автореферат диссертации по безопасности жизнедеятельности человека, 05.26.01, диссертация на тему:Разработка методики оптимизации границ районов выезда пожарных частей гарнизона

^ ^^ На правах рукописи

Л.

Абдурагимов Георгий Иосифович

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ОПТИМИЗАЦИИ ГРАНИЦ РАЙОНОВ ВЫЕЗДА ПОЖАРНЫХ ЧАСТЕЙ ГАРНИЗОНА

Специальность 05.26.01 Охрана труда

и пожарная безопасность

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в ВИПТШ МВД РФ

Научный руководитель - д.т.н.. профессор H. Н. Брушлинский

Официальные оппоненты - д.т.н. В.И.Присадков

к.т.н.. доцент Б.М.Пранов

Ведущая организация - Управление Государственной противопожарной службы ГУВД г. Москвы Защита состоится " II " декабря 1995 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 052.03.01 в Высшей инженерной пожарно-технической школе МВД РФ по адресу: 129366, Москва, ул. Б.Галушкина, д.4,зад Совета С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВИПТШ МВД РФ.

Автореферат разослан " 10 " ноября 1995 года, исх. Но 8/86

Отзыв на автореферат с заверенной подписью и печатью просим направить в ВИПТШ МВД РФ по указанному адресу. Телефон для справок: 283-19-05.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 052.03.01

кандидат технических наук

старший научный сотрудник Т.Г.Меркушкина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Постановка проблемы и ее актуальность. Одним из характерных признаков современного этапа развития человеческой цивилизации является значительный рост населения городов. При этом в ряде стран отчетливо проявилась тенденция разрастания крупнейших городов вплоть до слияния со своими городами-спутниками, что привело к образованию гигантских мегаполисов с многомиллионным населением и развитой инфраструктурой. Это особенно характерно для крупных, индустриальных и экономически развитых стран. Москва и Нью-Йорк, Мехико и Бомбей - все эти города-гиганты отличают такие общие для них черты как огромная территория, обилие промышленных, культурных и административно-хозяйственных объектов и, что особенно важно в свете данного исследования, достаточно высокая плотность распределения человеческих и материальных ресурсов. В связи с этими общими чертами, проблемы таких городов также имеют между собой много общего. Некоторые из этих проблем свойственны исключительно большим городам, и до появления мегаполисов были менее актуальны и не привлекали столь пристального внимания исследователей. Типичным примером являются проблемы управления и безопасности, которые с ростом городов растут не в арифметической, а скорее, в геометрической прогрессии, что, в значительной степени, видимо и послужило одной из основных причин недавно появившейся в ряде стран тенденции ограничения роста городов-гигантов. Особенно остро в связи с ростом больших городов встали проблемы управления оперативными службами города, такими как пожарная охрана, полиция и служба скорой помощи. Это связано с тем, что именно к этим службам предъявляются наиболее высокие требования, в части, касающейся оперативности, организованности и надежности их работы. В то же время, бесперебойная работа оперативных служб невозможна без эффективного, научно обоснованного планирования их деятельности.

Основнук» задачу шрг<? планирования можцо сформулировать» как оОеспечше по каждому вызову адекватного количества сил и средртв за минимальное время и с минимальными затратами. Одним из важных элементов такого планирования является разбиение охраняемой территории (города) на районы обслуживания отдельных подразделений. Эта проблема приобрела особую важность, когда в процессе анализа оперативной деятельности противопожарной службы больших городов выяснилось, что простой и, на первый взгляд, казалось бы единственно правильный принцип: " Едет тот. кому ближе" -далеко не всегда приводит к оптимальному результату. Т.е..решение задачи деления территории города на районы выезда не сводится к геометрической задаче построения на карте города линий эквидистантных по отношению к точкам дислокации пожарных частей. А именно оказалось, что интересы различных объектов являются конкурирующими в данном аспекте и, следовательно, возникает необходимость введения некоторой системы приоритетов, позволяющих проводить количественные оценки. С учетом этого замечания, задачей пожарной охраны является обеспечение наивысшего возможно-, го. при данных (всегда ограниченных) ресурсах, уровня пожарной защиты всего города в целом. И оптимальное в этом отношении решение в общем случае может отнюдь не совпадать с решением оптимальным для каждого конкретного объекта. Так. еще в 1972 году американские исследователи Carter, Chalken и Jqnall показали на простых примерах, что высылка по первому вызову оперативных подразделений из ближайшей пожарной части не всегда является оптимальной стратегией с точки зрения минимизации среднего по городу времени прибытия.Ситуация, приведенная на рис.1, наглядно свидетельствует о том, что отнесение некоторого объекта (участка и т.д.) к району выезда той или иной части определяет не только уровень защиты самого объекта, но и влияет вполне определенным образом на уровень защиты всех остальных объектов в районе выезда данной части.

