661

Великобритания Всего 212 847 221 418

Туризм 126 454 128 533

Служебная 63 155 67 839

Венгрия Всего 20 736 23 241

Туризм 6 436 6 463

Служебная 8 933 10 806

Германия Всего 611 367 629 391

Туризм 347 214 346 627

Служебная 166 889 180 699

Греция Всего 33 296 33 569

Туризм 18 117 17 060

Служебная 5 171 5 749

Египет Всего 10 273 11 561

Туризм 2425 2 705

Служебная 2 880 3 722

Израиль Всего 100 291 114 380

Туризм 58 694 75 468

Служебная 12 477 10 617

Иордания Всего 3 024 3 215

Туризм 950 967

Служебная 703 860

Испания Всего 110 601 129 730

Туризм 86 732 100 773

Пермский государственный национальный исследовательский университет

На правах рукописи

Васильева Татьяна Павловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИГРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ТЕРРИТОРИЯХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

О Диссертация на соискание ученой степени

^ кандидата физико-математических наук

ю „ ю £

СО Щ

^ Научный руководитель:

^^ О) доктор физ.-мат. наук, профессор Русаков C.B.

Tt 041

Пермь-2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................4

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ ИНСТРУМЕНТ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ МИГРАЦИИ НАСЕЛЕНИЯ...................................................10

1.1 Проблема миграции населения. Факторы, влияющие на миграцию..........10

1.2 Математические модели миграции, их классификация. Аналитический обзор литературы...................................................................................................13

1.3 Выводы по главе 1............................................................................................22

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ МИГРАЦИОННЫХ ПОТОКОВ С ПОМОЩЬЮ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПОДХОДА...................................................23

2.1 Введение............................................................................................................23

2.2 Описание математической модели и постановка задачи.............................24

2.3 Стохастическое моделирование региональной подсистемы.......................26

2.4 Макросистемный подход к моделированию миграции населения.............33

2.5 Выводы по главе 2............................................................................................40

ГЛАВА 3. МЕТОД КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛНИЯ НАСЕЛЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ РАЗВИТИЯ ТЕРРИТОРИИ..41

3.1 Введение............................................................................................................41

3.2 Закон Ципфа и его прикладное значение......................................................43

3.3 Описание модели клеточного автомата.........................................................46

3.4 Компьютерная технология дискретного моделирования процесса развития территории..............................................................................................................49

3.5 Результаты, полученные в ходе моделирования...........................................54

3.6 Моделирование развития территории с распределенной вероятностью ...61

3.7 Выводы по главе 3............................................................................................69

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МИГРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ПОДХОДА..............................................70

4.1 Введение............................................................................................................70

4.2 Постановка задачи и описание математической модели.............................71

4.3 Исследование эволюции территории средствами качественной теории динамических систем.............................................................................................74

4.4 Количественный анализ модели.....................................................................78

4.5 Построение бифуркационных диаграмм.......................................................83

4.6 Интерпретация результатов моделирования на основе реальных данных 88

4.7 Выводы по главе 4............................................................................................99

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................................100

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................................102

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.....................................................................................................110

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.....................................................................................................115

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.....................................................................................................117

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Одним из существенных источников формирования структуры населения на территории является его миграция. Под миграцией населения будем понимать любое территориальное перемещение населения, связанное с пересечением как внешних, так и внутренних границ административно-территориальных образований. Рациональное размещение населения способствует эффективному функционированию экономики, сглаживает региональные противоречия, устраняет внутреннюю социально-экономическую напряженность. Для любого цивилизованного государства важно, чтобы не происходила чрезмерная концентрация населения и экономики в одних регионах и запустение в других.

Имея сложную природу и многофакторную зависимость от всего комплекса условий, существующих на окружающей человека территории, миграция населения может быть квалифицирована как наиболее многоплановый и многосторонний социальный процесс.

Математическое моделирование миграции играют важную роль в изучении миграционных процессов, так как позволяет исследовать и прогнозировать данный процесс в зависимости от влияния на него различных факторов.

На миграционные процессы влияет множество факторов, но особое значение и это признается всеми учеными, имеют экономические, среди которых выделяют наличие рабочих мест, уровень заработной платы, жилищная обеспеченность и др. Также учитывается и случайный фактор, поскольку участниками миграционных процессов являются люди, обладающие собственными целями и интересами, предугадать которые невозможно.

