автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и применение методов исследования динамики поведения нестационарных систем

На правах рукописи

Братченко Наталья Юрьевна

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПОВЕДЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь 2005

Работа выполнена в Северо-Кавказском государственном техническом университете

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Червяков Николай Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Чеканов Владимир Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Копыткова Людмила Борисовна

Ведущая организация:

Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики (г.Самара)

Защита диссертации состоится «24» декабря 2005г. в

10оо

часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.245.09 Северо-Кавказского государственного технического университета по адресу:

355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2, каб.529.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « ¿>2* » ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент . ^ ^ О.С. Мезенцева

Mtf-* 115-2900

J&QZÜ 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. Методология анализа динамики поведения сложной системы, используемая на этапе планирования и принятия решений на основе прогнозирования, имеет существенные недостатки, связанные с отсутствием строгой формализации соответствующих процедур, эффективных способов организации и проведения вычислений. Численные методы линейной и нелинейной динамики, реализованные средствами программных пакетов Statistica, Statgraphics, MathCad, нейросете-вые технологии, реализованные программными средствами BramMaker Professional, Braincel, Statistica Neural Network позволяют решать статистические и математические задачи определения и восстановления моделей, отражающих динамику поведения изучаемой системы, реализуют основные функции математического моделирования, однако не приспособлены для реализации методов научного управления, основанных на теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетях.

В области анализа экспериментальных данных и разработки методики исследования и управления состоянием системы средствами автоматизации также имеются существенные недостатки, связанные с необходимостью выявления структуры взаимосвязей параметров, от которых зависит состояние системы, отсутствием комплексного подхода к изучению динамики ее поведения, с требованиями к точности предсказания состояния системы. Разнообразие и сложность исследования нестационарных систем, в которых процессы развиваются во времени и пространстве, ставят новые задачи перед математическим моделированием. Традиционный путь их решения связан с разработкой одного или системы стандартных уравнений исследования, со сложной техникой анализа и многочисленными компьютерными расчетами. Поэтому естественно возникает необходимость выбора радикального, альтернативного пути решения - представлять различные нестационарные системы совокупностью как статистических, так и динамических эволюционных операторов на дискретном языке, считая, что само состояние системы может принимать конечный набор значений.

Таким образом, учитывая, что в рамках традиционных подходов не удается получить существенного улучшения качества анализа поведения сложных нелинейных систем, актуальным является разработка и применение соответствующих методик на основе новых подходов.

Объектом диссертационного исследован^^ИЦ^^ЩЦ^^т динамиче-

ские системы. | БИБЛИОТЕКА

СПе

оэ

Г:

3tgf,

Предметом диссертационного исследования являются алгоритмы анализа развития нестационарных систем, математические модели и метода! их исследования.

Целью диссертационного исследования является повышение эффективности методов статистического, нелинейного анализа и экспериментального, исследования динамики поведения нестационарной системы на примере курса акций РАО ЮС России и Ростелеком, и их программной реализации.

Научная задача исследования состоит в разработке и применении алгоритмов и методов статистического, нелинейного анализа основанных на теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетях, экспериментальном исследовании динамики поведения нестационарных систем.

Для решения общей научной задачи была проведена ее декомпозиция на рад следующих частных задач:

- разработка алгоритма анализа системы экспериментальных данных с применением методов математической статистики средствами программных математических пакетов;

- разработка алгоритма многофакторного анализа состояния системы и интервальной оценки результата экстраполяции;

- разработка алгоритма нелинейно-нейросетевого анализа системы для получения информации о динамике ее поведения при различных траекториях развития исследуемой системы;

- разработка метода оценки построенной нейронной сети на основе результатов эксперимента;

- разработка программного средства для реализации алгоритма нелинейного анализа динамики поведения состояния системы;

- статистическая обработка результатов исследования.

Методы исследования. Для решения поставленных научных задач использованы методы статистического, нелинейного анализа, теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетей.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается строгостью производимых математических выкладок, базирующихся на аппарате теории ди-

намических систем, нелинейного анализа, теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетей.

Справедливость выводов относительно эффективности разработанных моделей подтверждена результатами вычислительных экспериментов.

Научная новизна результатов.

1. Показано, что алгоритм, построенный на основе статистического анализа, не позволяет достаточно адекватно описать поведение сложной нестационарной системы.

2. Применена модификация стандартного подхода к построению методологии многофакторного анализа изучаемой системы с использованием процедуры декомпозиции влияющих на состояние исследуемой системы факторов, позволяющая судить о влиянии каждого из выбранных факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы, повышающая его эффективность и используемая в целях краткосрочного прогнозирования скорости изменения состояния системы. Получена интервальная оценка прогноза на основе разработанной модели.

3. Предложена схема исследования нелинейных систем на основе построения шь горитма нелинейно-нейросетевого анализа динамических систем.

4. Разработан программный пакет исследования поведения системы на локальную неравновесность и определения состояний дезадаптации изучаемой системы.

5. При исследовании динамики состояния системы проведен сравнительный анализ применяемых современных программных средств нейросетевого моделирования и алгоритмов обучения системы на основе динамики ее поведения.

6. Построена совокупность нелинейных уравнений динамики поведения нестационарной системы.

Практическая значимость.

1. Усовершенствована методика восстановления динамики состояний системы на основе математических и программных средств корреляционно-регрессионного анализа. Данная методика основана на построении статистической совокупности моделей анализа динамики поведения сложной системы на основе аддитивной модели с последующей ее оценкой, модифицированной многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, статистического уравнения изменения экстремумов во времени при почти периодической функции времени. Результаты могут быть исполь-

зованы для оценки влияния ряда факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы и д ля построения прогноза ее поведения.

2. Разработана схема нелинейного-нейросетевого анализа динамики поведения исследуемой системы, которая включает в себя математический аппарат теории катастроф и бифуркаций, построение нейронных сетей, выбор оптимальной из них и сравнительный анализ построенной сети на основе различных алгоритмов обучения с использованием трех программных сред нейросетевого моделирования, позволяющая по экспериментальным данным исследовать интегральные свойства изучаемой системы и определить ее состояние на ближайший временной интервал..

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритм построения комплекса статистических моделей анализа поведения сйстемы.

2. Алгоритм восстановления многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, отражающей изменение скорости поведения состояния системы.

3. Многофакторная модель динамики скорости изменения состояния системы.

4. Статистическое уравнение изменения экстремумов во времени при почти периодической функции времени и оценка корректности модели на основе сравнительного анализа

5. Алгоритм нелинейно-нейросетевого анализа нестационарной системы.

6. Совокупность математических моделей нелинейно-динамического анализа.

7. Метод оценки построенной нейронной сета на основе результатов сравнительного анализа используемых алгоритмов обучения средствами трех программных сред нейросетевого моделирования.

8. Программное средство реализации алгоритма нелинейного анализа динамики поведения состояния системы.

Внедрение результатов. Полученные в данной диссертационной работе результаты реализованы в учебном процессе Северо-Кавказского государственного технического университета (акт внедрения от 6.09.2005г.), внедрены в ООО «Моби» (акт внедрения от 19.09.2005г.) и ООО «РР-ИКС» (акт внедрения от 11,08.2005г.).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на V Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - СевероКавказскому региону» (Ставрополь, 2001 г.), 48 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2003 г.),

на IX Санкт-Петербургской международной конференции «Региональная информатика 2004» (Санкт-Петербург, 2004 г.), на первой международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникациоиные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2004 г.), на международной научно-практической конференции «Традиции, инновации и инвестиции современной рыночной экономики» (Казань, 2004 г.), III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (Анжеро-Судженск, 2004 г.), на международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию ставропольского государственного аграрного университета «Информационные системы, технологии и модели управления производством» (Ставрополь, 2005 г.).

Публикации. По теме работы опубликовано 18 работ, из них 9 в соавторстве.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, приложения и списка литературы, содержащего 131 наименований. Основная часть работы содержит 125 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, ее новизна, практическая значимость; сформулированы цель и задачи исследования, представлены основные положения, выносимые на защиту, охарактеризована структура диссертации.

