автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка информационной системы по специальным функциям математической физики

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ

РГБ ОД

И Г 7ПЙЗ

на правах рукописи

Пирожников Алексей Борисович

РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 05.13.16. - " Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по физике) "

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Славянов Сергей Юрьевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Демьянович Юрий Казимирович

кандидат физико-математических наук, ст. научн. сотрудник СПОМИ РАН Васильев Николай Николаевич

Ведущая организация Санкт-Петербургский университет Аэрокосмического Приборостроения

Защита диссертации состоится иЮлЗ. 2000 г. в часов в

ауд. на заседании диссертационного Совета К 063.57.56 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.

7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан "3/ " М<гЭг 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета к. ф.-м. н.

Немнюгин С.А.

/ Ус з^о е> &ЗН. ■t€f. 63*3^0.3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современная физика как теоретическая, так и экспериментальная, широко использует математический аппарат специальных функций. Существует множество справочников и учебно-методической литературы, посвященных этой тематике. Однако, большинство из них содержат информацию лишь о специальных функциях гипергеометрического класса. Исследования в разных областях физики последних лет требуют использования более сложных "линейных" и "нелинейных" спецфункций. Возможным подспорьем в этой области мо1ут послужить информационно-справочные компьютерные системы, использующие достижения современных информационных технологий. Представление данных в удобном виде, связанность информации, адаптируемость системы для потребностей пользователя - все это обеспечивает перспективность подобных систем в качестве "персонального помощника" в исследовательской и учебно-методической деятельности. Именно эти соображения определяют актуальность выполненной работы и ее дальнейшее практическое применение.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка программной системы, предоставляющей аналитическую информацию и средства для численной обработки специальных функций математической физики следующих классов: гипергеометрического класса, класса Гойна, класса Пенлеве и класса ортогональных полиномов. Кроме того, предлагается новый подход к реализации задачи нахождения собственных значений для уравнений класса Гойна.

Научая новизна работы. 1. Разрабатываемая в рамках данной работы информационно-справочная система "БРТооЬ" воплощает единый структурированный подход к

специальным функциям, математической физики, отсутствующий в существующих на настоящий момент математических пакетах.

2. В систему включены спецфункции класса Гойна и "нелинейные" спецфункции - трансценденты Пенлеве, недостаточно полно представленные в универсальных системах компьютерной алгебры.

3. Расширено представление ортогональных полиномов. Помимо классических ортогональных полиномов включены ортогональные полиномы, представленные в схеме Аски-Вильсона.

4. В систему включены средства для классификации и поиска информации о специальных функциях гипергеометрического класса и класса Гойна, задаваемых пользователем.

5. Численный поиск собственных значений для спецфункций класса Гойна реализован на основе разложения Яффе-Лая, что позволяет избежать некоторых недостатков, присущих традиционным методам. Методы исследования. В работе использованы методы аналитической

теории дифференциальных уравнений и теории функций комплексной переменной. Для вывода ряда теоретических формул использован пакет символьных вычислений Maple V R4. Для решения краевых задач использован метод Нумерова для уравнений второго порядка.

Научная и практическая значимость работы. Предлагаемая работа носит прикладной характер. Главная научная значимость работы состоит в возможности построения информационно-справочной системы по специальным функциям математической физики на основе единого структурированного подхода. Помимо этого значимость работы обусловлена рядом факторов, а именно:

1. Система "SFTools" позволяет специалисту: математику, физику, инженеру - в автономном режиме быстро находить необходимые

аналитические выражения из теории специальных функций математической физики.

2. Система предполагается к выпуску в виде отдельного СБ-диска, являющегося приложением к книге Славянова С.Ю. и Лая В. "Специальные функции. Единая теория, основанная на сингулярностях."

3. Система "БРТоок", взаимодействуя с "Системой дистанционного обучения и проверки знаний 11ЕХАМ" (СПбГТУ), позволяет проводить занятия по специальным функциям математической физики для студентов старших курсов по сети Интернет.

4. Возможность вывода содержащихся в системе аналитических выражений в формате ЬаТеХ предоставляет пользователю удобное средство для включения в публикации необходимых математических формул.

Основные результаты и защищаемые положения.

