автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка и исследование свойств метода обработки экспериментальных данных усреднением аппроксимирующих сплайнов

>

Ленинградский ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции электротехнический институт имени В. И. Ульянова (Ленина)

На правах рукописи

ТКАЧЕВА Ольга Евгеньевна

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ МЕТОДА ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ УСРЕДНЕНИЕМ АППРОКСИМИРУЮЩИХ СПЛАЙНОВ

Специальность 05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата технических наук

ЛЕНИНГРАД 1991

Работа выношена в Ленинградском государственном техническом университете. )

Научный руководитель — доктор технических паук, профессор Исмаилов Ш. 10.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Ьайков В. Д.; кандидат технических наук, ст. науч. сотрудник Со-лопчеико Г. Н, •

Ведущая организация — Пензенский научно-исследовательский институт математических .машин,

на заседании специализированного совета К 063.36.12 Ленинградского ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции электротехнического института имени В. И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, г. Ленинград, ул. Проф. Попона, 5.

С диссертацией .можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат р;послан ч. _» 19Э1 года.

!>'ченый секретарь

специализированного сонета Балакин В. Н.

Защита состоится «

1991 г., в

- I -

ОБЩАЯ ХАРЖЕНРКСГИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Современный уровень развитая информацкон-ю-игмерительной техники и вычислительных средств позволил рас-ирить область применения экспериментальных исследований. Необ-пдимость решения проблемы извлечения максимума информации из езультатов измерений физических величин и характеристик процес-:ов вызывает интерес к совершенствованию методов обработки экс-гриыентальных данных (ОЭД). Методы ОЭД используется на этапах издания, испытания я экетзуатацн™. измерительно-вычислительных кстеы. ЗШ обладает такими ресурсами, что позволяют реализовать чень сложные алгорнтш обработки". Хотя многие из м&тодов, лега-ие в основе этих алгоритмов, были известны давно, их практичес- . ая реализация стала возмояна лишь с появлением быстродействиях ЭВМ. *

Богаткэ вычислительные возможности оказали заметное влияние а развитие численных кзтодов анализа для ОЭД. К ним относятся отсды аппроксимации экспериментальных данных сплайнами.

Предлагаемый в работе метод обработки экспэриыентальных дан-ых представляет собой некоторую модификация метода сплайн-апп-оксиЕЕЦки путем усреднения. Методы сплаГ:;--функций в настоящее река очень популярны среди отечественных я зарубежных специа-истов в области обработки данных, а также автоматизации проен-ирования, идентификации объектов управления, анализа и оптиыаль-зго кодирования сигналов в системах передачи данных.

Цедьд работы является разработка и обоснование метода ОЭД, читывавшего априорную информацию об кс-ледусмом процессе и ус-эйчивого к неточностям при определении этой информации. Постав-знная гэль определила следующие осног-ше задачи:

- провести анализ известных методов ОЭД с целью изучения их войств, достоинств и недостатков;

- разработать метод ОЗД при определенном характере априорных ведений о восстанавливаемой функции, в частнозти, если извест-:>, что функцгл имеет ограгиченнуп кривизну, по сравнению с копрой шум является значительно "более высокочастотной составлявши;

- исследовать свойства разработанного метода,.теоретически Зосновать его преимущества перед существующими методами для 5работки указанного класса задач;

- разрабокш. алгоржл 03R;* рзасяусрз cpessszzzz&Z кз®ой> длш ПЭШ "Истра 1030е;

- методом имитационного щцелирокизхя провести чксаеккыг рос-чаш;, докасыващге экспершентально достоинства катода -

Методика исследования. В даосертацкснно й работе про во детая теоретические исследования, основанные на пршаненка.математического аппарата линейной алгебры и функционального анализа, а также исследования илтодом имитационного моделирования ка ЭВЕ.

