автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование метода наведения на маневрирующий объект на основе стохастического прогноза его движения

На правах рукописи

ЧЫОНГ ДАНГ КХОА

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА НАВЕДЕНИЯ НА МАНЕВРИРУЮЩИЙ ОБЪЕКТ НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗА ЕГО ДВИЖЕНИЯ

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана.

Научный руководитель: доктор технических наук» академик РЕАН,

профессор ПУПКОВ Константин Александрович. Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

Афанасьев В.Н. - кандидат технических наук, доцент Дегтярев О.В.

Ведущая организация: Институт проблем управления РЕАН,

им В.А.Трапезнинова.

Защита состоится «_»_2004. в_часов на заседании

диссертационного совета Д 212.141.02 в Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, ауд. 613М

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ml ТУ им. Н.Э. Баумана. Автореферат разослан «_»_2004

Ученый секретарь диссертационного совета

Иванов В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современный этап развития теории оптимального управления характеризуется совершенствованием и широким внедрением аналитических и численных методов исследования и расчета систем управления. Дальнейшее развитие получили теория аналитического конструирования регуляторов, динамическое программирование, стохастический принцип максимума. Все более широкие применение находят методы оптимизации, основанные на использовании возможностей цифровых вычисленных машин.

Одной сложных систем управления летательными аппаратами является система самонаведения, исследование процесса управления в которой не может быть проведено в отрыве от свойств ЛА в целом и характеристик окружающей среды. Теория оптимального управления систем самонаведения развивается многие годы, построены оптимальные алгоритмы обработки информации и формирования закона управления. При этом используется ряд известных методов самонаведения (метод погони, метод параллельного сближения, метод пропорционального наведения и др.). Однако, применение всех этих методов самонаведения часто оснрвано на предположении, что объект двигается прямолинейно и . возмущение действует на систему измерений, как белый шум. Действительно, динамический объект имеет высокие маневренные свойства и способен создавать различные виды помех с целью ухода от преследования. Эти обстоятельства приводят к необходимости найти подход для исследования влияния этих воздействий на эффективность действия системы

самонаведения, и на базе этого разработать новый, алгоритм управления с целью устранения ограничений и повышения эффективности ЛА при преследовании маневрирующего объекта.

Цель работы. Настоящая диссертации посвящена разработке метода наведения на маневрирующий объект в условиях воздействий случайных сигналов и помех, обеспечивающего плотность вероятности промаха близкую к нормальной.

Методы исследования. В работе использовались методы теории оптимального управления, метод скалярной адаптивной фильтрации, методы теории вероятностей и математической статистики, метод статистических испытаний Монте - Карло.

Научная новизна. На защиту выносятся:

1. Результаты анализа статистических характеристик возмущений и помех, действующих на систему управления, анализ моделей движения объекта и влияние этих возмущений на точность управления.

2. Алгоритм адаптивного оценивания и скалярного адаптивного оценивания составляющих вектора состояния в задаче наведения в условии отсутствия априорной информации о статистических характеристиках шумов измерения и флюктуации сигнала.

3. Метод наведения ЛА на маневрирующий объект в условиях воздействия измерительных шумов и флюктуации отраженного от объекта сигнала при прогнозировании движения объекта, обеспечивающий необходимую точность.

Внедрение результатов. Материалы диссертации использованы в научных исследованиях, проведенных на кафедре "Системы автоматического управления" МГТУ им. Баумана, а также в учебном процессе по специальности "Системы управления летательными аппаратами".

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на пятом международном симпозиуме "Интеллектуальные системы (Интелс'2002)" (Калуга, 2002), на научной конференции "Информатика и системы управления в XXI веке" (Москва, 2003), на XXVIII академических чтениях по космонавтике (Москва, 2004).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано два статьи.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы из 85 наименований. Основная часть работы составляет 133 страниц машинописного текста, и содержит 1 таблицу и 34 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрена общая задача стохастического управления, применительно к управлению самонаводящимися летательными аппаратами, сформулированы цель работы, актуальность, ее научная новизна, внедрение результатов, апробация и структура диссертации.

В первой главе проведен анализ типов систем управления ЛА: системы автономного управления, системы телеуправления, системы управления с самонаведением и комбинированные системы наведения. Рассмотрены структуры, принципы действия, преимущества, недостатки и область применения каждого вида систем управления. Показано, что система управления с самонаведением имеет высокую точность, небольшие габариты и может быть широко использована в задачах преследовании маневрирующих объектов.

Во второй главе рассмотрена кинематическая система самонаведения и приведены уравнения кинематического звена (1)

х.

ЛЛ

X,

ж

о в д ч. л

'ш

Рис. 1. Кинематическая схема самонаведения

На рис. 1, ОХг- ось инерциальной системы координат; ОХ,- положение продольной оси ЛА; ОХ,- отсчетная ось антенны ГСН; ОХ'- отсчетная ось инерциальной системы координат; ОХч- линия визирования ЛА - объекта;

соответственно скорости и углы наклона траектории ЛА и объекта; угол тангажа; угловое положение линии визирования и

оси относительно угловое рассогласование между

направлениями - дальность ЛА - объект.

Мерой точности действия системы управления ЛА с самонаведением является промах Л(/). Величина й(/), характеризует точность попадания в объект(2)

Таким образом, промах ЛА при самонаведении пропорционален изменению угловой скорости линии визирования.

Рассмотрен ряд случайных возмущений. На основе исследования статистических характеристик этих случайных возмущений они разделены на три главных воздействия с различными статистическими характеристиками:

1. Случайное возмущение обусловлено шумом в приемнике ЛА и случайными ошибками в измерении и обработке сигнала контура самонаведения. Это случайное возмущение может быть рассмотрено как гауссов белый шум с вероятностными характеристиками

(3)

2. Компонента, обусловлена "беганием"- флюктуацией амплитуды и фазы сигнала, отраженного от объекта. Корреляционная функция этого возмущения имеет экспоненциальный вид

схр(-«|г|)=^ ехр(-а|г|) (4)

где £>{,.Ой,а,с{1 — заданные постоянные, а функция плотности вероятности -нормальная.

