автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование методов параметрической идентификации моделей механических систем

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МАТЕЖТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С

СОСРЕДОТОЧЕННЫ?® ПАРАМЕТРАМИ.

1.1. Способы математического описания механических систем с сосредоточенными параметрами.

1.2. Постановки задач параметрической идентификации.

1.3. Методы оценивания параметров математических моделей механических систем.

1.4. Начальные условия уравнений математических моделей в задаче параметрической идентификации.

ГЛАВА П. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

2.1. Методы преобразования исходной информации о движении механической системы.

2.2. Выбор преобразующего оператора.

2.3. Алгоритмы оценивания вектора неизвестных параметров модели.

2.4. Исследование погрешностей оценок параметров, найденных алгебраическим способом.

ГЛАВА III. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ВДЕНТИФИКАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ.

3.1. Оценивание параметров математической модели с использованием методов теории чувствительности.

3.2. Метод определения параметров и начальных условий уравнений математической модели.

3.3. Итерационный алгоритм идентификации с использованием модальных моделей.

- 3

3.4. Исследование погрешностей определения оценок параметров математической модели.

3.5. Исследование решения задали параметрической идентификации.

ГЛАВА 1У.ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ

ВДШТИФИКАЦИИ МЕШШЕСКИХ СИСТЕМ НА ЭВМ.

4.1. Структура автоматизированной системы виброиспытаний

4.2. функциональная схема алгоритмов подсистемы идентификации АС У виброиспытаниями.

4.3. Моделирование подсистемы идентификации цифровой системы виброиспытаний.

Актуальность темы. Современный этап развития техники характеризуется значительным повышением требований к динамическим, прочностным и эксплуатационным качествам существующих и проектируемых образцов конструкций, механизмов и машин. Эти разнообразные объекты можно называть механическими системами, интерпретируемые как совокупность тел, обладающих массой, упругостью и способных совершать знакопеременное относительное движение. Основные требования к механическим системам заключаются в обеспечении их максимальной надежности, экономичности, долговечности и качества функционирования.

Некоторые задачи, вытекающие из этих требований, решаются с помощью стендовых виброиспытаний конструкций, которые позволяют воспроизводить натурные испытания с некоторой заданной точностью, сократить время и расходы при проектировании и создании новых систем [24,34,54,63,77].

В общем случае задача виброиспытаний заключается в воспроизведении и поддержании в заданных точках испытуемого изделия векторного случайного процесса, близкого в некотором смысле к процессам, имеющим место при натурных испытаниях [там же]. Она решается с применением автоматизированных систем управления, которые могут быть реализованы на базе аналоговой и цифровой вычислительной техники [23,63,77,84]. На рис. В.1 приведена упрощенная блок-схема цифровой системы управления виброиспытаниями.

Для исследования динамических характеристик конструкций, испытуемых с помощью систем виброиспытаний необходимы достаточно адекватные математические модели (ММ). ММ, полученные теоретическим способом, нуждаются в оценке и уточнении их параметров на основе экспериментальной информации. Приведем примеры целесообразности применения методов идентификации механических систем с целью построения их ММ:

- информация о величинах некоторых параметров отсутствует или ее недостаточно для их определения;

- построение моделей, пригодных для качественного описания поведения сложных механических систем;

- построение упрощенной ММ, достаточной для последующего анализа движения механической системы.

Общая блок-схема задачи идентификации стационарной динамической системы представлена на рис. В.2, где f(t) - Z -мерный вектор входных воздействий; Л fit) г -мерннй вектор внешних возмущений, представляющие собой входные шумы и/или шумы в исследуемом объекте; р - [ -мерный вектор оцениваемых параметров модели; y(t) - П -мерный вектор выходных координат динамической системы; Д^ it) , Cj,{t) - векторы ошибок измерений и измерений выходных координат, соответственно.

Решение задачи идентификации в общем случае подразделяется на три основные этапа [8,10,29,35,49,64,76,98]:

- определение структуры модели и выделение вектора оцениваемых параметров р ;

- выбор критерия качества для оценки степени близости ММ и динамической системы и оценивание параметров ММ;

- проверка адекватности динамической системы и построенной

МЛ.

