автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математической модели волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов

иичы^уу 1

На правах рукописи

МАЙКОВ АНДРЕЙ ИГОРЕВИЧ

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОЛНОВОЙ ПЕРЕДАЧИ С КРУГОВОЙ ФОРМОЙ ЗУБЬЕВ И УПРУГИМИ ЗВЕНЬЯМИ В ВИДЕ КОЛЬЦЕВЫХ ПРУЖИННЫХ ПАКЕТОВ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

\ 8 НОЯ 2010

Москва 2010 г.

004612991

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном индустриальном университете (ГОУ МГИУ).

Научный руководитель

Доктор технических наук профессор Клеников Сергей Сергеевич

Официальные оппоненты

Кандидат физико-математических наук, доцент

Темнов Александр Николаевич

Доктор технических наук, профессор

Темис Юрий Моисеевич

Ведущая организация ГОУ ВПО Владимирский

государственный университет им.А.Г и Н.Г. Столетовых

Зашита состоится «18» ноября 2010 г. в 15:00 часов на заседании Диссертационного совета Д212.129.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном индустриальном университете по адресу: 115280, Москва, ул. Автозаводская, д. 16, ауд.1804.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ МГИУ.

Автореферат разослан » О* г Л {/;>./ 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.129.03 кандидат технических наук

Кузнецов А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Волновая механическая передача основана на принципе передачи и преобразования движения путем волнового деформирования одного из звеньев - гибкого колеса.

Основное распространение получили волновые зубчатые передачи. Однако у волновых передач с эвольвентной формой зубьев существует ряд недостатков. К.п.д. таких передач составляет 80-90% в зависимости от величины передаточного отношения. В них возникают шумовые эффекты (скрип, скрежет и др), а это недопустимо во многих областях техники. Эти недостатки связаны с тем, что между сопряженными зубьями колес в точках их контакта происходят проскальзывания, что приводит к их «стачиванию», а, следовательно, порождает неравномерность загрузки самого зуба.

Самыми эффективными являются циклоидальные передачи с зубьями в форме циклоиды. Потери энергии здесь минимальны. К.п.д. таких передач достигает 98%. Это обусловлено тем, что в сопряженных парах зубьев с циклоидальной формой теоретически отсутствует их взаимное проскальзывание, а потому такие передачи практически бесшумны, в них не возникают различные побочные эффекты, например, скрип, скрежет. Однако эти качества достигаются только в том случае, если циклоиды сопряженных профилей зубьев колес будут изготовлены очень точно, что требует специального высокоточного оборудования.

При неточном изготовлении циклоидальных форм зубьев появятся либо натяги (что ведет к заклиниванию зацепления), либо зазоры (что ведет к нарушению условия многопарности их зацепления). С этой точки зрения представляется целесообразным использовать циклоидальную форму зубьев в волновых передачах, где есть высокодеформативный элемент который будет компенсировать эти недочеты, более того, как показали теоретические исследования, циклоидальную форму зуба в волновой передаче можно заменить круговой формой. Это обусловлено тем, что погрешности, связанные с отклонением приближенной круговой формы зуба от его точной циклоидальной формы как и технологические погрешности изготовления зубьев будут «отфильтровываться» весьма податливым гибким колесом передачи. Исследования показывают, что к.п.д. таких передач составляет примерно 95-97%.

Однако, такая замена эвольвентных форм профилей зубьев в волновых передачах круговыми формами целесообразна лишь при сохранении одинаковых условий контакта зубьев колес по их длине. Это условие практически невозможно обеспечить у волновых передач с чашевидной формой гибкого колеса, зубья которых испытывают пространственное деформирование, а поэтому имеют различные условия контакта по их длине.

С позиции сохранения одинаковых условий контакта зубьев колес по их длине целесообразно использовать гибкие колеса в виде кольцевых пружинных пакетов, что обеспечит равномерность распределения усилий контакта по длине зубьев. Кроме того, использование гибких колес в виде кольцевых пружинных пакетов существенно увеличит их необходимую радиальную податливость за счет совместного деформирования всех соосных колец пакета. При этом происходит благоприятное перераспределение напряжений от передаваемого крутящего момента по всему объему материала гибкого колеса, поскольку каждое кольцо пакета догружается в основном нормальными силами.

Колеса таких волновых редукторов гораздо проще изготавливать, т.к. круговую форму зуба нарезать на цилиндрической поверхности кругового кольца-венца значительно проще, чем циклоидальную форму. Следует отметить еще одно существенное

достоинство замены эвольвентных профилей зубьев круговыми. В этом случае в гибких зубчатых венцах в местах сопряжения впадин с эвольвентными профилями зубьев убираются все концентраторы напряжений. Это обстоятельство заведомо существенно увеличивает усталостную прочность гибких венцов с круговыми зубьями, а следовательно и их ресурс.

Вышеизложенным определяется актуальность работы - создание волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

Цель работы.

Построение математической модели и пакета программ расчета волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

Задача работы.

Создание математической модели, численных методов и программ расчета волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработана математическая модель волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов:

- создан итерационный алгоритм построения согласованной геометрии зацепления передач с круговой формой зубьев и любым количеством и размером зубьев;

- построена численная модель и программа расчета матрицы податливости гибкого колеса в виде пружинного пакета методом конечных элементов на основе кругового стержня;

- для проверки достоверности результатов, полученных методом конечных элементов была разработана численная модель и программа расчета пружинного пакета методом конечных разностей.

2. Построен итерационный алгоритм расчета сил одностороннего взаимодействия круговых зубьев колес волновых передач с гибкими колесами в виде пружинных пакетов при сборке и при нагружеиии волновой передачи полезной нагрузкой. Разработан алгоритм расчета величин зазоров между зубьями гибкого и жесткого зубчатых венцов для любого их взаимного положения.

3. Теоретически установлено, а численно обосновано, что волновые механизмы имеют существенно нелинейную (блуждающую) диаграмму крутильной жесткости. В связи с этим создана и реализована модель расчета крутильных колебаний управляемого объекта, приводимого в движение волновым приводом с блуждающей крутильной жесткостью.