1. Реализована информационно-справочная система по специальным функциям математической физики. Система использует единый структурированный классификационный подход, что существенно облегчает аналитический анализ взаимосвязей функций.

2. В систему включена систематизированная аналитическая информация о специальных функциях класса Гойна, недоступная в других информационных и математических пакетах.

3. Реализован обобщенный алгоритм Яффе-Лая для численного изыскания собственных значений уравнений класса Гойна.

Апробация. Общая концепция диссертационной работы и отдельные ее

главы докладывались на международных конференциях: "Теоретическая,

прикладная и вычислительная небесная механика", (ИТА РАН, Санкт-

Петербург, 1993), 'ТогесИш^зГогит 97" (Лейпциг 1997), "Теория

представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы" (ЛОМИ РАН, Санкт-Петербург, 1998), "Conspectual Learning о] Science" (СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1999) и ряде других. Работы по созданию системы на различных этапах были поддержаны грантами Сороса и РФФИ.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 5 научных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Общий объем работы - 90 страниц, включая 5 рисунков. Библиография - 62 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность темы, сформулированы основные задачи исследования, приведено краткое содержание работы и сформулированы защищаемые положения.

Первая глава "Способы реализации представления специальных функций на компьютере" посвящена обзору представления специальных функций математической физики в наиболее распространенных на настоящий момент математических пакетах. Автором рассматриваются: система символьных и аналитических вычислений "Maple" фирмы Waterloo Maple Inc. (release 4), универсальная система инженерных и научных расчетов "MatLab" фирмы MathWorks Inc. (версия 5.2.0), универсальная система компьютерной алгебры "Mathematica" фирмы Wolfram Research Inc (версия 3.0).

На основании анализа указанных систем делаются следующие общие выводы.

1. Системы используют бесструктурный подход к специальным функциям, что затрудняет аналитический анализ взаимосвязей функций и влияние входящих в них параметров на решаемую задачу.

2. Предоставляя мощные средства автоматизации физических расчетов, перечисленные системы по своей сути являются "электронной" версией существующих книг и справочников по спецфункциям и, практически, не содержат информации и средств для аналитической работы со спецфункциями класса Гойна.

На основании сделанных выводов делается заключение о необходимости разработки информационно-справочной системы, устраняющей указанные недостатки, и, в первую очередь, отсутствие единого структурированного подхода к организации информации по специальным функциям.

Во второй главе "Математические основы классификационной системы" рассмотрены теоретические принципы используемой системы классификации специальных функций, предложенной проф. Славяновым С.Ю. В изложении уделено особое внимание аспектам, связанным с реализацией теоретических разработок в рамках разрабатываемой системы. Приведены примеры, иллюстрирующие вводящиеся математические понятия.

Специальные функции рассматриваются как решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальными коэффициентами вида:

Классификационная теория базируется на рассмотрении особых точек указанного дифференциального уравнения. Особыми точками уравнения могут быть корни полинома Р0(г) и, возможно, точка на бесконечности. В зависимости от поведения решений в окрестностях особых точек, последние

подразделяются на регулярные (правильные) и иррегулярные (существенные) особые точки.

Дается понятие Б-ранга особой точки - численной характеристики, описывающей природу особой точки. Для конечной особой точки Б-ранг определяется как величина:

£(*,) = та

где через К^) обозначена кратность нуля Ро^/Р^), а через обозначена кратность нуля Ро^/Рг^). При помощи дробно-линейного преобразования, данное определение распространяется и на особую точку на бесконечности. Из определения следует, что Б-ранг может принимать целые и полуцелые положительные значения. Иррегулярные особые точки с полуцелым в-рангом называются ветвящимися, а с целым Б-рангом -неветвящимися. Среди регулярных особых точек особо выделяются элементарные особенности с Б-рангом равным Уг. Подчеркнуто свойство независимости в-ранга особой точки относительно невырожденных дробно-линейных преобразований, широко используемое в информационной системе.

Совокупность Б-рангов всех особых точек дифференциального уравнения называется Б-мультисимволом дифференциального уравнения (например, {1, 1, 1; 1} для уравнения Гойна - фуксова уравнения с четырьмя регулярными особыми точками). Б-мультисимвол уравнения однозначным образом определяет тип уравнений — совокупность уравнений схожих по своим свойствам, но различающихся формой записи. Приводятся понятия общей, естественной, канонической, натуральной и самосопряженной форм дифференциального уравнения.

