автореферат диссертации по энергетике, 05.14.05, диссертация на тему:Разработка математической модели и метода расчета процессов тепломассопереноса в криогенных системах

1 ' Р Г 5 ОД

На правах рукописи

Богданова Мария Васильевна

РАЗРАБОТКА

- МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ X МЕТОДА РАСЧЕТА ПРОЦЕССОВ ТЕШШАССОПЕРЕВОСА В КРИОГЕННЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.14.06 - теоретические основы теплотехники

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Воронеж - 1995

ч

Работа выполнена на кафедре промышленной теплоэнергетики Воронежского государственного технического университета

Научный руководитель: - член-корреспондент РАЕН,дослуженный ' деятель науки и техники РФ, доктор

технических наук, профессор Фадеев В. В.

Научный консультант: кандидат физика-математических наук, доцент Мидовская Л. С.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, / профессор Левицкий С.П.

кандидат технических ваук. доцент Лосев Н.В.

Ведущее предприятие: Конструкторское бюро хиыавтсматики, г.Воронеж.

Защита диссертации состоится 25 мая 1995 г.в 14 часов на заседании специализированного совета Д 063.81.06 Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026, г.Воронеж, Московский проспект, 14.

С диссертацией можно ознакомиться а библиотеке НГТУ.

Автореферат разослан

1995 Г.

Ученый секретарь , > диссертационного совета Глушаков А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.В последнее время широкое развитие и применение получает одна из самых молодых областей науки и техники - криогеника. В нашей стране начало развития криогенной техники связано с созданием в 30-х годах первых отечественных воздухоразделктельных установок (ВРУ), предназначавшихся для нужд автогенной промышленности и интенсификации мартеновского и доменного производств. Разработка новых видов ВРУ проводилась под руководством академика П.Л.Капицы, внесшего фундаментальный вклад в развитие этого направления.

8 настоящий момент криогенная техника находит свое применение в различных отраслях промышленности. Известно, что природное топливо ограничено по своим запасам и не является экологически чистым. Эти обстоятельства заставляют ученых искать альтернативные виды топлива. Примером такого топлива могут служить жидкий водород, метан и другие сжиженные газы. В свое время жидкий водород был использован в качестве горючего для ракет-носителей при освоении космоса. Использовать его или метан в качестве авиационного топлива - решение, которое многим исследователям кажется оптимальным. Впервые экспериментальная модель самолета ТУ-165, использовавшая жидкий водород, поднялась в небо 16 апреля 1988 г. Крйэме положительных аспектов данного события существует множество проблем, связанных с эксплуатацией подобных самолетов. Среди них важное место занимают конструкция и эффективная теплоизоляция топливного бака, а также обеспечение общей безопасности и надежности авиационных криогенных систем. Вместе с тем одним из ее аспектов можно считать изучение и моделирование процессов, происходящих внутри авиационного топливного бака с жидким метаном. ■

Подобная задача, а именно, задача определения эффективного режима хранения криогенных жидкостей в закрытых емкостях возникла и решается уже давно. Оптимальное ее решение имеет большое народнохозяйственное значение.

В ряде работ Г.З.Гершуни, Е.Л.Тарунина, В.И.Полежаева, й.А.Кириченко, Ю.В.Вальциферова и других предложены методики численного исследования процессов, происходящих в емкостях с криогенными жидкостями, и выявлена роль конвективной составляющей в процессе теплообмена. Были рассмотрены характерные режимы раз-

вития во времени нестационарной тепловой конвекции в емкостях разнообразной конфигурации при различных подводах тепла.

В этих работах представлены в основном одномерные и двумерные задачи, исследующие тепловые режимы в среднем диапазоне. При этом предполагается, что поля температуры и скоростей осесиммет-ричны. При расчетах процессов конвективного теплообмена рассматривается плоскость только одного вертикального сечения заданной емкости.

В данной работе изучается квазитрехмерная задача определения теплового поля в горизонтальном цилиндрическом сосуде с полусферическими днищами при наличии капиллярного стока. Сосуд частично заполнен криогенной жидкостью. Температурное поле определяется как внутри цилиндра, так и в его оболочке. Таким образом, для создания реального авиационного топливного бака необходимы всестороннее изучение физических процессов, происходящих' внутри него, а также выбор оптимальной математической модели, отражающей течение реальных процессов в жидком метане. Эти обстоятельства определяют актуальность темы диссертации.

