автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Разработка математических моделей и методов расчета устойчивости электрических систем

ВВВДЕНИЕ

Глава I. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

1.1. Введение

1.2. Расчет электромеханических переходных процессов явными методами численного интегрирования

1.2.1. Одношаговые методы интегрирования

1.2.2. Многошаговые методы интегрирования

1.3. Расчет электромеханических переходных процессов неявными методами численного интегрирования

1.4. Системные методы численного интегрирования

1.5. Блочные и гибридные методы численного интегрирования

1.6. Способы автоматического изменения шага при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах

1.7. Сравнительный анализ методов численного интегрирования, применяемых для расчета переходных процессов в электрических системах.

1.8. Выводы

Глава 2. ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ И ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Е ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

2.1. Введение

2.2. Устойчивость методов численного интегрирования

2.3. Погрешность численного решения, возникающая при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах

2.3.1. Погрешность методов численного интегрирования

2.3.2. Погрешность округления ЦВМ при расчете переходных процессов в электрических системах.

2.4. Полная погрешность численного решения при расчете длительных электромеханических переходных процессов в электрических системах

2.5. Выводы.

Глава 3. ОЦЕНКА ПОЛНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНО ПРОЦЕССА ПРИ РАСЧЕТЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ .----. Ю

3.1. Введение

3.2. Влияние относительного активного сопротивления генераторов и сети на точность расчетов при применении полных и упрощенных уравнений Парка-Горева

3.3. Влияние момента отключения КЗ на достоверность результатов расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах.

3.4. Оценка полной погрешности расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах при больших возмущениях

3.5. Оценка полной погрешности расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах при малых возмущениях

3.6. Выводы. J4Q

Глава 4. РАСЧЕТЫ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В СДСЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТШАХ ОДНОВРМЕННЫМ

РШЕШШ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Введение

4.2. Способы одновременного решения систем диф -ференциальных и алгебраических уравнений

4.2.1. Одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием формул прогноза и коррекции

4.2.2. Одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием неявных методов численного интегрирования.

4.2.3. Одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений, основанное на применении формулы дифференцирования назад. X5I

4.3. Учет слабой заполненности матрицы при одновременном решении дифференциальных и алгебраических уравнений.

4.4. Расчет электромеханических переходных процессов в электрических системах раздельным и одновременным решением дифференциальных и алгебраических уравнений

4.5. Выводы

Основное направление развития народного хозяйства СССР неразрывно связано с ростом потребления электрической энергии. Вследствие этого мощность энергетических систем непрерывно растет. Преимущества создания мощных энергетических систем и их объединений, как известно, состоят в повышении надежности и улучшении качества электроэнергии, что в первую очередь обеспечивается сохранением устойчивой работы электрических систем . Обеспечение устойчивости энергосистем является также важной задачей при проектировании и эксплуатации. Объясняется это тем, что нарушение устойчивости может привести к полному развалу энергосистемы. Поэтому, одной из основных проблем с которой сталкиваются инженеры энергетики является расчет переходных процессов в электроэнергетических системах, обеспечивающий получение достоверного и точного результата при минимальных затратах времени счета на ЦВМ.

Анализ устойчивости электрических систем требует общего математического описания происходящих процессов. Причем, для получения достоверных результатов, соответствующих реальной физической природе исследуемого явления, необходимо выбрать стровую математическую модель [ 1,7-и] . Обычно различают три типа математических моделей, называемых моделями кратковременных переходных процессов, моделями процессов средней длительности и процессов большой длительности. В моделях кратковременных переходных процессов детально воспроизводятся малоинерционные электрические элементы системы, процессы в которых практически происходят мгновенно. В моделях, в которых описываются процессы средней и большой длительности, основное внимание уделяется низкочастотным процессам, которые длятся до 10 с и более.

