автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.05, диссертация на тему:Разработка и исследование алгоритмов измерения параметров многоэлементных двухполюсников

и .>: С:.!:

/ —I

г

На правах рукописи

БОНДАРЕНКО Леонид Николаевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОЭЛЕМЕНТНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Специальность 05.11.05 — «Приборы и методы измерения электрических и магнитных величин»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени, кандидата технических наук

ПЕНЗА 1998

Работа выполнена на кафедрах «Высшая математика» и «Информационно-измерительная техника» Пензенского государственного университета.

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор Е. А. Ломтев.

Научный «оисультант — доктор технических наук, доцент И. Р. Добровинский.

Официальные'оппоненты: доктор технических ваук, доцент Ткачев С. В.; кандидат технических наук Солодимова Г. А.

Ведущая организация: НИИФИ.

Защита диссертации состоится 22 октября 1998 г., в 14 часов, на заседании диссертационного совета Д 063.18.01 Пензенского государствеганого университета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пензенского государственного университета по адресу: 440017, г. Пенза, ул. Красная, 40.

Автореферат разослал «_»_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. т. II., д'оцент

Ю. ¡VI. Крысик

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность' проблемы. Одним из основных путей повышения эффективности научных исследований и обеспечения качественного контроля производственных процессов явллется применение ноаых методов и средств измерений, которые .основаны 'на использовании современных достижений микроэлектроники и вычислительной техники, таких как интегральные операционные усилители (ОУ), микропроцессоры (МП) и персональное электронные зычиелнтельные машины (ПЭВМ).

\

Средства пучисяптелыюй техипки пошолягот существенно расширить области использовппия косвенных, совместных и совокупиых измерений, что, в-частности, относится к задаче измерения параметров комплексных сопротивлений ликерных двухполюсников.

Возможность и простота моделирования различных исследуемых объектов линейными пассивными двухполюсниками, а также хорошо разработанные методы электрических измерений значительно усилили в последнее время интерес к этой задаче, причем использование средств вычислительно*"« техники позволяет сгазгть допрос сС измерении параметров многог>лемснгя«х двухполюсников (ГЛАД).

Проблемой измерения ПМД занимаются российские коллективы под сукосодстзом профессоров Каеллера В.Ю., Куликовского К.Л., Мартяши-Iга Л.К. и др., которыми получены значительные оезульгаты.

При разработке средств измерения ПМД могут быть использованы известные методы моделироваиит и идентификации линейных систем, частным случаем которых является и пассивный днухполюеник. При этом возникает ряд специфических, недостаточно изученных проблем, связанных с измерением НМД, а именно: возможность определения параметром данного конкретного двухполюсника и создание универсальных алгоритмов определения параметров различных двухполюсников.

Кроме этого, плохая, как правило, обусловленность задан идентификации линейных, систем требует не только повышения точности измерз-

ний, но и разработки устойчивых,алгоритмов обработки результатов измерений.

Поэтому перспективно направление создания унифицированных средств измерения ПМД на базе ПЭВМ, которое требует развитого программного. обеспечения с применением достаточного числа универсальных алгоритмов определения значений ПМД, что позволяет использовать такие средства для измерения параметров различных двухполюсников.

Диссертационная работа посвящена отмеченным выше проблемам, актуальность которых связана с решением многочисленных практических задач, требующих измерения ПМД, а также рассмотрению методов повышения точности измерения.

Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ определения значений ПМД по результатам измерений в частотной области с использованием ПЭВМ и создание на этой базе унифицированных методов измерения значений ПМД повышенной точности. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие проблемы:

-систематизация задач измерения ПМД, методов и средств нх решения для выделения перспективных подходов в дальнейших исследованиях;

-классификация многоэлементных двухполюсников на основе современных методов анализа н синтеза электрических цепей, а также теории линейных систем;

-получение удобных- критериев разрешимости многоэлементных двухполюсников; ;

-разработка унифицированных методов определения значений ПМД на основе машинно-ориентированных алгоритмов канонической реализации различных типов'двухполюсников и машинно-ориентированных алгоритмов раииопальной интерполяции;

-определение значений оптимальных частот измерения ПМД;

-разработка основных программ для ПЭВМ на базе полученных алгоритмов;

-разработка алгоритмов идентификации двухполюсников при приближенном моделировании;

-построение измерительных цепей повышенной точности для автсн матического измерения ПМД с использованием ПЭВМ;

-исследование основных погрешностей измерения ПМД с использованием ПЭВМ.

Научная нопизна. В работе получены следующие новые научные результаты: ^

-разработана классификация задач определения значений ПМД по уровню задаваемой сложности или фиксированному уровню несогласованности;

-получены критерия разрешимости многоэлементных двухполюсников, основанные на использовании канонической реализации;

-разработаны машинно-ориентированные алгоритмы канонической реализации Фостера, Кауэра и алгоритмы канонической реализации мостовых структур; __

-получены алгоритмы рациональной интерполяции, необходимые для определения значений ПМД;

-предложена методика определения оптимальных значений часгот измерений при определении параметров КС, -многоэлементных двухполюсников при допустимом уровне сложности, позволяющая повысить устойчивость и упростить алгоритмы определения значений ПМД.

Достоверность разработанных критериев и алгоритмов подтверждается результатами экспериментальных исследораний и имитационным-моделированием на ПЭВМ.

Практическое значение. Результаты исследований были использованы. для определения параметров многоэлементных схем замещения датчиков. Изложенная в работе теория и методология позволили повысить

точность определения значений ПМД и увеличить число измеряемых параметров.

Личный вклад автора в работы, выполненные в соавторстве состоит в постановке задач, получении аналитических результатов и проведении теоретических расчетов.

Реализация результатов работы. Полученные научные результаты были внедрены и использованы в виде профаммного обеспечения в ходе научных исследований и в производстве в НИИФИ (г. Пенза) для измерения параметров датчиков давления и на заводе приборов и ферритов (г. Кузнецк Пенз. обл.) для контроля параметров ферритоъых сердечников.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного материала, заключения и списка литературы, содержащего 110 наименований и четырех приложений. Общий объем работы составляет 150 страниц основного текста, в том числе 19 рисунков, 9 таблиц и4 приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цгль и задачи исследования, дана обшая характеристика выполненной работы и показана новизна решаемых задач.

