автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Разработка математического, алгоритмического и программного обеспечения для решения систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами в системах схемотехнического моделирования УБИС

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ПРОЦЕССЕ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ИС.

1.2. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ.

1.3. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ.

1.4 . МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ.

1.5 . МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ.

1.6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СПЕКТРАЛЬНО ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ОПЕРАТОРОВ.'.

1.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗРЕЖЕННОСТИ МАТРИЦЫ ЯКОБИ В СИСТЕМАХ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ БИС.

1.8. ВЫВОДЫ. ПОСТАНОВКА 'ЗАДАЧИ.

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМАХ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ УБИС.

2.1. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ МАТРИЦ.

2.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ЯКОБИ ПРИ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ПРЕДОПРЕДЕЛИТЕЛЯ.

2.4. ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ СПЕКТРАЛЬНО ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВРАЩЕНИЯ.

2.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОТРАЖЕНИЯ.

2.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ.

2.8. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ ОБЩЕГО ВИДА.

2.9. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ЛЕНТОЧНЫХ МАТРИЦ.

2.9.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЛОСКИХ ВРАЩЕНИЙ ВМЕСТО ОТРАЖЕНИЙ ХАУСХОЛДЕРА НА ПЕРВОМ ЭТАПЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ.

2.9.2. УСКОРЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО 'ПРОЦЕССА ЗАСЧЕТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НУЛЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ.

2.10. МОДИФИКАЦИЯ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ПРЕДОПРЕДЕЛИТЕЛЯ НА ЭТАПЕ ЕЕ ФОРМИРОВАНИЯС ЦЕЛЬЮ УМЕНЬШЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАТРАТ НА ЕЕ ОБРАЩЕНИЕ.

2.11. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ С ФИКСИРОВАННЫМ ЧИСЛОМ НЕНУЛЕВЫХ ДИАГОНАЛЕЙ.

2.12. ВЫВОДЫ

ГЛАВА 3 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМАХ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ УБИС.

3.1. ОСОБЕННОСТИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ООП.

3.2. ВЫБОР ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

3.3. ПЕРЕЧЕНЬ КЛАССОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ «КИПАРИС».

3.4. ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 4 РЕШЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ.

4.1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ.

4.2. ВЫВОДЫ.

Непрерывное усложнение задач, решаемых с помощью систем автоматизированного проектирования больших интегральных схем,'требует разработки новых эффективных методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и приводящим к системам линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей коэффициентов.

Так, уменьшение характерных размеров элементов ИС и увеличение их быстродействия приводит к необходимости существенного усложнения математических моделей полупроводниковых элементов с одной стороны и необходимости учета паразитных связей. Это в свою очёредь приводит к появлению как очень больших,, так и очень малых эквивалентных проводимостей, что значительно увеличивает жесткость получаемой системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих такую сложную систему, как ИС. При значительной жесткости системы и конечной разрядности вычислений, используемых в процессе решения, стандартные методы решения жестких систем оказываются неэффективными. Например, в методе узловых потенциалов, использующемся последние тридцать лет для формирования математической модели ИС, эта жесткость проявляет себя в наличии как очень больших, так и очень малых эквивалентных проводимостей. Источником такого рода проводимостей являются резисторы, дискретизированные модели проводимостей конденсаторов Ус=с/Л, элементов у А) индуктивности Уь=Ь/Ь, р-п переходов ~~ехР

Фт

Рт ;

Здесь Л - шаг интегрирования, с- емкость коденсатора, Ь- величина индуктивности, 9т температурный потенциал. Величина ехР может быть

Ут очень большой даже при небольших значениях и, следовательно, очень большой будет и величина У

Решение системы линейных алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов, имеющих значительный разброс по величине, представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу, сложность которой возрастает с ростом числа обусловленности системы. Решение таких систем с помощью существующих численных методов требует значительных вычислительных ресурсов, либо экономически не целесообразно.

Поэтому разработка новых методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение ИС, в том числе и приводящим к системам линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами коэффициентов, является актуальной задачей для систем автоматизированного проектирования.