Существует четыре пути применения математического моделирования б задачах электроэнергетики. Первый путь заключается в создании специальных программ и алгоритмов для решения задач на типовых ЦВМ, которые получили уже широкое применение при решении различных электроэнергетических задач и, несомненно, их дальнейшее применение получит еще больший размах. Второй путь заключается в разработке и создании специализированных цифровых машин и методов решения конкретных задач, отвечающих определенным условиям и описываемых определенным классом уравнений. Сюда можно отнести кибернетическое моделирование и различные виды обобщенного моделирования [ 12,13] . Третий путь - создание гибридных устройств - аналогово-цифровых моделей, которые могут быть как универсальными, так и специально приспособленными к задачам электроэнергетики. Четвертый путь - создание и построение графовых моделей, мысленных структурных моделей и т.д. [ II] .

В связи с укрупнением энергосистем часто приходится проводить расчеты большого числа переходных режимов, исследуя влияние на устойчивость, например, типа и места приложения возмущения, автоматических переключений, параметров доаварийного режима системы, а также характеристик сети, генераторов, систем регулирования [5,8,14-21] . Это затрудняет анализ работы энергосистем даже при использовании быстродействующих вычислительных машин. Для больших электрических систем, процессы в которых описываются тысячами нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений, расчет одного переходного процесса может потребовать несколько часов машинного времени современной мощной ЦВМ. Поэтому поиск более эффективных методов расчета представляет большой интерес. Кроме того, разные задачи, возникающие при исследовании переходных процессов и устойчивости энергосистем, требуют разной степени идеализации отдельных объектов в исходной системе.

Как правило, расчеты электромеханических переходных процессов не могут гарантировать полного совпадения результатов расчета с действительностью. Поэтому, в зависимости от конкретно поставленной задачи, сложности исследуемой электрической системы, точности задания исходной информации инженеру необходимо производить расчет с разными допущениями и соответственно разной глубиной математического описания. Несомненно, наиболее сложным и существенным элементом общей модели электрической системы является модель генератора, процессы в котором описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений [1,4,16,22-29] . Причем, в зависимости от конкретно поставленной задачи, переходные процессы должны.описываться моделями разного класса точности, так как при расчете устойчивости электрических систем правильный выбор класса применяемой модели может привести к более строгому и точному результату.

Существуют различные способы анализа устойчивости нелинейных систем. Е простейшей энергосистеме характер относительного движения ротора генератора можно установить без решения системы дифференциальных уравнений применением способа площадей. Этот способ дает возможность определения предельного угла и времени отключения КЗ, в зависимости от места и характера возмущения, то есть он используется для качественной оценки устойчивости простейшей энергосистемы. Однако, если исследуемая энергосистема содержит более двух станций, то применение способа площадей оказывается затруднительным и не является эффективным. Е таких случаях задачу следует решать либо строго обоснованными численными методами интегрирования [з0-40,44] либо применять Еторой метод Ляпунова как в малом, так и в большом [41-43] . Однако, отсутствие общих правил выбора и трудности нахождения функции Ляпунова в каждом конкретном случае, делают применение этого метода на данном этапе затруднительным.

Таким образом, следует уделять большое внимание прежде всего выбору строгой и точной математической модели, описывающей исследуемый переходный процесс, а также наиболее эффективным и надежным методам численного интегрирования, необходимым для расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. Однако правильный выбор математических моделей и численных методов, позволяющих с помощью ЦВМ быстро и достаточно точно получить ответ о поведении энергосистемы, является довольно важной , но трудной задачей.

Цель данной диссертационной работы заключается в разработке методики выбора математической модели энергосистемы и методов численного интегрирования, обеспечивающих получение достоверных и точных результатов, при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах, а также в комплексном подходе к оценке полной погрешности вычислительного процесса, включающей погрешность метода численного интегрирования, погрешность округления ЦВМ, погрешность от неточного задания исходной информации, и зависящая от длительности исследуемого процесса и параметров элементов электрической системы.