В зависимости от объема и качества априорной информации в общей проблеме построения ММ динамических систем можно выделить задачи структурной и параметрической идентификации [8,29,32,76, 98,110]. Под структурной идентификацией понимается задача опре

- б

Рис. ВЛ. Упрощенная блок-схема цифровой системы виброиспытаний , < р

ОБЪЕКТ «до 1

Рис. В. 2. Общая блок-схема задали идентификации стационарного динамического объекта . деления структуры ММ из некоторого класса моделей, выбор которой зависит от различных факторов (в частности, от цели и способа применения ММ, априорной информации о системе и т.д.). Параметрическая идентификация - задача определения параметров ММ известной структуры в смысле экстремума некоторого критерия качества,,

Общая формулировка задачи параметрической идентификации механических систем с сосредоточенными параметрами (дискретных механических систем) состоит в следующем: по проведенным на заданном конечном интервале времени [ , Ьк ] измерениям

1 $ (£) векторов входных воздействий и выходных координат объекта соответственно, связанных соотношением

ЩР]= ^[¡Ш], (вял) оценить вектор неизвестных параметров р . В уравнении (В.1.1) ['''] , Ff [ ' 1 - функции соответствующих аргументов. Здесь под вектором р понимаются массо-жесткостные коэффициенты и коэффициенты демпфирования динамической модели.

Экспериментальная информация о поведении механической системы в зависимости от способа проведения эксперимента, методики обработки их результатов может представляться временными данными или частотными характеристиками. В качестве временных данных могут использоваться:

- абсолютные перемещения точечных масс или определенным образом выбранных точек на поверхности твердых тел, скорости и ускорения движений этих точек;

- силы, действующие извне на механическую систему или кинематические возмущения, действующие на нее через упруго-дисси-пативные звенья.

Несмотря на эффективность и надежность частотных методов исследования механических систем, в некоторых случаях представляет практический интерес исследование систем во временной области. В частности, использование временных данных по сравнению с частотными методами упрощает организацию и проведение экспериментов на исследуемом объекте.

Близость механической системы и ее ММ может быть оценена с помощью различных критериев [10,64,66,98]. Часто критерий записывается как функционал от вектора ошибок В (£) путем минимизации которого определяются оценки вектора параметров р : Т~ 4- ~ 4> ; ( * ) - знак транспонирования.

На рис. В.З приведена блок-схема способа идентификации, использующего так называемую обобщенную ММ [98]. На этом рисунке Г^ и £ - обозначают блоки, которые моделируют функции рмштр], №№ из уравнения (В.1.1). В этом случае ошибка 6(С) представляет собой невязку между левой и правой частями уравнения (В.1.1), возникающая из-за погрешностей в измерениях процессов /(£>) и ^^

Щ Щр]- %[/(£)] . (в.х.3)

В случае использования так называемых прямых моделей способ идентификации схематически будет изображаться блок-схемой, приведенной на рис. В.4, а вектор св.1.4) будет представлять собой вектор рассогласований между выходными процессами механической системы и ее ММ при одних и тех же входных воздействиях.

Рис. В.З. Блок-схема идентификации объекта с использованием обобщенной модели

Рис. В.4. Блок-схема идентификации объекта с использованием прямой модели

Для прямых ММ можно пользоваться также критериями "сильного приближения" [64 ] и с ковариационным сдвигом [36,89,98], позволяющем в некоторых случаях получить несмещенные оценки параметров ММ.

В ряде случаев может быть целесообразным использование обратных моделей [66,79,98], для которых критерием качества является близость входных процессов объекта и ММ.

Таким образом, задача параметрической идентификации механических систем в общем случае сводится к минимизации функционала (В.1.2) по оцениваемым параметрам.

Если функционал (В.1.2) является квадратичным относительно искомых оценок параметров, то минимизацию можно осуществить с помощью одношаговых [16,83,89,94,95] или многошаговых алгоритмов [13,29,65,67,76,85,98,100,109,119,122]. Большое распространение получили методы, основанные на использовании теории чувствительности [43,55,60,73,101], квазилинеаризации [29,76], инвариантного погружения [п,29,7б] и т.д.