Помимо понятия в-ранга особой точки дифференциального уравнения даются понятия конфлюенции и редукции дифференциальных уравнений, объединяющие типы уравнений в классы.

Под конфлюенцией дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами понимается предельный процесс слияния двух особых точек уравнения при параметрическом (по отношению к расстоянию между сливающимися точками) изменении коэффициентов полиномов Р^г) и Р2(г), приводящем к одной особой точке, э-ранг которой больше, чем Б-рапги исходных точек.

Под редукцией особой точки дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами понимается специальный выбор коэффициентов полиномов Р^г) и Р2(г), приводящий к уменьшению э-ранга особой точки на 1/2 и переводящий неветвящуюся особую точку в ветвящуюся, а регулярную точку, не являющуюся элементарной, в элементарную.

Кроме того, вводятся понятия характеристических показателей первого и второго рода, обобщенного символа Римана. Дано краткое рассмотрение связи уравнений класса Гойна и нелинейных уравнений Пенлеве (уравнения Пенлеве могут рассматриваться, как классические аналоги квантовых уравнений, принадлежащих классу Гойна). Рассмотрена возможность построения дифференциальных уравнений по разностным уравнениям для некоторых ортогональных полиномов, включенных в схему Аски-Вильсона с использованием преобразования Меллина, приведены примеры некоторых дифференциальных уравнений, полученных автором.

В третьей главе "Система БРТоок" изложены принципы, взятые за основу при построении информационной системы. "БРТооЬ" разрабатывалась, как система индивидуального пользования с помощью которой пользователь, в интерактивном режиме может получить необходимую аналитическую информацию о заинтересовавшем его классе специальных функций. Система разрабатывалась с учетом того, что пользователь может не иметь большого опыта работы с компьютером. В

качестве базы для разработки системы была выбрана операционная система Microsoft Windows 95, которая (с учетом более поздних версий) является наиболее распространенной на настоящий момент времени и обладает наиболее развитыми средствами пользовательского интерфейса. В качестве средства разработки была выбрана интегрированная среда разработки приложений Borland Delphi версии 3.0.

Пользовательский интерфейс программы организован в виде "окна" Windows, содержащего четыре "закладки". Каждая из "закладок" представляет информацию об одном из классов специальных функций:

1. Решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка гипергеометрического класса.

2. Решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка класса Гойна.

3. Трансценденты Пенлеве - решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

4. Ортогональные полиномы, соответствующие схеме Аски-Вильсона. Для каждого из четырех классов спецфункций соответствующие

математические объекты представлены кнопками. Для спецфункций гипергеометрического класса и класса Гойна на кнопках изображены s-мультисимволы соответствующих уравнений. Для классов Пенлеве и ортогональных полиномов на кнопках изображены аббревиатуры названий соответствующих математических объектов.

Кнопки организованными в иерархическую структуру типа "дерева", расположенную в левом верхнем углу соответствующей "закладки". Организация информации в виде "дерева" позволяет: в наглядной форме представить пользователю всю совокупность доступных типов спецфункций в соответствии с принятой классификационной системой, ускорить поиск необходимой информации.

При нажатии на кнопку, соответствующий тип уравнения (спецфункций) становится активным. Активная кнопка окрашивается в красный цвет. Одновременно производится поиск всех спецфункций, для которых известны уравнения связи с активным (например, конфлюентные и редуцированные уравнения для гипергеометрического класса и класса Гойна). Найденные элементы окрашиваются в зеленый цвет. Подобное решение, использующее цветовую окраску уравнений, позволяет пользователю с первого взгляда выявить всю совокупность математически взаимосвязанных спецфункций.

При выборе активного типа уравнения доступная для него информация отображается в информационных панелях, занимающих оставшееся пространство "закладки". Кроме того, при подведении курсора к кнопкам, окрашенным в зеленый цвет (обозначающих связанные спецфункции) соответствующие уравнения связи также отображаются в специально предназначенной для этой цели информационной панели.