4. На основе построенной математической модели и пакета программ проведены расчеты рациональных параметров волновой передачи (передаточного отношения, количества перемычек, количества колец, которым задаются перемещения), которые позволяют моделировать и проектировать волновые передачи до этапа изготовления экспериментального образца изделия.

Практическая значимость работы.

Теоретическая и практическая значимость результатов исследования заключается в том, что содержащиеся в нем положения и выводы могут бьггь использованы:

- для моделирования и подбора основных параметров волновых передач с пружинным пакетом и без него, обеспечивающих их бесшумность, высокую кинематическую точность, высокий КПД, снижение уровня максимальных напряжений в гибких колесах, что позволит их изготавливать из более дешевых материалов;

- при разработке новых и модернизации существующих волновых передач и приводов на их основе;

- построенные модели, алгоритмы и пакет программ могут быть использованы в учебном процессе на семинарских и лекционных занятиях технических ВУЗов. Они могут использоваться аспирантами, инженерно-техническими работниками, занимающимися вопросами динамики систем и машиноведения.

Апробация работьг.

Основные положения диссертационной работы и полученные результаты докладывались:

- на Международной научной студенческой конференции «Научный потенциал студенчества - будущему России», СевКавГту, г Ставрополь, 2007;

- на конференции «VII Гагаринские чтения», СПФ М1"ИУ, г.Сергиев Посад, 2006;

- на кафедре теоретической механики и теории механизмов Московского государственного индустриального университета, г.Москва, 2007, 2009;

- на кафедре машиноведения Владимирского государственного университета, г.Владимир, 2009;

- на кафедре прикладной математики и информатики филиала Московского государственного индустриального университета в г. Сергиевом Посаде, 2009;

- на кафедре общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета, г.Москва, 2010.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 4 научных работы и имеется одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и одного приложения. Основной текст занимает 117 страниц, рисунков 54, таблиц 1, список литературы из 107 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность, научная новизна и практическая значимость работы, формируются цели и задачи исследования.

В первой главе диссертации приведен обзор имеющихся работ по теме диссертации.

Во второй главе приведен алгоритм построения согласованной геометрии колес волновой передачи с круговой формой зубьев, произведен подбор параметров колес для построения согласованной геометрии, оценены потери энергии при работе волновой передачи, связанные с проскальзыванием зубьев колес

На рис.1 изображена схема построения профиля зубчатого колеса с круговой формой зуба. Профиль колеса с круговой формой зуба образуется наложением на кольцо радиуса Л малых круговых профилей зубьев радиусов г, и г2. Их центры лежат на

окружностях, отстоящих от главной окружности радиуса Я на расстояниях 1г, и /г,. Пусть профиль кольца радиуса /; - это внешняя часть зуба, а профиль кольца радиуса гг - это внутренняя часть зуба.

Ниже представлен краткий алгоритм построения профиля колеса с круговой формой зубьев.

Рис.1. Схема построения колеса с круговой формой зуба.

Отсчет угла <р для большой окружности начинается из точки О (рис 1) против часовой стрелки. Координаты точек окружности с радиусом Л равны:

{х = х0 + К соб(^)(

При ср = 0 координаты точки О будут равны х = ха + Л, у = у„, где л:0 и у„ -коордннаты центра кольца. Для определенности первой строится внутренняя часть зуба. Для большого кольца определяется угол у,, необходимый для построения внутренней

,- г, (л2 +(/!+й,)2-ГЛ части зуба. По теореме косинусов, получаем (см. рис.1) — = агссов!-ц{(Н~к~)—~ I'

Аналогично для внешней части зуба определяется = агссо:

\ 2Л(Л - А,) У

Далее построение осуществляется по циклическому алгоритму: Шаг 1. Строится внутренняя часть формы зуба.

П1. Угол (р, для него направлен по часовой стрелке (рис.1). За начальный угол <р2„

принят угол, соответствующий, точке О. Он будет равен (р20 = агссо

где .г

абсцисса точки О, а х2 - координата центра окружности, соответствующей внутренней части формы зуба. Она равна х2 = х0 + (Л + Л2) соз(ср + .

П2, Затем определяются те точки внутренней части формы зуба, которые лежат внутри большой окружности, т.е. точки, удовлетворяющие условию

(^-х0)2+{у„-у0)г<Я2, (I)

здесь хг, уп - координаты рассматриваемой точки профиля зуба. Они равны хп = х2 + г2-««(ф, + ф20), у„ -У2-г2 'зт(<р2 + ф20). Знак минус в выражении для у обусловлен тем, что направление угла <р2 принято против часовой стрелки.

ПЗ. Вначале принимается ф2 =0. Затем значение ф2 увеличивается на величину шага Лр2 и расчет возвращается к П2.

П4. Если условие (1) в ГО не выполняется, то значение угла ф увеличивается на величину у2. По формуле (1) находятся новые координаты х и у . Они будут соответствовать координатам точки О, (см. рис.2). Переходим к шагу 2.

Шаг 2. Аналогично строится внешняя часть профиля зуба.

Проверятся условие ф < 2гс. (2)

Если оно выполняется, то точка 02 и будет новой точкой О. Далее делается переход к шагу 1. Если условие (2) не выполняется, то делается переход к шагу 3.

Шаг 3. В результате получается следующая картина (рис.3). Количество пар зубьев 2я

будет равно п =

У] +У2

+1, где [] - операция взятия целой части числа.

П1. Значение радиуса Я увеличивается на величину сШ. Далее строится п пар зубьев, выполняя шаги Шаг 1 и Шаг 2. В результате получается картина, изображенная на рис.2, при этом расстояние ООг станет меньше. Снова увеличивается значение радиуса Я на величину с1Я. Процедура повторяется до тех пор, пока не получится картина, изображенная на рис.3. Она будет определяться тем, что расстояние между точками О и 02. начнет расти.

