автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Комплекс математических моделей волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов

005001201

МАЙКОВ АДДРЕЙ ИГОРЕВИЧ

КОМПЛЕКС МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВОЛНОВЫХ МЕХАНИЗМОВ С КРУГОВОЙ ФОРМОЙ ЗУБЬЕВ И УПРУГИМИ ЗВЕНЬЯМИ В ВИДЕ КОЛЬЦЕВЫХ ПРУЖИННЫХ ПАКЕТОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 7 НО Я 2011

Москва-2011

005001201

Работа выполнена в Московском государственном индустриальном

университете

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Клеников Сергей Сергеевич

доктор технических наук, профессор Гаврюшин Сергей Сергеевич

кандидат физико-математических наук Слободчиков Савва Саввич

Ведущая организация:

ОАО "Корпорация "Московский институт теплотехники"

Зашита диссертации состоится «(> » 2011 г. bÍ^ OO часов на

заседании диссертационного совета Д212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э.Баумана по адресу:

г.Москва, Рубцовская наб., д.2/18, ауд.ЮОбл.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим выслать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул.,

д.5, МГТУ им. Н.Э.Баумана, ученому секретарю совета Д212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н.Э.Баумана.

Автореферат разослан « ^ » И од/р Л 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

Аттетков А.В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. С развитием вычислительной техники стало возможным решение многих прикладных задач механики в области волновых механизмов.

Волновые механизмы основаны на принципе передачи и преобразования движения путем волнового деформирования одного из звеньев - гибкого колеса. Однако у волновых механизмов с эвольвентной формой зубьев существует ряд недостатков. Их к.п.д. составляет 80-90% в зависимости от величины передаточного отношения. В них возникают шумовые эффекты (скрип, скрежет и др.), а это недопустимо во многих областях техники. Эти недостатки связаны с тем, что между сопряженными зубьями колес в точках их контакта происходят проскальзывания, что приводит к их «стачиванию» и порождает неравномерность загрузки самого зуба.

Самыми эффективными являются передачи с зубьями в форме циклоиды. Потери энергии здесь минимальны. К.п.д. таких передач достигает 98%, так как в сопряженных парах зубьев с циклоидальной формой теоретически отсутствует их взаимное проскальзывание, а потому такие передачи практически бесшумны, в них не возникают различные побочные эффекты. Однако эти качества достигаются лишь в том случае, когда циклоиды сопряженных профилей зубьев колес изготовлены очень точно, что требует специального высокоточного оборудования.

При неточном изготовлении циклоидальных форм зубьев обязательно появятся либо натяги (что ведет к заклиниванию зацепления), либо зазоры (что ведет к нарушению условия многопарности их зацепления). С этой точки зрения представляется целесообразным использовать циклоидальную форму зубьев в волновых механизмах, где есть высокодеформативный элемент, который будет компенсировать эти недочеты. Более того, как показали теоретические исследования, циклоидальную форму зуба в волновой передаче можно заменить круговой. Это обусловлено тем, что как неточности, связанные с отклонением приближенной круговой формы зуба от его точной циклоидальной формы, так и технологические погрешности изготовления зубьев, будут «отфильтровываться» весьма податливым гибким колесом передачи. Исследования показывают, что к.п.д. таких волновых механизмов составляет примерно 95-97%. Такая замена целесообразна лишь при сохранении одинаковых условий контакта зубьев колес по их длине. Это

\

условие практически невозможно обеспечить у волновых механизмов с чашевидной формой гибкого колеса, зубья которых испытывают пространственное деформирование, а поэтому имеют различные условия контакта по их длине.

Для сохранения одинаковых условий контакта зубьев колес по их длине можно использовать гибкие колеса в виде кольцевых пружинных пакетов, что обеспечит равномерность распределения усилий контакта по длине зубьев. Кроме того, использование гибких колес в виде кольцевых пакетов существенно увеличит их необходимую радиальную податливость за счет совместного деформирования всех соосных колец пакета.

Колеса таких волновых механизмов гораздо проще изготавливать, так как круговую форму зуба нарезать на цилиндрической поверхности кругового кольца-венца значительно проще, чем циклоидальную форму. Следует также отметить еще одно существенное достоинство замены эвольвентных профилей зубьев круговыми. В этом случае в гибких зубчатых венцах в местах сопряжения впадин с эвольвентными профилями зубьев убираются все концентраторы напряжений. Это обстоятельство заведомо существенно увеличивает усталостную прочность гибких венцов с круговыми зубьями, а следовательно и их ресурс.

Для успешного решения задачи создания новых волновых механизмов необходима разработка соответствующих математических моделей и комплекса программ для расчета их основных характеристик. Разработанные математические модели и комплекс программ позволят проводить вычислительный эксперимент для различных видов волновых механизмов, осуществлять подбор всех необходимых параметров до этапа изготовления экспериментального образца.

Вышеизложенным определяется актуальность работы - создание комплекса математических моделей, описывающего волновые механизмы с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка математических моделей и комплекса программ расчета волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Разработка алгоритма построения согласованной геометрии зацепления зубьев гибкого и жесткого колес с заменой эвольвентных форм зубьев круговыми формами, приближенными с высокой степенью точности к циклоидам.

2. Построение математических моделей, численных методов и программ расчета динамики нагружения волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

Методы исследования, используемые для достижения поставленной цели, основаны на методах численного анализа разработанных математических моделей: метод конечных разностей с прогонкой для 7-ми диагональных матриц и размытием 5-функции; метод конечных элементов с итерационным учетом сил инерции; метод Гира; а также на других методах строительной механики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

обусловлена корректной постановкой задач исследования, всесторонним тестированием алгоритмов и программного комплекса в сериях вычислительных экспериментов, сравнительным анализом результатов численных расчетов, полученных разными методами, использованием расчетных результатов при проектировании и изготовлении работоспособного макетного образца волнового шагового двигателя.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработана математическая модель волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов:

- создан итерационный алгоритм построения согласованной геометрии зацепления зубьев гибкого и жесткого колес с круговой формой зубьев с заменой эвольвентной формы зубьев круговой формой, приближенной с заданной точностью к циклоиде;

- построена численная модель и программа расчета матрицы податливости гибкого колеса в виде пружинного пакета методом конечных элементов (МКЭ) на основе кругового стержня и методом конечных разностей (МКР). Для МКР создан новый алгоритм прогонки для 7-ми диагональной матрицы.

2. Построен итерационный алгоритм расчета величин зазоров и сил одностороннего взаимодействия между круговыми зубьями при их сборке и нагружении полезной нагрузкой.