В первой главе рассмотрены классические традиционные и новые методы анализа и исследования динамических систем, их достоинства и недостатки, применение ней-росетевых алгоритмов для решения задач прогнозирования сложных систем.

Проведен обзор работ в области корреляционного и регрессионного анализа. Указана роль аппарата корреляционно-регрессионного анализа и его применение в научных исследованиях. Рассмотрены качественные и графические методы исследования и оценена их эффективность. Проанализированы методы параметризации уравнения регрессии. Описаны многомерные временные рады, являющиеся информационной базой регрессионного анализа. Рассмотрены показатели оценки качества модели, ее точности и полноты набора объясняющих факторов. Предложены стадии разработки математической модели. Исследованы стандартные подходы разработки математической модели.

Рассмотрены и проанализированы фундаментальные понятия классической теории устойчивости и бифуркаций. Описаны методы восстановления фазового простран-

ства системы. Обсуждены проблемы диагностики и реконструкции динамических систем по экспериментальным данным. Сделан вывод о необходимости применения моделей нелинейной динамики как простейших объектов, демонстрирующих желаемое качественное поведение системы при дезадаптации ее состояния.

Раскрыта роль нейросегевого моделирования в научных исследованиях и эффективность нейросегевого подхода. Отражен научный интерес к методам нейронных сетей для решения задач прогнозирования, классификации и управления сложными системами.

Вторая глава посвящена разработке методологических основ построения математической модели, отражающей динамику поведения системы, с целью ее краткосрочного прогнозирования и оценки ее нестационарности. Общая Рисунок 1 - Обобщенная схема разра- методика разработки такой модели ботки математической модели динамики пове- и к оценка представлена на.рисун-дения системы. ке ' •

Получена прогностическая математическая модель - аналитическое уравнение, учитывающее тенденцию и цикличность посредством агрегации методов. С учетом последнего, получены статистические модели, отражающие динамику курса акций РАО БЭС соответственно до и после точки дефолта 1998 г. и проведена их статистическая оценка.

Начало

2

Построение статистической совокупности моделей анализа динамики поведения стационарной системы

Построение однофакторной модели анализа

Построение многофакторной модели на основе неоднородно-С1И ее коэффициентов

Построение модели анализа появления локальных экстремумов в динамике поведения системы

3

Прогнозирование и интервальная оценка прогноза на основе разработанной модели

4

Конец

Выявлено наличие положительной автокорреляции, что в свою очередь подтверждает гипотезу о нестационарности динамического рада курса акций и необходимости применения методов нелинейной динамики.

При исследовании поведения динамической системы учитывались внешние и внутренние факторы, воздействующие на ее поведение. Принятие решения об элиминировании некоторых факторов произ-

I

водилось на основе анализа значений специальных характеристик с учетом управляемости факторов на уровне системы. Схема построения многофакторной модели представлена на рисунке 2.

На первом этапе построения многофакторного уравнения в виде множественного уравнения регрессии рассчитывалась скорость изменения данных на основе уравнения тренда. Далее выявлялись факторы, влияющие на поведение исследуемой системы, и анализировались их количественные значения с учетом временного интервала, в соответствии с которым группировались первоначальные исходные данные и корректировалась скорость их изменения.

Известно, что эволюция системы типа жизненный цикл может быть описана дифференциальным уравнением

<й

Рисунок 2 - Схема построения многофакторного уравнения

где а,р,с— коэффициенты уравнения, влияющие на моделируемый показатель; а = • у1 + а0 - зависит от факторов у,, способствующих росту скорости изменения состояния системы; р = £ Д у,+ра - совокупность факторов, препятствующих росту; с = Л + со ~ совокупность незначительно зависящих от состояния системы факторов.

Методом наименьших квадратов определяются значения искомых коэффициентов программными средствами. Представление этих коэффициентов суперпозицией факторов и решение трех систем линейных алгебраических уравнений позволяет выявить наиболее значимые факторы для каждого из коэффициентов исходного уравнения. Заменив коэффициенты дифференциального уравнения суперпозицией значимых факторов и, выполнив элементарные преобразования, получим многофакторное уравнение (2),

у = 0.019384-0.66559е-9• уг + 0.64281е-9 у, ■ у +1,349е-9-у,-у--0.3194846е-9 у, у + 0.8378437е-10• у, -у2 -7.48638е-10-у6-у, ^ где у- скорость изменения состояния системы; у, - влияющие на скорость изменения состояния системы факторы. Нахождение коэффициентов уравнения (2) позволяет перейти к уравнению стандартизированного вида

£,=-1.0 ^+39.0.^ + 13.4.^,,-3.8 ^,+5.73.^-54.0.^,, (3) где у2),<?(1,бУ, - стандартизированные переменные, сред-

нее значение которых равно 0, а среднее квадратическое отклонение

2)=?(У6У)=1. коэффициенты же последнего

сравнимы между собой в силу своей безразмерное™.

Таким образом, построенная многофакторная модель позволяет аналитически анализировать динамику поведения изучаемой системы. Ее экстраполяция дает точечную прогностическую оценку. Однако предложенная модель не свободна от недостатков, связанных с отсутствием некоторой априорной информации, позволяющей получить интервальную оценку с тем, чтобы прогноз, охватывающий некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным. Учет данной априорной информации и расчет доверительных границ позволяет оценить результат прогнозирования поведения системы.

*пт РтЯеМ & ЙмИМ У*ии (Гк*-2.«а) о^сплвм тш* 8сол,тя

В качестве результата моделирования на основе множественной регрессии построен график исходных и предсказанных значений (рисунок 3) , рассчитаны прогностические значения курса акций, доверительные границы и 95% - ные доверительные интервалы.

Анализируя динамику поведения системы на примере курса акций РАО ЕЭС, рассматриваются различные виды тенденции, определяются начальные моменты их изменения, фиксируются восходящие тенденции - через последовательно возрастающие точки спадов на небольших интервальных участках и нисходящие - через понижающиеся пики.

Результатом анализа изменения локальных экстремумов являются статистические уравнения (4) и (5) при почти периодических функциях времени.

у_ тах, = 1гепс/_ тах(( тах(г))+с\с1 тах(/), / = 0..23 (4)

у _ тт, = (гет! _ тт(У тт(<)) + с/с/ _ тт(/), = 0 25 (5)

На рисунках 4,5 отражена динамика курса акций у тах,, утт, и аппроксимирующая их зависимость (4), (5) соответственно.

С1 с г сз с* с.5 сл с г с в

Рисунок 3 - Исходные и предсказанные значения скорости изменения курса акций РАО ЕЭС

Рисунок 4 - Аппроксимация эксперимен- Рисунок 5 - Аппроксимация экспе-тальных данных утах, риментальных данных .упип,

Таблица 1.

Экспериментальные данные Прогноз на основе экстраполяции

1 = 1503, максимум 2.8195 1 = 1503, максимум 2.4351

1 = 1483, минимум 3.0595 1 = 1483, минимум 3.5639

Сопоставительный анализ результатов прогноза и экспериментальных данных показал, что последние находятся в пределах доверительного коридора», построенного с помощью функций (4) и (5).

Допустимость использования моделей (4) и (5) в целях прогнозирования подтверждает их оценка на основе исследования значений критерия Дарбина-Уотсона (0\\Ч=1.223, 0\У2=2.538), стандартной ошибки оценивания Еггог1=0.338573, Еггог2=0.342595, коэффициента корреляции Я1=0.977128, 112=0.96551868 и детерминации Шг=0.954778, Я22=0.93222633.

При всей своей интуитивной очевидности данная методика не применима в случаях обнаружения нерегулярного, хаогического поведения траекторий системы. Хаотические динамические системы, обладающие странными аттракторами, описываются дискретными отображениями, такими, например, как логистическое отображение.

Таким образом, глава 2 является подтверждением того, что сложно организованные временные структуры возникают из хаотических состояний, в таких самоорганизующихся системах вместо устойчивости и гармонии обнаруживаются эволюционные процессы, приводящие к еще большему разнообразию и усложнению структур.