3. Компонента, вызванная маневром объекта, с нормальной перегрузкой, изменяющейся по синусоидальному закону со случайной фазой. Связь этой компоненты с нормальной перегрузкой объекта имеет вид

где

Плотность вероятности • распределения суммы возмущений и компоненты синусоидального колебания, обусловленной маневром объекта, имеет вид

где /з = 4/сг- нормированная случайная переменная; а = Ащ/о— величина,

характеризующая отношение сигнал / шум; а = + аи .

Плотность распределения суммы сигналов отлична от нормальной и является бимодальной (рис. 2). Это распределение в значительной мере влияет на эффективность управления.

- при а'О — при о-2 ---при а"4

. „

.....1 У / 7 " 14 \..... \— _

-Ю -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 В 10

Рис. 2. Плотность вероятности суммы случайной ошибки измерения, флюктуации отраженного сигнала и синусоидального сигнала с равномерно распределенной начальной фазой

В третьей главе рассмотрены формирование и решение задачи оптимального управления с помощью метода вариационного исчисления и метода динамического программирования. Исследован алгоритм решения задачи стохастического управления методом динамического

программирования в дискретном времени для стационарной линейной системы с квадратичным видом функционала. Проведено моделирование задачи стохастического оптимального управления ЛА при преследовании объекта в случаях, соответствующих различным воздействиям помех и маневра объекта.

На рис. 3, К,- скорость объекта; УЛА- скорость ЛА; д- угол наклона линии визирования; г — дальность; Ут и У^,— нормальная скорость объекта и ЛА соответственно.

Пусть движение ЛА относительно номинальной траектории описывается уравнениями:

где смещение ЛА от траектории объекта, перпендикулярное к

номинальной линии визирования; - боковое ускорение

ЛА; Тм - постоянная времени, обусловлена запаздыванием реакции ЛА; ац— боковое ускорение объекта.

Угловая скорость линии визирования ЛА - объект

Рис. 3. Кинематическая схема задачи оптимального преследования.

Измерения подвержены случайным помехам и уравнение наблюдения имеет вид

х, = х2;хг = дг3 -а,;¿, = (1/7^ )х3 + (1¡Тлл)м,

(7)

где шум с нулевым математическим ожиданием и заданной

интенсивностью Я = й{1 и V- скорость сближения ЛА и объекта.

Состояние системы определяется в виде дифференциального уравнения

х = Ах + Ви + -и>, (8)

и уравнение измерений в векторной форме можно записать следующим образом

г-Нх + у (9)

где

*1 0 1 0

*2 ; л= 0 0 1 1 ТЛА.

*3_ 0 0

В = [0 0 1 ]Г;Я =

1

о О

вектор входных возмущений, обусловлен маневром объекта с синусоидальной нормальной перегрузкой. Матрица интенсивности такого возмущения имеет вид

ООО О О ООО

Состояние системы в начальный момент времени управления 10 является случайным вектором с характеристиками

М*.('о)1= Лф2('о)]= М*э('о)]= О;^^)]-0;Аг[^(г0)]=^-М^р 0.

Критерий оптимальности определяется минимумом математического

ожидания значения промаха в момент окончания процесса управления при

сближении с объектом и интегрирования квадрата воздействия

управления

Схема системы оптимального преследования представлена на рис. 4.

Рис. 4. Схема системы оптимального преследования

Алгоритм определения закона оптимального управления в дискретном времени, обеспечивающий критерий оптимальности представлен в виде (11)

(11)

при условии, что задано.

Оптимальная оценка вектора состояния системы получена с помощью фильтра Калмана:

с начальными условиями а дисперсия ошибки оценивания в

момент /0

Исследована задача наведения ЛА на подвижной объект в трех случаях, соответствующих действию шума, флюктуации отраженного сигнала от объекта и маневра объекта с синусоидальной нормальной перегрузкой. В случае, когда объект двигается прямолинейно, плотность распределения промаха в точке встречи имеет вид нормального распределения, а в случае маневра объекта с синусоидальной нормальной перегрузкой, плотность распределения вероятности промаха ЛА в точке встречи с объектом имеет вид бимодального распределения

(рис. 5). Вид этого распределения вероятности уменьшает эффективность преследования и поражения объекта. Выявленный недостаток в синтезе системы оптимального преследования обусловливает необходимость прогнозирования траектории объекта и управления по прогнозированной траектории.

Для обеспечения точности сближения и повышения вероятности малых отклонений, рассмотрена задача управления при сближении с объектом в упрежденную точку встречи. Эта задача решена следующим образом: в начале процесса сближения, ЛА управляется в предположении, что объект двигается прямолинейно (ЛА управляется по среднему значению траектории при синусоидальном движении объекта). На этом интервале времени, оценка параметров синусоидального маневра должна осуществляться с помощью

адаптивных фильтров. При приближении к объекту на основе оценки истинного движения объекта прогнозируется его траектория. Затем на основе известной располагаемой перегрузки ЛА, измеренных дальности и скорости сближения и прогнозированного значения промаха определяется момент времени перехода на самонаведения на истинное положение объекта. В связи с этом исследованы также новые более эффективные подходы в оценивании состояния динамической системы при формировании закона управления, а также эффективные методы прогнозирования движения объекта.

Рис. 5. Распределение вероятности промаха в точке встречи

В четвертой главе показана возможность использования нового подхода в оценивании состояния динамической системы при отсутствии априорной информации о дисперсии входного возмущения ¡2 и измерительного шума Я системы. Сформированы алгоритмы адаптивной скалярной фильтрации, позволяющие получать оценку без априорной информации о дисперсии входного и измерительного шума в задаче оценивания состояния системы в скалярном виде. Алгоритм адаптивной скалярной фильтрации используется при оценивании компоненты вектора состояния системы при решении

задачи оптимального управления ЛА при сближении с маневрирующим объектом. По результатам обработки, использование алгоритма адаптивного скалярного оценивания, позволяет уменьшить объем вычислений и обеспечит необходимую точность при решении задачи оптимального управления ЛА на маневрирующий объект.