Автоматизация проектирования позволяет добиться значительного снижения удельного веса экспериментальных исследований на всех этапах и уровнях проектирования сложных электронных устройств. При этом используются подсистемы

- б функционально-логического, схемотехнического и топологического проектирования, связанные между собой обратными связями на различных уровнях для ф верификации проекта. Схемотехническому проектированию отводится важная роль при разработке элементной базы микроэлектронной аппаратуры и отработке базовых элементов радиоэлектронных систем.

С помощью программ схемотехнического моделирования можно провести анализ и оптимизацию параметров линейных схем во временной и частотной областях, нелинейных схем во временной области, линеаризовать исходную нелинейную схему и провести частотный анализ. Основным результатом этих программ для нелинейных схем является расчет переходного процесса, который необходим при моделировании большого числа схем. Использование систем схемотехнического моделирования в процессе проектирования ИС обеспечивает разработку принципиальных электрических схем на хорошем техническом и технологическом уровне.

Проблеме схемотехнического моделирования СБИС и УБИС в последнее время уделяется много внимания как в России, так и за рубежом [1-27]. Не смотря на интенсивные исследования, проводимые в данной области, ряд проблем остаются неразрешенными. Одной из таких проблем остается проблема плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), возникающих в процессе схемотехнического моделирования. Данная проблема особенно обострилась в последнее время, в связи с постоянным уменьшением размеров элементов УБИС и, как следствие, необходимостью учитывать в процессе моделирования влияние межсоединений на работу схемы.

Решение системы линейных алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов, имеющих значительный разброс по величине, представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу, сложность которой возрастает с ростом числа обусловленности системы. Решение таких систем с помощью существующих численных методов требует значительных вычислительных ресурсов, что зачастую экономически не целесообразно.

Целью работы являлась разработка методов решения систем линейных алгебраических уравнений, которые при использовании в системах схемотехнического моделирования удовлетворяют следующим требованиям:

• обеспечивают решение систем линейных алгебраических уравнений с приемлемой точностью; л

• значительно сокращают вычислительные затраты при решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами коэффициентов по сравнению с традиционными итерационными методами решения систем линейных алгебраических уравнений;

• при решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами

I коэффициентов требуют вычислительных затрат сравнимых с затратами, требующимися при использовании традиционных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений

• не требуют большого объема дополнительной памяти. Научная новизна.

1) Впервые для численного решения систем ! нелинейных дифференциальных уравнений, описывающей поведение БИС при схемотехническом моделировании, предложены итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений на основе спектрально ленточных эквивалентных операторов. '

2) Впервые для численного решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающей поведение БИС при схемотехническом моделировании, в качестве епектральне эквивалентных операторов предложено иепользовать перенумерованные епределенньш образом ленточные аппроксимации матрицы Якобй.

3) Впервые, в системах схемотехнического моделирования ИС предложен метод обращения ленточных матриц на оенове сингулярного разложения, учитывающий структуру исходной матрицы и позволяющий существенно сократить вычислительные затраты на обращение ленточной ■матрицы.

Практическая значимость результатов работы заключается в:

• разработке алгоритмического 1 и программного обеспечения для расчета статических и динамических характеристик ' БИС при их схемотехническом моделировании;

• разработке алгоритмического и программного обеспечения для решения разреженных систем СЛАУ в системе схемотехнического моделирования КИПАРИС.

Работа включает в себя четыре главы и 1 приложения.

В первой главе дан обзор классических и современных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены особенности СЛАУ, возникающих в процессе схемотехнического моделирования ИС. С учетом этих особенностей рассмотрены различные пути сокращения вычислительных затрат при решении СЛАУ с системах: . схемотехнического моделирования ИС.

Во второй главе проведен анализ причин «плохой» обусловленности СЛАУ, возникающих в процессе схемотехнического моделирования ИС. Предложены итерационные методы решения СЛАУ в системах схемотехнического моделирования ИС с использованием ленточных спектрально эквивалентных операторов для решения «плохо» обусловленных СЛАУ. Разработан алгоритм быстрого обращения ленточных матриц, которое необходимо при решении СЛАУ методом спектрально эквивалентных операторов.

В третьей главе рассмотрены вопросы, связанные с программной реализацией разработанных алгоритмов.