В первой главе проведен анализ задач измерения ПМД. Задача измерения ПМД в общем виде включает в себя два важных аспекта: нахождение схемы замещения исследуемого объекта в виде двухполюсника и измерение параметров элементов полученной эквивалентной схемы, которые относятся к проблеме идентификации исследуемого объекта н переплетаются с вопросами его описания и классификации.

Для классификации задач измерения ПМД на множестве М -моделей двухполюсника введено отображение s:M —»S, которое задает сложность на частично упорядоченном пространстве S, характеризующим .уровень сложности,' а на множестве Z-измерений • отображение

e :ZxHf —► Е, которое задает несогласованность на частично упорядоченном пространств Е, характеризующим уровень несогласованности. Сложность s являегся количественной мерой, обычно характеризуемой числом определяемых параметров, а несогласованность £ связана с уровнем несоответствия модели и объекта измерений.

В случае известной эквивалентной схемы двухполюсника его удобно описывать соотношением у — f(x.rf), определяющим функциональную сгязь между входным воздействие« х и откликом на негр у при искомом векторе параметров двухполюсника г]. Анализ показал, что перспективным путем создания унифицированных средств измерения ПМ.Г, является применение прямого преобразования с использованием простых измерительных структур и компенсацией систематических погрешностей, вносимых источниками питания, измерительными приборами и т.п. При этом возникает необходимость в применении ПЭВМ.

Вгорип глаза посвящена математическим основам идентификации линейных пассивных двухполюсников.

Для заданного ¿С, RC, RL или RLC двухполюсника определяется функция его иммиганса Н(р) в виде рациональной дроби

ь„р +... + Ь,р+Ь0

которая полностью характеризуется, n + m-r 1 независимыми параметрами-, коэффициентами а0,а„...,ап многочлена а„(р) в числителе и коэффициентами Ьд, Ь.....Jn_! многочлена bjp) в знаменателе при b„~ 1.

Измерен!» значений АЧХ, ФЧХ на заданном наборе частот {m, },v с

„ ' - / помошыо сериияо выпускземнх прноороа оггрел«йк>? ъм^-пт

функции иммитанса Н(р) двухполюсника. Возможны различные гаранты измерения значений АЧХ я ФЧХ на заданном наборе {<:>t},v. Основой для гострсения унифицированных средств измерения ГТМД является

случай, когда на частоте сок измеряются значения амплитуды 'wt и фазы <рк. В результате находится набор пар {(м4, v, )}jv, где и>4 = ы4 + jvk, ик = |wAjcos^, vt =|wi|sin^i, и имеют место соотношения:

(RcH(jo)k,r}) = ut> ImtfOw„,?7) = v4), k = lN. (2) Вычисление коэффициентов функции иммитанса (1) {а4}", {bt}" ' при Ьп = 1 по набору {((¿>к, н', ^ относится к задаче интерполяции. Вид функции И(р, т]) определяется структурой двухполюсника и вектором rj.

Нахождение вектора параметров из нелинейных соотношений при заданной структуре двухполюсника называется реализацией. Формы двухполюсников с минимально возможным количеством элементов, полученные в результате реализации рациональной функции, а также метод реализации двухполюсника, приводящий к такой форме, называются каноническими.

При измерении ПМД с использованием ПЭВМ одной из основных проблем является построение для двухполюсника с функцией иммитанса H(p,t)) алгоритма А, перерабатывающего результаты измерений }," в вектор параметров t], т.е.

А: (3)

Введено понятие А -эквивалентности LC, RC, RL, RLQ RCZW -двухполюсников {Zw означает импеданс Варбурга), позволяющее классифицировать двухполюсники по типу таких алгоритмов. : Определение А- эквивалентности.

Пусть для двухполюсника с функцией иммитанса Н(р, ф ЗА, такой, что выполнено (3). Тогда двухполюсник #,(Р> rj,) с dim 77, - dim 77 называется А -эквивалентным данному, т.е. И(р,т}), если найдется такое преобразование z- р", v =±0,5; ±1;±2, что имеет место какое-либо соответствие

Ну{р,ч)= рн"Н{р,ч), (4) ,

где 0(у) = 0; ± 0,5; ±1, определяющее биекцию пектора т? па .

При конструктивном подходе к измерению ПМД необходимо найти алгоритм, решающий эту задачу. Под разрешимостью задачи идентификации двухполюсников понимается существование такого алгоритма; при этом конкрегный двухполюсник называется разрешимым, а в случае дополнительных связей между параметрами - условно разрешимым.

Теоретически разрешимость двухполюсника сводится к возможности построения алгоритма, определяющего вектор параметров ц двухполюсника, причем функция иммитанса Н(р) ЯС, или -двухполюсника представляет рациональную дробь (1) от переменной р, а -двухполюсника- рациональную дробь Н(г) вида (1) от г = ^р. Таким образом, разрешимость ¿С, КС, -двухполюсников с использованием Л -эквивалентности сводится к построению алгоритма канонической реализации КС- двухполюсников. На основе канонической реализации получены различные результаты о разрешимости, двухполюсников, в частности, доказана невозможность улучшения следующей теоремы: если /?С-двухполюсник условно разрешим, то выполнены условия:

(от0 = 2п, + лгд л-пс или ш0 = 2/„ + ря + рс, где п! -число внутренних узлов двухполюсника, /„ -число его независимых" контуров (ветвь источника исключена), т<),тк,тг соответственно общее число эле.мен-тоз, количество резисторов н конденсаторов, а ,тя,/тг или рл, рс принимают значения 0; 1 и определяют соответственно Л; С-пути или /?; С-сечения между внешними зажимами двухполюсника.