3. Построена иерархия математических моделей и пакет программ

з

позволяющие моделировать и проектировать волновые механизмы до этапа их изготовления.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что содержащиеся в нем положения и выводы могут быть использованы:

- для моделирования и подбора основных параметров волновых передач с пружинным пакетом и без него, обеспечивающих их бесшумность, высокую кинематическую точность, высокий КПД, снижение уровня максимальных напряжений в гибких колесах, что позволит их изготавливать из более дешевых материалов;

- при разработке новых и модернизации существующих волновых передач и приводов на их основе;

- аспирантами, инженерно-техническими работниками, занимающи-мися вопросами математического моделирования динамики систем.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математические модели, численные методы, программный комплекс и результаты расчетов волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

2. Созданный на основе расчетов и моделирования совместно с Фоминой Т.А. работоспособный натурный макетный образец волнового шагового двигателя.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научной студенческой конференции «Научный потенциал студенчества -будущему России» (Ставрополь, 2007), Всероссийской научно-технической конференции «VII Гагаринские чтения» (Сергиев Посад, 2006), научных семинарах по машиноведению Владимирского государственного университета (Владимир, 2009), теоретической механики и теории механизмов, прикладной математики и информатики, общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета (Москва, 2007-2010).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 6 печатных работах, в том числе в 3-х статьях из Перечня рецензируемых ведущих научных журналов и изданий [1, 2, 5] и 2-х тезисах докладов и трудах конференций [3, 4]. Получено одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [6].

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе

научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 118 страницах, содержит 57 иллюстрации. Библиография включает 101 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи, научная новизна, практическая значимость работы, основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приведен обзор работ, относящихся к теме диссертации.

Во второй главе приведен алгоритм замены эвольвентной формы зубьев круговой формой, приближенной с заданной точностью к циклоиде; создан итерационный алгоритм построения согласованной геометрии колес волновых механизмов с круговой формой зубьев; проведен подбор параметров колес для построения согласованной геометрии; оценены потерн энергии, связанные с проскальзыванием зубьев колес.

На рис.1 изображена схема построения профиля зубчатого колеса с круговой формой зуба. Анализируемый профиль колеса образуется наложением на кольцо радиуса R малых круговых профилей радиусов г, и гг внешнего и внутреннего частей зуба соответственно. Их центры лежат на окружностях, отстоящих от главной окружности радиуса R на расстояниях /г, и h2.

На каждой итерации строится профиль колеса с круговой формой зубьев с заданными параметрами. После этого вычисляется расстояние между точками О и 02 (рис.2). Если оно меньше заданной точности £, то расчет завершается. В противном случае радиус R уменьшается на величину dR и повторным расчетом строится новый профиль колеса, и получается новое расстояние между точками О' и 02' (рис.2).

При определенных значениях радиусов колец и параметров ги гг, А,, h2 взаимное движение зубьев колес будет проходить без перекрытия их контуров (то есть без «наползания»).

Рис. 1. Схема построения колеса с круговой формой зуба

\\\

^ у / \ / \

(Ш.

1

/о

Рис. 2. Условие перехода к

следующему шагу алгоритма

Такие значения параметров г{, гг, кх, И2 выбираются направленно подбором на основе многократных расчетов согласованных форм зубьев по построенному алгоритму.

Третья глава посвящена постановке и решению задачи деформирования кольцевого пружинного пакета. Решения получены методами конечных элементов (МКЭ) и конечных разностей (МКР), Пружинный пакет представлен упругой системой плоско-деформируемых круговых колец, каждое из которых рассчитывается отдельно, а затем эти решения «стыкуются» исходя из условий сопряжения колец через жесткие перемычки. Проведено сравнение решений полученными данными двумя методами с аналитическим решением для одного кольца. Проведен сравнительный анализ точности и длительности расчетов двух рассматриваемых методов. Выбран метод конечных элементов как наиболее эффективный для решения задач деформирования кольцевого пружинного пакета.

Уравнение равновесия каждого кругового кольца с нерастяжимой средней линией в перемещениях принималось в виде:

¿6у

—г + 2—г +-

с/ф <Лр сЛр

И

^ТА^аф

ЕЗ

сГт <Лр2

+ т =0.

(1)

где у(ф) - касательные перемещения в кольце, Л - радиус его средней линии, Е7 - его изгибная жесткость, а - внешние погонные окружная и

радиальная нагрузки на кольцо, т— внешний изгибающий момент.

Уравнение (1) для каждого кольца дополняется следующими граничными условиями:

1) условие замкнутости кольца: Уд, = V,, 0Л. =

2) условие заделки точки кольца: V, =0, м>, = 0, 8, = О,-

3) условие стыковки колец в перемычках: 6, =02, уу, =н-2, +10, =v2. Перемычки принимаются нерастяжимыми, несжимаемыми и неизгибаемыми.

Метод конечных элементов. Рассматриваются кольцевые конечные элементы со следующими функциями формы:

=Nt(^?,r,Cl) = ctl+ck2(p + (ck]+cí^<p)cosц> + (cls+cl6<s>)sm(?, £ = 1,6. Наборы констант су для функций форм находятся из граничных условий для элемента:

С учетом нерастяжимости средней линии строится матрица жесткости отдельного элемента:

Фг Ч»1

где = - матрица, связывающая деформации

и перемещения, [£>]=£/ - матрица упругости, ф,, ф2 - радиальные координаты узлов рассматриваемого элемента. Таким образом, для отдельного

элемента матрица жесткости имеет вид: К «

Из матриц жесткости отдельных элементов формируется матрица

жесткости для каждого кольца [£,],/= 1 ,п, где п - количество колец в пружинном пакете. Далее матрицы жесткости колец соединяются в одну глобальную матрицу жесткости [х] с помощью стыковочных условий для перемещений колец в зоне перемычек. Узловые перемещения находятся из

решения системы {/г}=[ЛГ]{д}, где - столбец внешних сил, {д} - столбец узловых перемещений. Далее определяется функция касательных перемещений у(ф), через которую можно получить все остальные неизвестные - и{ф), 0(<р), #(<р), М(р), а затем и напряжения. Таким образом, строится решение для всего пружинного пакета.

Метод конечных разностей. В методе конечных разностей численное решение дифференциального уравнения (1) осуществлялось на 7-точечном шаблоне (рис.3) с использованием разработанной процедуры прогонки для 7-ми диагональной матрицы.