Проблеме построения ММ механических систем с применением методов идентификации посвящены работы многих авторов: советских - Банаха Л.Я., Глухарева К.К., Диментберга, М.Ф., Кононенко В.О., Крементуло Ю.В., Лазаряна В.А., Ушкалова В.Ф., зарубежных - Ста-ффельда, Харти, Хассельмана, Янга и др.

Тем не менее о завершении разработок по идентификации механических систем, по-видимому, говорить еще преждевременно.

Недостаточно освещенными являются вопросы выбора ММ с точки зрения ее единственности, оценки эффективности числа степеней свободы, исследования идентифицируемости механических систем и точности методов идентификации.

Поэтому разработка новых эффективных способов получения математического описания механических систем является актуальной.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке и исследованию методов параметрической идентификации линейных механических систем с сосредоточенными параметрами по временным данным, а также созданию программного обеспечения подсистемы идентификации автоматизированной системы управления виброиспытаниями. При этом в качестве экспериментальной информации о механической системе используются реализации векторов силовозбуддений (или кинематических возмущений) и ускорений выходных координат.

Общая методика исследований. Для решения поставленных задач использовались методы теории автоматического управления и идентификации динамических систем, теории колебаний и случайных функций, линейной алгебры и оптимизации. При цифровом моделировании применялись численные методы, а программная реализация разработанных алгоритмов осуществлялась на языке Ф0РТРАН-1У. В работе используются прямая и обобщенная модели механических систем (см.рис. В.З, В.4). В первом случае приближение ММ и механической системы характеризуется функционалом (В.1.2), при этом вектор ошибок б(1) определяется по выражению (В.1.3). Для прямой модели рассматривается функционал [17,89,95] О использующий вектор рассогласований (В.1.4). В выражении (В.1.5) Ц* - весовые коэффициенты,^ - П -мерная матрица весов, которая в зависимости от наличия экспериментальной информации может быть единичной или диагональной. Если компоненты (]п^т ъ векторов и [а не измеряются, то соответствующие элементы матрицы нулевые, в противном случае они получают значения равные единице.

Научная новизна. В диссертации с учетом априорной информации о механической системе

- разработаны одношаговые алгоритмы оценивания начальных приближений искомых параметров;

- построены итерационные алгоритмы уточнения оценок параметров слабодемпфированных механических систем совместно с начальными условиями их движения;

- разработан разностный аналог модальных моделей механических систем и построен итерационный алгоритм определения их параметров по временным данным.

Практическая ценность и реализация результатов работы. Предложенные методы идентификации непосредственно связаны с разработкой математического и алгоритмического обеспечения цифровой системы виброиспытаний изделий "СПЖТР-М", которая выполнялась в рамках темы "Создать и ввести в эксплуатацию автоматизированную систему акустических, вибрационных и тепловых испытаний объектов новой техники в ИК АН УССР", утвержденной постановлением ГКНТ, Госплана СССР и АН УССР № 474/250/132 от 12 декабря 1980 г. Использование временных последовательностей для решения задач параметрической идентификации механических систем существенно упрощает проведение экспериментов на объекте. Разработанные алгоритмы могут быть использованы также для построения ММ других классов динамических объектов. Результаты, полученные в диссертационной работе, приняты к использованию в виде пакета прикладных программ для оценивания параметров ММ испытуемых изделий,что подтверждается соответствующими документами, приведенными в приложении П.

В настоящее время продолжаются работы по созданию автомагазированных проблемно-ориентированных комплексов виброиспытаний объектов новой техники на базе машин серии СМ ЭВМ, предназначенные для использования в различных министерствах и ведомствах СССР.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных конференциях "Проблемы механики наземного транспорта" (Днепропетровск,1977); "Проблемы механики железнодорожного транспорта" (Днепропетровск,1980,1984); 2-й Республиканской конференции "Автоматизация научных исследований" (Киев,1981); заседании Секции технической кибернетики Ученого совета Института кибернетики имени В.М.Глушкова АН УССР (Киев,1984). Результаты докладывались также на постоянно действующем семинаре "Дискретные системы управления" при Научном совете по проблеме "Кибернетика" Института кибернетики имени В.М.Глушкова АН УССР в 1974-84 гг.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 122 наименований и двух приложений. Работа содержит 135 машинописных страниц основного текста и 28 страниц иллюстраций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Обосновано использование временных данных в качестве экспериментальной информации в задачах параметрической идентификации линейных ММ механических систем с сосредоточенными параметрами .

