автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процессов тепломассопереноса в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами

На правах рукописи

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В НАКЛОННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ С ПОЛУСФЕРИЧЕСКИМИ ДНИЩАМИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□03474668

Воронеж 2009

003474668

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Воронежский государственный педагогический университет»

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

профессор Потапов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович Воронежский государственный университет

кандидат технических наук, доцент Трибунских Олег Александрович Воронежский институт государственной противопожарной службы МЧС России

Ведущая организация Воронежский государственный техни-

ческий университет

Защита состоится «03» июля 2009 г. в 1510 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет, аудитория 314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «02» июня 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.20 кандидат физико-математических наук доцент \ ч -.ПровоторовВ.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для многих приложений сегодня требуется все более точный расчет характеристик рабочих процессов при поиске оптимальных конструкторских и технологических решений, направленных на повышение надежности, улучшение эксплуатационных характеристик машин и технологических аппаратов, повышение качества материалов. Проведение экспериментов на натурных объектах в подобных ситуациях становится затруднительным или почти невозможным. Поэтому использование методов математического моделирования и вычислительной техники позволяют решить многие проблемы.

В настоящее время во многих отраслях промышленности наметился переход от традиционных видов топлива на наиболее экономичные и экологически чистые криогенные продукты. Основная сложность хранения и транспортировки жидких криоагентов связана с тем, что они имеют высокую степень испаряемости даже при малых тепловых нагрузках. Испарение жидкости может приводить к росту давления в баке, что в свою очередь может создать взрывоопасную ситуацию. Особенно актуальна эта проблема при использовании криогенного топлива в авиации. В связи с этим очень важно иметь возможность прогнозирования поведения жидкости в баках различной геометрической формы, в частности цилиндр, сфера и их комбинация, с целью выбора материалов, работоспособных при низких температурах; выбора эффективной тепловой защиты от теплопритоков из окружающей среды.

Анализ литературы показал, что разработано достаточно большое количество моделей и алгоритмов изучения осесимметричных процессов тепломассообмена в замкнутых емкостях, что не в полной мере отражает структуру свободноконвективных течений в реальных условиях. В большинстве случаев в авиационной и ракетной технике топливные баки подвергаются различным механическим воздействиям, что приводит к нарушению симметрии конвективных течений. В связи с этим остро встает необходимость в разработке новых моделей и алгоритмов для исследования подобного рода процессов.

Таким образом, задача исследования процессов тепломассопереноса, происходящих в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами под влиянием равномерно распределенного теплового потока, в настоящее время является актуальной.

Данная диссертация выполнялась в рамках тематического плана кафедры информатики и методики преподавания математики, «Математическое и компьютерное моделирование задачи теплообмена в областях сложной геометрической формы» ВГПУ.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы является разработка моделей и алгоритмов исследования термогидродинамических процессов в замкнутой цилиндрической емкости с полусферическими днища-

ми, заполненной криогенной жидкостью с учетом различных ориентации вектора массовых сил относительно оси емкости.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработка трехмерной математической модели процессов тепло-массопереноса в цилиндрической емкости с полусферическими днищами в условиях различных направлений внешней массовой силы, позволяющей определить значения всех конвективных составляющих, а также давление и температуру в жидкости, находящейся в баке.

2. Разработка алгоритма численной реализации задачи естественной конвекции внутри наклонной цилиндрической емкости с жидкостью.

3. Разработка программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента задачи определения полей скорости, температуры и давления в баке цилиндрической формы с полусферическими днищами при отклонении его относительно вектора массовых сил и переменной высоте цилиндрической области.

4. Проведение вычислительного эксперимента в условиях различных ориентации свободной поверхности жидкости в цилиндрической емкости с последующим анализом результатов.

5. Определение критериальной зависимости коэффициента теплоотдачи в условиях естественной конвекции в наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами.

Методы исследований. Теоретические и практические разработки, представленные в диссертации, базируются на применении методов математической физики, теории разностных схем, теории гидромеханических, тепло- и массообменных процессов, вычислительной гидродинамики. Использовались методы математического моделирования и современные методы разработки программного обеспечения.

Научная новизна:

1. Предложены модели и алгоритмы процесса конвективного теплообмена в замкнутой емкости цилиндрической формы, отличающиеся возможностью учета различных ориентации свободной поверхности жидкости.

2. Разработаны алгоритмы, позволяющие определить давление в жидкости и оценить его влияние на процессы, протекающие в емкости.

3. Получена структура гидродинамических и температурных полей свободноконвективных течений в замкнутой емкости сложной геометрии при переменных углах отклонения емкости относительно вектора массовых сил, различной высоте цилиндра, позволяющая сформулировать рекомендации по хранению и транспортировке баков с криопродуктами.

4. Получены коэффициенты теплоотдачи для различных ориентации вектора массовых сил относительно емкости, учитывающие геометрию бака.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации, включенные в диссертацию, обоснованы корректным использованием математического аппарата. Они

подтверждены вычислительными экспериментами и проверкой при внедрении в практику расчетов проектных разработок филиала КБ Туполев.

Практическая значимость работы. Предложены алгоритмы расчетов процессов конвективного теплообмена в цилиндрическом сосуде с полусферическими днищами, частично заполненного криогенной жидкостью, при различных его положениях. Представленные модели исследования позволяют определить не только значения температуры и скорости в баке, но также давление и его влияние на процессы, протекающие в емкости. На основе полученных значений температуры в жидкости идентифицированы и проанализированы коэффициенты теплоотдачи. Результаты вычислительного экспермента позволяют сформулировать рекомендации по эксплуатации баков сложной геометрической формы, заполненных криогенной жидкостью, применяемых в различных отраслях промышленности.

Материалы диссертационной работы используются в практике КБ Туполев в виде комплексов программного обеспечения и курсе «Тепломассообмен» в Воронежском государственном техническом университете.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на: Всероссийской с международным участием научно-технической конференции "Авиакосмические технологии" (Воронеж, 2008); XVI Школе-семинаре молодых ученых и специалистов «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» (Санкт-Петербург, 2007); «Физико-технические проблемы энергетики, экологии и энергоресурсосбережения» (Воронеж, 2007).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, в том числе 3 - в издании, рекомендованном ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат следующие результаты: [1, 3, 4, 5, 6] - разработка трехмерной математической модели конвективного теплообмена; [2, 7, 9, 10] - разработка численной модели свободной конвекции в наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами; [1,9, 10] - алгоритмы численного решения; [2, 4, 8, 11] -анализ и обобщение результатов численного эксперимента.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 114 наименований. Основная часть работы изложена на 131 страницах, содержит 38 рисунков, 1 таблицу и I приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, определена новизна и практическая ценность результатов работы, приведены основные положения, выносимые на защиту, и данные об апробации работы.