1-2 1-1 / ;+/ 1+2 ¡+3

Рис. 3. Семиточечный шаблон

Дискретный аналог для /-ой точки (рис.3) представляется в виде:

а, • + Ь, ■ у,_2 + с, ■ - сЗ, ■ V, + е, • + /, • V,.;, + & ■ + А, = 0, I = 1, п, (2) где а,, Ь,, с,, с/,, е,, /¡, gl — параметры, получаемые в результате дискретизации уравнения (1) по конечно-разностной схеме, А, - параметр, отвечающий за нагружение кольца, п - количество узловых точек. При составлении дискретного аналога для всех точек кольца, получается семидиагональная

матрица [/и],

состоящая из коэффициентов ап Ъп с,, ¿¡¡, е,, fl, gl, / = 1,п. Решение системы уравнений [/и]{у}+ {/»} = 0 ищется в виде

V, = Арм + Врм + С(у(+з + Д., г = и, (3)

где А, В, С, Б- параметры. После подстановки (3) в (2) и исключения , у,_2, ум значения параметров получаются следующие:

А, _ -М,-з4-2Д,-1 + + а,А-зд,-1 + М,-2Дм + Ь,с„ + с,В,А +е,)

+ *,А-з4-1 + ¿/4-24-1 +ьА-2+сЛ-1 "Ч)'

в =_- (д,4.34_2См + + М,_2См + с,.См + /,)_>

М/-з4-24-1 + а/4-зВ/-2 + <*,ВМАМ + а,С,_з + 6,-Л,_2Лм + ¿>Д_2 + с,Лм — £/,-)'

(2 __~ £)_

' Мг-з4-24-1 + а-А-А-г + ++ б,4_24ч + б,я,_2 + с,л,., - )'

в ^ (Ы - (а,4-зД-гЦ-1 + ",4-зА-2 + аД-зА-1 + «,А-з + М,-гА-1 + Ъ,Р,_2 +

' («¡4-з4-г4-1 + "/4-3В/-2 + 0Д-з4-1 + 0,.см + М/-24-1 + Ь,В,_2 + С,ЛМ -

С учетом граничных условий рассчитываются значения Ап В„ С1, Д. по

полученным формулам, потом по (3) получаются значения перемещений V, в каждой узловой точке.

Заметим, что МКР является более трудоемким и требует значительно больше машинного времени (более, чем в 7 раз). Это особенно важно при решении задач определения сил одностороннего взаимодействия зубьев колес с поиском границ зон контактов итерационными методами строительной механики при учете сил инерции. Поэтому МКЭ выбран как наиболее эффективный.

Построенные на базе МКЭ модель и пакет программ расчета позволяют моделировать процесс деформирования пружинного пакета из соосных круговых колец, соединенных жесткими перемычками, с целью проектирования волновых механизмов с уменьшенными осевыми габаритами, высокой кинематической точностью, более высоким к.п.д. и запасом прочности и из менее дешевых материалов.

В четвертой главе построена матрица податливости пружинного пакета, рассчитаны силы, обеспечивающие согласованное волновое зацепление для различных видов зацепления (одноволновое, двухволиовое и т.д.), выбраны параметры для изготовления экспериментального макета и построена динамическая модель работы волновых механизмов.

Для обеспечения согласованного волнового зацепления необходимо подобрать такую систему сил, деформирующих пакет, чтобы радиальные перемещения деформированного зубчатого венца имели форму, близкую к косинусу или эллипсу. То есть система искомых узловых сил должна обеспечивать нужную форму деформирования гибкому зубчатому венцу. Решение такой задачи строится следующим образом. Используется математическая модель пружинного пакета на базе метода конечных элементов. Задаются необходимые перемещения для набора точек гибкого зубчатого венца {Д}. Далее по заданным перемещениям ищутся силы по следующему алгоритму:

1) для столбца заданных перемещений точек наружного кольца пакета составляется матрица податливости [5], элементами которой 5.. являются перемещения у-ой точки венца от действия в ¡-ой точке единичной силы;

2) решается система уравнений [8]{0 = {Д}, где {0 - неизвестные искомые силы, которые обеспечивают заданные перемещения гибкому венцу в узловых точках.

Для волнового зацепления с передаточным отношением 33 многократными расчетами выполнен подбор параметров для изготовления экспериментального образца волнового шагового двигателя. В итоге были выбраны следующие значения параметров: двухволновое зацепление; передаточное отношение равно 33; количество зубьев внутреннего колеса равно 64, внешнего - 66; пружинный пакет состоит из двух колец, между которыми две регулярные перемычки, а внутреннее кольцо соединено с валом двумя регулярными заделками; радиусы центральных линий колец равны соответственно 100 мм и 92 мм; толщины колец равны 1,5 мм и 1,2 мм соответственно.

Зависимости радиальных перемещений от угла для этой волновой передачи представлены на рис.4.

передачи: 1 - для внешнего кольца, 2 - для внутреннего

Динамический расчет. Силы инерции конечного элемента

представляются в виде: радиальная сила инерции: Фш =-те1а™, /=1,л;

касательная сила инерции: Ф„=— те1а^, /=1 ,п; сила инерции от поворота

сечений на угол 0: Фе = -7<я(в, г" = 1 ,п , где а", а], а? - соответствующие силам инерции ускорения, те1 - масса элемента, J - его момент инерции, п -количество элементов. Из-за малости Фе по сравнению с Ф, и Ф, они не учитывались.

Учет сил инерции осуществлен по следующему алгоритму: ШАГ 1. Расчет форм колец пакета для одного полного оборота волны деформирования без учета сил инерции. При этом волна деформирования пройдет 2л радиан за время пЬЛ, где Д/ - время прохождения волны от одной

узловой точки к другой. То есть значение угловой частоты вращения волны деформирования со равно:

2п

со =-.

лЛ/

Вычисление значений функций перемещений (м',,^) и ускорений (а™,а?) первого приближения по конечно-разностной схеме для каждой узловой точки в каждый момент времени.

ШАГ 2. Для каждой узловой точки добавляются две внешние силы Ф№ и Фу. Вычисление новых значений функций перемещений (и;.,^) и ускорений (а", а*) узловых точек от времени.

Шаг 2 повторяется до тех пор, пока абсолютное суммарное изменение ускорений не окажется меньше заданной точности.

На рис.5 представлены зависимости радиальных и касательных перемещений от угловой координаты для различных частот вращения со в случае, когда формы задаются двум кольцам.

