автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.13, диссертация на тему:Разработка и исследование аналитических моделей надёжности и их применение для оптимизации территориально-распределённых сетей

На правах рукописи

06АВГ»

Калнмулшш Эльмира Юрьевна

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕРРИТОРИАЛЬНО-РАСПРЕДЕЛЁННЫХ СЕТЕЙ

Специальность 05.13.13 - Телекоммуникационные системы и компьютерные сети

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва-2009

003475122

Работа выполнена на кафедре информационных технологий в экономике и управлении Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московский технический университет связи и ииформатики (МТУСИ).

11аучпы(4 руководитель:

доктор технических наук, профессор Воронцов Юрий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Нетес Виктор Александрович

кандидат технических наук, профессор Ксенофонтов Сергей Николаевич

Ведущая организация:

Центральный научно-исследовательский институт связи (ФГУПЦНИИС)

Защита состоится <УА #3 2009 г. в/3 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 219.001.03 при МТУСИ по адресу: 111024, Москва, ул. Авиамоторная, д. 8а, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МТУСИ

Автореферат разослан

.2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

КосичкинаТ.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современный этап развития территориалыю-распределёниых сетей характеризуется ростом сложности и масштабов инфраструктуры, непрерывным повышением требований к качеству предоставляемых услуг, рассмотрением сетей как экономических объектов. При этом проблема надежности территориально-распределёнпых сетей остается одной из важнейших. Рост надежности элементной базы не успевает за ростом требований к надежности и сложности систем. Низкая надежность сети приводит к потере клиентов, недополучению прибыли, к штрафным санкциям. Чрезмерные затраты на повышение надёжности могут превысить прибыль, получаемую от предоставления инфокоммуникациоиных услуг. Международным Союзом Электросвязи разработана рекомендация Е.862 "Планирование сетей связи по общей надёжности". В ней отмечается, что при планировании, проектировании, эксплуатации и техническом обслуживании сетей необходимо учитывать экономические потери вследствие ненадежности, которые несут как владельцы сетей, так и их пользователи. Данный документ носит чисто рекомендательный характер и не содержит чётких процедур и моделей, необходимых для решения задачи. В связи с этим требуются новые подходы и разработка новых математических моделей расчёта и оптимизации надежности компьютерных сетей как экономических объектов.

Большой вклад в развитие современных методов теории надежности, теоретических и практических основ построения надёжных телекоммуникационных сетей внесли многие отечественные и иностранные учёные и инженеры: В.М. Вишневский, Чуканов В.О, Алексеев Е. Б, Бар-зилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В.А, Дружинин Г.В., Герцбах И.Б., Каштанов В.А., Гнеден-ко В.Б., Соловьёв А.Д., Ивлев В.В, Ушаков И.А., Левин Б.Р., Полесский В.П., Нетес В.А, Половко A.M., Рябинин И.А., Филин Б.П., Черкесов Г.Н., Койа Д.В., Зуо М.Дж., Корен Из., Энрико Зио, Шуман М., Тилмани Ф.А., Кванг С.Л., Куо В., и др.

Проблема оптимизации надёжности сетей рассматривалась в работах Дружинина Г.В., Ушакова И.А., Левина Б.Р., Филипа Б.П., Черкесова Г.Н., Зуо М.Дж., Корена Из., Шумана М.. Тилманна Ф.А., Куо В. Однако в существующих работах решение задачи оптимизации надёжности осуществлялось по критерию надёжности и сводилось к задаче оптимального резервирования. Не учитывались доходы от сети, капиталовложения, необходимые для достижения определённого уровня надёжности, затраты на техническое обслуживание сети, потери вследствие простоев сети из-за отказов. Кроме того, большинство существующих моделей надёжности сетей основано на предположении о независимости отказов, экспоненциальном характере распределения времени восстановления, идентичности элементов в модели надёжности. Для этих случаев получены точные решения. Реальные потоки восстановления в сетях не являются простейшими, сети являются экономическими объектами, элементы моделей являются зависимыми, резервные элементы имеют различные надёжностные характеристики. Для этих случаев модели надёжности отсутствуют.

В связи с изложенным, актуальность исследования обусловлена тем, что разработка методики оптимизации надёжности территориально-распределённых сетей, учитывающей неэкспопен-циальность потоков отказов и восстановлений, смешанные сценарии повышения надёжности, зависимость элементов модели надёжности, экономические целевые функции, численные процедуры автоматизации расчётов, позволит существенно повысить эффективность современных территориально-распределённых сетей как экономических объектов.

Цель работы и задачи исследовании. Целью диссертационной работы является разработка и исследование математических моделей и методики оптимизации надёжности территориально-распределённых сетей.

Для достижения поставленной цели решены следующие научно-практические задачи:

- разработана математическая модель надёжности сети, учитывающая зависимость между состояниями подсистем, и получено выражение для коэффициента готовности в случае простейших потоков отказов и произвольных распределений времени восстановления;

- исследована зависимость коэффициента готовности сети от закона распределения време-

ни восстановления центра управления сетью, что позволило оценить эффективность применения централизованной схемы управления распределённой сетью;

- разработана математическая модель надежности сети при использовании нагруженного и ненагруженного резерва из п восстанавливаемых подсистем с разной надёжностью, получено выражение для коэффициента готовности и среднего времени наработки на отказ в случае простейших потоков отказов и произвольных распределений времени восстановления;

- разработана модель надежности сети на основании полученных моделей подсистем, что позволило найтн математические выражения для коэффициента готовности сети;

- получено явное аналитическое выражение для оптимизации территориалыю-распределённой сети по критерию прибыли, учитывающее полученные ранее аналитические формулы для расчёта надёжности подсистем, что позволило свести задачу оптимизации к задаче нелинейного смешанного программирования, предложен и исследован модифицированный алгоритм дифференциальной эволюции для её решения;

- разработана методика поиска оптимального в смысле надёжности варианта построения сети, включающая модели надёжности подсистем, алгоритм оптимизации и программные средства автоматизации расчётов. На основании данной методики проведён расчёт примера оптимизации надёжности сети.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической теории надёжности, математического программирования, аналитического и имитационного моделирования. В процессе исследований использованы работы отечественных и зарубежных ученых, научные обзоры, общегосударственные и отраслевые методические материалы.

Научная новизна работы состоит в разработанной методике оптимизации надёжности сложных систем и её применении к оптимизации надёжности территориалыю-распределённых сетей, включающей в себя:

1. Математические модели расчёта надёжности восстанавливаемых систем, которые в отличие от известных моделей учитывают зависимость отказов элементов в системе: транспортная сеть - центрально-вычислительный комплекс - центр управления сетью.

2. Аналитические выражения для расчёта коэффициента готовности, вероятности безотказной работы, среднего времени наработки на отказ и интенсивности отказов параллельных систем с резервированием, которые в отличие от существующих справедливы для систем большой размерности при произвольном распределении времени восстановления подсистем. Результаты обобщены на сложные структурные модели надёжности и смешанные схемы резервирования, применяемые в территориально-распределёниых сетях.

3. Функционал качества работы сети, который в отличие от существующих целевых функций позволяет учесть параметры надёжности подсистем, различные схемы резервирования, стоимости подсистем, экономическую эффективность работы компании-собственника территориаль-но-распределёиной сети.

4. Модифицированный алгоритм дифференциальной эволюции для оптимизации надёжности сети в случае нелинейной целевой функции и целочисленных, непрерывных и дискретных значениях переменных, ускоряющий поиск оптимума по сравнению с известными алгоритмами.

Практическая ценность и реализация результатов работы:

1. Разработана эффективная методика расчётов и оптимизации показателей надёжности как проектируемых, так и действующих территориалыю-распределённых сетей, позволяющая найти такое число резервных элементов и такие характеристики надёжности нерезервируемых элементов сети, при которых доход, получаемый за счёт эксплуатации сети и предоставления услуг, будет максимальным, а надёжность заданной.

2. Программно реализованы процедуры расчётов характеристик моделей надёжности и сети в целом, позволяющие в 1.5 раза сократить время поиска оптимального решения.

3. Усовершенствован алгоритм дифференциальной эволюции, позволяющий находить сети

оптимальной структуры с точки зрения надёжности в случае нелинейной целевой функции и целочисленных, непрерывных и дискретных значениях переменных.

4. Исследованы предложенные процедуры, алгоритмы и методика при различных распределениях потоков восстановления, схемах резервирования, структурах сети, что позволяет принимать обоснованные и экономически целесообразные решения по внедрению новой техники и технологии с целью повышения надёжности функционирования сетей, повысить качество предоставляемых услуг.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе кафедры ИТЭУ факультета экономики и управления МТУСИ. Разработанная методика оптимизации надёжности сетей была использованы при проектировании сетей связи в проектах компаний ОАО «Центральный телеграф» и ОАО «ТрансТелеКом», что подтверждается соответствующими актами.

Личный вклад. Научные результаты, приведённые в диссертации, получены автором лично.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались иа следующих российских и международных конференциях: международный форум информатизации "Телекоммуникационные и вычислительные системы" (Москва, 2006г.); научно-техническая конференция профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ (Москва, 2006 г.); VI международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, 2008); V всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами» (Липецк, ЛГТУ, 2008); всероссийская научно-технической конференции "Новые материалы и технологии - НМТ-2008" (Москва, 2008); VII всероссийская научно-практическая конференция с международным участием "Информационные технологии и математическое моделирование" (Томск, 2008); 9-й международная конференция молодых учёных «Актуальные проблемы современной науки - 2008» (Самара, 2008); международная конференция "Перспективы развития телекоммуникационных систем и информационные технологии" (Санкт-Петербург, 2008); международная ШЕЕ-Сибирская конференция по управлению и связи (SIBCON-2009).

Публикации результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 печатных работах, 17 работ опубликованы без соавторов. Из них 5 статей опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК. Получены два свидетельства об отраслевой регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованных источников и семи приложений. Содержит 165 машинописных страниц основного текста и 54 страницы приложений, 69 рисунков и 15 таблиц в основном тексте и 14 рисунков и 19 таблиц в приложениях. Список использованных источников включает 163 наименования.

Основные положении, выносимые на защиту:

1. Логическая модель надёжности сети может быть представлена совокупностью резервируемых элементов (горячий и холодный резерв) и нерезервнруемых элементов (характеристики которых подлежат определению), что обеспечивает возможность оптимизации параметров надёжности с учётом стоимости подсистем и экономической эффективности функционирования сети для общего случая постановки задачи.