В третьей главе предложена схема исследования нелинейных динамических систем на основе нелинейно-нейросетевого анализа (рисунок 6). В основе нелинейно-динамического подхода лежит учет внутренних особенностей системы, в отличие от статистических методов, в которых все факторы полагаются случайными или неопределенными.

Исследуется поведение динамической неравновесной системы на примере курса акций РАО ЮС и Ростелеком, разработана совокупность моделей, отражающая ее поведение.

Главная идея состоит в том, что многие сложные системы могут быть просто описаны с помощью нескольких переменных - параметров порядка. В наиболее важных областях пространства параметров, где меняется число или устойчивость решений, систему можно представить посредством одних и тех же соотношений. Это требует локального анализа поведения системы.

Исследование поведения системы на локальную неравновесность

ЗЕ

Декомпозиция исходных данных

Восстановление ДС в виде совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Ж

Переход к дискретным отображениям

Выявление областей функционирования системы

I

Определение состояний дезадаптации системы

Исследование областей бифуркаций

Определение критических значений управляющего параметра

ъ

Исследование области расширения неравновесности системы

Построение аттрактора

Определение характеристик аттрактора

I

Исследование различных траекторий развития системы

I

Прежняя структура развития

Новая | I Неустой-структура 1 1 чивоехао-развигия I В тическое состояние

Построение совокупности нелинейных уравнений динамики поведения нестационарной системы

Моделирование ДС на основе нейронной сети, построение предиктора

Восстановление и реконструкция аттрактора

Рисунок 6 - Схема анализа и разработки совокупности нелинейных динамических моделей

К простейшим математическим моделям нелинейной динамики можно отнести модели, описывающие дисеипативные системы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений.

В данной главе в качестве совокупности эволюционных уравнений, описывающих поведение нелинейных систем, предлагаются к рассмотрению следующие дифференциальные уравнения:

у = ау-р-у2, (6)

у - а-у-/?• у2-с, О

у = а у-Р у*, (8)

у = а уЦ)-Ру{!)уЦ-т), (9)

где а,р,с - параметры модели, I - моменты времени, г - временная задержка. Уравнение (6) исследуется как дискретное отображение

- ■ - ■ (10) где и = 1,2,3,...; Я - параметр, зависящий от конкретной системы, Я -1 + а.

Уравнение (7) применяется не в форме дискретного отображения У„.!=Л У.-Р у?-с, (И)

а в виде его решения - логистической кривой.

При переходе уравнения (8) к дискретному отображению исследуется совокупность уравнений

■Уп-,1 =>Г Уп (1~Уп)' „Л,

У^1=г у„ (1 + у„ ).

где управляющий параметр г = Л, Л = а + 1; у'„ = у\ <1

Уравнение Хатчинсона (9) применяется в виде дискретного аналога: у'.м =г-у„-{\-у'.-,■), (13)

где г = 1, у„ = -р'Уп-

Применение дискретного аналога модели Хатчинсона для исследования поведения системы связано с выяснением вопроса: обладает ли система чувствительностью к начальным данным.

Каждому из уравнений (10), (12), (13) соответствует определенный диапазон изменения управляющего параметра, согласно которому определяются области

Рисунок 7- Бифуркационная диаграмма логистического отображения (10)

Рисунок 8 - Бифуркацион- Рисунок 9 - Бифур-ная диаграмма логистиче- кационная диаграм-ского отображения (12) ма логистического

отображения (13)

эволюции системы, области бифуркаций и хаоса. Для выявления этих областей строятся бифуркационные диаграммы отображений (10), (12), (13), представленные на рисунках 7,8,9 - соответственно.

На основе анализа данных графиков получены четкие границы областей бифуркаций, отраженные в таблице 2.

Таблица 2 - Критические значения управляющего параметра

Бифуркационная диаграмма модели Значение управляющего параметра

Область эволюции Область бифуркаций Область хаоса

У«| = г-у. (1-у.) г< 3 3 ^ г < 3.57 г г 3.57

У.*> =гу„(\-у'.2) г <1.9981 1.9981 £ г < 2.3 г £2.3

у'п+1 = г-(!-/„-<■) г <1.99 1.99 5 г <2.0 г к 2.0

Целью исследования области бифуркаций является определение неподвижных точек логистического отображения. За счет бифуркаций система скачком переходит из одного состояния в другое. При этом неподвижные точки как приобретают устойчивость, так и теряют ее. Полученные в результате исследования значения неподвижных точек, соответствующих устойчивым циклам, формируют возможные траектории поведения системы.

На основании анализа и декомпозиции исходных экспериментальных данных и применения модели (11) для каждого участка разбиения, построена кусочно-

аппроксимирующая логистическая модель вида (14), используемая в области регулярного поведения системы.

Уа(<)2-4•/?(/) с(<) +

У(0

Ja(t)2 -4 • /?(>)■ c(f) + a(l)

exp(ln(

2 m

1 + exp(ln(

Va(02-4-/?(<)~(Q-

> + A/«(')z - 4-^(0 c(0 (/-«(0)>

(14)

(0^-4 P(t) c(t) - a(l)

2 Ж0

1 + exp(ln(

F(0

KO ••■•

+ V«W2 - 4 • /?(') • c(0 • (' ~ «('))) '

где n(() - смещение относительно начала координат, ytt(t) - начальные значения каждого временного участка разбиения экспериментальных данных, t— моменты времени, a(t),p{t),c{t) - коэффициенты, полученные МНК из уравнения (11).

На рисунке 10 графически отражена экспериментальная зависимость У(<) от моментов времени t, аппроксимирующая курс акций РАО ЕЭС у(0 после дефолта, полученная со-uiacHO модели (14). Очевидно, распределение остатков примерно нормальное, что свидетельствует о хорошей согласованности реальных и восстановленных данных.

Исследование области бифуркаций продемонстрировано на примере курса акций Ростелеком. Области бифуркаций соответствует временной интервал 10.09.2003 - 18.09.2003 г., в количестве 7 дискретных моментов времени.

_!_J__I_L_

Рисунок 10 - Аппроксимация экспериментальных данных курса акций после дефолта зависимостью

О 02 04 0.6 ад I

Рисунок 11 - Устойчивые циклы в логистическом отображении

В результате исследования получены траектории регулярного развития системы в области бифуркаций и траешории, определяемые близостью к предельным точкам в виде двух, четырех и т.д. возможных направлений развития системы.

На рисунке 11 четко прослеживаются устойчивые орбиты дискретного отображения, согласно которым определены значения устойчивых точек отображения для управляющего параметра г = 3.56 и начального приближения первой орбиты у, = 0.7195.

Таким образом, поведение системы курса акций при соответствующем управляющем параметре определяется значениями предельных точек отображения. Так, при определенных значениях управляющего параметра и моментов времени выявляются устойчивые траектории, к которым стремится состояние системы в заданной области бифуркаций. Предложена программная реализация анализа области бифуркаций.

На следующем этапе исследования строится анал итическая зависимость тахш = /(max,) и minK1 =/(mm,). Наличие такой функции / позволяет прогнозировать дальнейших ход процесса, исходя из его предыстории. На примере динамики поведения исследуемой системы курса акций РАО ЮС выделены локальные экстремумы, отраженные на рисунке 12. Предложенные модели да-Рисунок 12 - Динамика локальных экстремумов ют количественную оценку

экстраполяции значений локальных минимумов для момента времени / = 1348 равную y min = 4.05007, при фактическом значении ут\п = 4 5882, локальных максимумов для / = 1511 равную у_тах = 3.064868 при утах = 3.141.

В результате исследования поведения локальных экстремумов построено отображение Дг„„ =£(Д/„). Экстраполированы как значения экспериментальных данных динамики поведения системы, так и моменты времени их появления. На рисунках 13, 14

отражены аппроксимирующие дискретные отображения.

Рисунок 13 - Экстраполяция моментов времени появления локальных минимумов в поведении системы курса акций РАО ЕЭС с помощью построенного отображения для / = 21,у = 5.