Науттная новизна работы заключается в следующем:

- получена оценка устойчивости предсказательных свойств регрессионной модели в зависимости от адекватности кадета; предложена модифицированная регрессионная модель, в которой выделена детерминированная составляющая, вклотащая кая собственно погрешность адекватности, так к другие систематические погрешности;

- теоретически обосновано прикзкекие аппарата сплайнов для наилучшего приближения в корме С функций фиксированного класса гладкости;

- разработан метод усреднения аппроксимирующих сплайнов(УАО для ОЭД с целью восстановления гладких функций, в частности функций, представляицюс собой погрешность адекватности модели;

- доказано, что при ОЭД методом УАС улучшается статистические свойства приближения по сравнения с решением, полученным без усреднения;

- предложена методика сравнения ядер путем нормализации юс к заданной энергии;

- получены оценки и доказана теорема, позволяющие использовать для приближения свертку с разностным ядром, построенным по небольшому числу точек;

- доказана теорема о том, что метод УАС повышает класс гладкости аппроксяманг по отношекшз к степени используемых сплайнов.

Практические результаты диссертационной работы представляют собой методику проведения обработки экспериментальных данных мз-• тодом УАС, пакет'прикладных программ, позволяющий автоматизировать и ускорить процесс обработки данных.

Реализация и внедрение. Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим пианом НИР КБ "Салют" и НПО ИТ Министерства общего машиностроения "Разработка математического обеспечения для анализа динамических процессов".. Разработанные алгоритмы ОЭД методом УАС используются при проведении испытаний датчико-зой аппаратура в НПО ИТ. Пакет прикладных программ использован

в КБ "Салат" при разработав одной из кодайчкаций анализатора дн-кщятческих процессов ЦЦМ-4М), предназначенных для контроля механических перегрузок космических кораблей и орбитальных станций.

Апробация работа. Основные результата работы докладывались на Есесовзной научно-технической конференции "Совершенствование -.'.этодов контроля надёжности и их стандартизация" (Горький, 1985), на IX Всесоюзной конференции "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследования" (Иосква, 1989), на У1 Всесосэ-нсм межотраслевом симпозиуме "Проблемы автоматизации в прочностном эксперименте" (Новосибирск, 1986), на X Всесоюзной конферен-. цпи "Методы и средства тензометрии к их применение в народной хозяйстве" (Llorara, 1Э89) и на Вгесопзной конференции "Методы и средства мехгдаческюс параметров в системах контроля и уггравле-гая" (Пенза, 1389).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объём работа* Диссертация состоит из введения, трех разделав с вывода'.^, заключения и приложения. Основной текст работы патоген на 146 страницах машинописного текста, содержит 22 рисунка, 8 таблиц. Список литературы включает 81 наименование.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована следуащая постановка задачи. Под задачей ОЭД в работе погашается следующая задача: по неполной информации о функции нужно восстановить её с.возьюзно большей точностье, яри этом обеспечить приемлемую степень сглаживания ошибок и ькбросов, присутствующих в экспериментальных данных, дать апргоркце и апостериорные оценки точности восстановления функции. Долгое время требования аналитического решения задачи СД и формульное представление результатов ограничивало методы я возможности обработки такой информации. Сейчас все чаще и свободнее используются алгоритмы, позволяющие с любой точностью построить график приближаемой функциональной зависимости кривой (поверхности) на экране ду.-плея. Критерий качества работы таких алгоритмов.не точность оценок коэффициентов параметричесних моделей, а точность оценок восстановления искомой зависимости и устойчивость полученного решения.

Наиболее сложной проблемой'является, выбор метода, который бы учёл возможно большую часть инфоргацкй, в тш чг.сле нечисловую, трудно формализуемую, и в и г® время йыд бы устойчив к неточностли при определении этой енфорггаща.

Искомая функция £; !К-*"§? чая?е всего восстанавливается до таблице дшашх Т в { СХ^ ,

С 1 6 I М(I) где - неизвестные погрешности иаиерения- сункция определена на некотором множестве . Требуется восстановить функцию на множестве ¡К или на его подмножестве ¡К С Ж . Метод решения этой задачи называется методом ОЭД. В общем веде его южно представить в ваде оператора. о£ , сопостав&азщего таблице Т фугас-

ци а.К'-^-Е'.