2. Полученные математические модели надёжности (для восстанавливаемых параллельных систем для случая полумарковских моделей надёжности, подсистем с зависимой архитектурой транспортная сеть - центрально-вычислительный комплекс - центр управления), аналитические выражения для расчёта показателей надёжности (коэффициентов готовности, вероятностей безотказной работы, среднего времени наработки на отказ и интенсивности отказов систем с резервированием), модель надёжности сложной восстанавливаемой системы большой размерности и соответствующие выражения для расчёта показателей надёжности таких систем обеспечивают опре-

деление характеристик надежности при произвольном распределении времени восстановления подсистем.

3. Предложенная модификация алгоритма оптимизации надёжности сети на базе метода дифференциальной эволюции позволяет найти решение задачи оптимизации для случая нелинейной целевой функции при целочисленных, непрерывных и дискретиых значениях переменных и сокращает время решения задачи.

4. Методика оптимизации надежности территориально-распределённых сетей (включая разработанное программное обеспечение) позволяет найти такое количество резервных элементов (в холодном и горячем резерве) и такие характеристики надёжности нерезервируемых элементов, которые обеспечивают максимальное значение дохода сети при заданной надёжности.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы работы, определена цель и сформулированы решаемые в работе задачи. Перечислены новые научные результаты, полученные при выполнении работы, показаны практическая ценность и апробация работы, описаны внедрение и реализация результатов. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приведено описание объекта исследования, описаны основные особенности территориально-распределённых сетей, рассмотрены задачи проектирования и оптимизации таких сетей с учётом надёжности, проведён анализ и классификация существующих методов оптимизации надёжности. Обоснован выбор целевых функций задачи оптимизации надёжности сети, сформулирована постановка задачи оптимизации.

Разработана обобщённая логическая модель надёжности территориально-распределённой сети (рис. 1). Сеть рассмотрена как система, состоящая из .г подсистем, надёжность ^ из них повышается за счёт установки более надёжного оборудования, для зг подсистем применяется нагруженное резервирование, надёжность 13 подсистем повышается за счёт ненагружешгаго резервирования Также в сети выделаются участки с зависимыми отказами. Численное значение показателя надёжности для подсистем с резервированием зависит от количества резервных элементов. В сетях может применяться неоднородное резервирование, когда элементы в /-ой подсистеме имеют разную надёжность. В диссертационной работе предположено, что для каждой /-ой подсистемы существует гп; типов резервных элементов с разными надёжностными характеристиками. Количество резервных элементов_/-го типа (У = 1 ,т,), имеющихся в /-ой подсистеме пу, тогда показатель надёжности для /-ой подсистемы будет определяться как К{пц, па.....";,»,).

Участок с зависимыми отказами .__

ы

~цхГ *2<»\ "7

Элементы с оптимальным значением надежности

Задача оптимального распределения надёжности

Нагруженное ,, резервирование

Ненагруженное резервирование

[ Задача оптимальногс| резервирования

1 II 1

I II I

Рис. 1. Обобщённая модель надёжности сети

Для подсистем без резервирования, показатель надёжности будет зависеть от параметров распределения времени наработки на отказ, времени восстановления и режима работы подсистемы и, в общем случае, будет определяться как К,(хп, ха.....хщ), где Х=(х,\, ха, параметры

модели, В качестве показателя надёжности рассмотрен коэффициент готовности. Готовность системы К, есть функция, зависящая от показателей надёжности отдельных подсистем. Она является функцией от числа резервных элементов (для подсистем с резервированием) и функцией параметров распределения (для подсистем без резервирования):

где / = 1,2.....$2,¿2 +1.....4з - количество подсистем с резервированием, /= 1, 2,..., - количество

подсистем без резервирования.

Коэффициент готовности выражается через произведение:

К,(П,Х)*КА{ЫА)*КС{ЫС)*КН(Х), (2)

где - коэффициент готовности для участков с активным резервированием, КС(ЫС) - ко-

эффициент готовности для участков с холодным резервом, - коэффициент готовности

для участков без резервирования, Х = /<=Ы, у = 1 ,к,, ЛГ,,=(«,;), /е Л, ],тп

; б С, ] = . В работе определяется значения надёжности сети К5, которое в общем случае определяется как функционал от коэффициентов готовности каждой подсистемы: =(А"|,Л^2,...,А"1+1+1). В частном случае А'( - коэффициент готовности подсистемы, есть функция от параметров подсистемы, которые подлежат определению в процессе решения задачи оптимизации, / = 1,2,..., ^ + $2 С каждой подсистемой свяжем функцию стоимости, зависящую от надёжности СЦК!} со следующими свойствами: 1) С ¡(К!) - неубывающая функция от К„ К, е[0,1); 2) при К, =0, С,(А",)=0; 3) при А"/ =1, С,(ЛГ,)=со. При абсолютно надёжной работе сети К,=1 за счёт ей эксплуатации формируется доход 1Г, в случае отказа сети К, =0 - убытки в размере 1Г, величины Ц* > 0,1Г > 0. Общая стоимость территориально-распределёиной сети определяется как сумма стоимостей всех ей подсистем: С„(К„) = ¿1 С,(К,). Доход, получаемый при на-

ы

дёжно работающей сети равен ((У'-СД/С)); доход в случае отказов равен ((/+С,(К,)). Данные предположения отсутствовали в известных ранее постановках. При проектировании системы надёжность можно повышать, но затраты на повышение надёжности должны быть меньше дохода, получаемого от работы сети: (1Аса(£„))>0. С учётом надёжности доход составит величину (3):

К> (Ки КЬ..„ К>,...)(1Г~С< (К,)); (3)

А убытки составят величину (4):

(1 - К, {Ки Кг.....й,...))(У+СЖ)). (4)

Суммарные затраты на сеть составят величину: С, = ]Г С,(К,), где С](К,) - затраты на

¡«1

|-ую подсистему. Для тех участков сети, где не применяется резервирование (/ = 1,2,...,$|), для увеличения надёжности 1-ой подсистемы до величины К,(хц, ха, ..., хщ) необходимы затраты в объеме С/:

С, = С, (*,(*,„*„.....*,;)), (5)

Для участков сети с резервированием, суммарная стоимость подсистем будет зависеть от количества резервных элементов. Предполагая, что стоимости возможных вариантов оборудования известны и равны с/у (/ = 1,2.....^.^н-!,...у = 1,/«,), можно определить затраты на /-ую

подсистему: с, = ХСЛ • Тогда затраты на резервирование составят:

А

2 Lcu"ij- «У

/-1 7=1

Суммарные затраты на повышение надежности сети будут равны:

s. s.+s, т,

с,.....х'0)+ L Lc<j"v (7>

(=1 (-1 у=1

С учётом (З)-(б) целевая функция, определяющая доход от эксплуатации сети, будет равна:

NPV(K,)~ K,(KvKt.....-Cs(Ks))-

к,(Kt,K2.....KSi +ij+Ji ))(£/- + Cj ))

NPV- это комплексный финансовый показатель работы сети, который учитывает её текущую работу, прирост доходов, получаемый за счет улучшения надёжности, затраты на меры повышения надёжности, потерн на штрафные санкции. При планировании структуры сети можно оценить ожидаемый экономический эффект от эксплуатации сети. Функционирование сети обеспечивает непрерывное поступление денежных потоков: CF\, CFi,..., CFn. В случае надежной сети (К, = 1) компания получает прибыль в полном объеме. При надёжности сети меньше 1, компания недополучает часть запланированной прибыли из-за простоев на время ремонта сети. Коэффициент готовности показывает долю времени, в течение которого, сеть находится в рабочем состоянии. Объем денежных поступлений с учётом ненадёжности определён как: Приток денежных средствфакт = Приток денежных средству * Ks ■ Величина (if+1Г) не зависит от

К

надёжности и её можно рассматривать как плановую сумму денежных поступлений CFt, которую обозначим через TCF. В итоге доход от эксплуатации сети будет равняться:

NPV(K,)~KS(K{,K2.....)*(u++u~)-cs (к,) =

= .....^J.+j,+j,) * TCF - С, (AT,)

На основании полученных выражений была поставлена задача оптимизации надёжности системы в следующем виде.

Найти: вектор надёжностей подсистем К = {Кх,Кг.....^J+J)+Ji), К, е[0,1], при которых

доход оператора от работы сети будет максимальным:

NPV(K\,K\.....*',,«,«,) =

= шах .....KWh)*TCF-. (10)

(¿„Л»»-.*,,

Si 5.+s} т,

Lci{Kiixi\^ii.....L Lcijno

М М м

Ограничения: 0<.Kt <1, / = 1,2,+s2 +s3.

Данная постановка задачи получена в общем виде. Входящее в неё выражение для коэффициента готовности (2) необходимо представить в аналитическом виде для осуществления численных расчётов.

Во второй главе разработаны математические модели надёжности и получены аналитические выражения для коэффициентов готовности подсистем территориально-распределённой сети. Разработана математическая модель надёжности сети для зависимых в смысле надёжности иод-систем СПД-ЦВК-ЦУ. В сети реализуются три основные функции - передача данных, обработка

данных, хранение и восстановление данных. Функции передачи данных выполняют сеть доступа и транспортная сеть (СПД). Функции обработки и хранения данных выполняет центральный вычислительный комплекс (ЦВК). При отказе одной из подсистем сеть перестаёт выполнять основные функции. Для организации эффективной работы сети применяются центры управления сетью (ЦУ), которые выполняют функции восстановления работы других подсистем сети, восстановления данных ЦВК и контролируют работу сети, в частности позволяют выявлять отказы. Работоспособность подсистем в сети контролируется централизованно, центр управления используется для выявления отказов и их устранения. Для анализа надёжности рассмотрена модель функционирования сети с зависимыми отказами подсистем (рис. 2). Модель представлена в виде графа (рис. 3). Получено выражение для коэффициента готовности в случае, когда заданы интенсивности отказов СПД, ЦВК и ЦУ - А|, Ь, Лз, а времена восстановления подсистем имеют произвольные функции распределения: /;,(/), (0 и :

Л

К/- = Ро + А = 1 +

Л, +Л

/д.