П2. Теперь шаг уменьшается, например, в 10 раз. Далее уменьшается значение радиуса Я на величину ¿Я и так до тех пор, пока не получится картина, изображенная на рис.2. Этот момент будет определяться тем, что расстояние между точками О и Ог снова начнет расти.

Затем шаг йЯ вновь уменьшается, например, в 10 раз. И делается переход к пункту П1. Процесс продолжается до тех пор, пока расстояние между точками 002 не станет меньше необходимой точности е. Итак, указанным итерационным алгоритмом, реализованным в виде программы, можно построить профиль колеса с круговой формой зубьев любого радиуса Лис любыми параметрами г,, г2, Л,, А2.

При определенных значениях радиусов колец и параметров г1; гг, ки Л2 взаимное движение зубьев колес будет проходить чисто, без «съеданий» (рис.4).

Рис.2. Условие перехода к Рис.3. Условие перехода к

следующему пункту алгоритма. следующему шагу алгоритма.

подбором на основе многократных численных расчетов по выше описанной процедуре.

В третьей главе приведены построенные математические модели расчета кольцевого пружинного пакета методом конечных элементов и методом конечных разностей. Пружинный пакет представляется упругой системой плоскодеформируемых круговых колец, каждое из которых рассчитывается отдельно, а затем решения стыкуются, исходя из условий их сопряжения. Для частного случая проведено сравнение решений, полученными данными двумя методами, с аналитическим решением для одного кольца. Проведено сравнение двух методов в рамках данной задачи и выбран метод конечных элементов как метод наиболее эффективный для решения подобных задач

Уравнение равновесия каждого кругового кольца с нерастяжимой средней линией и постоянной жесткостью в перемещениях принималось в виде:

„<Л> с!2у Я*

—г + 2—7 + —- + —

Лр6 V с/Ф2 Ю

+ т =0.

(3)

с/ср2 ¿<р ) ' £/(</ср2

Здесь у(<р) - касательные перемещения в данном кольце, Л - радиус его средней линии, £7 - его из гибкая жесткость, а qn — внешние погонные окружная и радиальная нагрузки на это кольцо и от- изгибающий момент в нем. Уравнение (3) имеет аналитическое решение только в ограниченном числе частных случаев - когда внешние нагрузки заданы в виде простых аналитических функций.

Метод конечных элементов. Рассматриваются кольцевые конечные элементы. Решение ищется в виде: V = )+ )+ А/"зв((р,.)+ )+ ^¡и^р^ ^б^^),

здесь Ык - функции формы, v(фl.), ^(р,), 6((р,), у(<р;), н'(фу), 6(<р;) -неизвестные узловые перемещения (рис.5). Вид функций формы определяется из общего решения однородного уравнения, получаемого из уравнения (3), т.е.

=Л,*(ф•г>СЛ = Сц +спФ + (сн +сн<Р)созЧ> + (сл5 + с*6ф)^пф< А = 1—6.

Рис.5. Вид конечного элемента. С учетом нерастяжимости средней линии строится матрица жесткости [К]

отдельного элемента: И = Л }[я]гЩв^. Здесь [в]= + ЛГ,)...,-^-^," + ЛГ^ -

матрица, связывающая деформации и перемещения, [£)] = £/ - матрица упругости. Таким образом, для кольцевого конечного элемента матрица жесткости имеет вид:

М=йк'зд^/'чК =»-б.}=1-6 •

Наборы констант сд для функций форм находятся из граничных условий для элемента:

Зная матрицы жесткостей отдельных элементов, собирается глобальная матрица жесткости.

Граничные условия:

1) Условие замкнутости кольца. Так как кольцо замкнутое, то нулевая и Л?-ая точки совпадают. Соответственно в этих точках должны выполнятся следующие условия;

^ ;*>„ = *>„; в0 = 9,,.

Они добавляются в матрицу жесткости.

2) Условия заделки кольца. Если 1-й узел кольца жестко заделан, то в этом узле все перемещения равны нулю, т.е. = 0, и», = 0, 9, = 0.

Если диагональные элементы подматрицы, соответствующей 1-му элементу, умножить на большое число Я (й » тах(&,3)), то при решении системы уравнений будет выполнено условие заделки. Таким образом, получается система уравнений для всего кольца. После ее решения, находятся узловые перемещения и по ним через функции формы строятся функции перемещений для каждого конечного элемента. Так строится решение для отдельного замкнутого кольца.

3) Условие стыковки колец. Пружинный пакет состоит из нескольких колец (рис.6). Для каждого из них составляются матрицы жесткости, далее эти матрицы соединяются в одну глобальную матрицу жесткости с помощью стыковочных условий для перемещений колец в зоне перемычек, которые принимаются нерастяжимыми, несжимаемыми и неизгибаемыми.

Стыковочные условия имеют вид

V, + ¿9, = vг, И», = у/г,

е, = е2.

Здесь £ - длина перемычки. С позиции удобства формирования глобальной матрицы жесткости первое условие с учетом третьего удобнее записать в виде

V. +-19, +^10, =У,.

I 2 I 2 . .

Рис.6. Условие стыковки двух колец.

Для выполнения стыковочных условий вновь используются большие числа. С учетом этого матрица жесткости для двух колец с одной перемычкой в ¡-ом узле будет иметь вид:

ч, ч,

1 К N-1 2

Кн 1 1

0 0

0 0

^31 з/ Р з 1+г + 2 ^

3/ 1/+1 + Р 4*2

^»/♦2 3/ 5/+1 ^>«+2 3/+2

Р

О

о

о р

о о

к1 Лц

^Ш-1 1

2

1

3/ 31

К ЗЛМ

куц

Л» 3*

о

-Р 0 "21Р

0 -р 0

0 0 -р

ч,

^з;+2 3/+1

¿1* 2

3«-

лЗ//-1 3

(4)

Здесь Р - большое число, Р» тах{к}). В этом случае решения полученной системы уравнений с помощью матрицы (4) будут удовлетворять стыковочным условиям.