За сравнительно небольшой исторический период, в который миграция населения изучалась, возникло достаточно большое количество научных подходов и теорий в изучении этого общественно-экономического явления. Математическому моделированию миграционных процессов в ходе развития

территориальных образований посвящены, например, работы В. Б. Занга (1999), Г. Хаага, Т. Хагэла, Т. Сигга (1996), Г. Хакена, Дж. Португали (1995), Л. А. Серкова (2008), которые основаны на синергетическом подходе. Работы В. И. Ресина, Ю. С. Попкова, С. В., Емельянова (2003-2004) посвящены вероятностным технологиям в управлении развития территории и миграции населения в частности. В работах Дж. Ченга, И. Мэйсера (2002), Д. Варда, А. Мюррея (2003), М. Бэтти, 3. Сана (1999), С. Манрубиа, Д. Занетт (1999) для моделирования распределения населения при развитии территории использован метод клеточных автоматов.

Существующие миграционные модели исследованы недостаточно и не имеют конкретных приложений в реальных условиях. Поэтому представляется актуальным развитие и модификация известных моделей с учетом различных факторов, влияющих на миграцию, и разработка на основе них собственных методик и приложений, позволяющих моделировать миграцию населения для регионов России.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка математического инструментария для исследования следующих миграционных процессов: миграционных потоков между крупными территориальными образованиями; миграции из "деревни" в "город" и перераспределение населения между малыми и большими городами (градоформирование); прием/отток трудоспособного населения в виду привлекательности или непривлекательности конкретного территориального образования.

Основные задачи диссертационного исследования. Поставленная в диссертации цель достигается путем решения следующих задач:

1. Разработка регрессионно-вероятностной модели миграционных потоков между федеральными округами России на основе статистической информации.

2. Исследование и модификация модели клеточного автомата, позволяющей обнаружить зависимость в распределении численности населения, соответствующую закону Ципфа.

3. Новая интерпретация детерминированной динамической модели и исследование на ее основе изменения численности населения с учетом экономических факторов территории, таких как объем продукции, выпускаемой на территории, и цена на первичном рынке жилья.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Регрессионно-вероятностная модель для прогнозирования миграционных потоков между федеральными округами РФ, построенная на основе реальных статистических данных.

2. Результаты параметрического исследования существующей модели клеточного автомата, выявившего возможные сценарии изменения численности населения территории и вероятности реализации этих сценариев.

3. Программный модуль, позволяющий выполнять имитационное моделирование миграции населения в территориях с помощью модели клеточного автомата и анализировать результаты моделирования.

4. Бифуркационные диаграммы состояний системы, построенные по результатам расчетов детерминированной динамической модели, которые позволяют осуществлять прогноз состояния системы при изменении параметров задачи.

5. Методика оценки социально-экономического развития территории с помощью детерминированной динамической модели на основе реальных статистических данных.

Научная новизна работы состоит в том, что

1. Построена новая регресионно-вероятностная модель миграционных потоков между федеральными округами РФ на основе реальных статистических данных.

2. Разработано программное обеспечение, реализация которого позволяет выполнять имитационное моделирование развития городов на основе модели клеточного автомата и анализировать результаты, полученные в ходе моделирования.

3. В ходе детального параметрического исследования существующей модели клеточного автомата получены новые результаты: построена зависимость динамики численности населения от параметров модели; разработана методика решения обратной задачи, позволяющая по реальным данным процесса градоформирования оценить параметры модели клеточного автомата.

4. Предложена новая интерпретация детерминированной динамической модели. Проведено широкое параметрическое исследование, в результате которого построена бифуркационная диаграмма для ранее не рассматриваемого значения бифуркационного параметра, что позволило уточнить состояния системы, характерные для рассматриваемых процессов.

5. Построена методика оценки социально-экономического развития территории с помощью детерминированной динамической модели на основе реальных статистических данных.