Почти все шроко распространенные метода ОВД являзтсн линейками. Предлагаемая работа посвящена линейным методам. Линейный ызтод обработка может быть представлен в ввде линейного отобра-аения «Л функциональных пространств вида

^ <& - 32 ,

где сЕсГ, Я с К* - линейные подпространства.

Рассмотрим постановку задачи ОЭД линейным методом- Предположим, что ^ Сап <а.) -ке , §( , где £ -функция, подлежащая определении, ^ - функция, некоторые значения которой известны. Предполагается, что помех! в{2й обладает некоторыми известны!® свойствами. Линейный оператор с£ обработки данных даёт следующий результат

X -сЦ +в1е.

От оператора ей. , естественно, требуется, чтобы » у , т.е. при отсутствии помехи оператор сд. не должен искажать функции. Поэтому желательно знать некоторые свойства функции 7 Например, f , где е£ - линейное подпространство <£ .

Другое требование: результат действия оператора ей, на погрешность ® должен быть возможно меньше, т.е. <лВ а 0 с сС,

Относительно постановки задачи конструирования методов СЭД следует заметить, что Еыбор требований ке формализуем, часто они Еыбираются с целью оправдать уже имеющиеся подходы. Наиболее надежным обоснованием какого-либо метода можно считать преимущества,

выявленные при кмитационшм моделировании на ЭШ.

Раздел I "Исследование свойств линейных методов ОЭД" состоит из трёх параграфов. В § 1.1 дан обзор линейных методов ОЭД. Приведенный обзор построен по принципу изучения гносеологических корней методов ОЭД с помощью сплайн-функций, приведены некоторые альтернативные методы ОЭД. Б частности, рассмотрен метод сглаживавших сплайнов.

В § 1.2 уточнены некоторые вопросы линейных методов, их рассмотрение потребовалось для дальнейшего изложения материала. Проанализирован метод наименьших квадратов (МНК). Доказано, что он • является в некотором смысле наилучшим среди всех линейных методов, а именно: при условии, что вид истинной зависимости |ГХ) гавестен, оператор МНК уинимизируёт дисперсию подгоночных значе-тай. Относительно ошбок измерений предлагается лишь, что определена матрица корреляций. Аналогичная теорема для коэффициентов зегриссионной модели хорошо известна. Доказанная в работе теоре-аз. касается значений восстановленной функции. Далее рассмотрена фоблегла повторных испытаний. Доказано, что дтя произвольных ли-гейных методов работа с таблицами может быть заменена на работу : функциям. Для нелинейных методов это не так. Изложенный мате-зиал позволяет далее использовать МНК, а также функции, а не таб-. гицы. Последнее даёт возможность полнее использовать теорию функционального анализа.

В § 1.3 "Оценка предсказательных свойств модели при ОЭД ЫНК" 'стойчивость регрессионной модели исследуется с точки зрения влия-[ия погрешностей разного происхождения. Представим линейную рег-»ессионную модель в матричном виде

де V = СО^ОП. <Ч ¡Л^ - ектор результатов измерений функции ^ в точках ; элемента могут принадлежать вектор-

гму пространству, тогда его координаты называются факторами;.

- число проведенных испытаний, В~СО?ОП. С - вектор

еизвестшх параметров модели; Р = ~ матрица зна-

ений базисных функций некоторого функционального пространства I = зрел «Ъ е » СоЕоа - вектор

лучайных величин, относительно которых предложено:

> Ее^О, 2) { «е^

Г"С ¿-к1»* 1 , .