Программно "кнопки" реализованы в виде отдельной визуальной компоненты "SFTSpeedButton". Информационные панели реализованы при помощи разработанной автором визуальной компоненты "DBZoomlmage", которая обеспечивает выполнение следующих операций.

1. Извлечение графического представления математических формул из базы данных информационной системы и отображения их на экране компьютера.

2. Просмотр увеличенных копий графического представления математических формул в отдельном окне Windows.

3. Работу с областью обмена (clipboard) системы Windows в целях импорта информации из системы в другие приложения и документы.

4. Операции по модификации хранящейся в системе информации.

5. Извлечение представления математических формул из базы данных

информационной системы в формате LaTeX.

6. Вывод информации на принтер.

Разработанные компоненты могут быть использованы и вне рамок системы "SFTools".

В качестве источника информации, предоставляемой системой "SFTools", используются внешние базы данных, реализованные в формате "Paradox". Доступ к базам данных предоставляется через систему BDE (Borland Database Engine), файлы которой входят в инсталляционный набор системы "SFTools". Необходимые настройки BDE (регистрация источника данных в операционной системе и связывание источника данных с базами данных) осуществляются автоматически в процессе установки системы.

Физически базы данных организованы в виде набора таблиц. Каждая таблица содержит информацию об определенном классе (форме) специальных функций. Информация об уравнениях связи хранится в отдельных базах данных. Это позволяет избежать излишнего дублирования информации, обусловленного тем фактом, что одни и те же уравнения связи могут быть задействованы в разном контексте.

Для хранения графического представления математических формул используются BLOB (binary large object) поля. LaTeX представления и прочая информация текстового вида хранится в формате ASCII. Каждая запись обладает уникальным индексом по которому и проводится поиск информации в момент обращения к базе данных.

При наличии доступа в глобальную сеть Интернет, система "SFTools" может быть использована и в качестве системы проверки знаний по курсу специальных функций математической физики. Для реализации подобной возможности автором разработан клиент "Распределенной системы дистанционного обучения и проверки знаний REXAM" (СПбГТУ).

Процедура обмена информацией основана на использовании механизма Windows Sockets. Необходимые параметры для установления связи с сервером (имя сервера, IP-адрес, порт, название курса и тема занятия) могут быть заданы пользователем в окне настроек. Информация о настройках хранится в системном реестре Windows и автоматически восстанавливается в момент запуска сессии проверки знаний. Такое решение позволяет реализовать клиента системы "REXAM" который, во-первых, не является жестко завязанным на конкретный физический сервер и, во-вторых, позволяет использовать систему "SFTools" в качестве системы проверки знаний в областях отличных от спецфункций матфизики. Для представления графической информации могут использоваться как ресурсы сети, так и данные локальных баз информационной системы. Результаты сессии тестирования протоколируются в специальном файле.

Логичным расширением возможностей, предоставляемых информационно-справочной системой "SFTools", является реализация программных средств, позволяющих проанализировать конкретное уравнение, задаваемое пользователем, на принадлежность одному из представленных в системе классов специальных функций. В настоящий момент, разработанный автором, программный модуль классификации специальных функций, задаваемых пользователем, обеспечивает локализацию заданной спецфункции внутри гипергеометрического класса и класса Гойна. При анализе спецфункции (уравнения) система выполняет следующие действия:

1. Определяет класс спецфункции.

2. Рассчитывает s-мультисимвол спецфункции (т.е. определяет ее тип).

3. Рассчитывает значения коэффициентов, которые должны быть подставлены в аналитические формулы, предоставляемые системой, для приведения их к виду, соответствующему заданной спецфункции.

4. Локализует тип спецфункции в информационной базе системы.

Также система предоставляет средства настройки пользовательского интерфейса под нужды конкретного пользователя.

Четвертая глава "Математические аспекты системы ЗРТооЬ" посвящена проблеме расчета собственных значений дифференциальных уравнений класса Гойна на основе разложения Яффе-Лая.

Сущность алгоритма Яффе заключается в использовании дробно-линейного преобразования комплексной плоскости независимой переменной и калибровочного преобразования зависимой переменных таким образом, что строящиеся степенные ряды сходятся вплоть до особой точки в случае, если решение было собственной функцией. Оригинальная версия алгоритма позволяла находить собственные значения лишь для уравнения Гойна. В более поздних работах Лая и Славянова была доказана применимость этого алгоритма и ко всем нередуцированным уравнениям класса Гойна.

