автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.14, диссертация на тему:Разработка математического обеспечения идентификации и прогнозирования сигналов, описываемых аддитивно-мультипликативными нестационарными случайными процессами

?Г 5 од

; В ОПТ >335

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

ЯЦКО ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ АДЦИТИВНО-МУЛЬТИШШКАТИШШИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Спец.: 05.13.14 Системы обработки информации и управления

Автореферат диссертация • на соискание ученой степени кандидата технических наук

НОВОСИБИРСК 1995

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете. 1

Научный руководитель: академик АЕН РФ и МАИ,

доктор технических наук, профессор ГУБАРЕВ В.В.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор КОТИКОВ В.И.

кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник ОГОРОДНИКОВ В.А.

Ведущая организация: Институт математики СО РАН

(г.Новосибирск)

Защита диссертации состоится 1995 г. в Ю

часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 063.34.06 в Новосибирском государственном техническом университете по адресу: 630092, г.Новосибирск, пр. Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотека НГТУ.

Автореферат разослан " И 1995г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д 063.34.С6 Л / /

к. т. н., доцент Вострвцов А.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Большинство физических процессов, встречающихся на практике, имеют в общем нестационарный характер. Поэтому задача идентификации нестационарных сигналов достаточно часто возникает при описании различных функционирующих систем. Она усложняется, когда исследователь располагает только одной выборочной реализацией изучаемого процесса, а не представительным множеством (ансамблем) реализаций. Поэтому актуальным представляется расширение класса моделей и методов, позволяющих проводить идентификацию и прогнозирование нестационарных случайных сигналов (НСС), представленных одной или небольшим числом выборочных реализаций. Среди нестационарных случайных процессов (НСП) существует класс. аддитиЕно-мультишшкативных (АМ) процессов, которые достаточно просто выражаются через стационарные. Для таких процессов могут быть разработаны метода определения оценок метематического ожидания, дисперсии, корреляционной функции по одной реализации. Эти процессы часто встречаются в прикладных задачах. Они наблюдаются, например, в нестационарных системах управления динамическими объектами, на которые действуют стационарные возмущения, при описании сезонных явлений (в частности, сезонной и межгодовой изменчивости среднемесячного значения высот еолн), износа металлорежущего инструмента и прогнозировании срока службы инструмента и времени выхода его из строя, при прогнозировании различных технико-экономических показателей (цены..на отдельные виды товаров и услуг, курс доллара и т.п.). Кроме этого, для того, чтобы разработанные методы '. идентификации нестационарных случайных сигналов могли применяться на практике, необходимо создание соответствующего алгоритмического и программного обеспечения, реализующего уже известные методы идентификации и отвечающего современным требованиям, предъявляемым к такого рода программным продуктам. Актуальность исследования таких нетрадиционных характеристик связи случайных элементов, как конкорреляционше характеристики (конкоры), определяется тем, что широкое использование этого класса характеристик, инвариантных к безынерционным взаимно однозначным преобразованиям, ео многом сдерживается из-за того, что до сих пор не было проведено достаточно полное теоретическое и экспериментальное исследование вероятностных свойств оценок конкоров в самом общем случае. Также не были изучены возможности применения конкоров в алгоритмах структурной 'идентификации вероятностных моделей нестационарных случайных, сигна-

лов. В связи с этим тема диссертационной работы представляется актуальной.

'' Цель диссертационного исследования: разработка математического, алгоритмического и программного обеспечения задачи идентификации и прогнозирования случайных сигналов, описываемых аддитивно-мультипликативными нестационарными случайными процес-'.сами, а также исследование свойств конкорреляционных характеристик стохастической связи и возможностей их- применения для задачи структурной идентификации нестационарных случайных сигналов .

Научная новизна работы:

-получены новые алгоритмы параметрической идентификации нестационарных случайных сигналов, основанные на методах робас-тной, • траекторной й ансамблево-траекторной идентификации нестационарных сигналов, а также результаты исследования данных методов;

•-теоретическое и экспериментальное исследование распределения оценок конкоров на примере оценок коэффициента конкорре-ляции выполнено впервые для случаев априори известных и априори неизвестных распределений случайных элементов;

-разработанное на базе теоретических результатов алгоритмическое и программное обеспечения идентификации и прогнозирования нестационарных случайных сигналов, реализованное в рамках программной системы NSPAM, в большей своей части не имеет аналогов .