Данная диссертация выполнялась по комплексному плану научно-исследовательских работ Воронежского государственного технического университета и в соответствии с Постановлением Правительства РФ N 368 от 23 апреля 1994 г.

Цель работы и задачи исследования .Делыо настоящей работы является разработка математической модели " метода расчета процессов тепломассопереноса в криогенных системах при наличии подвижной поверхности раздела фаз и фазовых превращений.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Изучение тепловых режимов, которые возникают в криогенной жидкости, частично заполняющей горизонтальны^ цилиндрический сосуд и прогревающейся под действием заданного теплового потока при наличии поля силы тяжести. • • '

2. Создание приближенной методики вычислительного эксперимента, позволяющей адекватно отразить процессы теплопереноса в заданном объеме с уч< ом стока и фазовых переходов.

3. Разработка конкретных рекомендаций по хранению криоген-0 ных жидкостей, изготовлению топливных баков,- со?~ржащих подобные жидкостч, а также теплоизоляции такого рода систем. ,

Научная новизна.Основные положения диссертации, научная новизна которых защищается:

о

1. На основе физического подхода предложена перспективная для практического использования математическая модель, описывающая реальные физические процессы тепломассопереноса в сосудах с криогенной жидкостью.

2. Предложен метод расчета многомерных задач, основанный на принципе разбиения исследуемых емкостей плоскостями на элементарные объемы и описывающий более достоверную картину теплового состояния жидкости по сравнению с репением одномерных или двумерных задач. .

3. Предложена методика численного решения многомерных задач, при которой рассматриваемое температурное поле не является осесимметричным, граница' "жидкость - газ" считается подвижной. учитываются фазовые переходы. Данная методика является более универсальной по сравнению с решением аналогичных задач без учета указанных особенностей происходящих реальных процессов.

На защиту выносится:

1. Описание разработанных в диссертации математической модели и приближенного метода расчета процессов тепломассопереноса в криогенных системах. Данная модель учитывает влияние конвективных составляющих, подвижность границы раздела ¿.оэ и фазовые превращения.

2. Анализ полученных результатов расчета, их сопоставление с результатам^ йодобных исследований.

3. Набор конкретных рекомендаций, касающихся характера материалов,' необходимых для изготовления емкостей, содержащих криогенные жидкости, а также установления в них определенных тепловых режимов.: .

Практическая значимость работы состоит в том, что с помошъю численных методов в работе более достоверно изучаются процессы теплообмена в сосуде с криогенной жидкостью, что дает возможность получить конкретные рекомендации по созданию и эксплуатации реальных емкостей, содержащих топливо с криогенными компонентами, а также совершенствованию существующих криогенных систем.

Разработанные автором методы расчета и рекомендации используются в практике Воронежского конструкторского бюро - филиале авиационного научно-технического комплекса имени А.Н. Туполева и курсе лекций "Тепломассообмён", читаемых на кафедре "Промышленная "теплоэнергетика" Воронежского государственного технического

университета.

Апробация работы.Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на Второй Международной конференции " Идентификация динамических систем и обратные задачи" (Санкт-Петербург, 1994), на Первой Российской Национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994 ), на региональном межвузовском семинаре " Процессы теплообмена в энергомашиностроении" (Воронеж, 1992-1994 ), в Воронежском государственном техническом университете ( Воронеж, 1993 - 1995 ), в КБ -филиале АНТК имени А.Н. Туполева ( Воронеж, 1995).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Дисссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложений. Работа изложена на 133 страницах машинописного текста, содержит 24 рисунка, 2 приложения и библиографию из 85 наименований,

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации; сформулированы основные цели исследования; определена научная новизна и практическая ценность результатов работы; приведены основные положения, выносимые на защиту, данные о публикациях по теме диссертации и об апробации работы; кратко изложено содержание работы.