Подробно рассмотрена библиотека классов, использованных при разработке системы схемотехнического моделирования «КИПАРИС» для решения СЛАУ методами, разработанными в данной работе.

В четвертойой главе представлены результаты моделирования тестовых электронных схем в системе схемотехнического моделирования «КИПАРИС» с использбваниём различных мёФбдоё решения СЛАУ. Полученные результаты позволяют говорить о высокой эффективности разработанных в данной работе алгоритмов.

В заключении отражены основные резульФаФЫ рабОФы, выводы и рекомендации пб применению разраббтанных алгоритмов й программ.

Основные результаты работы бпубликованы в восьми печатных работах [28-35]. Результаты диссертации были представлены и обсуждены на Межвузовской научно-технической конференции "Микроэлектроника и информатика-9б", в г.Москве 1996г., Межвузовской научно-технической конференции "Микроэлектроника и информатика-97", в г.Москве 1997г., Межвузовской научно-технической конференции "Микроэлектроника и информатика-98", в г.Москве 1998г. Межвузовской научно-технической конференции "Микроэлектроника и информатика-99", в г.Москве 1999г.

РезульФаФМ работы нашли применение при проектировании электронных схем ряда предприятий и

4.2.ВЫВОДЫ.

В четвертой главе приведены результаты моделирования ряда электронных схем с помощью системы схемотехнического моделирования "КИПАРИС". Результаты моделирования позволяют сделать следующие выводы.

1. При моделировании электронных схем, характеризующихся "хорошей" обусловленностью СЛАУ, скорость сходимости обоих из представленных методов идентична скорости сходимости метода Якоби.

2. При моделировании электронных схем, характеризующихся "плохой" обусловленностью СЛАУ, скорость сходимости обоих из представленных методов значительно превосходит скорость сходимости метода Якоби и мало зависит от числа обусловленности системы.

3. Усложнение математической модели схемы, в частности, введение фиктивных емкостей, с целью уменьшения числа обусловленности возникающих СЛАУ приводит к замедлению расчетов с использованием предложенных алгоритмов из^за роста числа шагов интегрирования в процессе численного решения математической модели схемы.

4. При использовании метода на основе многодиагональной матрицы предопределителя достигается лучшая аппроксимация матрицы коэффициентов спектрально эквивалентным оператором, чем при использовании метода на основе многократного применения трехдиагональной матрицы.

5. При использовании использовании метода на основе многодиагональной матрицы предопределителя для решения СЛАУ в процессе моделирования МОП БИС число

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении выделим основные результаты данной работы:

1. В работе рассмотрены общие вопросы схемотехнического моделирования УБИС.

2. Проведен обзор классических и современных методов решения СЛАУ.

3. Выявлены причины «плохой» обусловленности СЛАУ, возникающих в процессе схемотехнического моделирования ИС, которая приводит к снижению точности полученного решения и/или увеличению вычислительных затрат при решении СЛАУ.

4. Показано, что классические методы непригодны для решения «плохо» обусловленных СЛАУ.

5.Предложены итерационные методы спектрально эквивалентных операторов для решения «плохо» обусловленных СЛАУ в системах схемотехнического моделирования.

6.Разработан метод вычисления обратной матрицы на основе сингулярного разложения для ленточных матриц, учитывающий структуру этих матриц.

7.Предложены модификации разработанного метода вычисления обратной матрицы на основе сингулярного разложения для ленточных матриц, позволяющие сократить вычислительные затраты на вычисление обратной матрицы.

8.Разработана библиотека классов на языке С++ для решения СЛАУ в системе схемотехнического моделирования "КИПАРИС".

9.Представлены результаты расчета ряда схем с использованием различных методов решения СЛАУ.

10. Проведено сравнение результатов работы разработанных алгоритмов с ранее существующими и сделан вывод о высокой эффективности разработанного математического, алгоритмического и программного обеспечения.

Разработанные методы и алгоритмы решения СЛАУ позволяют существенно снизить вычислительные затраты и затраты дополнительной оперативной памяти прирасчете статического и динамического режимов электронных схем. В Свою очередь это приводит , к сокращению сроков проектирования, улучшению качества проектирования, повышению размерности проектируемых схем.