В первой главе приведен анализ моделей математического программного обеспечения процессов конвективного теплообмена в емкостях различной геометрии, заполненных криогенным топливом и испытывающих

тепловые нагрузки. Особое внимание уделено работам, связанным с исследованием процессов телломассопереноса в цилиндрических емкостях, подвергающихся механическому воздействию. Анализ литературных источников свидетельствует, что к настоящему времени хорошо изучены лишь те случаи свободной конвекции, процессы в которых являются осесимметричными. Имеющиеся математические модели сводятся к использованию двумерной постановки уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска, с последующим исключением давления из рассмотрения, путем введения переменных Гельм-гольца. В связи с этим возникает необходимость в изучении всех теплофизи-ческих параметров, характеризующих асимметричные процессы конвективного теплообмена в емкостях комбинированной формы, испытывающих механические воздействия.

Вторая глава посвящена разработке математической модели конвективного теплообмена в полностью заполненной цилиндрической емкости с полусферическими днищами при различных углах ее отклонения относительно вектора массовых сил. Рассматривается замкнутый сосуд цилиндрической формы высоты Н (Н > 0) и радиуса 110 с полусферическими днищами. Бак отклонен от вертикального положения на некоторый фиксированный угол а (0° <а<90°) (рис.1). Бак полностью заполнен жидкостью. Теплофизические характеристики жидкости известны. Жидкость считается вязкой и несжимаемой. Извне к внешней поверхности емкости подводится постоянный во времени и равномерно распределенный тепловой поток плотностью я- Заданы начальное распределение температуры в емкости, движение в начальный момент времени отсутствует. Задача решается в приближении термически тонкой стенки, то есть изменение температуры в поперечном сечении стенки считается пренебрежимо малым по сравнению с характерными перепадами температуры вдоль стенки и между стенкой и жидкостью. В качестве математической модели, описывающей процессы конвективного теплообмена, была использована трехмерная модель уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска, записанная в цилиндрической системе координат.

Эи „Эи IV ди „ди IV2

—+и-+--+ У---

дя ядер аг л

1 э С эгЛ 1 дги | эги ядя{ дяу я2 д<рг + дг2'

1 ЭР

д\У ,,Э IV \Vd\V „д1Г \уи

-+ (/—— +--—— +-

Э/ дЯ Я д<р Ы Я

да

_ 2 д\У

Я2+ Я2 Ъ<р 1 Э Р

р> и

+ Р^втасоирт,

1 Э | 1 д21У | Э21У

ядя[ дя Г я2 д^ + дг2

—-__

Э/ Эй ЯЗр 32 ~ р

2 Эб^

Я2 1 ЭР

(2)

Я2 д<р

+ а %\п<рТ,

дг

1 Э СдЭК^ 1 д2У | Э2У ядя{ дя)+я2 д<р2 +дг2

-Д,£со ъаТ.

У

Система дополняется уравнением энергии и неразрывности: 'ЪТ тгдТ \УдТ „ЪТ\ . Г

Эг дя я д<р дг

СжР.

э и

д2Т 1 Э Т 1 Э 2Т д2Т

дЯ2 + я ш +

Я2 дер

2 + ъг1

1 дУУ д V V п ^ +—•—+—-+—= 0. дя ядер дг я

(3)

(4)

(5)

Систему замыкают начальные и граничные условия.

т(я,<р,г,о) = т0,и(я,<р,г,а) = о,1У(я,<р,г,о) = о, у(я,<р,г, о) = о, р(я,<р,г,о) = о,

На границе емкости У, условие действия теплового потока можно

(6)

представить в виде: дТ

дп

= ~Ч-

(7)

ГI

Условие прилипания можно записать следующим образом:

где рж - плотность жидкости (кг/м3), Рж - температурный коэффициент расширения жидкости (Ал/), Р - отклонение давления от гидростатического (Па), иж - кинематический коэффициент вязкости жидкости (м2/сек), Т -температура внутри бака в каждый момент времени г (К), сж - удельная теплоемкость жидкости (Дж/кгК), Лж - теплопроводность жидкости (Вт/мК), а - угол отклонения емкости от вертикального положения.

Для упрощения математической модели, система (1)-(8) преобразуется, путем введения безразмерных переменных, и имеет вид:

ди ^ дп ^ н' да ^^ди И'2 _ dp ЭГ 1 д2и ^д2и ^

дт дг г dtp dz г дг г дг\ dr) г2 dtp2 dz2

-I -=- -----+Сгв sin a cos (р,

Г dtp г

dw dw w _3w uw 1 dp 1 д ( ЭиЛ

dx dr r dtp dz r r d(p r dr\ dr J

(10)

1 d2w a2w 2 du

„2

w

r2 dip

, —T-+Gr0smasin(p, r dq> r

d& dt? | wdtf | dp | 1 d | 1 d2$ > Э2г?

Эг dr r dtp dz dz r di\ dr J r2 dtp2 dz2

Grff cos a.(l 1)

дв дв wdff адв 1 — + ;/—+——+• г?—=— dr dr r dtp dz Pr

r dtp dz dz r i Уравнения теплопроводности и неразрывности в безразмерных переменных имеют вид:

(\ з ( дв\ 1 dle d2e\

+ (13)

dr г dtp dz г

На основе уравнений движения жидкости (9)-(11)и уравнения неразрывности (13) строится уравнение Пуассона для определения давления в жидкости:

4 d2u 4 Э

r3 dtp1

+-

г

дг

'ЗиЛ 4 dw^2du dw^^du и dtp J r1 dtp r dr dp dr r dr dz

(14)

г dtp dz dz г г dr dtp dr дг г дгр дг г дг дг Начальные и краевые условия задачи в безразмерном виде можно записать так:

0{r,tp,z,O) = 0, u(r,tp,z,0) = 0, w(r,tp,z,0) = О, &(r,tp,z,0) = 0, p{r,tp,z,0) = 0, дв

дп

= -1,

% = v4 г, =

4=0,

др дп

= 0,

(15)

(16)

(17)

(18)

где Рг - критерий Прандтля

Рг:

аж - коэффициент температуропро-

водности жидкости (м /сек), где Ог =

ялтржК

- критерий Грасгофа,

К*

V-

Т-Т

Я 2 , И

г = -

лт

<7*0

к

рц2

р =-2-т-, причем ЛТ =

К

Третья глава посвящена разработке программной модели решения задачи, включающей в себя разработку численной модели задачи, на основе метода сеток, и разработку алгоритма реализации численного эксперимента поставленной задачи. В результате дискретизации области решения была получена разностная сетка (рис.2), где узлы сетки определяются следующим образом. Круг, получающийся в нормальном к оси цилиндра сечении емкости, делится на Ь равных частей. В каждом сечении (р = (р,, 0 </</)-1 дуга в нижней части сечения разбивается на п равных частей, цилиндрическая вставка на ш равных частей. Через полученные точки на границе Г, емкости проводятся линии г - и г = г1, 0 </'</), 0 < у < 2п + т.