Рисунок 14 - Экстраполяция изменения моментов времени появления локальных максимумов в поведении системы курса акций РАО ЕЭС с помощью построенного отображения для / = 21, у = 5.

Определены прогнозируемые значения у(Г) и прогнозируемая область возможного поведения системы курса акций РАО ЕЭС. При гтт = 1433 - /_тт = 1417, при /тах = 1354 - /_тах = 1353.

Очевидно, что построенная нелинейная модель не обладает свойством самообучения и может применяться при сохранении общей структуры развития системы. Важно, однако, что модель у^ = .....у,.....у,гт,—,у„) существует в ввде системы зависимостей

-аппроксимир ующая зависимость I тш

-экслерим. данные локальных минимумов №ип

-аллрсжсимц). зависимость ^тах

-экслерим.

данные Шгах

сч

Уп*1 ~ гг' У« О-Л) у„„=Л у„-р-у]-с

У^Ъ-у.-Ц + у.1) ' 05)

= г4 у_тахп-(1 -у_таха) у_ггип„+| = г3 (1 -тт'„)

/_тахм1 = г6-<_тах^(1-г_тах),)

где /и - размерность выборки, г-управляющий параметр отображения, у'п,у,п1- значения полученные в результате некоторых преобразований, /_тах„,/_тах'„4,,/_тт„,;_тт„1.|- значения /_тах„,<_гпахлИ,/_тт„,/_т1п„<.| соответственно, полученные в результате некоторых преобразований.

В данной главе предпринята попытка объединения идей синергетики, нелинейной динамики и нейронауки.

В качестве инструмента построения краткосрочных прогнозов используется также и многослойная нейронная сеть, которую можно рассматривать в качестве математической модели исследуемого развития системы. Основные функции сегги определяются в соответствии с формулами функционирования многослойной нейронной сети:

„(*-') , ч ( ч

у, ■=/(£, .), где 5,,= I у/, ..-Т. 1^ = 1,2.....пкт>,

(16)

и = 1,2, ..,/,/(5)= 1

1 + ехр(-5)

где S ~ взвешенная сумма / -го нейрона выходного т -го слоя, w- весовой коэффициент, Т(„)- порог /-го нейрона m-го слоя, у- выходное значение нейрона, /номер нейрона, я-число нейронов, /-число слоев, f(S) - функция активации.

Синаптические веса настраиваются в соответствии с формулой: wij (' + 0 = wy (')-«• errj ■ xt, (17)

где wt/ - синагггическая связь между /-ым и j -ым нейронами различных слоев, х-

выход нейрона / или i-ый элемент входного сигнала, а - коэффициент скорости обучения, ertj - значение ошибки для j -го нейрона.

Ошибка для j -го нейрона выходного слоя рассчитывается по формуле

(,\-У)) {у)-у^, (18)

где у3 - целевое выходное значение нейрона, у 1 - текущее выходное значение нейрона

Для ) -го нейронного элемента, принадлежащего одному из слоев с первого по предпоследний

(\-х^еггк-у.к, (19)

где у-ый нейрон принадлежит предыдущему слою, а индекс к пробегает все нейроны последующего слоя.

Согласно теореме Такенса, для некоторых значений т должна существовать такая функция /*", что ук,т = Р(ук,у1,,,у1,т ,)■ В результате процесса обучения нейронная сеть вычисляет функцию Р , затем на вход сети подаются компоненты временного ряда у„.„и,--,у, а на выходе получается искомая величина у„&1. При тестировании с целью проверки качества обучения нейросети значения у,м, у„„2,..., полученные в качестве прогноза, сравниваются с заранее известными значениями временного ряда.

Рассмотренная выше методика применена для создания предиктора, используемого в целях прогнозирования динамики курса акций РАО ЕЭС России. Создание и обучение трехслойной нейронной сети осуществлялось средствами соответствующих программных пакетов с использованием четырех алгоритмов обучения. Результаты прогноза представлены в таблице 3.

Таблица 3 - Текущее и предсказанное состояние системы на примере курса акций РАО ЕЭС России

Текущее значение состояния системы курса акций для / = 1519 Предсказанное состояние системы средствами

пакета программ SNN (Levenberg-Marquards) пакета программ SNN (Conjugate Gradients) прогр. пакета Braincel (BackPercola-tion) прогр. пакета BrainMaker (Backpropaga-tion)

3.14097 3.074306 3.071519 3.05000 3.1414

В результате построена наиболее эффективная сеть в виде MLP 7/4/1 для 1517 моментов времени при коэффициенте скорости 1 и допустимом уровне ошибки 0.1, которая способствовала более точным предсказанным значениям. Процесс обучения составил 1 час 17 сек. Экспериментальным путем установлен оптимальный горизонт прогноза - одна неделя. При этом суммарная ошибка сети составляет в среднем ОД813, а кор-

реляция 0,98490098, что свидетельствует о возможном ее применении в целях прогнозирования.

При исследовании возможностей нейросетей различных конфигураций, были зафиксированы основные негативные эффекты, затрудняющие процесс обобщения данных. В ходе исследования результаты нейросетевого прогноза сравнивались с прогнозами, полученными с помощью построенных моделей статистического и нелинейного анализа.

Присутствие в поведении системы области хаоса определяет ее дальнейшее поведение. В области хаоса система может вести себя как самоорганизующая, так и просто хаотичная - странный аттрактор. Выяснить, насколько хаотично ведет себя система можно только, определив, насколько хаотичен аттрактор одномерного отображения. Воспользовавшись методикой, предложенной Таксисом восстановлена размерность предполагаемого аттрактора и фазовый портрет системы курса акций РАО ЕЭС до точки дефолта и после дефолта. Получена оценка показателя Херста, подтверждающая наличие антиперсистентного ряда с отрицательной мерой корреляции и характеризующая его как ряд случайный, состоящий из частых реверсов спад-подьем. Поэтому исследуемая область временного ряда курса акций РАО ЕЭС не является сам организующейся областью. Наличиие же аттрактора позволит определить возможное поведение системы в будущем.

Таким образом, третья глава подробно рассматривает проблемы, связанные с применением нелинейно-нейросетевого подхода к анализу поведения сложных нестационарных систем, и подтверждает его эффективность.

В заключении представлены основные результаты исследований, проведенных в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена усовершенствованная методика восстановления динамики состояний системы на основе методов корреляционно-регрессионного анализа с использованием математического и программного обеспечения.

2. Представлен математический эволюционный оператор, описывающий динамику поведения системы на примере курса акций РАО ЮС России.

3. Приведено статистическое уравнение изменения локальных экстремумов во времени при почти периодической функции времени, построен «корвдор поведения системы» на основании функций локальных максимумов и минимумов.

4. Отражен процесс создания многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов в виде разработанного алгоритма.

5. Собраны все необходимые статистические данные, имеющие отношение к оцениваемому параметру системы.

6. Представлены результаты оценки влияния факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы и построения прогноза ее поведения.

7. Построена статистическая совокупность моделей анализа динамики поведения системы на основе аддитивной модели с последующей ее оценкой, модифицированной многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, статистического уравнения изменения экстремумов при почти периодической функции времени.

8. Выявлено наличие нестатистического аспекта в поведении системы и необходимость применения нелинейно-динамического подхода с целью наилучшего имитирования поведения исследуемой системы на основе гипотезы о том, что отклонения модельных значений параметров от их реально наблюдаемых случайны.

9 Разработана схема нелинейно-нейросетевого анализа динамики поведения исследуемой системы и применена как инструмент научно обоснованных предсказаний, в составе которой использован математический аппарат теории катастроф и бифуркаций, нейросетевой анализ.

10. Представлен сравнительный анализ построенной гетерогенной сети на основе различных алгоритмов обучения с использованием трех программных сред нейросете-вого моделирования, позволяющей по экспериментальным данным исследовать интегральные свойства изучаемой системы и определять ее состояние на ближайший временной интервал.

11. Предложена детализация этапов исследования поведения системы в вцде разработанного программного продукта.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лебедев В.И., Братченко Н Ю, Леонтьев М. Исследование динамики курса акций РАО ЕЭС и ГАЗПРОМ // Материалы V Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону». Ставрополь, 2001. Технические и прикладные науки. Часть вторая. С. 27.