Практическая ценность работы.: теоретические результаты позволяют расширить класс идентифицируемых физических сигналов, повысить точность и достоверность идентификации и прогнозирования, а разработанное на базе теоретических результатов программное обеспечение позволяет расширить арсенал средств, исполь-~ зуешх при идентификации и прогнозировании HGG.

Разработанные методы параметрической идентификации практически реализованы в рамках программной системы NSPAM (ПЭВМ типа IBM PC). Научные результаты, полученные в диссертации, использованы при проведении НИР в Институте физиологии СО РАМ (г.Новосибирск), в НШ проблем муниципального управления, прогнозирования и информатики (г.Новосибирск), а также в учебном процессе на кафедре Статистического анализа Новосибирского государственного технического университета, что подтверждено соответствующими актами внедрения.

Апробация работы. Основные положения, результаты и выводы работы докладывались и обсуждались на следующих совещаниях,

семинарах и конференциях: регион, науч.-техн. конф. "Измерение характеристик случаГшх сигналов с применением микромашинных средств"(г.Новосибирск, 1988г.); V Всесоюз. симпозиума "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и технологии" ( г.Новосибирск, 1989г. ); VIII Всесоюз. конф. по экологической физиологии (г.Ашхабад, 1989г.); Всесоюзной научно-технической конференции с международным участием стран СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении" (г.Пермь, 1990г.); Всесоюзной науч.-техн. конф. "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (г.Новосибирск, 1991г.); III междунар. науч.-техн. конф. "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (г.Новосибирск, 1994г.); XXXII областной науч.-техн. конф., посвящ. дню радио (г.Новосибирск, 1989г.); на семинарах в Сибирском НИИ авиации, в НИИ проблем муниципального управления, прогнозирования и информатики, на кафедрах Автоматизации обработки информации и Статистического анализа НГТУ; программное обеспечение было представлено на выставкэх-ярмарках: "Учсиб-93" (г.Новосибирск, 1993г.) и "Сибсофт-Э4" (г.Новосибирск, 1994г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 16 публикациях, в том числе в Б отчетах, из которых 3 зарегистировано в ВНТИЦентре.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 122 наименований, содержит 139 страниц основного текста, 41 рисунок, 12- таблиц и два приложения.

• Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность и новизна теш диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, указаны основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе -дана постановка задачи исследования, дан аналитический обзор методов решения и сформулированы конкретные задачи, подлежащие разработке в работе. Рассматривается вероятностная модель AM НСП, которая может быть представлена в виде X(í)=a(í,p)+A(í,5).S(í), (1)

где a(t,ß) = MíX(t)) - аддитивная составляющая (АС) (функция, определяющая изменение параметра сдвига НСП X(í) и совпадающая с математическим ожиданием, если оно существует); k(t,&) -масштабная функция, т.е. функция определяющая изменение парвмв-

тра масштаба процесса Х(Г), À(t,ô)>0 (мультипликативная составляющая (МО); 3(î) - стационарный эргодический в среднеквадра-тическом по отношению к математическому ожиданию и■корреляционной функции случайный процесс, имеющий нулевой параметр сдвига, параметр масштаба равный единице ' и корреляционную функцию Rœ(t); р и fi - некоторые векторные в общем случае параметры АС и МО-

• В качестве функций a(t,p) и A.(t,5) могут выступать разнообразные детерминированные функции аргумента t. Ставится задача определения на основе обработки наблюдаемых значений процесса X(t) оценок векторов параметров р к С, корреляционной функции НЕ(т), а также оценок АС a(t,p) и МС Ht.Ô) при различных законах распределения НСП X(i), при различных параметрических моделях аддитивной и мультипликативной составляющих. При исследовании нестационарных динамических систем могут быть сделаны дополнительные уточнения модели (1). Например, неизвестный закон распределения НСП X(i ) принадлежит некоторому классу распределений либо функция Ш,5) может считаться известной и определяться видом нестационарных характеристик системы и т.п. Такого рода априорная и апостериорная информация обязательно должна учитываться при последующем анализе выборочных данных, для чего математическое, методическое и программное обеспечение идентификации АМ НСП должно включать соответствующие средства анализа данных.