В третьей главе рассмотрены алгоритмы идентификации линейных двухполюсников. Для унификации измерения ПМД необходим набор методов канонической реализации А'С, /Х'-дпухгюлюсникоз, опреде-

о

ляющих алгоритмы решения систем нелинейных алгебраических уравнений для нахождения параметров двухполюсника по известным коэффициентам функции ею иммитанса и задающих структуру двухполюснике.

Первый метод канонической реализации был найдем Фоссром з 1924 г.. а в 1926 г. Кауэр рассмотрел новый прием канонической реализации. Затем только в 1963 г. Ли получил еше один метод канонической реализации ¿С-двухгюлюсников. требующий громоздких выкладок из-за использования при его построении идеальных трансформаторов.

В диссертации получены четыре машинно-ориентированных алгоритма канонической реализации КС -двухполюсников, графы которых приведены на рис.1. Узлы и вегни графов перенумерованы, g. = рСк обозначают проводимости, пустые кружки - внешние зажимы двухполюсника, а зачерненные - его внутренние узлы.

Три алгоритма основаны на использовании рекуррентных формул: ао(р) = 0, а,(р) -С,'1, Ь{1(р) = <10(р) = 1, Ь,(р) = р-9„ с?,(р)=р,

+ + (6) ЬЛр) = {р-Ч„Жл(р)-1- «V, (Р) + Чп-А-г (Р)Ъ

(Р) = <*Чп-А-2(р) + П + 0,5(р- Л)]Ь„_,{р\ п> 2.

Алгоритму Кауэра лестничной схемы рис.1,а соответствуют значения Я = 1, р = алгоритму Фостера цепной схемы рис. 1,6 -X = р - 0, а алгоритму для мостовой схемы рис.1,в - Я = р = 1, причем при и > I имеет место равенство ап(р)Ьп_[(р)~аЛ_1{р)Ь11(р) = С'п,с11_](р), являющееся аналогом формулы Лиувилля - Остроградского. В соотношениях (6) использованы обозначения: дп = -£„С~', = -gn_íC~l.

Из (6) следует, что алгоритм'Кауэра использует деление.многочлена на многочлен и связан с представлением рациональной дроби в гиде непрерывной дроби. Он просто реализуется и достаточно устойчив. Алгоритм Фостера основан на разложении рациональной функции (I) на простейшие дроби и для повышения его устойчивости используется метод частных и разностей Рутисхаузера (СЮ - метод). При его применении по алгоритму Кауэра находятся числа = -(/?(С\)~'. е!э; = )"', на

основе которых по правилам ромба

строится С>0-схема, заполняемая сверху вниз. С се помощью вычисляются полюсы дроби (1) и выделяются простейшие дроби. Правила (7) для КС-двухполюеннков достаточно устойчивы и просты при программировании.

При Л = // = 1 соотношения (6) описывают сложную мостовую схему-рис.!,в. По ним с помощью итерационной процедуры и - схемы строится алгоритм канонической реализации, который определяет все наборы параметров, соответствующие цепи рис.1,в.

Следующий модифицированный алгоритм Ли канонической реализации позволяет от комплексного сопротивления вида (1) перейти к схеме, граф которой изображен на рис.1,г. Он не требует введения в схему идеальных трансформаторов и основан на рекуррентных соотношениях

(7)

(/>)=«'.(т.-зСр)+А(р) Ь2„-з(Р)> К Д р)=уД-РК,, з(Р)+^ (PA.JP)>

(8)

где а,(р) = С,Л ь,(р) = />-?,;

• и\\1>>- и Ч\>

<*. (/') = р&м ВгЛ&и + +

В формулах (8) йщам(р) = 2п-2, degk,„.,(/>) = 2n-l. При я. |(0)/Ь,„,(0) = Я,, limра}„^(р)/Ь2г1_х(р) = /1, получим соотношения

Sin-i + £г!>-1 ~ Л1» + = //,. л вспомогательное тождество

VA«-.(Р)-(М + М= /'<?:'-,,-42,-2'fb2nJpl в котором левая часть определена. На первом шаге модифицированного алгоритма Ли по известным многочленам а;„.1(р)пЬг„_,[р) вычисляются четыре параметра схемы рис.1,г и находятся многочлены «2„_3(я) и Ь2„.3(.р). Эти многочлены применяются для выполнения второго шага алгоритма и т.д.

Модифицированный алгоритм Ли в отличие от его первоначального варианта не требует разложения числителя и знаменателя рациональной дроби на множители, что значительно повышает его устойчивое п. к изменениям коэффициентов рациональной дроби. Комбинация описанных алгоритмов перспективна при моделировании различных структур, построенных на элементах двух типов, и измерении ПМД.

Методов канонической реализации RLC и RCZir -двухполюсников общего вида не существует, но по многих практических случаях к RLC-двухполюснику можно применить метод Фостера, поочередно отщепляя от него последовательные (параллельные) LC-цепочки. Если в результате останется RC или RL-двухполюсник, то для его канонической реализации могут быть использованы описанные процедуры. Особенно это важно для RCZn -двухполюсников, которые А -эквивалентны таким RLC-двухполюсникам и встречаются в задачах электрохимической кинетики.

Универсальные алгоритмы рациональной интерполяции должны выдавать нормализованную форму функции иммитанса, необходимую для работы алгоритмов канонической реализации. Пусть при измерении иммитанса на частотах {ft>t},N получены соотношения (2), т.е. определен набор пар {(ых, Vj )}* и Д'0 > п!в при jV0 = 2N и т0 = dim q. Тогда за нормализованную форму иммитанса для RC-двухполюсника принимается запись

„ Г ,.t-^--А • (9)

где коэффициенты дроби положительны, кроме Ьй >0, ля и кс определены схемой RC-двухполюсника при измерении ПМД. причем при =! возможно измерение на частоте cot - 0,1 v, = 0) и при этом N0 = 2N -1.