Пусть система описывается уравнением состояния (8) и уравнения измерения (9)

Алгоритм скалярного оценивания компоненты вектора

состояния в момент времени k+1 имеет вид

(12)

где - компонент -ой строки, -ого столбца

матрицы А

Адаптивное скалярное оценивание первой компоненты в условиях без априорной информации о дисперсии Q входного возмущения системы

(13)

где коэффициент усиления фильтра

Алгоритм адаптивного скалярного оценивания первой компоненты в условии без априорной информации о дисперсии входного возмущения д и измерительного шума Я:

х'ы = а,Л + + И,' + К (г3*' - анх\ - - и!),

' * (14)

где дисперсия измерительного шума г'к определяется с помощью адаптивного алгоритма оценивания

Н =0;(^)2 ^Р'и-г

3'^— обновляемая последовательность в адаптивном скалярном алгоритме фильтрации получена по формуле

Использование в алгоритме жесткой обратной связи по обновляемой последовательности позволяет осуществлять оценивание высоко-

динамичных объектов. При этом точность оценивания (в случае, когда дисперсия измерительного шума по величине соизмерима с оцениваемым номиналом) несколько снижается. В то же время, при неточном значении информации о модели исследуемого процесса, жесткая обратная связь по позволяет получать нерасходяющуюся оценку первой компоненты вектора состояния.

В пятой главе разработан и исследован новый алгоритм управления ЛА

при условии маневра объекта:

- в началом процесса наведения, управление ЛА осуществляется по гипотезе, что объект двигается прямолинейно. Оцениваются параметры движения с помощью алгоритма адаптивного скалярного оценивания.

- в момент времени определяется отклонение истинной траектории и траектории по гипотезе объекта и прогнозируется траектория следующего движения объекта на интервале времени г„, до точки встречи. Момент времени определяется на основе располагаемой перегрузки ЛА.

Оптимальный закон наведения с обратной связью в интервале времени можно переписать в виде

Оптимальные оценки составляющей вектора состояния системы и х, получены по уравнению (14).

Процесс наведения ЛА на объект представлен на рис. 6.

и\

гртлл гЧ

Рис. 6. Процесс наведения ЛА по прогнозируемой траектории движения объекта

Рассмотрены виды модели прогнозирования и требований к точности для этих моделей, выбрана модель Тайлора - Вейджа с двумя источниками шумов воздействия на реальный процесс. Определены адаптивные параметры выбранной модели и оценены прогнозируемые ошибки в различных интервалах времени.

Прогноза угловой скорости линии визирования ЛА - объект по модели Тейлора - Вейджа аналитически записывается как:

СО = «I (' -1) + «2 ('X (') = "2 ('-1)+<?,(')

(16)

где о,(/)- значение <?(*) в момент

- прирост уровня от момента к моменту

- случайные процессы с нулевым математическим ожиданием, постоянными дисперсиями и независимости друг другим.

Пусть в момент времени необходимо сделать прогноз значения

Общие формулы прогнозирования для шага вычисления

(17)

В результате минимизации дисперсии прогноза, адаптивные параметры выбраны следующие

Ошибка прогноза, сделанного в момент шагов будет

Получены результаты прогнозирования изменения угловой скорости линии визирования ЛА - объект в интервалах времени т„р 0,3с 0,5с и 1с (рис. 7). Плотность распределения вероятности промаха р(к) в точке встречи при прогнозировании на 0,5с имеет вид близкий к нормальному распределению с средним значением, близким к нулю и среднеквадратичным отклонением в допустимом пределе (рис. 8).

— ч1

Рис. 7. Плотность вероятностного распределения угловой скорости линии визирования Л А-объект при различных интервалах времени прогнозирования

Рис. 8. Плотность распределения вероятности промаха в точке встречи на различных интервалах времени прогнозирования т^

Плотность распределения вероятности промаха р(к) при управлении ЛА на объект по прогнозированному значению 4(1) на различных интервалах времени представляет собой кривую, близкую к нормальному закону распределения. В случае прогнозирования на интервале времени г =0,Зс, плотность распределения вероятности промаха смещена от нуля. Это возникает из-за того, что перегрузка ЛА на малом интервале времени прогнозирования недостаточна, что приводит к систематической ошибке. При интервале времени прогнозирования среднеквадратичное

отклонение ошибки наведения значительно больше и при , точность

наведения является приемлемой. Математическое ожидание промаха при этом с доверительным интервалом 0,27м, соответствующим

доверительной вероятности 0,9. Среднеквадратичное отклонение равно = 20м, а доверительный интервал 3,26м при доверительной вероятности 0,9. Зависимость среднего значения и среднеквадратичного отклонения

ошибки наведения в зависимости от времени прогноза представлена на рис. 9.

mh[M]

°hM

25

250

20

15

10

S

О

S^npM

О

05

Рис. 9. Изменения среднего значения и среднеквадратичного отклонения ошибки наведения по времени прогнозирования

В случае, когда объект совершает маневр не с синусоидальной нормальной перегрузкой, а с постоянной нормальной перегрузкой плотность распределения промаха получена при использовании алгоритмов управления с прогнозированием (15) и скалярного адаптивного оценивания (13) также имеет вид близкий к нормальному (рис. 10) с статистическими характеристиками т„ =1Дм и сгк=Мм. На рис. 11 представлены траектории движения ЛА и объекта в этом случае. Таким образом синтезированный закон управления и предложенный скалярный адаптивный алгоритм являются универсальным подходом управления ЛЛ при сближении с маневрирующим объектом.

Рис. 10. Плотность распределения промаха, объект совершает маневр с постоянной нормальной перегрузкой

Рис. 11. Траектории движения ЛА и объекта, объект совершает маневр с постоянной нормальной перегрузкой

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в работе исследования позволили получить следующие новые научно - технические результаты:

1. Осуществлен анализ возмущающих факторов, обусловливающих ошибку в определении параметров движения объекта. Исследованы ошибка системы управления ЛА, вызванные шумом приемника, флуктуацией отраженного сигнала от объекта и маневром объекта. Показано, что плотность вероятности изменения угловой скорости линии визирования ЛА -объект при воздействии случайных сигналов и помех при синусоидальном маневре объекта является бимодальной.