В первой главе проведен анализ публикаций, связанных с исследованием температурных полей в сосудах с криогенными жидкостями, обсуждаются математические модели, отражающие процессы конвективного теплообмена. Сравниваются предлагаемые авторами методы решения, обсуждаются преимущества и недостатки постановочной части задачи, .построенной математической модели и используемого метода решения. Особое внимание уделено работам, в которых рассматриваются математические модели, учитывающие конвекцию, процессы фа- ^вых превращений, нетривиальную геометрию. Указаны факторы, приводящие к отличию математической модели,0 рассматриваемой в диссертации, от предиествующг' исследований в этой области.

Во второй главе излагаются результаты,полученные автором и связанные с построением математической модели теплофиэических

процессов, происходящих в горизонтальном цилиндрическом сосуде с полусферическими днищами,. частично заполненном жидкостью. Очи-видно, что количество жидкости с течением времени уменьшается, а величина внешнего теплового потока остается постоянной. -Предлагаемая в работе математическая модель является дискретно-непрерывной. Она учитывает наличие стока, процессы испарения и конвекции, нетривиальную геометрию, что является отличительной особенностью от ранее опубликованных исследований, в которых изучаются одно- и двумерные задачи.

Рассматривается горизонтальный сосуд цилиндрической формы с полусферическими днищами (рис. 1). Сосуд неполностью до высоты Ь заполнен криогенной жидкостью. Зеркало жидкости параллельно оси цилиндра. Имеется капиллярный сток заданной мощности. Уо - относительная скорость вытекания жидкости вдоль линии АВ. К внешней поверхности цилиндра подводится постоянный поток тепла интенсивности ч. Свободная поверхность жидкости предполагается недсформируемой и прямолинейной. Трение на этой поверхности равно нулю. Внешняя массовая сила к перпендикулярна оси цилиндра. Среда внутри цилиндра неоднородна. Известны ее теллофизические характеристики.

Рассматривая одно из поперечных сечений сосуда, вводим следующие обозначения (рис.2): Г - подвижная граница раздела сред; Гь ?2 - внешняя и внутренняя поверхности оболочки сосуда; М -толщина оболочки; , - области соответственно заполненные газом и жидкостью; Е>з - область, описывающая внешнюю поверхность оболочки сосуда; Я - радиус сечения. Он различен для сечений в области полусферического днища и равен Ко в цилиндричесгай части сосуда.

Известно, что нестационарный прогрев жидкости в сосуде при подводе тепла извне и при наличии внешней массовой силы сопровождается конвективным* движением, которое зависит от основного критерия подобия - числа Релея (диапазон чисел Релея ограничен значением Г?а»10э-105). Задана начальная температура внутри цилиндра и в его оболочке.

Рис.1.Схема исследуемого сосуда Рис.2.Поперечное сечение

Итак, необходимо определить:

1) температурное поле внутри цилиндра, эаполненноро жидкостью, в оболочке и на его поверхности;

2) положение подвижной границы раздела "жидкость - газ";

3) значения проекций скорости на оси координат (т.е. поле скоростей), а именно: U, W, V (проекции скорости на оси г, <р. z).

В качестве основы для построения математической модели использовались уравнения движения, неразрывности и энергии:

Ф

- + dlv(p-4)-0 ;

eft

DW,

Dt

- k - gracf p i

(1)

DW, __Dp

p-Cp--cfivU'gracf T) + 6T- -

Dt

Dt

Задастся граничные условия ь апедуюцзй ¿opue:

на_поверхности твердой стенки используются условия прилипания: (W,)w » 0. Граничное условие для температуры Т (гД):' grad T)w, где W=W((r,t) - вектор скорости, р - плотность, Ср - удельная темлоемкость при постоянном давлении, X - коэффициент теплопроводности, р - давление, qw - плотность теплового потока на стенке, (Vpw - значение скорости на стенке, й - коэффициент объемного расширения.

Для моделирования движения границы раздела фаз в топливном баке использовалась следующая методика.

Рассматривается конкретное поперечное сечение топливного бака. Граница раздела фаз "жидкость - газ" является подвижной, поскольку жидкость вытекает вдоль линии АВ с постоянной скоростью Vo. Определение положения границы происходит на каждом конкретном временном шаге путем изменения параметров, определяющих среду (газ или жидкость).

Изменение параметров осуществляется в зависимости от изменения высоты столба газа (жидкости). При этом каждая фиксированная точка с заданными координатами характиризуется своими тепло-физическими параметрами на конкретном временном шаге.