Рис.1: Пример нарушения "принципа монохронности"

1 - район с высокой плотностью потока вызовов

2 - район с низкой плотностью потока вызовов

Н1 - место первого вызова, Мг - место второго вызова ----- "улучшенная граница"

При этом уровень защиты остальных обьектов снижается на величину, пропорциональную математическому ожиданию времени занятости данной части на обслуживание "новоприобри-тенного" объекта. Таким образом, для рис.1, например, мы можем сказать, что граница изображенная пунктиром, дает лучшее среднее время прибытия нежели "эквидистантная" (изображенная сплошной линией), но этого еще не достаточно для построения границы, реализующей глобальный минимум среднего времени прибытия на множестве допустимых границ. (Почему, в частности, к району выезда ПЧ-1 следует относить объект М1, а не М3 с такой же вероятностью возникновения пожара?). Для ответа на этот вопрос попробуем несколько видоизменить условия задачи, а именно: пусть объектом М1 будет выселенный дом. предназначенный под снос, а объектом М3 - детский сад или большой завод (см. рис.2). И в том, и в другом случае первый вызов поступает на объект М1.Казалось бы, в обоих случаях среднее время прибытия первых подразделений будет одинаково, но в первом случае время следования на объект М3 будет на 2 мин. больше, чем на объект М1. а во втором случае - наоборот.

ЧПЧ-2.

Рис.2: Пример влияния "веса" объекта на характер границы

1 - район с высокой плотностью потока вызовов

2 - район с низкой плотностью потока вызовов М1 - объект с малым "весом" (например Г - 1) Мг - объект с большим "весом" (например Г - 2) тср ~ сРеднее "с весом" время прибытия первых ОП. Очевидно, что 2 минуты следования на пожар в детском саду имеют совсем иную цену, нежели 2 минуты следования на пожар в выселенном доме. Таким образом, эти рассуждения приводят нас к мысли, что критерий оптимизации границ районов выезда должен, видимо, учитывать не только время следования от пожарной части, но и пожарную опасность объекта и степень его важности для общества. Как следствие этого возникает необходимость введения "весовой функции" участка городской застройки и постановки задачи минимизации не просто среднего, а среднего "с весом" времени прибытия первых подразделений. А более детальные исследования проведенные в данной работе показывают,что в этой ситуации задача приобретает не линейный, а квадратичный характер и потому требует более сложных методов нелинейной оптимизации. Поэтому, цель работы состоит в разработке концепции расстановки оптимальных границ районов обслуживания оперативных подразделений и построении математической модели нелинейной оптимизации позволявшей реализовать данную коннепиич на практике. Для достижения поставленной цели в работе решается ряд конкретных теоретических и практических задач по теме диссертации.

Таким образом, объектом исследования является организация деятельности аварийных служб в больших городах и мегаполисах (где приведенная плотность потока вызовов достигает значений порядка 0.05-0,1). Предметом исследования является задача об оптимальном разбиении территории таких городов на районы обслуживания отдельных оперативных подразделений. Основой для рассмотрения вопросов организации деятельности аварийных служб и системного анализа являются фундаментальные исследования академика H.H. Брушлинского, д.э.н. В.В. Кафидова. проф. В.И. Козлачко-ва, к.т.н. H.H. Соболева, к.т.н. С.В.Соколова, проф. В.Л.Семикова. к.т.н. Б.М.Пранова и др. По вопросам разбиения территории города на районы выезда оперативных подразделений были использованы работы д.т.н. Е.А. Мешалки-на, Д. .Картера, Д. Чейкина, к.т.н. В.Н. Гаврилея. B.D. Ширяева. А. А. Медведкова. Д. Рейли, П. Мирчандани и др. Положения диссертации касающиеся теории множеств, теории массового обслуживания и нелинейного программирования опираются на работы академика П.С. Александрова, академика H.H. Брушлинского, академика В.И. Цуркова. проф. Ф.Р. Гантмахера. проф. Р.Н. Лагунова и др.

Основой выдвигаемых теоретических положений и выводов диссертационной работы являются эмпирические и теоретические результаты наблюдений и исследований, проведенных автором в период с 1986 по 1995 годы и начатых на практической работе в Московском гарнизоне пожарной охраны. Научная новизна работы состоит:

- В разработке теоретических основ оптимизации деления территории города на районы обслуживания оперативных подразделений аварийных служб.

- В разработке концепции оптимизации границ районов выезда основанной на принципе обеспечения не равного, но "адекватного" уровня защиты.

- В построении дискретной модели квадратичного программирования, позволяющей учитывать нелинейные эффекты.

возникающие при моделировании деятельности аварийных служб в больших городах.