Рис. 5. Зависимости радиальных и касательных перемещений от угла при различной угловой скорости вращения: 1 - для внешнего кольца, 2 - для второго, 3 - для внутреннего

Результаты расчетов показывают, что формы сохраняются до ~

со = 500рад!с. При этом с ростом со происходит сглаживание перемещений внутренних колец пружинного пакета и уменьшение их максимальных значений. Однако, с дальнейшим ростом со (со > 1000рад/с) решение начинает «разваливаться» (см. рис.5,в). Это связано с тем, что значение частоты вращения волны деформирования со подходит к значению собственных частот

и

колебания пружинного пакета. В этом случае в расчет нужно искусственно вводить силы вязкого трения.

Так как натурный эксперимент является весьма дорогим, то построенная модель существенно облегчает процедуру проектирования как пружинного пакета, так и волнового шагового двигателя.

В пятой главе проведен расчет сил односторонне контактирующих зубьев волновой передачи с круговой формой зубьев. Принята дискретная схема контакта элемента, учтен односторонний характер связей. Решение находится при помощи итерационного метода, в котором циклически выполняются три этапа:

1) определение контактных сил из решения системы уравнений для заданной области удерживающих связей;

2) определение зазоров между контактирующими звеньями;

3) коррекция (добавление или уменьшение числа связей) системы удерживающих связей в соответствии с заданными ограничениями.

По вычисленным значениям сил контакта зубьев рассчитаны крутильные моменты для разных положений волны деформирования и построена диаграмма крутильной жесткости, которая получается разной для разных начальных условий и имеет случайный стохастический характер («блуждающая жесткость»),

С использованием метода Гира рассчитаны крутильные колебания управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода с блуждающей жесткостью.

Внутренний зубчатый венец представляется в виде гладкого кольца с приведенной эквивалентной толщиной с жесткими стержнями, которые являются односторонними связями (рис.6). Длины стержней определяются из геометрии зацепления зубьев колес, построенной в первой главе, так чтобы зазоры между стержнями и зубьями жесткого колеса соответствовали реальным зазорам между зубьями гибкого и жесткого колес.

Условия одностороннего контакта в односторонних связях выглядят следующим образом: Ал; = 0, {^>0 - контакт нагружен; Ди, =0, £>,. = 0 -состояние перехода; Дгс, >0, (^=0 - контакт разгружен, где Ди - функция зазоров между точками внутреннего и внешнего зубчатого венцов; -реакции, возникающие в результате контакта зубьев.

Рис. 6. Замена внутреннего зубчатого венца кольцом со стержнями

Вычисление сил односторонне-контактирующих зубьев осуществлено с помощью итерационного метода строительной механики и расчетной модели волнового зацепления, построенной в четвертой главе.

На рис.7 представлены расчетные диаграммы крутильной жесткости передачи, полученные при прохождении центральной оси деформирования в начальном положении через перемычку (кривая 1), равноудалено от перемычек (кривая 2) и через другие сечения пружинного пакета (кривые, расположенные между кривыми 1 и 2). Поскольку в исходном состоянии взаимное положение зубьев колес может быть произвольным, то крутильная жесткость в каждый момент времени будет находится между кривыми 1 и 2.

'■М,Нм

5 - 1

Г

•Л

■>Л

л ^п N

А И и л

А

У

4

г

Г

0 0 1 2 1 3 ♦ 5 6 17 18

Рис. 7. Диаграмма крутильной жесткости

Следует отметить, что волновые передачи представляют собой нелинейно-упругие системы со случайной стохастической жесткостью. Это существенно усложняет задачу теоретического исследования крутильных колебаний управляемого объекта на выходном валу передачи.

Основное уравнение, описывающее крутильные колебания, имеет вид:

Лр(/)+А-(Ф)р(') = Л/('). (4)

где J - момент инерции управляемого объекта, АТ((р) -функция крутильной жесткости, M(í) - внешний крутящий момент, ср(/) - зависимость угла упругого закручивания управляемого объекта от времени. При решении данного уравнения предполагается, что случайная функция крутильной жесткости равномерно распределена между кривыми 1 и 2. Такое предположение допустимо, поскольку в начальный момент времени работы волнового привода центральная ось деформирования пружинного пакета может находится в любом положении с равной вероятностью. Таким образом, функция крутильной жесткости с равной вероятностью может принимать любое значение между функциями 1 и 2 и определяется как

Г(ф)_*.(фН*2(ф) , Kt(<p)-K2(<p)fí (5)

где ф), ЛГ2(ф) ~ функции крутильной жесткости, соответствующие кривым 1 и 2 соответственно, / - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [-1; 1]. Численное решение уравнения (4) с учетом (5) проведено методом Гира с автоматическим выбором шага, реализованным в виде программы, в которой с помощью псевдослучайного генератора чисел была реализована равномерно распределенная случайная величина /. Разработанная программа позволяет проводить расчет крутильных колебаний управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода, с предварительной рассчитанной жесткостью для любого вида ее зависимости от угла.

В работе рассмотрен случай, когда крутильная жесткость является периодической функцией от времени для каждого начального положения колес волновой передачи и приложенных сил. Зависимость £(ф) в этом случае определяется как:

А"(ф) = a, -q¡ cosco/,

где со - круговая частота, а1г ql - некоторые постоянные, зависящие от начального положения, а уравнение (4) при M(t) = 0 преобразуется к виду:

d2ф (д|coscoí) _

Уравнение (6) является уравнением Матье. С помощью диаграммы Айнса-Стретга оценены области устойчивых и неустойчивых колебаний.

г -= (6)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе метода конечных элементов разработана иерархия математических моделей волновых механизмов, включающая в себя:

- модель деформирования изолированного кольца;

- модель деформирования пружинного пакета;

- модель волнового зацепления круговых зубьев гибкого колеса в виде пружинного пакета с круговыми зубьями жесткого колеса;

- динамическая модель работы волновых механизмов;

- модель силового взаимодействия контактирующих круговых зубьев колес;

- модель крутильных колебаний управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода со случайной стохастической жесткостью.

2. Иерархия математических моделей позволила обосновать целесообразность замены эвольвентной формы зубьев круговой формой, приближенной с заданной точностью к циклоиде.

3. С помощью разработанной иерархии математических моделей проведен детальный анализ параметров волнового зацепления, на основе которых изготовлен совместно с Фоминой Т.А. работоспособный макетный образец волнового шагового двигателя с пневматическим восьмицилиндровым волнообразователем.

4. Создан программный комплекс, позволяющий проводить полное моделирование работы волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов, производить подбор всех параметров до этапа изготовления.

