автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.15, диссертация на тему:Разработка методологии обработки данных при измерениях на основе концепции аттестации алгоритмов

о> На правах рукописи

СИРАЯ Татьяна Николаевна

РАЗРАБОТКА МЕТОДОЛОГИИ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ НА ОСНОВЕ КОНЦЕПЦИИ АТТЕСТАЦИИ АЛГОРИТМОВ

Специальность : 05.11.15 - метрология и метрологическое

обеспечение

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Государственном предприятии "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии имени Д. И. Менделеева"

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Цветков Э.И. доктор технических наук, профессор Новицкий П.В. доктор технических наук, профессор Кондрашкова Г.А. Ведущая организация - ВНИШС (Москва)

Защита диссертации состоится 1С октября 1997 года в 10 час. на заседании диссертационного совета Д 041.03.01 в зале заседаний ВНШШ им. Д.И.Менделеева по адресу: 198005, С.-Петербург, Московский пр., 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНИИМ им. Д.И.Менделеева.

Автореферат разослан Ф/, 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических нг старший научный сотрут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Методы обработки экспериментальных данных всегда играли существенную роль при измерениях. В настоящее время резко расширяется многообразие измерительных задач и возрастает их сложность. Ранее большинство измерительных задач сводилось к измерениям дискретных величин, а их преобразования (вычислительные процедуры) выносились за рамки собственно измерений. Ввиду широкого распространения и усложнения задач динамических измерений, оценивания функционалов и зависимостей между величинами повышается значимость сложных вычислительных процедур, включаемых в состав измерительной процедуры (с целью сглаживания данных, исключения промахов, введения поправок на систематические погрешности, управления измерительным экспериментом и др.). Все большее применение находят интеллектуальные средства измерений, которые осуществляют принятие решений в ходе измерения. Разрабатываются и используются сложные информационно-измерительные системы и комплексы, включающие ЭВМ как важную составную ча'сть.

Отмеченное расширение многообразия и усложнение современных измерительных задач сопровождается и неуклонным возрастанием требований к точности и достоверности результатов измерений. Соответственно, существенно повышаются и требования к методам обработки данных, в том числе - к методам нахождения результатов измерений и в особенности - оценивания погрешностей измерений.

Таким образом, требования измерительной практики обусловливают необходимость использовать разнообразные алгоритмы обработки данных, в том числе, нетрадиционные и достаточно сложные. Развитие математических методов и накопленный опыт их применения позволяет разрабатывать алгоритмы для решения поставленных задач обработки, а рост вычислительных возможностей способствует реализации указанных алгоритмов в практике измерений.

Разнообразие алгоритмов вызывает существенные затруднения у пользователей при выборе конкретного алгоритма для решаемой измерительной задачи (при ограниченных сведениях о свойствах экспериментальных данных). Вместе с тем, свойства используемого алгоритма обработки существенно влияют на точность результата измерения. При этом для пользователя алгоритма важна не его

оптимальность на определенной узкой модели, а гарантированная высокая эффективность алгоритма для достаточно широкого круга реальны! данных.

Кроме того, расширение традиционных областей измерений и появление многочисленных задач количественного оценивания, аналогичных измерительным, приводит к постановке новых (нетрадиционных) задач обработки данных и требует разработки методов их решения с применением различных алгоритмов обработки.

В этих условиях значительно усложняются задачи обеспечения единства измерений на этапе обработки данных (включая оценивание погрешностей).

Область обработки данных при измерениях, лежащая на стыке теории измерений и прикладной статистики, является одной из наиболее развитых и формализованных областей теории измерений. Вопросы теории погрешностей и обработки данных занимают видное место в книгах по теории измерений М.Ф.Маликова, П.М.Тиходеева, Г.Д.Бурдуна и Б.Н.Маркова, К.П.Широкова, В.А.Кузнецова, П.В.Новицкого, П.П.Орнатского, Э.И.Цветкова . G другой стороны, теория обработки данных при измерениях постоянно является стимулом развития прикладных задач и первоочередной областью приложений з работах по математической статистике таких видных специалистов, как А.Н.Колмогоров, Ю.В.Линник, Г.Крамер, Р.Рао, А.М.Яглом, И.А.Ибрагимов, А.М.Каган, О.А.Айвазян.

Кроме того, задачи анализа преобразований разрабатываются в различных разделах математики (теории информации, функциональном анализе, теории случайных функций) и находят применение в различных прикладных областях (теории связи, теории автоматического управления, прикладной теории сигналов), а также широко внедряются в измерительную практику.

Развитие теории обработки данных при измерениях (включая оценивание погрешностей измерений) как важного раздела теории измерений, связана с усилиями многих ученых: Е.Ф.Долинского, М.А.Земельмана, В.А.Кузнецова, П.В.Новицкого, С.Г.Рабиновича, Ю.В.Тарбеева, И.Б.Челпанова, Э.И.Цветкова и других.

Дальнейшее развитие обработки данных требует согласованного продвижения в трех основных направлениях. Первое из них - развитие методологии измерений: исследование содержания обработки данных как этапа измерительной процедуры, разработка методологии

оценивания погрешностей измерений. Второе - развитие современных математических подходов (робастной и непарамэтрической статистики, теории нечетких множеств, интервального анализа), в которых наряду с точностью оценок (при заданных моделях обрабатываемых данных) исследуется также их надежность (при отклонениях от строгих моделей). Необходима также адаптация методов к условиям измерительных задач. Третье направление, связанное с широким внедрением вычислительной техники в измерительную практику -исследование влияния свойств вычислительных устройств на результаты измерений.

Невозможно обеспечить единство измерений на этапе обработки данных путем стандартизации алгоритмов (даже для отдельных типов задач). Однако необходимо унифицировать подход к оцениванию свойств алгоритмов обработки данных. Таким образом, целесообразно вводить определенные показатели (характеристики) алгоритмов, которые дают наглядное представление об области применения и свойствах точности, надежности и сложности алгоритмов, позволяют объективно сопоставлять и обоснованно выбирать алгоритмы. Исследование алгоритмов обработки данных с целью определения их характеристик на унифицированных моделях исходных данных называют аттестацией алгоритмов. Поэтому разработка общей методологии обработки данных на базе аттестации алгоритмов представляется актуальной.

Цель и задачи работы Цель данной работы состоит в обеспечении единства измерений на этапе обработки данных при измерениях на основе разработки методологических принципов обработки данных и системы аттестации алгоритмов. Аттестация алгоритмов понимается как метрологически ориентированное исследование их свойств, то есть определение количественных показателей (характеристик) точности, надежности и сложности алгоритмов на разных моделях данных и при разных критериях. Результаты аттестации позволяют разносторонне характеризовать алгоритмы, сопоставлять их по различным свойствам и выбирать рациональный алгоритм для решения конкретной задачи, а также оценивать погрешности получаемых результатов измерений.