Матрица жесткости для любого числа колец и перемычек формируется аналогичным образом. Узловые перемещения находятся из решения системы (¿){5}. Далее определяется функция касательных перемещений у((р), через которую можно получить все остальные неизвестные - и{(р), б(<р), М(<р), 2(ф)> М(<р), а затем и напряжения. Таким образом, строится решение для всего пружинного пакета.

Метод конечных разностей. В методе конечных разностей уравнение (3) удобнее записать в виде:

d6v „ d4v d\ , \ n

TT + ^-r+jy + S^ =0, (5)

^-f^+rfO+Jji«0'*«)- (6)

Здесь S(ip) - член, который определяет вид нагружения

кольца.

Численное решение этого дифференциального уравнения осуществлялось на 7-точечном шаблоне (рис.7) с использованием разработанной процедуры для 7-дкагональной матрицы.

юу ¡г ре ее еее

ф

_ ! ¿9

Рис.7. Семиточечный шаблон.

Дискретный аналог представляется в виде:

ai' П-з + Ь, ■ v,_2 + с, ■ v,_, - d. ■ v, + е, ■ v,.+1 + ft ■ v(+2 + g, ■ vM + h, = 0,

где a„ i>,, c(, dit en ft, gn ht - параметры, получаемые в результате дискретизации уравнения (5) по конечно-разностной схеме. Составляя дискретный аналог для всех точек кольца, получается сеиидиагональная матрица. Решение такой системы ищется в виде:

v, = Р, vM + M,vitl + N,vM + ß.

Значения параметров получились следующие:

р. ~ (всР,-з-Р/-2^,-1 + "¡Pi-i^i-i + aiMi-iMi-1 + Ь,Р,.гМ,_у + b,N,_2 + c,A/,_| + e,)

' " ^-3^-2^-1 + а!Р1-ЪМ1-1 + aiMi-lPi-l + вЛ-3 + biPt-lPl-l + ^1-2 + ~ ) '

M =_- + АГМ + ¿,Р„,ЛГ_, + с,ЛГ,_, + /,)_

' (atPMР^2РЫ + al'^M^ + aM^P^ + + + + c,P^ -d,)'

N =_:_Uli_

' (а,Р,^Р^2Рм + а,Р,_3ЛГ,_2 + e,Ai,_3PM + я,+ Ь,Р,_2РМ + + c,fj._, - d,)'

о - -М-З^б,-! + «,6,-3 + У1-2Й-. НЙ-2

{af^JUP^ + а.Р-^М^ + + a,.jVw + А,Р,_2Р,_, + 6,А/,_2 + - rf,) '

Граничные условия для метода конечных разностей расписываются аналогично граничным условиям для метода конечных элементов. Для замкнутости кольца должны выполняться условия: Р, = Рч, А/, = MN, Л', = Л7Л,, Q, = QN.

Зная функцию касательных перемещений v, остальные факторы выражаются через нее следующим образом:

Если кольцо жестко заделано в какой-либо ¿-ой точке, то в ней V, = 0, ,и>( =0,

е, = о.

Рассмотрим член 5(ф). Для каждого из колец он состоит из трех частей, которые определяют касательное нагружение, радиальное нагружение и внешний изгибающий момент. Если параметры <?„, ц т известны как функции угла <р, то, подставляя их числовые значения в функцию 8 для каждой точки каждого кольца и используя описанные выше методы, получим решение для всего кольца.

Если на кольцо действует внешний силовой фактор только в одной точке, то в расчетах возникают определенные трудности. Для примера рассмотрим действие радиальной силы Р одной точке <р(,. В этом случае она представляет собой 8 -функцию (рис. 8а).

А

р р.. р i/Ф Р, ¿Ф"

Ч>,.,

Дч> i\ 1 \ <Р, i f.

Ф,-, Ч>1 <?,.. 4>,-i

а) б) в)

Рис.8.Аппроксимация члена 5 в случае действия в одной точке радиальной силы

Р.

Для записи ее в S используется прием размытия 8 -функции. На рис.8б показано размывание 5 -функции треугольником, при этом его площадь равна Рт. Тогда

í/ф

будет иметь график, показанный на рис.8в и ее значение равно коэффициенту наклона прямых. Таким образом, если на кольцо в г'-ой точке действует радиальная сила Ptll, то в

Я* Р Я4 Р

член S для г-1 точки добавляется S. , =---^, для i+1 точки - SM =----а для

EJ Дф EJ Дер

i-ой точки не добавляется ничего. Если на кольцо действует момент или касательная сила,

то член S расписывается аналогично. Следует только отметить, что для размытия 8-

функции в первом случае будет использоваться парабола, а во втором - прямоугольник.

Вид размытия 8 -функции определяется величиной производной того или иного внешнего

силового фактора, стоящего в источнике.

Для примера рассмотрен пружинный пакет, состоящий из двух колец равной жесткости, соединенных между собой тремя жесткими перемычками, расположенными нерегулярно при ф, = 80°, ф2 = 160°, ф3 = 280" (рис.9). Внутреннее кольцо заделано при Ф,=0°, ф2=120°, ф3 =200°. Каждое кольцо разбивается на 9 конечных элементов. Перемычки расположены в узлах 2, 4, 7. Радиус внешнего кольца равен 100 мм, радиус внутреннего кольца равен 80 мм. Длина жесткой перемычки L = 20 мм. Для радиальной силы Р, приложенной в пятом узле внутреннего кольца, получается следующая картина деформирования (рис.9). На рис.Ю(а), (б) изображены графики зависимостей радиальных перемещений w(cp) для внешнего и внутреннего колец соответственно, полученных МКР (по 100 узловых точек для каждого кольца) и МКЭ (по 9 элементов для каждого кольца). При увеличении числа узловых точек и конечных элементов решения получаются одинаковыми. Для описанного примера в случае, когда для МКР используется 1000 точек для каждого кольца, а для МКЭ - по 18 элементов для каждого кольца, суммарное

отклонение двух полученных решений составляет 1 %. При этом наибольшее отклонение касательных перемещений , двух полученных решений, не превышает 0,05%.