2. Братченко Н Ю. Математическое моделирование динамики курса акций РАО ЕЭС. // Наука Ставрополью. Сборник научных трудов Ставропольский институт бизнеса и технологий «Бизнестранс». Ставрополь, 2002, С.4-7.

3. Братченко Н.Ю. Математическое моделирование динамики курса акций РАО ЕЭС и РАО Газпром после дефолта 1998 года // Материалы П Региональной научной конференции студентов и преподавателей, Георгиевск, 2002 г. С. 109-112.

4. Лебедев В.И., Братченко Н.Ю. Математическая модель развития РАО ЕЭС после дефолта // Теоретические и прикладные проблемы современной физики: Материалы Региональной научной конференции. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. С. 311-315.

5. Братченко Н.Ю. Прогнозирование динамики курса акций РАО ЕЭС // Материалы IV Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - СевероКавказскому региону». Ставрополь: СевКавГТУ, 2002. Экономические науки. Часть третья. С. 50.

6. Братченко Н.Ю. Математическое моделирование - инструмент экономического исследования динамики курса акций РАО ЕЭС. Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках // Сборник трудов третьей региональной научной конференции 17-19 апреля 2003 г., Георгиевск. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2003. С. 69-70.

7. Лебедев В.И., Братченко Н.Ю. Исследование динамики курса акций РАО ЕЭС // Проблемы физико-математических наук: Материалы 48 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003. С. 73-75.

8. Братченко Н.Ю. Исследование курса акций после дефолта. Математическое моделирование и информационные технологии (в технике, науке, природе и обществе) II Сборник трудов четвертой региональной научной конференции 16-17 апреля 2004 г., Георгиевск. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. С. 52-53.

9. Лебедев В.И., Братченко Н.Ю. Связь дифференциальных систем и дискретных отображений. // Вестник СевКавГТУ, серия физико-химических наук, №1(8), Ставрополь, 2004. С. 23-27.

10. Каргина И.И., Братченко Н.Ю. Компьютерные технологии в обучении методам статистической обработки экспериментов данных с применением результатов научных исследований // IX Санкт-Петербургская Международная конференция. Региональная информатика - 2004 «РИ-2004», С. 295.

П.Братченко НЛО. Моделирование динамических систем на основе нейронной сети. Информационные системы, технологии и модели управления производством: Сборник материалов международной научно-практической конференции. - Ставрополь, 2005 г. С.98-100.

12.Братченко Н.Ю. Схема анализа и разработки нелинейной динамической модели на примере курса акций РАО ЕЭС // Материалы VIII Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону». Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. С. 101.

13.Братченко Н.Ю. Методологические основы построения математической модели, отражающей динамику поведения стационарной системы. // Материалы VIII Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука—Северо-Кавказскому региону». Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. С. 102.

14.Братченко Н.Ю., Каргина И.И. Алгоритм нелинейного анализа динамической системы // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2004) Материалы П1 Всероссийской научно-практической конференции Часть 1, С 148-150.

15.Братченко Н.Ю., Хомяков А.И. Комплекс программ реализации алгоритма нелинейного анализа динамической системы // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2004) Материалы III Всероссийской научно-практической конференции Часть 1, С. 151-152.

16.Братченко Н.Ю. Алгоритм построения многофакторной модели для анализа динамики и прогнозирования поведения системы на примере курса акций РАО ЕЭС П Традиции, инновации и инвестиции современной рыночной экономики. Материалы Международной научно-практической конференции В 2-х ч. - Казань- Академия управления «ТИСБИ», 2004г. С. 234-239.

П.Братченко Н.Ю., Лебедев В.И. Моделирование динамики поведения макроэкономических систем в областях бифуркаций // Сборник научных трудов СевКавГТУ, серия «Естественнонаучная», №1, Ставрополь, 2005. С.6-8.

18.Братченко Н.Ю., Каргина И.И. Разработка совокупности нелинейных моделей анализа нестационарных систем // Сборник научных трудов СевКавГТУ, серия «Естественнонаучная», №1, Ставрополь, 2005. С.8-11

Подписано ь печать 17.11.2005 г.

Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1,6 Уч.-изд. л. 1,1 Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ 681 Тираж 100 экз. ГОУВПО «Северо-кавказский государственный технический университет» 355029 г. Ставрополь, пр Кулакова, 2

Издательство Северо-кавказского государственного технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

»23 4 5 1

РЫБ Русский фонд

2006-4 27934

Введение.

Глава 1. Обзор методов построения математических моделей.

1.1. Обзор методов и задач анализа динамических временных рядов.

1.2. Обзор работ в области корреляционного и регрессионного анализа.

1.3. Обзор по нелинейной динамике и нейросетевому моделированию.

1.4. Обзор методов прогнозирования.

Глава 2. Построение статистической совокупности моделей анализа при условиях стационарности динамических систем.

2.1. Методика анализа и разработки комплекса статистических моделей, отражающих динамику поведения системы.

2.2. Построение однофакторной модели анализа динамики поведения системы

2.2.1. Анализ исходной системы и выявление тенденции ее поведения.

2.2.2. Анализ системы курса акций РАО ЕЭС и определение тенденции ее поведения.

2.2.3. Оценка точности и адекватности уравнения тенденции.

2.2.4. Оценка точности и адекватности уравнения тенденции системы курса акций РАО ЕЭС.

2.2.5. Определение цикличности в динамике поведения системы.

2.2.6. Определение цикличности в динамике поведения системы на примере курса акций РАО ЕЭС.

2.2.7. Построение обобщенной регрессионной модели системы.

2.2.8. Построение обобщенной регрессионной модели системы курса акций РАО ЕЭС и оценка ее адекватности.

2.3. Разработка многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов.

2.3.1. Спецификация и анализ факторов, влияющих на скорость изменения состояния системы.

2.3.2. Спецификация и анализ факторов, влияющих на скорость изменения состояния системы курса акций РАО ЕЭС после дефолта.

2.3.3. Построение системы многофакторных уравнений.

2.3.4. Решение многофакторных уравнений на примере системы курса акций РАО ЕЭС после дефолта.

2.3.5. Переход к стандартизированной форме многофакторного уравнения

2.3.6. Переход к стандартизированной форме многофакторного уравнения для курса акций РАО ЕЭС.

2.3.7. Оценка адекватности модели.

2.3.8. Оценка адекватности многофакторной модели на примере системы курса акций РАО ЕЭС после дефолта.

2.3.9. Прогнозирование и экстраполяция разработанной модели.

2.3.10. Прогнозирование и экстраполяция разработанной многофакторной модели для курса акций РАО ЕЭС после дефолта.

2.4. Построение модели анализа появления локальных экстремумов в динамике поведения системы.

2.5. Выводы.

Глава 3. Разработка схемы исследования нелинейных динамических систем

3.1. Построение алгоритма нелинейно-нейросетевого анализа нестационарных систем.

3.2. Исследование поведения системы на локальную неравновесность.

3.2.1. Анализ и декомпозиция исходных данных.

3.2.2. Восстановление ДС в виде совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

3.2.3. Переход к дискретным отображениям.

3.2.4. Выявление областей функционирования системы.

3.3. Определение состояний дезадаптации системы.

3.3.1. Исследование областей бифуркаций.

3.3.2. Определение критических значений управляющего параметра и устойчивых точек.

3.3.3. Применение алгоритма нелинейного анализа на примере системы курса акций РАО ЕЭС.

3.3.4. Применение алгоритма нелинейного анализа на примере системы курса акций Ростелеком.

3.3.5. Построение «доверительного коридора» поведения системы.

3.3.6. Выявление соответствия аппроксимирующей модели области поведения системы на примере системы курса акций РАО ЕЭС.

3.4. Исследование области расширения неравновесности системы.

3.4.1. Построение аттрактора.

3.4.2. Определение характеристик аттрактора.

3.5. Исследование различных траекторий развития системы.

3.5.1. Построение совокупности нелинейных уравнений динамики поведения нестационарной системы.