а) Сечение у~со1Ш 6) Сечение г-гом

Рис. 2 Разностная сетка рассматриваемой области

Такое построение обеспечивает попадание граничных узлов сетки на границы емкости. Помимо этого, при «—><*>, т —» <*> , Ь —> °°, такой выбор сетки обеспечивает выполнение условия Куранта-Фридрихса-Леви. Общие формулы для определения г,,г., Дг,, Дг,,А<р имеют вид:

/; = [ / — I, / = 0..«

V 2 п)

1-cos^ |, j = 0..n,

1 + -(/-/«), j = n + ]..n + m, m

/i + l - cosí {j—m)~- j, j — n + m + l..2n + m.

Aí; = rM -rn i = Q..n-\,

Az,

"y+i

-z„ 7 = 0..2« + m-l,

(21) (22)

А(р = 2я/Ь. (23)

Полученные точки М,Л, определяют неравномерную разно-

стную сетку, на которой проводится дальнейшее решение поставленной задачи.

Шаг по времени Аг выбирается из условия устойчивости, справедливого для уравнений параболического типа:

Лт< Рг-тт(4г2,^г,4г2)/б. (24)

Выполняя разностную аппроксимацию уравнений (9)-(18) на множестве точек , , была полу-

Hlfit,

Г,

К

г,

¿с _

чена система алгебраических уравнений, решение которой осуществлялось для каждого момента времени А т.

В четвертой главе была получена математическая и программная модель задачи исследования конвективных процессов в частично заполненной наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами. Для этого была поставлена следующая задача. Рассматривается замкнутый сосуд цилиндрической формы высоты Я и радиуса И0 с полусферическими днищами. Бак отклонен от вертикального положения на некоторый фиксированный угол а (рис.3). Объем жидкости, находящейся в баке - К0. Извне к внешней поверхности емкости подводится постоянный во времени и равномерно распределенный тепловой поток плотностью ц. Среда внутри бака делится на две фазы - газовую и жидкую. Предполагается, что свободная поверхность жидкости плоская и перпенди-

*****

Рис.3 Поперечное сечение емкости

кулярна действию массовых сил /, трение на границе раздела «жидкость-газ» отсутствует. Теплофизические характеристики жидкости и газа известны. Жидкость считается вязкой и несжимаемой. Задано начальное распределение температуры в емкости. Задача решается в приближении термически тонкой стенки, то есть изменение температуры в поперечном сечении стенки считается пренебрежимо малым по сравнению с характерными перепадами температуры вдоль стенки » между стенкой и жидкостью.

В качестве математической модели для решения поставленной задачи использовалась система уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска в трехмерной постановке. Для обезразмеривания задачи были взяты те же масштабные коэффициенты, что и в случае полностью заполненного бака. Таким образом, система уравнений для описания конвективных процессов в частично заполненном наклонном цилиндрическом баке имеет вид:

Эи ди w ди „ ди iv2 др „ (1 Э ( ди 1 д7и д7и

•— + !/ —+——-+&----= ——+Х\--Г — +-т-Г+-г+

дг дг г dtp dz г дг Эг ^ дг J г dtp dz

2 Эй» и гг д(р г1

(25)

+—----J | + B0sinarcos9>,

dw dw ndw uw X dp d ( ЗиЛ 1 Э2и>

дт дг г д(р dz г г д<р ^г Эг V дг J г2 dip1 (26) d2w 2 ди w

С/ Ут х C/ff W 1

+—--------y \+B9smas\vi(p,

дд . Эг?. wd& . = + Эг^ . 1 дгд

дГ дг г dtp dz dz (^гэД дг J г" dtp2

+~]-B0cosa, dz

дв дв w дв „30 1

— + и— +--+ — = —

дт дг г dip dz А

гдг(Гдг ) гг dtp1+dz\

(27)

(28)

где X = / уж , 1 - безразмерный параметр для газа и жидкости соответственно, В~РгСг/Рж, Сг - безразмерный параметр для газа и жидкости соответственно, А=иж/аг, Рг - безразмерный параметр для газа и жидкости соответственно. Система дополняется уравнением Пуассона для идентификации давления в жидкости. Давление в газе определяется как давление насыщенного пара.

Систему замыкают начальные и граничные условия: 9 (г, <р, 2,0) = 0, и (г, ср, г, 0) = 0, уу(г,<р,г,0) = 0,

#(г,<р,г,0) = 0,р(г,<р,г,0} = 0, (29)

(31)

дп г д п

2+ 1 г-

(32)

дв(г, <р, z, í) _

= 0,

(33)

где Л--Хж! X,, Q = -1, - /Л, - безразмерный параметр для жидкости и газа соответственно.

Для решения задачи использовался метод сеток. На множестве точек М¡ j , ( у\ ,<pnz ^ расчетной сетки (рис.2) для каждого момента времени Дт

решалась система разностных уравнений, аппроксимирующих систему уравнений (25)-(33).

Для идентификации точек свободной поверхности жидкости была получена формула:

sin acosar -cosa(z + /t, -cosar(/i + l + l/cosa)/cosa) = 0, (34)

где //, - высота газовой области, определяемая итерационным методом по формуле:

В пятой главе представлены результаты решения задачи, сформулированной применительно к баку, используемому для хранения криогенного топлива. Для полностью заполненного сосуда диапазон изменения угла отклонения составлял от 0" до 90°. В качестве жидкости, заполняющей бак, был выбран жидкий метан, с соответствующими теплофизическими характеристиками. В качестве газа, находящегося над свободной поверхностью, исследовались пары метана. В работе изучается ламинарный режим естественной конвекции. В случае вертикально расположенного бака (рис.4а) структура полей температуры показывает, что наиболее прогретая жидкость находится в верхней части емкости, что может говорить о наличии слабых конвективных течений. Внутри бака наблюдается ламинарный режим, характеризующийся тем, что потоки жидкости образуют параллельные струи и не имеют каких-либо выраженных пульсаций и завихренностей. Холодное ядро смещено вниз относительно центра емкости.

Перепад температуры по вертикальной оси составляет - 5К, по горизонтальному радиусу - ЗК с максимальным градиентом в пристеночной зоне. Распределение температуры в жидкости может свидетельствовать о нали-

-лН; Л-jzRJÍ; +V,

2 ч 0

(35)

-ЯН] +2/г R.H,

'о'Ч

а) б) в) г)

Рис.4 Поля температуры нри различных углах отклонения емкости: а) а = 0" ;б) а = 30'; в) « = 45*; г) а = 60' чии теплового пограничного слоя. Как показывают результаты численного эксперимента, наклон емкости, даже на незначительный угол (рис.46), приводит к изменению структуры полей течения и температуры жидкости внутри бака. Область наибольшего нагрева находится в верхнем полусферическом днище. Но в отличие от вертикально расположенного бака симметричность процессов отсутствует, ядро горячей жидкости смешено относительно оси цилиндра.

Рис.5 Поля скорости при различных углах отклонения емкости: а) а = 0°; б) а = 30*;в) я = 45'; г) а = 60'

Увеличение угла наклона еще больше нарушает симметричность исследуемых процессов (рис.4в,г), но при этом не приводит к сильному температурному расслоению. В каждом из рассматриваемых случаев зона максимального прогрева жидкости смещается и соответствует верхней точке бака.