Задача рациональной интерполяции состоит в определении коэффициентов рациональной функции (9) из системы уравнении

Z(M) = "k+JVk< * = UV. (10)

Непосредственное решение системы (10) относительно коэффициентов дроби (9) затруднено из-за плохой, как правило, обусловленности матрицы этой системы, имеющей сложную структуру. При непосредственном решении системы (10) невозможно практически найти оптимальный набор частот \cot }(N для уменьшения числа обусловленности матрицы системы, хотя проблема такого выбора весьма актуальна и для некоторых частных случаев этой задачи разработаны громоздкие численные алгоритмы.

Применение модифи щрованного алгоритма Кронекера рациональной интерполяции позволило для RC -двухполюсников оптимизировать измерения при заданном уровне сложности />;,, и фиксированной полосе

частот [л>П1Ш, «^ю!- "Ри этом оптимальный набор частот на котором

несогласованность модели Н <*(>), апреле ¡.¡смол по результатам измерения

значений АЧХ и ФЧХ, будет чишшалы/л, задается соотношением

¡1 -Г (2Л' -2i + i)tz l + r . — CO.=CO, л —-—cos - +——, k = \,N, (il)

m.,s,| 2 2N 2

где у = сотш //t»nias, Л' = [(/«., -Vr( t-'.l 2j. Ча. зога со', = 0 используется при ян - 1 и нечетном т„.

Модифицированный алгоритм Кронек«..>:1 па узлах (11) строится при нормировке частоты р = jto/com< Hit основе начального приближения

о >-=0

где обобщенные полшюмы Акиезера cj„(/>), вырождающиеся при у = 0 в обобщенные многочлены Чсомшева, определяются соотношениями

• *) + | у- ш t 0

с0(р)= 1, с,(р)=—-, с'ъ.{р) = 2с2(р)с2^г(р)-съ.^(р), у = 2,3.....

1 - у -

После вычисления по формуле О2) </:v. ,„(/>) находятся полиномы

fcv 1 „</')= + , м

N-■,,,< Р > = <У:Р + Р, , I ( /')- ,I-' = 1-2,.., где Л, и /у( выбраны так, чтобы dega2V.,_,/r)< 2W-1-/, a bls.__,(/?) = О, ^2д-1п(р) = '' -](р) = %•(/>)• являющиеся числителем и знаменателем /-й рациональной интерполяционной дроби. Вычисления по первому рекуррентному соотношению (13) проводятся в модифицированных обобщенных полиномах Ахиезера, а по второму - в степенных многочленах.

Количество итераций в модифицированном алгоритме Кронекера (33) при ,тй =1 равно [да0/2], а для = 0 равно wi0-[(/w0 + 2)/2]. Этот алгоритм довольно устойчив в работе и легко совмещается с алгоритмами реализации. Описанные алгоритмы с использованием А -эквивалентности решают задачу определения параметров различных двухполюсников при фиксированной сложности по измерениям значений АЧХ и ФЧХ.

Идентификация по допустимому уровню несогласованности часто основана на использовании аппроксимации передаточной функции в классе рациональных дробей по минимуму среднеквадратической погрешности, что является причиной увеличения обусловленности этой задачи.

Более простой подход для решения этой задачи основан на применении числового параметра, характеризующего уровень несогласованности в данном классе моделей А/. При этом удобно использовать непрерывную дробь типа Тиле для строго собственной р и>!«.г< .ш.ной дроби г (г), представляющей при г - п мнимую часть Функции ; П.

• £<Zzbl

1- 1 _ 1 - 1 - 1

которая является аналогом интерполяционного ряда Ньютона.

При заданной последовательности {zmи полученной (по результатам измерений (v„}* в (2)) последовательности разделенных разностей , коэффициенты непрерывной дроби r(z) вычисляются с помощью обобщенного QD - алгоритма при к = 1,2,... по формулам:

„к»)

= 0; чГ=[=Г+сп/с„, Г1;

(»•i.

(14)

Чк*1

4 k

которые являются обобщениями правил (7).

Для строго собственной рациональной функции r(z), степень знаменателя которой равна п, -¡-е модифицированные разности е("] = 0 для всех т. Поэтому величины е'^', вычисляемые по формулам (14), позволяют определить сложность модели по допустимому уровню несогласованности е' из неравенства е'"] < е' для всех т, после чего применяется алгоритм идентификации при допустимом уровне сложности.

о

В главе 4 рассмотрены измерительные цепи для измерения ПМД и проведен анализ погрешностей измерения.

i ¡ ¡мерительная схема для определения параметров Zx изображена на рис.2, на котором выбор частот генератора Г . установка пределов измерения R,, и переключение ключа К'л производится ПЭВМ. Результаты измерений ЦВ и ЦФ поступают в ПЭВМ и обрабатываются с целью получения результата.

о

ПЭВМ

По измеренным на частотах сок значениям ил, пропорциональным модулям падений напряжений на исследуемом комплексном сопротивлении г,, значениям 1)к, пропорциональным модулям падений напряжений на последовательно включенном с 2Х образцовом переменном резисторе Яц, и известным входным величинам ЦВ и ЦФ Су, Я'ф, , Яьф, СфНа ПЭВМ находится

(15)

где У", К/ соответственно равны сумме входной проводимости канала А или В цифрового фазометра на частоте (ок и входной проводимости ЦВ.

По показаниям ЦФ определяются на частоте о)к величины

[Яе УДМ) = Ие^О'^) + К/]- Яе Ук°, {1т У, (>,) = 1т [ух Цщ) + У? ]- 1т У*, которые используются для определения ПМД по алгоритмам главы 3.

Стандартная процедура логарифмического дифференцирования выражения (15) позволяет найти относительную погрешность измерения |УхО&к)+17) ,,а частоте а>к

д^исомг^з^+у^+ёиь-ви«, где З^к+Ук\ зависит от частоты сок и вычисляется по известным значениям Як, Сг, Сф, а>к я их относительным погрешностям; 61}к, ОI/- относительные погрешности измерений Цй на частоте о,.

Анализ полученных выражений показал, что применение современных ЦВ переменного тока позволяет получить погрешность измерения Полагая ¿>к ^тах^ЯеГД^Д |<НтГ,(./в4)|}, получим [¿Г[ < , | < 6к, причем 5к <0,1% с учетом высокой точности измерений ЦФ фазового угла при 20* < <рк < 60*..