Основные результаты диссертации отражены в работах:

1. Клеников С.С, Майков А.И. Построение согласованной геометрии волновой передачи с круговой формой зубьев // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2009. №1. С.3-8.

2. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка математической модели расчета пружинного пакета волнового редуктора методом конечных элементов (МКЭ) Н Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2008. №11. С. 25-30.

3. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка математической модели волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов // Научный потенциал студенчества - будущему России: материалы Международной научной студенческой конференции. Ставрополь, 2007. Т.1. С.115-116.

4. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка математической модели волнового редуктора с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов // Тез. докл. VII межвузовской научно-практической конференции. М., 2006. С.327-335.

5. Майков А.И. Разработка математической модели расчета пружинного пакета волнового редуктора методом конечных разностей // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2011. №6. С. 15-18.

6. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010616381. Программа расчета волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов / А.И.Майков. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.09.2010.

Майков Андрей Игоревич

КОМПЛЕКС МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВОЛНОВЫХ МЕХАНИЗМОВ С КРУГОВОЙ ФОРМОЙ ЗУБЬЕВ И УПРУГИМИ ЗВЕНЬЯМИ В ВИДЕ КОЛЬЦЕВЫХ ПРУЖИННЫХ ПАКЕТОВ

Автореферат

Подписано в печать 02.11.11 Формат бумаги 60x84/16 Усл. печ. л. 1,0. Уч.-нзд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ № 354

Издательство МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16 www.izdat.msiu.ru; e-mail: izdat@msiu.rn; тел. (495) 620-39-90

Отпечатано в типографии издательства МГИУ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЯ ЗАЦЕПЛЕНИЯ.

2.1. Построение согласованной геометрии зацепления.

2.2. Подбор параметров.

2.3. Замена циклоидального профиля зуба круговым.

2.3. Оценка потерь энергии, связанных с проскальзыванием колес при движении.

2.4. Результаты.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЬЦЕВОГО ПРУЖИННОГО ПАКЕТА ВОЛНОВОЙ ПЕРЕДАЧИ С КРУГОВОЙ ФОРМОЙ ЗУБЬЕВ.

3.1. Эквивалентные толщины зубчатого венца гибкого колеса.

3.2. Основные зависимости для колец.

3.3. Составление математической модели кольцевых пружинных пакетов методом конечных разностей.

3.3.1. Получение дискретного аналога модели.

3.3.2. Решение системы уравнений для кругового стержня.

3.3.3. Решение системы уравнений для кольца.

3.3.4. Граничные условия.

3.3.5. Нагружение кольца.

3.3.6. Результаты расчетов.

3.3.7. Математическая модель расчета пружинного пакета методом конечных разностей.

3.4. Построение математической модели кольцевых пружинных пакетов методом конечных элементов.

3.4.1. Матрица жесткости для кругового стержня.

3.4.2. Формирование матрицы жесткости для одного кольца.

3.4.3. Результаты.

3.4.4. Математическая модель пружинного пакета.

3.5. Сравнение решений, полученных разными методами.

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ СОГЛАСОВАННОГО ВОЛНОВОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ. ПОДБОР ПРИЕМЛЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ. ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

4.1. Построение матрицы податливости.

4.2. Подбор приемлемых параметров.

4.3. Динамический расчет.

ГЛАВА 5. РАСЧЕТ СИЛ ОДНОСТОРОННЕ КОНТАКТИРУЮЩИХ КОЛЕС ВОЛНОВОЙ ПЕРЕДАЧИ С КРУГОВОЙ ФОРМОЙ ЗУБЬЕВ. ДИАГРАММА КРУТИЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИВОДА С БЛУЖДАЮЩЕЙ ЖЕСТКОСТЬЮ.

5.1.Расчет сил одностороннего контакта зубьев волновой передачи.

5.2. Крутильные колебания управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода со случайной стохастической жесткостью.

С развитием вычислительной техники в настоящее время стало возможным решение многих прикладных задач механики в области волновых механизмов. Во всем многообразии таких задач можно найти общие черты и закономерности, а использование для создания моделей принципов объектно-ориентированного программирования позволяет создавать готовый набор программных заготовок для построения моделей и программ любой сложности.

Волновые механизмы основаны на принципе передачи- и преобразования движения путем волнового деформирования одного из звеньев - гибкого колеса. Однако у волновых механизмов с эвольвентной формой зубьев существует ряд недостатков. Их к.п.д. составляет 80-90% в зависимости от величины передаточного отношения. В них возникают шумовые эффекты (скрип, скрежет и др.), а это недопустимо' во/ многих областях техники. Эти недостатки связаны с тем, что между сопряженными зубьями колес в точках их контакта происходят проскальзывания, что приводит к их «стачиванию» и порождает неравномерность загрузки самого зуба.

Самыми эффективными являются передачи с зубьями в форме циклоиды. Потери энергии здесь минимальны. К.п.д. таких передач достигает 98%, так как в сопряженных парах зубьев с циклоидальной формой теоретически отсутствует их взаимное проскальзывание, а потому такие передачи практически бесшумны, в них не возникают различные побочные эффекты. Однако эти качества достигаются лишь в том- случае, когда циклоиды сопряженных профилей зубьев колес изготовлены очень точно, что требует специального высокоточного оборудования.

При неточном изготовлении циклоидальных форм зубьев обязательно появятся погрешности: либо натяги (что ведет к заклиниванию зацепления), либо зазоры (что ведет к нарушению условия многопарности их зацепления). С этой точки зрения представляется целесообразным использовать циклоидальную форму зубьев в волновых механизмах, где есть высокодеформативный элемент, который будет компенсировать эти погрешности. Более того, как показали теоретические исследования, циклоидальную форму зуба в волновой передаче можно заменить круговой. Это обусловлено тем, что как неточности, связанные с отклонением приближенной круговой формы зуба от его точной циклоидальной формы, так и- технологические погрешности- изготовления зубьев, будут «отфильтровываться» весьма податливым, гибким колесом- передачи. Исследования показывают, что к.п.д. таких волновых механизмов составляет примерно 95-97%. Такая замена, целесообразна лишь при сохранении? одинаковых условий-, контакта зубьев колес по их- длине. Это условие практически невозможно обеспечить у волновых механизмов • с чашевидной формой гибкого колеса; зубья которых испытывают пространственное деформирование, а поэтому имеют различные условия контакта по их длине.