3.5.2. Моделирование ДС на основе нейронной сети, построение предиктора.

3.5.3. Восстановление и реконструкция аттрактора на примере системы курса РАО ЕЭС в области хаоса.

3.6. Выводы.

Актуальность темы исследования. Методология анализа динамики поведения сложной системы, используемая на этапе планирования и принятия решений на основе прогнозирования, имеет существенные недостатки, связанные с отсутствием строгой формализации соответствующих процедур, эффективных способов организации и проведения вычислений. Численные методы линейной и нелинейной динамики, реализованные средствами программных пакетов Statis-tica, Statgraphics, MathCad, нейросетевые технологии, реализованные программными средствами BrainMaker Professional, Braincel, Statistica Neural Network позволяют решать статистические и математические задачи определения и восстановления моделей, отражающих динамику поведения изучаемой системы, реализуют основные функции математического моделирования, однако не приспособлены для реализации методов научного управления, основанных на теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетях.

В области анализа экспериментальных данных и разработки методики исследования и управления состоянием системы средствами автоматизации имеются существенные недостатки, связанные с необходимостью выявления структуры взаимосвязей параметров, от которых зависит состояние системы, отсутствием комплексного подхода к изучению динамики ее поведения, с требованиями к точности предсказания состояния системы. Разнообразие и сложность исследования нестационарных систем, в которых процессы развиваются во времени и пространстве, ставят новые задачи перед математическим моделированием. Традиционный путь их решения связан с разработкой одного или системы стандартных уравнений исследования, со сложной техникой анализа и многочисленными компьютерными расчетами. Поэтому естественно возникает необходимость выбора радикального, альтернативного пути решения - представлять различные нестационарные системы совокупностью как статистических, так и динамических эволюционных операторов на дискретном языке, считая, что само состояние системы может принимать конечный набор значений.

Таким образом, учитывая, что в рамках традиционных подходов не удается получить существенного улучшения качества анализа поведения сложных нелинейных систем, актуальным является разработка и применение соответствующих методик на основе новых подходов.

Объектом диссертационного исследования являются нелинейные динамические системы.

Предметом диссертационного исследования являются алгоритмы анализа развития нестационарных систем, математические модели и методы их исследования.

Целью диссертационного исследования является повышение эффективности методов статистического, нелинейного анализа и экспериментального исследования динамики поведения нестационарной системы на примере курса акций РАО ЕЭС России и Ростелеком и их программной реализации.

Научная задача исследования состоит в разработке и применении алгоритмов и методов статистического, нелинейного анализа основанных на теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетях, экспериментальном исследовании динамики поведения нестационарных систем.

Для решения общей научной задачи была проведена ее декомпозиция на ряд следующих частных задач:

- разработка алгоритма анализа системы экспериментальных данных с применением методов математической статистики средствами программных математических пакетов;

- разработка алгоритма многофакторного анализа состояния системы и интервальной оценки результата экстраполяции;

- разработка алгоритма нелинейно-нейросетевого анализа системы для получения информации о динамике ее поведения при различных траекториях развития исследуемой системы;

- разработка метода оценки построенной нейронной сети на основе результатов эксперимента;

- разработка программного средства для реализации алгоритма нелинейного анализа динамики поведения состояния системы;

- статистическая обработка результатов исследования.

Методы исследования. Для решения поставленных научных задач использованы методы статистического, нелинейного анализа, теории динамических систем, теории хаоса, нейронных сетей.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается строгостью производимых математических выкладок, базирующихся на аппарате теории динамических систем, нелинейного анализа, теории хаоса, нейронных сетей.

Справедливость выводов относительно эффективности разработанных моделей подтверждена результатами вычислительных экспериментов.

Научная новизна результатов.

1. Показано, что алгоритм, построенный на основе статистического анализа, не позволяет достаточно адекватно описать поведение сложной нестационарной системы.

2. Применена модификация стандартного подхода к построению методологии многофакторного анализа изучаемой системы с использованием процедуры декомпозиции влияющих на состояние исследуемой системы факторов, позволяющая судить о влиянии каждого из выбранных факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы, повышающая его эффективность и используемая в целях краткосрочного прогнозирования скорости изменения состояния системы. Получена интервальная оценка прогноза на основе разработанной модели.

3. Предложена схема исследования нелинейных систем на основе построения алгоритма нелинейно-нейросетевого анализа динамических систем.

4. Разработан программный пакет исследования поведения системы на локальную неравновесность и определения состояний дезадаптации изучаемой системы.

5. При исследовании динамики состояния системы проведен сравнительный анализ применяемых современных программных средств нейросетевого моделирования и алгоритмов обучения системы на основе динамики ее поведения.

6. Построена совокупность нелинейных уравнений динамики поведения нестационарной системы.

Практическая значимость.

1. Усовершенствована методика восстановления динамики состояний системы на основе математических и программных средств корреляционно-регрессионного анализа. Данная методика основана на построении статистической совокупности моделей анализа динамики поведения сложной системы на базе аддитивной модели с последующей ее оценкой, модифицированной многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, статистического уравнения изменения экстремумов во времени при почти периодической функции времени. Результаты могут быть использованы для оценки влияния ряда факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы и для построения прогноза ее поведения.

2. Разработана схема нелинейного-нейросетевого анализа динамики поведения исследуемой системы, которая включает в себя математический аппарат теории катастроф и бифуркаций, построение нейронных сетей, выбор оптимальной из них и сравнительный анализ построенной сети на основе различных алгоритмов обучения с использованием трех программных сред нейросетевого моделирования, позволяющая по экспериментальным данным исследовать интегральные свойства изучаемой системы и определить ее состояние на ближайший временной интервал.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритм построения комплекса статистических моделей анализа поведения системы.

2. Алгоритм восстановления многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, отражающей изменение скорости поведения состояния системы.

3. Многофакторная модель динамики скорости изменения состояния системы.

4. Статистическое уравнение изменения экстремумов во времени при почти периодической функции времени и оценка корректности модели на основе сравнительного анализа.

5. Алгоритм нелинейно-нейросетевого анализа нестационарной системы.

6. Совокупность математических моделей нелинейно-динамического анализа.

7. Метод оценки построенной нейронной сети на основе результатов сравнительного анализа используемых алгоритмов обучения средствами трех программных сред нейросетевого моделирования.

8. Программное средство реализации алгоритма нелинейного анализа динамики поведения состояния системы.

Личный вклад автора. В работах, опубликованных в соавторстве, соискателем: предложена схема построения комплекса статистических моделей анализа, адекватно описывающего поведение сложной системы [16, 17, 18, 19]. Применена модификация стандартного подхода к построению методологии многофакторного анализа изучаемой системы с использованием процедуры декомпозиции влияющих на состояние исследуемой системы факторов, позволяющая судить о влиянии каждого из выбранных факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы, повышающая его эффективность и используемая в целях краткосрочного прогнозирования скорости изменения состояния системы [15, 47]. Предложена схема исследования нелинейных систем на основе построения алгоритма нелинейно-нейросетевого анализа динамических систем [22, 23]. Разработан программный пакет исследования поведения системы на локальную неравновесность и определения состояний дезадаптации изучаемой системы [26]. Проведен сравнительный анализ применяемых современных программных средств нейросетевого моделирования и алгоритмов обучения системы на основе динамики ее поведения [20]. Предложен новый подход к построению оптимальной нейронной сети в целях анализа и прогнозирования состояния системы [20]. Построена совокупность нелинейных уравнений динамики поведения нестационарной системы [24, 25].

Внедрение результатов. Полученные в данной диссертационной работе результаты реализованы в учебном процессе Северо-Кавказского государственного технического университета (акт внедрения от 6.09.2005г.), внедрены в ООО «Моби» (акт внедрения от 19.09.2005г.) и ООО «РР-ИКС» (акт внедрения от 11.08.2005г.).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались pi обсуждались на V Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону» (Ставрополь, 2001 г.), 48 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2003 г.), на IX Санкт-Петербургской международной конференции «Региональная информатика 2004» (Санкт-Петербург, 2004 г.), на первой международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2004 г.), на международной научно-практической конференции «Традиции, инновации и инвестиции современной рыночной экономики» (Казань, 2004 г.), III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (Анжеро-Судженск, 2004 г.), на международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию Ставропольского государственного аграрного университета «Информационные системы, технологии и модели управления производством» (Ставрополь, 2005 г.).