2. Указаны функции, описывающие внешнее возмущение, при которых две различные по параметрам и начальным условиям движения МЛ из класса, обыкновенных дифференциальных уравнений неразличимы по выходным координатам.

3. Предложена методика построения фильтра для обработки экспериментальных данных с целью получения необходимого объема информации для решения задачи оценивания параметров ММ.

4. Разработан одношаговый алгоритм идентификации с учетом априорной информации о матрицах инерционных, квазиупругих коэффициентов и коэффициентов демпфирования механической системы. Проведено исследование точности данного способа. Оценены систематические и случайные погрешности определения оценок параметров при наличии аддитивных помех в исходных данных.

5. Разработан итерационный алгоритм идентификации механических систем с использованием функции чувствительности по "коротким" выборкам реализации входных и выходных координат. Особенностью метода является возможность определения неизвестных начальных условий движения ММ с ее параметрами. Получены уравнения для нахождения функций чувствительности по определяемым параметрам и начальным условиям.

6. Разработаны разностный аналог модальных моделей механических систем и алгоритм оценивания их параметров.

7. Проведено исследование точности оценок параметров, найденных итерационным способом. Приведено условие асимптотической несмещенности оценок и получена корреляционная матрица их погрешностей.

8. Проведено цифровое моделирование и показана работоспособность предложенных в диссертации алгоритмов параметрической идентификации.

1. Банах Л.Я. Упрощение расчетных схем динамических систем.- В кн.: Колебания и динамическая прочность элементов машин и механизмов. М.: Наука, 1976, с.39-46.

2. Банах Л.Я. Уменьшение числа степеней свободы при исследовании многомерных систем.- Машиноведение , 1979, № I, с.21-26.

3. Банах Л.Я., Перминов М.Д. Исследование сложных динамических систем с использованием слабых связей между подсистемами.- Машиноведение, 1972, № 4, с.3-8.

4. Банах Л.Я., Перминов М.Д., Петров В.Д. и др. Методы расчета матриц жесткости, инерции и демпфирования для сложных пространственных систем.- В кн.: Виброизоляция машин и виброзащита человека-оператора. М.: Наука, 1973, с.67-81.

5. Бахвалов U.C. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения.- 2-е изд. стереотип.- М.: Наука, 1975.- 631 с.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц.- М.: Наука,1969.367 с.

7. Бендат Дж., Пирсол Л. Измерение и анализ случайных процессов.- М.: Мир, 1974.- 453 с.

8. Бикей Г.А. Идентификация систем введение и обзор.-Механика, 1972, 133, вып.З, с.3-30.

9. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Холфман Р.Л. Аэроупругость.-М.: Изд-во иностр.лит., 1958.- 799 с.

10. Брикман M.G., Кристинков Д.С. Аналитическая идентификация управляемых систем.- Рига: Зинатне, 1974.- 206 с.

11. Булатов Д.П. Методы погружения в задачах оптимизации.-Новосибирск: Наука, Сиб.отд.-ние, 1977.- 158 с.

12. Варыгин В.Н., Казарян С.А., Рафаелян P.C. Выбор начального вектора при адаптивных методах построения моделей, нелинейных по параметрам.- Автоматика и телемеханика, 1978, № 3,с.55-59.

13. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1980.- 520 с.

14. Вирабян Г.Б. 0 начальных условиях в задачах идентификации.- В кн.: Дискретные системы управления. Киев: ИК АН УССР, 1976, с.28-37.

15. Вирабян Г.Б. Об идентифицируемости линейных механических систем.- Кибернетика и вычисл.техника, 1983, вып.60, с.7-12.

16. Вирабян Г.Б., Крементуло Ю.В. К вопросу планирования экспериментов при идентификации многомерных объектов управления.-В кн.: Дискретные системы управления. Киев: ИК АН УССР, 1974,с.83-93.