Разработанная библиотека классов для решения систем линейных алгебраических уравнений может быть использована в системах схемотехнического моделирования СБИС и УБИС для моделирования электронных схем как по постоянному току, так и во временной области.

1. Автоматизация проектирования БИС. В 6 кн. Практ. пособие. Кн.1. Казенно'в Г. Г., Соколов А. Г., Принципы и методология построения САПР БИС// М, Высшая школа, 1990 г.

2. G. Chin, W. Dietrich, Jr, D. Boning, A. Wong, A. Meureuther, R. Dutton, Linking TCAD to EDA -Benefits and Issues.// Proceedings of the 28th ACM/IEEE Design Automation Conference, 1991, pp. 573-578.

3. Y.H. Shih, S.M. Kang ILL IADS: A New Fast MOS Timing Simulator.// Proceedings of the 28th ACM/IEEE Design Automation Conference, 1991, pp. 20-25.

4. M.P. Chew, A. Strojwas, Utilizing Logic Information in Multi-Level Timing Simulator.// Proceedings of the 28th ACM/IEEE Design Automation Conference, 1991, pp. 215-218.

5. A.D. Stein, T.V. Nguyen, B.J. George, R.A. Rohrer, ADAPTAS A Digital Trancient Simulation Strategy for Integrated Circuits.// Proceedings of the 28th ACM/IEEE Design Automation Conference, 1991, pp. 26-31.

6. J.V. Briner, Jr, J.L. Ellis, G. Kedem, Breaking the Barrier of Parallel Simulation of Digital Systems .// Proceedings of the 28th ACM/IEEE Design Automation Conference, 1991, pp. 223-226.

7. B. Tutuianu, F. Dartu, L.Pileggi, An Explicit RC-Circuit Delay Approximation Based on the First Three Moments of the Impulse Response.// Proceedings of the 33rd Design Automation Conference, DAC96-06/96, Las Vegas, NV, USA

8. F. Dartu, B. Tutuianu, L.Pileggi, RC-Interconnect Macromodels for Timing Simulations.// Proceedings of the 33ra Design Automation Conference, DAC96-06/96, Las Vegas, NV, USA

9. B. Basaran, R.A. Rutenbar, An 0(n) Algorithm for Transistor Stacking with Performance Constrains.// Proceedings of the 33rd Design Automation Conference, DAC96-06/96, Las Vegas, NV, USA

10. C. Borchers, L. Hedrich, E. Barke, Equation-Based Behavior Model Generation for Nonlinear Analog Circuits //Proceedings of the 33ra Design Automation Conference, BAC96-D6/96, Las Vegas, NV, USA

11. A.B. Kahng, S. Muddu, Analysis of RC Interconnections Under Ramp Input.// Proceedings of the Design Automation Conference, DAC96-06/96, Las Vegas, NV, USA

12. J. Roychowdhury, Efficient Methods for Simulating Highly Nonlinear Multi-Rate Circuits.// Proceedings of the 34th Design Automation Conference, DAC-97.

13. F. Dartu, L.Pileggi, TETA: Transistor-Level Engine for Timing Analysis.// Proceedings of the

14. Design Automation Conference, DAC98-08/98, San Francisco, CA, USA

15. M. Nemani, F. Najm, Delay Estimation of VLSI$

16. Circuits from High-Level View.// Proceedings of the Design Automation Conference, DAC98-08/98, San Francisco, CA, USA

17. L.Carro, M. Negreiros, Efficient Analog Test Methodology Based on Adaptive Algorithm.// Proceedings of the Design Automation Conference, DÄC98-08/98, San Francisco, CA, USA

18. Y. Kukimoto, R.K. Brayton, Hierarchical Timing Analysis.//Proceedings of the Design Automation Conference, DAC98-08/98, San Francisco, CA, USA

19. D.L. Dill, What's Between Simulation and Formal Verification.// Proceedings of the Design Automation Conference, DAC98-08/98, San Francisco, CA, USA

20. N. Nassif, M.P. Desai, Robust Elmore Delay Models Suitable for Full Chip Timing Verification of a 600 MHz CMOS Microprocessor.// Proceedings of the Design Automation Conference, DAC98-08/98, San Francisco, CA, USA

21. R.W. Freund, P. Feldmann, Reduced-Order modeling of Large Passive Linear Circuits by Means of the SyPVL Algorithm.//Proceedings of the ICCAD' 96.