Рис.9. Вид деформирования пружинпого пакета.

Следует сказать, что МКР является более трудоемким и требует значительно большего расчетного времени. Так, для описанного примера расчет по МКЭ требует лишь О,¡Зсек, а расчет по МКР - 1,5сек, т.е. затраты машинного времени по МКР более, чем в 10 раз превышают аналогичные затраты по МКЭ. Это особенно важно при многократном решении задачи определения сил одностороннего взаимодействия зубьев колес.

Также решения строились для симметричных нагружений и в рядах Фурье. Результаты расчетов в этом случае различались с погрешностью менее 1%. То есть предложенная математическая модель на базе МКЭ с весьма высокой степенью точности адекватна реальному объекту.

Рис.10. Зависимости от угла радиальных перемещений внешнего кольца МКР и МКЭ, а) - для .внешнего, б) - для внутреннего кольца.

Построенная и реализованная в виде пакета программ математическая модель на базе МКЭ позволяет моделировать процесс деформирования пружинного пакета из соосных круговых колец, соединенных жесткими перемычками, с целью рационального проектирования волновых передач с уменьшенными осевыми габаритами, высокой кинематической точностью, с более высоким к.п.д. и запасом прочности и из менее дешевых материалов.

В четвертой главе построена матрица податливости пружинного пакета, рассчитаны силы, обеспечивающие согласованное волновое зацепление для различных видов зацепления (одноволновое, двухволновое и т.д.). Проведен подбор рациональных параметров волновой передачи с упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов, выбраны параметры для изготовления экспериментального макета. Построена динамическая модель работы волновой передачи.

МКР

а)

б)

Для реализации согласованного волнового зацепления необходимо подобрать такую систему сил, деформирующих пакет, чтобы радиальные перемещения деформированного зубчатого веща имели форму, близкую к соз(2<р), или к форме эллипса. То есть система искомых узловых сил должна обеспечивать нужную форму деформирования гибкому зубчатому венцу. При этом необходимо подобрать набор рациональных параметров пружинного пакета: количество колец, перемычек, толщины колец, величины зазоров между ними.

Решение задачи о нахождении требуемой системы сил, придающих пакету определенную форму, строится следующим образом. Используется математическая модель пружинного пакета на базе метода конечных элементов. Задаются необходимые радиальные перемещения для набора точек гибкого зубчатого венца {Д}. Далее по заданным перемещениям ищутся силы по следующему алгоритму:

1). Для столбца заданных перемещений точек наружного кольца пакета составляется матрица податливости [8], элементами которой 5,у являются перемещения _/'-ой точки венца от действия в ¡-ой точке единичной силы.

2). Затем решается система уравнений [§]{0 = {Д}, где {0 - неизвестные искомые силы, которые обеспечивают заданные перемещения гибкому венцу в узловых точках. Они находятся из решения исходной системы.

Для примера рассмотрен пружинный пакет, состоящий из трех колец, между кольцами находятся по 8 регулярных перемычек, радиус внешнего кольца - 100 мм, второго - 85 мм, третьего - 70 мм. Перемещения задавались для точек внешнего кольца с формой деформирования в виде косинуса с двумя периодами: и{ф) = Дгсоз(2р), О < ф < 2п. Форма задана в виде точек на графике зависимости радиальных перемещений и{ф) от угла (рис.116), здесь Дг - разность радиусов внешнего жесткого зубчатого венца и внутреннего гибкого зубчатого венца в недеформируемом состоянии. В этом случае зацепление колес происходит по двум волнам (рис. 11а). Количество зубьев внутреннего венца - 64, внешнего - бб, передаточное отношение равно 33, количество конечных, элементов для каждого кольца - 32. Результаты представлены на рис.11: на рис.11а схематично изображен вид колец в деформированном состоянии, на рис.116 -зависимость касательных перемещений у(ф) колец от угла и зависимость радиальных перемещений и{ф) от угла. Из рисунков видно, что для найденной системы сил радиальные перемещения н{(р) внешнего кольца пружинного пакета равны заданным перемещениям и распределены по со$(2<(>).

Передаточное отношение существующих волновых передач, как правило, больше 80. Выбор передаточного отношения, равного 33, определяется тем, что наибольшим спросом пользуются передачи с передаточным отношением в пределах от 25 до 45.

Для передачи с передаточным отношением 33, осуществлялся подбор рациональных параметров. Для начала выбиралась рациональная форма деформирования колец для уменьшения напряжений в кольцах. Рассматривалось одно-, двух-, трех- и четырехволновое зацепление в виде косинуса, т.е. формы задавались в виде соз(ф), со$(2ф), «^(З(р), соб(4<р). Параметры пружинного пакета такие же, как параметры из предыдущего примера. Зависимости радиальных перемещений от угла в данном случае показаны на рисунках 12 и 13. Из результатов видно, что в случае одноволнового и двухволнового зацепления перемещения, а следовательно, и напряжения меньше, чем для 3-хволнового и 4-хволнового зацепления и имеют меньше максимумов. Дальнейшее увеличение числа волн зацепления приводит к еще большему увеличению напряжений в кольцах. Однако, при однозолновом зацеплении центр тяжести пружинного пакета будет

15

смещен от центра тяжести внешнего зубчатого венца из-за несимметричности формы деформирования колец. Поэтому при работе волновой передачи с большой угловой скоростью будет возникать кинетический момент инерции, отличный от нуля, что приведет к биению. Поэтому в дальнейшем рассматриваются двухволновые передачи.

Рис.11. Внешний вид деформирования и зависимости радиальных и касательных перемещений от угла, 1 - для внешнего кольца, 2 - для второго, 3 - для внутреннего.

В диссертации проведены исследования, которые показывают, что для снижения напряжений в кольцах перемычки между ними должны располагаться регулярно, и их количество должно быть равным между каждой парой колец, а также количество заделок у внутреннего кольца должно быть равно количеству перемычек.