В работе реализовано обобщение алгоритма Яффе-Лая, использующее дополнительное квадратичное преобразование комплексной плоскости, позволяющее распространить алгоритм на все уравнения класса Гойна.

В результате применения модифицированного алгоритма Яффе-Лая решение дифференциального уравнения, если они являются собственными функциями, характеризуются двумя свойствами. Первое - решение рассматриваются на конечном промежутке. Второе - решение имеет конечные пределы при подходе к обеим предельным точкам интервала. Как следствие применим любой сеточный метод, например метод Нумерова.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана информационно-справочная система по специальным функциям математической физики. Система использует единый структурированный классификационный подход, что существенно облегчает аналитический анализ взаимосвязей функций.

2. Система предоставляет средства для классификации специальных функций, задаваемых пользователем.

3. В систему включена систематизированная информация о специальных функциях класса Гойна.

4. Реализован обобщенный алгоритм Яффе-Лая для численного изыскания собственных значений уравнений класса Гойна.

1. Славянов С.Ю., Лай В., Акопян A.M., Пирожников А.Б., Дмитриев В.Ю., Япык А.Б., Жегунов В. Knowledge Base on Special Functions. Записки научных семинаров ЛОМИ, Том 258, с. 345-354, 1999

2. Акопян А. М., Пирожников А. Б., Славянов С. Ю., Золотарев В. И. Элементы базы знаний по специальным функциям // "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика", тезисы докладов, ИТ А РАН, Санкт-Петербург, 1993.

3. Slavyanov S.Yu., Akopyan A.M., Lay W., Pirozhnikov A.B., Zhegunov V.: How to handle special functions on a computer // "Forschungsforum 97", Proc. Int. Conf., Leipzig, Germany 1997.

4. Славянов С.Ю., Лай В., Акопян А.М, Пирожников А.Б., Дмитриев В.Ю, Жегунов В.: База знаний по специальным функциям // "Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы", тезисы докладов, СПОМИ РАН, Санкт-Петербург, 1998.

5. Glebovsky A., Kuleshov A., Petrov A., Pirozhnikov A., Slavyanov S. REXAM: a unified remote tools for distributed authoring management and use of knoweldege tests in distant learning courses over the Internet, // "Conspectual Learning of Science", тезисы докладов, СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1999.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ

Введение

Цель диссертации и ее актуальность

Новизна математических и программных подходов.

Практическая значимость работы

Структура диссертации.

Благодарности.

Основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1 Способы реализации представления специальных функций на компьютере

1.1 Обзор представления специальных функций в некоторых математических пакетах.

1.2 Основные моменты предлагаемого подхода.

Глава 2 Математические основы классификационной системы

2.1 Способы классификации специальных функций.

2.2 Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами

2.3 Особые точки дифференциальных уравнений

2.4 Понятие Б-ранга особых точек.

2.5 Формы дифференциальных уравнений

2.6 Конфлюенция и редукция дифференциальных уравнений

2.7 Обобщенная схема Римана.

2.8 Классы уравнений. Гипергеометрический класс. Класс Гой

2.9 Уравнения Пенлеве.

2.10 Ортогональные полиномы. Схема Аски-Вильсона.

2.11 Классификационная схема спецфункций

Глава 3 Система SFTools

3.1 Основные принципы.

3.2 Реализация "SFTools", как приложения Microsoft Windows

3.3 Организация интерфейса "SFTools".

3.4 Организация баз данных "SFTools".

3.5 Использование "SFTools", как системы дистанционного обучения

3.6 Классификация уравнений, задаваемых пользователем

3.7 Дополнительные возможности.

3.8 Краткий анализ реализации системы.

Глава 4 Математические аспекты системы SFTools

4.1 Разложение Яффе-Лая.

4.2 Модификация алгоритма Яффе-Лая для редуцированного биконфлюентного уравнения Гойна.

4.3 Программная реализация метода Яффе-Лая.

Цель диссертации и ее актуальность

Целью диссертационной работы является создание программной системы, предоставляющей аналитическую информацию и средства для численной обработки специальных функций математической физики следующих классов: гипергеометрического класса, класса Гойна, класса Пен-леве и класса ортогональных полиномов.