22. D. Van Campenhout, T. Mudge, K. Sakallah, Timing Verification of Sequential Domino Circuits.//Proceedings of the ICCAD'96.

23. V. Narayanan, B.A. Chappel, B.M. Fleischer, Static Timing Analysis for Self Resetting Circuits. //Proceedings of the ICCAD'96.

24. L. Miguel Silveria, M. Kamon, I. Elfabel, J. White, A Coordinate-Transformed Arnodi Algorithm for Generating Guaranteed Stable Reduced-Order Models of RLC-Circuits. //Proceedings of the ICCAD'96.

25. T.V. Nguyen, A. Devyn, A. Sadigh, Simulationjof Coupling Capacitances Using Matrix Partitioning.//Proceedings of the ICCAD'98.

26. J. Roychowdhury, Reduced-Order Modeling of Linear Time-Varying Systems.// Proceedings of the ICCAD'98.

27. P.J. Phillips, Model Reduction of Time-Varying Linear Systems Using Approximate Multipoints Krylov-Subspace Projectors.// Proceedings of the ICCAD'98.

28. Макаров C.B., Куликов O.A., Гаврилов M. С., Кокин С.А., Перминов В.Н. Моделирование динамических систем большой размерности.//9

29. Микроэлектроника и информатика-96. Межвузовская научно-техническая конференция. Тезисы докладов, М., МИЭТ, 1996,стр. 40.

30. Макаров C.B., Куликов O.A., Гаврилов М.С., Кокин С.А., Перминов В.Н. Агрегативный подход к построению постпроцессоров.// Микроэлектроника и информатика-96. Межвузовская научно-техническая конференция. Тезисы докладов, М., МИЭТ, 1996,стр. 41.

31. Куликов O.A., Перминов В.Н. Проблема сходимости методов решения СЛАУ для плохо обусловленных систем в системах схемотехнического моделирования и пути ее решения//

32. Микроэлектроника и информатика-98. Межвузовская научно-техническая конференция. Тезисы докладов, М., МИЭТ, 1998,стр. 36.ф

33. Куликов O.A., Макаров C.B., Перминов В.Н., Процедура сингулярного разложения матриц специального вида в системах схемотехнического моделирования СБИС.^/Изв. Вузов. Электроника.-1999.4.-с.33-40. !

34. A.DeGeus, SPECS: Simulation Program for Electronic Circuits and Systems, Proc. IEEE Int Symp. on Circ. and Sys., pp 534- 535, May 1984.

35. L.W.Nagel,SPICE2: A Computer Program to Simulate Semiconductor Circuits// Electronics Research Laboratory Rep. No ERLM520, University of California, Berkley, May 1975.

36. E.Lelarasmee, A.E.Ruehli, A.L.Sangiovanni-Vincentelli, Waveform Relaxation Method for Time

37. Domain Analysis of Large Scale Integrated Circuits// IEEE Trans, on CAD of IC and Sys.,

38. R. A. Saleh, J.E. Kleckner and A. R. Newton, Iterated Timing Analysis and Splicel// International Conference on Computer Aided Design, Santa Clara, CA. 1983.

39. Newton A. R. Techniques for the Simulation of Large-Scale Integrated Circuits. //IEEE Transaction on Circuits and Systems,1979, vol.9, pp. 741-749. |

40. C.A. Desoer, E.S. Kuh, Basic Circuit Theory,// McGraw-Hill, 1969.

41. W.J. McCalla, Computer-Aided Circuit Simulation Techniques// Kluwer Academic Publishers, Boston, MA. 1988.

42. J. White, The Multirate Integration Properties of Waveform Relaxation, with Application to Circuit Simulation and Parallel Computation// Ph.D.dissertation, University of California, Berkeley, ERL Memo. No USB/ERL 85/90, Nov.1985.