Для достижения поставленной цели необходимо, в первую очередь, решить следующие задачи:

формализация этапа обработки данных как заключительного

этапа измерения, включая детализацию структуры этапа и аналлз взаимосвязей операций, уточнение принципов оценивания погрешностей измерений и построение многоаспектной классификации алгоритмов обработки данных;

разработка методологии аттестации алгоритмов обработки данных, включая определение общей схемы аттестации, формирование наборов показателей качества алгоритмов и типовых моделей исходных данных, методов оценивания показателей на типовых моделях;

выполнение аттестации для важнейших груш алгоритмов обработки данных, в том числе, при прямых измерениях и при построении функциональных зависимостей;

разработка рекомендаций по практическому использования результатов аттестации в измерительной практике.

Методы исследований Поставленные в работе задачи решаются на базе современного математического аппарата, в том числе, математической статистики и анализа данных, теории случайных процессов и функционального анализа, и общей теории измерений, в том числе, репрезентацион-ной, информационной и алгоритмической теорий измерений, а также путем математического моделирования на ЭВМ.

Научная новизна работы.

1. На основе теории статистических решений и теории алгоритмов формализована модель этапа обработки данных как заключительного этапа измерения, включая модель процедуры оценивания погрешностей.

2. На основе конструктивной теории алгоритмов построена многоаспектная классификация алгоритмов обработки данных при измерениях по структурным признакам.

3. Разработаны научно-методические основы аттестации алгоритмов обработки данных при измерениях, включая постановку проблемы и формулирование принципов аттестации алгоритмов, формирование общей схемы аттестации алгоритмов обработки данных, требований к показателям качества алгоритмов и наборам типовых моделей исходных данных при аттестации.

4. Применительно к основным типам задач построения функциональных зависимостей при измерениях разработаны методы оценивания погрешностей построения зависимостей с учетом систематических погрешностей данных.

5. Построены и обоснованы конкретные схемы и процедуры аттестации алгоритмов для основных категорий измерений (прямых, косвенных, совместных и совокупных); выполнена аттестация ряда наиболее важных для измерительной практики алгоритмов.

6. Исследованы свойства и способы построения различных типовых моделей исходных данных, включая:

разработку практического метода аппроксимации эмпирических и теоретических распределений смесями гауссовсклх распределений;

построение временных интегральных представлений нестационарных случайных процессов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Построение формальной модели процедуры обработки данных, включая модель процедуры оценивания погрешностей измерений на основе теории статистических решений.

2. Принципы аттестации алгоритмов обработки данных при измерениях, включая общую схему аттестации алгоритмов, выбор характеристик алгоритмов и типовых моделей исходных данных, способы вычисления характеристик алгоритмов на типовых моделях.

3. Процедуры аттестации алгоритмов при прямых, косвенных, совместных и совокупных измерениях, включая выбор характеристик алгоритмов и типовых моделей исходных данных, получение характеристик алгоритмов на типовых моделях.

4. Рекомендации по выбору методов построения градуировочных характеристик средств измерений на основе аттестации алгоритмов построения зависимостей.

5. Оценки погрешностей построения функциональных зависимостей с учетом имеющейся априорной информации для основных функциональных видов зависимостей и важнейших классов алгоритмов.

6. Практический метод аппроксимации эмпирических и теоретических распределений смесями гауссовских распределений с целью формирования типовых моделей исходных данных при аттестации алгоритмов обработки.

Таким образом, в диссертационной работе разработаны теоретические и методические положения, совокупность которых, по мнению автора, можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного (в метрологии и метрологическом обеспечении) направления - обеспечения единства измерений на этапе обработки данных.

Апробация работы. Материалы диссертации прошли апробацию путем обсуждения 27 докладов на 20 международных, всесоюзных, всероссийских конференциях (совещаниях), в том числе, на Первом - Четвертом Всесоюзных совещаниях по теоретической метрологии (Ленинград, 1980, 1983, 1985, 1989), Всесоюзных симпозиумах по динамическим измерениям (Ленинград, 1984, 1988), Конференциях СОИИ (Москва, 1983, Суздаль, 1985), 3, 4, 9, 10, II и 12-й Зсеакадемических школах по проблемам стандартизации и метрологии (1985, 1986, 1990, 1991, 1992, 1993, 1995), международных конференциях ИМЕКО (Будапешт, 1983; Берлин, 1986; Пекин, 1989; Хельсинки, 1992).

Публикации.

Результаты исследований, составившие содержание диссертации, отражены в 47 публикациях во всесоюзных, всероссийских и зарубежных изданиях, включая 4 книги и I учебное пособие.

Практическая ценность работы. Результаты проведенных в диссертации исследований и аттестации алгоритмов обработки данных позволяют:

обеспечить единство измерений на этапе обработки данных при измерениях;

проводить систематизированный и многосторонний анализ свойств алгоритмов обработки данных в различных условиях;

повысить точность и надежность результатов измерений за счет рационального выбора алгоритмов обработки данных на основе результатов их аттестации;

ввести в метрологическую практику новые классы и конкретные алгоритмы обработки данных, в том числе, робастные и конфшоент-ные, которые позволят повысить эффективность обработки данных;

снизить трудоемкость создания и выбора способов обработки данных за счет использования аттестованных алгоритмов;

повысить качество реализации алгоритмов обработки данных в прикладных программах, используемых в измерительной практике.

Внедрение и реализация результатов работы. Полученные в диссертации научные результаты внедрены в 1рактику, реализованы и использованы следующим образом.

Разработана рекомендация Ш 2174-91 "Аттестация алгоритмов i программ обработки данных при измерениях. Основные положения", регламентирующая основные положения аттестации алгоритмов и зрограмм обработки данных при измерениях.

Разработана рекомендация МИ 2175-91 "Градуировочные характеристики средств измерений. Метода построения и оценивания погрешностей", регламентирующая основные способы построения градуировочных характеристик средств измерений и оценивания погрешностей построенных характеристик.

Результаты использованы при выполнении ряда НИР, проведенных в НПО "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева" и в ИПТ РАН, в том числе:

двух НИР по теоретическому обоснованию создания эталонов, в частности, групповых эталонов (ВНИИМ, 1974-76 гг.);

двух НИР по исследованию методов построения градуировочных характеристик средств измерений (ВНИИМ, 1976-77 и 1987-88 гг.);

двух НИР по разработке, научных и методических основ _ аттестации алгоритмов обработки данных при измерениях (ВНИИМ, IS8I-83 и 1989-91 ГГ.);

двух НИР по исследованию структуры измерительных процедур и методологии обработки данных при измерениях (БНИШ, 1981-83 и 1987-88 гг.);

НИР по разработке научно-методических основ совершенствования системы обеспечения единства измерений (ЮТГ РАН, I991-1995 гг.);

НИР по разработке методов рациональной организации измерений в научных исследованиях на основе структурного подхода и аттестации алгоритмов (ИНГ РАН, 1992-95 гг.).

Структура и объем работы. Основной текст диссертации состоит из введения, восьми глав, заключения.

Объем диссертации: основной текст - 290 стр., библиография - 302 наименования, приложения - 16 стр., таблиц - 29, рисунков - 9.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЪ

Во введении показана роль обработки данных при измерениях и выделены актуальные методологические проблемы.