Обозначая- через 5 площадь области De, можно определить высоту h сегмента как функцию от S, считая, что V - количество жидкости (рис.3).

Определи/ h методом итераций для каждого момента t + At:

h - 3/4: * (JtR2 - V + Voüt) / / (2Rho-2ho) при V > rtrz/2,

h - R при V - ítR2/2,

h - 3/4 * (JtR2 - V - Vodt) / / (2íh0-2h0) при V < rtr2/2»

h0 - 2R - hn-i.

Если введем полярные углы ti и D (рис. 4), то уравнение линий CD будет иметь вид у - R - h. Координаты:

для точки D R sin <* « R - h. а » arcsln-^

R

для точки С в »л-е.;

для текущей точки М(г,ф) (рис.4) имеем: R - h

если а<<?<8, - < г < R, ТО М £ Di;

sin <?

если (0<?>0, OíreR или ü<<í<2it, 0<r<R, то U £ Dzi

если r>R, 0<q<2k, то M € D3

При игмеиении в следующий момент времени углов айв получим новое положение границы Г.

Аналогичные зависимости можно получить и для других сечений ' бака. Таким образом, отыскав для каждого фиксированного момента времени границу раздела фаз "газ - жидкость" в данном конкретном сечении, можно определить теплофизические паоаметры с, р, х в соответствии с положением границы.

Рис.3.Моделирование перемещения границы раздела фаз при наличии стока

Рис^4.Полярные координаты

Далее в работе изучается процесс моделирования движения границы за счет испарения, что стало возможным при учете количества теплоты, необходимой для фазового перехода.

Разработанная автором трехмерная модель сводится к последовательности двумерных задач, каждая из которых решается в соответствующем сечении цилиндра. При этом в работе построены системы дифференциальных уравнений для поперечных сечений бака в виде

с/и сЮ V (А) </Р 2 сМ ¿2Ц 1 Ш ( ^ <Л А г <*г сйг г2 а<? йгг Г (¡Г

(Л/ . сМ V <М Ш V/2

■ _ + и— +---+ — + -

Л с/г г с/г г г

1 <М +---+ -

г с/г с/(ги)

1 с/р 2 с/и

Г С/(р Г2 С/»

* Ь ;

1 дЧ

г2 ф,

Ф1

<П1

с/г а8

с/ч»

О ;

с« с«

-+и--+ V

(Л А- с/<р

1 Г с^^в 1 с/9

Рг1 с/г2 г с соответствующими граничными условиями

с/е 1 _с/*в,

"¿Г + Т5"*^

с/г

г - Яо

а;

и

Г-Ро

№

Г-Р о

0.

а также для осевых продольных сечений:

<Р

с/и Л) с/и и — + и — + V — +

с/2и

Л

с/г

.С/2

2

с/г

С/Г1

2

с/У с/У с/У — + и — + V — Л С/Г с/2

аИ с/У и

- + - + - а

С/г С/2 Г

С<Р

1 с/и г с/г

♦

с/г 0;

+ Гэ;

с/8 с/8 оБ

- +и--+ V--

(Л Л" с/г

с/9

Иг

1 Г с/г8 3 Рг«- <Лг2 г с/г

а:

г - Ко * Лс!

(3)

сЗ (.,

с/г !г

/ Ко2-(2-1/2)2 + Лс1

С, ( г > 1/2);

+

Г-Ио

г-Ио

и

г» /|?а2- (г-1/2)2

г- 1?о2-(2-1/2)2 (г > 1/2).

Здесь f1.f2.f3 - проекции внешней силы на оси р -

отклонение давления от статического; 8 - безразмерная температура, определяемая по формуле

Т - То 9 -- Л.

То - начальная температур!; Рг - число Правдтля.

Таким образом, во второй главе составляется и уточняется математическая модель, которая более полно отражает реальные физические процессы, происходящие в рассматриваемом сосуде с криогенной жидкостью.

В третьей главе описывается приближенный метод решения математической модели, разработанной автором во второй главе диссертации. В его основу положен метод сеток (конечных разностей). Алгоритм решения задачи рассматривается в момент времени I + ЛЬ:

1. С использованием начальных условий для 1)1.*, у на поперечном сечении г - 2т, решаются уравнения (2) и определяется температура и поде течений в каждом из увлов сетки 61. 14.зк в поперечном сечении бака. Аналогично определяется температура в каждом из поперечных сечений.