Методы исследования. В качестве основных методов исследования применялись методы системного анализа, теории игр. теории массового обслуживания, теории множеств, а также методы нелинейной оптимизации (в частности методы квадратичного программирования), что отвечает природе и характеру решаемых задач. Апробация результатов исследования. Основные положения диссертации, теоретические выводы и практические рекомендации обсуждались на расширенном заседании кафедры "Управления и экономики ГПС" ВЙПТШ МВД РФ. а также докладывались на международной конференции "Информатизация систем безопасности", проходившей в ВЙПТШ МВД РФ (ноябрь 1992 г) и на Российско-Британском семинаре "Пожарная безопасность и защита" (октябрь 1995г)

На зэшту ефютсзтст;

1. Концепция деления территории города на районы обслуживания оперативных подразделений, основанная на принципе обеспечения адекватного уровня пожарной защиты.

2. Критерий оптимизации границ районов выезда оперативных подразделений, учитывающий не только "вес" объекта. но и плотность потока выездов им генерируемого.

3. Дискретная математическая модель квадратичного программирования, позволяющая учитывать нелинейные эффекты. возникающие при моделировании оперативной деятельности аварийных служб города.

Практическая значимость» работы-

1. Данная работа является первым в своем роде (как в России, так и за рубежом) исследованием посвященным проблеме оптимизации границ районов обслуживания оперативных подразделений, предлагающим математическую модель, учитывающую нелинейные эффекты в оперативной деятельности аварийных служб в городах с большой плотностью населения.

2. Результаты данной работы позволяют значительно (до 7%) повышать эффективность функционирования аварийных

служб в больших городах, практически без дополнительных капиталовложений в строительство новых частей, только за счет более рациональной организации деятельности уже существующих подразделений.

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования отражены в трех печатных работах и доложены на двух конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения. 12 глав, 3 приложений, выводов и рекомендаций. Общий объем диссертации составляет 194 страниц, содержит 5 таблиц и 22 рисунков. Список литературы включает 66 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, приводится анализ статистики развития больших городов в разных странах и рассматриваются основные проблемы организации оперативной деятельности аварийных служб в таких городах.

В первой главе - "Анализ проблемы и определение общих принципов оптимизации границ районов выезда пожарных частей гарнизона" - приводятся результаты анализа статистики отражающей временные характеристики оперативной деятельности ряда гарнизонов. В частности исследуется характер зависимости среднего времени прибытия первых подразделений по г. Москве от расстановки границ районов выезда отдельных частей. Рассматриваются также основные методы и принципы системного анализа в приложении к задачам оптимизации. распределения и управления ресурсами аварийной службы с целью достижения максимальной эффективности их использования. На основе анализа статистических данных, а также многочисленных исследований отечественных и зарубежных специалистов, делается вывод о том, что одним из ключевых факторов, определяющих эффективность работы оперативных подразделений на пожаре, значительно влияющим на размеры прямого и косвенного ущерба от пожара, является -

время прибытия первых оперативных подразделений к месту вызова. В связи с этим общая цель исследования формируется следующим образом: Разработать методику определения оптимальных в смысле среднего времени прибытия, границ районов выезда пожарных частей гарнизона, учитывающую неоднородность распределения основных пожароопасных Факторов по территории города и обеспечивающую адекватный уровень пожарной зашиты охраняемых объектов.

Глава вторая называется "Исследование основных факторов влияющих на время прибытия первых подразделений и определение понятия функции распределения". В данной главе рассматриваются такие ключевые факторы как:

- Количество и дислокация пожарных частей гарнизона.

- Геометрические характеристики города.

- Скорость движения пожарных автомобилей по городу.

- Распределение плотности потока вызовов.

- Распределение времени обслуживания вызовов.

В связи с тем. что построение адекватной оптимизационной модели неизбежно требует учета различий в пожарной опасности и социальной значимости различных участков, в Главе 2 приводится методика определения "весовой функции" f(х,у) участка городской застройки, под которой предлагается понимать математическое ожидание среднего ущерба от пожаров на данном участке за период "действия" модели т (месяц, квартал, год). А именно.рассматривая, функцию Г(х.у). как аддитивную функцию мат. ожиданий ущерба от пожаров на объектах расположенных на некотором "малом" участке }(х,у) получим следующий общий вид функции распределения пожароопасных факторов по городу:

"V 1 Тз

f(x.y) = Z n (х.у)(1 - е ) [ - Z у +

3-1 1 г 1-1

11 - с . n* 1 -с .

N3 -(—)ь -(-)ь

aZnte * ~е 4 ] + px/t ] . где:

п-5 3

(2.1)

na(x.y) - количество объектов J-й категории на VtJ(x. у) Xj - плотность потока пожаров на объектах J-й категории. а-16. в=0.6. с=5 - параметры распределения Вейбулла при условии значимости 0.05. Т - период эксплуатации объекта J-й категории. Здесь коэффициенты аир- выражают относительный "вес" соответственно социальных и экологических последствий пожара. В связи с тем. что вопрос о значении подобных коэффициентов является весьма сложным и неоднозначным, они могут быть определены либо методом экспертных оценок, либо с помощью дополнительного исследования.