Вычисление ПМД ло значениям [(ик, у4 )}* производится на ПЭВМ по алгоритмам главы 3. Погрешность применяемого в алгоритме Кронеке-ра интерполяционного многочлена р -- ]а г. (2^ - тй = 0,

которая возникает о: неточности измеренных значений АЧХ и ФЧХ, при неблагоприятном сочетании погрешностей {Д^}* оценивается

неравенством

о

|4я2.уч.о(Р)|^Л2А..1тах . {[Дм*|, М}. (16)

Константа Лебега Л2,м в (16) сильно зависит'от относительного злой ичгерпалль;;!* {&,}* отрезке .«»«иЛ- Пря использовании равномерных узлов тпернолшиш =2к-1, и числе параметров ш0 = 2АТ >4 она удовлетворяет неравенству т"> _ 2

^ (/к0 - ])/г(2/;г0 -5) " (1п(т0 + 2)- 1)е

Интерппляцнонные узлы (11) являются асимптотически оптимальными и оценка константы Лебега Л2АМ на этих узлах при у = 0 имеет вид .

2лл 1п т„ + 0,549 < Л^., < 2г Мп т0 +1.

Сравнение последних формул показывает большой выигрыш при применении интерполяционных узлов (11) для измерения ПМД. Для этого случая при (2;У -«0)/Т„ =0 оценена погрешность коэффициентов интерполяционного многочлена (12) и получены неравенства

Аа*|< maxjAi/,|, |A«,'„|<2i' тах|А!/,|, v = ),N-\,

|А а\\< 2 тах|Д v; |, |Лa\vti |< 4(2i- + 1)"' тах|А v,|, v = 1, А' -1.

Показано, что параметры {Я,}, {;/,} также примерно влияют на погрешности искомых коэффициентов многочленов (13), как параметры {¡7,}, {с,} в алгоритме Кауэра. Это приводит к незначительным погрешностям за исключением вырожденных случаев, которые практически не имеют места на узлах (11). В алгоритмах реализации используются только коэффициенты рациональной дроби, что значительно увеличивает точность определения ПМД:

Сравнение алгоритмов канонической реализации по точности сразу вытекает из их описания в главе 3 и связано с их сложностью. Наиболее точным алгоритмом по минимуму ошибки вычисления является алгоритм Кауэра. Алгоритм Фостера дает хорошие результаты, если нули многочлена знаменателя распределены неравномерно. Более точное представление о погрешности измерения ПМД дает имитационное моделирование алгоритмов главы 3 на ПЭВМ, на что эти алгоритмы и были ориентированы при разработке. Такой подход позволил на большом количестве примеров проверить чувствительность предложенных алгоритмов канонической реализации к изменению начальных данных. В большинстве случаев при числе параметров менее 16 наблюдались устойчивость алгоритмов канонической реализации к погрешностям вычислении.

Моделирование на ПЭВМ модифицированного алгоритма Кронекера также подтвердило теоретические результаты и показало его значительные преимущества по сравнению с обычным подходом к интерполяции рациональных дробей. Измерение ПМД проводилось на стенде с использованием Стандартной отечественной измерительной аппаратуры. Практическая ценность полученных результатов подтверждена тем, что они были внедрены и использованы в виде программного обеспечения в ходе научных исследований и в производстве в НИИФИ (г. Пенза) для измерения параметров чувствительных элементов датчиков давления (ЧЭДД) и на Кузнецком заводе приборов и ферритов для контроля параметров ферриговых сердечников.

В ходе выполнения диссертационной работы для измерения параметров датчиков давления были построены имитационные модели в виде ЛС-схем замещения на переменном токе. Полученные алгоритмы были использованы.в виде программного обеспечения для определения параметров ЧЭДД по экспериментальным данным. Были рассмотрены методы повышения точности измерения параметров ЧЭДД и оценки эффективности алгоритмов обработки экспериментальных данных, что позволило поднять уровень метрологической надежности датчикоаой аппаратуры.

Имитационные модели в виде ЛС-схем замещения на переменном токе были использованы для контроля параметров ферритовых сердечников, для чего применялись алгоритмы определения параметров схем замещения по измеренным значениям АЧХ и ФЧХ.

В приложении 1 на основе топологического анализа цепных КС -двухполюсников получены рекуррентные соотношения, используемые при разработке алгоритмов канонической реализации двухполюсников..

В приложении 2 приведены Паскаль-процедуры для имитационного моделирования разработанных алгоритмов измерения ПМД.

В приложении 3 описаны простейшие алгоритмы определения параметров двухполюсника по ФЧХ и сопротивлению постоянному току.

В приложении 4 приведены справки и акты о внедрении результатов работы.

В заключении работы кратко сформулированы основные научные результаты и рассмотрены перспективы дальнейших исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена классификация задач определения ПМД по уровню ¡адаваемой сложности и по фиксированному уровню несогласованности.

2. Для унификации измерения ПМД предложена классификация 1вухполюсникои на бате А -экьивалентности.

3. Разработаны методы исследования разрешимости двухполюсников т основе использования канонической реализации.

4. Для унификации решения систем нелинейных алгебраических сравнений при определении ПМД использованы алгоритмы канонической >еализации Кауэра и Фостера на основе алгоритма частных и разностей ■утисхаузера и разработаны алгоритмы канонической реализации для юстовых структур.

5. Разработана устойчивая модификация алгоритма Кронекера для олучения функции иммитанса ЯС -двухполюсников по измерениям АЧХ ФЧХ.

6. Найдены оптимальные частоты измерения для определения пара-етров КС, ЛЬ- двухполюсников при допустимом уровне сложности.

7. Использован обобщенный алгоритм частных и разностей для оп-еделения ПМД при фиксированном уровне несогласованности.