Современная физика, как теоретическая, так и экспериментальная, широко использует математический аппарат специальных функций. Существует множество справочников и учебно-методической литературы, посвященных этой тематике [1], [2], [4], [18], [37], [40], [49], [62]. Однако, большинство из них написано в духе математики прошлого века и, соответственно, содержат информацию лишь о специальных функциях гипергеометрического класса. Исследования в разных областях физики последних лет требуют использования более сложных "линейных" и "нелинейных" спецфункций. Аналитические формулы для таких спецфункций довольно громоздки. Кроме того, восприятие отдельно взятых формул без информации об их "местоположении" в структуре специальных функций и возможных связях с другими формулами, довольно затруднено и является недостаточным для решения широкого круга задач. Возможным подспорьем в этой области могут послужить информационно-справочные компьютерные системы, использующие достижения современных информационных технологий. Представление данных в удобном виде, связанность информации, адаптируемость системы для потребностей пользователя - все это обеспечивает перспективность подобных систем в качестве "персонального помощника" в исследовательской и учебно-методической деятельности.

Именно эти соображения определяют актуальность выполненной работы и ее дальнейшее практическое применение в качестве основы создания баз знаний и экспертных систем по специальным функциям.

Новизна математических и программных подходов

На основании анализа представления специальных функций в наиболее распространенных на настоящий момент системах компьютерной алгебры и инженерных расчетов, проведенного автором (см. глава 1), сделаны выводы об отсутствии единого структурированного подхода в организации информации и о недостаточной полноте предоставляемой аналитической информации: практически полное отсутствие информации о специальных функциях класса Гойна.

Разрабатываемая в рамках данной диссертационной работы информационно-справочная система "ЗЕТооЬ" призвана устранить указанные недостатки. Система воплощает единый структурированный подход к специальным функциям математической физики, основанный на классификационной теории, предложенной проф. Славяновым С.Ю. [33]. Краткое изложение этой теории (в применении к разрабатываемой системе) приведено в главе 2 данной работы. Использование четкого, структурированного подхода к классификации предоставляемой пользователю информации обуславливает научную новизну предлагаемой работы. Кроме того новизна подхода обусловлена рядом факторов, а именно:

1) В системе " ЭРТоок" представление информации о спецфункциях организовано в виде иерархической структуры - "дерева", которая, во-первых, наглядно отражает используемый классификационный подход и, во-вторых, позволяет осуществлять быстрый поиск необходимых сведений.

2) В системе не требуется консольного ввода команд - работа осутцествляется через графический интерфейс.

3) В систему включены спецфункции класса Гойна, отсутствующие в универсальных системах компьютерной алгебры.

4) В систему включены "нелинейные" спецфункции - трансценденты Пен леве, отсутствующие в универсальных системах компьютерной алгебры.

5) Расширено представление ортогональных полиномов. Помимо классических ортогональных полиномов включены ортогональные полиномы, представленные в схеме Аски-Вильсона.

6) В систему включены средства для классификации и поиска информации о специальных функциях гипергеометрического класса и класса Гойна, задаваемых пользователем.

7) Численный поиск собственных значений для спецфункций класса Гойна реализован на основе разложения Яффе-Лая, что позволяет избежать некоторых недостатков, присущих традиционным методам.

Практическая значимость работы

Основные моменты, которые, по мнению автора, обуславливают практическую значимость разрабатываемой информационной системы и данной диссертационной работы состоят в следующем:

1) Система " ЭРТоок" позволяет специалистам: математику, физику, инженеру - в автономном режиме быстро находить необходимые аналитические выражения из теории спецфункций.

2) Система предполагается к выпуску в виде отдельного СБ-диска, являющегося приложением к книге Славянова С.Ю. и Лая В. "Специальные функции. Единая теория, основанная на сингулярностях." книга выходит в издательстве " Oxford University Press" в 2000 году и планируется к публикации издательством "Невский диалект" в 2001 году).

3) Система "SFTools", взаимодействуя с "Системой дистанционного обучения и проверки знаний REXAM" (СПбГТУ) позволяет проводить занятия по специальным функциям математической физики для студентов старших курсов с использованием сети Интернет.