2. Для данного момента времени рассматриваются сечения при фиксированном $ - На каждом таком сечении решаются уравнения (3) и определяется температура в*. *14 и поле течений 81. тк, и!.тк. Уьтк- Следует отметить, что 81.1.тк и 14, ^.т* пересчиты-ваются не менее 2 раз в поперечном и продольном сечениях.

3. Повторяем действия п.п. 1, 2 для нового момента времени. В результате исполнения данного алгоритма , определяется температура в узлах объемной сетки. При этом осуществляется последовательный переход от решения задачи на поперечном сечении к решению на продольном сечении. Таким образом, система дифференциальных уравнений с учетом зависимостей для конвекции . заменяется системой алгебраических уравнений, решаемых на конкретном слое в

и

и

каждый фиксированный момент времени.

В четвертой главе проводится анализ теплового состояния топливного Сака с жидким метаном для самолета ТУ-155 с привлечением разработанного автором алгоритма.

Бак неполностью заполнен жидким метаном. Степень заполнения составляет 0.8 - 0.9 объема ёмкости. Зеркало жидкости параллельно оси цилиндра. Количество жидкости уменьшается с заданной относительной скоростью Vo. К оболочке бака подводится постоянный поток тепла интенсивностью q. Вак изготовлен из материала АМГб.

При этих условиях определяется температурное поле, поле течений, давление внутри бака, а также температурное поде в оболочке и на поверхности бака. Для расчетов привлекаются теплофи-зические параметры жидкого и газообразного метана (плотность, теплоемкость, теплопроводность, вязкость) . рж-162,5 КГ/М3, рГш 0.72 КГ/М3, Сж-3162 Дя/кг К, СГ -1704 Дж/КГ К, Хис .0.15 Вт/м К, Аг _ 3.04 Вт/м К, 1Ьс-0.11*10 "3 Па с, Dr- 103*10"7 Па с.

С учетом теплофизических характеристик оболочки р -« 2600 кг/м3, с ».1200 Дя/кг К, \ - 34 Вт/м К. Диапазон подводимого теплового потека q'-0,6-0,12 Вт/м2. Начальная температура сосуда (внутреннего содеряишго и оболочки) - 70 К. Относитель ная скорость вытекания жидкости Vo « 0,8 из заданного объема за один временной иаг.

С помощью предложенной в предыдущих главах методики был проведен компьютерный г сперимент по определению температурного поля внутри, в оболочке и на поверхности баса, а также полз течения и давления внутри бака.

Расчеты выполнялись для числа Gr - 104-105, Рг - 1. В результате проведения вычислений получены распределения функции тока ? и относительной температуры 8 для поперечных сечений о. различны!® вациусйми. Эдэсь Т - функция тока, карактеризуаиая двшсе.'лге /-пккостп, определяемая соотнесшими

— " -r^U, — » r*V . S? ôr

На рис. 5 показано распределение функции тока для сечения в основной цилиндрической части бака. На рис.6 - распределение относительной температуры для того же сечения.

На рис.7 и 8 представлены поля течений и температур в области днища. В этом разделе проанализированы зависимости структур поля температур и поля течений от радиуса поперечного сечения днища.

В работе приводятся результаты тепловых расчетов для бака из композиционных материалов, обладающих низким значением коэффициента теплопроводности. ,

Анализ картины распределения функции тока и относительной температуры показывает, что конвекция в этом случае значительно уменьшается. При использовании подобных материалов наблюдаются большие значения температуры на последнем слое оболочки. Процесс распространения повышенной температуры заметно эатухает.

Кроме того, в работе исследовалась зависимость коэффициента теплоотдачи (внутреннее содержимое бака - оболочка) от температуры на внутренней границе оболочки. Было установлено, что коэффициент теплоотдачи уменьшается с увеличением заданной температуры.