Существуют различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые за последние годы существенно совершенствовались. Их можно разделить на следующие основные категории: прямые (явные) и неявные, одношаговые и многошаговые [30-40, 44-53,68-70,73-89] . Однако обычно, как в промышленных программах ("УДАР", "КУ", "РАДИУС", "РЕЗУС" и др.), так и при исследовательских расчетах электромеханических переходных процессов в электрических системах, используются либо методы Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, либо методы прогноза и коррекции второго и третьего порядков. При этом величина шага интегрирования и точ -ность расчета задаются ориентировочно (интуитивно). Это приводит как к большим затратам машинного времени счета, так и в ряде случаев к неправильному результату. Поэтому, для получения достоверных и точных результатов, необходимо правильно выбрать метод численного интегрирования и шаг расчета, зависящие от постановки задачи, от/длительности исследуемого процесса, от параметров элементов электрической системы и класса решаемой задачи, то есть жесткости системы дифференциальных уравнений, описывающей исследуемый переходный процесс. Жесткость зависит от величин постоянных времени, входящих в систему дифференциальных уравнений, или более строго, от собственных значений матрицы Якоби решаемой системы и связана с диапазоном значений постоянных времени. Например, жесткость возрастает с ростом детализации моделирования синхронных машин (переходные постоянные времени на порядок выше сверхпереходных). Особым источником жесткости являются малые постоянные времени элементов систем регулирования мощности турбин и возбуждения генераторов.

В диссертационной работе предложена общая методика,обеспечи-ваюшдя правильный выбор метода численного интегрирования и шага расчета, позволяющие получить достоверный и точный результат при минимальных затратах времени счета на ЦВМ.

Особо важное значение имеет погрешность решения на каждом шаге интегрирования и устойчивость численного решения, характеризующая степень накапливания погрешности в процессе расчета. К основным источникам погрешности относятся: а) неточность формулы интегрирования, б) вычислительная неточность (вследствие ошибок округления), в) погрешность , вследствие неточного задания исходной информации. В литературе [ 1,31-36,51-53,БО-бб] подробно описано влияние этих факторов в отдельности на конечный результат. В данной же работе проведена комплексная оценка полной погрешности вычислительного процесса, включающей все виды погрешностей, в зависимости от класса решаемой задачи, длительности и характера исследуемого процесса, параметров элементов электрической системы и показана степень влияния отдельных факторов на полную погрешность результата.

В первой главе диссертационной работы проведен обзор методов численного интегрирования , наиболее часто применяемых при решении инженерных задач. На конкретном примере показаны преимущества и недостатки приведенных методов в зависимости от длительности исследуемого процесса. Даны рекомендации по выбору метода и шага расчета при решении конкретного класса задач. Рассмотрены различные способы автоматического изменения шага интегрирования и даны рекомендации по их применению для ускорения времени счета на ЦВМ.

Необходимо отметить, что в работах [ 37,51-55,68,77-79,85-89] проводилось сравнение методов интегрирования между собой. Однако в этих работах сравнивались лишь несколько методов между собой, а данные рекомендации не могут быть распространены на широкий класс решаемых задач.

Трудность , возникающая при попытке решить жесткую задачу, заключается в необходимости обеспечить устойчивость численного решения, которая определяет реализуемость алгоритма и характеризует степень накапливания ошибки в процессе вычислений [33,37-40, 45,46,69-73] .

Во второй главе диссертации показан способ анализа устойчивости и погрешности численного решения. Приведены условия и области устойчивости явных и неявных методов интегрирования. Предложена методика выбора метода численного интегрирования и шага расчета , обеспечивающих получение наиболее точного и достоверного результата при решении любого класса задач и любой длительности исследуемого процесса, а также показано влияние погрешности округления ЦВМ на погрешность численного решения в зависимости от порядка применяемого метода интегрирования, шага расчета и длительности исследуемого процесса.

В третьей главе диссертационной работы показано как влияет на достоверность и точность результатов расчета переходных процессов (как при больших так и при малых возмущениях) выбранная математическая модель, параметры элементов электрической системы, длительность и характер переходного процесса, а также неточное задание исходной информации. Даны рекомендации по правильному выбору математической модели, строго и точно описывающей электромеханические переходные процессы в электрической системе, в зависимости от конкретной постановки задачи. Показаны области применения полных и упрощенных уравнений Парка-Горева, а также влияние момента отключения КЗ и учет горения дуги в выключателе на достоверность результатов расчета. Разработана инструкция для широкого круга инженерных задач, позволяющая правильно выбрать метод численного интегрирования и шаг расчета (обеспечивающие получение достоверных и точных результатов при минимальных затратах машинного времени), в зависимости от класса решаемой задачи и длительности исследуемого процесса. Причем, основные выводы по выбору математических моделей и методов интегрирования, позволяющие получить достоверный результат при расчете переходных процессов в электрических системах, проверены экспериментально на электродинамической модели ЩИ. Результаты приведены в Приложении 6.