2. Приведен анализ алгоритмов оптимального управления, адаптивного и адаптивного скалярного оценивания. Показано, что при использовании традиционных методов оптимального управления вероятность промаха при воздействии отраженного сигнал, помех и при синусоидальном маневре объекта также является бимодальной. Это свидетельствует о том, что вероятность больших значений промаха выше, чем промахов в окрестности нуля.

3. Предложен новый метод наведения ЛА на маневрирующий объект с синусоидальной нормальной перегрузкой, основанный на прогнозирования траектории движения объекта: на первом этапе по линейной гипотезе, на конечном - по прогнозу реального положения объекта.

4. На основе анализа моделей прогнозирования выбрана модель Тейлора — Вейджа для случая, когда объект маневрирует с синусоидальной нормальной перегрузкой.

5. Для оценки вектора состояния ЛА разработан оригинальный модифицированный алгоритм скалярного оценивания. Предложенный алгоритм способен функционировать в условиях отсутствия априорной информации о статистических характеристиках входного и измерительного шумов, компактен и прост в реализации. Результаты моделирования показали эффективность модифицированного скалярного адаптивного алгоритма при оценивании высокодинамичных компонент вектора состояния исследуемого объекта.

6. Синтезирован и реализован закон управления с использованием прогноза Тайлора - Вейджа и алгоритма скалярного оценивания вектора состояния. Показано, что функция плотности вероятности промаха ЛА является близкой к нормальной и средние характеристики промаха находятся в допустимых пределах.

7. Исследованы дисперсия и среднее значение промаха в зависимости от величины времени прогноза. Показано, что имеет место оптимальное значение времени прогноза.

8. Исследовано и показано, что синтезированный алгоритм управления обеспечивает высокую точность при маневре объекта с постоянной нормальной перегрузкой,

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Чыонг Данг Кхоа. Задача оптимального управления летательным аппаратом при сближении с маневрирующим объектом // Информатика и системы управления в XXI веке. Труды молодых ученых, аспирантов и студентов. -Москва, 2003. - С.25-37.

2. Пупков К.А., Неусыпин КА, Чыонг Данг Кхоа. Оптимальное управление летательным аппаратом при сближении с маневрирующим объектом // Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики. Материалы ХХУШ академических чтений по космонавтике. -Москва, 2004.-С373-374.

3. Пупков К.А., Неусыпин К.А., Чыонг Данг Кхоа. Оптимальное управление летательным аппаратом при сближении с маневрирующим объектом // Мехатроника, Автоматизация, Управление, -2003. -№11. -С.ЗЗ-40.

4. Смаглина Н.В., Чыонг Кхоа., Казаков К.А. Комплексирование измерительной интеллектуальной системы ГЛОНАСС / GPS // Труды V

международного симпозиума "Интеллектуальные системы (Интелс'2002)"/ Под ред. К.А. Пулкова. -Калуга, 2002. -С.232.

Подписано к печати_ Объем 1,0 печатный лист. Тираж 100. Заказ 71 г. Типография МГТУ им. Баумана.

»106 07

Введение.

Глава 1. ТИПЫ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

1.1. Автономное управление.

1.2. Система управления при помощи команды.

1.3. Системы наведения по лучу.

1.4. Система управления с самонаведением.

1.5. Комбинированные системы наведения.

Выводы по первой главе.

Глава 2. АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССА САМОНАВЕДЕНИЯ.

ВИДЫ ВОЗДЕЙСТВИЙ.

2.1. Обзор и анализ методов наведения.

2.2. Уравнения кинематического звена системы самонаведения.

2.3. Характеристики точности самонаведения.

2.3.1. Ошибки системы самонаведения.

2.3.2. Анализ моделей движения объекта в задаче оптимального преследования.

2.3.3. Плотность вероятности суммы гармонического колебания с случайной начальной фазой и нормального шума.

Выводы по второй главе.

Глава 3. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ НАВЕДЕНИЯ ЛА

НА МАНЕВРИРУЮЩИЙ ОБЪЕКТ.

3.1. Сравнительный анализ методов синтеза оптимального управления.

3.1.1. Метод динамического программирования.

3.1.2. Принцип максимума и метод решения оптимальных задач на основе вариационного исчисления.

3.1.3. Решение стохастической задачи управления в непрерывном времени на основе принципа разделения.

3.2. Исследование задачи преследования JIA маневрирующего при сближении с объектом, совершающим с синусоидальной нормальной перегрузкой.

3.3. Исследование задачи преследования маневрирующего объекта.

3.3.1. Первый случай.

3.3.2. Второй случай.

3.3.3. Третий случай.

Выводы по третьей главе.

Глава 4. МЕТОДЫ АДАПТИВНОГО ОЦЕНИВАНИЯ.

4.1. Оптимальный фильтр Калмана в дискретном времени.

4.2. Скалярное оценивание составляющих вектора состояния.

4.3. Адаптивные скалярные фильтры.

4.4. Модифицированный адаптивный скалярный алгоритм оценивания.

Выводы по четвертой главе.

Глава 5. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА

ПРЕСЛЕДОВАНИЯ МАНЕВРИРУЮЩЕГО ОБЪЕКТА С ПРОГНОЗОМ ЕГО ДВИЖЕНИЯ.

5.1. Модель случайного процесса с двумя источниками белого шума, модель Тейлора - В ейджа.

5.2. Результаты моделирования прогноза изменения угловой скорости визирования ЛА - объекта по модели Тейлора — Вейджа.

5.3. Алгоритм синтеза закона оптимального управления на основе прогнозирования траектории движения объекта с использованием модифицированного адаптивного скалярного оценивания.

Выводы по пятой главе.

Выводы.

Стохастическая теория управления основана на статистическом подходе к решению задач идентификации, прогнозирования, фильтрации, оптимизации и управления. Возможность разработки этой теории связана с возникновением и интенсивным развитием теории вероятностей. В 60-х годах развитие статистического подхода привело к постановке новых задач управления, которые были связаны с поиском законов управления в условиях неопределенности (отсутствие полного описания объекта, отсутствие априорной информации о входном сигнале). Полученные результаты послужили основой возникновения стохастической теории управления, которая бурно развивается и находит все больше и больше областей применения.