Выделены и проанализированы три основных компонента, необходимых для развития методов обработки данных: методология оценивания погрешностей, математические (статистические) методы, возможности вычислительной техники. На основе анализа сделан вывод о целесообразности развития методологии обработки данных на базе аттестации алгоритмов, которая понимается как определение показателей алгоритмов, характеризующих их область применения и точность получаемых результатов обработки.

В первой главе проводится анализ структуры и содержания обработки данных как заключительного этапа измерения, связанного с предыдущими этапами измерительной процедуры (постановкой измерительной задачи; планированием и реализацией измерительного эксперимента). Этап обработки данных включает не только проведение вычислений согласно принятому алгоритму с целью получения результата измерения и показателей погрешности, но и предварительные операции (анализ исходной информации и внесете поправок на систематические погрешности; формулирование математической задачи обработки данных; выбор, построение или уточнение алгоритма обработки). Кроме того, в него входят и заключительные операции: анализ и интерпретация полученных результатов; запись результата измерения и показателей погрешности в соответствии с установленной формой представления.

Математическая формулировка задач обработки данных при измерениях в данной работе получается на основе последовательной конкретизации основного уравнения измерений, начиная с исходного соотношения при постановке измерительной задачи:

Р( Я, Г, Хл, Хг, ...) = о ; где 3 - измеряемая величина; Хл, Хг, ... - непосредственно наблюдаемые аргументы. Далее это дополняется соотношениями, отражающими следующие этапы - планирование измерения й выполнение эксперимента. В итоге на заключительном этапе обработки данных получается объединенная система уравнений вида:

( а, х1Г и., V.) = о

= х. + 5 ( Х{. ), у.г.. + 5 Г

где х^ , у{} - результаты наблюдений; С (а;^), 0 (у.р - их погрешности .

Приближенное решение расширенной системы Я, близкое к истинному значению (} (согласно определенному критерию), предста-вимо в виде, отражающем зависимость от результатов наблюдений, влияющих величин, метрологических характеристик СИ:

Ъ = Я ( УЦ. Хц. V.) [ 0 ] ,

что уточняет основное уравнение измерений.

Важной частью обработки данных является оценивание погрешностей измерений, осуществляемое согласно следующей схеме:

1) Формирование модели погрешности результата измерения, включая методическую погрешность алгоритма С. и трансформированную погрешность

с «И = с г е., а (Г5.), 5 (.у.х.) 1.

Например, при представлении результата измерения как явной функции от результатов наблюдений: Я = Р ( хл, ул, .... хп, уп.К погрешность измерения прэдетавима в виде:

С ( Я ) = С. + 2 г т^ С ( х. ) + 7}^ С ( У; )]. где г]г.= ЭР / дх{, д¥ / а у. - коэффициенты влияния.

2) Выбор показателей погрешностей - параметров или функционалов £.( С ). определенных на моделях погрешностей.

3) Вывод выражений для показателей погрешности измерений

I (5) = И I ({), Ъ в (Гц), I 5(уи)

4; Оценивание показателей элементарных погрешностей I X ); точность оценивания согласуется с целью и

требуемой точностью измерения.

5) Объединение (суммирование) полученных показателей составляющих с целью получения показателей погрешности измерения.

На основе анализа основных видов показателей погрешностей: точечных ( среднего квадратического отклонения (СКО), среднего модуля, вариации Аллана) и интервальных (доверительных или детерминированных) выделены облаети их предпочтительного применения в соответствии с этапами обработки данных.

Анализ предложения Рабочей группы при МБМВ использовать аналоги СКО для оценивания неслучайных составляющих погрешностей приводит к необходимости исследовать соотношения границ и СКО: Л = к Э ; и обосновать выбор коэффициента к. Один из подходов к

обоснованию коэффициентов основан на рассмотрении квантилей набора распределений, включая гауссовское, равномерное, экспоненциальное и гамма-распределения. Тогда при оценивании границ суммарной погрешности А = к 5 целесообразно принимать к = 2,0 (для технических или лабораторных измерений) или к = 2,5 (для метрологических измерений). Кроме того, при оценивании аналогов СКО по известным границам: = А V к. - обычно целесообразно принимать коэффициент к. = 1,7 .

Сопоставление новой классификации составляющих погрешностей, предложенной Рабочей группой при МБМВ - на оцениваемые статистическими и настатистическими методами - с традиционной классификацией составляющих по их свойствам (на систематические и случайные) показывает, что новая классификация не заменяет традиционную, а дополняет ее применительно к заключительному этапу оценивания погрешностей.

Формализованные описания измерения и этапа обработки данных основываются либо на приведенных выше уточненных уравнениях измерений, либо на операторных представлениях. На основе теории алгоритмов и статистических решений получается следующее представление алгоритма обработки данных при измерениях:

ф = г* * п Р; - ?0 : и -* я . где Т/ = X х 7 - множество исходных данных при обработке; включая X = Г (хл.....хл) У - множество результатов наблюдений; V = { ..., иа) } - множество вспомогательных данных,

2 = А х II - множество возможных результатов измерений, включая А = С (аЛ, ..., ^ ) - оценки величин; и - С ..., иа)} - показатели погрешностей результатов .

Р. - отображения, описывающие последовательность преобразований данных.

Во второй главе излагается общая схема аттестации алгоритмов обработки данных при измерениях. Аттестация алгоритмов понимается как определение их показателей точности, надежности и сложности с целью объективного сопоставления и рационального выбора алгоритмов, а также оценивания погрешностей получаемых результатов. Этот подход согласуется с метрологической идеологией аттестации средств измерений и методик выполнения измерений, а также методологией современного анализа данных.

Аттестация алгоритмов проводится в рамках однородной группы алгоритмов А = { а } , предназначенных для решения одной задачи обработки. Предложена рабочая классификация алгоритмов по основным структурным признакам:

1) вид и форма представления искомой характеристики;

2) вид и форма представления исходных данных;

3) вид и структура вычислительной процедуры.

После выделения подчиненных частных признаков получается развернутая классификация алгоритмов. Наиболее значим при аттестации третий признак, которому подчинены частные признаки, отражающие математическое содержание и структурные особенности алгоритма:

a) подход (принцип) при построении алгоритма;

b) математическая модель исходных данных;

c) критерий качества (оптимальности) результатов;

(1) способ задания вычислительной процедуры;

е) способ управления порядком вычислений.

Аттестацию алгоритмов целесообразно выполнять согласно следующей общей схеме:

1. Выбрать П,, ..., Пв - характеристики (показатели) алгоритмов, предназначенные для сопоставления алгоритмов в группе А.

2. Выбрать ил ..... иш - типовые модели исходных данных

на входе алгоритма, характерные для данной измерительной задачи.

3. Вычислить (оценить) значения характеристик алгоритма на типовых моделях исходных данных:

* (*.;;= П. С а , и, } .

Значения % ( I,} ) представляют собой числа либо зависимости показателей алгоритма от параметров моделей исходных данных и могут быть представлены в виде формул, таблиц или графиков.

Результаты аттестации представляются в виде таблицы

П ( а ) = И % ( {, / ) || ,

которая содержит значения (выражения) показателей алгоритма на типовых моделях данных и (с соответствующими пояснениями) оформляется как свидетельство об аттестации алгоритма.