Расчетом установлены зависимости радиальных и нормальных перемещений от угла, а соответственно, и напряжений при различном количестве перемычек для волновой передачи с круговой формой зубьев с передаточным отношением 33. В проведенных расчетах рассматривались различные случаи, в качестве примера здесь рассмотрены перемещения для восьми, шести, четырех, трех и двух регулярных перемычек между каждой парой колец для двухволнового зацепления. Результаты представлены на рисунках 14, 15, 16. Из графиков видно, что в случае, когда между кольцами две или три регулярные перемычки, напряжения в них становятся меньше и имеют меньше максимумов, т.е. при работе передачи в этом случае будет меньше циклов изменения знаков напряжения, что важно с позиции усталостной прочности.

Рис. 12. Зависимости радиальных перемещений от угла для одноволнового и двухволнового зацепления, 1 - для внешнего кольца, 2 - для второго, 3 - для внутреннего.

Рис.13. Зависимости радиальных перемещений от угла для трехволнового и четырехволнового зацепления, 1 - для внешнего кольца, 2 - для второго, 3 - для

внутреннего.

Рис. 14. Зависимости радиальных перемещений от угла для восьми и шести регулярных перемычек, 1 - для внешнего кольца, 2 - для второго, 3 - для внутреннего.

Рис. 15. Зависимости радиальных перемещений от угла для четырех и трех

Рис. 16. Зависимости радиальных перемещений от угла для двух регулярных перемычек, 1 - для внешнего кольца, 2 - для второго, 3 - для внутреннего.

Также в работе оценивались толщины колец, их количество и расстояния между, ними для уменьшения напряжений и циклов усталостной прочности. В результате было выбрано 2 волновые передачи со следующими параметрами:

- 1-ая передача: двухволновое зацепление; передаточное отношение равно 33; количество зубьев внутреннего колеса равно 64, внешнего - 66; пружинный пакет состоит из двух колец, между которыми 2 регулярные перемычки, внутреннее кольцо соединено с валом двумя регулярными заделками; радиусы центральных линий колец равны соответственно 100 мм и 92 мм, толщины колец равны 1,5 мм и 1,2 мм соответственно.

- 2-ая передача: двухволновое зацепление; передаточное отношение равно 33; количество зубьев внутреннего колеса равно 64, внешнего - 66; пружинный пакет состоит из трех колец, между которыми 3 регулярные перемычки, внутреннее кольцо соединено с валом тремя регулярными заделками; радиусы центральных линий колец равны соответственно 100 мм, 92 мм и 87мм, толщины колец равны 1,5 мм, 1,2 мм и 1 мм соответственно.

Зависимости радиальных перемещений от угла для этих двух волновых передач представлены на рис. 17а- для первой передачи, нарис.17б - для второй.

Для изготовления экспериментального образца использовались параметры первой выбранной волновой передачи с круговой формой зубьев.

Для уменьшения напряжений во внутренних кольцах нужные формы двухволнового зацепления можно задавать не только внешнему кольцу пружинного пакета, но и второму кольцу. Пусть второе кольцо имеет ту же самую форму, что й первое. Тогда получится расчетная форма, показанная на рис Л 8. Из рисунка видно, что перемещения внутреннего кольца уменьшились, а максимумов стало еще меньше. При этом уменьшились и сами напряжения.

Рис. 17. Зависимости радиальных перемещений ог угла для а - первой и б - второй передачи, 1 - для внешнего кольца, 2 - для второго, 3 - для внутреннего.

Рис.18. Зависимости радиальных перемещений от угла в случае, когда формы задаются двум кольцам, 1 - для внешнего кольца, 2 - для второго, 3 - для внутреннего.

Таким образом, с помощью разработанной математической модели можно направленным перебором параметров (радиусов колец, числа перемычек, толщины и др.) определять рациональный набор параметров волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов для уменьшения напряжений, уменьшения количества циклов усталостной прочности, увеличения кинематической точности, увеличения к.п.д.

Динамический расчет. Динамический расчет пружинного пакета проводился на базе математической модели на основе МКЭ с итерационным учетом сил инерции деформируемых колец. Силы инерции могут быть следующих видов: радиальные силы инерции - Ф 1> = -™", касательные силы инерции - Фу=-та", силы инерции от поворота сечений на угол 0 - Фа = -./а(в. Из-за их малости последние не учитывались. Для расчета радиальных и касательных сил инерции необходимо знать соответствующие ускорения а", а'. Для этой цели была создана итерационная процедура. С помощью построенной модели производился расчет формы колец пакета для одного полного оборота волны деформирования без учета сил инерции. Устанавливаются значения функций перемещений (уу,.,V.,0.) для каждой узловой точки в каждый момент времени. Затем отсюда вычисляются ускорения по конечно-разностной схеме. Угловая частота со

2л

выражается через Л/ следующим образом Ы =-, где N - количество конечных

№о

элементов, на которые разбито кольцо.

Отсюда определяются величины ускорений узловых точек первого приближения. Через полученные ускорения в модель вводятся узловые силы инерции. Получаются новые значения функций перемещений узловых точек от времени. Вновь рассчитываются соответствующие им новые значения ускорений, а соответствующие им новые силы инерции вновь подставляются в модель и т.д. Расчетная процедура повторяется до тех пор, пока абсолютное суммарное изменение ускорений не окажется меньше наперед заданной величины.

На рисунке 19 представлены зависимости радиальных и касательных перемещений от угла для различных частот вращения в случае, когда формы задаются двум кольцам.

Рис. 19. Зависимости радиальных и касательных перемещений от угла при различной угловой скорости вращения, 1 - для внешнего кольца, 2-для второго, 3 - для

внутреннего.