8. Предложены измерительные цепи для определения ПМД с учетом ■содных параметров измерительных приборов и проведен анализ погреш-ости измерения параметров многоэлементных двухполюсников при ис-эльзовании ПЭВМ в составе средств измерения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. А.с. 1307378 СССР. МКИ"1 G 01 R 25/00. Цифровой фазометр среднего значения / М.Ю. Михеез, Б.В. Чувикин, Л.Н. Бондаренко, И.Р. Доб-ровкнский. (СССР). - Б.И., 1987. - № IÓ.-6 с.

2. Бондаренко Л.Н., Дасровияский И.Р., Ломтеа Е.А. Цифровой индуктивный датчик перемещении // Средства измерений и автоматизации е нефтяной промышленности: Межнуз. научко-темат. со. - Уфа, 1985. - С. 45-52.

3. Бондаренко Л.Н., Дооровякский И.Р.. Ломтев Е.А. Цифровой емкостный датчик линейных перемещений // Технический прогресс в отраслевой промышленности. Серия: организация производства п прогрессивная технология в приборостроение. - 1987. - Вып.5 ( 196). - С. 34-36.

4. Бондаренко Л.Н., Брсжчк::ов А.И., Добровинскяй И.Р., Ломтсе Е.А. Измерительный усилитель с улучшенными характеристиками // Известия вузов. Приборостроение. - 1991. - №6. - С. 48-52.

5. Бондаренко Л.Н., Добровинский И.Р. Возможности повышения точности измерения параметров дзухпог.юсников !' Информационно-измерительная техника: - M .-жвуз. сб. научи, тр. / Пет. гос. техн. vn-т. -Пенза. 1994. Вып.-2. - С. 3-7.

6. Бондзргако Л.Н., Добровкнскнй И.Р., Карзлгшвнли Г. А. Измерение параметров дву.чпол юс л и ков с использованием персональной ЗБМ/; i 'нформйцисньо- измерительная гехнп:-:а: ; ;:6. научи, тр./

гос. rcíH. ун-т. - Пенза. 199-'. Г"; ;п. 2. - С. 10-;;.

7. Бо.чдаоенко Л.Н., Лоиро^иискнй И.г. Мс-да^ирование и идентификация систем, состоящих ич элементов дву;; гмаов// Актуальные пробяемь. аналта и обеспечения надежности и качества приборов, устройств •.< систем: Сб. докл. науч. конф. 27 мая-1 июня í996, ч.2. - Пенза, 1996. Ç.,3 !-33.

8. Бондаренко Л.Н., Добровинский И.Р. Обобщенные константы Шварца и интерполирование рациональными функциями // Оптимально метод1ы вычислений и их применение: Межвуз. сб. научи, тр. / Пелз. гсс техн. ун-т. - Пенза, 1996. - Вып. 12. - С. 67-72.

М/

Пензенский государственный университет

На правах рукописи

Бондаренко Леонид Николаевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОЭЛЕМЕНТНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Специальность 05.11.05 - "Приборы и методы измерения электрических и магнитных величин"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -доктор технических наук, профессор Е.А. Ломтев

Научный консультант -доктор технических наук, доцент И.Р. Добровинский

Пенза -1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

Введение.....................................................................................................................4

Глава 1. Анализ задач измерения ПМД, методов и средств их решения.........10

1.1. Обзор задач, связанных с измерением ПМД и постановка основных проблем....................................................................................................................10

1.2. Анализ методов и средств измерения ПМД.................................................29

1.3. Основные результаты и выводы....................................................................39

Глава 2. Математические основы идентификации линейных пассивных

двухполюсников......................................................................................40

2.1. Методы описания и классификации двухполюсников...............................40

2.2. Разрешимость задачи идентификации двухполюсников............................59

2.3. Основные результаты и выводы....................................................................77

Глава 3. Алгоритмы идентификации линейных пассивных

двухполюсников.......................................................................................78

3.1. Универсальные алгоритмы измерения ПМД...............................................79

3.1.1. Алгоритмы канонической реализации......................................................79

3.1.2. Алгоритмы интерполяции...........................................................................95

3.2. Некоторые алгоритмы идентификации двухполюсников

при приближенном моделировании..................................................................106

3.2.1. Алгоритм идентификации при допустимом уровне

сложности.............................................................................................................106

3.2.2. Алгоритм идентификации при допустимом уровне несогласованности...............................................................................................109

3.3. Основные результаты и выводы..................................................................112

Глава 4. Измерительные цепи для определения ПМД. Анализ основных

погрешностей измерения ПМД..........................................................114

4.1. Измерительные цепи для измерения ПМД и методы повышения точности измерений............................................................................................ 114

4.2. Анализ основных погрешностей измерения ПМД...................................122

4.3. Практические результаты............................................................................134

4.4. Основные результаты и выводы..................................................................137

Заключение...........................................................................................................139

Библиографический список использованной литературы.............................. 141

Приложение 1. Анализ простейших цепных RC-двухполюсников...............151

Приложение 2. Паскаль-процедуры основных алгоритмов измерения

ПМД......................................................................................................................160

Приложение 3. Определение параметров двухполюсников по ФЧХ и

сопротивлению постоянному току....................................................................192

Приложение 4. Акты внедрения результатов работы.....................................203

ВВЕДЕНИЕ

Одним из основных путей повышения эффективности научных исследований и обеспечения качественного контроля производственных процессов является использование новых методов и средств измерений, которые основаны на применении современных достижений микроэлектроники и вычислительной техники, таких как интегральные операционные усилители (ОУ), микропроцессоры (МП) и персональные электронные вычислительные машины (ПЭВМ).

Средства вычислительной техники позволяют существенно расширить области использования косвенных, совместных и совокупных измерений. В частности, к такому классу измерений можно отнести задачу определения параметров комплексных сопротивлений линейных двухполюсников.

Возможность и простота моделирования различных исследуемых объектов линейными пассивными двухполюсниками, а также хорошо разработанные методы электрических измерений значительно усилили в последнее время интерес к этой задаче, причем использование средств вычислительной техники позволяет ставить вопрос об измерении параметров многоэлементных двухполюсников (ПМД).