Стохастическая теория управления тесно связана с адаптивными системами, системами дуального управления. Изменение внешних воздействий, а также характеристик объектов управления в условиях их реального функционирования, принципиальная невозможность учета всех воздействий и другие реальные факторы предопределяют необходимость постоянного уточнения законов функционирования и управления объектом. Уточнение закона функционирования объекта позволяет уменьшить степень априорной неопределенности и выбирать закон управления, обеспечивающий выполнения заданной цели. В связи с этим функции, выполняемые системой управления, расширяются и усложняются.

Проблема синтеза системы управления в значительной степени сводится к проблеме оптимизации. Эта проблема охватывает широкой круг задач, например, задача формирования критерия оптимальности системы или задача выбора совокупности параметров, подлежащих настройке. Проблема оптимизации включает расчет заданных показателей функционирования системы в условиях случайных возмущений, выбора оптимальных значений параметров системы, определение оптимального управления динамическими объектами, для которых разработаны аналитические методы.

Современный этап развития теории оптимизации систем управления характеризуется совершенствованием и широким внедрением аналитических и численных методов расчета систем. Дальнейшее развитие получили теория аналитического конструирования регуляторов, динамическое программирование, стохастический принцип максимума. Все более широкое применение находят методы оптимизации, основанные на использовании возможностей цифровых вычислительных машин.

В теории оптимизации могут быть выделены два класса задач: задачи параметрической оптимизации, в которых производится выбор конечного числа параметров в системе управления при заданной ее структуре; задачи вариационного исчисления, в которых производится выбор конечного числа операторов или функций.

Оба класса задач характеризуются определенным видом функции или функционала, подлежащего минимизации. Для вычисления функционала необходимо решить задачу анализа системы управления. Широкий класс систем управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений конечного порядка. Проведение анализа стохастических систем представляет сложную задачу. Строгое решение этой задачи получено только для линейных систем при гауссовых воздействиях. Если система содержит нелинейные безынерционные преобразования, то, в общем случае, возможен лишь приближенный расчет статистических характеристик фазовых координат этой системы.

Из класса нелинейных систем управления можно выделить класс систем, которые содержат мультипликативные помехи. К этому классу относятся, в частности, системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами. Для систем управления данного класса разработаны специальные методы анализа, позволяющие рассчитать статистические характеристики выходных координат при различных статистических свойствах случайных коэффициентов.

Для решения задачи оптимизации в первую очередь необходимо определить целевую или стоимостную функцию оптимизируемого процесса. При этом требуется дать соответствующую формулировку задачи в физической форме и осуществить перевод этого физического описания на язык математики. Для осуществления эффективного управления процессом необходимо знать его текущее состояние (задача оценки состояния). Кроме того, необходимо охарактеризовать процесс с помощью адекватной модели, зависящей от различных факторов (задача идентификации системы). При условии знания функции стоимости, состояния и параметров системы можно затем определить наилучшее управление, минимизирующее (или максимизирующее) функцию стоимости. Таким образом, можно сформировать пять взаимосвязанных задач, решение которых даст возможность построить наилучшую или оптимальную систему:

1. Задача управления. Рассматривается система с заданной связью между входным управляющим воздействием и состояниями системы. Требуется найти управление, меняющее состояние так, чтобы была достигнута некоторая заданная цель. Эта задача может быть замкнутой или разомкнутой в зависимости от того, является ли управление функцией состояния системы.

2. Задача оценки состояния. Рассматривается известная система со случайным входным воздействием и шумом измерения. Известны законы распределения флюктуации входного сигнала и шума измерений, требуется найти "наилучшую" оценку исходного состояния системы по известному измеренному выходному сигналу.

3. Задача стохастического управления. Эта задача может быть получена путем объединения задач 1 и 2. Требуется определить управление так, чтобы выходное состояние системы менялось желаемым образом. Известны законы распределения шумов, требуется найти наилучшую оценку состояния системы по наблюдаемому выходному состоянию, прежде чем можно будет определить "наилучшее" управление, которое может быть управлением с разомкнутым или замкнутым контуром.

4. Задача оценивания параметра. Во многих задачах приходится вводить некоторые методы идентификации параметров системы, которые могут меняться в зависимости от окружающих условий. Известны статистические характеристики флюктуации сигнала и шумов измерения при этом требуется определить наилучшую оценку некоторых параметров объекта, основываясь на знании детерминированного входного управляющего сигнала, измеренного выходного сигнала.

5. Задача адаптивного управления. Задача адаптивного управления составлена в результате комбинации задач 1ч-4. При этом задаются статистические характеристики шумов объекта и измерения или некоторые методы определения этих характеристик. Параметры объекта - случайные. Требуется найти управление, зависящее от флюктуации сигнала и шумов измерения, а также изменения динамики системы, такое, чтобы наилучшим образом выполнялись некоторые заданные условия. Если управляющий сигнал определен в зависимости от измеряемого выходного сигнала, то он имеет адаптивную систему с замкнутым контуром.

В проблеме оптимизации, связанной с управлением летательными аппаратами (JIA), необходимо решить две задачи. Первая задача заключается в определении номинальной траектории движения JIA. С математической точки зрения эта задача состоит в отыскании некоторой программы управления, представляющей собой зависимость величины управляющего воздействия от времени (задача программного управления). Вторая задача заключается в формировании закона управления JIA. Под законом управления поднимается зависимость управляющего воздействия от тех координат, которые доступны измерению в процессе движения в любой (текущий) момент. Решение этой задачи позволяет сформировать (синтезировать) структуру системы управления ЛА, работающей по принципу обратной связи (задача синтеза управления).

При решении как задачи программирования, так и задачи синтеза управления необходимо иметь в виду, что на любой JIA в процессе полета действуют различные возмущения. Характерным примером может служить задача управления конечным (терминальным) состоянием ЛА, когда требуется осуществить выведение ЛА в требуемый район назначения с высокой точностью. При этом возможны случаи, когда решение той или иной задачи без учета возмущений вообще не может обеспечить требуемой точности управления. Поэтому при формировании как программы, так и закона управления ЛА, как правило, следует учитывать действие случайных факторов.

Случайные воздействия описываются статистическими характеристиками и, следовательно, обладают некоторыми законами распределения. Их параметры могут быть в принципе точно неизвестны, но априорное существование законов распределения позволяет использовать методы теории вероятности.