Были рассмотрены существующие метода параметрической и непараметрической идентификации НСС, описываемых АМ НСП. В частности, было отмечено, что хорошо разработанный математический аппарат статистического анализа НСС, включающий различные варианты МНК-, МНМ и ММП,. только в том случае позволяет получать эффективные оценки АС НСС, когда есть возможность получит эффективные оценки МС такого сигнала.

Обзор существующих методов идентификации МС показал, что, несмотря на значительные результаты, полученные в данной облас-,ти статистического анализа, особенно- в области непараметрической идентификации МС, недостаточное внимание уделено разработке таких методов параметрической идентификации, которые обеспечивали бы получение состоятельных и эффективных оценок для широкого класса законов распределений НСС, а также в случаях, когда исследуемые сигналы содержат аномальные наблюдения, для разнообразных математических моделей МС, при наличии только, одной выборочной реализации.

Обзор существующих программных средств прикладной статис-

тики также показывает, что в области параметрической идентификации НОС, описываемых. AM НСП, до сих пор не было разработано программного обеспечения, позволяющего получать эффективные оценки АС и MC.

Во второй главе разработаны алгоритмы параметрической идентификации AM НСП. Вводятся параметрические модели АС и MC, применительно к которым будет проводиться дальнейшее исследование. Среди множества возможных функций, используемых для представления a(t,(3) и \{t,ö) наиболее часто применяются такие, которые либо являются линейными по параметрам ß ï О, либо легко сводятся к таким функциям путем элементарных функциональных преобразований.

Запишем модель АС a(t,ß) в виде функции линейной по параметрам

a(i,ß)= <p(t).ß, (2)

где ß= iß,, ... , ßl>T- параметры модели АС, подлежащие оцениванию; т - знак транспснирорвания; I - порядок модели АС; Ф(П=С<р1(1), ... , - регрессоры модели.

Для описания MC были рассмотрены три различные модели:

Ut,öM<i>(t)-ölF, (3)

Ä.(i,ö)=ejp{i))(t)-ö}, (4)

где 0=Cöi, ..., öm}T - параметры модели; m - порядок модели MC; p=i/z или р=1; 4>(t)=ftJ>t(t), ... , фт(t)> - регрессоры модели.

В случае, если предполагается, что процесс S (t) обладает некоторой корреляционной структурой, в модель Ш НСП необходимо •ввести.элементы, связанные с описанием корреляционной функции процесса. Рассматриваемые ниже алгоритмы позволяют идентифицировать нормированные автокорреляционные функции вида

r(T)=ezp(-a-|т() (5)

где а - параметр корреляционной функции, если процесс 3(t) является гауссовским.

В качестве регрессоров в моделях (2-4) могут выступать различные функции аргумента t, а также реализации других случайных процессов, если-предполагается, что между такими процессами и исследуемым НСС существует стохастическая взаимосвязь.

В качестве основного метода оценивания был выбран метод максимального правдоподобия (ММП).Для ММП мы можем указать такие важные свойства как асимптотически нормальный закон распределения оценок, асимптотическая несмещенность и состоятель-

ность оценок, асимптотическая эффективность и инвариантность к функциональным преобразованиям, что позволяет исследовать свойства оценок, строить доверительные интервалы, указывать точностные характеристики получаемых оценок без чего невозможен полный и качесвенный статистический анализ данных. Кроме этого, как показано в ряде работ Цыпкина Я.З. и других авторов, ММП является робастным методом оценивания на определеншс классах законов'распределения. Так, например, ММП для нормального распределения является робастным в классе симметричных распределений с ограниченной дисперсией. Для класса симметричных невырожденных распределений в качества робастного метода оценивания выступает ММП для распределения Лапласа.

Оптимизационная задача ММП для нормального закона распределения для получения оценок вектора параметров G-{ß,ö,cOT модели (1), сводится к следующей задаче нелинейного программирования

e=arg шах-/-, aJ- ~ [х - аУ ^ [* - <б>

(2-тг) /deTl£ I 2 j

где В^ - корреляционная матрица размерностью N-N НСП X(t); N -количество отсчетов в реализации НСП X(t); R^A'R^A; A=diag{A,(tl,Ö),...,X(tN,ö)> - диагональная матрица размерностью

N*N, k(ti ,ö)>0, t=1 ,N j Rg, - корреляционная матрица размерностью N*N стационарного случайного процесса 3(i); K=lx{ti), ..., x(tN)}T' - вектор-столбец, содержащий реализацию НСП X(t); A-£a(iifß).....a(iN,ß)>T - вектор-столбец, содержащий значения АС при значениях аргумента tt,....tN; A=cp'ß, где ср= (i;) {

1=1>N, - регрессионная матрица АС размерностью N»1.