Обычно, при анализе электромеханических переходных процессов в электрических системах бывает необходимо решать систему как дифференциальных так и алгебраических уравнений. Традиционный подход, используемый практически во всех промышленных программах, заключается е раздельном решении систем дифференциальных и алгебраических уравнений [1,8,25,75-78] .

Е четвертой главе диссертации рассмотрены способы одновременного решения дифференциальных и алгебраических уравнений [30,38, 40,56,81,82] и показаны преимущества способа, основанного на применении неявных методов численного интегрирования, который оказывается наиболее эффективным при решении жестких систем уравнений высокого порядка, а также при исследовании длительных электромеханических переходных процессов в электрических системах. Показано влияние жесткости задачи и длительности исследуемого процесса на эффективность алгоритмов, учитывающих слабую заполненность матриц, когда применяется одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием неявных методов численного интегрирования. Даны рекомендации по применению различных способов упорядочения элементов слабозаполненных матриц в зависимости от порядка решаемой системы уравнений и длительности исследуемого процесса.

4.5. Выводы

1. При анализе переходных процессов в сложных электроэнергетических системах расчет рекомендуется вести совместным решением дифференциальных и алгебраических уравнений с применением неявных методов численного интегрирования. Это приводит к резкому сокращению времени счета на ЦВМ.

2. При одновременном решении дифференциальных и алгебраических уравнений сильно возрастает эффективность алгоритмов,учитывающих слабую заполненность матриц, так как при этом решаемая система уравнений оказывается высокого порядка, а число нулевых элементов составляет 85-90$ . Эффективность алгоритма, учитывающего слабую заполненность матриц возрастает при увеличении длительности исследуемого процесса.

3. Если система уравнений, бписывающая электромеханические переходные процессы в электрических системах, оказывается невысокого порядка, то при учете слабой заполненности матрицы нет необходимости применять метод динамического упорядочения элементов. Если же система оказывается высокого порядка, то эффективность метода динамического упорядочения возрастает.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По материалам диссертационной работы можно сделать следующие основные выводы:

1. Предложенная методика выбора метода интегрирования и шага расчета позволяет для любого класса решаемых задач и любой длительности исследуемого процесса получить устойчивое численное решение, ограничивающее степень накапливания ошибки в процессе расчета при анализе электромеханических переходных процессов в электрических системах, как при больших так и при малых возмущениях.

2. Приведен способ оценки погрешности численного решения, являющийся наиболее гибким и позволяющий производить анализ погрешности в процессе расчета. При этом показано, что на точность расчетов кроме погрешности самого метода интегрирования большое влияние оказывает погрешность округления ЦВМ, которая возрастает при уменьшении величины шага расчета.

3. Показаны области применения явных и неявных методов численного интегрирования в зависимости от жесткости и длительности решаемых задач, а также эффективность применения автоматического изменения шага расчета, производимое методом Мерсона. Даны рекомендации по выбору методов и шагов при решении конкретных задач.

4. Показано влияние относительного активного сопротивления генератора, а также момента отключения КЗ и учета горения дуги в выключателе на достоверность и точность результатов расчета переходных процессов по полным и упрощенным уравнениям Парка-Горева. При этом,полученные результаты были полностью подтверждены экспериментально.

5. Показано влияние неточного задания исходной информации, е частности активного сопротивления генератора на точность результатов расчета в зависимости от класса применяемой модели, а также характера и длительности исследуемого процесса,

6. Предложен способ одновременного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, описывающих переходные процессы в электрических системах с использованием неявных методов численного интегрирования. При этом резко возрастает эффективность алгоритмов, учитывающих слабую заполненность матриц. Такой подход при расчете переходных процессов в электрических системах приводит как к ускорению вычислений, так и к значительному уменьшению занимаемого объема памяти ЦВМ.

7. Разработана инструкция , пригодная для широкого круга инженерных задач, позволяющая выбрать метод и шаг расчета,обеспечивающие наиболее быстрое получение достоверных и точных результатов при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах.

1. Ееников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. - М.: Высшая школа, 1978, - 414 с.