Практическая значимость работы заключается в том, что в ходе исследования проблемы миграции населения с помощью различных подходов построена совокупность математических моделей и соответствующий программный комплекс, которые позволяют моделировать миграционные процессы, протекающие при образовании и развитии современной территории. А именно, регрессионно-вероятностная модель позволяет прогнозировать состояние миграционного процесса для федеральных округов страны. Программная реализация модели клеточного автомата позволяет проводить имитационное моделирование структуры населения любых территориальных образований, с учетом особенностей их географической границы. Результаты, полученные в рамках исследования вопроса с помощью детерминированной динамической модели, дают возможность прогнозировать динамику изменения численности населения регионов РФ в зависимости от экономических показателей данных регионов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях и семинарах:

- X Международной научно-технической конференции "Кибернетика и высокие технологии XXI века" (Воронеж, 2009),

- Научных семинарах механико-математического факультета ПГНИУ, науч. рук. семинаров О. Г. Пенский (Пермь, 2010-2011),

- Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых "Современные проблемы математики и её прикладные аспекты" (Пермь, 2010),

- Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Актуальные проблемы механики, математики, информатики" (Пермь, 2010),

- XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2011),

- Семинаре "Лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей" ПГНИУ, науч. рук. семинара В. П. Максимов (Пермь, 2012),

- Семинаре Института механики сплошных сред РАН УО, науч. рук. семинара А. А. Роговой (Пермь, 2012),

- Семинаре кафедры "Механика композиционных материалов и конструкций" ПНИПУ, науч. рук. семинара Ю. В. Соколкин (Пермь, 2012),

- Семинаре кафедры "Математическое моделирование систем и процессов" ПНИПУ, науч. рук. семинара П. В. Трусов (Пермь, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 4 - в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций, получено свидетельство ИНИМ РАО ОФЭРНиО о регистрации электронного ресурса (№17680 от 12.12.2011).

Достоверность результатов подтверждена сходимостью применяемых численных алгоритмов и удовлетворительным соответствием результатов, полученных при моделировании, реальным статистическим данным.

Личный вклад автора. Постановка задач и построение моделей принадлежат совместно автору и научному руководителю. Личный вклад автора состоит в исследовании предложенных моделей, программной

реализации, анализе и содержательной интерпретации полученных результатов на основе реальных статистических данных.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 118 страниц, включая 27 рисунков и 16 таблиц. Библиографический список включает 94 наименования.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору, д.ф.-м.н. C.B. Русакову и доценту, к.ф.-м.н. Б.И. Мызниковой за постоянную поддержку работы.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ ИНСТРУМЕНТ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ МИГРАЦИИ НАСЕЛЕНИЯ

1.1 Проблема миграции населения. Факторы, влияющие на

миграцию.

Проблема миграции населения - одна из самых актуальных в мире. От её решения во многом зависят возможности развития экономики рассматриваемых территорий и условия жизни будущих поколений. Рациональное размещение населения способствует эффективному функционированию экономики, сглаживает региональные противоречия, устраняет внутреннюю социально-экономическую напряженность. Для любого цивилизованного государства важно, чтобы не происходила чрезмерная концентрация населения и экономики в одних регионах и запустение в других. Для России, переживающей демографический кризис, этот вопрос имеет принципиальное значение. Естественная убыль российского населения заставляет рассматривать международную миграцию как альтернативный источник формирования населения. Знания в области закономерностей миграционных процессов и управлениями ими, а также взаимодействия миграции населения с различными сторонами общественного развития влияют на выработку стратегий экономической, демографической и миграционной политики.

Под миграцией населения будем понимать любое территориальное перемещение населения, связанное с пересечением как внешних, так и внутренних границ административно-территориальных образований [16].

Под территориальной системой будем понимать территорию вместе с расположенными на ней объектами, с учетом взаимосвязей между ними, где среди объектов рассматриваются различные виды предпринимательства, жилой фонд, люди. Под территорией при этом рассматривается любая административная единица государства - город, область, регион и т. п.

Имея сложную природу и многофакторную зависимость от всего комплекса условий, существующих на окружающей человека территории, миграция населения может быть квалифицирована как наиболее многоплановый и многосторонний социальный процесс. Миграционные процессы зависят и влияют на все стороны социально-экономических процессов. Это и делает процесс миграции весьма специфическим и сложным объектом исследования.

Среди множества факторов, влияющих на миграционные процессы, выделим три группы:

1. Экономические:

a. Наличие рабочих мест

b. Уровень заработной платы

c. Жилищная обеспеченность, цены на жилье

2. Географические:

a. Климат

b. Расположение (близость к региональным/федеральным центрам)

3. Случайный фактор

Прокомментируем каждую из выделенных групп. Основной причиной миграции и это признается всеми учеными, являются экономические факторы, в основе которых лежит стремление мигрантов улучшить условия жизни [41]. Это обуславливается тем, что в современных условиях от наличия материальных средств зависит возможность получения всех благ и услуг, так как предложение зависит от наличия платежеспособного спроса. Многими учеными было установлено, что региональные изменения в структур