Структура полей скорости показывает (рис.5), что наибольшего значения скорость жидкости достигает в зоне, соответствующей наибольшему значению температуры. В пристеночной зоне, в силу условия прилипания, формируется тонкий пограничный слой, значение скоростей вблизи которого, пренебрежимо малы. В центральной части бака расположено ядро холодной жидкости, поэтому и значения скорости в этой области близки к нулю. При увеличении угла отклонения емкости (рис.5в,г) зона максимальной скорости также соответствует наиболее прогретым слоям жидкости, структура полей несколько меняется, подразделяясь на зоны: пристеночный слой, холодное центральное ядро, область активного движения жидкости. Рис.6 наглядно демонстрирует структуру полей температуры и скорости в горизонтально расположенном цилиндрическом баке.

Рис.6 Поля температуры и скорости при а = 90' Также была произведена серия расчетов для частично заполненного бака при различных углах его отклонения. В качестве жидкости, заполняющей бак, исследовался жидкий метан, газ над свободной поверхностью -пары жидкого метана. При наличии свободной поверхности температурная стратификация усиливается (рис.7). Температурный перепад в направлении силы тяжести составляет 16К, причем в газовой области температурное расслоение заметнее. В направлении горизонтального радиуса цилиндра в жидкости температурный перепад составляет - ЗК.

а) б) в) г)

Рис.7 Поля температуры (а, б) и скорости (в, г) в частично заполненном наклонном цилин

дре при различных углах отклонения: а,в) а = 0';б,г) « = 15* Такое формирование полей температуры можно объяснить, прежде всего, теплофизическими свойствами газа и жидкости, а также тем, что под влиянием массовых сил и теплового потока в емкости формируются конвективные течения. Как и в случае полностью заполненного цилиндрического бака, наиболее прогретые слои вещества скапливаются в верхней части емкости. Холодное ядро жидкости смещено вниз относительно центра емкости. В предграиичной зоне, в силу действия условия прилипания, формируется тонкий пограничный слой, значения скоростей в котором, близки к нулю.

Отклонение емкости на незначительный угол нарушает симметрию исследуемых процессов (рис.76,г). Слои газа, имеющие более высокую температуру, смещаются, за счет изменения положения бака и располагаются в верхней его части. Изменение температуры в направлении силы тяжести составляет порядка 16К, в направлении радиуса цилиндра - 2К. Как показы-

вают результаты, наклон емкости на незначительный угол не приводит к усилению температурной стратификации. Центры повышенной циркуляции жидкости располагаются в зоне, близкой к поверхности раздела сред «жидкость-газ».

Еще одной отличительной особенностью разработанной модели математического и программного обеспечения исследуемых процессов является возможность идентификации давления, как в жидкости (рис.9), так и в газе (рис.8). Полученные картины распределения давления в жидкости показывают, что величина давления действительно является незначительной и не может существенным образом влиять на процессы тепломассопереноса, протекающие в баке. Помимо этого такое распределение давления еще раз подтверждает тот факт, что задача не является осесимметричной, так как при увеличении угла отклонения емкости более прогретые зоны жидкости смещаются, вызывая смещение зон повышенного давления.

Рис. 8. Зависимость давления насыщенного пара от температуры

Рис. 9 Поле давления (Па-10"7) внутри цилиндрической емкости с полусферическими днищами

а) а = 0"; б) а = 60*

Рис.8 наглядно демонстрирует зависимость давления насыщенного пара от средней температуры поверхности. В рамках исследуемого процесса, когда тепловой поток извне не превышает ЗВт/м2 и длительность нагрева составляет 40 часов, изменение давления несущественно и не превышает 1атм. Давление в случае вертикально расположенного бака и при наличии незначительного угла наклона, совпадают. При этом температурное расслоение приводит к образованию слабых конвективных течений.

Используя зависимость вида 1

А/«=-

в,.,., -в..,

где Ш - безразмерный коэффициент теплоотдачи, вт - средняя температура твердой стенки емкости, в - среднемассовая температура в жидкости,

были получены коэффициенты теплоотдачи при различных углах отклонения вектора массовых сил и переменной высоте цилиндра.

Рис.10 показывает, что при увеличении угла отклонения емкости относительно вектора массовых сил коэффициент теплоотдачи увеличивается. Как видно, диапазон изменения числа Нуссельта при различных значениях угла наклона не велик, поэтому можно сказать, что при выходе на квазистационарный режим, N11 "в.

На основе вычислительных экспериментов была получена критериальная зависимость числа Нуссельта от числа Грасгофа и Прандтля:

Рис. (О Зависимость числа Нуссельта от безразмерного времени

М/ = 0,5943 (Рг- О)'

0,2462

(37)

Расчет числа Нуссельта позволяет сформулировать дальнейшие рекомендации по хранению и эксплуатации баков с криопродуктами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска разработана трехмерная математическая модель, с целью описания несимметричных конвективных процессов, протекающих в частично заполненной цилиндрической емкости с полусферическими днищами, при различных направлениях вектора массовых сил, а также переменной высоте цилиндрической области. Полученная модель позволяет оценить влияние тепловых потоков на распределение давления в баке и конвективные поля.

2. Разработан алгоритм численной реализации задачи тепломассоперено-са в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами.

3. Разработан программный комплекс, предоставляющий возможности изучения свободно-конвективных течений внутри замкнутой емкости сложной геометрии.

4. Проведен вычислительный эксперимент, позволяющий проанализировать структуру термогидродинамических полей внутри цилиндрического бака в условиях различных направлений вектора массовых сил.

5. На основе результатов вычислительного эксперимента определена критериальная зависимость коэффициента теплоотдачи при естественной конвекции в наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Мозговой Н.В. Трехмерная модель процесса тепломассопереноса в наклонной цилиндрической емкости с использованием уравнения Пуассона для давления / Н.В. Мозговой Н.В., O.A. Сидорова // Вестник ВГТУ. -Воронеж, 2008. - Т.4, № 1. - С. 90-93.

2. Мозговой Н.В Расчет полей давления и температуры в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами полностью заполненной жидкостью / Н.В. Мозговой Н.В., O.A. Сидорова // Вестник ВГТУ. -Воронеж, 2008. - Т.4, №5. - С. 56-59.

3. Мозговой Н.В. Математическое моделирование задачи тепломассопереноса в цилиндрической емкости, полностью заполненной жидкостью / Н.В. Мозговой Н.В., O.A. Сидорова, М.В. Баранов // Вестник ВГТУ. - Воронеж, 2008. - Т.4, № 11. - С. 183-185.

4. Сидорова O.A. Расчет полей течения и температуры в цилиндрической области с наклонным положением оси / O.A. Сидорова // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XVI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в 2-х т. - М.: Изд. МЭИ, 2007. - Т.1. -С. 269-272.