Выделяют три группы показателей качества алгоритмов:

А. Показатели точности алгоритмов, предназначенные для оценивания составляющих погрешностей результатов измерений: основные - в случае соответствия исходных данных типовым моделям; дополнительные - при отклонениях от типовых моделей.

B. Показатели устойчивости (надежности), определяющие область работоспособности алгоритмов.

C. Показатели сложности, отражающие вычислительные затраты при использовании алгоритма.

Набор типовых моделей исходных данных для аттестации алгоритмов формируется так, чтобы полно отражать типичные для задачи ситуации, и в то же время - охватывать крайние (критические) случаи; кроме того, модели должны допускать простые аналитические представления или моделирование.

Разновидности процедуры аттестации выделяются в соответствии с их конкретными целями и метрологической направленностью. В частности, выделяются общая (или исследовательская) аттестация как наиболее полное исследование свойств точности, устойчивости и сложности алгоритма (для широкого круга задач ) и метрологическая аттестация как конкретное исследование в рамках определенной измерительной задачи, методики выполнения измерений или измерительной системы. Последняя строго регламентирована нормативно-техническими документами, а ее результаты имеют в большей степени законодательный характер. Результаты общей аттестации носят преимущественно справочный характер и ориентированы на использование при выборе алгоритма для конкретной задачи.

Различные цели аттестации обусловливают вариации в ее реализации (например, при выборе характеристик алгоритмов или типовых моделей данных). Так, при метрологической аттестации обычно используют минимальный набор показателей: границы методической погрешности ; СКО случайной составляющей и границы систематической составляющей трансформированной погрешности. При этом типовые модели данных обычно немногочисленны и конкретны, но могут быть сложными. При общей аттестации алгоритмов вводят также дополнительные характеристики точности, полезные для сопоставления алгоритмов. При этом число типовых моделей может быть значительно, но их вид должен быть простым.

В соответствии со способом реализации алгоритма различают аттестацию исходного алгоритма обработки (заданного формулами или итерационной процедурой) и реализующей его программы. Последняя процедура основана на первой, но включает также исследование дополнительных свойств, обусловленных ограниченностью разрядной сетки, структурно-системными особенностями, стандартным математическим обеспечением, процедурами округления и т.п.

Выделение аттестации алгоритмов как самостоятельной первоочередной процедуры обусловлено необходимостью выбора алгоритма для решения задачи и возможностью различных программных реализаций алгоритма. При этом показатели "теоретических" алгоритмов подобии методическим составляющим погрешностей, а дополнительные показатели программных реализаций - инструментальным.

Наиболее трудоемким этапом аттестации алгоритма является оценивание его показателей на типовых моделях исходных данных: it.. ( а ) = П. ( а , u.J ) .

Показатели алгоритмов находят либо аналитическими методами, дающими значения показателей тси( а ) в виде явных функций от параметров типовых моделей, либо приближенными численными методами, дающими приближенные аналитические зависимости *тс. - ( а ) или таблицу показателей для наборов параметров моделей, либо математическим (в частности, статистическим) моделированием. Целесообразно применять указанные подходы совместно, например, изучение асимптотического поведение показателей - часто возможно путем численных или аналитических методов. При аттестации программных реализаций алгоритмов обычно применяют имитационное моделирование данных с последующей обработкой результатов.

В третьей главе приведены результаты аттестации алгоритмов обработки данных при прямых измерениях, которые являются базовыми для других групп алгоритмов.

При прямых измерениях набор данных хЛ , хг .....гп ,

имеет следующий вид:

хк = а + + I = I ... п,

где {. и i. - случайные и систематические погрешности результатов наблюдений; и ставится задача оценивания параметра а .

В настоящее время преимущественно используется классическая оценка - среднее арифметическое х , однако в действительности существует много оценок - более 50, которые могли бы быть полезны при измерениях. Поэтому проблема выбора алгоритмов актуальна, и ее следует решать на основе аттестации.

Первый этап исследования алгоритмов - классификация и анализ качественных свойств. Выделены основные группы алгоритмов:

А. Оптимальные

1. Среднее арифметическое х .

2. Выборочная медиана med.

3. Середина размаха А = ( xj + х* ) / 2 .

B. Робастные

п-к

4. Усеченные средние х га; = 2 х) / (п - 2k) .

I - к » 1 1

5. Винзоризованные средние .

6. Робастные М-оценки, получаемые из условия:

о

min 2 Ф i ( х. - а ) / з 1, i -1 1

где а из- оценки среднего и СКО.

Семейство М-оценок обширно, поскольку можно задавать различные:

a) весовые функции Ф (в частности, функции Хубера, Хампела,

Андрюса, Тьюки);

b) параметры весовых функций (определяющие уровень усечения);

c) итерационные схемы: Ньютона; взвешенный МНК;

d) начальные приближения (например: х , med).

C. Эвристические и непараметрические

7. Сглаженные медианы .

8. Линейные комбинации медианы и симметричных квантилей, в том

числе, полусумма квартилей, оценки Гаствирт и Тьюки .

9. Оценки Ходаеса-Лемана (медианы полусумм порядковых статистик)

10. Линейные комбинации порядковых статистик А - Z с. х! .

11. -Комбинированные оценки, основанные на грушах различных по

свойствам оценок, в частности: На. Оценка Новицкого - медиана из пяти оценок: х , med, полусумма квартилей х^ , середина размаха А , х (0,25).

12. Адаптивные оценки (Хогга и Прескотта), основанные на экспоненциальных распределениях и усеченных средних. Аттестация указанных групп алгоритмов - определение их

количественных характеристик согласно следующей схеме:

Основные показатели точности: П, ( а ) = сг( а ) - СКО случайной погрешности результата; Пг( а ) = В( а ) = U ( а ) - а0 - смещение оценки; П ( а ) = А ( а ) - граница систематической погрешности.

Удобно представлять показатели точности в относительной форме, по отношению к показателям среднего х :

П, ( а ) = cr( а ) У~п / <го .

Показатель устойчивости алгоритма: Пг( а ) = а*( а ) -точка срыва (допустимая доля недостоверных данных).

В качестве типовых моделей случайных погрешностей данных принимаются случайные величины со средним 0 и дисперсией сгг, имеющие распределения : - гауссовское, иг - равномерное ; и} - двойное экспоненциальное, ик - засоренное гауссовское.

Типовыми моделями систематических погрешностей являются детерминированные последовательности, прежде всего: di а - постоянная ; dzj= с J / п - линейная ; d4j= с sin (J ы + ф синусоидальная .

Полученные таблицы характеристик ряда алгоритмов усеченных средних: среднего арифметического х = х (0) и слабо усеченного среднего х (0,05) ; сильно усеченного среднего х (0,25) и медианы med = х (0,5) - показывают существенное различие их свойств.

Далее широкая группа алгоритмов сопоставлена по одному основному показателю - П( для различных типовых распределений (прежде всего, засоренных гауссовских). При этом часть показателей вычислена на основе асимптотических выражений, а остальные -получены путем моделирования для выборок объема п - 20 (моделирование выполнено с использованием статистического пакета BSDF).