При решении оптимизационной задачи (6) возникает проблема сходимости итерационной процедуры оптимизации. Было показано, что задача (6) может быть представлена в виде

6= arg min det R , e *

\(ti,ö)>0,

где ограничение типа равенства определяют дно "оврага" оптимизируемой функции. При нахождении оптимума задачи (V) было выделено две взаимосвязанных подзадачи:

Рис. 1. Иллюстрация процесса оптимизации.

Подзадача 1. Нахождение оценок 0 АС а(£ одним из мета дов безусловной оптимизации. Подзадача 1. сводится н решения оптимизационной задачи

р=агв т1п [х - &] -^¡Х - А] , <В)

где - матрица размерностью Н-И, представляющая собой некоторую оценку корреляционной матрицы для ГОП Х^). Оценку корреляционной матрицы можно находить, следующим образом

Й^Л^-Л , (9)

где л=сИав{Д.(?4,0).....Х(гы,В)} - диагональная матрица размерностью Для нахождения вектора оценок (3 можно использовать обобщенный МНК.

Подзадача 2. Нахождение, оценок 6 МС Я(£,д) одним из методов условной оптимизации. Подзадача 2 сводится к решению следующей оптимизационной задачи

6=аг8 т1п + СТ , (10)

где , ... , ^-мерный ■ воктор-

столбец.

Если МС имеет параметрическую модель вида (3), то в области допустимых решений, представленной на рис. 1, можно выделить области А' и В'. В области А' матрица вторых производных мини-

мизируемой функции в (10) положительно определена, а в области Б* условие положительной определенности не выполняется. Было разработано преобразование вида

-i-'[x- а]Х*[Х- Ä]J -5. (11)

.обеспечивающее невыход за пределы области А' в процессе

оптимизации. После этого преобразования выполняется шаг. квазиньютоновским методом

ö +D -ЛЛп L(X,ö ,), (12)

cn+ i > <n> <ni »5 * m>' ' 4 '

где АдХп. L(X,ö(w) - градиент логарифма функции правдоподобия по вектору 5, а масштабирующая матрица D(ni получена путем модификации матрицы вторых производных с целью обеспечить положительную определенность на всей области допустимых решений. На рис. 1 шаг MtM2 выполняется квазиньютоновским методом, а шаги ЛА. МЛ выполняются, используя введенное преобразование (И).

Оптимизационная задачу ММП для двухстороннего экспоненциального распределения (ДЭР) имеет вид

■f. ¡Г г ч

6=arg max—-—-—----expi- вТ-е'-А'Т- |Х-А|7|- , (13)

в a^-I^d/D'detA { J

где A'ir=dlag{^(£i,ö), ... , ?J(tN,ö)} - диагональная матрица размерностью N»N, ' |X-AlT=i|a:(t1)ra(ii,ß)|Tr, a{iM,ß)- матрица размерностью K«1; e=il, ..., 1> - матрица размерностью N« 1:. Константа з зависит от формы записи ДЭР (обычно полагают з=1). Оптимизационную задачу (13) также можно свести к следующей задаче

|'6=arg min det Л,

6 (14)

-¿-зЧ.е-.Л-ТЧх-А)^ , для решения которой введем в рассмотрение подзадачу 1 для нахождения оценок 0

ß=arg min ет ■ |Х-А17 (1Б)

и подзадачу 2 для нахождения оценок 6

С-а^ ш1п 11п йеЬЛ + в''ет-Л" ''С| , (16)

где С - матрица размерностью N»1, с1=|х(11)-а(£1,р)|Т.

Для решения подзадачи 1 был использован метод Ньютона, а

для подзадачи 2 использовался квазиньютоновский метод с преобразованием вида (11), где

В случае, когда ДЭР совпадает с распределением Лапласа (при 7=1), данный алгоритм является робастным в классе невырожденный распределений. При 4-*» ДЭР сходится по распределению к равномерному распределении, поэтому данный алгоритм можно применять при обработке данных с равномерным распределением.