2. Жданов П.С. Вопросы устойчивости электрических систем.--М.: Энергия, 1979. 456 с.

3. Маркович Н.М. Режимы электрических систем. М.: Энергия, 1959. - 350 с.

4. Pat M.A. ?wi j^tem rtaSility. Noetli Hollandand contul ¿eiief.„Toi. 3, Щ1. -251p.

5. Портной М.Г., Рабинович P.C. Управление энергосистемамидля обеспечения устойчивости. М.: Энергия, 1978. - 352 с.

6. Электрические системы. Управление переходными режимами электроэнергетических систем. Учебник /Веников В.А., Зуев Э.Н., Портной М.Г. и др. ; Под ред. В.А.Веникова. М.: Еысшая школа, 1982. - 247 с.

7. Рюденберг Р. Эксплуатационные режимы электроэнергетических систем и установок: Пер. с англ. /Под ред. К.С.Демирчяна- 3-е изд., перераб. Л.: Энергия. Ленингр.отд-ние, I960. - 578с.

8. Андерсон П и Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость: Пер. с англ./Под ред. Я.Н.Лугинского. М.: Энергия, 1980. - 568 с.

9. Веников В.А., Литкенс И.В. Математические основы теории автоматического управления режимами электрических систем. М.: Еысшая школа, 1964. - 202 с.

10. Автоматика электроэнергетических систем: Учебное пособие для вузов /О.П.Алексеев, В.Е.Казанский, В.Л.Козис и др.; Под ред. Е.Л.Козиса и Н.И.Обчаренко. М.: Энергоиздат, 1981. - 480 с

11. Веников Е.А., Ееников Г.В. Теория подобия и моделирования: Учебник для вузов по спец. "Кибернетика электр.систем".- 3-е изд. М.: Высш.школа, 1984. - 439 с.

12. Веников В.А., Суханов O.A. Кибернетические модели электрических систем: Учебн.пособие для вузов. М.: Энергоиздат, 1982. - 328 с.

13. Электрические системы. Кибернетика электрических систем /Под ред. В.А.Веникова. M«: Высшая школа ,1974. - 328 с.

14. Ееников В.А., Головицын Б.И., Лисеев М.С. и др. Математические методы и вычислительные машины в энергетических системах (обзор) /Под ред. В.А.Веникова. М.: Энергия, 1975. - 216 с.

15. Лоханин Е.К., Васильева Г.В., Галактионов Ю.И. Математическая модель энергосистемы для расчета и анализа переходных процессов и устойчивости. Труды ВНШЭ, 1976, вып.51, с.3-23.

16. Авраменко В.Н. Расчет на ЦВМ электромеханических переходных процессов энергосистемы с учетом АРВ и насыщения. В кн.: Моделирование и автоматизация электрических систем. - Киев: Нау-кова думка, 1966, с.108-122.

17. Иофьев Б.И. Автоматическое аварийное управление мощностью энергосистем. М.: Энергия, 1974. - 415 с.

18. Применение цифровых вычислительных машин в электроэнергетике. Учебное пособие для вузов/ О.В.Щербачев, А.Н.Зейлингер, К.П.Кадомская и др. Л.: Энергия. Ленинград.отд-ние. 1980.- 240 с.

19. Регулирование турбин как средство улучшения переходных процессов в электрических системах. "Электричество", 1967, Ji2, с.13-22. Авт.: Веников В.А., Никитин Д.В., Штробель В.А. и др.

20. Соловьев И.И. Автоматическое регулирование скорости вращения и мощности турбоагрегатов. Москва, 1976. 62 с.

21. В Надзаг. :Министерство высшего и среднего специального образования СССР. Московский энергетический ин-т.

22. Рцгк RH. T-wo-Rectioa Theo^ ц ^пскгопои^ Muchmf- famatued Nethod oj Anali^- AI ЕЕ Тгап^. P.i, mff, p. 717- 727; Р. I , 1933 , p. 352- Ш

23. Горев A.A. Переходные процессы синхронной машины. --Л.: Госэнергоиздат, 1950. 551 с.

24. Ульянов С.А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. М.-Л.: Энергия, 1964. - 704 с.

25. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. 2-е изд. - М.: Высшая школа,1970.- 472 с.