(И)

где

Д =

1 + (я, +ЛАА,) +

Рис. 2. Модель сети с зависимыми отказами

Рис. 3. Граф состояний сети

Для частного случая марковской модели коэффициент готовности будет равен:

К

1 + -

, Л

1 + -2- + -

1 + -

1 + -

Л + Л+А

(12)

Му Л

Было проведено исследование зависимости коэффициента готовности системы СПД-ЦВК-ЦУ от параметров надёжности центра управления. Показано, что при применении ЦУ надёжность системы увеличивается минимум на 7%. Если за счёт внедрения ЦУ время восстановления СПД и ЦВК уменьшается в 10 раз, то выигрыш по надёжности составляет -13%.

Также рассмотрены модели надёжности транспортной сети передачи данных, сети доступа и центра управления для случаев нагруженного и ненагруженного параллельного резервирования с восстановлением. Получены выражения для общего случая полумарковской модели надежности,

=

когда интенсивности отказов для основных и резервных элементов разные: \ * ^, и времена восстановлений имеют произвольные функции распределения: Г„, (() # Р„2(1).

Получено выражение коэффициента готовности в случае нагруженного резервирования:

дц+^+ад , (13)

а _ -О-лкщд.+д.0

/ I

рм =*КтГ<1(г), Л „Г,т 1(1-^,(0)^(0, ^„'(Я,) и - изображение поЛа-

Ми • (ЧЮ »

о о

пласу-Карсону для функций /^(О и при 5 = Л^ и ^ = Д,. Получено выражение для среднего времени наработки на отказ:

у _ _з_

я, (1 - (Л,)) + Л, (1 - )) Получена формула для случая и-кратного нагруженного резервирования при простейших потоках восстановлений: д * *... * цп.

<П(' + А)-Пд)

КГ--&-¿=1_,гдаЛ-А. (14)

п— л

Для случая ненагруженного резервирования получено выражение коэффициента готовности и средней наработки на отказ:

Ку=\-~-2--;-г-;-, (15)

где

а, = ( К <*> )](' " К, (г)+)(1-Р,2 (0№ (г)]/Д,

Разработана модель для вычисления надёжности систем, состоящих из большого числа элементов, имеющих разную надёжность и полностью восстанавливающихся в процессе работы. Для этой модели получена приближённая формула, которая определяет вероятность отказа системы по монотонной траектории. Граф состояний такой модели представлен на рис.4.

Подмножество С Подмножество 1 Подмножество 2 Подмножество 3 1 состояние п состояний л(п-1)/2 состояний л(п-1)/3 состояний

Подмножество (гИ) Подмножество п п состояний 1 состояние

;$1(0° (о.о.';.....!| ^[(0=¡Р.о.о......1);

^(ОрШ.!,..

50|«) = {1,1,1......11

$„(/) = (00.0......0}

Рис. 4. Представление модели подсистемы сети ориентированным графом

Надёжность системы, состоящей, состоящей из п элементов, в случае ненагруженпого резервирования равна:

к,. =1-ГН \ ¡- 1 1 Ш-РЛуМЛГ^У,,. ■ (16)

В случае нагруженного резерва формула коэффициента готовности будет равна:

Л>Я» »У.-!

где сумма берётся по всем траекториям отказа системы.

Также были получены формулы для частных случаев, когда время восстановления распределено по экспоненциальному закону (17), по закону Вейбулла (18) и по закону Релея (19):

М V |»1 /

Г 1

К г =1_7~7Г7'1"У ; (18)

(1-1)! I V ]

Kr=> 1

-Шп-rh

"y2J Wf/fff

(19)

Установлен степенной характер убывания модуля разности точного и приближенного значений коэффициента готовности: [Кгехаа ~^Гарргох| = р"~0 + Р)~п). где р = Л! /л (рис. 5). Погрешность при вычисления коэффициента готовности при использовании формулы (17) не превышает величины порядка 10"! (рис. 6) и убывает с ростом pun.

1Ш01 +

п у J II linVw^^OKaa-^

\Кт jpp г ox -Кт tx.ct I

1.хИГ{ S.x 10'

Рис. 5. График зависимости разности точно- Рис. 6. Графики зависимости коэффициента го-го и приближенного значений Кг от pun тоопости от числа элементов и системе

Полученные модели (11)-(19) позволяют рассчитать надёжность сетей, состоящих из большого количества подсистем с различными характеристиками надёжности, и конкретизировать постановку задачи (10). Данные формулы получены для общего случая и позволяют определить коэффициент готовности для подсистем с неэкспоненциальным временем восстановления. Задача оптимизации надёжности (10) представляет собой задачу смешанного нелинейного программирования и требует анализа и разработки соответствующей методики решения.

В третьей главе проведен анализ методов решения задач смешанного нелинейного программирования с целью выбора наиболее эффективного алгоритма оптимизации. В работе предложен модифицированный алгоритм дифференциальной эволюции дня оптимизации. Формально задача оптимизации надёжности сети как задача нелинейного смешанного программирования представляется в виде:

найти max NPV(X), (V.........."n/W.........."„/)

где X ~

Хг X1 X"

= [*,<.....хп;,...,хп;,х{.....х„.1,Х\d,...,x„/f - вектор-столбец пере-

менных, I - целочисленные положительные переменные (integer, {1,2,...}), г - бинарные переменные (либо 0, либо 1), с - непрерывные переменные, «/-дискретные переменные.

Ограничения: 0, i=l,...m; xf1 ¿xf ¿х"', ( = 1,2.....пс;

x?'<.xj' <.х,ги,1 = 1,2.....пг\ х," йх,' ¿я/", / = 1,2,...,и(; xf <.х? <хД ¡ = 1,2,...,^.

Метод дифференциальной эволюции для задачи поиска максимума целевой функции (10) включает следующие этапы:

1. Инициализация первой популяции Рх о из Np £>-мерных векторов: Рх0 =(x(io). i=0,l,...,Np-l, х/0 = (*/,,-,о)> у' = 0,1,...,jD-1, Xjjt0 -вещественное число,

Xj <,Xjj q 5 х", где Xj и Лу" соответственно минимальное и максимальное значение j-ой переменной. Для инициализации популяции используется способ случайного разброса, при заданных предельных значениях: Pjl0-(xi,0)>xi,0=(xj,t,0)>xjj,0~randij(xj'~xj} + xj' /' = 0,1,...,Np-l, j = 0,1,...,£> — 1;где rand - функция, генерирующая случайные значения, равномерно распределенные на интервале [0,1].

2. Формирование текущей популяции. На нулевой итерации текущая популяция - популяция Рх о, сформированная в процессе инициализации. На последующих этапах текущей становиться новая популяция px,g+1> сформированная на этапах 3...6: px,g / = 0,1,...,Л!р-1, g = 0,l,...,gmax, \hg =(xjjtg), j = 0,1,...,D-1.

3. Формирование промежуточной популяции. Начиная с первого поколения Pxq, последующие поколения PXig+1 воспроизводят себя на основании предыдущего . Для этого формируется промежуточное поколение Pv g из Np промежуточных векторов v^g:

pv,g-(yl,g)> ' = °>1.....Afc-l, g = 0,l,...,gmax, \ig =(vjjtg), / = 0,1.....0-1. Формирование

значений g осуществляется по следующей схеме: для каждого вектора / текущего поколения

(i=0,l,...D-1), случайно выбирается из этого же поколения один базовый вектор с номером г0 (r0£i), выбираются случайно два вектора rl и г2 (г1Фг2£гО£1). На основе трёх векторов формируется вектор промежуточного поколения: v^ = xr0 g + F(xri g - хг2,г), параметр F - коэффициент масштабирования, F е [0,1], значение F остаётся неизменным в процессе поиска.

Случайным образом выбираем, какую из координат вектора мы оставим: fv,g если rand Л 0,1) 5 О или j = jrand, U(,« = MM sH

■"'s Iв противном случае.

Параметр Cr - вероятность того, чтоу'-ая координата вектора сохранит своё текущее значение. Т.е. параметр Сг указывает на случайно выбранную координату вектора и гарантирует, что вектор следующего поколения будет отличаться хотя бы на одну координату предыдущего поколения; значение Cr е [0,1] и остаётся неизменным в процессе поиска.

4. В результате выполнения этапов 2 и 3, у нас имеется текущее поколение и промежуточное. Для каждого вектора из двух поколения вычисляем значение целевой функции. В результате получаем 2Np значений целевой функции,

5. Сравниваем соответственно 1-й вектор текущего поколения с 1-ым вектором промежуточного поколения и смотрим, какой из этих векторов обеспечивает большее значение целевой функции.

6. Вектор, обеспечивающий наибольшее значение целевой функции, переходит в следующее поколение. Таким образом, у нас формируется новое поколение:

если NPV(u,tg) > NPV(xlig), ,,s+l ] xl g в противном случае.

После формирования очередного нового поколения на его основе получаем промежуточное поколение, сравниваем их вектора и воспроизводим следующее поколение и т.д. Делаем это заданное число шагов gmax или пока не будет выполняться условие сходимости:

< г. Для решения задачи оптимизации надёжности в сетях с различными типами переменных, были модифицированы процедуры инициализации и формирования новой популяции.

Инициализация. Начальное поколение xi0 = i = 0,l,...,Np-l, будет формиро-

ваться с помощью следующей схемы инициализации:

х/ ~ №(х/' ,xf), J = 1,2...../,с; л/ ~ Uz(x/',x/u), j = 1,2,...,«,;

х/ ~иКх/,х^),] = },2.....х/ ~Ud(x/',x/")J = \X...,nd,

где Uc(a,b), Uz(a,b), Ui(a,b), Ud{a,b) - непрерывная, бинарная, целочисленная, дискретная случайные величины, распределённые равномерно на интервале [а,Ь], соответственно. По заданной схеме формируется Np векторов.

Формирование промежуточной популяции. Процедура формирования промежуточного поколения с учётом ограничений модифицирована следующим образом.

1. Для непрерывных переменных:

v'jJ,g = xJs0.g + F(xj,ri,g ~xJsl.g) •

irandijixf ~XjC') + Xjd если v'JJ g < xf v v'j,g > xf V/,/ г ~ 1 '

гУ.'.в в ПРОТИШ10М случае,

где j = 1,2,...,ne, rand - функция, генерирующая случайные значения, равномерно распределенные на интервале [0,1].

2. Для целых переменных:

v'j,l,g =xJ,rl.g + xJsО,Я ~xJAg<

\lNT(randu(Xjm-xfl) + xjd) если v'JM <xf v v'Mg >xf

vJ,i g~\ ' ' ' ' '

ГУЛЯ в ПРОТ1ШНОМ случае, где INT(a) - функция преобразования вещественного числа в целое путём отбрасывания младших разрядов.