Оптимизационная задача ММП для распределения Коши имеет

вид

* 1

0=arg max П-------—■ . (18)

в ... . [ tx(i. )-a(t, ;ß)]2"i TC-X(t.,ö)'h + -4-i---\

l Ji'U^ö) J

Подзадача 1, обеспечивающая оценивание АС и представляющая собой задачу безусловной оптимизации, имеет вид

N

ß=arg min )-a(t ,ß)]2], (19)

ß Hl

где w=\a(t,6). Для решения задачи (19) был использован квазиньютоновский метод.

Подзадачу Z можно записать следующим образом

ö=arg min У - In Mt^fm ,

^ vsli ' '

(20)

где с. = [,ги. )-а(£. ,|3)}г. Для нахождения коэффициента в преобразовании (11) необходимо решить следующее нелинейное уравнение

\ —-^----1-!_!:---=0. . (21 )

Практика применения МШ для распределения Каши показывает высокую устойчивость к наличию в исследуемых данных резко выделяющихся наблюдений, к пропускам данных, когда другие методы параметрической идентификации, в том числе обладающие робастнн-ми свойствами, оказываются неработоспособны.

Также был разработан ряд робастных алгоритмов параметрической идентификации АМ НСП. В том чх'сле балпредлояяя робастннй ММП-алгоритм идентификации МС. ММП, соответствующий пакету распределения вида

1-е I z*(t)}

г I ч® is<t>i«°.

--ezpf -c[?(i)|+-£-4 при |z(i)|>c,

\2% X(t,&) \ 2)

(22У

где z(t t и который является робастным в классе

X (t ,ö)

приближенно нормальных. распределений и ' позволяет учитывать нестационарность по параметру масштаба. Данный алгоритм представляет собой обобщение известного М-алгоритма Хыобера. Вдесь подзадача 1 имеет вид.

p=arg mini У [g(tO-a(ti,eil! + V (Z3)

- р i щ di fa, ^ >

где It, I2 - множество индексов элементов выборочной реализации ПСИ, для которых выполняется соответственно либо первое, либо

2iMt.,ö) при iel,,

i=,l i/t- лч Для решения

» ALLtxQJ при i€la.

етой подзадачи использовался метод вариационно-взвет&чных квад-рэтачшх приближений. ~ Подзадача 2:

6-arg min-fö ' In \(t. ,ö) + V—---+

5 Iftrnr 1 iti^ <VÖ)

второе условие в (22)

<2 =

| иц. )--аа. ,р) }2/2 . Прй {С14,

л | с|аг(1. )-а(г1 при (€1г..

Приведенный робастный алгоритм ориентирован на работу в условиях» ког'да закон распределения выборки обладает более "тяжелыми" хвостами по сравнению с нормальным распределением. Однако данный алгоритм остается' чувствительным к наличию в выборочных данных артефактов, что вызывает необходимость в предварительном цензурировании выборок. Процедура предварительного цензурирования для случая НСП в свою очередь оказывается нетривиальной, так как заранее невозможно решить какие из наблюдений являются артефактами, а не обусловлены динамикой НСП. Ки предложен ряд алгоритмов, позволяющих наряду с оцениванием плрзмэтров />М НСП, производить цензурирование резко выделяющиеся наблюдений. Известные алгоритмы Хампела, Эндрюса, Тыоки и :ф., регсопкив подобные задачи, ориентированы на идентификацию

процессов, стационарных по параметру масштаба, их свойства существенным образом зависят от правильности масштабировании, однако для них не прэдложено формализованных процедур выбора параметра масштаба.

Оценки векторов параметров § и 6 могут Сыть в неявной форме определены как решение системы нелинейных уравнений

к

(25)

Функции Фд и ®в (1,р,в) называют весовыми функ-

м к 1

циями.