26. Трещев И.И. Электромеханические процессы в машинах переменного тока. Л.: Энергия. Ленинград.отделение,1980. - 344 с.

27. Веников В.А., Литкенс И.В. Основные уравнения переходных процессов в электрических системах. Учебное пособие . Москва, 1980. 28 с. В Надзаг.: Министерство высшего и среднего специального образования СССР. Московский энергетический ин-т. .

28. Бернас С.,Цек 3. Математические модели элементов электроэнергетических систем. Пер. с польск. М.: Энергоиздат,1982.- 312 с.

29. Еажнов А.И. Электрические машины. Л.: Энергия. Ленинградское отделение, 1969. - 768 с.

30. Стотт Б. Расчет переходных процессов в энергетической системе. ТИИЭР, 1979, т.67, № 2, с.32-58.

31. Бахвалов Н.С. Численные методы, т.1. М.: Наука, 1966.- 631 с.

32. Смит Д.М. Математическое и цифровое моделирование дляинженеров и исследователей /Пер. с англ. Н.П.; Под ред. О.А.Чемб-ровского. М.: Машиностроение, 1980. - 271 с.

33. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир,1979. - 312 с.

34. Бабушка И., Витасек Э., Пра^ар М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. - 368 с.

35. Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений. М»: Иностранная литература, 1955. - 290 с.

36. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Сов.радио, 1976. - 608 с.

37. Панкратьев В.Г. Об эффективности методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В сб. Математические методы е космических исследованиях. М.: Наука,1971, с.179-219.

38. Чуа Л.О., Пен Мин Лин. Машинный анализ электронных схем. -М.: Энергия, 1980. 638 с.

39. Страхов C.B. Некоторые соображения о возможности применения методов Ляпунова для решения задач динамики электроэнергетических систем. В кн.: Второй метод Ляпунова и его применение в энергетике. - Новосибирск, Том 2, 1966, с.11-30.

40. Вайман М.Я., Задорожний Е.Ф. Исследование динамической устойчивости энергосистем вторым методом Ляпунова. Труды МИИТ, 1968, вып.285, с.35-40.

41. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики. Учебник для студентов вузов/ Под ред. В.А.Веникова. 2-е изд, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1981. - 288 с.

42. Лоханин Е.К. Применение методов прогноза и коррекции для расчета уравнений переходных процессов в сложных энергосистемах. Тр. ВНИИЭ, 1976, вып.51, с.157-161.

43. Ракитский Ф.В. Новые численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений. Е кн. Труды ЛПИ & 332, Л., ЛПИ, 1973, с.88-97.

44. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир,1982. - 235 с.

45. LetKег F.I, The U$b dj Ruhazd^on Exkapolation in one ¿iep method -with wiatlfi Atep. At$e Math - Cnmp • at 1966 , ¿о, к 95

46. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. М.: Иностр.литература, 1962. - 208 с.

47. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. - 584 с.

48. Лоханин Е.К. К ускорению численного интегрирования уравнений переходных процессов. Труды ЕНИИЭ, 1966, вып.24, с.218-252.

49. Адиби M.M., Хирш P.M., Джордан Д.А. Методы расчета переходной и динамической устойчивости. ТИИЭР, 1974, т.62,№7, с.107-116.55. &ваг C.V. The automatic in tejaation oj огс1гпаг^ differential e^uatina^ „ Comm. ojlthe ACM". 1911, vol U, p.ПБ-179.

50. Веников В.А., Погосян Т.А. Автвматическое изменение шага интегрирования при расчетах длительных переходных процессов в электроэнергетических системах. Изв.вузов СССР - Энергетика, 1984, №3, с.3-7.

51. Березин Н.С., Жидков И.П. Методы вычислений, т.2.-- М.: Физматгиз, 1962. 639 с.

52. Мельник В.П., Ройтельман И.Г. Оценка погрешности методов численного интегрирования при моделировании электромеханических переходных процессов в энергосистемах. Техническая электродинамика, 1981, £ I, с.89-94.

53. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

54. Идельчик С.И. Погрешности на ЦВМ при управлении режимами электрических систем. Учебное пособие. Иркутск,1971. 58 с.

55. В Надзаг. : Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР. Иркутский политехнический ин-т.