Для сохранения > одинаковых условий' контакта зубьев колес по их длине можно использовать гибкие колеса' в виде кольцевых пружинных пакетов, что обеспечит равномерность распределения* усилий контакта по длине зубьев-. Кроме того, использование гибких колес в виде кольцевых пакетов существенно увеличит их необходимую радиальную податливость за счет совместного деформирования всех соосных колец пакета.

Колеса таких волновых механизмов гораздо проще изготавливать, так как круговую форму зуба нарезать на цилиндрической поверхности кругового кольца-венца значительно проще, чем циклоидальную форму. Следует также отметить еще одно существенное достоинство замены эвольвентных профилей зубьев круговыми. В. этом случае в гибких зубчатых венцах в- местах сопряжения впадин- с эвольвентными профилями зубьев убираются все концентраторы напряжений. Это обстоятельство заведомо существенно увеличивает усталостную прочность гибких венцов с круговыми зубьями, а следовательно и их ресурс.

Для успешного решения задачи создания новых волновых механизмов необходима разработка соответствующих математических моделей и пакета программ для расчета основных характеристик. Построенные математические модели и пакеты программ позволят проводить вычислительный эксперимент для различных видов волновых механизмов; осуществлять подбор всех необходимых параметров до этапа изготовления экспериментального образца.

Вышеизложенным определяется актуальность работы - создание комплекса математических моделей; описывающего волновые механизмы с круговой формой.зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы, является разработка математических моделей и комплекса программ расчета волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в:виде кольцевых пружинных пакетов.

Для достижения1 поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Разработка алгоритма построения согласованной, геометрии зацепления зубьев гибкого и жесткого колес с заменой эвольвентных форм зубьев круговыми формами, приближенными' с высокой степенью точности к циклоидам.

2. Построение математических моделей, численных методов и программ расчета динамики нагружения волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

Методьг исследования, используемые для достижения поставленной цели, основаны на. методах численного анализа разработанных математических моделей: метод конечных разностей с прогонкой для 7-ми диагональных матриц и размытием 5-функции; метод конечных элементов с итерационным учетом сил инерции; метод Гира; а также на других методах строительной механики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задач исследования, всесторонним тестированием алгоритмов и программного комплекса в сериях вычислительных экспериментов, сравнительным анализом результатов численных расчетов, полученных разными методами, использованием расчетных результатов при проектировании и изготовлении работоспособного макетного образца/ волнового шагового двигателя.

Научная новизна работы состоит в следующем:

Г. Разработана математическая; модель волновых механизмов с круговой формой?зубьев и упругими звеньями в; виде кольцевых пружинных пакетов:

- создан итерационный алгоритм построения согласованной геометрии зацепления зубьев гибкого и жесткого колес с круговой формой зубьев с заменой эвольвентной формы зубьев круговой формой, приближенной с заданной точностью к циклоиде;

- построена, численная: модель и программа расчета- матрицы податливости гибкого колеса в виде; пружинного пакета методом; конечных элементов (МКЭ) на основе кругового стержня и методом конечных разностей (МКР). Для МКР создан новый алгоритм, прогонки для 7-ми диагональной; матрицы.

2. Построен итерационный алгоритм; расчета величин, зазоров и сил одностороннего взаимодействия между круговыми зубьями при их сборке и нагружении полезной нагрузкой.

3; Построена иерархия математических моделей и пакет программ позволяющие моделировать и проектировать волновые механизмы до этапа их изготовления:

Практическая значимость диссертационной; работы заключается в том, что содержащиеся в нем положения и выводы могут быть использованы:

- для моделирования и подбора основных параметров волновых передач с пружинным пакетом и без него, обеспечивающих их бесшумность, высокую кинематическую точность, высокий КПД, снижение уровня максимальных напряжений в гибких колесах, что позволит их изготавливать из более дешевых материалов;

- при разработке новых и модернизации существующих волновых передач и приводов на их основе;

- аспирантами, инженерно-техническими работниками, занимающимися вопросами математического моделирования динамики систем.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математические модели, численные методы, программный комплекс и результаты расчетов волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов.

2. Созданный на основе расчетов и моделирования совместно с Фоминой Т.А. работоспособный натурный макетный образец волнового шагового двигателя.

Апробация работы. Основные положения и- результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научной студенческой конференции «Научный' потенциал студенчества -будущему России» (Ставрополь, 2007), Всероссийской научно-технической конференции «VII Гагаринские чтения» (Сергиев Посад, 2006), научных семинарах по машиноведению Владимирского государственного университета (Владимир, 2009), теоретической механики и теории механизмов, прикладной математики и информатики, общей и прикладной математики Московского государственного индустриального университета (Москва, 2007-2010).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 6 печатных работах, в том числе в 3-х статьях из Перечня рецензируемых ведущих научных журналов и изданий [1, 2, 5] и 2-х тезисах докладов и трудах конференций [3, 4]. Получено одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [6].

1. Клеников С.С, Майков А.И. Построение согласованной геометрии волновой передачи с круговой формой зубьев // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2009. №1. С.3-8.

2. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка математической модели расчета пружинного пакета волнового редуктора методом конечных элементов (МКЭ) // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2008. № 11. С. 25-30.

3. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка<. математической модели волновой передачи с круговой формой зубьев и* упругими звеньями в-виде кольцевых пружинных пакетов // Научный потенциал студенчества -будущему России: материалы Международной« научной студенческой конференции. Ставрополь, 2007. Т.1. С. 115-116.

4'. Клеников С.С., Майков А.И. Разработка математической модели волнового редуктора с круговой формой зубьев и упругими звеньями в* виде кольцевых пружинных пакетов // Тез. докл. УП межвузовской научно-практической'конференции. М., 2006. С.327-335.

5. Майков А.И. Разработка' математической модели расчета пружинного пакета волнового редуктора методом конечных разностей// Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2011. №6. С. 15-18.

6. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010616381. Программа расчета волновой передачи с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов / А.И.Майков. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.09.2010.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы и приложения. Работа изложена на

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. На основе метода конечных элементов разработана иерархия математических моделей волновых механизмов, включающая в себя:

- модель деформирования изолированного кольца;

- модель деформирования пружинного пакета;

- модель волнового зацепления круговых зубьев гибкого колеса в виде пружинного пакета с круговыми зубьями жесткого колеса;

- динамическая модель работы волновых механизмов;

- модель силового взаимодействия контактирующих круговых зубьев колес;

- модель крутильных колебаний управляемого объекта, приводимого во вращательное движение с помощью волнового привода со случайной стохастической жесткостью.