В качестве них было предложено использовать функции 1х{ г. )-а(*. ,р)] -ф (1 )

а2(г. .в)-!®«*,,)-а(г ,р)]г) фк(г1) (Г,(3,0)=----Г-----------=-р;

(27)

где а, - параметры алгоритма (а>0, Отметим,

что значениям <^=0, аз=1, т4=0, 7э=1 соответствует алгоритм ММП для нормального закона распределения. Значениям а4=1, аг=2, аз=1, 7г=2,' 73=1 соответствует алгоритм ММП для

распределения Кош. Для алгоритмов подобного рода обычно стремятся наряду с робастностыо обеспечить, чтобы в окрестности оптимума весовая функция алгоритма была близка или совпадала с весовой функцией для ШП нормального закона распределения. При 0.001^x^0.1, а2=2, аа=1 \ц 0.001^40.1, ?г=2, та=| рассматриваемый алгоритм обеспечивает близость весовых функций (26),(27) к весовой функции для ЙМП нормального закона распределения при |а:(Т )-а^,р)|<;Ш,3> без потери робастнооти.

Кроме того, в качестве весовой функции «М^.р,©) может быть использована функция вида

(1,(3,6)=-5----

р1 О) а

-а -1----^---- у , (28)

Ч ]

где а - параметры алгоритма (а>0, 1=1,2). Однако вычислитель -

[ше затраты из-за необходимости многократного вычисления функции ехр{■) оказываются довольно большими, что заметно сказывается на скорости сходимости итерационной процедуры решения системы налинейных уравнений (25).

Так как для симметричных законов распределения оценки векторов параметров р и б являются асимптотически независимыми, можно предположить, что возможно конструирование множества робастных алгоритмов параметрической идентификации АМ ГОП, когда в качестве ®6 (1 ,р,0) используется или (26), или (28),

или какая-либо иная весовая функция известного робастного алгоритма (например, Тыоки, Хампела и т.п.), а в качестве Ц.,р,5) выступает (27).

к

Рассмотренные выше алгоритмы позволяют проводить идентификацию НСС, когда исследователь располагает одной выборочной реализацией. В случае, .когда имеется две и больше реализаций,

оптимизационная задача ММП примет вид £

в=аг8 тахр]?^^), ... , (29)

где к - число выборочных реализаций. Это приводит к увеличению в к раз вычислительных затрат. Однако в некоторых случаях возможно существенно сократить вычислительные затраты.' Например, в случае ММП для нормального распределения оценка, если У(=Т"71

Ф^-Ф, ф/ф, то оценка (3 в подзадаче 1 может быть найдена.

К8К -» -

р=[фт м- Ф* V х,. . (зо)

где Х--—Ух. - представляет собой результат предоценочной лик 4- 1

V = 1

нейной свертки ансамбля траекторий в одну траекторию, что поз-воляот существенно сократить вычислительные затраты и использовать укэ разработанное программное обеспечение идентификации по одной траектории. Если У(=Т7К ф^ф и В^ - диагональная матрица, то в подзадаче 2 (10) элементы вектора С определяются следующим сбрэзом

с.=

к л ,

1-У(хи.)-а(Г,В)] . (31)

Р. I 1 ' > '

В случае ДЗР в подзадаче 2 (16), если Vф^ф, то

^ ~ 1

В третьей глава были рассмотрены вопросы исследования точностных показателей алгоритмов идентификации нестационарных случайных сигналов. Для методов параметрической идентификации> основанных на ММП, были получены выражения для корреляционных матриц асимптотического нормального распределения оценок вектора в, показана асимптотическая независимость оценок векторов (3 и 5. Если процесс a{t) является б-коррелированным, т.е. оценивается вектор параметров 6-ф,6)т, то корреляционная матрица является блочно-диагональной вида

«6=

Ч |0

о

(33)

.где Яр - корреляционная матрица вектора ^ размерностью 1*1; - корреляционная матрица вектора 6 размерности тхш.

* ср]:

для модели А.(í,©) вида (3) %

Ч =

к-ра

Для модели \it.Q) вида (4)

[ФТ< А-.фр

К 4

(34)

(35)

(36)

В таблице 1 приведены значения коэффициентов ^ и д2

Таблица 1.

Закон распределения . чг %

Нормальный 1 0.5

Коти 2 2

Двусторонний экспоненциальный ГИ+1/7) 7.14^-1/7) 1/7

Если процесс ВЦ) имеет корреляционную функцию вида (5), т.е. оценивается вектор параметров 6=[р,5,а}т, то корреляционная матрица является блочно-диагональной вида

0 О

йё= 0 .....