3. Всё множество возможных значений для каждой дискретной переменной xf, 1 = 1,2.....п^, можно записать как множество из Id значений:

X/Wtt,* = 1,2...../,

где к- номер возможного значения переменной, х ik <х I к+1-

Вместо определения нового значения переменной в промежуточной популяции v'jjtg, как

в случае с целыми числами, будем определять новый индекс indexv и уже по индексу выбирать значение из множества, дополнительно проверяя условие, что значение индекса не выйдет за границы 1,2, ... I:

indexv = Index[xjrig]+ lndex[xjr0tg]~ Index[xjr2fs],

v f%<fcrv,/,g. *fW«v,;,g 6 Xid если 1Sindexv l й/,-, Мй в противном случае,

где Index\a] - функция, возвращающая индекс элемента а в массиве.

4. Для переменных, которые принимаются значения только 0 и 1:

1 если 2 = 0 и г<, 0.5,

0 если = 1 и < 0.5, у,'"к Оеслижу ,о,г = Ои г >0.5,

1 если = I и > 0.5,

где 7 = 1,2....., х=гапа(0,1) - случайное значение, равномерно распределенное на интервале

[0,1].

В работе задача оптимизации (10) решалась с помощью следующих методов: метод Розен-брока, метод случайного поиска, метод Нелдера-Мида, метод модельной "закалки", метод дифференциальной эволюции. В результате проведения численного эксперимента было установлено, что модифицированный алгоритм дифференциальной эволюции сокращает время поиска максимума в 1.5 раза. В работе разработана программная реализация данного алгоритма, что позволило сократить временные затраты на подготовку данных и на оптимизацию надёжности сети.

В четвёртой главе объединены результаты глав 1,2 и 3 в методику оптимизации надёжности территориально-распределённых сетей (рис.7). Методика включает следующие этапы:

Этап 1: проектирование структуры сети и построение логической модели надёжности; за» дание исходных данных для модели надёжности сети, т.е. фактическое определение того, какие параметры в модели сети являются известными, а для каких необходимо определить оптимальные значения.

Этап 2: аналитическое моделирование надёжности сети - вывод формулы для функции готовности или коэффициента готовности системы. На втором этапе разрабатывается логическая модель надёжности. Сначала определяется последовательная исходная модель надёжности. При этом учитывается, какие подсистемы работают независимо, а для каких подсистем необходимо применять модель надёжности с зависимыми отказами. Определяются подсистемы, надёжность которых может быть улучшена за счёт резервирования. Для таких подсистем в модели к основному блоку добавляются резервные в режиме горячей или холодной замены. Количество резервных элементов есть подлежащие определению переменные в задаче оптимизации. Затем определяются подсистемы, надёжность которых не может быть улучшена за счёт резервирования. Значения ин-тенсивностей отказов таких подсистем есть подлежащие определению переменные в задаче оптимизации. На основе построенной модели надёжности выводиться формула для расчёта функции готовности £((,//,,/<.,,...,//„, ...,и1,и2,...,ял) (коэффициента готовности для тех случаев, когда из-за сложности расчётов не получается получить функцию готовности в явном виде:

М/Ц.Яг.-'Л» ••■>") >"2....."»,))•

Этап 3: построение финансовой модели работы сети, определение чистого денежного потока, получаемого за счёт работы сети. На основании модели рассчитывается чистый денежный ио-

■V

токСУ;, получаемый за счёт работы сети. На данном этапе расчётов предполагается, что сеть является абсолютно надёжной, т.е. к,. = 1 (¿>(г) = 1). Таким образом, определяется величина первого слагаемого ¿^СР, в формуле для ЯРУ = ¡тевШеМя.

Этап 4: построение аналитической модели стоимости сети - оценка затрат на повышение

надёжности сети - вывод формулы для функции затрат на повышение надёжности. Выводится выражение для затрат, связанных с повышением надёжности. То есть, определяется второе слагае-

N

мое - Investments в формуле NPV = ^CF, - Investments в зависимости от переменных оптимиза-

.-1

ции. Инвестиции на повышение надёжности складываются из затрат на резервирование (для тех подсистем где применяется резервирование), и затрат на повышение надёжности за счёт установки более надёжного (и более дорогого оборудования). Величина Investments определяется как функция от переменных /1,,/^,..., и,,и,,...: Investments = Cs(Д,,^,..., «,,/г2,...).

Этап 5: построение задачи оптимизации: вывод аналитических выражений для целевых функций с учётом исходных данных этапов 1-4; выбор критерия оптимизации и ограничений. OriN

ределяются целевая функция и ограничения. В формулу: NPV = ^CF, -Investments, подставля-

м

N

ются значения ^TCfJ, К, (ft,, fa.....л,,n,,...), Cs(fit,ju2,..., п„пг,...), полученные соответственно на

(•I

этапах I, II, III. Влияние надёжности на целевую функцию учитывается путём умножения потока наличных денежных средств на функцию готовности или коэффициент готовности. Таким обра-

N

зом, первое слагаемое в формуле дня расчёта № К принимает вид: *b/U2i • • 0 или

ы I

N

*Kr{tji\jt2.....П|,"2...). Инвестиции на повышение надёжности сети вычитаются из чистого

«I

денежного потока и получается выражение для чистого приведённого дохода с учётом переменных надёжности и затрат на повышение надёжности:

N

NPV'J^CF,*g{t^t2.....nun2...}-Ciil,ftm.....П,,п2...).

м

Этап б: собственно процедуру оптимизации - нахождение оптимальных значений параметров модели,

Этап 7: выработку рекомендаций по построение конкретной модели сети с учётом полученных результатов оптимизации.

Приведен пример применения методики и исследования надёжности сети, для которой разработаны модели доходов и надёжности. Результаты оптимизации показали, что для достижения максимальной экономической эффективности транспортную сеть необходимо строить по топологии "кольцо". В ЦВК и ЦУ необходимо применять дублирование для всех подсистем, в том числе, для систем хранения и обработки данных, системы управления сетью и для СКС внутренних ЛВС ЦВК и ЦУ. Дальнейшее улучшение параметров надёжности подсистем (элементов этих подсистем) приводит к снижению эффективности. В частности, было показано, что при введении избыточных каналов передачи данных и резервирования коммутационного оборудования для транспортной сети надёжность повышается незначительно: с 0.9965678 до 0.9989663, в то время как доход за счёт роста затрат падает с 189732 руб. до 154221 руб., т.е. примерно на 20%.

1 Построение логической модели надёжности КС

О

определение параметров оптимизации

•И" _

2 Вывод коэффициента готовности К(М,Мг,...,М.,-,п„п1.....пт)

Вывод формулы для затрат не повышение надёжности: [затраты на подсистему1 = с, (кг^)\,

затраты на подсистему /=>с,(КгДЛ,)1 ..........."„.)=■„

= !>,(&(*„.*,:.....V))4- Е ЕСЛ

Финансовая модель корпоративной сети расчетов модели корпоративной сети регионального оператора связи (без учёт затрат на повышение надёжности сети) Исходные данные:

- зарплата

- кап. вложения

- тарифы...

5 Вывод формулы МРУ = £,с',"1'8Л«а-л,1.....Пщ.НнНг.....Л<,>-

/«I

1е« /еЛяС,* I

Выбор ЦФ и ограничении

2Е

' Процедура оптимизации (поиск оптимальнчго кешения)

«-л • к;

МРУ

я, ,яг,

Ж

^Пос^роенид оптимальной модели сети

Рис. 7. Методика оптимизации надёжности территорпалыю-распрсдслёппых сетей

В заключении приведены основные теоретические и практические результаты диссертационной работы:

1. Разработана логическая модель надёжности территориально-распределёиной сети, включающая резервируемые подсистемы (холодный и горячий резерв) и нерезервируемые подсистемы (характеристики надёжности подлежат определению), позволяющая найти такой вариант повышения надёжности и такой сценарий резервирования, которые обеспечат максимальный доход от эксплуатации сети.

2. Предложена постановка задачи оптимизации надёжности систем по критерию дохода, учитывающая логическую модель надёжности, затраты на обеспечение надёжности и экономическую эффективность работы сети. Такая постановка задачи позволяет количественно определить оптимальные значения параметров надёжности подсистем сети с учётом денежных поступлений, получаемых от эксплуатации сети за счёт предоставления коммерческих услуг.

3. Получены аналитические выражения для расчёта показателей надёжности резервируемых систем, состоящих из большого числа элементов с различными надёжностными характеристиками и произвольным распределением времени восстановления, позволяющие рассчитать надёжность сложных подсистем сети.

4. Получены аналитические выражения для расчёта показателей надёжности систем, в которых отказ каждого элемента зависит от состояний соседних элементов, позволяющие рассчитать надёжность модели транспортная сеть - центрально-вычислительный комплекс - центр управле-

ния системой.

5. Исследована величина повышения надёжности сети от применения центра управления территориапьно-распределённой сетью. Показано, что внедрение ЦУ повышает надёжность сети (Кг) в 1.07-1.17 (7-17%) раз в зависимости от надёжности СПД и ЦВК.

6. Исследовано влияние закона распределения времени восстановления на коэффициент готовности. Показано, что предположение об экспопенциальности существенно завышает значение показателей надёжности.

7. Предложен модифицированный алгоритм дифференциальной эволюции для оптимизации надёжности сети, позволяющий находить максимум дохода сети и оптимальное число резервных элементов и параметры надёжности иерезервируемых элементов системы для случая, когда целевая функция нелинейная, а переменные могут принимать целочисленные, непрерывные и дискретные значения.

8. Разработана методика оптимизации надёжности территориально-распре делён пых сетей на основе аналитического подхода, включающая логическую модель надёжности сети, экономический критерий оптимизации и модифицированный алгоритм дифференциальной эволюции поиска максимума.

9. Разработано программное обеспечение оптимизации надёжности сети, позволяющее автоматизировать все этапы разработанной методики, проводить исследования надёжности и сократить время расчётов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Воронцов Ю.А., Калимулина Э.Ю. Обеспечение надежности корпоративных сетей операторов связи // Вестник связи. -2004. -№10. - С. 44-47.

2. Калимулина Э.Ю. Моделирование и анализ надёжности корпоративной сети // Стандарты и качество. - 2008. - № 8. - С. 96.

3. Калимулина Э.Ю. Оптимизация надёжности и экономико-математическое моделирование корпоративных сетей региональных операторов связи II Естественные и технические науки. -2008.-№4.-С. 327-336.