На основе полученных результатов аттестации можно давать рекомендации по выбору алгоритмов для различных ситуаций. В частности, осторожный вариант для случая незначительной априорной информации предусматривает последовательное использование одной из простых робастных оценок (усеченного среднего или М-оценки Хубера) и далее - более сложной оценки (например, М-оценки Андрюса), с сопоставлением оценок на двух этапах .

Косвенные измерения, задаваемые функциональной зависимостью измеряемой величины Q от наблюдаемых аргументов ,..., Хл : Q - f ( X, .....Хт ),

разделяются на две основных группы: а) сводимые к прямым; Ь) несводимые к прямим. В последнем случав обработка данных сначала ведется для каждого аргумента отдельно, и затем оценки подставляют в исходную зависимость;

Q = / ( X, , X ) .

* I TTV

При исследовании алгоритмов обработки данных при косвенных измерениях базовыми являются частные алгоритмы для прямых измерений отдельных аргументов. Поэтому аттестация алгоритмов обработки для косвенных измерений сводится к аттестации частных алгоритмов для прямых измерений аргументов я нахождению вираже-

ннй для показателей погрешностей искомого результата через показатели аргументов. Такие выражения известны для линейных и допускающих линеаризацию функций.

Таким образом, прямые и косвенные измерения являются базовыми в отношении обработки данных для более сложных измерений: прямые - в плане вычисления результата измерения, а косвенные -оценивания погрешностей (поскольку зависимость результата измерения от результатов наблюдений аналогична определению косвенно измеряемой величины как функции аргументов).

В четвертой главе, наибольшей по объему, рассматриваются алгоритмы построения функциональных зависимостей Y.= / (X) на основе результатов измерений величин X. , V. :

х. = X. + дг.. =Y. + Syi ,

где YK= f (Х{); 5xi, 5ai - погрешности измерений. Наиболее интересный для измерительных задач частный случай - градуировка средств измерений.

Погрешность построения зависимости в точке X определяется как разность между эмпирической Y = f (X) и истинной Y = fJX) зависимостью: £(Х) = f(X) - TJX). Далее характеристики погрешности определяют либо для отдельных точек: А (X) = А [С (Л1, либо для кривой в целом А = mar А (X) .

■ Хотя разработано много методов построения зависимостей, в измерительной практике преимущественно используется метод наименьших квадратов (МНК), оптимальный при условиях:

1) значения аргументов X. известны точно;

2) погрешности £ t- однородные независимые случайные величины;

3) погрешности CBi имеют гауссовские распределения.

Анализ типичных для измерений ситуаций позволяет рекомендовать методы обработки при нарушении этих условий; в частности:

a) если имеются погрешности аргументов, но X - контролируемая переменная, то для построения линейной зависимости можно использовать МНК с уточнениями при оценивании погрешностей;

b) если аргументы неконтролируемы и содержат погрешности, то целесообразно использовать конфлюентные методы;

c) если имеются систематические погрешности у., то применение МНК возможно при дополнительном оценивании систематических погрешностей полученных зависимостей;

d) если погрешности yi коррелировали или неоднородны, то можно использовать обобщенный МНК, учитывающий корреляционную матрицу

погрешностей;

е) если распределения погрешностей у. негауссовские, то вместо МНК целесообразно использовать один из роОастных алгоритмов.

Таким образом, для измерительной практики важно аттестовать алгоритмы МНК для расширенной облаети применения, а также конфлюентные и робастные алгоритмы'построения зависимостей.

Конфлюентные алгоритмы, корректные при налгчии погрешностей аргументов, используют дополнительную априорную информацию:

1) если известна одна из дисперсий погрешностей, сг* или сг*, или отношение дисперсий агх / с*, то можно построить конфлюентную модификацию МНК или оценки обобщенной ортогональной регрессии;

2) если известен порядок возрастания истинных значений 1. или правило разбиения Х-х на группы, то можно использовать дробно-линейные оценки, в частности, Вальда или Барглетта.

Робастные алгоритмы построения зависимостей строятся по аналогии с прямыми измерениями; простейшие из них - усеченные оценки МНК, 1Р- и М-оценки.

Для аттестации алгоритмов построения зависимостей необходимо разработать методы оценивания погрешностей построения зависимостей с учетом систематических погрешностей данных. В работе получены общие выражения для таких оценок и конкретные формулы для частных случаев использования МНК, с учетом различных вариантов поведения систематических погрешностей (при повторных наблюдениях в одной точке, при изменении по диапазону).

Рассматривается случай параметрического задания зависимости, поэтому результаты обработки - вектор параметров. Основные характеристики точности алгоритмов построения зависимостей:

1) П1(а)=В(.а) = (М( а.) - а.а ) - вектор смещений

оценок параметров ;

2) Пг( а ) = В ( а }= \ сои ( а{ , а. ) \ - корреляционная

матрица случайных погрешностей оценок параметров ;

3) П3(а) = ( й..(а) ) = ( аг( а. )) - вектор дисперсий оценок;

4) Пз(а)=Д(а) = СДСа. ) ) - вектор границ система-

тических погрешностей оценок параметров . Показатели точности в относительной форме:

П, ( а ) = | йи(а) п / о2 | = | а г( а. ) п / с2 | ,

П_( а ) = (А ( а. ) / Л ) .

Основные показатели устойчивости: П ( а. ) = 5*( а. ) - точка срыва оценки а. ;

** 1 г

П (а) = тах Пг(а.) = тах б (а.) - максимальная точка срыва.

Выделяются две группы типовых моделей данных х., у.: регрессионные (имеются точные значения аргументов х1 ) и конфлюентные (имеются погрешности как у., так их.).

В последнем случае вводятся типовые модели погрешностей да двух переменных, у и .г , причем возможны различные их сочетания. Для векторов результатов наблюдений (х;,...,хп) и (у,,..., уп) принимаются следующие типовые распределения: VI ( С ) - гауссовское; иг ( Я ) - равномерное;

УЗ ( I ) - экспоненциальное; 114 (КС) - засоренное гауссовское. Для систематических погрешностей типовые модели - последовательности, прежде всего: С/ - постоянная ; Б2 - линейная ; 03 - синусоидальная ; 04 - случайная, с равномерным рас-

пределением на (-8, Э).

При задании типовых моделей данных необходимо также указывать число наблюдений, а также соотношения погрешностей в различных точках. Для регрессионных моделей основные варианты дл! переменной у можно представить в виде: (Ю ) равноточные однократные наблюдения: п. = I, = в, = с; (Я2) равноточные многократные наблюдения (обычно равной

кратности): п1 = п, = е , аЧ = а; (ИЗ) неравноточные однократные наблюдения: п1 = I, 64 , оН ; (Я4) неравноточные многократные наблюдения (с заданными или оцениваемыми весами ): п. , е? е , аЧ = оИ а . Для конфлюентной модели аналогичные варианты вводят также для аргументов X. ; далее формируют различные сочетания моделей (Я1 - Я4) для переменных X и У.

При аттестации алгоритмов построения зависимостей стремятся получить аналитические выражения для основных показателей точности в зависимости от параметров типовых моделей данных (прежде всего, СКО и границ погрешностей). В работе приведены такие выражения для наиболее важных алгоритмов, основанных на методе наименьших квадратов (для линейных и нелинейных функций) и для некоторых конфлюентных алгоритмов.