. О «Г-

гдо

В£=ТГ (38)

Результаты исследования методом статистического моделирования на ЭВМ разработанного алгоритмического обеспечения подт-вервдает полученные ранее вывода о свойствах получаемых оценок (асимптотическая несмещенность, состоятельность и асимптотическая нормальность, а также робастность на определенных классах распределений).

В четвертой главе были рассмотрены вопросы, связанные с использование конкорреляционных характеристик связи (или сокращенно конкоров) для задач структурной идентификации АМ НСП. Конкоры обладает важном преимуществом перед другими характеристиками связи - они инвариантны к взаимно однозначным безынерционным функциональным преобразованиям случайных элементов.

. Вследствие этого значение конкоров не зависит от распределения случайного элемента, а показывает лишь значение "истинной" корреляции. Одной из разновидностей конкорреляционных характеристик является коэффициент конкорреляции случайных величин X и У, определяемый для абсолютно непрерывных распределений как

жху=-12.и|1х(Х)-?у(У)| , (39)

I где о - символ центрирования по математическому ожиданию;

Рх (X) = Р^СХ) - МО^ХХ)},' - функция распределения вероятностей случайной величины. X. Так как для абсолютно непрерывных

случайных величин ЮТ (X) )=-£-, то Р (Х)=Р>1(Х)-4- и ГУ(Ю= . *

Превде всего, был предложен вариант шагового регрессионного метода выбора "наилучшего" уравнения регрессии,- использующий вместо корреляционной матрицы конкорреляционную матрицу. Такая модификация обеспечивает инвариантность данной процедуры к закону распределения и к взаимно однозначным функциональным преобразованиям исследуемого случайного сигнала.

Далее, было исследовано распределения оценок конкоров на прикоре распределения оценок коэффициента конкорреляции, когда функция распределения априори известна. Было показано, что получаемая оценка коэффициента конкорреляции является несметен-

ной, состоятельной и асимптотически нормальной. В двух частных случаях: 1) независимых случайных величин X и У и 2) случайных величин X и Y, связанных взаимно однозначным функциональным преобразованиям, были получены аналитические выражения для характеристических функций:

64 (и)=

ЭК

Зи

Ти ~1Г

в4 (и)=

+ з-э

6и ЙЯ

6и Ш

при ге =С.

при ае =1

(40)

(41 )

Для случая двумерного экспоненциального закона распределения были получены выражения начальных и центральных моментов оценок аёху. В частности, дисперсия оценки аёху имеет вид

м

33+121 эе^^ I -эе^ +144

1

1

.27-7|ж I 9-|эе

у]}-

XV 4 1 XV »

Также был рассмотрен случай оценивания коэффициента конко-рреляции, когда функция распределения априори неизвестна и для оценивания конкоров используются непараметрическив оценки функции распределения, основанные на вариационном ряде. Выло показано, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена является непараметрической асимптотически несмещенной и состоятельной оценкой коэффициента конкорраляции, и что распределение коэффициента -ранговой корреляции Спирмена' сходится к распределению оценок конкоров для случая априорно известной функции распределения.

Полученные вывода из теоретических исследований были подтверждены многочисленными вычислительными экспериментами, выполненными на ЭВМ.

В пятой главе описаны назначение и возможности программной системы ЖРАМ, реализующей описанные во второй главе модели и методы идентификации случайных сигналов. Приведена обобщенная структура разработанного программного обеспечения и фрагменты интерактивного взаимодействия, демонстрирующие еб возможности, с необходимыми пояснениями. В качестве конкретных примеров использования разработанного программного обеспечения были приведены некоторые результаты применения программной системы ЛЗРАМ при анализе данных мониторинга цен на потребительские товары, при прогнозировании рублевого курса доллара США и при

обработке медико-биологической информации о функциональном состоянии человека. Результата применения программной системы NSPAM подтверждают, что за счет учета нестационарное™ по параметру масштаба (среднему квадратическому отклонению) удается повысить точность и достоверность получаемых модели и прогноза.

Основные результаты работы

Основные результаты работы сводятся к следующему.

1.Разработаны и исследованы методы и средства траекторной и омешанной ансамблево-траекторной параметрической идентификации и прогнозирования НСС, описываемых АМ НСП, на основе ММП для различных законов распределения (нормальный, Лапласа, Коши, двухсторонний экспоненциальный).