4) Возможность вывода содержащихся в системе аналитических выражений в формате ETgK предоставляет пользователю удобное средство для включения в публикации необходимых математических формул.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту

1) Разработана информационно-справочная система по специальным функциям математической физики. Система использует единый структурированный классификационный подход, что существенно облегчает аналитический анализ взаимосвязей функций.

2) Система предоставляет средства для классификации специальных функций, задаваемых пользователем (для специальных функций гипергеометрического класса и класса Гойна).

3) Реализован клиент "Системы дистанционного обучения и проверки знаний REXAM" (СПбГТУ), что позволяет использовать информационную систему в учебном процессе с использованием сети Интернет.

В систему включена систематизированная информация о специальных функциях класса Гойна, практически отсутствующая в других информационных и математических пакетах.

Реализован обобщенный алгоритм Яффе-Лая для численного изыскания собственных значений уравнений класса Гойна.

Заключение

1. Бейтсмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. тт. 1- 3, М.: Наука, 1967

2. Березин Б.И., Березин С.Б. Начальный курс С и С++. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996 - 288 с.

3. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. т. 5 М.: "Издательство УРСС", 1998 - 384 с.

4. Васильев H.H., Еднерал В.Ф. Компьютерная алгебра в физических и математических приложениях, 1994 N 1. с. 70 - 82

5. Воробьев Е.М. Введение в систему "Математика": Учеб. пособие. -М.: Финансы и статистика, 1998. 262 с.

6. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. - 208 с.

7. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная информатика. Основание информатики: Пер. с англ. М.: Мир, 1998. - 703 с.

8. Дьяконов В.П. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: CK пресс, 1998. - 328 с.

9. Дьяконов В.П. Справочник по применению PC MatLAB. М. Физ-матлит, 1993. - 112 с.

10. Дэн Оузьер, и др. Delphi 3. Освой самостоятельно / Пер. с англ. -М.: "Издательство БИНОМ", 1998 560 с.

11. Зеегер А., Лай В., Славянов С.Ю. Вырождение фуксовых уравнений второго порядка. ТМФ, т. 104, N 2, с. 233-247, 1995.

12. Казаков А.Я., Славянов С.Ю. Интегральные представления для специальных функций класса Гойна. ТМФ, т. 105. N 6. 1996.

13. Казаков А.Я., Лай В., Славянов С.Ю. Задачи на собственные значения для уравнений класса Гойна, Алгебра и анализ, т. 8 N2, с. 129-141, 1996.

14. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978 - 512 с.

15. Кнут Д.Е. Все про TßX/ Пер. с англ. М.В. Лисиной. Протвино: АО RDTeX, 1993 - 592 с.

16. Компьютерная алгебра. Под ред. П. Лооса и Б. Бухбергера. Перевод В. Гердта, Д. Григорьева, В. Ростовцева, С. Славянова, 1986, М., Мир.

17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978. - 832 с.

18. Львовский С.М. Набор и верстка в пакете ВД?еХ. М.: Мир, 1997. -208 с.

19. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Информационно-издательский дои "Филинъ", 1998 - 240 с.

20. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980 - 536 с.

21. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений: Учеб. пособие. -2-е изд., испр. и доп. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1998 - 472 с.

22. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965 -384 с.

23. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. с англ.; Под. ред. A.A. Абрамова. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986 288 с.

24. Основы математического моделирования с примерами на языке MATLAB. Изд. 2-е дор.: Учебное пособие/ Д.Л. Егоренков, А.Л. Фрадков, В.Ю. Харламов; Под ред. д-ра техн. наук А.Л. Фрадко-ва; СПб.: БГТУ, 1996 192 с.

25. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x: В 2-х т. - М.:ДИАЛОГ-МИФИ, 1999

26. Потемкин В.Г. Система MATLAB 5 для студентов. М. ДИАЛОГ-МИФИ, 1998. - 314 с.

27. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М. ДИАЛОГ-МИФИ, 1997. - 350 с.

28. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие: Для вузов. М.: Физматлит, 1994 - 336 с.

29. Самарский A.A. Введение в численные методы. 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 1997 - 239 с.

30. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1993. - 352 с.