Публикации. По теме работы опубликовано 18 работ, из них 9 в соавторстве.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, приложения и списка литературы, содержащего 131 наименование. Основная часть работы содержит 138 страниц машинописного текста, из них 60 рисунков и 12 таблиц.

Основные результаты и выводы работы состоят в следующем:

1. Предложена усовершенствованная методика восстановления динамики состояний системы на основе методов корреляционно-регрессионного анализа с использованием математического и программного обеспечения.

2. Представлен математический эволюционный оператор, описываю-^ щий динамику поведения системы на примере курса акций РАО ЕЭС России.

3. Приведено статистическое уравнение изменения локальных экстремумов во времени при почти периодической функции времени, построен «коридор поведения системы» на основании функций локальных максимумов и минимумов.

4. Отражен процесс создания многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов в виде разработанного алгоритма.

5. Собраны все необходимые статистические данные, имеющие отно-ш шение к оцениваемому параметру системы.

6. Представлены результаты оценки влияния факторов на скорость изменения состояния изучаемой системы и построения прогноза ее поведения.

7. Построена статистическая совокупность моделей анализа динамики поведения системы на основе аддитивной модели с последующей ее оценкой, модифицированной многофакторной модели на основе неоднородности ее коэффициентов, статистического уравнения изменения экстремумов при почти периодической функции времени.

8. Выявлено наличие нестатистического аспекта в поведении системы и необходимость применения нелинейно-динамического подхода с целью наилучшего имитирования поведения исследуемой системы на основе гипотезы о том, что отклонения модельных значений параметров от их реально наблюдаемых случайны.

• 9. Разработана схема нелинейно-нейросетевого анализа динамики поведения исследуемой системы и применена как инструмент научно обоснованных предсказаний, в составе которой использован математический аппарат теории катастроф и бифуркаций, нейросетевой анализ.

10. Пред став лен сравнительный анализ построенной гетерогенной сети на основе различных алгоритмов обучения с использованием трех программных сред нейросетевого моделирования, позволяющей по экспериментальным данным исследовать интегральные свойства изучаемой системы и определять ее состояние на ближайший временной интервал.

11 .Предложена детализация этапов исследования поведения системы в виде разработанного программного продукта.

Заключение

1. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Ме-® таллургия, 1968. 230 с.

2. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С. Прикладная статистика: Справочное издание / Под ред. С.А. Айвазяна. М.: Финансы статистика, 1989.607 с.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959. 926 с.

5. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: • Наука, 1990.

6. Анищенко B.C. Динамические системы // Соровский образовательный журнал, 1997.

7. Анищенко B.C. Устойчивость, бифуркации, катастрофы // Соровский Образовательный Журнал. 2000. Т. 6, №6. С. 105 109.

8. Арнольд А.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели // Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков / Всероссийская конференция, МЦНМО, 2000.

9. Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. М.: Наука, 1990. 128 с.

10. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию бифур-ф каций динамических систем //Соровский образовательный журнал, 1997. №1.1. С. 115-121.

11. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1979.

12. Берже П., Помо П., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

13. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление, М.: Мир, 1974. Вып. 1. 288 е.; Вып. 2. 197 с.

14. Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. - 2-е изд", стереотипное. М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1998. 608 с.

15. Братченко Н.Ю. Математическое моделирование динамики курса акций РАО ЕЭС и РАО Газпром после дефолта 1998 года // Материалы II Региональной научной конференции студентов и преподавателей. Георгиевск, 2002 г. С. 109-112.

16. Ставрополь: СевКавГТУ, 2003. С. 69 70.

17. Братченко Н.Ю. Моделирование динамических систем на основе а нейронной сети // Информационные системы, технологии и модели управления производством. Сборник материалов международной научно-практической конференции. Ставрополь, 2005 г. С.98 100.

18. Братченко Н.Ю. Прогнозирование динамики курса акций РАО ЕЭС // Вузовская наука Северо-Кавказскому региону / Материалы IV Региональной научно-технической конференции. Ставрополь: СевКавГТУ, 2002. Экономические науки. Ч. 3. С. 50.

19. Братченко Н.Ю., Каргина И.И. Разработка совокупности нелинейных моделей анализа нестационарных систем // Сборник научных трудов СевКавГТУ, серия «Естественнонаучная». Ставрополь, 2005. №1. С.8 11.

20. Братченко Н.Ю., Лебедев В.И. Моделирование динамики поведения макроэкономических систем в областях бифуркаций // Сборник научных трудов СевКавГТУ, серия «Естественнонаучная». Ставрополь, 2005. №1. С.6 8.

21. Вайну Я. Я.-Ф. Корреляция рядов динамики. М.: Статистика, 1977. 119 с.

22. Вайнштеин А.Л. Эконометрия и статистика // Предисловие к кн.: Тинтнер Г. Введение в эконометрию. М.: Статистика, 1965. С.5 26.

23. Венсель В.В. Интегральная регрессия и корреляция: Статистическое моделирование рядов динамики. М.: Финансы и статистика, 1983. 223 е., ил.

24. Видяпина В.И. Бакалавр экономики (Хрестоматия), 2003. Т.2.

25. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели: Учеб. Пособие для вузов. М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995. 136 с.

26. Гусев А.Н. Дисперсионный анализ в экспериментальной психологии: Учеб. Пособие. М.: Учебно-методический коллектор «Психология», 2000. 136 с.

27. Демиденко Е.З. Линейная нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.

28. Дефальдера Э. «Невидимая рука»: миф и реальность рынка, рассматриваемого как спонтанный порядок // Реферативный журнал «Общественные науки за рубежом», 1991. Сер.2. №6.

29. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир. Вып. 1, 1971. 316 е.; Вып. 2, 1972. 288 с.

30. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электроника. М.: Наука, 1989.

31. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: ИН-ФРА-М, 1997. -XIV, 402 с.

32. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах, Кн. 1., М.: Финансы и статистика, 1986. 366 е., Кн. 2., М.: Финансы и статистика, 1987. 351 с.

33. Елисеева И.И Эконометрика: Учебник. М.:Финансы и статистика/2001. 344 е.: ил.

34. Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордеенко Н.М и др. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2001. 192 е.: ил.

35. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. Чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. М.: Финансы и стати® стика, 1996. 368 е.: ил.

36. Емельянов С.В., Коровин С.К. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2. (Ред.) 2002. Твердый переплет. 336 с.

37. Ерохин С.А., Статья: Синергетическая парадигма современной экономической теории, 2004.

38. Заботнев М.С. Динамика инвестиционного процесса: анализ и прогноз, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. М., 2001.

39. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.И. Математические # методы в экономике. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во «ДИС», 1997.

40. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. М.: Мир. 19999. 335 е., ил.

41. Каяйкина М.С. Статистические методы изучения динамики урожайности. Л., 1969.

42. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.

43. Ф 50. Климонтович Н.Ю. Без формул о синергетике. Минск, 1986. С.6,9.

44. Князева Е., Туробов А. Единая наука о единой природе. Синергетика значит «совместное действие». М.: Новый мир, 2000. №3.

45. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М., 1994.

46. Кобелев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей / Учеб.-практ. пособие. М.: ЗАО «Фнстатинформ», 2000. 246 с.

47. Кобелев Н.Б., Шатаев И.М. Системное решение проблем управления в сфере обслуживания населения. М.: Легкая индустрия, 1979. ^ 55. Кожухарь Л.И. Основы общей теории статистики. М.: Финансы истатистика, 1999. 144 е.: ил.

48. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей математическая статистика: Учебник / Под ред. В.А. Колемаева. М.: ИНФРА-М, 1997. 302 с. (Серия «Высшее образование»),

49. Комашинский В.И., Смирнов Д.А. Нейронные сети и их применение в системах управления и связи. М.: Горячая линия Телеком, 2003. 94 с.