5. Потапов A.C. Построение математической модели задачи тепломассопереноса в наклонном цилиндре / A.C. Потапов, O.A. Сидорова // Новые технологии в образовании. Научно-технический журнал. - Воронеж: ВГПУ, 2008. - Вып. №1,-С. 70-76

6. Мозговой Н.В. Моделирование конвективного теплообмена в наклонном цилиндрическом сосуде/ Н.В. Мозговой Н.В., O.A. Сидорова // Физико-технические пробл. энергетики, экологии и энергосбережения. Тр. науч.-техн. конф. молод, ученых, аспир. и студ. - Воронеж: ВГТУ, 2007. -Вып.8 - С. 66-72.

7. Мозговой Н.В Конвективный теплообмен при изменении угла наклона цилиндрической емкости с полусферическими днищами / Н.В. Мозговой Н.В., O.A. Сидорова // Авиакосмические технологии «АКТ-2008»: тезисы IX Всерос. науч.-техн. конф. и школы молодых ученых, аспирантов и студентов. - Воронеж: ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008. - С. 95-97.

8. Мозговой H.B. Тепломассоперенос в цилиндрической емкости при изменении ее положения / Н.В. Мозговой Н.В., O.A. Сидорова // Авиакосмические технологии «АКТ-2008»: труды IX Всерос. науч.-техн. конф. и школы молодых ученых, аспирантов и студентов. - Воронеж: ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008. - С. 259-265.

9. Программа реализации численного эксперимента задачи тепломассообмена в наклонной замкнутой емкости сложной геометрии, полностью заполненной жидкостью: № 12092 / Мозговой Н.В., Сидорова O.A. // Инновации в науке и образовании. - Издание ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологий», 2009, -№1. - С. 4.

10. Программа реализации численного эксперимента задачи исследования свободно-конвективных течений в частично заполненном наклонном цилиндре с полусферическими днищами: № 12093 / Мозговой Н.В., Сидорова O.A. // Инновации в науке и образовании. - Издание ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологий», 2009. -№1. - С. 4.

11. Программа визуализации процесса конвективного теплообмена в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами: № 12094 / Мозговой Н.В., Сидорова O.A., Баранов М.В. // Инновации в науке и образовании. - Издание ФГНУ «Государственный координационный центр информационных технологий», 2009. -№1. - С. 4.

Работы [1] - [3] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Подписано в печать 01.06.09 г. Формат 60х84'Лб. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,93. Заказ 185. Тираж 100 экз.

Воронежский госпедуниверситет. Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии университета. 394043, г. Воронеж, ул. Ленина, 86.

Введение.

Глава 1. Анализ методов математического моделирования процессов тепломассопереноса в замкнутых объемах.

1.1. Классификация внутренних задач конвективного теплообмена.

1.2. Классификация способов математического исследования внутренних задач теории тепломассообмена.

1.3. Вычислительный эксперимент как инструмент теоретического исследования задач внутренней конвекции.

Выводы.

Глава 2. Моделирование процессов конвективного теплообмена в наклонной цилиндрической емкости с жидкостью.

2.1 Формализованное описание анализа процессов тепломассообмена в наклонном цилиндре с полусферическими днищами.

2.2 Трехмерная математическая модель процессов термогидродинамики в наклонном цилиндрическом сосуде.

2.3 Модель процесса термоконвекции в цилиндрических координатах.

2.4 Модель процессов конвективного теплообмена в безразмерных координатах.

2.5 Математическая модель давления в наклонном цилиндрическом баке 47 Выводы.

Глава 3. Численная реализация модели процесса тепломассопереноса в полностью заполненном наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами.

3.1. Аппроксимация области численной реализации модели термоконвекции в наклонном цилиндре с полусферическими днищами

3.2. Конечно-разностная модель конвективного теплообмена во внутренних точках емкости.

3.3. Разностная аппроксимация уравнения Пуассона для давления.

3.4. Аппроксимация граничных условий.

3.5. Алгоритм численной реализации задачи изучения процессов тепломассопереноса в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами, заполненной жидкостью.

Выводы.

Глава 4. Моделирование процессов конвективного теплообмена в частично заполненной жидкостью наклонной цилиндрической емкости.

4.1 Постановка задачи исследования процессов тепломассообмена в частично заполненной цилиндрической емкости при изменении ее положения.

4.2 Математическая модель конвективного теплообмена в. наклонной цилиндрической емкости, частично заполненной жидкостью.

4.3 Математическая модель конвективного теплообмена в частично заполненной наклонной цилиндрической емкости в безразмерных координатах.

4.4 Модель расчета давления в газовой и жидкой фазах емкости.

4.5 Конечно-разностная модель конвективного теплообмена во внутренних и граничных точках емкости.

4.6 Алгоритм численной реализации задачи исследования процессов тепломассообмена в частично заполненном цилиндре с полусферическими днищами при его отклонении от вертикального положения.

Выводы.

Глава 5. Результаты практической апробации моделей в условиях наклонного цилиндрического бака с полусферическими днищами, заполненного криогенной жидкостью.

5.1 Результаты тепловых расчетов для полностью заполненного криогенной жидкостью цилиндрического бака с полусферическими днищами при различных углах отклонения от вертикального положения и различной высоте цилиндрической области.

5.2 Результаты тепловых расчетов для частично заполненного наклонного цилиндра с полусферическими днищами.

5.3 Критериальные зависимости расчета теплопередачи.

Выводы.'.

Актуальность темы. Для многих приложений сегодня требуется все более точный расчет характеристик рабочих процессов при поиске оптимальных конструкторских и технологических решений, направленных на повышение надежности, улучшение эксплуатационных характеристик машин и технологических аппаратов, повышение качества материалов. Проведение экспериментов на натурных объектах в подобных ситуациях становится затруднительным или почти невозможным. Поэтому использование методов математического моделирования и вычислительной техники позволяют решить многие проблемы.

В настоящее время во многих отраслях промышленности наметился переход от традиционных видов топлива на наиболее экономичные и экологически чистые криогенные продукты. Основная сложность хранения и транспортировки жидких криоагентов связана с тем, что они имеют высокую степень испаряемости даже при малых тепловых нагрузках. Испарение жидкости может приводить к росту давления в баке, что в свою очередь может создать взрывоопасную ситуацию. Особенно актуальна эта проблема при использовании криогенного топлива в авиации. В связи с этим очень важно иметь возможность прогнозирования поведения жидкости в баках различной геометрической формы, в частности цилиндр, сфера и их комбинация, с целью выбора материалов, работоспособных при низких температурах; выбора эффективной тепловой защиты от теплопритоков из окружающей среды.

Анализ литературы показал, что разработано достаточно большое количество моделей и алгоритмов изучения осесимметричных процессов тепломассообмена в замкнутых емкостях, что не в полной мере отражает структуру свободноконвективных течений в реальных условиях. В большинстве случаев в авиационной и ракетной технике топливные баки подвергаются различным механическим воздействиям, что приводит к нарушению симметрии конвективных течений. В связи с этим остро встает необходимость в разработке новых моделей и алгоритмов для исследования подобного рода процессов.

Таким- образом, задача исследования процессов тепломассопереноса, происходящих в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими' днищами под влиянием равномерно распределенного теплового потока, в настоящее время является актуальной.