В Главе 3 - "Формулировка предлагаемого критерия оптимизации границ районов выезда" - целевую функцию задачи предлагается определять как "среднее с весом" время прибытия первых подразделений по городу - * - min, где:

т = I ((ЯИх.у)-т. (x,y)ds)-(J7f(x.y)ds)] где: (3.1)

п - число пожарных частей в гарнизоне; т:( (х.у) - время следования из точки дислокации 1-ой части в точку с координатами (х,у): Помимо того, в Главе 3 определяются требования. которым должна удовлетворять целевая функция задачи и проводится детальный анализ существующих моделей оптимизации границ районов выезда.

В Главе 4 - "Разработка метода оптимизации предложенной целевой функции. Построение графа связей"- осуществляется переход от вариационной задачи на плоскости, к конечномерной задаче минимизации целевой функции на "графе связей". При этом, подробно рассматривается методика построения связного графа, на ребрах которого задаются координаты "точек излома" замкнутых ломаных, определяющих границы районов выезда.

Глава 5 - "Решение частной задачи для двух частей" описывает пример оптимизации модели, построенной в Главе 4, методом "покоординатного спуска" для частной задачи определения границ районов выезда двух частей.

Глава 6 - содержит выводы и рекомендации по первой части. В частности в ней отмечается необходимость разработки более гибкой методики расчета средней скорости движения пожарных автомобилей по городу и исследования характера поведения "функции распределения" f(x,y) на реальных гарнизонах.

Глава 7 - "Анализ задачи о границах районов выезда с точки зрения теории множеств" - предлагает теоретико-множественный подход к проблеме и позволяет сформулировать ее как задачу поиска минимума функционала на некотором классе отображений компакта в конечное множество.

Допустим, что каждой точке с координатами (х,у) соответствует некоторое значение "весовой функции" Г(х, у) (которая может быть определена согласно методике изложенной в Главе 2 или по любой иной методике из имеющихся в литературе). Тогда среднее взвешенное время прибытия по городу можно определять по формуле:

т - I Я М (т1 <х.у))-f(x.y)dxdy (7.1)

где Sj - 1-тый район выезда. 1 - 1.....п; M(v(x, у)) -

математическое ожидание времени прибытия оперативных подразделений в точку (х.у), при условии, что: (х.у) с Sj . (7.2); Наличие этого условия связано с тем. что математическое ожидание времени прибытия оперативных отделений прямо связано с порядком их высылки по данному вызову, который, в свою очередь определяется условием (7.2), так как первые подразделения всегда высылаются из части, к району выезда которой принадлежит данная точка, при условии, что она в этот момент свободна, если же "своя" часть в момент поступления сообщения о пожаре оказывается занятой обслуживанием другого вызова, то в точку (х,у) выезжает ближайшая свободная из соседних частей (как это показано на рис.1 и 2). Одним из способов задания условия (7.2) является построение границ районов выезда (с чем и

связано такое название работы). но фактически мы будем исследовать несколько более общую задачу, а именно без характерных для границ ограничений на связанность и замкнутость. Рассмотрим некоторый компакт S в R2 и некоторое

конечное множество N - {1..... g} е N. Рассмотрим далее

множество всевозможных отображений: L: S - N. где:

der

1 е L <=> V (X, у) е S. ) 1 в N. 1 (X. у) = 1 (7.3)

Но множество L оказывается слишком широким для адекватного отражения реальной модели, потому что. как будет показано ниже нет необходимости рассматривать перспективу выезда в точку М(х,у) отделений из достаточно удаленной части, так как это включение заведомо не улучшает целевую функцию. В связи с этим возникает необходимость в рассмотрении более узкого множества допустимых стратегий L'e L. А именно, рассмотрим отображения lt е L и 12 е L, обладающие следующими свойствами:

1,(М) = ij <=> t(Mu,M) - min (MrM) (7.4)

der leN

12(M) - 12 <=> 1(M12.M) = min (MrM) (7.5)

leN'(M)

где: N'(M) - N\lj(M) Таким образом ljtx.y) и l2(x.у) являются номерами частей, реализующих соответственно первое и второе по величине время прибытия в точку М(х.у). Пусть N(x.y):- Ujix.y). 12(х.у)).Тогда, определим L' следующим образом: _ ,

der

1 е L' <=> 1(х,у) е N(x.y) в N. V (х.у) в S (7.6) Таким образом, задачу оптимизации границ районов выезда пожарных подразделений можно сформулировать как задачу минимизации среднего с весом по городу времени прибытия первых подразделений, непрерывная формализация которой выглядит следующим образом: минимизировать функционал:

т (1) - Inf . где: (7.7)

t(l) = Я N(tUI) (x.y))-f(x.y) dxdy . где: (7.8) S •»

M(Tl<1)(x.y)) = / tl(1)(x.y) dF.(T) . где: (7.9) о

1(1) = l(x.y), 1 e L' (7.10)

и Fj(t)-Fj(t1 (n(x.y)) - функция распределения случайной величины t1(l>(x.y) при условиях (7.10) для всех (x,y)cS.