При применении теории оптимальных систем для синтеза алгоритма управления ЛА задачу управления сводят к задаче фильтрации и определяют оптимальный оператор замкнутой системы, осуществляющей связь между входной информацией и выходными координатами. После синтеза оптимального алгоритма замкнутой системы путем сложных преобразований переходят к разомкнутой системе, исключают оператор заданной части системы и при ряде допущений находят в физически реализуемом виде оператор алгоритма управления.

Указанной метод позволяет провести синтез оператора управления, если стационарны оператор заданной части системы и оператор оптимальной замкнутой системы и не наложены ограничения на текущие величины вектора управления. В противном случае определение оператора алгоритма управления ЛА сопряжено со значительными трудностями и обычно не может быть выполнено в ситуациях, имеющих прикладной интерес.

Часто синтез стохастического управления проводится с меньшими трудностями, если основой методов управления по статистической информации считать принцип разделения задачи управления на задачу обработки статистической информации (задача фильтрации) и задачу синтеза закона управления.

В соответствии с принципом разделения, задача фильтрации определяет текущие фазовые координаты ЛА, которые с той или иной степенью полноты характеризуют условную плотность вероятностей вектора текущих фазовых координат ЛА, построенную с учетом всех априорных данных и всей статистической информации, зафиксированной в данном полете до заданного момента времени.

Часто фазовые координаты ЛА состоят из вектора условного математического ожидания (вектора оценки) и условной корреляционной матрицы (корреляционной матрицы ошибок оценки). После того как определены текущие фазовые координаты, осуществление решения задачи стохастического управления, строя вектор управления как функцию этих координат и текущего времени.

В общем случае, синтез оптимального стохастического управления сложен и может быть проведен лишь при использовании численных методов. Однако, для ряда случаев (при использовании принципа разделения системы управления) рациональное стохастическое управление может быть построено благодаря использованию методов синтеза рационального детерминированного управления. Поэтому, при синтезе стохастического управления, основная задача состоит в определении фазовых координат системы, осуществляемом алгоритмом фильтрации.

В настоящей работе объектом исследования является JIA с системами наведения [17,26,36,45,49]. Синтез систем управления такими ДА предполагает использование вышеперечисленных методов, а также специфических подходов и алгоритмов, положенных в основу конструкции систем наведения, в частности, головок самонаведения (ГСН) [21,26,31].

В задачах управления летательными аппаратами, управление с помощью системы самонаведения, представляет собой сложный процесс, и не может быть проведено в отрыве от свойств JIA в целом и характеристик окружающей среды. Теория оптимального управления систем самонаведения развивается многие годы, построены оптимальные алгоритмы обработки информации и формировании закона управления. Это представлено в ряде известных основных методов самонаведения (метода погони, метода параллельного сближения, метода пропорционального наведения и др.) [6,26]. Однако, решение всех этих методов самонаведения основано на предположении, что цель двигается прямолинейно и возмущение действует на систему измерений ГСН как белый шум. Действительно динамический объект имеет высокие маневренные свойства и способен создавать различные виды помех с целью избежания преследования. Эти обстоятельства приводят к необходимости найти подход для исследования влияния этих воздействий на эффективность системы самонаведения и на базе этого требуется разработать новый алгоритм с целью преодолеть ограничения и повысить эффективность JIA при преследовании маневрирующего объекта.

Задача решена следующим образом:

- проведен анализ вероятностных характеристик возмущений и помех, действующих на систему наблюдения системы управления, в совокупности с маневром объекта; исследованы алгоритмы адаптивной скалярной фильтрации в оценивании состояния системы управления. Решена задача оптимального управления JIA в аналитическом виде, исследована эффективность преследования при сближении с маневрирующим объектом. предложен метод и сформирован алгоритм прогноза траектории движения объекта и алгоритм оптимального управления по прогнозируемой траектории.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

ВЫВОДЫ

Проведенные в работе исследования позволили получить следующие новые научные результаты:

1. Рассмотрены различные системы управления JIA, применяемые для решения задачи сближения JIA с объектом. На основе их анализа сделан вывод о предпочтительном применении на таких JIA систем самонаведения, так как они отличаются высокой точностью, компактностью и способностью функционировать в условиях быстрых маневров объекта. Особенно эффективны системы самонаведения в JIA класса "воздух - воздух" и на конечном этапе полета в комбинированных системах наведения.

2. Осуществлен анализ возмущающих факторов, обусловливающих ошибку в определении параметров движения объекта. Определена интенсивность шумовых составляющих, вызванных шумом приемника, флуктуацией отраженного сигнала от объекта. Выявлены доминирующие факторы, имеющие наиболее негативное влияние на точность процесса самонаведения. Такими факторами являются флюктуации отраженного от объекта сигнала и маневр объекта. Представлены математические модели этих помех и возмущения.

3. Проведен анализ алгоритмов оценивания, рассмотрены фильтр Калмана, алгоритмы адаптивного оценивания, алгоритмы адаптивного скалярного оценивания компонент вектора состояния. Предложенный алгоритм способен функционировать в условиях отсутствия априорной информации о статистических характеристиках входного и измерительного шумов, компактен и прост в реализации вычисления. Результаты моделирования показали высокую эффективность скалярного адаптивного алгоритма при оценивании высокодинамичных компонент вектора состояния исследуемого объекта.

4. На основе анализа помех подтвержден вывод о бимодальном распределении вероятности промаха JIA в точке встречи с объектом. Исходя из этого, предложено использовать прогнозирование траектории движения объекта и осуществлять управление JIA на основе этой прогнозированной траектории.

5. Проведен анализ моделей прогнозирования и выбрана модель Тейлора - Вейджа для моделирования в случае когда объект маневрирует с синусоидальной нормальной перегрузкой подтвердили эффективность выбранной модели. Полученные результаты позволяют сделать вывод о повышении эффективности преследования цели при использовании подхода прогнозирования и оптимального управления по прогнозированной траектории объекта.

6. Предложена система управления JIA при сближении с объектом, использующая прогнозирование траектории объекта, алгоритм оптимального управления, модифицированной скалярный адаптивный алгоритм оценивания, а также использование модели Тейлора - Вейджа для прогнозирования траектории объекта. Таким образом, разработан и исследован новый метод наведения на маневрирующий объект в условиях помех, обеспечивающий нормальную плотность вероятности промаха JIA при сближении с объектом.