Данная диссертация выполнялась в рамках тематического плана кафедры Информатики и методики преподавания математики, «Математическое и компьютерное моделирование задачи теплообмена в областях сложной геометрической формы» ВГПУ. 1

Цель и задачи исследования. Целью* настоящей работы является разработка моделей и алгоритмов исследования термогидродинамических процессов в замкнутой цилиндрической емкости с полусферическими днищами, заполненной криогенной жидкостью с учетом различных ориентаций вектора массовых сил относительно оси емкости.

Для достижения указанной цели были< поставлены следующие задачи:

1. Разработка трехмерной математической модели процессов тепломассопереноса в цилиндрической емкости с полусферическими днищами' в условиях различных направлений внешней массовой силы, позволяющей определить значения всех конвективных составляющих, а также давление и температуру в жидкости, находящейся в баке.

2. Разработка алгоритма численной реализации задачи естественной конвекции внутри наклонной цилиндрической емкости с жидкостью.

3. Разработка программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента задачи определения полей скорости, температуры и давления в баке цилиндрической формьь с полусферическими днищами' при отклонении* его относительно вектора массовых сил и переменной высоте цилиндрической области:

4. Проведение вычислительного эксперимента в условиях различных ориентаций свободной поверхности жидкости в цилиндрической емкости с последующим анализом результатов.

5. Определение критериальной зависимости коэффициента теплоотдачи в условиях естественной конвекции в. наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами.

Методы исследований. Теоретические и практические разработки, представленные в' диссертации, базируются на применении методов математической физики, теории разностных схем, теории гидромеханических, тепло- и массообменных процессов, вычислительной гидродинамики. Использовались методы математического моделирования и современные методы разработки программного обеспечения.

Научная новизна:

1. Предложенные модели и алгоритмы процесса конвективного теплообмена в замкнутой емкости цилиндрической формы отличаются возможностью учета различных ориентаций свободной поверхности жидкости.

2. Разработанные алгоритмы позволяют определить, давление в жидкости и оценить его влияние на процессы, протекающие в емкости.

3. Получена структура гидродинамических и температурных полей свободноконвективпых течений в замкнутой емкости сложной,геометрии при переменных углах отклонения емкости относительно вектора^ массовых сил, различной высоте цилиндра, позволяющая сформулировать рекомендации по хранению и транспортировке баков с криопродуктами;

4. Получены коэффициенты теплоотдачи для различных ориентаций вектора массовых сил относительно емкости, учитывающие геометрию бака.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации, включенные' в диссертацию, обоснованы корректным использованием математического аппарата. Они подтверждены вычислительными экспериментами и проверкой при внедрении в практику расчетов проектных разработок филиала КБ Туполев.

Практическая значимость, работы. Предложены алгоритмы расчетов процессов конвективного теплообмена в цилиндрическом сосуде с полусферическими днищами, частично заполненного криогенной жидкостью, при различных его положениях. Представленные модели исследования позволяют определить не только значения температуры и скорости в баке, но также давление и его влияние на процессы, протекающие в емкости. На основе полученных значений температуры в жидкости идентифицированы и проанализированы коэффициенты теплоотдачи. Результаты вычислительного экспермента позволяют сформулировать рекомендации по эксплуатации баков сложной геометрической формы, заполненных криогенной жидкостью, применяемых в различных отраслях промышленности.

Материалы, диссертационной работы используются в практике КБ Туполев • в виде комплексов программного обеспечения и курсе «Тепломассообмен» в Воронежском государственном техническом университете.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на: Всероссийской с международным участием научно-технической конференции "Авиакосмические технологии" (Воронеж, 2008); XVI Школе-семинаре молодых ученых и специалистов «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» (Санкт-Петербург, 2007); «Физико-технические проблемы энергетики, экологии и энергоресурсосбережения» (Воронеж, 2007).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, в том числе 3 — в издании; рекомендованном ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат следующие результаты: [65, 69, 70, 72, 73] — разработка трехмерной математической модели конвективного теплообмена; [77, 101, 110, 112] - разработка численной модели свободной конвекции в наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами; [73, 101, 112]— алгоритмы численного решения; [65, 77, 102, 111] — анализ и обобщение результатов численного эксперимента.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 114 наименований. Основная часть работы изложена на 131 страницах, содержит 38 рисунков, 1 таблицу и 1 приложение.

Основные результаты и выводы

1. На основе уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска разработана трехмерная математическая модель, с целью описания несимметричных конвективных процессов, протекающих в частично заполненной цилиндрической емкости с полусферическими днищами, при различных направлениях вектора массовых сил, а также переменной высоте цилиндрической области. Полученная модель позволяет оценить влияние тепловых потоков на распределение давления в баке и конвективные поля.

2. Разработан алгоритм численной реализации задачи тепломассопереноса в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами.

3. Разработан программный комплекс, предоставляющий возможности изучения свободно-конвективных течений внутри замкнутой емкости сложной геометрии.

4. Проведен вычислительный эксперимент, позволяющий проанализировать структуру термогидродинамических полей внутри цилиндрического бака в условиях различных направлений вектора массовых сил.

5. На основе результатов вычислительного эксперимента определена критериальная зависимость коэффициента теплоотдачи при естественной конвекции в наклонном цилиндрическом баке с полусферическими днищами.

1. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса / Полежаев В.И., Бунэ A.A., Верозуб H.A. и др.. М.: Наука, 1987. - 272 с.

2. Вальциферов Ю.В. Конвективный теплообмен и температурное расслоение в сфере, полностью заполненной жидкостью при заданном потоке тепла/ Ю.В. Вальциферов, В.И. Полежаев // Изв. АН СССР. МЖГ. 1975.- № 5. - С.150 - 155.

3. Ряжских В.И. Математическая модель естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферической емкости / В.И. Ряжских, М.И. Слюсарев, A.B. Зайцев // Материалы XLI отчетной науч. конф. ВГТА. -Воронеж, 2002. Ч. 3. - С. 80-83.

4. Богер A.A. Математическая модель естественной конвекции ньютоновской жидкости в частично заполненном вертикальном цилиндрическом резервуаре / A.A. Богер // Вестник Воронеж, гос. техн. ун-та. Сер. Энергетика. 2002. - Вып. 7.2. - С. 73-75.

5. Ряжских В.И. Вычислительный эксперимент по идентификации основных параметров теплообмена при хранении жидкого водорода /

6. B.И. Рижских, М.И. Слюсарев, A.A. Богер, В.А. Зайцев // Вестник Воронеж, гос. техн. ун-та. Сер. Энергетика. 2003. - Вып. 7.3. - С. 82-86.

7. Сидоров A.C. Математическая модель процесса тепломассопереноса в шаровой емкости с неравномерным тепловым потоком на границе / A.C. Сидоров // Образовательные технологии. Научно-технический журнал. — Воронеж: Научная книга, 2005. №3. - С. 74-79.