4. Калимулина Э.Ю. Расчёт надёжности сложных систем с параллельной структурой, полностью восстанавливаемых в процессе эксплуатации // Управление большими системами. Вып. 23. - М.: ИПУ РАН, 2008. - С.156-170.

5. Калимулина Э.Ю. Алгоритм дифференциальной эволюции для оптимизации надежности при проектировании корпоративных сетей // Стандарты и качество. - 2009. - №1. - С. 39.

6. Воронцов Ю.А., Калимулина Э.Ю. Методика расчета коэффициента готовности системы из п параллельных восстанавливаемых элементов с разной надежностью и её приложение к корпоративным сетям // Информационные технологии в экономике и управлении / Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» 2246 св. 2004 от 04.07.2004. - С, 55-69.

7. Воронцов Ю.А., Калимулина Э.Ю. Автоматизация расчетов надежности с использованием пакета МаШета^са // Информационные технологии в экономике и управлении / Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» 2246 св. 2004 от 04.07.2004. - С. 30-45.

8. Калимулина Э.Ю. Математическая модель оптимизации надёжности корпоративной сети при различных способах резервирования // Информационные технологии в экономике и управлении / Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» 2264 св. 2005 от 12.07.2005. - С. 36-53.

9. Калимулина Э.Ю. Определение и обоснование целевых функций задачи оптимизации надёжности корпоративной сети // Современные информационные технологии / Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» 2272 св. 2006 от 26.05.2006. - С. 13-21.

10. Калимулина Э.Ю. Математическая модель надёжности системы передачи, обработки и восстановления данных // Современные информационные технологии / Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» 2272 св. 2006 от 26.05.2006. - С. 22-32.

11. Калимулина Э.Ю. Приближённый метод вычисления показателей надёжности систем с параллельной структурой большой размерности // V Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами»: Сборник трудов,- Липецк: ЛГТУ, 2008. - Т. 1. - С.36-42.

12. Калимулина Э.Ю. Рандомизированный алгоритм решения задачи оптимизации надежности инфокоммуникационных систем // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2008): Материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (14-15 ноября 2008 г.). - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2008.д - Ч. 2. - С. 131135.

13. Калимулина Э.Ю. Применение полумарковских моделей к расчёту надёжности инфокоммуникационных систем // Труды 4-го форума (9-й международной конференции) молодых учёных «Актуальные проблемы современной науки». - Самара: Самарск. гос. ун-т, 2008. - Ч. 19. Секция: Радиотехника и связь. - С. 8-12.

14. Калимулина Э.Ю. Алгоритм построения аналитической модели и обеспечения оптимальной надежности корпоративной сети на этапе проектирования // Труды международной конференции "Перспективы развития телекоммуникационных систем и информационные технологии". - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - С. 227-235.

15. Elmira Y. Kalimulina. A parallel Algorithm for Reliability Optimization of Communications Systems. // IEEE International Siberian Conférence on Control and Communications (SIBCON-2009). Proceedings. Tomsk, March 2009. - pp. 21-24.

16. Elmira Y. Kalimulina. The Approximate Analysis of Reliability of Large-Scale Parallel Communication Networks with Various Subsystem Configuration. // IEEE International Siberian Conférence on Control and Communications (SIBCON-2009). Proceedings. Tomsk, March 2009. -pp, 42 - 47.

17. Калимулина Э.Ю. Разработка логической модели надёжности корпоративных сетей региональных операторов связи // Научная конференция профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава: Тез. докл. - М.: Инсвязьиздат, 2006. - С. 240-241.

18. Калимулина Э.Ю. Разработка интегрированной системы моделирования корпоративной сети // Труды конференции «Телекоммуникационные и вычислительные системы» Международного форума информатизации (МФИ-2006). - М.: Инсвязьиздат, 2006,- С. 235.

19. Калимулина Э.Ю. Применение генетических алгоритмов для решения нелинейных смешанных задач оптимизации структуры компьютерных сетей // Сборник трудов Шестой международной научно-практической конференции "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности". - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - С. 16-17.

20. Калимулина Э.Ю. Интегрированная система обеспечения надежности и качества проектирования инфокоммуникационных систем // Новые материалы и технологии - НМТ-2008. Материалы Всероссийской научно-технической конференции. - М.: ИЦ МАТИ, 2008. - Т 2. - С. 151152.

lí

21. Калимулина Э.Ю. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки "Программа оптимизации параметров надежности сложных систем RelOptimizer vi .0" Ks 11275 от 31.07.2008.

22. Калимулина Э.Ю. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки "Программа для вывода и анализа показателей готовности резервированных восстанавливаемых систем большой размерности" № 11451 от 29.08.2008.

Подписано в печать 10.06.09. Формат 60x84/16. Объем 1,3 усл.п.л.

Тираж 100 экз. Заказ 111._

ООО «Инсвязьиздат». Москва, ул. Авиамоторная,8.

к

Содержание.

Введение.

1 Постановка задачи оптимизации распределения надёжности и оптимального резервирования в территориально-распределённых сетях.

1.1 Разработка логической модели территориально-распределённой сетей.

1.2 Существующие постановки задачи оптимизации надёжности.

1.3 Постановка задачи оптимизации надежности и эффективности работы территориально-распределённой сети.

1.4 Выводы.

2 Математические модели надёжности территориально-распределённой сети.

2.1 Введение.

2.2 Математическая модель надёжности подсистемы СПД-ЦВК-ЦУ территориально-распределённой сети.

2.3 Математическая модель оценки надёжности территориально-распределённой сети с резервированием ЦВК, ЦУ, и СПД.

2.4 Применение математических моделей к расчёту надёжности территориально-распределённой сети.

2.5 Математическая модель надёжности полностью восстанавливаемой в процессе эксплуатации сложной сети.

2.6 Выводы.

3 Разработка алгоритма оптимизации надёжности территориальнораспределённых сетей.

3.1 Введение.

3.2 Исследование функции качества работы сети.

3.3 Численные результаты сравнения алгоритмов решения нелинейных задач математического программирования.

3.4 Разработка алгоритма оптимизации надёжности территориально-распределённой сети.

3.5 Исследование модифицированного алгоритма дифференциальной эволюции для оптимизации надёжности сети.

3.6 Выводы.

4 Методика поиска оптимального варианта построения сети.

4.1 Введение.

4.2 Разработка методики моделирования и оптимизации надёжности территориально-распределённых сетей.

4.3 Разработка аналитической модели и оптимизация территориально-распределённой сети.

4.4 Автоматизация методики оптимизации надёжности территориальнораспределённых сетей.

4.5 Выводы.

Актуальность работы. Современный этап развития территориально-распределённых сетей характеризуется ростом сложности и масштабов инфраструктуры, непрерывным повышением требований к качеству предоставляемых услуг, рассмотрением сетей как экономических объектов [19, 50, 51, 63, 69, 113]. При этом проблема надёжности компьютерных сетей остаётся одной из важнейших. Рост надежности элементной базы не успевает за ростом требований к надёжности и сложности систем. Низкая надежность сети приводит к потере клиентов, недополучению прибыли, к штрафным санкциям. Чрезмерные затраты на повышение надёжности могут превысить прибыль, получаемую от предоставления инфокоммуникационных услуг. Международным Союзом Электросвязи разработана рекомендация Е.862 "Планирование сетей связи по общей надёжности". В ней отмечается, что при планировании, проектировании, эксплуатации и техническом обслуживании сетей необходимо учитывать экономические потери вследствие ненадежности, которые несут как владельцы территориально-распределённых сетей, так и их пользователи [63, 69]. Данный документ носит чисто рекомендательный характер и не содержит чётких процедур и моделей, необходимых для решения задачи. В связи с этим требуются новые подходы и разработка новых математических моделей расчёта и оптимизации надежности компьютерных сетей как экономических объектов.

Большой вклад в развитие современных методов теории надёжности, теоретических и практических основ построения надёжных компьютерных сетей внесли многие отечественные и иностранные учёные и инженеры, среди которых следует выделить [1, 2, 8, 9, 17, 18, 24, 42, 48, 54, 55, 62, 63, 71, 79, 82, 84, 96, 114, 121, 126, 127, 130, 146, 151, 152, 153, 158]: Вишневского В.М., Чуканова В.О, Алексеева Е. Б, Герцбаха И.Б., Каштанова В.А., Гнеденко В.Б., Соловьёва А.Д., Ивлева В.В, Ушакова И.А., Полесского В.П., Нетеса В.А, Половко A.M., Рябинина И.А., Филина Б.П., Черкесова Г.Н., Койта Д.В., Зуо М.Дж., Корена Из., Энрико Зио, Шумана М., Тил-манна Ф.А., Кванга C.J1., Куо В.; а также группы учёных и инженеров компаний "ReliaSofl" и "Relex" [150, 163], активно развивающих направление разработки программного обеспечения для задач проектирования высоконадёжных сетей. Основными методами, используемыми при анализе надёжности в вычислительных сетях, являются методы имитационного и аналитического моделирования [138]. Первый метод, несмотря на многие его достоинства, к числу которых, прежде всего, относится достаточно высокая точность, отличает большая трудоемкость создания модели и большое время, необходимое для получения результатов [23, 73, 155, 160, 163]. Основными аналитическими методами, используемыми для анализа вероятностно-временных и надёжностных характеристик вычислительных сетей, являются методы теории массового обслуживания [22, 24, 57, 58].

Проблема оптимизации надёжности компьютерных сетей рассматривалась в работах Дружинина Г.В., Ушакова И.А., Левина Б.Р., Филина Б.П., Черкесова Г.Н., Зуо М.Дж., Корена Из., Шумана М., Тилманна Ф.А., Куо В. [22, 57, 80, 82, 84, 121, 146, 151, 152, 153,]. Однако в существующих работах решение задачи оптимизации надёжности осуществлялось по критерию надёжности и сводилось к задаче оптимального резервирования. Не учитывались доходы от сети, капиталовложения, необходимые для достижения определённого уровня надёжности, затраты на техническое обслуживание сети, потери вследствие простоев сети из-за отказов. Кроме того, большинство существующих моделей надёжности сетей основано на предположении о независимости отказов, экспоненциальном характере распределения времени восстановления [1], идентичности элементов в модели надёжности. Для этих случаев получены точные решения. Реальные потоки восстановления не являются простейшими [17, 84, 45, 85, 93], сети являются экономическими объектами, элементы моделей являются зависимыми, резервные элементы имеют различные надёжностные характеристики. Для этих случаев модели надёжности отсутствуют.