50. Краснощеков П.С., Петров А.А. Введение в математическое моде-• лирование. М.: Наука, 1984.

51. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М., 1985. 520 с.

52. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. 2-е изд., стереотип. М.: Горячая линия - Телеком, 2002. 382 е.: ил.

53. Круглов В.В., Дли М.И., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети, 2001. 224 с.

54. Крук Д.М., Лукин B.C., Мосин В.И. и др. Основы экономического и социального прогнозирования. М.: Высшая школа, 1985.

55. Кузнецов А.П. Наглядные образы хаоса. // Соровский Образовательный Журнал, 2000. Т.6. №11. С. 104-110.ф 64. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций, 2001. 296 с.

56. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы. М., 1983.

57. Ласло Э. Пути, ведущие в грядущее тысячелетие: проблемы и перспективы. Вопросы истории естествознания и техники (ВИЕТ) №4 1997, №1 1998.

58. Лебедев В.И., Братченко Н.Ю. Математическая модель развития РАО ЕЭС после дефолта // Теоретические и прикладные проблемы современной физики / Материалы Региональной научной конференции. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. С. 311-315.

59. Лебедев В.И., Братченко Н.Ю. Связь дифференциальных систем и дискретных отображений. // Вестник СевКавГТУ, серия физико-химических наук. Ставрополь, 2004. №1(8).

60. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: 2000. 528 с.

61. Ллойд Э., Ледерман У. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т., под ред. Тюрина Ю.Н. М.: Финансы и статистика, 1989, 1990.

62. Лоскутов А.Ю., Михаилов А.П. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

63. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М.: Статистика, 1979. 254 с.

64. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. 4-е изд. М.: Дело, 2000. 400 с.

65. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». М.: Едиториал УРСС, 2002. 360 с.

66. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. Изд. 3-е, стереотипное. М.: Едиториал УРСС, 2002. 256с.

67. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. М.: Едиториал УРСС, 2001. 160 с.

68. Мане л ля А. И., Юзбашев М.М. Исчисление показателей динамики на основе аналитического выравнивания и границы его целесообразности. В кн.: Проблемы теории статистики. М., 1978. с. 162-167.

69. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения: Пер. с англ. М., 1980. 368 с.

70. Моисеев И.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

71. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.

72. Назаров А.В., Лоскутов А.И. Нейросетевые алгоритмы прогнозирования и оптимизации систем. СПб.: Наука и техника, 2003. 384.: ил.

73. Неймарк И., Ландау П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

74. Нейронные сети. Statistica Neural Network: Перевод с нагл. М.: Горячая линия Телеком, 2001. 182 е., ил.

75. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

76. Николис Дж. Динамика иерархических систем: Эволюционное представление: Пер. с англ./ Предисл. Б.Б. Кадомцева. М.: Мир, 1989. 488 е., ил.

77. Николис Дж. Хаотическая динамика лингвистических процессов и образование паттернов в поведении человека // Вопросы философии. 1997. № 3. С. 85-89.

78. Песин Я.Б. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения. М.: Едиториал УРСС, 2002. 404 с.

79. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер. с англ. М.: Мир. 2000. 333 с. ил.

80. Пельцвергер С.Б. Алгоритмическое обеспечение процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности. 2004. 16 с.

81. Половников В.А. Анализ и прогнозирование транспортной работы морского флота. М.: Транспорт, 1983.

82. Полтерович В.М. Кризис экономической теории. Доклад на научном семинаре Отделения экономики и ЦЭМИ РАН М., 1997.

83. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980.

84. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: Прогресс, 1986, С. 208.

85. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и воли. М.: Наука, 1984.

86. Розова Н.С. Структура цивилизации и тенденции мирового развития. Новосибирск, 1992.

87. Рузавин Г.И. Концепции современного естествознания. Учебник для студентов гуманитарных специальностей вузов. М., 1997.

88. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. В кн.: Странные аттракторы. Сер. «Математика. Новое в зарубежной науке». М.: Мир, 1981. Вып. 22.

89. Самарский А.А., Михайлов А.П. Компьютеры и жизнь. М.: Педагогика, 1989.

90. Стерин А., Цейтлин Д. Статистический анализ в бизнесе. www.bizcom.ru

91. Терехов В.А. Нейросетевые системы управления: Учеб. Пособие для вузов / В.А. Терехов, Д.В. Ефимов, И.Ю. Тюкин. М.: Высш. шк. 2002. 183 е.: ил.

92. Тихомиров Н.П., Попов В.А. Методы социально-экономического прогнозирования. М.: Изд-во ВЗПИ, А/О «Росвузнаука», 1992.

93. Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез. М., 1990.

94. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. 3-е изд., перераб. и доп. М.: ИНФРА - М, 2003. 544 с.

95. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физ. Наук. 1983. Т. 141, №2. с. 343.

96. Фейгин М.И. Особенности поведения динамических систем в окрестности опасных бифуркационных границ // Соровский образовательный журнал, 1999. №7. С. 122-127.

97. Фёрстерт Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа / Перевод с немецкого и предисловие В.М. Ивановой. М.: Финансы и статистика, 1983. 302 е., ил.

98. Хакен Г. Информация и самоорганизация. М.: Мир, 1991, С. 46 48.

99. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

100. Хлебопрос Р.Г., Фет А.И. Природа и общество: модели катастроф.

101. Новосибирск: Сибирский хронограф, 1999. 344 с.

102. Червяков Н.И., Сахнюк П.А., Шапошников А.В., Ряднов С.А. Модулярные параллельные вычислительные структуры нейропроцессорных систем. (Ред.) 2003. 288 с.

103. Черныш Е.А. Прогнозирование и планирование: учебное пособие / Е.А. Черныш, Н.П. Молчанова, А.А. Новикова, Т.А. Салтанова. М.: Издательство ПРИОР, 1999. 176 с.

104. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1975.

105. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики.1. М., 2003.

106. Швырков В.В., Швыркова Т.С. Моделирование внутригодичных колебаний спроса. М.: Статистика, 1973.

107. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.

108. Юзбашев М.М., Манелля А.И. Статистический анализ тенденций и колебемости. М.: Финансы и статистика, 1983. 207 е., ил.

109. Юл Дж. Э., Кендалл М. Дж. Теория статистики. М., Госстатиз-дат, 1960, 780 с.

110. Яглом A.M. Корреляционная теория стационарных случайных функций (с примерами из метрологии). Гидрометеоиздат, 1981. 280 с. ® 121. Яцевич А.В. Самоорганизация и синергетика. М., 1999.

111. Bale P. How Nature Works. The Science of Self-organized Criticality. Oxford, Oxford University Press, 1997,p.62.

112. Feigenbaum, M. J. «Unicersal Behavior in Nonlinear Systems», Physica 7D, 1983.

113. Grassberger P., On the Hausdorff Dimension of Fractal Attractors, Preprint WVB 80-83 (Oct. 1980).

114. Lanford, О. «А Computer-Assisted Proof of the Feigenbaum Con-# jectures», Nulletin of the American Mathematical Society 6, 1982.

115. Pearson K. On a Form of spurious Correlation which may arise when Indices are used in the measurements of Organs. — «Proceeding of the Royal Society», 1907, vol. LX, P. 5 32.

116. Sparrow C. The Lorenz equations: bifurcations, chaos and attractors. В.: Springer, 1982.

117. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Lect. Notes in Math. Berlin: Springer. 898 (1981). P. 336 381.

118. Takens F. Estimation of dimension and order of time series // Nonlinear Dynamics Systems and Chaos / Broer H.W., van Gills S.A., I. Hoveijn, F. Takens, eds. Progress in Nonlinear Differential Equations and

119. Their Applications. Birkhauser, Basel etc. 19 (1996).

120. Vaga T. Profiting from Chaos. Using Chaos Theory for Market Timing, Stock Selection, and Option Valuation. McGraw-Hill, New York, 1994.

121. Wei-Bin Zhang, Synergetic Economics, 1991.