ч

Рис.6. Распределение Функции тока в цилиндрической области

Рис.6. Распределение относительной температуры в цилиндрической области

>

Vr -Û.OOQ7

У-~0.00006

8*0.0029

0=0.0004/

ô'О. ООО 27

Рис.7. Распределение фуг -ции тока в области днища

Рис.8. Распределение относительной температуры в области днища

Таким образом, в четвертой главе излагаются результаты проведенных вычислений для конкретного топливного бака с криогенным компонентом топлива - жидким метаном. Определяются .емпературные поля и поля скоростей в конкретном сечении данного бака. Формулируются выводы об используемых тепловых режимах, а также о процессах, протекающих внутри бака. Моделируемые закономерности дают возможность получить конкретные рекомендации, касающиеся проблем изготовления баков и их использования в конструкции летательных аппаратов. N

В приложении диссертации приводится разработанная автором программа расчетов 'поставленных задач. Программа составлена на языке TURBO-PASCAL -7, производились на IBM-PC 386. Ори-

ентировочное время C4SÏ2S.JE0Q шагов. Число программных модулей 7.

выводы

1. Предложена дискретно-непрерывная математическая модель, позволяющая рассчитать процессы тепломассопереноса в криогенных системах при наличии подвижной поверхности раздела фае и фазовых превращений.

2. Решена пространственная трехмерная задача тепломаосопе-реноса в замкнутой цилиндрической области, частично заполненной низкотемпературной жидкостью. Подобные задачи являются особенно актуальными для авиационной и ракетно-космической техники.

3.. Разработана методика компьютерного эксперимента по определению теплового и конвективного режимов в горизонтальном цилиндрическом сосуде с полусферическими днищами, частично запо-ленном криогенной жидкостью.

4. Моделируется механическое перемещение границы раздела фаз "жидкость - газ", вызванное стоком жидкости. Результаты численного моделирования показали, что в баке возникают значительные .температурные градиенты в пристеночном слое, существенное повышение температуры на границе раздела "жидкость - газ" 8а счет конвективной составляющей и фазового перехода. Это приводит, в свою очередь, к повышению давления в баке.

5. Максимальное движение внутреннего содержимого бака вое-. никает в области, соответствующей газу и в областях, прилегающих к границе раздела "жидкость - газ", а также в приграничной области нижней части сечения.

6. Исследована и выявлена зависимость коэффициента теплоотдачи "оболочка - содержимое бака" от температуры на внутренней границе оболочки в соответствии с интенсивностью внешнего теплового потока.

7. При использовании для оболочки бака материалов с достаточно низким коэффициентом теплопроводности снижается вклад конвективной составляющей, замедляется процесс повышения температуры. Эта закономерность предоставляет возможность выбора материала для изготовления топливного бака. '.

8. Результаты работ по анализу теплового состояния топливного бака с жидким метаном используются в практике Воронежского конструкторского бюро - филиале авиационного научно-технического комплекса имени А.Н.Туполева.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Миловская Л. С., Богданова М.В. Численное решение одной двухфазной тепловой задачи в замкнутой области. Воронеж, 1993. 13 С. Деп. в ВИНИТИ 06.07.93, N 1858.

2.Bogdanova M.V., Milovskaya L.S, Faleev У.У. On Heat-Mass Exchange In Systems with Low-Temperature Fluids // Proceeding of third China-Russia-Ukraine Symposium on Astronautical Science and Technology. China, 1994. P.107-108.

3.Богданова M.B., Татьянин К.В., Миловская Л.С. Приближенное решение задачи о тепловом поле в цилиндрическом сосуде, частично заполненном жидкостью //Труды 2-й Международной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи". Санкт-Петербург: ИТМиО, 1994. Т. 2. С.В-17-1 - В-17-5.

4.Богданова М.В., Миловская Л.С., Фалеев В.В. О конвективном теплообмене в сосуде с жидкостью при наличии поверхности раздела фаз //Труды Первой "Российской национальной конференции по теплообмену: Свободная конвекция. М.: МЭИ. 1994. Т. 2, С. 43-48.

5.Богданова М.В. К расчёту температурного поля в емкости, неполностью заполненном' криогенной жидкостью // Теплоэнергетика: Межьувовский сборник научных трудов. Воронеж: ВГТУ, 1995. С. 47-55.

ЛР N 020419 от 12.02.92. Подписано в печать 07.04.95. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. зга. Закав N i Л .

Воронежский государственный технический университет 394026, г. Воронеж, Московский пр., 14

Участок оперативной полиграфии Воронежского государственного технического университеха