В Главе 8 - "Построение дискретной модели" предлагается методика, позволяющая с помощью методов теории массового обслуживания перейти от многомерной вариационной задачи к дискретной модели допускающей значительно большую свободу в выборе методов оптимизации (в частности численных методов). Для этого рассмотрим конечное множество объектов Q - (1 ..... m), поставив каждому объекту

в соответствие его номер 3. и рассмотрим на Q несколько фиксированных функций, которые будут далее фигурировать лишь в качестве исходных данных, не меняющихся в рамках данной оптимизационной задачи, а именно: V(J) - весовая Функция: aef йег

1,(0) - 1,(х,у) . 12(3) - 12(х.у) (8.1)

где (х.у) - координаты J-того объекта; 1, (х.у). 1г(х.у) см. (7.4), (7.5) Главы 7. "S (dJ-tdj (3).3)-время следов, из 1, (3) в 3 (8.2) t2(J)«t12(3)=t(l2(J).J)-BpeMfl следов, из 12(3) в 3 (8.3)

Х(3) - интенсивность потока выездов на объект J. Кроме того, рассмотрим семейство функций I : Û - N

der

1(3) - 1(х.у). 1 e L* таких, что V 3 в Q: (8.4)

ИЗ) e (ljtJ), lg(J)J . где: (8.5)

1,(3). 12(J) с N = (1..... n) (8.6)

Теперь мы можем описать функцию F, (t1(3)) распределения случайной величины т1(3) на объекте 3:

F, (т*(3))

0 . t < 1,(3)

РМт^З)).. tj (3) < х < хг (3) (8.7)

1 . т2(3) < х

где: Р'с^и)) - вероятность того, что будет реализовано время прибытия х1 и) при условии, что Ш) = 1. Аналогично определяется Р1 (тги)). Тогда, если Ш) = 1 и) то-1) /Ри (т,^)) " 1 - 1 (8.8)

\РМ (т8(Д)) = Р,и) . где: Р, 0)=^, (Л) - вероятность того, что в момент вызова на объект Л. часть ^(;}) окажется занята обслуживанием других вызовов. В этом случае: / о т < т. и)

(т11 = | 1 " * < (8.9)

1

^ 1 . тг <Д) < т

Графики функций Р1 (т11 <Д)) и (-с12 (Д)) (здесь и далее вероятности Р1. ?г

меньшими единицы, ми данными). Р

показаны на рис.3 - считаем значительно что вполне согласуется со статистически-

2) если Ш) =

В этом случае: Г (-с12 (Д))

12(3),

ад 1 5

то: /р12(т \.Р1г(т

Рв (Л).

<

и)

Рис.3

,(:))) - Рв 2Ш = 1 - Р2(3) М)

< % (Л)

(8.10)

(8.11)

< т

VI . т^СЛ) < т При этом следует отметить, что на самом деле функция распределения Е1 (т1 (Л)) имеет более сложную структуру чем описано системой (8.7), и, в принципе, можно было бы рассмотреть также и вероятности занятости одновременно двух и более ближайших частей. Для оценки величин этих вероятностей необходимо решить систему уравнений Эрланга для многоканальной СМО из п каналов с отказами.Можно показать, что эти вероятности являются малыми большими по

порядку малости, чем min {Pl(t (J)). Р*(т (3))) и следовательно допустима линеаризация (8.7). Получив, таким образом. характер зависимости функции распределения величины Fj (т1 (3)) от значения принимаемого функцией 1(3)е1 на элементе JcQ, мы можем рассмотреть следующую обобщающую постановку:

[ V3) + Р, (Л)-A*<J) , 1(3) = 1,(3) M(tl(3)) - (8.12)

V xt (3) + (l-Pz(J))At(J), 1(3) - lg(J) или: М(т*(J)) - ts(J) + k (1)-Дт(Л) (8.13)

где: i P, (3) . ИЗ) - 1, (3)

с

KjU) - \ (8.14)

Рг(3) . 1(3) - 1г(3) Тогда: т(1) - I [т,(3) +.К, (i)-At(J)]-V(J) -ш 3cÛ m

(3)-V(3) + I k5(1)-Дт(3)-V(J) (8.15)

3-1 3-1

где: Ax(J)-t2(3)-x(3)> О - неотрицательная величина. которая может быть вычислена предварительно и фиксирована для каждого 3eQ; Так как первое слагаемое в этой сумме является константой по 1 е I, а все множители во втором слагаемом неотрицательны, то: т(1) - Inf <->

ГЙ

Дх - I kj Cl)-Ax(J) V(3) - Inf (8.16)

3=1

Введем обозначение: Дт(J)-V(3) - а^ (8.17)

где ад - можно считать постоянной, не зависящей от отображения Ici. Тогда задачу (7.7) - (7.10) можно сформулировать в дискретной постановке следующим образом:

Дт(1) - Inf . leí, где: (8.18)