8. Моисеева JI.A. Стационарный свободно — конвективный теплообмен в цилиндрической емкости при равномерном теплоподводе и одновременном отводе тепла через локальные стоки / JI.A. Моисеева,

9. C.Г. Черкасов. М.: Иссл. Центр им. М.В. Келдыша, 1997 - С. 564 - 569.

10. Мельников Д.Е. Математическое моделирование смешанной конвекции в вертикальной цилиндрической емкости / Д.Е. Мельников, С.Г. Черкасов // Изв. РАН МЖГ. 1998. - № 6. - С. 9 - 17.

11. Черкасов С.Г. Естественная конвекция в вертикальном цилиндрическом сосуде при подводе тепла у боковой и свободной поверхности / С.Г. Черкасов // Изв. АН. СССР. МЖГ. 1984. - № 6. - С. 51 - 56.

12. Богданова М.В". К расчету температурного поля в емкости, неполностью заполненной криогенной жидкостью / М.В. Богданова- // Теплоэнергетика: Межвузовский сборник научных трудов. — Воронеж: ВГТУ, 1995.-С. 47-56.

13. Артемьев В.К. Численное моделирование трехмерной естественной конвекции / В.К. Артемьев, В.П. Гинкин // Труды Второй Российскойнациональной конференции по теплообмену. М.: Издательство МЭИ; 1998.-Т.З.-С. 38-41.

14. Моисеев K.P. Влияние угла наклона полости на теплообмен при свободной конвекции аномально т'ермовязкой жидкости / K.P. Моисеев // Труды института механики Уфимского научного центра РАН. Уфа: Гилем., 2006.-С. 166-173.

15. Ермолаев И.А. Исследование режимов малоинтенсивной конвекции в прямоугольной полости с тепловым потоком на границе / И.А. Ермолаев, А.И. Жбанов, С.В; Отпущенников // Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 2008. - №3. - С. 3 - 11.

16. Cheikh Nader Ben Aspect ratio effect on natural convection flow in a cavity submitted to a periodical temperature boundary / Beya Brahim Ben, Lili Taieb // J. Heat Transfer. 2007. - V. 129, №8. - P. 1060-1068.

17. Афанасьев A.B. Расчет гидродинамики и теплообимена при струйном обтекании цилиндра / A.B. Афанасьев, В.В. Афанасьева //. Труды Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену. — М.: Издательский дом МЭИ, 2006. Т. 2. - С. 50-53.

18. Haldar S.С. Numerical study of laminar free convection about horizontal cylinder with longitudinal fins of finite thickness / S.C. Haldar, G.S. Koshbar, K. Manohar, R.K. Sahoo // J. Therm. Sei. 2007. - V. 46, №7. - P. 692-698.

19. Chen Tzong-Huei Study of buoyancy-inducted flows subjected to partially heated sources on the left- and bottom walls in a square enclosure / Chen Tzong-Huei, Chen Li-Yueh // Int. J: Therm. Sci. 2007. - V. 46, № 12. - P. 1219-1231.

20. Полежаев В.И. Конвективное взаимодействие в цилиндрическом сосуде, частично заполненном жидкостью, при подводе тепла к боковой свободной поверхности и дну / В.И. Полежаев // Изв. АН. СССР. МЖГ. -1972. № 4. - С.77 - 88.

21. Daez Elsa 2D natural* convection' flows in tilted cavities: porous media and homogeneous fluids / Daez Elsa, Nicalas Alfredo // Int J. Heat and Mass Transfer. 2006. - V. 49, № 25-26. - P. 4773 - 4785.

22. Сидоров А.С. Построение математической модели одной термогидродинамической задачи / А.С. Сидоров // Новые технологии в образовании. Научно-технический журнал. — Воронеж: Научная книга, 2005.-Вып. 2. С.41-43.

23. Берковский Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. — Мн.: Университетское, 1988. — 167 с.

24. Мозговой Н.В. Программа визуализации результатов численного эксперимента задач термоконвекции / Н.В. Мозговой, A.C. Сидоров, М.В. Баранов / Инновации в науке и образовании. М.: Издание ФГЕНУN

25. Государственный координационный центр информационных технологий», 2007. №12. - С. 47.

26. Мозговой Н.В. Численное исследование нестационарной тепловой конвекции в сферическом сосуде при заданном подводе тепла / Н.В. Мозговой, A.C. Сидоров // Вестник ВГТУ. Сер. Энергетика. Воронеж: 2007.-Т.3,№6-С. 17-20.

27. Das Manab Kumar Conjugate natural convection heat transfer in an inclined square cavity containing a conducting block / Das Manab Kumar, Reddy Sarah // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2006. - V. 49, №25-26. - P.4987-5000.

28. Полежаев В.И: Численное исследование нестационарной тепловой конвекции в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла / В.И. Полежаев, Ю.В. Вальциферов // Некоторые применения сеток в газовой динамике. Изд. МГУ, 1971. - Вып. 3 - С. 137 - 175:

29. Wang Xiuling Application of an;hp-adaptive FEM for solving thermal flow problems / Wang Xiuling, Pepper Darrell // W. J. Thermophys. and Heat Transfer. 2007. - V. 21, №1. - P. 190-198.

30. WangQ. W. Numerical i nvestigation о f nat ural со nvection in a inclined enclosure filled with porous medium under magnetic field / Q. W.Wang, M. Zeng, Z.P. Huang // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2007. - V. 50, №17-18. -P. 3684-3689.

31. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. 3-е изд., перераб. — М.: Физматлит, 2003. — 736 с.

32. Самарский A.A. Вычислительная теплопередача / A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

33. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена: пер. с англ / Д. Ши. — М.: Мир, 1988.-544 с.

34. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. 7-е изд.- М.: Наука, 2004. - 798 с.

35. Швыдкий B.C. Механика жидкости и газа / B.C. Швыдкий, Ю.Г. Ярошенко, Я.М. Гордон; под ред. B.C. Швыдкого. М.: ИКЦ «Академкнига», 2003. — 464 с.

36. Краснов М.П. Векторный анализ / М.П. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1978. - 160 с.

37. Бронштейн И.К. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. / И.К. Бронштейн, К.А. Семендяев. — 15 изд. М.: Наука. Физматлит, 1998. - 608 с.

38. Темам Р. Уравнение Навье — Стокса: теория и численный анализ / Р. Темам; пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 408 с.

39. Исаченко В.П. Теплопередача: учебник для вузов. / В.П. Исаченко, В.А. Осипова, A.C. Сукомел. и др. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоиздат, 1981. — 416 е., ил.

40. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Л.И. Седов 8-е изд., перераб. — М.: Наука, 1977. - 440 с.

41. Потапов A.C. Построение математической модели задачи тепломассопереноса в наклонном цилиндре / A.C. Потапов, O.A. Сидорова // Новые технологии в образовании. Научно-технический журнал. Воронеж: ВГПУ, 2008. - Вып. №1. - С. 70-76.

42. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П.' Роуч; пер. с англ. М.: Мир, 1980.-616 с.

43. Мозговой Н.В. Математическое моделирование задачи тепломассопереноса в цилиндрической емкости, полностью заполненной жидкостью / Н.В. Мозговой, O.A. Сидорова, М.В. Баранов // Воронеж: Вестник ВГТУ, 2008. Т.4, №11. - С. 183-185.