В связи с изложенным, актуальность исследования обусловлена тем, что разработка методики оптимизации надёжности территориально-распределённых сетей, учитывающей неэкс-поненциальность потоков отказов и восстановлений, смешанные сценарии повышения надёжности, зависимость элементов модели надёжности, экономические целевые функции, численные процедуры автоматизации расчётов, позволит существенно повысить эффективность современных территориально-распределённых сетей как экономических объектов.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование математических моделей и методики оптимизации надёжности территориально-распределённых сетей.

Для достижения поставленной цели решены следующие научно-практические задачи:

- разработана математическая модель надёжности сети, учитывающая зависимость между состояниями подсистем, и получено выражение для коэффициента готовности в случае простейших потоков отказов и произвольных распределений времени восстановления;

- исследована зависимость коэффициента готовности сети от закона распределения времени восстановления центра управления сетью, что позволило оценить эффективность применения централизованной схемы управления распределённой сетью; разработана математическая модель надёжности сети при использовании нагруженного и пенагруженного резерва из п восстанавливаемых подсистем с разной надёжностью, получено выражение для коэффициента готовности и средней наработки на отказ в случае простейших потоков отказов и произвольных распределений времени восстановления; разработана модель надёжности сети на основании полученных моделей подсистем, что позволило найти математические выражения для коэффициента готовности сети; получено явное аналитическое выражение для оптимизации территориально-распределённой сети по критерию прибыли, учитывающее полученные ранее аналитические формулы для расчёта надёжности подсистем, что позволило свести задачу оптимизации к задаче нелинейного смешанного программирования, предложен и исследован модифицированный алгоритм дифференциальной эволюции для её решения;

- разработана методика поиска оптимального в смысле надёжности варианта построения сети, включающая модели надёжности подсистем, алгоритм оптимизации и программные средства автоматизации расчётов. На основании данной методики проведён расчёт примера оптимизации надёжности сети.

Объектом исследования являются модели и методики оптимизации надёжности, применяемые при проектировании территориально-распределённых сетей, методы и алгоритмы решения задачи оптимизации надёжности.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической теории надёжности, математического программирования, аналитического и имитационного моделирования. В процессе исследований использованы работы отечественных и зарубежных ученых, научные обзоры, общегосударственные и отраслевые методические материалы.

Научная новизна работы состоит в разработанной методике оптимизации надёжности сложных систем и её применении к оптимизации надёжности территориально-распределённых сетей, включающей в себя:

1. Математические модели расчёта надёжности восстанавливаемых систем, которые в отличие от известных моделей учитывают зависимость отказов элементов в системе: транспортная сеть - центрально-вычислительный комплекс — центр управления сетью.

2. Аналитические выражения для расчёта коэффициента готовности, вероятности безотказной работы, среднего времени безотказной работы и интенсивности отказов параллельных систем с резервированием, которые в отличие от существующих справедливы для систем большой размерности при произвольном распределении времени восстановления подсистем. Результаты обобщены на сложные структурные модели надёжности и смешанные схемы резервирования, применяемые в территориально-распределённых сетях.

3. Функционал качества работы сети, который в отличие от существующих целевых функций позволяет учесть параметры надёжности подсистем, различные схемы резервирования, стоимости подсистем, экономическую эффективность работы компании-собственника террито-риально-распределённой сети.

4. Модифицированный алгоритм дифференциальной эволюции для оптимизации надёжности сети в случае нелинейной целевой функции и целочисленных, непрерывных и дискретных значениях переменных, ускоряющий поиск оптимума по сравнению с известными алгоритмами.

Объём и структура диссертации. Работа включает: введение, четыре главы, заключение, список использованных источников и семь приложений. Основной текст работы изложен на 165 страницах и включает 69 рисунков и 15 таблиц. Список использованных источников включает 163 наименования.

4.5 Выводы

1. На основе критерия оптимизации надёжности сети, разработанного в Главе 1, и моделей надёжности, полученных в Главе 2, была разработана методика и алгоритмическая процедура решения задачи оптимизации надёжности сети, показан пример применения данной процедуры для сети, представленной на системном уровне детализации.

2. Была построена детализированная аналитическая модель формирования доходов от эксплуатации сети. Получена формула, позволяющая оценить надёжность (коэффициент готовности) транспортной сети с точки зрения клиента, когда сеть необходимо оценивать с учётом доступности всех узлов.

3. Для построенных моделей доходов и надёжности была сформулирована задача оптимизации, которая была численно решена. На основе полученных результатов были сформулированы требования к надёжности подсистем сети и рекомендации по выбору структуры сети с учётом конкретных исходных данных. В ЦВК и ЦУ можно применять дублирование для всех подсистем, в том числе, для систем хранения и обработки данных, системы управления сетью и для СКС внутренних ЛВС ЦВК и ЦУ. Дальнейшее улучшение параметров надёжности подсистем (элементов этих подсистем) приводит к снижению эффективности. В частности, было показано, что при введении избыточных каналов передачи данных и резервирования коммутационного оборудования для транспортной сети надёжность повышается незначительно: с 0.9965678 до 0.9989663, в то время как эффективность за счёт роста затрат падает с 18 9732 до 154221, т.е. примерно на 20%.

Заключение. Теоретические и практические результаты диссертационной работы

В диссертации разработана методика оптимизации надёжности современных территориально-распределённых сетей на основе аналитического подхода, учитывающего:

1) надёжностные характеристики подсистем сети,

2) стоимостные характеристики подсистем сети,

3) экономическую эффективность сети, получаемую от эксплуатации за счёт предоставления коммерческих услуг.

Исследование ориентировано на обобщение существующих методов планирования надёжности и включает:

1) разработку математических моделей расчёта надёжности для восстанавливаемых параллельных систем (случай полумарковских моделей надёжности), моделей надёжности систем с зависимыми отказами, модели для подсистемы транспортная сеть - центрально-вычислительный комплекс — центр управления;

2) получение аналитических выражений для коэффициентов готовности, вероятностей безотказной работы, среднего времени безотказной работы и интенсивности отказов систем для различных сценариев резервирования при произвольном распределении времени восстановления для случая, когда основной и резервные элементы не идентичны по своим характеристикам;

3) разработку моделей надёжности сложных восстанавливаемых систем большой размерности и вывод формул для расчёта надёжности таких систем с учётом произвольного распределения времени восстановления;

4) получение комплексного функционала качества работы сети, учитывающего надёжности подсистем сети, стоимости подсистем, затраты на повышение надёжности и доходы, получаемые за счёт эксплуатации сети;

5) разработку алгоритмов оптимизации надёжности территориально-распределённой сети с учётом нелинейности целевой функции;

6) разработку обобщённой методики оптимизации надёжности территориально-распределённой сети.

Разработанные математические модели и методики расчётов и оптимизации надёжности ориентированы на снижение трудоёмкости и повышение качества проектирования и эффективности использования сети за счёт: 1) построения адекватных аналитических моделей, 2) решении задачи оптимизации с учётом совокупности надёжностных и стоимостных показателей, определяющих качество и эффективность работы сети, 3) автоматизации аналитических расчётов и алгоритмов оптимизации.

В диссертации получены следующие основные теоретические и практические результаты.

1. Получены новые аналитические выражения для показателей надёжности резервированных систем, состоящих из большого числа элементов с различными надёжностными характеристиками и с произвольным распределением времени восстановления, позволяющие рассчитать надёжность сложных подсистем территориально-распределённой сети.

2. Получены новые аналитические выражения для показателей надёжности систем, элементы которых функционируют зависимо в смысле надёжности. Выражения позволяют оценивать надёжность территориально-распределённых сетей, архитектура которых организована так, что отказы между подсистемами являются зависимыми, а потоки восстановления — неэкспоненциальные.

3. Разработаны выражения для целевой"функции, позволяющие системно учесть надёжность, архитектуру и экономические показатели работы корпоративной сети.

4. Разработан модифицированный алгоритм оптимизации надёжности территориально-распределённой сети, позволяющий находить максимум целевой функции и оптимальные значения параметров надёжности её элементов для случая, когда целевая функция нелинейная, а переменные могут принимать целочисленные, непрерывные и дискретные значения.

5. Разработано программное обеспечение оптимизации надёжности территориально-распределённой сети, позволяющее автоматизировать все этапы разработанной методики оптимизации надёжности корпоративной сети и сократить время расчётов.

1. Александрович А.Е., Бородакий Ю.В., Чуканов В.О. Проектирование высоконадежных информационно-вычислительных систем: Монография. М.: Радио и связь, 2004. - 143 с.

2. Алексеев Е. Б. Концепция технической эксплуатации цифровых волоконно-оптических систем передачи по критерию надёжности//Фотон-Экспресс. — 2005. — №2. (34).— с. 14-17.

3. Ананьев А.Н. Проектирование мультисервисных корпоративных сетей региональных операторов связи. М.: Радио и связь, 2002. — 92 с.

4. Ананьев А.Н. Разработка и исследование методов расчёта надёжности корпоративных сетей региональных операторов связи//Электросвязь. — 2002. №10. — С.30-33.

5. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. — М.: Радио и связь, 1988.

6. Беляев К., В. А. Богатырев, В. В. Болотин и др.; под ред. И. А. Ушакова. Надежность технических систем: справочник. — М.: Радио и связь, 1985.— 608 с.

7. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. - 383 с.

8. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. — М.: Техносфера, 2004.

9. Вопросы математической теории надёжности/Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В. А. и др.; под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Радио и связь, 1983. - 376 с.

10. Воронцов Ю.А., Лопусов Б.А., Сергейчук С.К. / Под ред. Ю.А. Воронцова. Информационные системы в административном управлении предприятиями связи. М.: Радио и связь, 2004.-512 с.

11. Воронцов Ю.А., Ананьев А.Н. Построение современных корпоративных се-тей//Вестник связи. 2001. -№2 - С.21-30.

12. Воронцов Ю.А., Гатилов Д.А., Ерохин А.Г. Математические модели и методы расчётов задержки, надёжности и экономической эффективности корпоративных сетей//Наукоёмкие технологии. 2003. - т.4, №3. - С.64-73.

13. Воронцов Ю.А., Калимулина Э.Ю. Автоматизация расчетов надежности с использованием пакета Mathematica. // Информационные технологии в экономике и управлении / Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» 2246 св. 2004 от 04.07.2004. Москва,2004. С. 30-45.

14. Воронцов Ю.А., Калимулина Э.Ю. Обеспечение надежности корпоративных сетей операторов связи // Вестник связи. — 2004. №10. С. 44-47.