Дт(1) - I k (1)-а где: (8.19)

j.i J 3

Kjd) определяется системой (8.14),

а5 > 0 . V 3 в (1..... ш) (8.20)

В Главе 9 - "Постановка задачи квадратичного программирования" - построенная в предыдущей главе дискретная модель, модифицируется с помощью методов теории игр. В частности, вводится смешанная стратегия, позволяющая привести задачу к существенно более удобному виду, а именно: Поскольку 1 и).12(;)) однозначно определены для каждого ЗеО, мы можем рассмотреть следующий вектор БШсИ" где: (1> с (0,1). ^ е 2 и VI е Л, так, что выполняются условия: (1. 1(3) = 1г(3) (9.1)

Sjü) =\0. 1(J) = 12(J) Тогда, в силу (8.5), (8.6), можно установить взаимно однозначное соответствие между отображениями 1 е I и векторами S(l)eR". Тогда условия (8.18)-(8.28) примут вид: Дт (S) - Inf. где: S е R™ (9.2)

и:

m

Дт(S) - I К (S)-а (9.3)

j-i 3 3

где: / ?i (J) . S3 - 1

Кл (S) -j (9.4)

V 1 - P2(J). s3 = 0 Теперь, несмотря на то, что сами значения Pj(J), P2U) зависят не только от J-той координаты вектора S (характер зависимости от остальных координат будет исследован ниже), мы можем, благодаря установленному взаимно-однозначному соответствию между lei и SeRm . определить мощность множества дискретных значений.на котором ищется минимум функционала (9.2) как 2™. Но и в таком виде наша задача еще мало пригодна для практического решения. так как, во-первых, уже при небольших значениях ш (порядка Ю2 - 103) прямые методы (типа перебора) становятся неэффективными, а во-вторых, проблема осложняется тем, что, если зависимость К^(S) от координат при 1 * J носит, интегральный, усредненный характер, то по S^ наблюдается резкий скачок, что затрудняет использование дискретных аналогов методов градиентного типа.

Для того, чтобы избежать вышеуказанных трудностей воспользуемся методом широко используемым в теории игр, а именно, рассмотрим смешанную стратегию реИ". где с вероятностью будем считать - 1, ас вероятностью 1-р3>

что » 0. где р еЮ.1]. V;) е (1.....т).

Тогда выражение (9.1) примет следующий вид: К (Р) - Р'ч (Р> + (1 " Р,Н1 " Р®3(Э)). или: К5(Р) - 1 - Р«Л(Р) - Рл-[1 - - Р*3(р)1. где: (9.5)

Р1 (Р)-вероятность отказа в обслуживании частью с номером 1,О) при выборе стратегии р е К 0<1. где: К 0 •1 - единичный куб в га-мерном евклидовом пространстве:

V'1 - е 8е: О < р < 1. ч е (1.....ш)> (9.6)

Далее, решая систему уравнений Эрланга для одноканальной СМО с отказами, получим: Р -а/(1 + а) , (9.7) где Р - вероятность что на момент поступления вызова из района обслуживания некоторой части она окажется занята. Здесь а - приведенная плотность потока вызовов. Затем, считая а > 0 - достаточно малым, разложим Р в ряд по степеням а и получим:

Р - а [1-а+аг-а3+...+(-1)па" +...] - а+0(а) % а (9.8) Анализ статистики по большим городам показывает, что практически величина а не превышает значений 0,05-0.1, т.е. на практике погрешность формулы (9.8) составляет не более ЮЖ. Рассмотрим подробнее, какими параметрами определяется приведенная плотность потока вызовов и как она меняется в зависимости от расстановки границ районов выезда. Поскольку: а = Х/ц - Хт -2 X., (9.9) где:

' о ос обе л

с

то6с - среднее по множеству объектов 2 (на котором определяется а) время обслуживания: X - интенсивность потока выездов генерируемого З-тым объектом. Поскольку, для определения необходимо указать какие именно объекты Зсй к нему относятся, а это. в свою очередь, однозначно определяется неизвестным вектором:

Б е И" . в (0.1) . УЗ в {1. .... п) (9.10)

Для решения этого вопроса, в Главе 9 доказывается ряд утверждений теоретико-множественного характера, основной смысл которых заключается в том, что отображение lj(J) задаваемое уравнениями (7.4) индуцирует разбиение множества Q на непересекающиеся классы эквивалентности Q'd) такие, что:

VI е {1.....n). ] Q1 (1) в Q. 21 (1) * о {9. И)

При этом вводятся несколько специальных классов множеств. также индуцированных отображениями 1 (J). 12(J) и определяемых для каждого JcQ следующим образом:

Q,1 (J)"'!? (1, (J)) (9.12) OjMJ^-'Q1 (1S(J)) (9.13)

fi^id^-Vdjtd)) (9.14) Q22(J)d=r£f(l2(J)) (9.15) Из однозначной определенности отображений lj(J), 12(J). а также из доказываемых в Главе 9 утверждений, следует, что множества: 1 (J). Q^U). Q21 (J). ft^U) определены для любого JeQ однозначным образом. Следует отметить, что все эти множества имеют вполне прозрачный физический смысл, а именно:

Qj1(J) - это множество объектов куда часть прибывающая на объект J первой (J). также прибывает первой.