2. Иерархия математических моделей позволила обосновать целесообразность замены эвольвентной формы зубьев круговой формой, приближенной с заданной точностью к циклоиде.

3. С помощью разработанной иерархии математических моделей проведен детальный анализ параметров волнового зацепления, на основе которых изготовлен совместно с Фоминой Т.А. работоспособный макетный образец волнового шагового двигателя с пневматическим восьмицилиндровым волнообразователем.

4. Создан программный комплекс, позволяющий проводить полное моделирование работы волновых механизмов с круговой формой зубьев и упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов, производить подбор всех параметров до этапа изготовления.

1. Абалтусов Ю.И. О кинематике волновой передачи с зацеплением на дуге постоянного радиуса // Известия вузов. Машиностроение. 1973. №10. С.183-184.I

2. Экспериментальное исследование взаимодействия генератора волн и гибкой оболочки волновой передачи / С.А.Абдрахнов и др.. М.: Наука, 1977. 254 с.

3. Александров К.К. Перспективы применения волновых передач в механизмах атомных электростанций // Современные проблемы энергетики и< электротехники: Тез. докл. Всесоюз. науч. конф. М:, 1977. С.151.

4. Александров К.К. К вопросу об автоматизации сборки резьбовых соединений большого диаметра // Труды. МЭИ. 1979. №392. С.51-53.

5. Александровский К.К. Исследование влияния некоторых .параметров на распределение окружной силы ' по зубьям в передачах, с гибкими колесами //Теория механизмов и машин: Материалы I Всесоюз. съезда. Алма-Ата,,1977. С.155.

6. Алфутов H.A., Клеников С.С. Расчет сил взаимодействия упругих элементов волновых передач шаговым методом. Вестник машиностроения.1978. №7. С.26-29.

7. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя. М.: Машиностроение, 2001. 920 с.

8. Архангельский А.Я. Программирование в DELPHI 5. М.: БИНОМ, 2000.1072 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 636 с.

10. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Физматлит, 1994. 448 с.

11. П.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматлит, 1962. 464 с.

12. Березовский Ю.Н., Чернилевский Д.В., Петров М.С. Детали машин. М.: Машиностроение, 1983. 384 с.

13. Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

14. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. М.: Машиностроение, 1968. 831 с.

15. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высшая школа, 1990. 544 с.

16. Справочник по строительной механике корабля. Том 1. Общие понятия. Стержни. Стержневые системы и перекрытия / Г.В.Бойцов и др.. Л.: Судостроение, 1982. 464 с.

17. Борзилов Б.М. Волновые зубчатые передачи: Достижения и результаты //Редукторы и приводы. 2006. № 1. С.27-31.

18. Геращенко А.Н., Самсонович С.Л. Пневматические, гидравлические и электрические приводы летательных аппаратов на основе волновых исполнительных механизмов. М.: Машиностроение, 2006. 392 с.

19. Гинзбург Е.Г. Волновые зубчатые передачи. М.: Машиностроение, 1969. 160 с.

20. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. СПб.: Лань, 2004. 656 с.

21. Надежность унифицированных механизмов для передачи вращения в сверхвысокий вакуум / Е.А.Деулин и др. // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. 1978. № 267. С.123-142.

22. Дорофеев В.Л. Динамический анализ и синтез цилиндрических зубчатых передач с сопряженным, и несопряженными зубьями: Автореф. дис. . докт. тех. наук. М., 1991. 30 с.

23. Дунаев П. Ф., Леликов О.П. Конструирование узлов и деталей машин. М.: Академия, 2004. 496 с.

24. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 496 с.

25. Зарубин B.C., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 528 с.

26. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 544 с.

27. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 320 с.

28. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. 240 с.

29. Иванов М.Н. Волновые зубчатые передачи. М.: Высшая школа, 1981. 184 с.

30. Иванов М.Н., Ромашин В.Н. Волновая передача со специальными профилями. зубьев колес // Известия вузов. Машиностроение. 1975. №8. С.30-36.

31. Иванов М.Н., Финогенов В.А. Детали машин. М.: Высшая школа, 2008. 408 с.

32. Иванов Ю.С. Разработка методики расчетазагруженности и жесткостных параметров упругих элементов шаговых гидромотров с волновым зубчатым зацеплением: Дис. канд. тех: наук. М., 1991. 270 с.

33. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы- и программное обеспечение. М.: Мир, 2001. 575 с.

34. Клеников С.С. Волновая передача как упругая система с односторонними^ связями//Известия вузов. Машиностроение. 1978. №10. С.51-55.

35. Клеников С.С. Динамика контактного взаимодействия упругих элементов волновых передач //Известия вузов. Машиностроение. 1986. №12. С.21-26.

36. Клеников С.С. О линейном нормировании этапного, решения задачи определения нагрузок на зубья и тела качения волновой передачи с кулачковым генератором // Известия вузов. Машиностроение. 1980. №4. С.45-49.

37. Планетарный редуктор. Патент №2075670 / С.С.Клеников. Зарегистрировано в Роспатенте 20.03.1997.

38. Теоретическое исследование влияния зазоров и податливостей на силовое взаимодействие элементов нагруженного волнового редуктора МВЗ-160 /С.С. Клеников и др. // Волновые зубчатые передачи и механизмы: Межвуз. сб. М., 1985. С.75-89.

39. Клеников С.С., Майков« А.И. Разработка математической модели волнового редуктора с круговой- формой зубьев и* упругими звеньями в виде кольцевых пружинных пакетов // Тез. докл. УП межвузовской научно-практической конференции. М.', 2006. С.327-335.

40. Ковалев Н. А. Передачи^ гибкими колесами. М.: Машиностроение, 1979. 200 с.

41. Колбасина H.A. Проектирование зубчатых передач из условия минимизации кромочного взаимодействия зубьев: Дис. .канд. техн. наук. Красноярск, 2004. 138 с.

42. Коротков B.C. Создание и исследование работоспособности ручной машины с волновой передачей : Дис. .канд. техн. наук. Томск, 2003. 133 с.

43. Косов М.Г. Алгоритмы решения пространственных контактных задач // Волновые передачи: Межвуз. сборник науч. трудов. 1978. № 4. С. 126152.

44. Косов М.Г. Метод расчета на ЭВМ контактных задач применительно к телам изменяющейся формы // Волновые передачи: Межвуз. сборник науч. трудов. 1978. № 4. С. 76-125.

45. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Минск: Вышэйш. школа, 1975. 672с.