31. Славянов С.Ю. Изомонодромные деформации уравнений класса Гойна и уравнения Пенлеве, ТМФ, т. 123. N 3., 2000.

32. Славянов С.Ю. Структурная теория специальных функций, ТМФ, т. 119. N 1. с. 3-19, 1999.

33. Славянов С.Ю. Специальные функции математической физики: учебно-методическое пособие. СПб.: Изд-во НИИХ СПбГУ, 1999.- 54 с.

34. Славянов С.Ю., Золотарев В.И. Принципы организации базы знаний по специальным функциям, Вестник СПбГУ, сер. мат., 1993.

35. Смирнов В.И. Курс высшей математики. 9-е изд., т.З ч.2. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 672 с.

36. Соболев C.JT. Уравнения математической физики: Учеб. пособие: Для вузов / Под ред. A.M. Ильина. 5-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. - 432 с.

37. Страуструп Б. Язык программирования С++, 3-е изд./Пер. с англ.- СПб.; М.: "Невский Диалект" "Издательство БИНОМ", 1999 -991 с.

38. Сурков К.А., Сурков Д.А., Вальвачев А.Н. Программирование в среде DELPHI 2.0 Мн.: ООО "Попурри", 1997 - 640 с.

39. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. 3-е изд. - М.: Наука. Физматлит, 1998. - 232 с.

40. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие.- М.: "Нолидж", 1997. 616 с.

41. Федоров А.Г. Delphi 3.0 для всех М.: КомпьютерПресс, 1998 - 544 с.

42. Шумаков П.В. Delphi 3 и разработка приложений баз данных М.: "НОЛИДЖ", 1998-704 с.

43. Askey, R., Ismail, M. Amer. Math. Soc., 5, p. 108 116, 1984.

44. Bay, K., Lay, W., Akopyan, A., Journal of Physics A 30, 1997, 3057 -3067.

45. Elaydi, S.N., An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg, 1991.

46. Erdelyi, A., Asymptotic Expansions. Dover Publications Inc., 1956.48. "Heun's Differential equation", под ред. A. Ronveaux. Oxford University Press, 1995

47. Hille, E. Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. Dover Publications, New York, 1997.

48. Ince, E.L., Ordinary Differential Equations. Dover Publications, New York, 1956.

49. Jaffe, G., Zeitschrift für Physik, 87, 1933, 535 544.

50. Forsyth, A.R., Theory of Differential Equations, Dover Publications, New York 1959.

51. Kazakov A. Ya., Slavyanov S.Yu. Integral equations for special functions of Heun class, Meth. and Applic. of Anal., 3, N 4, 447-456, 1996.

52. Lay W., Bay K.-H., Slavyanov S.Yu., Asymptotic and numeric study of eigenvalues of the double-confluent Heun equation, J. Phys. A: Math. Gen., 31, 4249-4261, 1998.

53. Lay W., Slavyanov S.Yu., The central two-point connection problem for the Heun class of ODE, J. Phys. A: Math. Gen., 31, 8521-8531, 1998.

54. Lay W., Slavyanov S.Yu., The Heun equation with nearby singularities, Proc. R. Soc. Lond. A. 455, p. 4347-4361, 1999

55. Slavyanov S.Yu. A "differential" derivation of the recurrence relations for classical orthogonal polynomials, Journ. Сотр. and Appl. Math., 49, pp. 251-254, 1993.

56. Slavyanov S Yu. Painleve equations as classical analogues of Heun equations, J. Phys. A.: Math. Gen., 29, 7329-7335, 1996.

57. Slavyanov S. Yu, Lay W., Seeger A. A generalization of the Riemann scheme for equations of hypergeometric class, Int J. Math. Educ. Sci. Technol, 28, N 5, 641-660, 1997.

58. Slavyanov S.Yu., Lay W., Akopyan A.M., Pirozhnikov А.В., Dmitriev V.Yu., Yazik A.B., Zhegunov V. Knowledge Base on Special Functions. Записки научных семинаров ЛОМИ. т. 258, 1999 с. 345 - 354

59. Koekoek, R., Swarttouw, R. The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue. Delft Univ. of Technology. Netherlands. 1994

60. Whittaker E.T., Watson, G.N. A Course of Modern Analysis, University Press, Cambridge 1963.