2,Z(J) - это множество объектов куда часть прибывающая на объект J первой, прибывает второй и аналогично:

Q2'(J) - это множество объектов куда часть, прибывающая на объект J второй-12(J). прибывает первой, а соответственно:

йгг(J) - это те объекты, куда эта часть прибывает второй. Далее в Главе 9, проводится ряд преобразований, которые позволяют сформулировать задачу об оптимальных границах районов выезда следующим образом:

J(fH - D + (с. Р) - т(ВМ) ^ sup . где: (9.16)

D-постоянная, не меняющаяся в рамках поставленной задачи:

D = т Z а • Z Xt = const (9.17)

3" Q22(0)

(с. Р) - скалярное произведение векторов с е 1!"

и МП". О < ^ < 1. УЗ в {1.....ш) (9.18)

где: коэффициенты - с^. линейной части функционала имеют следующий вид: (9.19)

с3 - ал - а3г [ I Х1 + I + Х^т-С 2 а{ - I а{ ]

2/<3) 2/(з> 2/(3> а/(з>

а (ВР4Р) - квадратичная форма, определению коэффициентов которой Ьп посвящена следующая глава.

Таким образом, получена задача максимизации квадратичного функционала (9.16). линейная часть которой задается формулами (9.19). а множеством допустимых значений является единичный т-мерный куб (9.18).

В Главе 10 - "Исследование матрицы квадратичной формы. Анализ задачи на выпуклость"- находятся алгебраические выражения для определения коэффициентов матрицы квадратичной формы, построенного выше функционала.

Для этого выпишем подробно квадратичную часть функционала (9.16). При этом, исходя из соображений удобства изложения, временно опустим постоянный множитель - т и проведем замену переменных 3 на э. Тогда, получим:

(10.1)

(Вр.р) - I а83в [ I р1Х1 - I Р^ + I - I Р(Х/ 0/(3) 0,*(а) (з) 0/(3)

Изобразим для наглядности множества 2/(3). 2/(з). О/ (э) и 2/(3) на рис.4:

Как уже говорилось, множества: 0/(в), й.2(з). 2/(з).

2/(з) - однозначно определяются номером з. а множества

Q",(s). Q"2(s) задаются следующим образом:

Q", (si =Qt 1 (s)flQz2 (s) (10.2) . Q"z (s) =Qg 1 (s)nQj2 (s) (10.3) Обозначим через 9(s) множество всех попарных пересечений множеств Qj1 (s), Q^fs), Q2'(s). Q2z(s). а именно:

e(s)a-r U (Q 2 П Q*V где x * y (10.4)

*. y y

x. y e ((1.1).(1.2).(2.1).(2,2)) - всевозможные перестановки чисел 1 и 2. затем доказывается теорема, являющаяся некоторым обобщением Теоремы 9.1: Теорема 10.1: VS е (1.....ш):

8(s) = "Qj (s) U nQz(s). где: (10.5)

"Q, (s) * 0 , "Ö2 (s) * 0 (10.6)

После чего с помощью данной теоремы доказывается ряд утверждений, в которых определяются искомые коэффициенты квадратичной формы. В заключение доказывается основная теорема, гласящая, что для всех остальных комбинаций (з. t). не описанных в этих утверждениях коэффициенты матрицы B(s. t) равны нулю. Анализ физического смысла этой теоремы приводит нас к достаточно нетривиальному выводу о том, что объекты не имеющие "общих" частей (т.е. ни одна часть не реализует одновременно первого или второго по порядку времени прибытия на оба объекта) - связаны лишь линейной зависимостью в рамках данной модели. Еще более интересный факт следует из физического смысла Теоремы 10.1. А именно. объекты имеющие общие как "первые", так и "вторые" части (т.е. достаточно близко расположенные) - вообще не оказывают друг на друга влияния в рамках данной квадратичной модели.

В Главе 11 - описывается "Исследование задачи квадратичного программирования на выпуклость". При этом, с помощью специальной подстановки переменных, матрица квадратичной формы (bst} приводится к виду в котором она имеет

наиболее простую и "прозрачную" структуру, а именно, показывается, что среди ее главных миноров всегда могут быть найдены как положительные так и отрицательные. Таким образом доказывается, что полученная в Главе 9. задача квадратичного программирования не является выпуклой. Следовательно, вопрос о единственности решения задачи (9.16), (9.19) остается пока открытым, вследствие чего численные методы минимизации функционала ЛР) наКт0-1 (и. в частности, метод типа "наискорейшего спуска", использованный при решении модельной задачи) дают сходимость лишь с точностью до множества стационарных точек.