звестна с точностью до мнонителя о4 „ 3 соответствии с обобщен-

нш МНК искошй вектор 0 в Е^* определяется как регата задач:: минимизация

и ^ в - V \\ — ГШЛ, .1

где норма определяется равенством. |М | = || \Д/ V [|г ^¡ш всех V 2 Р , |*1а - естественная »арма пространства . Эту

задачу кагкэ интерпретировать следующим образом: найти Еектор 2» вида р© в подпространстве Ь = 8 18 ] С , наибо-

лее близкий к V по норме Л * | . Решение этой задачи существует и единственно, оно получается путём ортопроектирования 1

в указанной норме. Вектор 21 я Ри V называется подгоночным.

Предположим, чю вектор У и матрица Р изменены в силу ошибок разного рода на некоторые величины ¿У и Д р , тогда имеется ещё одна (возмущенная) задача минимизации

Решением её служит подгоночный вектор

г+ьг . Введём обозначения , " . ,,

Доказано соотношение

-Ш (6„<свпЛМ+К£у), (2)

где М'Р^Р", КМ; СОа«1Ме11МММ"111.

Число К шает быть уменьшено с некоторой доверительной вероятностью. Приведена таблица значений коэффициентов К в.зависимости от доверительной вероятности и чисел N , И. .

Проведён сравнительный анализ оценки (2) с известной оценкой погрешности = |Д@ / 0^коэффициентов модели. В частности, . эта оценка содержит ССпа М в первой степени, тогда :ак оценка (2)—^СОПап , т.е. влияние матрицы М на возмущенное решение проявляется меньше. .''■..

Далее.полученное неравенство рассмотрено с точки зрения его применения к анализу ОЗД. Правая часть неравенства может рассматриваться как некоторый критерий, оценивающий качество регрессионной модели. В отличие от известных критериев он имеет не стати- . ческое происхождение и предъявляет требования не только к матрице М » но и к точности измерения: данных, а также к адекватности регрессионной модели. Поскольку степень адекватности заранее не-. известна, предлагаемый подход имеет, следующее теоретическое значение. Он позволяет проанализировать совместно ряд факторов,

слева и справа соответственно, где ^.С^) =1^ С.5 и = С, , г £5.

В целях изучения свойств ядер введена характеристика ядра относительно сетки { ^ = Г

^ стер , (1 * 16 т,

имеющая смысл энергии ядра. Принимая во внимание свойстео ядер (6) и формулу (4), можем записать

т.е. энергия играет роль коэффициента при дисперсии подгоночного значения в точке в случае Е . При ОЭД методом УАС в вице (7) она играет роль коэффициента при подгоночном значении в любой точке -¡ксперимента • <»

сЬ, £4 = k:\Lio ,

. * 5 ' К, ¡.г-с» у I

К - ядро УАС, построенное при определенном соотношении Н и п. .

Усреднение с помощью ядер, как и прочие методы ОЭД, применяется для того, чтобы: а) возможно меньше исказить полезный сигнал; б) возможно сильнее подавить случайную погрешность измерений. В диссертации разработана методика сравнения ядер, построенных различными методами. Для сравнения свойств ядер по названным критериям желательно, чтобы они имели одинаковую энергию

т.е. одинаково влияли на случайную составляющую. Такой способ можно назвать нормализацией адра к заданной энергии. Необходимо этметить, что ядро не должно искажать единичный сигнал,т.е. при нормализации должно оставаться верным приближенное равенство

Четсдом имитационного моделирования на основании предложенной методики проведен сравнительный анализ методов ОЭД с помощью ядер у'АС и некоторых других ядер.Эти .ядра были приведены к одному значению энергии ¡О * 0.2. . . Результаты численных экспериментов юказали преимущества метода УАС в случае, если априорные сведе-жя о восстанавливаемой функции ограничены информацией о плавном -характере её изменения-по сравнении с высокочастотным шумом (мо-кет быть примерно''Известен минимальный радиус кривизны графика функции) при соотношениях & 3 сигнал/шум 4 15 .