7. Результаты моделирования подтвердили эффективность предложенных алгоритмов и моделей. Использование предложенных алгоритмов и подходов позволяет повысить точность системы управления JIA при сближении с объектом и следовательно точность выполнения поставленной задачи.

1. Абгарян К.А., Рапопорт И.М. Динамика ракет. -М.: Машиностроение, 1969. —378 с.

2. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / К.А.Пупков., Е.М.Воронов., Н.Д.Егупов.; Под ред. К.А.Пупкова. -М.: Издательство МГТУ имени Н.Э.Баумана, 2000. Том 1, -748 с.

3. Балакришнан А.Б. Теория фильтрации Калмана. —М.: Мир, 1988.166 с.

4. Барабанов А.Е. Адаптивная фильтрация при неизвестной интенсивности возмущении и шумов измерений //Автоматика , и телемеханика. -1992. -№11. -С.93 101.

5. Батков A.M. Методы оптимизации в статистических задачах управления. —М.: Машиностроение, 1974. —240 с.

6. Батков A.M., Тарханов И.Б. Системы телеуправления. -М.: Машиностроение, 1972. -192 с.

7. Богуславский И.А. Методы навигации и управления по неполной статистической информации. — М.: Машиностроение, 1970. —256 с.

8. Богуславский И.А. Прикладные задачи фильтрации и управления. -М.: Наука, 1983.^00 с.

9. Бодянский Е.В., Борячок М.Д. Локально-оптимальное управление объектами с неизвестными параметрами //Автоматика и телемеханика. -1992. -№4. -С.90 — 97.

10. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления: Пер. с англ./ Под ред. А.М.Летова. -М.: Мир, 1972. -544 с.

11. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана Бьюси: Пер. с нем. / Под ред. И.Е.Казакова. -М.: Наука, 1982. -200 с.

12. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Высшая школа, 2000. -480 с.

13. Гаджиев Ч.М. Проверка обобщенной дисперсии обновляющей последовательности фильтра Калмана в задачах динамического диагностирования //Автоматика и телемеханика. -1994. -№8. -С.98 104.

14. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Прикладная оптимизация: Пер. с англ./ Под ред. А.А.Петрова. -М.: Мир, 1985. -509 с.

15. Грешилов А.А. Анализ и синтез стохастических систем. -М.: Радио и связь, 1990. -320 с.

16. Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. с англ./ Под ред. Е.И.Криценкого. -М.: Мир, 1979. -302 с.

17. Демидов В.П., Кутыев Н.Ш. Управление зенитными ракетами. -М.: Военное издательство, 1989. -336 с.

18. Жаков A.M. Управление баллистическими ракетами и космическими объектами. -М.: Военное издательство министерства обороны СССР, 1974. -264 с.

19. Жаков A.M., Фигулевский Ф.А. Управление баллистическими ракетами. -М.: Военное издательство министерства обороны СССР, 1965. -279 с.

20. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. -М.: Физико-математическая литература, 1993. -272 с.

21. Ким Д.П. Методы поиска и преследования подвижных объектов. -М.: Наука, 1989. -336 с.

22. Коган М.М., Неймарк Ю.И. Об оптимальности локально-оптимальных решений линейно-квадратичных задач управления и фильтрации // Автоматика и телемеханика, -1992. -№4. —С.101 110.

23. Козлов В.И. Системы автоматического управления летательными аппаратами. -М.: Машиностроение, 1979. -216 с.

24. Коттрелл. Оптимальное наведение при перехвате для тактических снарядов малой дальности // Ракетная техника и космонавтика. -1971. —№ 7. С. 256-258.

25. Коуэн К., Грант П. Адаптивные фильтры: Пер. с англ./ Под ред. С.М.Ряковского. -М.: Мир, 1988. -392 с.

26. Кочетков В.Т., Половко A.M., Пономарев В.М. Теория систем телеуправления и самонаведения ракет. -М.: Наука, 1964. -536 с.

27. Красовский А.А. Адаптивные полиномиальные наблюдатели и идентификация в критических режимах //Автоматика и телемеханика. -1996. -№10. -С.142 —153.

28. Красовский А.А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. -М.: Машиностроение, 1969. -240 с.

29. Красовский А.А. Статистическая теория переходных процессов системах управления. -М.: Наука, 1968. -240 с.

30. Красовский Н.Н. Теория управления движением. —М.: Наука, 1968. -475 с.

31. Кринецкий Е.И. Системы самонаведения. -М.: Машиностроение, 1970.-236 с.

32. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. -М.: Наука, 1987. -304 с.

33. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. -М.: Машиностроение, 1976. -184 с.

34. Кузовков Н.Т., Карабанов С.В., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. -М.: Машиностроение, 1978. -256 с.

35. Кузовков Н.Т., Салычев О.С. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация. -М.: Машиностроение, 1982. —216 с.

36. Лебедев А.А., Карабанов В.А. Динамика система управления беспилотных летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1965. -528 с.

37. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета. -М.: Машиностроение, 1973. -616 с.

38. Левин Б.Р. Теория случайных процессов и применение в радиотехнике. -М.: Советское радио, 1957. -496 с.

39. Ленинг Дж.Х., Беттин Р.Г. Случайные процессы в задачах автоматического управления. —М.: Издательство иностранной литературы, 1958.-388 с.

40. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления: Пер. с англ./ Под ред. Я.Н.Ройтенберга. -М.: Наука, 1972. —576 с.

41. Локк А.С. Управление снарядами. —М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. —776 с.

42. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочно прогнозирования. -М.: Статистика, 1979. -251 с.

43. Лыонг Л. Идентификация систем: Пер. с англ./ Под ред. Я.З.Ципкина. -М.: Наука, 1991.-432 с.

44. Ляшенко Е.А, Ряшко Л.В. Об оценивании при помощи фильтра, содержащего случайные помехи //Автоматика и телемеханика, -1992. -№2. -С.75-83.