2.Исследованы точностные показатели разработанных методов идентификации НОС, получены выражения для приближенных асимптотических распределений оценок параметров, для доверительных интервалов полученных оценок параметров, аддитивной и мультипликативной составляющих.

3.Для случая смешанной ансамблево-траекторной параметрической идентификации предложен ряд вычислительных приемов, позволяющих сократить затраты машинного времени и памяти ЭВМ.

4.Разработаны и исследованы робастные методы траекторной параметрической идентификации и прогнозирования НСС при наличии в исходных данных "аномальных" наблюдений.

5.разработана и внедрена программная система, предназначенная для идентификации и прогнозирования НСС, описываемых АМ НСП.

6.Исследованы вероятностные свойства конкорреляционных характеристик стохастической связи на примере коэффициента конкорреляции случайных величин при априори известном и априори неизвестном распределении наблюдений, получены точные и прибли-кенкне асимптотические распределения, а так же выражения для печальных и центральных моментов, характеристических функций и других вероятностных характеристик оценок конкоров.

Основные положения диссертационной работы опубликованы в следующих работах.

1.Русин Г.Л., Яцко В.А. Возмозшомсти траекторной и ан-''омблевой идентификации временных рядоа //Статистический анализ экспериментальных данных /Новосиб. электротехн. ин-т,- Но-росиОирск,198?.-с.12-19.

2.Яцко Б.А. Исследование методов оценивания характеристик

нестационарных случайных процессов у/Тез. докл. регион, иь-уч.-техн. конф. "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств".- Новосибирск: НЭТИ, 1988.-с.37-38.

3.Губарев В.В., Жужгин С.М., Яцко В.А. Идентификация функ--циональных систем человека //Тез. докл. регион, на- уч.-техн. конф. "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств".- Новосибирск: НЭТИ, 1988.- с.229-230.

4.Маркелова Т.Ю., Пантегов В.В, Хачатурова С.М., Яцко В.А. Методы и средства управления случайной вибрацией// Тез. докл. регион, науч.-техн. конф. "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств".- Новосибирск: НЭТИ, 1988.-с.163-164.

5.Губарев В.В., Яцко В.А. Алгоритм параметрической идентификации одного класса нестационарных случайных процес-сов//Тез. докл. V Всесоюз. симпозиума "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и технологии".- Новосибирск: CHIMM, 1989.-с.92-93.

6.Губарев В.В., Кравченко А.Н., Яцко В.А. Моделирование узкополосных случайных процессов на основе неканонического представления//Тез. докл. XXXII областной науч.-техн. конф., посвящ. дню радио.- Новосибирск:'НЭИС, 1989.-е.128-129.

7.Губарев В.В., Кравченко А.Н., Яцко В.А. Метод моделиро-« вания узкополосных случайных процессов//Методы и средства статистического анализа /Новосиб. электротехн. ин-т.- Новоси бирок, 1990.-с.22-28..

8.А.с. 11598969(СССР). Способ определения утомления человека /Жужгин С.М., Яцко В.А. //Опубл. в Б.Ч., 1990, N38.

. 9,.Губарев В.В., Яцко В.А. Программдов обеспечение идентификации аддитивно-мультипликативных нестационарных случайных процессов//Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. "идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов".-Новосибирск: НЭТИ, 1991.-с.101-102.

10.Яцко В.А. Робастнне алгоритмы идентификации нестационарных случайных процессов//Тез. докл. III междунар. науч.-техн. конф. "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов".- Новосибирск: НГТУ, 1994.-с.68-69.

11.Губарев В.В., Яцко В.А. Ансамблевая идентификация нестационарных случайных процессов//Тез. докл. III мождунар. науч.-техн. конф."Идентификация, йзмерение характеристик и имитация случайных сигналов",- Новосибирск: НГТУ, 1994.-с.52-53.

Подписано к печати 02.07.95. Формат ■ 60?Н4 1/16. Сумога оберточная. Тираж 1?л экз. У ь -и.-.д.я. 1,25. Пг-ч.л. 1,25. Заказ * 332

Отпечатано в типографии ,

л яисвОпрскиго государственного технического уттег^р» »»"«па. РЗСО^г, г-Новосибири-., пр. К.Мптса, 20.