Э разделе Ш "Исследование свойств метода УАС" положительные свойства ядер УАС, обнаруженные и исследованные ранее эксперимен-

■мььо, с помощью визуального анализа, доказаны теоретически в

ввде теорем.

Ядра АС tiCj (Z2) являются функциями , построенными как решение задачи ^

mi.n.Lmlxe саг. саг;-) --5«. •>*. (8)

1ак как ядра заметно отличаются от куля при небольшом удалении от точки ЗС^ , то для приближенного определения нет необходимости минимизировать функционал (8) для всего набора- {s^j^ достаточно ограничиться частью этого набора, оставив "те точки, где ядро предполагается не слишком малым. При этом обеспечивается финитно сть ядра, что позволит работать с разностным ядром, значительно сокращая вычислительные затраты. Нак велика при этом будет погрешность в определении

В § 3.1 "Апостериорные оценки усеченных ядер при аппроксимации сплайнами" дан ответ ж. этот вопрос. Сетку эксперимента представим в ввде бесконечного множества "Г в конечномерном евклидовом пространстве. LycT}£ Vs С Г , CS Ъ- i") - возрастающая пасле-довательность конечных множеств: Г^С Г^ , U Г? ~ Г , Ф -семейство финитных функций. Предполагается, что введенные множества обладают .некоторыми естественными свойствами., смысл которых состоит ~в периодичности

Г и Ф

. Такими свойствами обладают семейства В -сплайнов.

Рассмотрим вещественное гильбертово пространство

IfcCtV с

нормой }]• j¡ , его подпространство e£ -SpQ,tl^r и конечномерные подпространства »SpQa^CpC^t fs Л Supp Я* ^ 01 Зафиксируем "Хс бТ\ и функции t :

tc*>«f I ' «*».■»-'**

J. u , если --X Ф ae .

Введем функции F £ е£. , fs ., e£s , минимизирующие соответственно следуищие функционалы Цт-тЩ, £"Т-Е '■ '

(feXpüf-xl, c-fe^, где I' 1\?

норма пространства (T'j'i . Получены оценки сверху введенных норм разностей

. * -.i» v t - С »í. • С ? Л~ С > . .

которые показывают, как отличаются ядра, построенные по различному числу точек; нак отличаются ядра, построенные по конечному и бесконечному 'числу точек.

Сценки выражены через величины к (8) , которые определи-

г* —13 -

этся по ^ , Х5 » и» следовательно, могут быть вычислены на ЭВМ. Доказано, что , "О СЙ и, следовательно, (9) стремятся к нулю три .

При восстановлении функций в виде (5): X = (__> разви-

тая теория даёт возможность .оценить ошибку приближения ядер ЗС^ Ьункциями с небольшим носителем с целью упрощения расчетов. Проведен численный расчет оценок к СБ") и 13(2") , а также реальной зеличины || представляющей собой среднеквадратическую

)ценку разности ядер, построенных по различному числу точек. Ядра ¡ыли построены для некоторых естественных условий ОЭД. Результаты засчетов показали, что оценки разности ядер, построенных по раз-шчному числу с ростом 5 резко убывают.

§ 3.2 диссертационной работы называется "Усреднение АС как :пособ повышения их дифференциальных свЬйств". Согласно теореме 'ихомирова В.Ы. наилучшим пространством з корме С для приблияе-шй функций множества

[вляется пространство сплайнов степени "О . Предположим, что ал-гроксимации подлежит функция ^^С или же ^е С '

[апример: С^- сплайн степени 2. Естественно будет ожидать у приближенной к функции 3 таких же диффзрекцналыпдх сиолстз.. Если :е основывать свой выбор приближения, исходя из идей теоремы Тихомирова, то 5 - сплайн степени \, т.е. кусочно-линейная функ-;ия, график её - ломанная. Вообще говоря, 5 не принадлежит )' [сД]. . Тантал образом, на этом примере видно, что наличие 'злов служит психологическим препятствием применения сплайнов- Та-:ое же препятствие, но з меньпкй степени, создают узлы сплайнов ¡етных степеней, так как их обычно располагают меиду точками зкс-вримента. Метод УАС уничтожает узлы сплайнов как таковые и повы-ает дифференциальные свойства адпроксимант. В работе доказана 'еорема о том, что если

г = -рт; \ ¿со

решение, найденное методом УАС, где

я ЕП 6. <031 Сй^зИ .