Однако во многих случаях возможно получить аналитические выражения только для асимптотических показателей, а для конечных

выборок ил оценивают путем статистического моделирования. Это относится, прежде всего, к различным робастшм алгоритмам.

Ввиду сложности полной аттестации алгоритмов построения зависимостей часто в рзмках аттестации выполняют (на определенных моделях данных) сопоставление нескольких алгоритмов только по одному - двум наиболее существенным показателям. Кроме того, перспективно сопоставление нескольких алгоритмов на одном наборе реальных данных с хорошо изученными свойствами. В работе приведено сопоставление алгоритма наименьших квадратов и нескольких робастных алгоритмов на такого рода тестовом наборе реальных данных.

На основе полученных результатов аттестации алгоритмов построения зависимостей сформулированы практические рекомендации по выбору алгоритмов обработки данных при градуировке средств измерений, которые кратко изложены далее, в главе 8.

В пятой главе рассматриваются алгоритмы обработки данных при совокупных измерениях, к которым относятся калибровка наборов (магазинов) мер, процедуры воспроизведения и хранения единиц групповыми эталонами, сличают средств измерений одного уровня. Физико-метрологической основой целесообразности совокупных измерений является возможность формирования сумм (разностей) одноименных величин и более высокая точность измерений малых разностей величин, а также возможность контроля (коррекции) погрешностей при избыточности плана сличений.

При совокупных измерениях набора одноименных величин , ..., уравнения измерений имеют вид:

т

г, = 2 Сц и, , 1 = 1... п, I

где коэффициенты е^ принимают значения 0 или + I.

Для обработки данных чаще всего используется МНК; при этом система нормальных уравнений принимает вид:

2 Ъг. ^ = в, , где йч = 2 су сц , в, = 2 у{ са .

В матричном виде оценки МНК представимы как = 8"1 g, где вектор g = ( ^ ), матрица 3й обратна В = I I I I . Точность оценок МНК характеризуется дисперсионной матрицей

Б (Ц) = с2 В-1, где (Тг- дисперсия сличений.

МНК-оценки иногда представимы в явном виде, но чаше исполь-

зугот итерационные процедуры. Ввиду сложности таких оценок иногда используют их упрощенные модификации, как, например, при калибровке эталонных многогранных призм на эталоне плоского угла .

Общая схема аттестации алгоритмов при совокупных измерениях близка к случаю совместных измерений. Основные характеристики точности алгоритмов обработки данных:

1) П,( Я ) = В ( я ) = ( а С Я^ - Я1о ) - вектор смещений;

2) Пг1 Я ) = Б С Я )= С01> ( Я{ , Яj ) 2 - корреляционная

матрица случайных погрешностей ;

3) ПЛ(£?) = ( <1..СЯ) ) = ( а2( Я( )) - вектор дисперсий оценок;

4) П({})=Д<Ч)=(АГ - вектор границ систематических погрешностей. .

В шестой главе рассматриваются вопросы аттестации алгоритмов обработки случайных сигналов. При этом принципиальным является формирование моделей случайных сигналов для целей аттестации алгоритмов. В отличие от классических спектральных представлений стационарных процессов, в работе развивается временной подход, пригодный и для нестационарных процессов. Процесс второго порядка представим как суша стохастических интегралов от процессов с некоррелированными приращениями:

N 1

х а) - 2 $ В ( г, и ) Ога (и)

и-1 -оо

где N - краткость представления (возможно, бесконечная). Такие представления позволяют эфЗвктивно решать задачи прогнозирования и фильтрации процессов, строить конструктивные модели случайных сигналов.

Другой класс моделей - основан на функциональном гильбертовом пространстве Н (В), построенном по корреляционной функции процесса В (я, £,). Это пространство содержит все функции видз В% = В (., t), причем скалярное произведение любой функции / на В% дает ее значение в точке : Г Вх)ъ= / а) .

Рассматривается задача оценивания параметров тренда а1, ..., ая по наблюдениям случайного сигнала у а) на интервале ( О, Т)

У а) = £ а. /.СП + х а );

где f (t) - известные функции; х (t) - центрированный случайный процесс с корреляционной функцией R (з, t) (неизвестной).

В случае нестационарных шумов перспективными являются "псевдонаилучшие" линейные В-оценки, построенные по мажорирующей корреляционной функции В (з, t) (это обобщение оценок МНК).

Условие состоятельности В-оценок формулируется в терминах функционального пространства Н(В). В работе приведены условия состоятельности В-оценок, соответствующих ядрам с ортогональными приращениями, для стационарных, гармонизуемых и линейно марковских шумов. Например:

Теорема I. Стационарный процесс со спектральной плотностью /(М подчинен процессу с однородными ортогональными приращениями, если и только если

аир { \г f (X) } < со .

Теорема 2. Случайный процесс со стационарными приращениями и спектральной плотностью /(Я) подчинен процессу с однородными ортогональными приращениями, если и только если

sup ( f (X) ) < 00 .

Теорема 3. Гармонизуемый процесс со спектральной плотностью /(А., V) подчинен процессу с однородными ортогональными приращениями, если и только если

аир Cl Xs f(X,v) f(\,p) <И / f(P,v)} < оо

Теорема 4. Линейно марковский процесс с корреляционной функцией R (3,t) = f(mln (3,t)) g(max(3,t)) подчинен процессу с однородными ортогональными приращениями, если функции / (t) и

g (t) непрерывны, отношение u(t) = f(t) / g(t) > 0, возрастает,

I ! g'(t) !*u(t) at < оо ; \g (t) l*u'(t) $ с < оо .

В седьмой главе изложены основные положения анализа качества программ (пакетов прикладных программ) обработки данных при измерениях, что актуально в связи с широким использованием вычислительной техники. Анализ качества пакетов программ основан на аттестации исходных алгоритмов, а также оценивании дополнительных показателей программных реализаций алгоритмов и системного анализа построения пакета.

Прежде всего, выделяется анализ набора алгоритмов, реализу-

юцих решение заданной группы задач обработки; в частности: проверка полноты набора алгоритмов, корректности выбора алгоритмов и их взаимной согласованности; определение (оценивание) характеристик точности, надежности и сложности алгоритмов. Далее, проводится анализ свойств программных реализаций алгоритмов в данном пакете; включая проверку корректности реализации алгоритмов и определение характеристик точности, надежности и сложности программ. Наконец, необходим анализ программно-системных аспектов построения пакета, в том числе, свойств пользовательского интерфейса.

Выделенные общие принципы анализа качества программ позволяют связать ату задачу с аттестацией алгоритмов и наметить первоочередные направления работ в этой области.

В восьмой главе излагаотся конкретные рекомендации по построению градуировочных характеристик средств измерений, полученные на основе аттестации алгоритмов построения функциональных зависимостей (изложенных в четвертой главе). Определен общий порядок построения градуировочных характеристик.

Рассматривается преимущественно аналитический способ представления и наиболее распространенные виды зависимостей:

( Ь ) : линейные У = а + Ь X = аа + Ъ ( X - X ) ; ( 1Т ) : приводимые к линейным ? = а + Ь 1 с помощь» замены переменных; X = и(Х) , ? = ь(У) ; ( Р ) : полиномиального вида / = 2 а^ ^ (X).