Результаты расчетов показывают, что формы сохраняются при сравнительно небольших угловых скоростях вращения волны деформации (до ~ ю = 500рад!с). При этом с ростом ш происходит сглаживание перемещений внутренних колец пружинного пакета и уменьшение их максимальных значений. Однако, с дальнейшим ростом 0) (<а > 1000рад!с) решение начинает «разваливаться» (см. рис.19в). Это связано с тем, что значение частоты вращения со подходит к значению собственных частот колебания пружинного пакета. В этом случае в расчет нужно искусственно вводить силы вязкого трения и рассматривать задачу, как нестационарную.

Таким образом, с помощью построенной динамической модели можно оценивать работу пружинного пакета в разных рабочих режимах и производить подбор его рациональных параметров для выбранных режимов с целью обеспечения более эффективной работы волнового шагового двигателя. Модель позволяет провести подбор всех параметров пружинного пакета еще до этапа его изготовления. А так как натурный эксперимент является весьма дорогим, то данная модель существенно облегчает саму процедуру проектирования и пружинного пакета, и волнового шагового двигателя.

В пятой главе проведен расчет сил односторонне контактирующих зубьев волновой передачи с круговой формой зубьев. Принимается дискретная схема контакта элемента, учитывается односторонний характер связей. В соответствии с этим математическая модель объекта представлена системой алгебраических неравенств и ограничений, накладываемых односторонними (неудерживакнцими) связями. Решение системы уравнений, удовлетворяющее ограничениям, находится при ггомощи итерационного процесса, в котором циклически выполняется три этапа: определение контактных сил из решения системы уравнений для заданной системы удерживающих связей, определение зазоров между контактирующими звеньям, коррекция (добазлекие или уменьшение числа связей) системы удерживающих связей в соответствии с заданными ограничениями.

По полученным результатам построена диаграмма крутильной жесткости. Теоретически выявлено и дано обоснование того, что нелинейная диаграмма крутильной жесткости волновой передачи с кольцевым пружинным пакетом имеет случайный характер («блуждающая жесткость»).

На основе метода Гира разработана модель и рассчитаны крутильные колебания управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода с блуждающей жесткостью,

В результате замены, проведенной во второй главе, внутренний зубчатый венец представляется в виде гладкого кольца с приведенной эквивалентной толщиной с жесткими стержнями, которые являются односторонними связями (рис.20). Длины стержней определяются из геометрии зацепления зубьев колес, построенной в первой главе, чтобы зазоры между стержнями и зубьями жесткого колеса соответствовали реальным зазорам между зубьями гибкого и жесткого колеса.

Рис.20. Замена внутреннего зубчатого венца кольцом со стержнями.

Условия одностороннего контакта в односторонних связях выглядят следующим образом:

Ап. = О, О. > О

' ' & _ контакт нагружен;

Ап. =0, 0 = О I > & _ состояние перехода;

Д", >0. 0 - 0 _ контакт разгружен.

Здесь Ап - функция зазоров между точками внутреннего и внешнего зубчатого венцов; <2 _ реакции, возникающие в результате контакта зубьев.

Для расчета сил односторонне-контактнрующих зубьев использовался метод последовательных приближений и математическая модель волновой передачи с круговой формой зубьев на основе МКЭ. Кратко его суть в следующем: в каждый момент времени приближенно определяется область контакта Г. Это множество узлов, находящихся в контакте. Далее определяются зазоры {Дл} для области Г и решается уравнение метода сил

[¿]{2} = {Д«}. (7)

Здесь - матрица податливости, получаемая из общей матрицы податливости [<?] путем удаления строк и столбцов с номерами узлов, не входящих в множество Г. Из решения уравнения (7) находятся значения сил {¡2} первого приближения. Если среди них есть отрицательные, то выбирается наименьшая сила и узел, соответствующий этой силе, убирается из множества Г. После этого составляется новая матрица и решается уравнение (7). Так происходит до тех пор, пока среди сил {<2} не останется отрицательных.

Зазоры {Дя} определяются по созданному в работе алгоритму (рис.21).

В каждый момент времени работы передачи для каждой точки гибкого зубчатого венца (х,,у,) вычисляется расстояние до ответной внешнего зубчатого венца. Т.е. алгоритм сводится к поиску точки внешнего зубчатого венца с координатами X, У такой, чтобы выполнялись условия: искомая точка лежит на нормали п, т.е. {X, У)вп;

расстояние

р = - х, )2 + (У - у/)2 от искомой точки до исходной минимальное.

На каждом этапе работы передачи для каждой ¿-ой точки (х.1, у:) внутреннего венца по конечно-разностной схеме находится производная

хм - Л

Уравнение нормали п к внутреннему зубчатому венцу в ¿-ой точке имеет вид

Ах+Ву + С = 0, где А = —, В = 1, С = - У'+ Х' ]. Далее задается точность определения

У,' У:' )

зазоров £. Это расстояние от нормали п , в пределах которого ищется точка, расстояние до которой от исходной точки минимальное. Такой прием связан с дискретностью представления линии контакта внешнего зубчатого венца и, следовательно, искомая точка может не принадлежать нормали п , а приближаться к ней сколь угодно близко. Даже если

какая-либо точка лежит на нормали п или расстояние от нее до нормали п наименьшее среди всех точек внешнего зубчатого венца, для нее может не выполняться условие 2. На рисунке 21 это точка с координатами Л",, У1.

Рис.21. Построение функции зазоров. Далее ищутся координаты точек внешнего зубчатого венца расстояние от

которых до нормали п меньше е, т.е. ру =

АХ, + ВУ, + С

< е. Среди этих точек

выбирается точка, расстояние от которой до исходной точки (х1, у,) минимальное. Это и есть искомая точка (X, У).

С помощью построенного алгоритма можно получать функции зазоров для волновой передачи с круговой формой зубьев в любой момент времени, а из решения матричного уравнения (7) определять реакции {2} в каждой точке.

На рис.22 представлена зависимость контактных сил от угла для первой передачи, описанной в предыдущей главе, в момент времени, когда центральная ось деформации проходит через точку с <р = 0, число узловых точек для каждого зуба равно 107.