45. Максимов М.В., Горгонов Г.И. Радиоэлектронные системы самонаведения. -М.: Радио и связь, 1982. —304 с.

46. Методы робастного, нейро-нечетного и адаптивного управления

47. К.А.Пупков, Н.Д.Егупов, А.И.Гаврилов; Под ред. К.А.Пупкова. -М.: МГТУ имени Баумана, 2002. —744 с.

48. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления

49. К.А. Пупков., Н.Ф.Фалдин., Н.Д.Егупов.; Под ред. К.А.Пупкова. -М.: Издательство МГТУ имени Баумана, 2000. -511 с.

50. Моисеев Н.Н. Методы оптимизации. -М.: Наука ,1978. -351 с.

51. Навигация, наведение и стабилизация в космосе / Ч.С.Дрейпер., У.Ригли., Д.Г.Хоэт.; Под ред. Дж.Э.Миллера; Пер. с англ.; Под ред. И.Д.Блюмина. -М.: Машиностроение, 1970. -363 с.

52. Неусыпин А.К., Быковский А.В., Салычев О.С. Повышение точности инерциальных навигационных систем с использованием внешней информации. Учеб. пособ. -М.: МГТУ имени Баумана, 1989. -67 с.

53. Острём К. Введение в стохастическую теорию управления. —М.: Наука, 1973. -322 с.

54. Панков А.Р., Скуридин A.M. Рекуррентное оценивание параметров линейной модели по нескольким группам измерений //Автоматика и телемеханика. -1979. -№7. -С.80 89.

55. Питерсон И.Л. Статистический анализ и оптимизация систем автоматического управления. -М.: Советское радио, 1964. -248 с.

56. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. —М.: Физматгиз, 1962. —883 с.

57. Пупков К.А., Неусыпин К.А. Вопросы теории и реализации систем управления и навигации. -М.: Биоинформ, 1997. -367 с.

58. Пупков К.А., Неусыпин К.А., Чыонг Данг Кхоа. Оптимальное управление летательным аппаратом при сближении с маневрирующим объектом // Мехатроника, Автоматизация, Управление. -2003. -№11. -С.ЗЗ — 40.

59. Пупков К.А., Неусыпин К.А., Чыонг Данг Кхоа. Оптимальное управление летательным аппаратом при сближении с маневрирующим объектом //Автоматизация и современные технологии. 2004. - №7.

60. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. -М.: Наука, 1976. -483 с.

61. Радиоуправление / Л.С.Гуткин., В.Б.Пестряков., В.Н.Типугин и др; Под ред. Л.С.Гуткина. -М.: Советское радио, 1970. -712 с.

62. Ривкин С.С. Методы оптимальной фильтрации Калмана и его применение в инерциальных навигационных системах. -М.: Машиностроение, 1973. -Ч 1,-145 е.; 1974. -Ч 2, -155 с.

63. Розов А.К. Обнаружение, классификация, и оценивание сигналов. -СПб.: Политехника издательство, 2000. -248 с.

64. Салычев О.С. Скалярное оценивание многомерных динамических систем. -М.: Машиностроение, 1987. -215 с.

65. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении: Пер. с англ./ Под ред. Б.Р.Левина. -М.: Связь, 1976. —495 с.

66. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами: Пер. с англ./ Под ред. Б.Р.Левина. -М.: Радио и связь ,1982. -392 с.

67. Смаглина Н.В., Чыонг Кхоа., Казаков К.А. Комплексирование измерительной интеллектуальной системы ГЛОНАСС / GPS

68. Интеллектуальные системы: Тез. докл. междунар. симпозиума. -Калуга, 2002, -С.232.

69. Соколов С.В. Оптимальное оценивание возмущений процесса калмановской фильтрации //Автоматика и телемеханика, —1991. -№6. -С.65-74.

70. Станислав Оссовский. Нейронные сети для обработки информации. -М.: Финансы и статистика, 2002. -344 с.

71. Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов / А.А.Лебедев., В.Т.Бобронников., М.Н.Красильников. и др. -М.: Машиностроение, 1985. -280 с.

72. Теоретические основы радиолокации / А.А.Коростелев., Н.Ф.Клюев., Ю.А.Мельник и др.; Под ред. В.Е. Дулевича. -М.: Советское радио, 1978. -608 с.

73. Теоретические основы радиолокации / Я.Д.Ширман., В.Н.Голиков., И.Н.Бусыгин и др.; Под ред. Я.Д.Ширмана. -М: Советское радио, 1970. -560 с.

74. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. —М.: Советское радио, 1966. -678 с.

75. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ. Ю.К.Сальникова/ Под ред. В.В.Шахтильдяна. -М.: Радио и связь, 1989. -436 с.

76. Федосов Е.А. Динамическое проектирование систем управления автоматических маневренных летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1997.-336 с.

77. Федосов Е.А., Инсаров В.В., Селивохин О.С. Системы управления конечными положением в условиях противодействия среды. —М.: Наука, 1989.-272 с.

78. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / В.А.Васильев., Э.И.Митрошин., Ю.А.Николаев.; Под ред. К.Т.Леондеса; Пер. с англ. -М.: Мир, 1980. -408 с.

79. Хитрик М.С., Федоров С.М. Динамика систем управления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами. -М.: Машиностроение,1976.-292 с.

80. Чембровский О.А., Топчеев Ю.И., Самойлович Г.А. Общие принципы проектирования систем управления. -М.: Машиностроение, 1972. -414 с.

81. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. -М: Статистика, 1975. -199 с.

82. Чыонг Данг Кхоа. Задача оптимального управления летательным аппаратом при сближении с маневрирующим объектом // Информатика и системы управления в XXI веке. Труды молодых ученных аспирантов и студентов.-Москва, 2003.-С.25 42.

83. Шапиро И.И. Расчет траекторий баллистических снарядов по данным радиолокационных наблюдений: Пер. с англ./ Под ред. Ю.Г.Мильграма. -М.: Издательство иностранной литературы, 1961 . -319 с.

84. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. ~М.: Радио и связь, 2000. -584 с.

85. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. -М.: Советское радио, 1980. -360 с.

86. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. -М.: Радио и связь, 1985. -344 с.

87. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. -М.: Радио и связь, 1993. —460 с.