43. Влах И., Сингхал К., Машинные методы анализа и проектирования электронных схем// Пер. с англ.-М.: Радио и связь, 1988.ф

44. З.М.Бененсон, М.Р. Елистратов, А.К. Ильин и др., Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств.//Под ред. З.М.Бененсона.-М.: Радио и связь, 1981

45. Автоматизация схемотехнического проектирования: Учеб. пособие для вузов/В.H. Ильин, В.Т.Фролкин, А.И. Бутко и др. ; Под ред. В.Н.Ильина.- М.: Радио и связь,1987.

46. Ильин В.Н., Коган B.JT. Разработка и применение программ автоматизированного схемотехнического проектирования. М.:Радио и связь,1984.

47. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, В.P. Flannery Numerical Recipes in Fortran 77. The art of Scientific computing. Cambridge University Press, 1992, pp. 376-386.

48. Dennis, J.E, and Shnabel, R.B., Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations// Ënglewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1983., p. 177.

49. J.S. Roychowdhury, R.C. Melville, Homotopy techniques for obtaining a DC Solution of large-scale MOS Circuits// Proceedings of the DAC 9606/96, LasVegas, NV, USA.

50. J.E. Dennis, Jr and Jorge J. More, QuasiNewton methods, motivation and theory.// SÏÀM Rewiew Vol 19 1,1977. pp 46-89

51. Broyden, C.G A class of methods for solving, nonlinear simulation eguations// Mathematics of computation, 1965, vol. 19 pp.577-593

52. Treanor C.E. A method for the numerical integration of coupled first-order differential equations with greatly different time constant. -Math. Сотр., 20, pp. 39-45, 1966.

53. Axelsson 0. A class of A-stable methods. BIT, 9, pp. 185-199, 1969.

54. Д. Канахер, К. Моулер, С. Нэш. Численные методы и математическое обеспечение: пер. с англ. М. Мир, 1998 - стр. 320-400.

55. Автоматизация проектирования БИС. В 6 кн. Практ. пособие. Кн.З. В. В Ермак В.Н. Перминов, А. Г. Соколов, Рабочие станции в проектировании БИС /под ред. Г.Г. Казеннова. М. : Высш. шк.,1990 г.

56. Л.О.Чуа, Пен-Мин Лин. Машинный анализ алгоритма и вычислительные методы электронных1.\

57. Казеннов Г.Г., Соколов А.Г. Основы построения САПР и АСТПП.- М., "Высшая школа", 1989. 200 стр.

58. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений.// Пер. с англ., М.: Мир, 1980. 291 стр.

59. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков Численные методы М., Наука, 1987.

60. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ., М. : Мир, 1985. - 509 стр.

61. Zhao Jian-Ping, Hu Jian-Dong A new iterative method for solving linear equations// IEEE 8,1986 p. 949-950

62. E.JI. Глориозов, В.Г. Ссорин, П.П. Сыпчук, Введение в автоматизацию схемотехнического проектирования. М., Наука, 1976 с. 42-54.

63. С. Писсанецки, Технология разреженных матриц. пер. с англ. М., Мир,1988.

64. R. Barret, М. Berry, Т. F. Chan, J. Demmel, J. M. Donato, J. Dongarra, V. Eijkhout, R. Pozo, Ch. Romine, H. Van der Vorst, Templates for solution of linear systems. Building blocks for iterative methods// SIAM, 1994, p. 9.

65. Г.И. Марчук, B.B. Шайдуров Повышение точности решения разностных схем М., Наука, 1979, стр. 278-285

66. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. 1980 г. стр. 322.

67. В. В. Воеводин Вычислительные основы линейной алгебры, М., Наука, 1977г.

68. Уилкинсон, Райнш Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра пер. с англ., М, "Машиностроение", 1976. стр. 125-129.