56. Годлевский B.C. Некоторые способы цифрового моделирования динамических систем. Электронное моделирование, 1983, № 2, с.7-13.

57. Зингер И.С., Куцык Б.С. Обеспечение достоверности данных в автоматизированных системах управления производством. М.: Наука, 1974. - 136 с.

58. Желнов Ю.А. Точность характеристики управляющих вычислительных машин. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 136 с.

59. Погосян Т.А. Погрешность расчетов электромеханических переходных процессов в электрических системах. Электричество, 1984, № 3, с.54-56.

60. Демирчян К.С., Волков В.М. Сравнительный анализ методов численного интегрирования при расчете переходных процессов в электрических цепях. Электричество, 1976, № 9, с.47-51.

61. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.:Мир, 1975. - 392 с.

62. Сет С-1Г. Митег1са1 Initial value рЛет^ га (ladina^ dijpential equations.- Encjlvond РгеаНсе Hall ,1911, 251р.ti- MUuist Б. A Special ¿taEiUfy рЛет m 1г№ multi^iep method BIT , Toi.3. 19G5, p. 27-1.3.

63. Dütikuiát fr. ¿totality and егт Im&i ia the tiumezí-cal iatepiioa oj oadmaay dijjeïeatittl equation?.- Тгап$. ojithe forçai bst. oj Techa. Stockholm, vol. 130,1959. 90p.

64. Hommel H¥., ¿ato N. Fait ¿tabiUtv ¿o-lu^ion^ , IEEE Тгап$. Ро^тег Ipp. vol. Pa$-91, 3ul^Auj., 197¿. p. 1fil3-1fi50.

65. Погосян Т.А. Устойчивость методов численного интегрирования при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт,1984,4, с.32-39.

66. Адиби М.М., Хирш P.M., Джордан У.А. Методы расчета переходной и динамической устойчивости. ТИИЭР, 1974, т.62, & 7,с.I07-116.

67. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях. Учебное пособие для вузов /Под ред. В.А.Беликова. М.: Энер-гоатомиздат, 1983. - 503 с.

68. Лоханин Е.К., Устинов A.B., Еасильева О.Н., Разина Г.С., Галактионов Ю.И. Общая характеристика комплексной программы расчета устойчивости оложных энергосистем. Труды ЕНШЭ, 1976, вып. 51, с.28-35.

69. Лоханин Е.К., Васильева Г.В. Применение методов численного анализа к исследованию уравнений переходных процессов в сложных электрических системах. Труды ВНИИЭ, 1968, вып.ЗЗ, с.19-39.

70. Авраменко В.Н. Развитие метода расчета электромеханических переходных процессов сложных энергосистем. Техническая электродинамика, 1981, № 2, с.87-92.

71. Петренко А.И., Власов А.И. Численный метод решения сов• местной системы дифференциально-алгебраических уравнений. В кн.: Автоматизация проектирования в электронике. Вып.10. Киев: Техника, 1974, с.45-50.

72. Погосян Т.А. Методы расчета длительных электромеханических переходных процессов. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, № 6, с.42-47.

73. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1964. - 608 с.

74. Котелевский А.Н. Рекуррентные методы типа Рунге-Кутта численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. -Труды семинара "Основы и типовые программы для вычислительных машин и систем". Киев.: Изд. АН УССР, 1968, вып.2, с.37-47.

75. Сигорский В.П., Коляда Ю.В. Рекуррентные численные методы расчета переходных процессов в нелинейных электрических цепях. Электричество, 1980, № 10, с.72-73.

76. Л ециаиоп^.- УШу , 1975 , Шр.

77. Табарный В.Г., Васинюк В.Е., Коляда Ю.В. Некоторые методы численного интегрирования и их применение к машинному анализу нелинейных схем. Теоретическая электротехника. Из.Львовского университета, 1972, вып.40, с.57-65.0п£. . ------------. . , . 1 г

78. Погосян Т.А. Расчет электромеханических переходных процессов неявными методами численного интегрирования. Изв.вузов. Энергетика, 1983, № 7, с.117-120.

79. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. М.: Энергия, 1977. - 192 с.