я 1

• 7 ~ набоР коэффициентов,

' л» *

1) ¿¡г* ~ с"сте:"*а базисных функции пространства сплайнов на трезке Ю.,М и СЙ1) , то 3 - кусочно-аналиткчес—

- Рччи _ - 14 -

кая функция и 5 5 I

Е частности, доказано, что адпроксиманта, полученная усреднением линейных сплайнов СО € С") является функцией гладкой: 3 £ ТГ'^С Н?! при условии Ь 'М-'Ь V. I

где (к.) - целая часть числа Гс , Ь. - шаг сетки эксперимента, Н - шаг сетки узлов сплайнов. Доказательства проиллюстрированы моделированием процессов на ЭВМ.

Проведены экспериментальные сравнения метсиэв восстановления функциональной зависимости свойств титана при нагреве, встречающиеся в литературе и метода УАС. Метод УАС сравним по восстанавливающим свойствам исследуемых зависимостей с методами сплайнов с переменными узлами и нагруженных сплайнов при следующих преимуществах: он более прост, бохзэ универсален, не требует специальных априорных сведений о функции (параметры выпуклости,монотонности. При восстановлении функций, 1-я или 2-я производные которых имеют большие значения или терпят разрыв 1-го рода, эффективен метод разделения функций "Т > ^ и 6 , предложенный в § 1.3, где { - "информативная" составляющая; ¡| - функция детерминированной погрешности, Е - случайная составляющая.

Основные результаты работы

1. Проведен анализ распространенных, методов ОЗД, исследованы их достоинства и недостатки. На основе проведенного в работе анализа рабочих свойств МНК с помощью аппарата линейкой алгебры получена оценка устойчивости предсказательных свойств регрессионной модели в зависимости от адекватности модели; предложена модифицированная регрессионная модель, в которой вццелена детерминированная составляющая, включающая как собственно погрешность адекватности, так и систематические погрешности.

2. Предложено и теоретически обосновано применение аппарата сплайнов для восстановления функций фиксированного класса гладкост1

3. Разработан метод усреднения аппроксимирующих сплайпог для обработки "экспериментальных данных.

4. Исследованы статистические свойства метода УАС в терминах подгоночных матриц; доказано, что эти свойства улучшены по сравнению с методом сплайн-аппроксимации ШК.

5..Изучены свойства ядер УАС. Проведен сравнительный анализ ядер УАС к ядер АС на основе визуально-экспертного сравнения. Ус-

■аковлено, что усреднение ядер позволпзт решать задачу восстанов-гзния функций в виде свертки с разностным ядроп.

6. Предложена методика сравнения восстанавливающих свойств (етодов ОЭД с помощью ядер путем нормализации их к заданной энер-

7КИ.

7. Получен ряд оценок, позволяющих работать с ядрами УАС, гастроенными по небольшому числу точек, доказана теорема о сходи-юсти отих оценок к нули,

8. Доказана теорема о том, что метод УАС повитает класс 'ладкости аппроксиманты по отношению к степени используемых сплай-юв, уничтожает узлы сплайнов как такопне.

у. Методом имитационного моделирования проведен сравнительна анализ методов ОЗД и метода УАС. По- результатам анализа сде-ганы следующие выводы. Предложенные алгоритш ОЭД на основе метода УАС обладают высокой точностью восстановления гладких по отно-zsHVJO к высокочастотному шуму функций. Концептуальная простота ;етода УАС обеспечивает универсальность его применения относительно специальных методов, что особенно ваяно при низком отноше-1ии сигнал/шум.