17. Вирабян Г.Б., Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф. и др. Определение параметров моделей слабодемпфированных механических систем по экспериментальным данным,- В кн.: Динамика и прочность сложных механических систем. Киев: Наук.думка, 1977, с.33-37.

18. Вирабян Г.Б., Яковлев В.П. О программном обеспечении решения задач идентификации механических систем по временным данным.- В кн.: Автоматизация научных исследований: Тез.докл. 2-й Респ.конф. (Киев, 27-29 окт.1981 г.). Киев: Ж АН УССР, 1981,с.79-80.

19. Вирабян Г.Б., Яковлев В.П. Об оценке погрешностей определения параметров механических систем по временным данным.-В кн.: Дискретные и эргатические системы управления. Киев: Ж АН УССР, 1983, с.74-80.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- 3-е изд.- М.: Наука, 1967.- 575 с.

21. Гетманов А.Г., Лычак М.М., Матвиенко Н.К. и др. Многомерные случайные процессы с управляемой спектральной матрицей.-Кибернетика и вычислит.техника, 1973, вып.19, с.142-148.

22. Гик Л.Д. Измерение вибраций.- Новосибирск: Наука, Сиб. отд.-ние, 1972.- 291 с.

23. Глухарев К.К., Розенберг Д.Е. Метод динамических испытаний для синтеза уравнений движения механических систем с известным числом степеней свободы.- Машиностроение, 1973, № 6,с.11-17.

24. Глухарев К.К., Розенберг Д.Е. Применение метода динамических испытаний для вычисления коэффициентов жесткости и демпфирования цепных систем.- В кн.: Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем. М.: Наука, 1975, с.17-21.

25. Глухарев К.К., Розенберг Д.Е., Чернявский И.Т. Определение параметров уравнений движения механических систем по методу динамических испытаний.- В кн.: Исследование задач машиностроения на ЭВМ.- М.: Наука, 1977, с.51-59.

26. Голдмен. Исследование колебаний методом расчленения.

27. Ракетная техника и космонавтика, 1969, 7, №6, с.191-193.

28. Гроп Д. Методы идентификации систем.- М.: Мир, 1979.302 с.

29. Данилин Ю.М., Пшеничный Б.Н. 0 методах минимизации с ускоренной сходимостью.- Журн.вычисл.математики и мат.физики, 1970, 10, & 6, с.1341-1354.

30. Денери Д.Г. Алгоритм идентификации, нечувствительный к ошибкам начальной оценки параметров.- Ракетная техника и космонавтика, 1971, 9, №3, с.26-34.

31. Дехтяренко П.И., Коваленко В.П. Определение характеристик звеньев систем автоматического регулирования.- М.: Энергия, 1973.- 120 с.

32. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний.- М.: Наука, 1980.- 368 с.

33. Иваненко В.И. Неопределенность в стохастических системах управления.- Автоматика и телемеханика, 1983, $ 4, с.50-57.

34. Каминскас В.А., Нямура A.A. Статистические методы ъ идентификации динамических систем.- Вильнюс: Минтае, 1975.-197 с.

35. Киричков В.Н. Метод идентификации на базе комбинированного критерия.- Адаптивные системы автоматического управления, 1978, 6, с.31-33.

36. Кононенко B.C., Плахтиенко Н.П. Методы идентификации механических нелинейных колебательных систем.- Киев: Наук.думка, 1976.- 114 с.

37. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум гипотеза.- М.: Мир, 1969.- 347 с.

38. Крейг, Бемптон. Сочленение подконструкций при динамическом расчете конструкций.- Ракетная техника и космонавтика, 1968, 6, В 7, с.113-121.

39. Крементуло Ю.В., Воронова Л.И. Новый метод определения динамических характеристик объектов автоматического регулирования.- Автоматика, 1966, В 2, с.7-14.

40. Крементуло Ю.В., Яковлев В.П. Идентификация динамических объектов по дискретным данным с применением методов теории чувствительности.- В кн.: Теория инвариантности и теория чувствительности автоматических систем. Киев: КВИАВУ, 1971, ч.Ш,с.707-716.