80. Применение вычислительных методов в энергетике. Энергетика за рубежом /Под ред. В.А.Веникова. М.: Энергия, 1980. - 216 с.

81. Петренко А.И., Власов А.И., Щадрин В.В. Анализ устойчивости формулы неявного интегрирования дифференциальных уравнений. В кн.: Автоматизация проектирования в электронике. Вып.9. Киев: Техника, 1974, с.26-30.

82. Ddea L. An ехреггmental and theoBetical anali^ ojthe ¿AP£ method jog $tij{ ogdtaaE.) dijjeeential equation^.-Rept . N A 7128, Depi • Of Iru . Ргос., Rnjat. Of Tech., Stockholm , 1971, p.ri-Sf. J

83. Павлов Б.В., Повзнер А.Я. Об одном методе численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ЖЕМ и МФ, 1973, т.13, В 4, с.1056-1059.

84. Мег$ог1 R.H. Da ¿orne development^ in the ¿tudv/ ц рше$е$ кг ¿olvina osdinaey dijje&ential ec^uatton$. CPzivate communication), 1958,- 159 p.

85. Калдербенк В.Дж. Курс программирования на Фортране Пер. с англ. В.С.Першенкова. 2-е изд., доп. - М.: Энергия, 1978. - 87 с.

86. Ееников В.А. О возможности единого подхода к статической и динамической устойчивости энергетических систем. Электричество, 1976, » 7, с.72-73.

87. Мариносян Р.Э. Обобщенный анализ устойчивости режимов электрических систем: Диссертация на соискание ученой степени к.т.н., МЭИ, 1981. 179 с.

88. Калахан Д. Численное решение систем линейных уравнений с сильно различающимися постоянными времени. ТИИЭР, 1967, т.55, » II, с.265-266.102. "Vfidlund 0-6. ft note on unconditioaflUy stafcly Ипеаг multcétep methods BIT, 19Б7, ydU, p. Б5-70.

89. Тихомиров A.A. Сравнительный анализ точности различных способов округления при выполнении умножения на двоичной ЦВМ с фиксированной запятой. В кн.: Вычислительная техника, вып.4.- Л.: Изд. ЛГУ, 1974, о.48-61.

90. Веретенников Л.П., Вилесов Д.С. Дифференциальные уравнения типа Горева-Парка. Учебное пособие. Ленинград, 1959.- III с.

91. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. - 664 с.

92. Лоханин Е.К., Сандлер О.М. Применение методов прогнозаи коррекции для расчета уравнений переходных процессов в сложныхэнергосистемах. Тр. ВНИИЭ, 1968, вып.ЗЗ, с.40-50.

93. Ю7.HumpQje ¿tott В. РЫпЬг-coemioa method^ oj aumeaical intepliori ta díQital computes analog Qj роте--$j*tem transient itabilitf. Ргос. 1EE, 1965, vol. <22,1. КЗ , p. 1557- 1565.

94. Милн В.Э. Численный анализ. M.: Иностранная литература, 1951. - 291 с.

95. Беаг С¥. ftlüoúthm Ui, IIFJUB jos Solution ц mdina^ diuBEential equations. Cummuj. ft^. comput. Mach., 1971 , vol. 'íii, p. 185- 180.

96. НО. Кантарович A.B. О методе Ньютона. -В кн.: Труды математического института имени Стеклова. М.: Изд. АН СССР, 1949, том 28, с.3-25.

97. Идельчик В.И. К вопросу о влиянии погрешностей исходных данных на результаты расчета стационарного режима энергосистем. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1968, № 2, с.9-16.

98. Фадеев Д.А., Фадеева В.И. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. - 734 с.

99. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмем Я. Слабозаполненные матрицы. Анализ электроэнергетических систем. М.: Энергия, 1979.- 192 с.

100. Коляда Ю.В., Сигорский В.П. Применение разностных формул к повышению сходимости методов анализа нелинейных цепей.- Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1975, $ 6, с.50-59.

101. Фокинова A.A. Обобщение одного метода решения нелинейных уравнений. ЖЕМ и МФ, 1972, том 12, № I, с.218-221.

102. Овчаренко Н.И., Алексеев О.П. Автоматическая система управления возбуждением синхронных генераторов. Учебное пособив. Москва, 1976. 41 с.