15. Герцбах И. Теория надежности с приложениями к профилактическому обслуживанию. М.: Нефть и газ, 2003. - 263 с.

16. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965.

17. Голубицкая Е.А., Жигульская Г.М. Экономика связи. М.: Радио и связь, 2003.

18. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения.

19. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмат, 1961. —524с.

20. Дружинин Г.В. Надёжность автоматизированных производственных систем. М.: Энергоатомиздат, 1986.— 480с.

21. Жаднов В., Жаднов И., Замараев С., Н. Смирнов, С. Полесский, С. Пращикин, А. Фри-дер. Новые возможности программного комплекса АСОНИКА-К//Новости микроэлектроники. http://www.chipnews.ru/html.cgi/arhiv/0310/52.htm

22. Ивлсв В.В. Надёжность систем из однотипных элементов. — М.: Радио и связь, 1986. —96с.

23. Калимулина Э.Ю. Приближённый метод вычисления показателей надёжности систем с параллельной структурой большой размерности. V Всероссийская школа-семинар молодыхученых «Управление большими системами»: Сборник трудов.-Т. 1.-Липецк, ЛГТУ, 2008.-С.36-42.

24. Калимулина Э.Ю. Алгоритм дифференциальной эволюции для оптимизации надежности при проектировании корпоративных сетей. // Стандарты и качество. 2009, №1.

25. Калимулина Э.Ю. Математическая модель надёжности системы передачи, обработки и восстановления данных // Современные информационные технологии / Деп. в ЦН'ГИ «Информсвязь» 2272 св. 2006 от 26.05.2006. С. 22-32.

26. Калимулина Э.Ю. Математическая модель оптимизации надёжности корпоративной сети при различных способах резервирования // Информационные технологии в экономике и управлении / Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» 2264 св. 2005 от 12.07.2005. Москва, 2005. С. 36-53.

27. Калимулина Э.Ю. Моделирование и анализ надёжности корпоративной сети // Стандарты и качество. 2008, № 8. - С. 96.

28. Калимулина Э.Ю. Определение и обоснование целевых функций задачи оптимизации надёжности корпоративной сети // Современные информационные технологии / Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» 2272 св. 2006 от 26.05.2006. -С. 13-21. ■ ■ • ■

29. Калимулина Э.Ю. Оптимизация надёжности и экономико-математическое моделирование корпоративных сетей региональных операторов связи // Естественные и технические науки. 2008. - №4. - С. 327-336.

30. Калимулина Э.Ю. Программа для вывода и анализа показателей готовности резервированных восстанавливаемых систем большой размерности: свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 11451 от 29.08.2008.

31. Калимулина Э.Ю. Программа оптимизации параметров надёжности сложных систем RelOptimizer vl .0: свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 11275 от 31.07.2008.

32. Калимулина Э.Ю. Разработка интегрированной системы моделирования корпоративной сети//Труды конференции «Телекоммуникационные и вычислительные системы» Международного форума информатизации (МФИ -2006). М.: МТУСИ, 2006.- С. 235.

33. Калимулина Э.Ю. Разработка логической модели надёжности корпоративных сетей региональных операторов связи // Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского и научно-инженерного состава: Тез. докл. — М.: МТУСИ, 2006. С. 240-241.

34. Калимулина Э.Ю. Расчёт надёжности сложных систем с параллельной структурой, полностью восстанавливаемых в процессе эксплуатации / Управление большими системами. Выпуск 23. М.: ИПУ РАН, 2008. С. 156-170.

35. Калимулина Э.Ю., Воронцов Ю.А. Постановка задачи оптимизации надёжности корпоративных сетей // Труды конференции «Телекоммуникационные и вычислительные системы» Международного форума информатизации (МФИ — 2005). М.: МТУСИ, 2005.- С. 312.

36. Каштанов В. А. Оптимальные задачи технического обслуживания. —М.: Знание, 1981.

37. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений. — М.: Наука, 1969.

38. Ковалёв В. В. Финансовый анализ: методы и процедуры. М.: Финансы и статистика, 2002.

39. Козлов Б., Ушаков И. Справочник по расчету надежности. М.: Сов. радио, 1975.

40. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления. — М.: Советское радио, 1967. — 298с.

41. Концепция развития отрасли «Связь» и информатизация Российской Федерации./Под ред. Л.Д. Реймана и Л.Е. Варакина. М.: Международная академия связи, 2001. - 340 с.

42. Концепция развития рынка телекоммуникационных услуг в Российской Федерации до 2010 года. //Вестник связи. 2001. - № 1. - С. 9-25.

43. Коггс Ю.К., Майский Р.А. Основы надежности авиационной техники. Учебник для вузов. — М.:Машиностроение, 1993. 176 с.

44. Костин А.А. Разработка и исследование методов проектирования систем управления телекоммуникациями па уровне управления услугами: Автореф. дис. канд. тех. наук. — С-Пб., 2001.- 16 с.

45. Кривулец В.Г., Полесский В.П. Квазиупаковочная оценка характеристик надежности сетей//Информационные процессы. 2001. - Т. 1, N2. - С. 126-146.

46. Кривулец В.Г., Полесский В.П. Об оценках надежности монотонной структу-ры//Проблемы передачи информации. — 2001. — Т.37, №4. — С. 12.

47. Лупанов О.Б. Издание сборника "Математические вопросы кибернетики", выпуск 11 (02-01-14106). ИПМ РАН. Москва.

48. Левин Б.Р. Элементы теории надёжности. М.: МЭИС, 1969. - 144 с.

49. Ллойд Д. К, М. Липов. Надежность: организация исследования, методы, математический аппарат. М.: Советское радио, 1964. - 685с.

50. Надёжность в технике. Основные понятия. Термины и определения: ГОСТ 27.002-89. -Введ. 01.07.90. М., 1981. - 39 с.

51. Надёжность и живучесть систем связи/под ред. Б.Я. Дудника. — М.: Радио и связь, 1984.-216 с.

52. Наумов Ю. Особенности планирования корпоративных сетей//Сетевые технологии.2002. — № 1. С.2-12.

53. Нетес В.А. Исследование и методы расчёта показателей надёжности сетей связи: Ав-тореф. дис. канд. тех. наук. — М., 1982. — 24 с.

54. Нетес В.А. Надежность сетей связи: тенденции последнего десятилетия // Электросвязь. 1998.-№1.

55. Новые технологии построения магистралей / Корпоративный журнал NEWTECH. — 2006. №4. - Режим доступа к журн.: http://www.newtech.kz.

56. Олифер В, Олифер Н. Компьютерные сети, 2-е издание. М.: Питер, 2005.

57. Оптимальные задачи надёжности под ред. Ушакова И.А. М.: Издательство комитета стандартов, 1968. — 290с.

58. Острейковский В.А. Теория надежности. Учебник для вузов. М.: Высшая школа,2003.

59. Пашкеев С.Д. Машинные методы оптимизации в технике связи. — М.: Связь, 1976.

60. Планирование сетей связи по общей надёжности. Рекомендация Е.862 МСЭ (Переем. 1).-1992.-13 с.

61. Полесский В.П. Развязывания клаттеров, корреляционные неравенства и границы комбинаторной надежности//Проблемы передачи информации. — 1997. Т.ЗЗ, №3. - С.50-70

62. Половко A.M. Основы теории надёжности. Спб.: BHV, 2006.

63. Прошан Ф., Барлоу Р. Математическая теория надежности/Пер. с англ. Ушакова А. И. — М.: Советское радио, 1969. — 488с.

64. Прошан Ф., Барлоу Р. Статистическая теория надежности и испытания на безотказ-ность/Пср. с англ. Ушакова А. И. М.: Наука, 1984. - 328с.

65. Райкин А.Л. Элементы теории надежности технических систем. М.: Сов. радио, 1978.

66. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем. М.: Мир, 1979.

67. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988.

68. Растригин JI.A. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. 1965,212 с.

69. Растригин JT.A. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. 376 с.

70. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. — М.: Политехника, 2000.

71. Ушаков И.А. Методы решения простейших задач оптимального резервирования при наличии ограничений. — М.: Советское радио, 1969. 175с.

72. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир. 1985.

73. Филин Б.П. Методы анализа структурной надёжности сетей связи. М.: Радио и связь, 1988.-204 с.

74. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

75. Черкесов Г.Н. Надёжность аппаратно-программных комплексов. Учебное пособие. -СПб.: Питер, 2005.-479 с.

76. Aggarwal К. К., Guha Shashwati. Reliability Allocation in a General System With Non-identical Components a Practical Approach//Microelectronics Reliability. - 1993. -№ 33 8. -pp. 1089-1093.

77. Aggarwal. К. K., J. S. Gupta. On Minimizing the Cost of Reliable Systems//IEEE Transactions on Reliability. 1975. -№3. - pp.205.

78. Albert A. A Measure of the Effort Required to Increase Reliability. Technical Report № 43. — Stanford, CA: Stanford University, Applied Mathematics and Statistics Laboratory. 1958. - November 5.

79. Ball M.O., Colbourn C.J., Provan J.S. Network Reliability. In: Handbooks in OR and MS, Chapter 11. New York, etc.: Elsevier Science B.V., 1995.

80. Barlow R. E., Proschan F. Mathematical theory of reliability. SIAM, 1996.

81. Barlow R.E. Engineering Reliability. — ASA-SIAM, Series on Statistics and Applied Prib-ability, 1998.

82. Birnbaum Z.W., Esary J.D., Sannders S.C. Multicomponent systems and structures and their reliability//Technoimetrics. 1961. - № 1. - pp.55-77.

83. Blischke W. R., D. N. Prabhakar. Reliability: Modeling, Prediction, and Optimization. New York: Wiley, 2000.

84. Cao Yonghuan, Hairong Sun, Kisher S. Trivedi, James J. Han. System availability with non-exponentially distributed outages//IEEE Transactions on reliability. 2002. - №2, pp. 193-198.

85. Chillarege R., Siewiorek D. P. Experimental Evaluation of Computer Systems Reliabil-ity//IEEE Transactions on Reliability. 1990. - №4.

86. Claudio M. A Cellular, Evolutionary Approach Applied to Reliability Optimization of Complex Systems. Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium. — 2000. IEEE, New York, NY,-pp. 210-215.

87. Coit D. W., A. E. Smith. Reliability Optimization of Series-Parallel Systems using a Genetic Algorithm//IEEE Transactions on Reliability. 1996. - V.45. - pp.254-260.