Ф, рад

Рис.22. Зависимость сил взаимодействия от угла.

На рисунке 23 представлены расчетные диаграммы крутильной жесткости передачи, полученные для случаев: когда в начальном положении центральная ось деформирования пружинного пакета проходит через вершину зуба гибкого венца и -

через впадину зуба гибкого венца в разных сечениях стыка колец пружинного пакета (удаленных от перемычек и расположенных близко к перемычкам).

Поскольку в исходном состоянии взаимное положение зубьев колес может быть произвольным, то реальная крутильная жесткость в каждый момент времени будет находится между зависимостями I ц 2, изображенными на рнс.23.

Рис.23. Диаграмма крутильной жесткости.

Следует отметить, что с этой точки зрения волновые передачи представляют собой нелинейно-упругие системы с «блуждающей» жесткостью. Это существенно усложняет задачу теоретического исследования крутильных колебаний управляемого объекта па выходном валу передачи.

Задача крутильных колебаниях управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода с блуждающей жесткостью решалась в предположении, что случайная функция крутильной жесткости Л'(<р) равномерно распределена между зависимостями 1 и 2

С помощью реализованного в работе метода Гира и созданной на его основе программы можно проводить расчет крутильных колебаний управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода, с предварительной рассчитанной блуждающей жесткостью для любого вида ее зависимости от утла.

Основные выводы по результатам работы:

Разработана математическая модель волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов

1. Разработан итерационный алгоритм построения геометрии зацепления передач с круговой формой зубьев. Проведен подбор рациональных параметров для построения согласованной геометрии зацепления. Оценены потери энергии, связанные с проскальзыванием зубьев, они составляют около 3%. С помощью созданного программного пакета можно рассчитывать все геометрические размеры колес волновой передачи (радиус, размеры зубьев и т.п.) для любого числа зубьев внутреннего п внешнего колес; а также оценивать число зацепляющихся зубьев в ненагружениой передаче.

2. Созданы математические модели кольцевого пружинного пакета волновой передачи методом конечных элементов и методом конечных разностей. Проведен сравнительный анализ эффективности этих методов в рамках данной задачи. Показано, что расчеты методом конечных элементов, по крайней мере, в 7 раз быстрее, чем методом конечных разностей.

3. На основе метода конечных элементов разработана иерархия математических моделей волновой передачи, включающая в себя:

а) Модель одного кольца с любым количеством заделок и любой толщиной.

б) Модель пружинного пакета из 2-х и более колец с любой толщиной, соединенных между собой любым количеством жестких перемычек и любым количеством заделок одного из колец.

в) Модель волнового зацепления, основанная на методе сил и методе перемещений и позволяющая задавать в собранной передаче любые формы деформирования волнового зацепления (эллипс, овал и т.д.).

г) Модель силового взаимодействия одностороннее контактирующих зубьев волновой передачи при ее сборке и при ее нагружении полезной нагрузкой.

д) Динамическая модель с учетом сил инерции.

е) Получена и обоснована диаграмма «блуждающей» крутильной жесткости волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

3. Разработана численная модель расчета матрицы податливости пружинного пакета методом конечных элементов на основе криволинейного стержня.

4. Показано, что решение динамической задачи, полученное методом итераций, устойчиво при работе передачи до 1000 рад/сек.

5. На основе построенной модели проведен расчет рациональных параметров волнового зацепления. Расчетные параметры положены в основу изготовления макетного экспериментального образца волнового шагового двигателя с пневматическим восьмицилиндровым волнообразователем, разрабатываемого совместно с аспиранткой Фоминой Т.А., (рис. 24) с параметрами: двухволновое зацепление; передаточное отношение равно 33; количество зубьев внутреннего колеса равно 64, внешнего - 66; пружинный пакет состоит из двух колец, между которыми 2 регулярные перемычки, внутреннее кольцо соединено с валом двумя регулярными заделками; радиусы центральных линий колец равны соответственно 100 мм и 92 мм, толщины колец равны 1,5 мм и 1,2 мм соответственно.

6. С помощью метода Гира и созданной на его основе программы расчета можно проводить расчет крутильных колебаний управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода, с предварительной рассчитанной блуждающей жесткостью для любого вида зависимостей блуждающей жестокости.

7. Создан пакет программ, позволяющий проводить полное моделирование работы волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов, производить подбор всех ее параметров до этапа изготовления.

Рис.24. Макетный образец волнового шагового двигателя с пневматическим восьмицилиндровым волнообразователем.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Клепиков С.С, Майков А.И. Построение согласованной геометрии волновой передачи с круговой формой зубьев. - М.: Известия высших учебных заведений (вузов). Машиностроение., 2009, Kai, с.3-8,

2. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка математической модели расчета пружинного пакета волнового редуктора методом конечных элементов (МКЭ). - М: Известия высших учебных заведений (вузов). Машиностроение., 2008, № 11 с. 25-30.

3. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка математической модели волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов. Материалы Международной научной студенческой конференции «Научный потенциал студенчества - будущему России». Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. Ставрополь: СевКавГту, 2007, е.! 15-116.

4. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка математической модели волнового редуктора с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов. Тезисы докладов и выступлений студентов, аспирантов и преподавателей на VI) межвузовской научно-практической конференции - М.: МГИУ, 2006, с.327-335.

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010616381. Программа расчета волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24 сентября 2010. Автор Майков А.И.

Майков Андрей Игоревич

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОЛНОВОЙ ПЕРЕДАЧИ С КРУГОВОЙ ФОРМОЙ ЗУБЬЕВ И УПРУГИМИ ЗВЕНЬЯМИ В ВИДЕ КОЛЬЦЕВЫХ ПРУЖИННЫХ ПАКЕТОВ

Автореферат

Подписано в печать 13.10.10 Формат бумаги 60x84/16 Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,75. Тираж 100. Заказ № 325

Издательство МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16 www.izdat.msiu.ru; e-mail: izdat@msiu.ru; тел. (495) 620-39-90