Выбор метода построения зависимости производится на основе:

a) функционального вида ПС;

b) сведений об аргументах Х1 (точные или с погрешностями);

c) сведений о погрешностях измерений аргументов Хл1 выходных величин ( вида распределения, дисперсиях или границах).

Для указанных вариантов рекомендованы методы построения градуировочных характеристик и оценивания их погрешностей, которые приведены в таблице.

Выбор методов построения градуировочных характеристик

А п р И о р н а я информация Методы построения градуировочных характеристик

Функц. вид ГХ Распре д. погр. Дисперсии Значения погреши. аргум.Х{

I Линейный Гаусс. Пост. Точные МНК

2 то же то же Изв.веса то же МНК с весами

3 то же то же Пост. Планир. МНК с привед.погр.

4 то же Прибл. то же Точные Усеченный МНК

гаусс.

5 то же то же Изв.веса то же Усеч. МНК с вес.

6 то же то же то же то же М-оценки Хубера

7 то же гаус. Изв. С погр. Модиф. МНК

<

8 то же то же то же Метод орт. регр.

9 то же Произв. Пост. Порядок изв. Дробно-лин. оценки

10 то же то же то же Равном. 0ц.Хаузнер-Бреннан

II то же то же то же 2 -3 гр. Оц.Вальд, Бартлетт

12 Прив. Гаусс. Пост. Точные МНК с весами

к лин.

13 то же то же Изв.веса то же МНК с.модиф.весами

14 то же Прибл. то же то же М-оценки Хубера

гаусс.

15 то же Гаусс. Пост. Планир. Модиф. МНК

16 то же то же Извест. С погр. Модиф. МНК

<

17 Полин. то же Пост. Точные МНК

18 то же то же Изв.веса то же МНК с весами

19 го же Прибл. Пост. го же Усеченный МНК

гаусс.

20 то же то же то же то же М-оценки Хубера

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исходя из принципов аттестации алгоритмов обработки данных, в диссертации разработаны теоретические и методические положения, которые в целом составляют методологическую базу обработки данных при измерениях. В частности, получены следующие результаты.

1. Формализована модель этапа обработки данных при измерениях, включая модель процедуры оценивания, на основе общей теории статистических решений.

2. Сформулирована проблема аттестации алгоритмов обработки данных при измерениях как актуальная задача метрологии, связанная с обеспечением единства измерений на этапе обработки данных при измерениях.

3. Построена классификация алгоритмов обработки данных по структурным признакам, которая позволяет выделять однородные группы алгоритмов для сопоставления и выполнения аттестации.

4. Сформулированы принципы аттестации алгоритмов как процедуры определения основных показателей качества алгоритмов при различных типовых моделях данных. Выделены основные разновидности процедуры аттестации, в зависимости от конкретных целей ее выполнения.

5. Сформулированы требования к выбору показателей точности, устойчивости и сложности алгоритмов и выбору типовых моделей данных при аттестации алгоритмов, включая модели полезных сигналов, случайных и систематических погрешностей данных.

6. Разработаны методы оценивания погрешностей построения зависимостей с учетом систематических погрешностей данных; в том числе, теория метода наименьших квадратов распространена на модель, включающую систематические погрешности.

7. Исследованы математические модели входных сигналов -интегральные представления случайных процессов. Получены критерии состоятельности линейных оценок параметров тренда на фоне нестационарных шумов.

8. Сформулированы общие принципы анализа качества' программ (пакетов программ) обработки данных при измерениях.

9. Разработан метод аппроксимации теоретических и эмпирических распределений смесями гауссовских распределений с целью их использования как типовых моделей.

На основе указанных теоретических результатов в диссертации получены следующие прикладные результаты.

1. Предложены наборы показателей алгоритмов и сформированы наборы типовых моделей данных для аттестации алгоритмов обработки при прямых, косвенных, совокупных и совместных измерениях.

2. Выполнена аттестация ряда важных для измерительной практики алгоритмов обработки при прямых и совместных измерениях, включая классические алгоритмы (среднее арифметическое, метод наименьших квадратов) и современные робастные, непараметрические и конфлюентные алгоритмы.

3. Разработаны Рекомендации МИ 2174-91 "ГСИ. Аттестация алгоритмов и программ обработки данных при измерениях. Основные положения" - С.-Петербург: НПО "ВНИИМ им. Д.И.Менделеева", 1992.

4. Разработаны Рекомендации Ш 2175-91 "ГСИ. Градуировочные характеристики средств измерений. Методы построения и оценивания погрешностей" - С.-Петербург: НПО "ВНИИМ им. Д.И.Менделеева", 1992.

5. Получены конкретные приближения для негауссовских распределений, включая равномерное и релеевское, смесями гауссовских распределений, актуальные для областей оптических и радиотехнических измерений.

6. Определены условия, при которых возможно повышение точности линейных оценок параметров тренда на фоне нестационарных шумов.

Полученные результаты могут использоваться в метрологической практике при выборе алгоритмов обработки данных в конкретных измерительных задачах, при построении градуировочных характеристик средств измерений (в том числе, при аттестации средств измерений), а также при разработке нормативных документов по вопросам обработки данных при измерениях и оценивания погрешностей.

Основные научные результаты, вынесенные в диссертацию, опубликованы в следующих работах:

1. Андреев В.И., Никольский Б.П., Сирая Т.Н., Храмов H.H. Элементы анализа и планирования радиохимического эксперимента. -М.: Энергоатомиздат, 1981.

2. Бондарь Е.Д., Сирая Т.Н. Структура и взаимосвязь основные этапов измерений. / Анализ и формализация измерительного эксперимента. - Л.: Энергоатомиздат, 1986.

3. Грановский В.А., Семенов Л.А., Сирая Т.Н. Обзор основньи проблем теоретической метрологии // Фундаментальные проблемь метрологии. Сборник научных трудов НПО "ВНИИМ им. Д.И.Менделеева". Л., - 1981.

4. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Метода обработки экспериментальных данных при измерениях. - Л. : Энергоатомиздат, 1990.

5. Грановский В.А., Кудрявцев М.Д., Сирая Т.Н. Метрологическая аттестация кепстрального алгоритма обработки радиолокационные сигналов, используемого при измерениях толщины морского льда. // В сб.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции по гидрофизически* проблемам. - Л.: 1985.

6. Грановский В.А., Гутнер Л.М., Саватеев A.B., Сирая Т.Н., Шишкин И.Ф. Современные проблемы теории измерений // Измерительная техника, 1986, N 2.

7. Кричевец A.M., Кузнецов В.П., Сирая Т.Н., Солопченкс Г.Н., Челпанов И.Б. Принципы метрологической аттестации алгоритмов и программ обработки данных при измерениях // Метрологическое обеспечение ИИС и АСУ ТП. Тезисы докладов П Всесоюзной конференции. - Львов: ВНИИМИУС, 1988.

8. Кудрявцев М.Д., Сирая Т.Н. Разработка методов обработка результатов наблюдений при калибровке эталонных многограннш призм // Метрология и точные измерения, 1981, N I.