88. Coit D. W., Jiachen Liu. System reliability optimization with k-out-of-n subsystems //International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering. 2000. - V.7. -N.2 — pp. 129142.

89. Colbourn C.J. Combinatorics of Network Reliability. New York: Oxford Univ. Press, 1987.

90. Crowe Dana. Design for reliability. New York: CRC Press LLC, 2002.

91. Dale C. J., and A. Winterbottom. Optimal Allocation of Effort to Improve System Reliabil-ity//IEEE Transactions on Reliability. 1986.-№2.-pp. 188-191.

92. Darren L. Deeter and Alice E. Smith. Economic Design of Reliable Networks. Department of Industrial Engineering, University of Pittsburgh. — 50 p.

93. Esary E.D., Proschan F. Coherent structures of non-identical components// Technometrics. -1963. V.5. — C. 191-209.

94. Feoktistov V. Differential Evolution. In Search of Solutions. Springer, 2006, 200 p.

95. Finkelstein Maxim S., Zarudnij Vladimir I. Laplace -Transforms and fast-rapid approximation for multiple availability and its generalization//IEEE Transactions on reliability. -2002. №2. pp. 168-176.

96. Fitzgerald Kent, Shahram Latifi, Pradip K. Srimani. Reliability modeling and assessment of star-graph networks//IEEE Transactions on reliability. -2002. -№2, pp.48-57.

97. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. Wiley. 1980/81 (Volume 1: Unconstrained Optimization; Volume 2: Constrained Optimization).

98. Fragola J. R., J. F. Spahn. Economic Models for Satellite System Effectiveness. Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium.-New York: IEEE, 1973.-pp. 167-176.

99. Fratta L., U. G. Montanari. Synthesis of Available Networks//IEEE Transactions on Reliability. 1976.-№2.-pp.81-87.

100. Gheorghe Oprisan, Nikolaos Limnios. Semi-Markov Processes and Reliability. 2003.

101. Gibson G. A. Redundant Disk Arrays: Reliable, Parallel Secondary Storage. — Cambridge, MA: MIT Press, 1992.

102. Govil К. К., К. K. Aggarval. Cost Versus Reliability Curve in Reliability Optimization Problems/Abe QR Journal. 1982. - pp.71 -72.

103. Handbook of Releability Engineering/Editor I.A.Ushakov.-New York.: John Wiley and Sons. Inc., 1994.

104. Houeto Fabien, Samuel Pierre, Ronald Beaubrun, Yves Lemieux. Reliability and cost evaluation of Third-Generation Wireless access network topologies: a case study//IEEE Transactions on reliability. 2002. - №2, pp.229-239.

105. Huang J., and M. J. Zuo. Multi-State k-out-of-n System Model and its Applications. Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium. New York: IEEE, 2000. - pp. 264-268.

106. Jack P. Mize. Optimization techniques with Fortran. New York, NY, USA: McGraw-Hill, Inc, 1973.-500 p.

107. Johan A., Petter K. Multiobjective optimization of mixed variable design problems// in Proc. of The First International Conference on Multi-Criterion Optimization, Zurich, Switzerland, March, 2001. pp. 624-638.

108. Kalimulina Elmira Y. A parallel Algorithm for Reliability Optimization of Communications Systems. // IEEE International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON-2009). Proceedings. Tomsk, March 27-28 2009. pp. 21 - 24.

109. Karl N. Fleming. Markov models for evaluating risk-informed in-service inspection strategies for nuclear power plant piping systems//Reliability Engineering and System Safety, 83 (2004), 27—45.

110. Kenneth V. Price, Rainer M. Storn, Jouni A. Lampinen. Differential evolution: a practical approach to global optimization. Berlin: Springer, 2005.

111. Koren Israel, Krishna C. Mani. Fault tolerant systems. Elsevier, 2007, 378 p.

112. Lasdon L. S. Optimization Theory for Large Systems. — London: The Macmillan Company, Collier-Macmillan Limited, 1970.

113. Limnios N., Oprisan G. Semi-Markov Processes and Reliability. — A Birkhauser book, 2001.

114. Lindley, D. V.,N. D. Singpurwalla (1986). Multivariate Distributions for the Life Lengths of Components of a System Sharing a Common Environment, J. Appl. Prob., 23: pp. 418-431.

115. Majumdar D. D., Pal S. К., В. B. Chaudhri. Fast Algorithm for Reliability and Cost of a Complex Network//IEEE Transactions on Reliability. 1976. - №4. - pp.258.

116. Marseguerra M., E. Zio. System Design Optimization by. Genetic Algorithms. Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium. New York: IEEE, 2000. - pp. 222-227.

117. Marseguerra Marzio, Enrico Zio, Luca Podofillini, and David W. Coit. Optimal Design of Reliable Network Systems in Presence of Uncertainty//IEEE TRANSACTIONS ON RELIABILITY. -2005. № 2.

118. Marshal, A. W., and I. Olkin (1967). A multivariate exponential distribution, J. Amer. Statist. Assoc., 1962.-pp. 30-44.

119. Mathematical programming with data perturbations. Edited by Anthony V. Fiacco. New York: MARCEL DEKKER, INC, 1998. 438 p.

120. Messinger M., M. L. Shooman. Techniques for Optimum Spares Allocation: A Tutorial Re-view//IEEE Transactions on Reliability. 1970. - №4. - pp. 156-166.

121. Mettas A. Reliability Allocation and Optimization for Complex Systems. Transactions on Reliability. New York: IEEE, 2000. - pp. 7.

122. Misra К. В., Ljubojevic. Optimal Reliability Design of a System A New Look//IEEE Transactions on Reliability. - 1973. -№4. -pp.256-258

123. Mondoro Mitchell J. Approximation of mean time between failures when a system has a periodical maintenance//IEEE Transactions on reliability. -2002. V.51, №2. - pp. 166-167

124. Network Storage Evaluations Using Reliability Calculations. Sun Microsystems. AUG 16, 2002.

125. Oliveto F. E. An Algorithm to Partition the Operational Availability Parts of an Optimal Provisioning Strategy. Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium. New York: IEEE, 1999.-pp. 310-316.

126. Ramakumar R. Reliability engineering. — London: CRC Press LLC, 2000.

127. Ramesh Anapathur V., Twigg David W. Reliability analysis of systems with operation-time managemenl//IEEE Transactions on reliability. 2002. — V.51, №2, pp.39-48

128. Reliability of computer and communication networks: Proceedings of the DIMACS Workshop on Reliability. — Ratgers Univ.: AMS Publication, 1989.

129. Rice W. F., C. R. Cassady, T. R. Wise. Simplifying the Solution of Redundancy Allocation Problems. Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium. — New York: IEEE, 1999. -pp. 310-316.

130. Rosenbrock H. H. An automatic method for finding the greatest or least value of a function // The Computer Journal. 1960, 3(3), pp. 175-184.

131. Ross S. M. Introduction to probability models with optimization applications. Academic Press, 1972.

132. Schach, S. R. Classical and Object-Oriented Software Engineering with UML and С++, 4th ed. McGraw-Hill, New York, 1999.

133. Schach, S. R. Classical and Object-Oriented Software Engineering with UML and Java. McGraw-Hill, New York, 1999.

134. Schneidewind, N. F., and T. W. Keller. Application of Reliability Models to the Space Shuttle. IEEE Software (July 1992). pp. 28-33.

135. Shier D.S. Network Reliability and Algebraic Structures. — Oxford: Claredon Press, 1991.

136. Shooman Martin L. Reliability of computer systems and networks: fault tolerance, analysis and design. New York: John Wiley & Sons, 2002. - 528 p.'

137. Singh S. K., Sharma G. C. Analysis of a composite performance reliability evaluation for markovian queuring systems//Microelectronics reliability. 1991. - V.32, №3. - pp. 319-321.

138. Subba Rao V. Majety, Srikanth Venkatasubramanian, Alice E. Smith. Optimal reliability allocation in series-parallel systems from component's discrete cost -reliability data sets: a nested simulated annealing approach.

139. Suprasad Amari, Leland McLaughlin, Bhanu Yadlapati. Optimal Cost-Effective Design of Parallel Systems Subject to Imperfect Fault-Coverage. Transactions on Reliability. 2003. -7 c.

140. System Analysis Reference: Reliability, Availability and Optimization. ReliaSoft's eText-book, 2007, 487 p.

141. Tillman F. A., C. L. Hwang, L. T. Fan, К. C. Lai. Optimal Reliability of a Complex Sys-tem//IEEE Transactions on Reliability. 1970. -№3. pp. 95-100.

142. Tillman F. A., C. L. Hwang, W. Kuo. Optimization of Systems Reliability. Marcel Dekker, New York, 1980.

143. Tillman F. A., C. L. Hwang, W. Kuo. Optimization Techniques for System Reliability with Redundancy—A Review//IEEE Transactions on Reliability. — 1977. V.26 № 3. — pp. 148-155.

144. Viadimirsky Yefim Y. Optimal reliability alIocation//Doctor of Philosophy thesis. —The George Washington University, 2000.

145. Villemeur A. Reliability, availability, maintainability and safety assessment. New York: John Wiley & Sons, 1992.

146. Von Alven, W. H., and ARINC Research Corporation Staff. Reliability Engineering. -NJ: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1964.

147. Wang Q., Lam J., Zhang Q. Mixed Optimization Approach to Model Approximation of Descriptor Systems // Journal of Optimization Theory and Applications, Volume 131, Number 2, November, 2006. pp. 265-280.

148. Way Kuo, Ming J. Zuo. Optimal reliability modeling: principles and applications. NJ: John Wiley & Sons, 2003.

149. Wei-Chang Yeh. A simple algorithm for evaluating the k-out-of-n network reliabil-ity//Reliability Engineering and System Safety, 83 (2004) pp. 93-101.

150. Weiwe-Chang Yeh. A simple MC-based algorithm for evaluating reliability of stochastic-flow network with unreliable nodes//Reliability Engineering and System Safety, 83 (2004). — pp. 4755.

151. Wood A. P. Predicting Client Server Availability//IEEE Computer Magazine. 1995. - V.28,

152. Xuan Ying Zhang Weihua Zhang Yulin. Research on mixed optimization method with gradient-based Kriging approximation model // in Proc. of 7th International Conference on System Simulation and Scientific Computing, ICSC, 2008. pp. 58-63.

153. Reliability: A Practitioner's Guide. -Relex Software Corporation.