Проблемой измерения ПМД занимаются российские коллективы под руководством профессоров Кнеллера В.Ю., Куликовского К.Л., Мартяшина А.И. и др., которыми получены значительные результаты.

При разработке средств измерения ПМД могут быть использованы известные методы моделирования и идентификации линейных систем, частным случаем которых является и пассивный двухполюсник. При этом возникает ряд специфических, недостаточно изученных проблем, связанных с измерением ПМД, а именно: возможность определения параметров данного конкретного двухполюсника и создание универсальных алгоритмов определения параметров различных двухполюсников [55].

Кроме этого, плохая, как правило, обусловленность задач идентификации линейных систем требует не только повышения точности измерений, но и разработки устойчивых алгоритмов обработки результатов измерений.

Поэтому перспективно направление создания унифицированных средств измерения ПМД на базе ПЭВМ, которое требует развитого программного обеспечения с применением достаточного числа универсальных алгоритмов определения значений ПМД, что позволяет использовать такие средства для измерения параметров различных двухполюсников.

В диссертационной работе делается попытка решения отмеченных выше проблем, актуальность рассмотрения которых связана с многочисленными практическими задачами, требующими измерения ПМД, и рассматриваются некоторые методы, повышающие точность измерения.

Цель работы и задачи исследования. Разработка теоретических основ определения значений ПМД по результатам измерений в частотной области с использованием ПЭВМ и создание на этой базе унифицированных методов измерения значений ПМД повышенной точности. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие проблемы:

- систематизация задач измерения ПМД, методов и средств их решения для выделения перспективных подходов в дальнейших исследованиях;

- классификация многоэлементных двухполюсников на основе современных методов анализа и синтеза электрических цепей, а также теории линейных систем;

- получение удобных критериев разрешимости многоэлементных двухполюсников;

- разработка унифицированных методов определения значений ПМД, для чего требуются машинно-ориентированные алгоритмы канонической реализации различных типов двухполюсников и алгоритмы рациональной интерполяции;

- определение значений оптимальных частот измерения ПМД;

- разработка основных программ для ПЭВМ на базе полученных алгоритмов;

- разработка алгоритмов идентификации двухполюсников при приближенном моделировании;

- построение измерительных цепей для автоматического измерения ПМД с использованием ПЭВМ;

- исследование основных погрешностей измерения ПМД с применением ПЭВМ.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

- разработана классификация задач определения значений ПМД по уровню задаваемой сложности и по фиксированному уровню несогласованности;

- найдены критерии разрешимости многоэлементных двухполюсников, основанные на использовании канонической реализации;

- разработаны алгоритмы рациональной интерполяции, необходимые для определения значений ПМД;

- получены машинно-ориентированные алгоритмы канонической реализации Фостера, Кауэра и разработаны алгоритмы канонической реализации мостовых структур;

- предложена методика определения оптимальных значений частот измерений при определении параметров ЯС, ЯЬ-многоэлементных двухполюсников при допустимом уровне сложности, позволяющая повысить устойчивость и упростить алгоритмы определения значений ПМД.

Достоверность разработанных критериев и алгоритмов подтверждается результатами экспериментальных исследований и имитационным моделированием на ПЭВМ.

Практическое значение. Результаты исследований были использованы для определения параметров многоэлементных схем замещения датчиков. Из-

ложенная в работе теория и методология позволили повысить точность определения значений ПМД и увеличить число измеряемых параметров.

Реализация результатов работы. Полученные научные результаты были внедрены и использованы в виде программного обеспечения в ходе научных исследований и в производстве в НИИФИ (г. Пенза) для измерения параметров датчиков давления и на заводе приборов и ферритов (г. Кузнецк Пенз. обл.) для контроля параметров ферритовых сердечников.

Полученные в работе результаты приведены в отчетах хоздоговорных НИОКР по темам №№ 1152, 83-024, 84-021, 86-009 и подтверждены актами о внедрении.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного материала и четырех приложений, заключения и списка литературы, содержащего 110 наименований. Общий объем работы составляет 150 страниц основного текста, в том числе 19 рисунков, 9 таблиц и 4 приложения.

В первой главе проводится обзор задач, связанных с измерением ПМД, анализ методов и средств их решения. Для множества моделей многоэлементных двухполюсников на множестве измерений вво; «тся, уровни их сложности и несогласованности, что необходимо для разработки универсальных алгоритмов измерения ПМД.

Во второй главе рассматриваются математические основы идентификации линейных пассивных двухполюсников, для чего исследуются вопросы их описания и классификации. Введено понятие А -эквивалентности, разбивающее двухполюсники на классы, характеризующиеся общей частью алгоритма измерения ПМД. Получены различные результаты о возможности измерения ПМД и введено понятие D -разрешимости двухполюсников, основанное на введении дополнительных условий для однозначного определения их параметров. Предложено разделение проблемы измерения ПМД на задачу интерполя-

ции и задачу канонической реализации и рассмотрена устойчивость решения этих задач с использованием ПЭВМ.

Третья глава посвящена разработке универсальных алгоритмов измерения ПМД. С использованием (^-алгоритма Рутисхаузера получены машинно-ориентированные модификации алгоритмов канонической реализации Кауэра и Фостера. Значительно модифицирован алгоритм канонической реализации Ли и разработан четвертый алгоритм канонической реализации, что позволяет при измерении ПМД рассматривать схемы, включающие в себя мостовые структуры. Для интерполяции, кроме непосредственного подхода, разработан модифицированный алгоритм Кронекера, с помощью которого для некоторых типов двухполюсников найдены оптимальные частоты измерения ПМД, значительно упрощающие вычисления и повышающие устойчивость работы алгоритма интерполяции.

Получен алгоритм идентификации некоторых типов двухполюсников при допустимом уровне сложности и определены оптимальные частоты измерения ПМД для этого случая. Предложено использование обобщенного СЮ-алгоритма для идентификации двухполюсников при допустимом уровне несогласованности.

В четвертой главе приведены основные измерительные цепи, позволяющие повысить точность измерения ПМД и ориентированные на использование алгоритмов, рассмотренных в третьей главе. Проведен анализ основных погрешностей измерения ПМД.