46. Детали машин / Н.Г.Куклин и др.. М.: Илекса, 1999. 392 с

47. Кэнту М. Delphi 7 для профессионалов. СПб.: Питер, 2004. 1101 с.

48. Лагозинский С.А. Разработка численных методов определения напряженно-деформированного состояния и критических нагрузок для нелинейных задач механики стержней: Автореф. дис. .канд. тех. наук. М., 2001'. С. 16-23.

49. Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов. Л.: Машиностроение, 1973. 696 с.

50. Лодочников Э.А., Спиридонов В.В., Кохановский Г.И: К вопросу применения волновой зубчатой передачи в электроприводе с двигателями постоянного тока-для пространственного'перемещения элементов робота, // Промышленные роботы. 1979. № 2. С.101-105.

51. Люминарский И.Е. Расчет упругих систем с односторонними связями. М: МГИУ, 2006. 308 с.

52. Майков А.И. Разработка математической модели расчета пружинного пакета волнового редуктора методом- конечных разностей // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2011. №6. С.15-18.

53. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М: Наука, 1989. 608с.

54. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. М.: Вильяме, 2001. 720 с.

55. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов / В.И. Мяченков и др.. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

56. Непомнящих Г.Е., Мышакин В.И. К определению формы профиля зуба гибкого колеса зубчатой передач // Проектирование механизмов и динамика машин. 1977. №10. С.67-71.

57. Овчаренко В.А. Расчет задач машиностроения методом конечных элементов. Краматорск: ДГМА, 2004. 128 с.

58. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 149 с.

59. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова Думка, 1988. 736 с.

60. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М. .-Наука, 1985. 560 с.

61. Плясов A.B. Геометрический синтез внутренних эвольвентных зацеплений планетарных передач с большим передаточным отношением: Дис. . канд. техн. наук. Тула, 2006. 200 с.

62. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. 346 с.

63. Розин JI.A. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 232 с.

64. Рындин Е.А. Методы решения задач математической! физики: Учеб. пособие. Таганрог: ТРТУ, 2003. 119 с.

65. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1982. 245 с.

66. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997. 273 с.

67. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 1989. 383 с.

68. Селезнева В.В., Попов П.К. Экспериментальное исследование неравномерности вращения суппорта станка попутного точения с волновой зубчатой передачей // Новые приборы и механизмы. Конструирование и технология их изготовления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. С.4-7.

69. Сергеев В.В. Силовое взаимодействие элементов волновых передач с кулачковым и роликовым генераторами: Дис. .канд. тех. наук. М., 1975. 137 с.

70. Сильченко П.Н. Методы обеспечения функциональных параметров механических систем космических аппаратов. Дис. .докт. техн. наук. Красноярск, 2000. С.62-139.

71. Курсовое проектирование деталей машин. Методич. рекомендации /В.И. Соловьев и др. Новосибирск: НВОКУ, 1995. 151 с.

72. Сорокин М.В. О возможности создания приближенной геометрии многопарного зацепления зубьев колес планетарных передач: Труды. М.: МАСИ, 1995. 198 с.

73. Тейксейра С., Пачеко К. Delphi 6. Руководство разработчика. М.-СПб.-Киев: Вильяме, 2002. 1120 с.

74. Тимофеев Г.А. Разработка методов расчета и проектирования волновых зубчатых передач для приводов следящих систем: Дис.докт. техн. наук. М:, 1997. 351 с.

75. Турышев В.А., Усаков В.И. Выбор параметров зацепления ВЗП с передаточным числом менее 80 // Прочность и надежность деталей и узлов машин: Сб. науч. трудов. Красноярск, 1978. С.82-93.

76. Фаронов В.В. Delphi 6. Учебный курс. М.: Нолидж, 2003. 792 с.

77. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс: Учеб. пособие. М.: Нолидж, 1997. 616 с.

78. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. 592 с.

79. Машинные методы математических вычислений / Форсайт Д. и др.. М.:Наука, 1980. 280 с.

80. Хэмди A. Taxa. Введение в исследование операций. М.-СПб.-Киев: Вильяме, 2001. 912 с.

81. Цейтлин Н.И., Бучаков Ю.В. О характере контакта между эвольвентными зубьями в волновой передаче // Волновые передачи: Межвуз. сборник науч. трудов. 1978. № 4. С. 193-204.

82. Цейтлин Н.И., Рафалович Л.Б. Алгоритмы упруго-силового взаимодействия деталей волновой зубчатой передачи // Расчеты на прочность. 1980. №21. С.234-254.

83. Ценов П.И. Некоторые вопросы статически неопределенных механизмов с пассивными связями // Машиноведение. 1978: № 2. С.44-50.

84. Чижов В.Ф. Теория тонкостенных элементов конструкций. М.: Изд-во МАИ, 1979: 132 с.88: Чириса А.А. Строительная ; механика: Программы и решения задач на ЭВМ; М:: Стройиздат, 1990: 734 с.

85. Шейнблит А.Е. Курсовое проектирование деталей машин; М.: Высшая школа, 1991. 432 с.

86. Шувалов С.А. Расчеты сил, действующих на звенья волновой передачи //Вестник машиностроения. 1979. №10. С.4-10.

87. Янгулов B.C. Волновые передачи с,промежуточными телами (состояние, результаты, и задачи) // Известия Томского политехнического университета. 2007. № 2. С. 14-18.

88. Acarnley P.P. Stepping motors: A guide to modern theory and practice // ШЕЕ Trans. Contr. Syst. Teclmol. 2002. N8. P.531-547.

89. Geer C.W. D1FSUB for solution of ordinary differential equation //Communication of the ACM: 1981. N3. P.185-190.

90. Legnani G., Faglia R. Harmonic Drive transmissions: The effects of their elasticity, clearance and irregularity on the dynamic behavior of an actual SCARA robot//Robotica. 1992. N10. P.369-375.

91. Lemmer L., Kiss B. Modeling, identification, and control of Harmonic Drives for Mobile Vehicles // Proceedings of the IEEE 3rd International Conference on Mechatronics. Budapest, 2006. P.369-374.

92. Patankar S.V. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere. Washington, 1980. 153 p.

93. Tuttle T.D., Seering W.P. A Nonlinear model of a Harmonic Drive gear transmission // IEEE Trans. Robot. Automat. 1996. N3. P.368-374.

94. Handbook of small electric motors / H. Wiliam at alias. McGraw-Hill, 2001. 294 p.

95. Zienkiewicz O.C., Taylor L. The finite element method. Fifth edition. Mc. Graw. Hill Book Company, 2000. 712 p.