69. М129 453 394 485 484 #B M599 0 369 197 484 #В

70. MIJO 0 39b 4 53 484 #B M6Ü4 199 368 455 484 *В

71. M131 436 395 48 5 484 #B M605 0 370 199 484 #в

72. MI 32 0 394 436 484 #B M614 г. 367 369 404 #в

73. Mi 40 34 396 395 484 #B M615 0 371 20 2 484 #В

74. MI 41 0 393 34 4 84 M626 205 362 363 484 #R

75. M150 37 397 393 484 #B » M627 0 471 205 484 #В

76. MI 51 0 394 37 484 #B M636 208 365 471 484 #В

77. M156 39 395 392 484 #B M637 0 364 208 484 #В

78. MI 57 0 397 39 A Ci Л 4<J*t #B M642 210 vo 476 404 #В

79. M166 42 396 394 484 #B M643 0 365 210 484

80. MI 67 0 398 42 484 #B M652 213 362 364 484 #в

81. M173 44 470 474 484 #B M653 0 366 213 484 #в

82. M174 0 471 44 484 #B M657 216 456 452 484 #в

83. MI 76 45 475 474 484 #B M658 0 447 216 484 #в

84. MI "77 0 476 45 404 #B M662 217 460 л л П Чч 1 404 #в

85. MI 80 47 479 4 80 4 84 #B M663 0 452 211 484 #в

86. M181 0 476 47 484 #B M674 220 357 358 484 #в

87. M183 48 481 480 484 #B M675 0 417 220 484 #в

88. MI 8 4 0 471 48 484 #B M684 223 360 417 484 #в

89. MIS 5 50 457 415 484 #B M6S5 0 359 223 484 §в

90. MI 06 0 452 50 404 #B M690 О о с ¿LíL-J 350 441 404 #в

91. M190 52 467 481 484 #B M691 0 360 225 484 #в

92. MI 91 0 452 52 484 #R M700 228 357 359 484 #R

93. M199 55 466 468 484 #B M701 0 361 228 484 #в

94. M200 0 455 55 484 #B M712 231 352 353 484 #в

95. M436 150 387 388 484 #B M713' 0 435 231 484 #в

96. M437 0 413 150 404 #B M722 234 355 435 404 #в

97. M4 4 6 153 390 413 484 #B M723 0 354 234 484 #в

98. M447 0 389 153 484 #R M728 236 353 437 484 #R

99. M452 155 388 440 484 #B M729 0 355 236 484 #в

100. М4ЬЗ 0 390 155 484 #B MY38 239 352 354 484 #в

101. M462 158 387 389 4B4 #B M739 0 356 239 484 #в

102. M463 0 391 150 404 #B M150 242 347 340 404 #в

103. M474 161 382 383 484 #B M751 0 418 242 484 #в

104. M47 5 0 41 4 1 61 484 #B M760 245 350 418 484 #R

105. M484 164 385 414 484 #B M761 0 349 245 484 #в

106. M485 0 384 164 484 #B M/66 24 / 348 445 484 #в

107. M4 90 166 383 446 484 #B M767 0 350 241 484 #вi M491 0 305 166 404 #B M776 250 347 349 404 #вj M500 169 382 384 484 #B M777 0 351 250 484 *в

108. M501 0 386 169 484 #R M788 253 342 343 484 #R

109. M512 172 377 378 484 #B M789 0 419 253 484 #в

110. МЫЗ a 460 172 484 #B M/98 256 34b 419 484 #в

111. M522 175 380 460 484 #B M799 0 344 256 484 #в

112. M523 0 379 175 484 #B M804 258 343 444 484 #в

113. M528 177 378 415 484 #B M805 0 345 258 484 №

114. M529 0 380 177 484 #R M814 261 342 344 484 #R

115. M538 180 377 379 484 #B M815 0 346 261 484 #в

116. M539 0 381 180 484 #B M826 264 337 338 484 #в

117. M550 163 372 373 484 #B M827 0 420 264 484 #в

118. M551 0 465 183 404 ЯВ МО 36 267 340 420 404 #в

119. M560 186 375 4 65 484 #B M837 0 339 267 484 #в

120. M561 0 374 186 484 #B M842 269 338 443 484 #в

121. M566 188 373 466 484 #B M843 0 340 269 484 #в

122. M567 0 375 188 484 #B M852 272 337 339 484 #в

123. M576 191 372 37 4 484 #B M853 0 341 272 484 #в

124. M577 0 376 191 404 #B МО 5 7 442 437 405 404 #в

125. M588 194 367 368 484 #B M858 0 435 442 484 #в

126. МБ 8 9 0 41 6 1 94 484 #B M866 275 332 333 484 #R

127. Ml 003 i 321 314 32 1 404 #EMК

128. М1010 319 315 319 484 #EMK Ml 04 4SI 26 4S1 484 #KMK M109 470 28 470 484 #EMK1. M114 479 29 479 484 #EMK1. Ml 19 472 30 4/2 484 #EMK1. M124 477 31 477 484 #EMK1. Ml 37 396 32 396 404 #EMK1. Ml 43 395 33 395 484 #EMK