В приложении 1 с помощью топологических методов исследования электрических цепей рассмотрен анализ простейших цепных КС-двухполюсников, необходимый для разработки алгоритмов канонической реализации двухполюсников главы 3.

В приложении 2 приведены Паскаль-процедуры основных алгоритмов измерения ПМД главы 3.

В приложении 3 рассмотрены некоторые частные алгоритмы измерения ПМД.

В приложении 4 приведены акты внедрения результатов работы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Классификация двухполюсников с использованием А -эквивалентности.

2. Критерии определения разрешимости двухполюсников.

3. Алгоритмы канонической реализации двухполюсников.

4. Машинно-ориентированные алгоритмы интерполяции рациональных функций.

5. Определение оптимальных частот измерения ПМД для некоторых типов двухполюсников.

6. Алгоритм идентификации некоторых типов двухполюсников при допустимом уровне сложности и определение оптимальных частот измерения.

7. Алгоритм идентификации двухполюсников при допустимом уровне несогласованности.

8. Измерительные цепи для определения ПМД и повышение точности измерений за счет учета входных параметров измерительных приборов.

9. Анализ основных погрешностей измерения ПМД.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ЗАДАЧ ИЗМЕРЕНИЯ ПМД, МЕТОДОВ И СРЕДСТВ ИХ РЕШЕНИЯ

1.1. Обзор задач, связанных с измерением ПМД, и постановка основных проблем

Актуальность вопросов, возникающих при нахождении параметров электрических цепей с двумя доступными полюсами, постоянно возрастает. Это вытекает, с одной стороны, из большого числа такого рода задач в различных областях знания, а, с другой стороны, из бурного развития средств измерительной техники, использующих ОУ, МП и ПЭВМ.

В монографии [55] рассмотрены различные задачи, требующие определения ПМД, которые по области применения условно могут быть разделены на четыре большие группы:

- научные исследования;

- контроль радиоэлектронной аппаратуры (РЭА);

- преобразование неэлектрических величин;

- медицинская диагностика.

На рис. 1.1 показано классификационное дерево задач определения ПМД по областям использования. Значительное количество таких проблем при научных исследованиях связано с кинетикой электрохимических реакций.

Схемы замещения электрохимических систем представляют собой, в общем случае, электрические цепи с распределенными параметрами, но с приемлемой степенью точности многие из них можно описать линейными многоэлементными двухполюсниками с сосредоточенными параметрами [38, 93]. Исследование поведения электрохимических систем на переменном токе является одним из наиболее эффективных экспериментальных методов современной электрохимии. Разнообразие электрохимических систем и особенностей протекающих в них процессов приводит к большому числу эквивалентных схем замещения, число элементов которых может быть значительным - 10-15 [38].

f i

Электрохимическая система при достаточно малой амплитуде напряжения переменного тока (1 -20мВ) между электродами электрохимической ячейки может быть представлена линейной электрической цепью.

На рис. 1.2 изображены некоторые типичные эквивалентные схемы различных электрохимических систем, в которых на границе электрод - электролит протекают реакции. Они приведены в [55] по данным работ [24, 58, 70, 99]. На рис. 1.2 использованы следующие обозначения Я0 - сопротивление раствора; - сопротивление реакции; 7?адс - сопротивление адсорбции; Садс - емкость адсорбции; Сдв - емкость двойного слоя; К;к - сопротивление десорбции; и Я2 - сопротивления, характеризующие первую и вторую стадии реакции.

В схемы замещения рис.1.2,а-ж входит диффузионный импеданс (импеданс Варбурга) , который представляет собой комплексное сопротивление полубесконечной КС -линии с распределенными параметрами и характеризует процесс диффузии ионов в растворе

/'<», (1-1)

где Ш - постоянная Варбурга, в)- частота переменного тока, а у = -1.

При определении характеристик диэлектрика используется эквивалентная схема замещения рис. 1.3,а, изображенные на которой сопротивление К характеризует сквозную проводимость, С равно сумме емкостей диэлектрика в вакууме и электронной поляризации, а цепочки ЯкСк, к = \,т, описывают различные виды поляризации [12]. Для нахождения коэффициента абсорбции диэлектрика применяют также упрощенную эквивалентную схему рис. 1.3,6 [102].

Структуры металл - диэлектрик - полупроводник (МДП) представляют большой интерес с точки зрения изучения свойств поверхности полупроводников. Эти свойства определяют надежность и стабильность полупроводниковых приборов. Прогрессу электроники многофазовых слоистых систем металл -диэлектрик - полупроводник в значительной мере способствовало развитие методов измерения параметров МДП - структур. Эквивалентная схема такой

Zw BP ŒJ-CГ

ДВ

а;

Zw ВР Садс

H I-о о-

"НИ

Тдв

6)

Zw Й1

34

В

2

аде

HR

дв

So

О-о

в;

г;

W

Bp i

£_Ь

J-I

аде

В

о

д;

Zw с

в

до

р

ДВ

в

о

е;

-о

о-

Zw Вт

ДВ

»о

-о

о

В

адо

К

—LZJ—

ДВ

В,

D-0

о-

ю

Вг

>

садс^адо

>

л,в

В,

J-о

о

з;

Ж

С

С

аде

дв

В

о

о

Ю

к;

Рис.1.2

R

X T

c,

R<

Cm Rm

I____T

=Uc n

««

I

aj

d;

in1

=±=£j

fts,<

JL---T

: £s,f77

ft s,m

o

b)

=Ci

X

Rm,i

Cb,i 1

li-J

ftps,07

r;

o-

o-

m

K-1

n rr -M

_r

a;

<h

C/n

R<

x;

Rm

O

n,

IV

IT

fys

R<*

e;

Cj

Rs

-o o—I H'

3;

ftp

Ri

C3

«3

HJ

IH

-o

Pac.I.3

k

структуры в режиме обеднения изображена на рис. 1.3,в, где С] и Сл соответственно емкости изоляции и обедненного слоя полупроводника, а цепочки Я5кС!