44. Мозговой Н.В. Трехмерная модель процесса тепломассопереноса в наклонной цилиндрической емкости с использованием уравнения Пуассона для давления / Н.В. Мозговой, O.A. Сидорова // Воронеж: Вестник ВГТУ, 2008. Т. 4, №1. - С. 90-93.

45. Дж. Фромм Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости / Б. Олдер, С. Фернбах, М. Ротенберг. // Вычислительные методы в гидродинамике; пер. с англ. М.: Мир, 1967 - С. 385.

46. Сивухин Д.В. Общий курс физики: механика / Д.В. Сивухин. М., 1979.- с. 520, ил.

47. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов -М.: Гос. изд. физ-мат лит, 1958. 257 с.

48. Мозговой Н.В. Расчет полей давления и температуры в наклонной цилиндрической емкости с полусферическими днищами полностью заполненной жидкостью / Н.В. Мозговой, O.A. Сидорова // Воронеж: Вестник ВГТУ, 2008. Т. 4, №5. - С. 56-59.

49. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике / С.В. Валландер. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1978. -295 с.

50. Самарский A.A. Введение в численные методы / A.A. Самарский. М.: «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит, 1982. - 272 с.

51. Губенкова О.С. Аналитический расчет ограниченных вихревых течений / О.С. Губенкова // Труды Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену. — М.: Издательский дом МЭИ, 2006. Т. 8.-С. 59-61.

52. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. / К. Флетчер; пер. с англ. М.: Мир, 1991. - Т. 2. - 552 с.

53. Вержбицкий В.М. Численные методы: математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб пособ / В.М. Вержбицкий. — М.: Высшая школа, 2001. 382 с.

54. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем / A.A. Самарский.- М.: Наука. Гл. ред.физ-мат лит., 1971. — 552 с.

55. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самраский, Е.С. Николаев. — М.: Наука, 1978. 592 с.

56. Волков Е.А. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Е.А. Волков.- 2-е изд., испр. М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с.

57. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости /С. Патанкар; пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 152 с.

58. Березин И.С. Методы вычислений: в 2 т. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1966. — 536 с.

59. Courant R. On the partial difference equations of the mathematical physics / R. Courant, K.O. Friedrichs, H. Lewy // IBMJ. Res. Dev. 1967. - V.l 1. - P. 215-234.

60. Положий Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н. Положий. М.: Изд-во «Высшая школа», 1964. - 560 с.

61. Самарский A.A. Устойчивость разностных схем / A.A. Самарский, A.B. Гулин. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 416 с.

62. Богданова М.В. Анализ устойчивости одного разностного аналога системы Навье-Стокса / М.В. Богданова, JI.C. Миловская // Новые технологии в образовании. Научно-технический журнал. — 2008. №1. -С. 52-57.

63. Миловская JI.C. Об устойчивости разностной схемы для системы уравнений Навье-Стокса / JI.C. Миловская, М.В. Богданова; Воронеж, гос. пед. ун-т. Воронеж,' 2004. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.05.2004, №825.

64. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных / Н. Вирт; пер. с англ. 2-е изд., испр. — СПб.: Невский Диалект, 2001. — 352 с.

65. Кнут Дональд Э. Искусство программирования: в 3 т. / Д.Э. Кнут; пер. с англ. 3-е изд. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2003. - Т.2. Получисленные алгоритмы. — 832 с.

66. Дж. Макконнелл Основы современных алгоритмов / Дж. Макконнелл. — 2-е доп. изд. М.: Техносфера, 2004. — 368 с.

67. Фаронов В.В. Delphi 4: учеб. курс / В.В. Фаронов М.: Нолидж, 1999. -464 с.

68. Дейч М.Е. Гидрогазодинамика: учеб. пособие для вузов / М.Е. Дейч,

69. А.Е. Зарянкин. М.: Энергоатомиздат, 1984. — 384 е., ил.

70. Вальциферов Ю.В. Конвективный теплообмен в замкнутом осесимметричном сосуде в криволинейной образующей при наличииповерхности раздела фаз и фазовых переходов / Ю.В. Вальциферов, В.И. Полежаев // Изв. АН. СССР. МЖГ. 1975. - № 6. - С. 125 - 132.

71. Дейч М.Е. Газодинамика двухфазных сред / М.Е. Дейч, Г.А. Филиппов. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Энергоиздат, 1981. — 472 е., ил.

72. Справочник по физико-техническим основам криогеники. / Под ред. М. П. Малкова. 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Энергоатомиздат, 1985. -431 с.

73. Троелсен Э. Язык программирования С# 2005 и платформа .NET 2.0 / Э. Троелсен. 3-е издание. - М.: ООО «Вильяме», 2007. - 1168 с.

74. Термодинамические свойства метана / сост: В.В. Сычев, A.A. Вассерман, В.А. Загорученко и др.. М.: Изд-во стандартов, 1979. - 349 с.

75. Таблицы физических величин: справочник / Под ред. акад. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976, - 1008 с.

76. Столяров Е.А. Расчет физико-химических свойств жидкостей: справочник / Е.А. Столяров, Н.Г. Орлова. — JL: Химия, 1976. 112 с.

77. Акулов JI.A. Теплофизические свойства криопродуктов: учеб. пособие для вузов / Л.А. Акулов, Е.И. Борзенко, В.Н. Новотельное, A.B. Зайцев. СПб.: Политехника, 2001. - 243 с.

78. Новицкий Л.А. Теплофизические свойства материалов при низких температурах: справочник / Л.А. Новицкий, И.Г. Кожевников. М.: «Машиностроение», 1975. - 216 с.

79. Лыков A.B. Тепломассообмен / A.B. Лыков. М.: Мир, 1980. - 623 с.

80. Прандтль Л. Гидроаэромеханика / Л. Прандтль. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 572 с.

81. Соковишин Ю.А. Введение в теорию свободно-конвективного теплообмена / Ю.А. Соковишин, О.Г. Мартыненко. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. — 224 с.

82. Список условных обозначений

83. Т.ж динамический коэффициент вязкости жидкости (Па-сек);г/г динамический коэффициент вязкости газа (Па-сек)-,уж кинематический коэффициент вязкости жидкости (м /сек)-,к, кинематический коэффициент вязкости газа (м/сек)\

84. Рж температурный коэффициент расширения жидкости (1С1);

85. Д, температурный коэффициент расширения газа (К1);сж удельная теплоемкость жидкости (Дж/кгК');сг удельная теплоемкость газа (Д.ж/кгК);

86. Лж коэффициент теплопроводности жидкости (Вш/мК)\

87. Лг коэффициент теплопроводности газа (Вт/мК);время (сек);

88. Р — отклонение давления от гидростатического (Па);g — ускорение свободного падения (м/сек );

89. Т — температура в рассматриваемый момент времени (К);

90. Т0 начальная температура (К);и проекция вектора скорости на ось Ог;

91. Ж проекция вектора скорости на ось Оср;

92. V проекция вектора скорости на ось Ог;