129. Ml 47 397 35 397 484 #F.MK1. M153 393 36 393 484 #EMK1. Ml 59 392 38 392 484 #EMK1. Mi 63 398 40 398 484 #EMK1. Ml 70 394 41 394 404 #EMK

130. M310 102 1 00 1 02 484 #F.MK1. M311 103 101 103 484 #EMK

131. M41 ?. 144 14? 144 484 #F,MK1. M413 145 143 145 484 #EMK1. M433 387 148 38/ 484 #EMK1. M439 388 149 388 484 #EMK1. K443 390 151 390 404 #EMK1. M449 413 152 413 484 #EMK

132. M51 9 380 173 380 484 #F,MK1. M525 460 174 460 484 #EMK1. М531 415 176 415 484 #ЕМК1. МЪЗЪ 381 1/8 381 484 #ЕМК1. М542 379 179 379 484 #ЕМК

133. М547 372 101 О 1 í. 404 #ЕМК1. М553 373 182 373 484 #ЕМК

134. М557 375 1 84 375 484 #F.MK1. М563 465 185 465 484 #ЕМК1. М569 466 187 466 484 #ЕМК

135. М 645 476 209 476 404 #ЕМК1. М649 366 211 366 484 #ЕМК

136. М656 364 212 364 484 #F.MK1. М661 452 214 452 484 #ЕМК1. М666 447 215 447 484 #ЕМК1. М671 357 218 357 484 #ЕМКти 350 219 350 404 #ЕМК1. М681 360 221 360 484 #ЕМК

137. М687 417 222 41 7 4R4 #FMK1. М693 441 224 441 484 #ЕМК

138. М69 / 361 226 361 484 #ЕМК1. М704 359 227 359 484 #ЕМК

139. М709 352 229 ■ 352 404 #ЕМК1. М715 353 230 353 484 #ЕМК

140. М71 9 355 232 355 484 #ЕМК1. М725 435 233 435 484 #ЕМК1. М731 437 235 43/ 484 #ЕМК1. М735 356 237 356 464 #ЕМК1. М742 354 230 354 404 #ЕМК1. М747 347 240 347 484 #ЕМК1. М753 348 241 348 484 #КМК1. М757 350 243 350 484 #ЕМК1. М763 418 244 418 484 #ЕМК

141. М769 445 246 445 484 ttEMK1. М773 351 248 351 484 #ЕМК1. М780 349 249 349 484 #ЕМК1. М785 342 251 342 484 #ЕМК1. М791 343 252 343 484 #ЕМК1. М795 345 254 345 484 #ЕМК

142. МвО 1 419 255 419 464 #ЕМК

143. МО 07 444 257 444 404 #ЕМК1. М811 346 259 346 484 #ЕМК1. М818 344 260 344 484 #ЕМК1. М823 337 262 337 484 #ЕМК1. М829 338 263 338 484 #ЕМК1. М833 340 265 340 484 #ЕМК

144. МО 39 420 266 420 404 #ЕМК1. М845 443 268 443 484 #ЕМК1. М849 341 270 341 484 #тк1. М856 339 271 339 484 #ЕМК1. М863 332 273 332 484 #ЕМК1. М869 333 274 333 484 #ЕМК1. М873 335 276 335 484 #ЕМК

145. МЗЗО 112 106 112 404 #Е ОС1. М355 119 113 119 484 #ЕОС

146. М1002 314 485 485 i 484 #G

147. M665 215 405 405 CO "Ч1 #G1. M669 218 485 485 484 #G1. M673 21 9 485 485 484 #G1. M680 221 485 485 484 #G1^683 222 485 485 484 #G1. M689 224 485 485 484 #G1. M6 96 226 485 485 484 #G