9. Кудряшова Ж.ф., Сирая Т.Н. Построение доверительны; интервалов для произведения величин. / Труды метрологич. институтов СССР, ВЫП. 172 (232), 1975.

10. Мугинова Г.Д., Сирая Т.Н. Практические методы аппроксимации распределений смесями гауссовских распределений // Метрология, 1981, N 5.

11. Сафарова Т.Е., Сирая Т.Н. О выборе числа наблюдений npi измерении // В сб.: Тезисы докладов IV Всесоюзного совещания пс теоретической метрологии, Л.: 1989.

12. Семенов Л.А., Сирая Т.Н. Методы построения градуировоч-

них характеристик средств измерений. - М.: Изд. стандартов, 1986.

13. Сирая Т.Н. О канонических представлениях процессов кратностей один и два. // Теория вероятн. и ее примен., XVIII, N 1, 1973

14. Сирая Т.Н., Троицкий Е,А. Разработка теоретических обоснований необходимости создания эталонов // Метрология и точные измерения, 1974, N II.

15. Сирая Т.Н., Троицкий Е.А. Метрологические характеристики групповых эталонов и условия их создания. // Метрология и точные измерения, 1976, N II.

16. Сирая Т.Н. О кратности суммы ортогональных процессов // Теория вероятн. и ее примен., XI, N 4, 1976.

17. Сирая Т.Н. О подчиненных процессах. // Теория вероятн. и ее примен., XII, N 1, 1977.

18. Сирая Т.Н. Канонические представления случайных процессов второго порядка. // Теория вероятн. и ее примен., XII, N 2, 1977.

19. Сирая Т.Н. Методы проверки статистической однородности групп наблюдений // Труда метрологических институтов СССР. - М.: Изд. стандартов, 1977. - Вып. 200 (260).

20. Сирая Т.Н. Проектирование процессов с ортогональными приращениями и подчиненные процессы. / Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 72, 1977.

21. Сирая Т.Н. Сличения эталонов // Метрология, 1978, N 4.

22. Сирая Т.Н. Основные метрологические характеристики групповых эталонов // Труды метрологич. ин-тов СССР, вып. 237 (297), 1978.

23. Сирая Т.Н. Метода конфлюентного анализа для построения линейных зависимостей. - Труды метрологических институтов СССР, 242 (302), 1979.

24. Сирая Т.Н. Основные задачи, связанные с построением линейных зависимостей. - Там нее.

25. Сирая Т.Н. Условия применения метода наименьших квадратов и оценивание погрешностей при построении градуировочных характеристик. - Там же.

26. Сирая Т.Н. Рекомендации по методам построения градуировочных характеристик средств измерений. - Тезисы докладов IX Всеакадемической школы по проблемам метрологического обеспечения, Бердянск, 1991.

27. Сирая Т.Н. Вопросы планирования измерений. - Тезис! докладов X Всеакадемической школы по проблемам метрологической обеспечения , Минск, 1991.

28. Сирая Т.Н. Устойчивые метода построения градуировочны: характеристик. - 2 Всесоюзное совещание по теоретической метроло гии. Тезисы докладов. - Л.: НПО "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева", 1983.

29. Сирая Т.Н., Солопченко Т.Н., Челпанов И.Б. Методы обра ботки результатов наблюдений в современной метрологии - Там же.

30. Сирая Т.Н. Вопросы планирования измерительных экспери ментов. // Четвертое всесоюзное совещание по теоретической метро логии. Тезисы докладов. - Л.: НПО "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева" 1989.

31. Сирая Т.Н. Смеси вероятностных распределений и и применение в метрологических задачах. - В сб.: Физически проблемы точных измерений. - Л.: НПО "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева" 1984.

32. Сирая Т.Н., Эцина А.Л., Эцин И.Ш. Случайные дефект среды и зеркал в интерферометре Фабри - Перо // Оптика спектроскопия, т.45, N I, 1978.

33. Тарбеев Ю.В., Александров B.C., Довбета Л.И., Сирая Т.И Современные проблемы теоретической метрологии. - Итоги науки техники. Сер. Метрология и измерительная техника. - Т. 8. - М. ВИНИТИ, 1991.

34. Тарбеев Ю.В., Сирая Т.Н. Методы обработки результате измерений. Погрешности измерений. - М.: Заочный институт ЦПВШ приборостроителей им. С.И.Вавилова, - 1990.

35. Тарбеев Ю.В., Сирая Т.Н. Исследование структуры измерь тельных процедур. // Измерительная техника.- 1990, N 9.

36. Тарбеев Ю.В., Челпанов И.Б., Сирая Т.Н. Аттестац» алгоритмов обработки данных при измерениях. // Измерения, кош роль, автоматизация. - 1991, N 2 (78), с. 3 - 13.

37. Тарбеев Ю.В., Сирая Т.Н. Совершенствование методе оценивания погрешностей измерений. // Исследования в облас оценивания погрешностей измерений. Сборник научных трудов Ш "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева", 1986.

38. Тарбеев Ю.В., Челпанов И.В., Сирая Т.Н., Кудрявцев М., Задачи и методы аттестации алгоритмов // Измерительная техника. 1983. - N 9.

39. Тарбеев Ю.В., Челпанов И.Б., Сирая Т.Н. Разработка методов аттестации алгоритмов обработки результатов наблюдений.

- 2 Всесоюзное совещание по теоретической метрологии. Тезисы докладов. - Л.: НПО "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева", 1983.

40. Челпанов И.Б., Сирая Т.Н. Задачи аттестации алгоритмов и практическое использование результатов аттестации. // Исследования в области оценивания погрешностей измерений. Сборник научных трудов НПО "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева", 1986.

41. Chelpanov I.B., Ramasanova A.G., Siraya T.N. Certification of data processing algorithms // MERA - 90, Moscow. -Abstr., v. 3. - Moscow, 1990.

42. Siraya T.N., Chelpanov I.B. Problems and methods for data processing algorithms certification for various scale measurements // FIZMET - 94, First National Conference on Problems of Physical Metrology, Abstracts, Session C: Metrological Problems of the Scientific Research, p. 42-43. -St.Petersburg, 1994.

43. Tarbeyev Yu.V., Chelpanov I.B., Siraya T.N. Investigation and certification of data processing algorithms in precise measurements. / Acta IMEKO, Budapest, 1983.

44. Tarbeyev Yu.V., Chelpanov I.B., Siraya T.N. Data Procession in Precise Measurements / Acta Congress IMEKO, Berlin, 1986.

45. Tarbeyev Yu.V., Chelpanov I.B., Siraya T.N. Modern problems of measurement errors estimation. - XII Congress IMEKO, Beijin, 1991.

46. МИ 2174-91 "ГСИ. Аттестация алгоритмов и программ обработки данных при измерениях. Основные положения" - С.-Петербург: НПО "ВНИИМ им. Д.И.Менделеева", 1992.

47. МИ 2175-91 "ГСИ. Градуировочные характеристики средств измерений. Методы построения и оценивания погрешностей" - С.Петербург: НПО "ВНИИМ им. Д.И.Менделеева", 1992.