41. Крон Г. Исследование сложных систем по частям диа-коптика.- М.: Наука, 1972.- 54-4 с.

42. Крутько П.Д. Решение задачи идентификации методом теории чувствительности.- Изв.АН СССР. Техн.кибернетика, 1969, № 6, с.146-153.

43. Крянев A.B. Итерационный метод решения некорректных задач.- ЗВурн.вычисл. математики и мат.физики, 1974, 14, $ I,с. 25-35.

44. Кузин JI.T. Расчет и проектирование дискретных систем управления.- М.: Мажгиз, 1962.- 684 с.

45. Лазарян В.А., Крементуло Ю.В., Яковлев В.П. и др. Об оценке погрешностей идентификации линейных механических систем алгебраическим способом.- Прикладная механика, 1974, т.Х, JB 9, с.78-84.

46. Лазарян В.А., Ушкалов В.Ф., Редько С.Ф. К вопросу об идентификации некоторых линейных механических систем.- В кн.: Переходные режимы движения и колебания подвижного состава. 1973, вып.143, C.I03-III.

47. Леонов A.C. К обоснованию выбора параметра регуляризации по критериям квазиоптимальности и отношения.- Журн.вычисл. математики и мат.физики, 1978, 18, № 6, с.1363-1376.

48. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление.- М.: Наука, 1966.- 176 с.

49. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математической теории обработки наблюдений.- 2-е изд.доп и испр.-М.: Физматгиз, 1962.- 340 с.

50. Лэнинг Дж.Х., Бэттин Р.Г. Случайные процессы в задачах автоматического управления.- М.: Изд-во иностр.лит., 1958.-387 с.

51. Микишев Г.Н., Рабинович Б.Н. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость.- М.: Машиностроение, 1971.- 563 с.

52. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / В.И.Городецкий, Ф.Н.Захарин, Е.Н.Розенвассер, Р.М.Юсупов -Л.: Энергия, 1971.- 344 с.

53. Молчанов И.Н., Яковлев М.Ф. Об одном классе итерационных процессов решения несовместных систем линейных алгебраических уравнений.- Докл.АН СССР, 1973, 209, № 4, с.782-784.

54. Музылев Н.В. Об алгоритме упрощенной регуляризации.-Журн.вычисл.математики и мат.физики, 1975, 15, 1Ь 3, с.772-775.

55. Перминов М.Д. Топологические методы расчета сложных динамических систем.- В кн.: Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем.- М.: Наука, 1975, с.9-12.

56. Перминов М.Д., Петров З.Д. Исследование вынужденных колебаний сложных систем методом расчленений.- Там же, с.9-12.

57. Петров Б.Н., Крутько П.Д. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления.- Изв.АН СССР. Техн.кибернетика, 1970, № 2, с.202-212.

58. Петров Б.Н., Уланов Г.М., Гольденблат И.И. и др. Теория моделей в процессах управления.- М.: Наука, 1978.- 223 с.

59. Петров В.Д. Идентификация сложных систем на основе анализа подсистем.- В кн.: Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем, М.: Наука, 1975, с.12-17.

60. Приборы и системы для измерения вибрации, шума и удара. Справочник / Под ред. В.В.Клюева.- М.: Машиностроение, 1978. 4.1, 447 е.; Ч.П. 439 с.

61. Пухов Г.Е., Хатиашвили Ц.С. Критерии и методы идентификации объектов.- Киев: Наук.думка, 1979.- 190 с.

62. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах.- М.: Наука, 1975.- 319 с.

63. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства.- М.: Энергия, 1975.- 375 с.

64. Растригин Л.А. Случайный поиск в процессах адаптации.-Рига: Зинатне, 1973.- 130 с.

65. Редько С.Ф. Идентификация жесткостей механических систем по собственным частотам.- В кн.: Колебания, прочность и устойчивость сложных механических систем. Киев: Наук.думка, 1979, с.46-48.

66. Редько С.Ф. Использование преобразующего оператора в задаче идентификации механических систем по временным данным.- Вкн.: Нагруженность, прочность, устойчивость движения механических систем. Киев: Наук.думка, 1980, с.143-150.

67. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Шабельский В.П. Идентификация некоторых механических систем.- В кн.: Техническая кибернетика. Киев: ИК АН УССР, 1971, с.69-82.

68. Редько С.Ф., Яковлев В.П. Метод погруппового определения параметров механических систем.- Прикладная механика, 1977, т.ХП, № 6, с.68-72.

69. Редько С.Ф., Яковлев В.П. Способ декомпозици задачи идентификации механических систем.- В кн.: Колебания, прочность и устойчивость сложных механических систем. Киев: Наук.думка, 1979, с.49-57.

70. Рубан А.И. Алгоритм чувствительности в задачах идентификации и управления динамическими объектами.- В кн.: Чувствительность систем управления. Владивосток: Изд-во Дальневост. НЦ АН СССР, 1975, 2, с.78-87.

71. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику.- М.: Наука, 1966.- 404 с.

72. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций.- 2-е изд., перераб.и доп.- М.: Наука, 1968.- 464 с.

73. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Д. Идентификация систем управления.- М.: Наука, 1974.- 246 с.

74. Случайные колебаний / Под ред. С.Кренделла.- М.: Мир, 1967.- 248 с.

75. Стаффельд Г. Метод уменьшения числа степеней свободы в математических моделях демпфированных линейных динамических систем.- Конструирование и технология машиностроения, 1962, 4, с.26-31.- (Тр. Американского о-ва инженеров-механиков).

76. Таран В.А. Условия существования и единственности оптимальной линейной модели динамических объектов.- Автоматика и телемеханика, 1970, № II, с.105-115.

77. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле.- 2-е изд. М.: Наука, 1967.- 444 с.

78. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- 2-е изд. перераб. и доп.- М.: Наука, 1979.- 285 с.

79. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности.- М.: Сов.радио, 1972.- 239 с.

80. Туманов Ю.А., Лавров В.Ю., Марков Я.Г. К вопросу идентификации нелинейных механических систем.- Прикладная механика, 1981, т.ХУЛ, № 9, с.106-110.

81. Туник А.А., Мандровский-Соколов Б.Ю., Пойда В.И. и др. Цифровые и гибридные способы управления спектральными характеристиками векторных случайных процессов.- Кибернетика и вычислит, техника, 1973, вып.20, с.110-117.

82. Уашщ Л.Дж. Методы поиска экстремума.- М.: Наука, 1967.- 267 с.

83. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.- М.: Наука, 1970.- 564 с.

84. Ушкалов В.Ф. Использование модальных моделей при идентификации механических систем.- В кн.: Техническая кибернетика-Киев: ИК АН УССР, 1971, с.82-87.

85. Ушкалов В.Ф., Редько С.Ф., Шабельский В.П. Идентификация характеристик жесткости и демпфирования транспортных экипажей по неполным экспериментальным данным.- Тр.ВНИИ вагоностроения, 1974, вып.23, с.57-67.

86. Ушкалов В.Ф., Резников Л.М., Редько С.Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей.- Киев: Наук.думка, 1982.-380 с.

87. Факеев А.Г. Об одном массе итерационных процессов решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений.-йурн.вычисл.математики и мат.физики, 1981, 21, i?. 3, с.545-552.

88. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений.- М.: Мир, 1969.- 167 с.

89. Фрэнкель А., Бар-Хиллел И. Основание теории множеств.-М.: Мир, 1966.- 555 с.

90. Харти. Динамический анализ конструкций, основанный на исследовании форм колебаний отдельных элементов.- Ракетная техника и космонавтика, 1965, 3, № 6, с.130-138.

91. Хассельман. Метод построения полной матрицы демпфированных форм по результатам экспериментальных измерений.- Там же, 1972, 10, №4, с.208-210.

92. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.- М.: Мир, 1973.- 957 с.

93. Цвиркун А.Д. Структура сложных систем.- М.: Сов.радио, 1975.- 199 с.

94. Цзе Ф.С., Морзе И.Е., Хинкл Р.Т. Механические колебания.- М.: Машиностроение, 1966.- 509 с.

95. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.- М.: Мир, 1975.- 683 с.

96. Эшер Г.В. Замечание об эффективных степенях свободы колеблющейся конструкции.- Ракетная техника и космонавтика, 1967, 5, № 4, с.267-269.

97. Юркаускас А.Ю., Карчюкас Р.В. Определение коэффициентов жесткости поисковым методом.- Науч.тр.вузов Лит.ССР. Сер. Вибротехника, 1972, 4 (17), с. 195-198.

98. Юсупов P.M., Захарин Ф.М. Методы теории чувствительности в задачах идентификации динамических систем.- В кн.: Теория и применение адаптивных систем. Алма-Ата: Изд-во Казах.политехи.ин-та, 1971, с.101-125.

99. Яковлев В.П. Чувствительность многомерных дискретных моделей динамических систем.- В кн.: Кибернетика и вычисл.техника, 1983, вып.60, с.3-7.

100. Яковлев В.П. Модальный метод декомпозиции и оценки параметров моделей сложных механических систем по временным данным.- Там же, 1984, вып.62, с.69-75.

101. Яковлев В.П., Вирабян Г.Б. О программной реализации итерационного способа оценки параметров механических систем по временным данным.- В кн.: Дискретные системы управления. Киев: ИК АН УССР, 1978, с.67-82.

102. Яковлев В.II., Вирабян Г.Б. Разностный аналог модальных моделей в задаче идентификации механических систем.- В кн.: Дискретные и эргатические системы управления. Киев: ИК АН УССР, 1983, с.59-66.

103. Яковлев В.П., Редько С.Ф. О декомпозиции задачи идентификации сложных механических систем.- Кибернетика и вычисл. техника, 1977, вып.37, с.3-9.

104. Яковлев В.П., Редько С.Ф. Декомпозиция и оценка погрешностей в задаче определения параметров дискретных механических систем по частотным характеристикам. Там же, 1978, вып.40, с.73-84.

105. Яковлев В.П., Савенков А.И. Идентификация механических систем по частотным характеристикам с использованием комплексных матриц чувствительности.- Там же, 1984, вып.64, с.29-35.

106. Bellman A., Astrom K.I. On structural identifiability. Math, biosci., 1970, vol. 7, N 3/4, p. 329-339.

107. Bower P.L. Optimally scales matrices. Numer. Math.,1963, N 5, p. 73-87.

108. Computing methods in optimization problems /Ed. by A.V.Balakrishnan, L.Neustadt. New York; London : Acad, press,1964. 327 p.

109. Gustavsson I., Ljung L.I., Soderstrom T. Identification of linear multivariable process dynamics using closed-loop experiments. Report 7401, 1974, Lund Institute of technology, Division of Automatic control. - 78 p.

110. Kelley H.V., Denham W.P., Johnson I.L. et. al. An accelerated gradient method for parameter optimization with non linear constraints. J.Astronaut. Sci., 1966, vol. 13, N 5,p. 166-169.

111. Kenedy G.C., Peneu C.D. Use of vectores in the vibration measurement and analysis. J. Aeronaut. Sci., 1947, vol. 14, N 11, p. 28-37.

112. Raney I.P. Identification of complex structures using near-resonance testing. Shock and vibration bulletin, 1968, vol. 2, H 38, p. 13-19.

113. Rao R.P. Identification of linear non-stationary dynamical systems. Internat. J. Systems Sci., 1974, vol. 5, U 2, p. 117-129.

114. Shah B.Y., Buchler R.I., Kempthorne 0. Some algorithms for minimizing a function of several variables. SIAM, 1964, vol. 12, N1, p. 74-92.

115. Sinha U.K., Lawton I.S. Unbiased estimates for online system identification. Proc. Inst. Electr. Engrs., 1971, vol. 59, H. 11, p. 1631-1632.

116. Vatz I.P. Determination of model mass from test data. Shock and vibration bulletin, 1968, vol. 2, N 38, p. 21-26.

117. Young Joseph P., Prank I. Mathematical modeling via direct use of vibration data. SIAM, 1970, vol. 18, N 1, p, 4452.