Глава 12 - "Разработка численного метода оптимизации и исследования возможности экономической оценки результатов моделирования", предлагает, разработанный в ходе данного диссертационного исследования, итерационный процесс, позволяющий осуществить численную реализацию построенной модели.Поскольку, как было показано выше, построенный нами функционал -ИР) является существенно невыпуклым, любые метода градиентного типа могут обеспечить сходимость лишь с точностью до множества стационарных точек. С другой стороны, применение таких методов в их "классическом" виде существенно осложняется, вытекающим из содержательной постановки задачи, требованиям целочисленности решения.

В свою очередь, применение тех или иных методов случайного поиска характерных для решения целочисленных задач подобного типа, также представляется крайне малоэффективным. ввиду большой размерности задачи. Так, для таких городов, как Москва и С.-Петербург число обьектов, включенных в базу данных городской противопожарной службы превышает 3-4 тысячи. Очевидно, что при такой размерности задачи применение методов типа "перебора" является неэффективным. Поэтому, для решения поставленной задачи, в данной работе был разработан метод, позволяющий учитывать как характер самого функционала 1(Р). так и специфику области его определения К А именно, - был построен

итерационный процесс, позволяющий обеспечить монотонную сходимость функционала на множестве целочисленных вершин единичного т-мерного куба. Помимо того, в 12-й главе проводится анализ результатов моделирования оптимальных границ районов выезда для модельной задачи, имитирующей оперативную обстановку в городе населением порядка 3-5 млн. человек и плотностью потоков вызовов в пределах 0,08-0,1. При этом в качестве исходных данных для расчетов были использованы материалы, приведенные в "Аналитической информации" УГПС ГУВД г. Москвы об обстановке с пожарами в г. Москве за 6 месяцев 1995 г.. что позволило учесть не только ожидаемые значения самих показателей, но и динамику их развития за период 1994-95 гг. Выводы и рекомендации: В данной работе на основе проведенного анализа тенденций изменения оперативной обстановки больших городов были получены следующие результаты:

- Проведен детальный анализ отечественного и зарубежного опыта в области оптимизации границ районов выезда оперативных подразделений гарнизона.

- Разработана концепция деления территории города на районы обслуживания оперативных подразделений, основанная на принципе обеспечения адекватного уровня защиты.

- Получен критерий оптимизации границ районов выезда оперативных подразделений, учитывающий как "весовые" характеристики охраняемых объектов,так и плотности генерируемых ими потоков вызовов.

- Построена дискретная математическая модель квадратичного программирования, позволяющая учитывать нелинейные эффекты. возникающие при моделировании оперативной деятельности аварийных служб больших городов.

- Разработан итерационный метод численного решения задач оптимизации границ районов выезда пож. частей гарнизона. -Разработана программа для ЭВМ, реализующая данный численный метод оптимизации и позволяющая вырабатывать прак-

тические рекомендации для организации оперативной деятельности гарнизонов пожарной охраны.

В заключение следует отметить, что методика, разработанная в этой работе едва ли может рассматриваться как окончательный результат, полностью закрывающий вопрос об оптимальных границах районов выезда, поскольку целый ряд вопросов, так или иначе связанных с данной проблемой, остался за пределами данного исследования, либо затронутыми лишь частично. В частности, не вызывает сомнения,- что для более точного и полного решения поставленной задачи в дальнейшем следует:

- Включить в математическую модель время прибытия не только первых подразделений, но и отделений, прибывающих по повышенному номеру вызова.

- Разработать более гибкую методику учета средней скорости движения пожарных автомобилей по городу,позволяющую учитывать как сезонные колебания ,так и оперативные изменения дорожной обстановки.

- Исследовать характер поведения "функции распределения" f(x,y) на реальных гарнизонах пожарной охраны больших городов.

- Определить количественные значения коэффициентов аир в уравнении "функции распределения" (2.3). задающих сравнительный "вес" ожидаемых материальных, социальных и экологических потерь от пожара. Кроме того, реализация данной методики на практике требует наличия в памяти ЭВМ детальной карты города с указанием уличной сети исскуствен-ных и естественных преград, а также достаточно подробного банка данных о характере городской застройки, пожарной опасности и других характеристиках объектов. Основные положения диссертационного исследования опубликовано в следующих работах:

1. Абдурагимов Г.И. Об оптимальных границах районов выезда пожарных подразделений. Сборник научных трудов ВИПТШ МВД РФ. 1993. с. 79-86.

2. Абдурагимов Г.И. Об оптимальных границах районов выезда пожарных подразделений, ж. "Пожарное дело" No 1. 1994. с. 30-32.

3. Брушлинский H.H. Абдурагимов Г.И. Оптимизация границ районов выезда аварийных служб. Доклад на Российско-Британском семинаре "Пожарная безопасность и защита" МГСУ,Москва, октябрь 1995г.

Соискатель Г. И. Абдурагимов

Ротаприн-ГВИПТШ МВД РФ Тираж экз. Заказ N.