10. Разработанный пакет прикладных программ на ос:ивэ мето-;а УАС использован в Ш0 ИГ при проведении испытаний датчиковой шпаратуры и в КБ "Салют" при создании систем для анализа динамк-гесютх процессов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Ткачева O.E. Граничные оценки точности при комплексных испытаниях датчиков температуры //Тез.докл. к зон. семинару: Методы и средства измерения механических параметров в системах сонтроля и управления, 18-19 января 1288 г. - Пенза, 1288. - С. 55-56.

2. Марченко 3.3., Ткачев C.B., Ткачева O.E. Оптимальные гота-' ш для многофакгоркых испытаний датчиков //Датчики систем измере-аш, контроля и управления: Мажзуз. сб. науч. тр.- Пенза: ШЖ. -зып. 7, 1287. - G.~88-SI.

• 3. Ткачева O.E., Кадаров A.A. Оценка точности мкогофактор-щх испытаний датчиковой аппаратуры //Датчики систем измерения, сонтроля и управления: Межвуз. сб. науч. тр. - Пенза: ППИ - вып.

TQQO _ Г Т"Т Г , XVOZ. , ""Чу. loi—l^O.

4. Пискарев СЛ., Ткачава O.E. Плагафоваыие испытаний датчи-ковой аппаратура на базе функций Вкяегааша-Крестенсона /Дез.докл. IX Всесоюзн.конф.хПланирование и автоматизация эксперимента в научных: исследованиях,, 25-Е? сентября 1989 г.-М.,1983. — С. 132.

5. Ткачева O.E., Кадыров -L.L. Усреднение сплайнов как способ улучшения их дифференциальных свойств /Пенз.политехи, ин-т.-Пенза, 1990,- 29 е.- библиогр.: 4 назв. - Дел. в ВИШГИ 4.9.90, № 4870

вэо.

6. Кадыров A.A.., Тканева O.E. Апостериорные оценки усечения ядер при аппроксимации сплайнами ЛЬенз-политехи, ин-т.- Пензе. г1990. - 32 с.-библиогр.: I назв.-Дел.в ВЙНШ1 4.9.90, № 4S69 ВЭО.

7. Ткачева O.E. Способы уменьшения методической погрешности при многофакторных испытания:-: датчиков /Дез.докл.Всесоюзн.конф.: Методы и средства измерения мгханжтэских параметров в системах контроля и управления, 25-£7 января IS89 г.-ПензаДЭ89.-С. 91-92.

8. Марченко В.З., Зкачева ОЛм Бискарев СЛ. Синтез оптимальных планов эксперимента, с использованием дискретных зкепакенциаль-ных функций /Дез.доюиВсесагон.канф.: Совершенствование методов контроля надежности и их стандартизация, 18-20 ишя 1985 г. - Гарь-кий, 1985___С. 170.

9. Ткачева O.E. Оценка точности датчиков при комплексных испытаниях /Дез .докл. X Всесоюзн. конф.: Методы и средства тензометрии и их применение в народном хозяйстве, 3-5 мая 1989 г. - М., 1989. - С. 41.

10. Писяарав СЛ., Ъиизва O.E., Ткачев CLB. Оптимальное планирование прочностного эксперимента /Дез.докл.У1 Всесоюзн.межотраслевого симпозиума: Граблены автоматизации в прочностном эксперименте, 4 июня 1986 г. - Новосибирск, 198.6. - С. 7.

11. Кадыров A.A., Ткачева O.E. Применение сплайнов при линейной обработке сигнала /Дез.докл. к зональн.семинару: Методы и средства измерения механических параметров в системах контроля и управления, 22-23 января 1930 г. ~ Пенза, 1990. - С. 67-68.

12. Ткачева O.E. Обработка экспериментальных данных меидом усреднения аппроксимирующих сплайнов /Дез.докл. к зональн.семинару: Методы и средства измерения механических параметров в система?: контроля и управления,17-18 января 1991 г.-Пенза, 1991. - С." 67.